Auf einen Punkt zentriert EIN.
α ist ein im Bogenmaß ausgedrückter Winkel.

Definition
Sinus ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt, der gleich dem Verhältnis der Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| ist zur Länge der Hypotenuse |AC|.

Kosinus (cos α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt, der gleich dem Verhältnis der Länge des benachbarten Schenkels |AB| ist zur Länge der Hypotenuse |AC|.

Akzeptierte Bezeichnungen

;
;
.

;
;
.

Graph der Sinusfunktion, y = sin x

Graph der Kosinusfunktion, y = cos x

Eigenschaften von Sinus und Cosinus

Periodizität

Funktionen y= Sünde x und y= cos x periodisch mit einer Periode 2pi.

Parität

Die Sinusfunktion ist ungerade. Die Kosinusfunktion ist gerade.

Definitionsbereich und Werte, Extrema, Zunahme, Abnahme

Die Sinus- und Cosinusfunktionen sind stetig auf ihrem Definitionsbereich, also für alle x (siehe Stetigkeitsbeweis). Ihre Haupteigenschaften sind in der Tabelle dargestellt (n - ganze Zahl).

	y= Sünde x	y= cos x
Reichweite und Kontinuität	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Wertebereich	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Aufsteigend
Absteigend
Maxima, y= 1
Minima, y ​​​​= - 1
Nullen, y= 0
Schnittpunkte mit der y-Achse, x = 0	y= 0	y= 1

Grundlegende Formeln

Summe aus quadriertem Sinus und Cosinus

Sinus- und Kosinusformeln für Summe und Differenz

;
;

Formeln für das Produkt von Sinus und Cosinus

Summen- und Differenzenformeln

Ausdruck von Sinus durch Cosinus

;
;
;
.

Ausdruck von Kosinus durch Sinus

;
;
;
.

Ausdruck in Bezug auf die Tangente

; .

Für haben wir:
; .

Bei :
; .

Tabelle der Sinus und Cosinus, Tangenten und Kotangens

Diese Tabelle zeigt die Werte von Sinus und Cosinus für einige Werte des Arguments.

Ausdrücke durch komplexe Variablen

;

Euler-Formel

Ausdrücke in Bezug auf hyperbolische Funktionen

;
;

Derivate

; . Ableitung von Formeln > > >

Ableitungen n-ter Ordnung:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, Kosekan

Umkehrfunktionen

Die inversen Funktionen zu Sinus und Cosinus sind Arkussinus bzw. Arkuskosinus.

Arkussinus, Arcsin

Arccosinus, arccos

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.

Einer der Zweige der Mathematik, mit dem Schulkinder die größten Schwierigkeiten haben, ist die Trigonometrie. Kein Wunder: Um dieses Wissensgebiet frei zu meistern, braucht man räumliches Denken, die Fähigkeit, Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens anhand von Formeln zu finden, Ausdrücke zu vereinfachen und die Zahl Pi in Berechnungen einsetzen zu können. Darüber hinaus müssen Sie beim Beweis von Theoremen Trigonometrie anwenden können, und dies erfordert entweder ein entwickeltes mathematisches Gedächtnis oder die Fähigkeit, komplexe logische Ketten abzuleiten.

Ursprünge der Trigonometrie

Die Bekanntschaft mit dieser Wissenschaft sollte mit der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens des Winkels beginnen, aber zuerst müssen Sie herausfinden, was Trigonometrie im Allgemeinen tut.

In der Vergangenheit waren rechtwinklige Dreiecke das Hauptstudienobjekt in diesem Bereich der mathematischen Wissenschaft. Das Vorhandensein eines Winkels von 90 Grad ermöglicht es, verschiedene Operationen durchzuführen, die es ermöglichen, die Werte aller Parameter der betrachteten Figur unter Verwendung von zwei Seiten und einem Winkel oder zwei Winkeln und einer Seite zu bestimmen. In der Vergangenheit bemerkten die Menschen dieses Muster und begannen, es aktiv beim Bau von Gebäuden, in der Navigation, in der Astronomie und sogar in der Kunst zu nutzen.

Erste Stufe

Anfangs sprach man ausschließlich am Beispiel rechtwinkliger Dreiecke über das Verhältnis von Winkeln und Seiten. Dann wurden spezielle Formeln entdeckt, die es ermöglichten, die Grenzen der Verwendung dieses Teils der Mathematik im Alltag zu erweitern.

Das Studium der Trigonometrie in der Schule beginnt heute mit rechtwinkligen Dreiecken, wonach das erworbene Wissen von Schülern in Physik und beim Lösen abstrakter trigonometrischer Gleichungen verwendet wird, mit denen die Arbeit in der High School beginnt.

Sphärische Trigonometrie

Später, als die Wissenschaft die nächste Entwicklungsstufe erreichte, wurden Formeln mit Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens in der sphärischen Geometrie verwendet, wo andere Regeln gelten und die Summe der Winkel in einem Dreieck immer mehr als 180 Grad beträgt. Dieser Abschnitt wird in der Schule nicht studiert, aber es ist notwendig, über seine Existenz Bescheid zu wissen, zumindest weil die Erdoberfläche und die Oberfläche jedes anderen Planeten konvex ist, was bedeutet, dass jede Oberflächenmarkierung "bogenförmig" ist dreidimensionaler Raum.

Nimm den Globus und den Faden. Befestigen Sie den Faden an zwei beliebigen Punkten auf dem Globus, so dass er straff ist. Passen Sie auf - es hat die Form eines Bogens angenommen. Mit solchen Formen befasst sich die sphärische Geometrie, die in der Geodäsie, Astronomie und anderen theoretischen und angewandten Bereichen verwendet wird.

Rechtwinkliges Dreieck

Nachdem wir ein wenig über die Verwendungsmöglichkeiten der Trigonometrie gelernt haben, kehren wir zur grundlegenden Trigonometrie zurück, um besser zu verstehen, was Sinus, Cosinus und Tangens sind, welche Berechnungen mit ihrer Hilfe durchgeführt werden können und welche Formeln zu verwenden sind.

Der erste Schritt besteht darin, die Konzepte im Zusammenhang mit einem rechtwinkligen Dreieck zu verstehen. Erstens ist die Hypotenuse die Seite gegenüber dem 90-Grad-Winkel. Sie ist die längste. Wir erinnern uns, dass nach dem Satz des Pythagoras sein Zahlenwert gleich der Wurzel der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten ist.

Wenn beispielsweise zwei Seiten 3 bzw. 4 Zentimeter lang sind, beträgt die Länge der Hypotenuse 5 Zentimeter. Das wussten übrigens schon die alten Ägypter vor etwa viereinhalbtausend Jahren.

Die beiden verbleibenden Seiten, die einen rechten Winkel bilden, werden Beine genannt. Außerdem müssen wir uns daran erinnern, dass die Summe der Winkel in einem Dreieck in einem rechtwinkligen Koordinatensystem 180 Grad beträgt.

Definition

Schließlich können wir uns mit einem soliden Verständnis der geometrischen Basis der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels zuwenden.

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels (d. h. der dem gewünschten Winkel gegenüberliegenden Seite) zur Hypotenuse. Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse.

Denken Sie daran, dass weder Sinus noch Cosinus größer als eins sein können! Wieso den? Da die Hypotenuse standardmäßig am längsten ist, ist sie, egal wie lang das Bein ist, kürzer als die Hypotenuse, was bedeutet, dass ihr Verhältnis immer kleiner als eins ist. Wenn Sie also in der Antwort auf die Aufgabe einen Sinus oder Kosinus mit einem Wert größer als 1 erhalten, suchen Sie nach einem Fehler in Berechnungen oder Argumentationen. Diese Antwort ist eindeutig falsch.

Schließlich ist der Tangens eines Winkels das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur benachbarten Seite. Das gleiche Ergebnis ergibt die Division des Sinus durch den Kosinus. Schauen Sie: Gemäß der Formel teilen wir die Seitenlänge durch die Hypotenuse, danach teilen wir durch die Länge der zweiten Seite und multiplizieren mit der Hypotenuse. Damit erhalten wir das gleiche Verhältnis wie bei der Tangentendefinition.

Der Kotangens ist jeweils das Verhältnis der an die Ecke angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite. Dasselbe Ergebnis erhalten wir, wenn wir die Einheit durch den Tangens dividieren.

Wir haben also die Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens betrachtet und können uns mit Formeln befassen.

Die einfachsten Formeln

In der Trigonometrie kann man nicht auf Formeln verzichten - wie findet man Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens ohne sie? Und genau das ist beim Lösen von Problemen gefragt.

Die erste Formel, die Sie kennen müssen, wenn Sie mit dem Studium der Trigonometrie beginnen, besagt, dass die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines Winkels gleich eins ist. Diese Formel ist eine direkte Folge des Satzes des Pythagoras, aber sie spart Zeit, wenn Sie den Wert des Winkels wissen wollen, nicht die Seite.

Viele Schüler können sich nicht an die zweite Formel erinnern, die auch beim Lösen von Schulaufgaben sehr beliebt ist: Die Summe aus Eins und dem Quadrat des Tangens eines Winkels ist gleich Eins geteilt durch das Quadrat des Kosinus des Winkels. Schauen Sie genauer hin: Das ist immerhin die gleiche Aussage wie in der ersten Formel, nur wurden beide Seiten der Identität durch das Quadrat des Kosinus dividiert. Es stellt sich heraus, dass eine einfache mathematische Operation die trigonometrische Formel völlig unkenntlich macht. Denken Sie daran: Wenn Sie wissen, was Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sind, die Umrechnungsregeln und ein paar Grundformeln kennen, können Sie die benötigten komplexeren Formeln jederzeit selbstständig auf einem Blatt Papier herleiten.

Doppelwinkelformeln und Addition von Argumenten

Zwei weitere Formeln, die Sie lernen müssen, beziehen sich auf die Werte von Sinus und Kosinus für die Summe und Differenz der Winkel. Sie sind in der Abbildung unten dargestellt. Beachten Sie, dass im ersten Fall Sinus und Cosinus beide Male multipliziert werden und im zweiten Fall das paarweise Produkt aus Sinus und Cosinus addiert wird.

Es gibt auch Formeln, die mit Doppelwinkelargumenten verbunden sind. Sie sind vollständig von den vorherigen abgeleitet - als Übung versuchen Sie, sie selbst zu bekommen, indem Sie den Alpha-Winkel gleich dem Beta-Winkel nehmen.

Beachten Sie schließlich, dass die Doppelwinkelformeln konvertiert werden können, um den Grad von Sinus, Cosinus und Tangens Alpha zu verringern.

Sätze

Die beiden Hauptsätze in der grundlegenden Trigonometrie sind der Sinussatz und der Kosinussatz. Mit Hilfe dieser Sätze können Sie leicht verstehen, wie Sie Sinus, Cosinus und Tangens und damit die Fläche der Figur und die Größe jeder Seite usw. ermitteln.

Der Sinussatz besagt, dass wir als Ergebnis der Division der Länge jeder Seite des Dreiecks durch den Wert des gegenüberliegenden Winkels dieselbe Zahl erhalten. Außerdem ist diese Zahl gleich zwei Radien des umschriebenen Kreises, dh des Kreises, der alle Punkte des gegebenen Dreiecks enthält.

Der Kosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras und projiziert ihn auf beliebige Dreiecke. Es stellt sich heraus, dass von der Summe der Quadrate der beiden Seiten ihr Produkt subtrahiert wird, multipliziert mit dem doppelten Kosinus des angrenzenden Winkels - der resultierende Wert ist gleich dem Quadrat der dritten Seite. Damit erweist sich der Satz des Pythagoras als Spezialfall des Kosinussatzes.

Fehler durch Unachtsamkeit

Selbst wenn man weiß, was Sinus, Cosinus und Tangens sind, kann man leicht einen Fehler aufgrund von Zerstreutheit oder einen Fehler in den einfachsten Berechnungen machen. Um solche Fehler zu vermeiden, machen wir uns mit den beliebtesten von ihnen vertraut.

Erstens sollten Sie gewöhnliche Brüche nicht in Dezimalzahlen umwandeln, bis Sie das Endergebnis erhalten haben - Sie können die Antwort als gewöhnlichen Bruch belassen, es sei denn, die Bedingung besagt etwas anderes. Eine solche Transformation kann nicht als Fehler bezeichnet werden, aber es sollte daran erinnert werden, dass in jeder Phase der Aufgabe neue Wurzeln auftreten können, die nach der Idee des Autors reduziert werden sollten. In diesem Fall verschwenden Sie Zeit mit unnötigen mathematischen Operationen. Das gilt besonders für Werte wie die Wurzel aus drei oder zwei, weil sie bei Aufgaben bei jedem Schritt vorkommen. Gleiches gilt für das Runden von "hässlichen" Zahlen.

Beachten Sie außerdem, dass der Kosinussatz für jedes Dreieck gilt, nicht jedoch der Satz des Pythagoras! Wenn Sie versehentlich vergessen, das Produkt der Seiten multipliziert mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen zweimal zu subtrahieren, erhalten Sie nicht nur ein völlig falsches Ergebnis, sondern demonstrieren auch ein völliges Missverständnis des Themas. Das ist schlimmer als ein Flüchtigkeitsfehler.

Drittens verwechseln Sie die Werte für Winkel von 30 und 60 Grad nicht mit Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens. Merken Sie sich diese Werte, denn der Sinus von 30 Grad ist gleich dem Kosinus von 60 und umgekehrt. Sie können leicht verwechselt werden, wodurch Sie zwangsläufig ein falsches Ergebnis erhalten.

Anwendung

Viele Studenten haben es nicht eilig, mit dem Studium der Trigonometrie zu beginnen, weil sie ihre angewandte Bedeutung nicht verstehen. Was ist Sinus, Cosinus, Tangens für einen Ingenieur oder Astronomen? Dies sind Konzepte, mit denen Sie die Entfernung zu fernen Sternen berechnen, den Fall eines Meteoriten vorhersagen und eine Forschungssonde zu einem anderen Planeten schicken können. Ohne sie ist es unmöglich, ein Gebäude zu bauen, ein Auto zu entwerfen, die Belastung der Oberfläche oder die Flugbahn eines Objekts zu berechnen. Und das sind nur die offensichtlichsten Beispiele! Schließlich wird Trigonometrie in der einen oder anderen Form überall verwendet, von der Musik bis zur Medizin.

Abschließend

Sie sind also Sinus, Cosinus, Tangens. Sie können sie in Berechnungen verwenden und Schulprobleme erfolgreich lösen.

Die ganze Essenz der Trigonometrie läuft darauf hinaus, dass unbekannte Parameter aus den bekannten Parametern des Dreiecks berechnet werden müssen. Es gibt insgesamt sechs Parameter: die Längen von drei Seiten und die Größen von drei Winkeln. Der ganze Unterschied bei den Aufgaben liegt darin, dass unterschiedliche Eingabedaten gegeben werden.

Wie man Sinus, Cosinus, Tangens anhand der bekannten Beinlängen oder der Hypotenuse findet, weißt du jetzt. Da diese Begriffe nichts anderes als ein Verhältnis bedeuten und ein Verhältnis ein Bruch ist, besteht das Hauptziel des trigonometrischen Problems darin, die Wurzeln einer gewöhnlichen Gleichung oder eines Gleichungssystems zu finden. Und hier hilft Ihnen die gewöhnliche Schulmathematik.

Wir beginnen unser Studium der Trigonometrie mit einem rechtwinkligen Dreieck. Lassen Sie uns definieren, was der Sinus und der Kosinus sowie der Tangens und der Kotangens eines spitzen Winkels sind. Dies sind die Grundlagen der Trigonometrie.

Erinnere dich daran rechter Winkel ist ein Winkel gleich 90 Grad. Mit anderen Worten, die Hälfte der aufgeklappten Ecke.

Scharfe Ecke- weniger als 90 Grad.

Stumpfer Winkel- größer als 90 Grad. In Bezug auf einen solchen Winkel ist "stumpf" keine Beleidigung, sondern ein mathematischer Begriff :-)

Zeichnen wir ein rechtwinkliges Dreieck. Ein rechter Winkel wird normalerweise bezeichnet. Beachten Sie, dass die der Ecke gegenüberliegende Seite mit demselben Buchstaben gekennzeichnet ist, nur klein. So wird die dem Winkel A gegenüberliegende Seite bezeichnet.

Ein Winkel wird durch den entsprechenden griechischen Buchstaben gekennzeichnet.

Hypotenuse Ein rechtwinkliges Dreieck ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.

Beine- Seiten gegenüber scharfen Ecken.

Das der Ecke gegenüberliegende Bein wird aufgerufen Gegenteil(relativ zum Winkel). Das andere Bein, das auf einer Seite der Ecke liegt, wird aufgerufen benachbart.

Sinus Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse:

Kosinus spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck - das Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse:

Tangente spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck - das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten:

Eine andere (äquivalente) Definition: Der Tangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des Sinus eines Winkels zu seinem Kosinus:

Kotangens spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck - das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden (oder äquivalent das Verhältnis von Kosinus zu Sinus):

Beachten Sie die Grundverhältnisse für Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens, die unten angegeben sind. Sie werden uns bei der Lösung von Problemen nützlich sein.

Lassen Sie uns einige davon beweisen.

Okay, wir haben Definitionen gegeben und Formeln geschrieben. Aber wozu brauchen wir Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens?

Wir wissen das die Summe der Winkel eines beliebigen Dreiecks ist.

Wir kennen den Zusammenhang zwischen Parteien rechtwinkliges Dreieck. Das ist der Satz des Pythagoras: .

Es stellt sich heraus, dass man den dritten finden kann, wenn man zwei Winkel in einem Dreieck kennt. Wenn Sie zwei Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck kennen, können Sie die dritte finden. Also für Winkel - ihr Verhältnis, für Seiten - ihre eigenen. Aber was tun, wenn in einem rechtwinkligen Dreieck ein Winkel (außer einem rechten) und eine Seite bekannt sind, Sie aber andere Seiten finden müssen?

Damit waren die Menschen in der Vergangenheit konfrontiert, als sie Karten der Gegend und des Sternenhimmels anfertigten. Schließlich ist es nicht immer möglich, alle Seiten eines Dreiecks direkt zu messen.

Sinus, Cosinus und Tangens - sie werden auch genannt trigonometrische Funktionen des Winkels- Geben Sie das Verhältnis zwischen an Parteien und Ecken Dreieck. Wenn Sie den Winkel kennen, können Sie alle trigonometrischen Funktionen mithilfe spezieller Tabellen finden. Und wenn Sie die Sinus, Cosinus und Tangenten der Winkel eines Dreiecks und einer seiner Seiten kennen, können Sie den Rest finden.

Wir werden auch eine Tabelle mit Sinus-, Kosinus-, Tangens- und Kotangenswerten für "gute" Winkel von bis zeichnen.

Beachten Sie die beiden roten Striche in der Tabelle. Für die entsprechenden Werte der Winkel existieren Tangens und Kotangens nicht.

Analysieren wir mehrere Probleme in der Trigonometrie aus den Aufgaben der Bank of FIPI.

1. In einem Dreieck ist der Winkel , . Finden .

Das Problem ist in vier Sekunden gelöst.

Weil die , .

2. In einem Dreieck ist der Winkel , , . Finden .

Lassen Sie uns nach dem Satz des Pythagoras finden.

Problem gelöst.

Bei Problemen gibt es oft Dreiecke mit Winkeln und oder mit Winkeln und . Merken Sie sich die Grundverhältnisse für sie auswendig!

Bei einem Dreieck mit Winkeln ist das dem Winkel gegenüberliegende Bein gleich Hälfte der Hypotenuse.

Ein Dreieck mit Ecken und ist gleichschenklig. Darin ist die Hypotenuse mal größer als das Bein.

Wir betrachteten Probleme zum Lösen rechtwinkliger Dreiecke – also zum Auffinden unbekannter Seiten oder Winkel. Aber das ist nicht alles! In den Varianten der Klausur in Mathematik gibt es viele Aufgaben, bei denen der Sinus, Cosinus, Tangens oder Kotangens des Außenwinkels des Dreiecks vorkommt. Mehr dazu im nächsten Artikel.

Ich werde Sie nicht davon überzeugen, keine Spickzettel zu schreiben. Schreiben! Einschließlich Spickzettel zur Trigonometrie. Später werde ich erklären, warum Spickzettel benötigt werden und wie Spickzettel nützlich sind. Und hier - Informationen darüber, wie man nicht lernt, sondern sich an einige trigonometrische Formeln erinnert. Also - Trigonometrie ohne Spickzettel!Wir verwenden Assoziationen zum Auswendiglernen.

1. Additionsformeln:

Cosinus "geht immer paarweise": Cosinus-Cosinus, Sinus-Sinus. Und noch etwas: Kosinusse sind „unzureichend“. Sie „alles ist falsch“, also ändern sie die Vorzeichen: „-“ zu „+“ und umgekehrt.

Nebenhöhlen - "mischen": Sinus-Kosinus, Kosinus-Sinus.

2. Summen- und Differenzformeln:

Kosinusse "gehen immer paarweise". Nachdem wir zwei Kosinusse hinzugefügt haben - "Brötchen", erhalten wir ein Paar Kosinusse - "Koloboks". Und wenn wir davon abziehen, werden wir definitiv keine Koloboks bekommen. Wir bekommen ein paar Sinus. Immer noch mit einem Minus voraus.

Nebenhöhlen - "mischen" :

3. Formeln zur Umrechnung eines Produkts in eine Summe und eine Differenz.

Wann bekommen wir ein Kosinuspaar? Beim Addieren der Kosinus. Deshalb

Wann bekommen wir ein Paar Sinus? Beim Subtrahieren von Kosinus. Von hier:

"Mischen" wird sowohl durch Addieren als auch Subtrahieren von Sinus erhalten. Was macht mehr Spaß: Addieren oder Subtrahieren? Richtig, folden. Und für die Formel nimm zusätzlich:

In der ersten und dritten Formel in Klammern - der Betrag. Durch die Umordnung der Stellen der Terme ändert sich die Summe nicht. Die Reihenfolge ist nur für die zweite Formel wichtig. Aber um nicht verwirrt zu werden, nehmen wir zur besseren Erinnerung in allen drei Formeln in den ersten Klammern die Differenz

und zweitens die Summe

Krippenblätter in der Tasche geben Sicherheit: Wenn Sie die Formel vergessen, können Sie sie abschreiben. Und sie geben Vertrauen: Wenn Sie den Spickzettel nicht verwenden, können Sie sich die Formeln leicht merken.