Wissen grundlegende Elementarfunktionen, ihre Eigenschaften und Graphen nicht weniger wichtig als die Kenntnis des Einmaleins. Sie sind wie ein Fundament, alles basiert auf ihnen, alles ist darauf aufgebaut, und alles hängt von ihnen ab.

In diesem Artikel listen wir alle wichtigen Elementarfunktionen auf, geben ihre Graphen an und geben sie ohne Herleitung und Beweise an. Eigenschaften elementarer Grundfunktionen nach Schema:

• Verhalten der Funktion an den Grenzen des Definitionsbereichs, vertikale Asymptoten (siehe ggf. Artikel Klassifikation von Haltepunkten einer Funktion);
• geraden und ungeraden;
• Konvexität (Konvexität nach oben) und Konkavität (Konvexität nach unten) Intervalle, Wendepunkte (siehe ggf. Artikel Funktion Konvexität, Konvexitätsrichtung, Wendepunkte, Konvexität und Wendebedingungen);
• schräge und horizontale Asymptoten;
• singuläre Punkte von Funktionen;
• besondere Eigenschaften einiger Funktionen (z. B. die kleinste positive Periode für trigonometrische Funktionen).

Wenn Sie an oder interessiert sind, können Sie zu diesen Abschnitten der Theorie gehen.

Grundlegende elementare Funktionen sind: konstante Funktion (constant), Wurzel n-ten Grades, Potenzfunktion, Exponentialfunktion, logarithmische Funktion, trigonometrische und inverse trigonometrische Funktionen.

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Dauerhafte Funktion.

Eine konstante Funktion ist auf der Menge aller reellen Zahlen durch die Formel gegeben, wobei C eine reelle Zahl ist. Die konstante Funktion weist jedem reellen Wert der unabhängigen Variablen x denselben Wert der abhängigen Variablen y zu - den Wert С. Eine konstante Funktion wird auch als Konstante bezeichnet.

Der Graph einer konstanten Funktion ist eine gerade Linie, die parallel zur x-Achse verläuft und durch einen Punkt mit den Koordinaten (0,C) verläuft. Lassen Sie uns zum Beispiel Graphen der konstanten Funktionen y=5 , y=-2 und zeigen, die in der Abbildung unten den schwarzen, roten bzw. blauen Linien entsprechen.

Eigenschaften einer konstanten Funktion.

• Definitionsbereich: die Gesamtheit der reellen Zahlen.
• Die konstante Funktion ist gerade.
• Wertebereich: Satz bestehend aus einer einzelnen Zahl C .
• Eine konstante Funktion ist nicht steigend und nicht fallend (deshalb ist sie konstant).
• Es macht keinen Sinn, über die Konvexität und Konkavität der Konstanten zu sprechen.
• Es gibt keine Asymptote.
• Die Funktion geht durch den Punkt (0,C) der Koordinatenebene.

Die Wurzel des n-ten Grades.

Betrachten Sie die elementare Grundfunktion, die durch die Formel gegeben ist, wobei n eine natürliche Zahl größer als eins ist.

Die Wurzel des n-ten Grades, n ist eine gerade Zahl.

Beginnen wir mit der n-ten Wurzelfunktion für gerade Werte des Wurzelexponenten n .

Zum Beispiel geben wir ein Bild mit Bildern von Funktionsgraphen und entsprechen schwarzen, roten und blauen Linien.

Die Diagramme der Funktionen der Wurzel eines geraden Grades haben eine ähnliche Form für andere Werte des Indikators.

Eigenschaften der Wurzel n-ten Grades für gerade n .

Die Wurzel des n-ten Grades, n ist eine ungerade Zahl.

Die Wurzelfunktion n-ten Grades mit ungeradem Exponenten der Wurzel n ist auf der gesamten Menge der reellen Zahlen definiert. Zum Beispiel präsentieren wir Funktionsgraphen und entsprechen ihnen die schwarzen, roten und blauen Kurven.

Für andere ungerade Werte des Wurzelexponenten sehen die Graphen der Funktion ähnlich aus.

Eigenschaften der Wurzel n-ten Grades für ungerade n .

Power-Funktion.

Die Potenzfunktion wird durch eine Formel der Form gegeben.

Betrachten Sie die Art der Graphen einer Potenzfunktion und die Eigenschaften einer Potenzfunktion in Abhängigkeit vom Wert des Exponenten.

Beginnen wir mit einer Potenzfunktion mit einem ganzzahligen Exponenten a . In diesem Fall hängen die Form von Graphen von Potenzfunktionen und die Eigenschaften von Funktionen vom geraden oder ungeraden Exponenten sowie von seinem Vorzeichen ab. Daher betrachten wir zunächst Potenzfunktionen für ungerade positive Werte des Exponenten a , dann für gerade positive, dann für ungerade negative Exponenten und schließlich für gerade negative a .

Die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit gebrochenen und irrationalen Exponenten (sowie die Art der Graphen solcher Potenzfunktionen) hängen vom Wert des Exponenten a ab. Wir betrachten sie erstens, wenn a von null bis eins reicht, zweitens, wenn a größer als eins ist, drittens, wenn a von minus eins bis null reicht, und viertens, wenn a kleiner als minus eins ist.

Zum Abschluss dieses Unterabschnitts beschreiben wir der Vollständigkeit halber eine Potenzfunktion mit Exponent Null.

Potenzfunktion mit ungeradem positivem Exponenten.

Betrachten Sie eine Potenzfunktion mit ungeradem positivem Exponenten, also mit a=1,3,5,… .

Die folgende Abbildung zeigt Diagramme von Potenzfunktionen - schwarze Linie, - blaue Linie, - rote Linie, - grüne Linie. Für a=1 haben wir lineare Funktion y=x .

Eigenschaften einer Potenzfunktion mit ungeradem positivem Exponenten.

Potenzfunktion mit geradem positiven Exponenten.

Betrachten Sie eine Potenzfunktion mit geradem positiven Exponenten, also für a=2,4,6,… .

Nehmen wir als Beispiel Graphen von Potenzfunktionen - schwarze Linie, - blaue Linie, - rote Linie. Für a=2 haben wir eine quadratische Funktion, deren Graph ist quadratische Parabel.

Eigenschaften einer Potenzfunktion mit geradem positivem Exponenten.

Potenzfunktion mit ungeradem negativem Exponenten.

Betrachten Sie die Diagramme der Exponentialfunktion für ungerade negative Werte des Exponenten, dh für a \u003d -1, -3, -5, ....

Die Abbildung zeigt beispielhaft Graphen von Exponentialfunktionen - schwarze Linie, - blaue Linie, - rote Linie, - grüne Linie. Für a=-1 haben wir umgekehrte Proportionalität, dessen Graph ist Hyperbel.

Eigenschaften einer Potenzfunktion mit ungeradem negativem Exponenten.

Potenzfunktion mit geradem negativen Exponenten.

Kommen wir zur Potenzfunktion bei a=-2,-4,-6,….

Die Abbildung zeigt Graphen der Potenzfunktionen - schwarze Linie, - blaue Linie, - rote Linie.

Eigenschaften einer Potenzfunktion mit geradem negativen Exponenten.

Eine Potenzfunktion mit einem rationalen oder irrationalen Exponenten, dessen Wert größer als null und kleiner als eins ist.

Beachten Sie! Wenn a ein positiver Bruch mit ungeradem Nenner ist, dann betrachten einige Autoren das Intervall als den Bereich der Potenzfunktion. Gleichzeitig wird festgelegt, dass der Exponent a ein irreduzibler Bruch ist. Jetzt DEFINIEREN die Autoren vieler Lehrbücher über Algebra und die Anfänge der Analyse keine Potenzfunktionen mit einem Exponenten in Form eines Bruchs mit einem ungeraden Nenner für negative Werte des Arguments. Wir werden an genau einer solchen Ansicht festhalten, das heißt, wir werden die Bereiche von Potenzfunktionen mit gebrochenen positiven Exponenten als die Menge betrachten. Wir ermutigen die Schüler, die Perspektive Ihres Lehrers zu diesem subtilen Punkt einzuholen, um Meinungsverschiedenheiten zu vermeiden.

Betrachten Sie eine Potenzfunktion mit rationalem oder irrationalem Exponenten a , und .

Wir präsentieren Graphen von Potenzfunktionen für a=11/12 (schwarze Linie), a=5/7 (rote Linie), (blaue Linie), a=2/5 (grüne Linie).

Eine Potenzfunktion mit einem nicht ganzzahligen rationalen oder irrationalen Exponenten größer als eins.

Betrachten Sie eine Potenzfunktion mit einem nicht ganzzahligen rationalen oder irrationalen Exponenten a , und .

Lassen Sie uns die Graphen der Potenzfunktionen präsentieren, die durch die Formeln gegeben sind (jeweils schwarze, rote, blaue und grüne Linien).

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Für andere Werte des Exponenten a sehen die Graphen der Funktion ähnlich aus.

Potenzfunktionseigenschaften für .

Eine Potenzfunktion mit einem reellen Exponenten, der größer als minus eins und kleiner als null ist.

Beachten Sie! Wenn a ein negativer Bruch mit ungeradem Nenner ist, betrachten einige Autoren das Intervall . Gleichzeitig wird festgelegt, dass der Exponent a ein irreduzibler Bruch ist. Jetzt DEFINIEREN die Autoren vieler Lehrbücher über Algebra und die Anfänge der Analyse keine Potenzfunktionen mit einem Exponenten in Form eines Bruchs mit einem ungeraden Nenner für negative Werte des Arguments. Wir werden an genau einer solchen Ansicht festhalten, das heißt, wir werden die Bereiche von Potenzfunktionen mit gebrochenen gebrochenen negativen Exponenten jeweils als die Menge betrachten. Wir ermutigen die Schüler, die Perspektive Ihres Lehrers zu diesem subtilen Punkt einzuholen, um Meinungsverschiedenheiten zu vermeiden.

Wir gehen zur Potenzfunktion über, wo .

Um eine gute Vorstellung von der Art der Potenzfunktionsgraphen für zu bekommen, geben wir Beispiele für Funktionsgraphen (jeweils schwarze, rote, blaue und grüne Kurven).

Eigenschaften einer Potenzfunktion mit Exponent a , .

Eine Potenzfunktion mit einem nicht ganzzahligen reellen Exponenten, der kleiner als minus eins ist.

Lassen Sie uns Beispiele für Graphen von Potenzfunktionen für geben , sie sind in schwarzen, roten, blauen bzw. grünen Linien dargestellt.

Eigenschaften einer Potenzfunktion mit einem nicht ganzzahligen negativen Exponenten kleiner als minus eins.

Wenn a = 0 und wir haben eine Funktion - dies ist eine gerade Linie, von der der Punkt (0; 1) ausgeschlossen ist (dem Ausdruck 0 0 wurde zugestimmt, keine Bedeutung beizumessen).

Exponentialfunktion.

Eine der elementaren Grundfunktionen ist die Exponentialfunktion.

Graph der Exponentialfunktion, wobei und je nach Wert der Basis a eine andere Form annimmt. Finden wir es heraus.

Betrachten Sie zunächst den Fall, dass die Basis der Exponentialfunktion einen Wert von Null bis Eins annimmt, also .

Zum Beispiel präsentieren wir die Graphen der Exponentialfunktion für a = 1/2 - die blaue Linie, a = 5/6 - die rote Linie. Die Graphen der Exponentialfunktion haben ein ähnliches Aussehen für andere Werte der Basis aus dem Intervall .

Eigenschaften einer Exponentialfunktion mit einer Basis kleiner als eins.

Wir wenden uns dem Fall zu, wenn die Basis der Exponentialfunktion größer als eins ist, also .

Zur Veranschaulichung präsentieren wir Graphen von Exponentialfunktionen - die blaue Linie und - die rote Linie. Für andere Werte der Basis, größer als eins, haben die Graphen der Exponentialfunktion ein ähnliches Aussehen.

Eigenschaften einer Exponentialfunktion mit einer Basis größer als eins.

Logarithmische Funktion.

Die nächste elementare Grundfunktion ist die logarithmische Funktion, wobei , . Die logarithmische Funktion ist nur für positive Werte des Arguments definiert, also für .

Der Graph der logarithmischen Funktion nimmt je nach Wert der Basis a eine andere Form an.

Die Koordinate von absolut jedem Punkt in der Ebene wird durch ihre zwei Werte bestimmt: entlang der Abszissenachse und der Ordinatenachse. Die Gesamtheit der Menge solcher Punkte ist der Graph der Funktion. Demnach können Sie sehen, wie sich der Wert von Y in Abhängigkeit von der Änderung des Werts von X ändert. Sie können auch bestimmen, in welchem ​​Abschnitt (Intervall) die Funktion ansteigt und in welchem ​​sie abfällt.

Anweisung

• Was kann man über eine Funktion sagen, wenn ihr Graph eine Gerade ist? Sehen Sie, ob diese Linie durch den Ursprung der Koordinaten verläuft (d. h. denjenigen, bei dem die X- und Y-Werte 0 sind). Wenn sie besteht, dann wird eine solche Funktion durch die Gleichung y = kx beschrieben. Es ist leicht zu verstehen, dass diese Linie umso näher an der y-Achse liegt, je größer der Wert von k ist. Und die Y-Achse selbst entspricht tatsächlich einem unendlich großen Wert von k.
• Sehen Sie sich die Richtung der Funktion an. Geht es „links unten – rechts oben“, also durch das 3. und 1. Koordinatenviertel, nimmt es zu, wenn es „links oben – rechts unten“ (durch das 2. und 4. Viertel) geht, dann nimmt es ab.
• Wenn die Gerade nicht durch den Ursprung geht, wird sie durch die Gleichung y = kx + b beschrieben. Die Linie schneidet die y-Achse an dem Punkt, an dem y = b, und der Wert von y kann entweder positiv oder negativ sein.
• Eine Funktion heißt Parabel, wenn sie durch die Gleichung y = x^n beschrieben wird und ihre Form vom Wert von n abhängt. Wenn n eine beliebige gerade Zahl ist (der einfachste Fall ist eine quadratische Funktion y = x^2), ist der Graph der Funktion eine Kurve, die durch den Ursprungspunkt sowie durch Punkte mit den Koordinaten (1; 1), (- 1; 1), denn eine Einheit für jede Macht bleibt eine Einheit. Alle y-Werte, die X-Werten ungleich Null entsprechen, können nur positiv sein. Die Funktion ist symmetrisch zur Y-Achse und ihr Graph befindet sich im 1. und 2. Koordinatenviertel. Es ist leicht zu verstehen, dass der Graph umso näher an der Y-Achse liegt, je größer der Wert von n ist.
• Wenn n eine ungerade Zahl ist, ist der Graph dieser Funktion eine kubische Parabel. Die Kurve liegt im 1. und 3. Koordinatenviertel, ist symmetrisch zur Y-Achse und verläuft durch den Ursprung sowie durch die Punkte (-1;-1), (1;1). Wenn die quadratische Funktion die Gleichung y = ax^2 + bx + c ist, ist die Form der Parabel dieselbe wie im einfachsten Fall (y = x^2), aber ihr Scheitelpunkt ist nicht der Ursprung.
• Eine Funktion heißt Hyperbel, wenn sie durch die Gleichung y = k/x beschrieben wird. Es ist leicht zu sehen, dass, wenn der Wert von x gegen 0 tendiert, der Wert von y auf unendlich zunimmt. Der Funktionsgraph ist eine Kurve, die aus zwei Ästen besteht und sich in verschiedenen Koordinatenvierteln befindet.

Dieses methodische Material dient nur als Referenz und deckt ein breites Themenspektrum ab. Der Artikel gibt einen Überblick über die Graphen der wichtigsten elementaren Funktionen und betrachtet das wichtigste Thema - wie man richtig und SCHNELL ein Diagramm erstellt. Im Laufe des Studiums der höheren Mathematik, ohne die Graphen der grundlegenden Elementarfunktionen zu kennen, wird es schwierig, daher ist es sehr wichtig, sich daran zu erinnern, wie die Graphen einer Parabel, Hyperbel, Sinus, Cosinus usw. aussehen, um sich an einige zu erinnern Funktionswerte. Wir werden auch über einige Eigenschaften der Hauptfunktionen sprechen.

Ich erhebe keinen Anspruch auf Vollständigkeit und wissenschaftliche Gründlichkeit der Materialien, der Schwerpunkt wird in erster Linie auf die Praxis gelegt - die Dinge, mit denen man muss sich buchstäblich auf Schritt und Tritt stellen, in jedem Thema der höheren Mathematik. Charts für Dummies? Das können Sie sagen.

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Und wir fangen gleich an:

Wie baut man Koordinatenachsen richtig?

In der Praxis werden Tests fast immer von Studenten in separaten Notizbüchern erstellt, die in einem Käfig ausgekleidet sind. Warum brauchen Sie karierte Markierungen? Schließlich kann die Arbeit im Prinzip auf A4-Blättern erledigt werden. Und der Käfig ist nur für die hochwertige und genaue Gestaltung der Zeichnungen erforderlich.

Jede Zeichnung eines Funktionsgraphen beginnt mit Koordinatenachsen.

Zeichnungen sind zweidimensional und dreidimensional.

Betrachten wir zunächst den zweidimensionalen Fall Kartesisches Koordinatensystem:

1) Wir zeichnen Koordinatenachsen. Die Achse wird aufgerufen x-Achse , und die Achse y-Achse . Wir versuchen immer, sie zu zeichnen sauber und nicht schief. Die Pfeile sollten auch nicht dem Bart von Papa Carlo ähneln.

2) Wir signieren die Achsen mit Großbuchstaben "x" und "y". Vergessen Sie nicht, die Äxte zu unterschreiben.

3) Stellen Sie die Skalierung entlang der Achsen ein: Ziehe null und zwei Einsen. Beim Zeichnen ist der bequemste und gebräuchlichste Maßstab: 1 Einheit = 2 Zellen (Zeichnung links) - halten Sie sich möglichst daran. Ab und zu kommt es aber vor, dass die Zeichnung nicht auf ein Notizbuchblatt passt – dann verkleinern wir den Maßstab: 1 Einheit = 1 Zelle (rechte Zeichnung). Selten, aber es kommt vor, dass der Maßstab der Zeichnung noch weiter verkleinert (oder vergrößert) werden muss

Kritzeln Sie NICHT mit einem Maschinengewehr ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Denn die Koordinatenebene ist kein Denkmal für Descartes, und der Schüler ist keine Taube. Wir stellen Null und zwei Einheiten entlang der Achsen. Manchmal anstatt Einheiten ist es praktisch, andere Werte zu „erfassen“, zum Beispiel „zwei“ auf der Abszissenachse und „drei“ auf der Ordinatenachse – und dieses System (0, 2 und 3) wird auch das Koordinatengitter eindeutig festlegen.

Es ist besser, die geschätzten Abmessungen der Zeichnung abzuschätzen, BEVOR die Zeichnung gezeichnet wird.. Wenn die Aufgabe beispielsweise das Zeichnen eines Dreiecks mit Eckpunkten , , erfordert, dann ist es ziemlich klar, dass der beliebte Maßstab 1 Einheit = 2 Zellen nicht funktioniert. Wieso den? Schauen wir uns den Punkt an - hier müssen Sie fünfzehn Zentimeter nach unten messen, und die Zeichnung passt offensichtlich nicht (oder kaum) auf ein Notizbuchblatt. Daher wählen wir sofort einen kleineren Maßstab 1 Einheit = 1 Zelle.

By the way, etwa Zentimeter und Notebook-Zellen. Stimmt es, dass in 30 Notebook-Zellen 15 Zentimeter Platz finden? Messen Sie in einem Notizbuch für Zinsen 15 Zentimeter mit einem Lineal. In der UdSSR war das vielleicht wahr ... Es ist interessant festzustellen, dass die Ergebnisse (in Zellen) unterschiedlich sind, wenn Sie dieselben Zentimeter horizontal und vertikal messen! Genau genommen sind moderne Notizbücher nicht kariert, sondern rechteckig. Es mag wie Unsinn erscheinen, aber in solchen Situationen zum Beispiel einen Kreis mit einem Kompass zu zeichnen, ist sehr unpraktisch. Um ehrlich zu sein, fängt man in solchen Momenten an, über die Richtigkeit von Genosse Stalin nachzudenken, der wegen Hackerarbeiten in der Produktion in Lager geschickt wurde, ganz zu schweigen von der heimischen Automobilindustrie, fallenden Flugzeugen oder explodierenden Kraftwerken.

Apropos Qualität, oder eine kurze Empfehlung zum Thema Papeterie. Bis heute sind die meisten der zum Verkauf stehenden Notebooks, ohne schlechte Worte zu sagen, kompletter Kobold. Aus dem Grund, dass sie nass werden, und zwar nicht nur von Gelstiften, sondern auch von Kugelschreibern! Papier sparen. Für die Gestaltung von Tests empfehle ich die Verwendung der Notizbücher der Archangelsk Pulp and Paper Mill (18 Blatt, Zelle) oder Pyaterochka, obwohl dies teurer ist. Es ist ratsam, einen Gelschreiber zu wählen, selbst die billigste chinesische Gelmine ist viel besser als ein Kugelschreiber, der entweder Papier verschmiert oder zerreißt. Der einzige "konkurrenzfähige" Kugelschreiber in meiner Erinnerung ist der Erich Krause. Sie schreibt klar, schön und stabil – entweder mit vollem Vorbau oder mit fast leerem Vorbau.

Zusätzlich: Die Vision eines rechtwinkligen Koordinatensystems durch die Augen der analytischen Geometrie wird in diesem Artikel behandelt Lineare (Nicht-) Abhängigkeit von Vektoren. Vektorbasis, detaillierte Informationen zu Koordinatenvierteln finden Sie im zweiten Absatz der Lektion Lineare Ungleichungen.

3D-Fall

Hier ist es fast genauso.

1) Wir zeichnen Koordinatenachsen. Standard: Achse anwenden – nach oben gerichtet, Achse – nach rechts gerichtet, Achse – nach unten nach links streng in einem Winkel von 45 Grad.

2) Wir signieren die Achsen.

3) Stellen Sie die Skala entlang der Achsen ein. Maßstab entlang der Achse - zweimal kleiner als der Maßstab entlang der anderen Achsen. Beachten Sie auch, dass ich in der rechten Zeichnung eine nicht standardmäßige "Serife" entlang der Achse verwendet habe (diese Möglichkeit wurde oben bereits erwähnt). Aus meiner Sicht ist es genauer, schneller und ästhetischer – man muss nicht unter dem Mikroskop die Mitte der Zelle suchen und die Einheit bis zum Ursprung „modellieren“.

Wenn Sie erneut eine 3D-Zeichnung erstellen, geben Sie der Skalierung Priorität
1 Einheit = 2 Zellen (Zeichnung links).

Wozu all diese Regeln? Regeln sind dazu da, gebrochen zu werden. Was soll ich jetzt machen. Tatsache ist, dass die nachfolgenden Zeichnungen des Artikels von mir in Excel erstellt werden und die Koordinatenachsen in Bezug auf die ordnungsgemäße Gestaltung falsch aussehen. Ich könnte alle Diagramme von Hand zeichnen, aber es ist wirklich beängstigend, sie zu zeichnen, da Excel zögert, sie viel genauer zu zeichnen.

Graphen und grundlegende Eigenschaften elementarer Funktionen

Die lineare Funktion ist durch die Gleichung gegeben. Linearer Funktionsgraph ist Direkte. Um eine Gerade zu konstruieren, genügt es, zwei Punkte zu kennen.

Beispiel 1

Zeichnen Sie die Funktion. Finden wir zwei Punkte. Es ist vorteilhaft, als einen der Punkte Null zu wählen.

Wenn, dann

Wir nehmen einen anderen Punkt, zum Beispiel 1.

Wenn, dann

Bei der Vorbereitung von Aufgaben werden die Koordinaten von Punkten normalerweise in einer Tabelle zusammengefasst:

Und die Werte selbst werden mündlich oder auf einem Entwurfsrechner berechnet.

Zwei Punkte werden gefunden, lasst uns zeichnen:

Bei der Erstellung einer Zeichnung unterzeichnen wir die Grafiken immer.

Es wird nicht überflüssig sein, sich an Spezialfälle einer linearen Funktion zu erinnern:

Beachten Sie, wie ich die Bildunterschriften platziert habe, Unterschriften sollten beim Studium der Zeichnung nicht mehrdeutig sein. In diesem Fall war es höchst unerwünscht, neben dem Schnittpunkt der Linien oder unten rechts zwischen den Graphen eine Signatur anzubringen.

1) Eine lineare Funktion der Form () heißt direkte Proportionalität. Zum Beispiel, . Der direkte Proportionalitätsgraph geht immer durch den Ursprung. Dadurch wird die Konstruktion einer Geraden vereinfacht - es reicht aus, nur einen Punkt zu finden.

2) Eine Gleichung der Form definiert eine gerade Linie parallel zur Achse, insbesondere ist die Achse selbst durch die Gleichung gegeben. Der Graph der Funktion wird sofort aufgebaut, ohne irgendwelche Punkte zu finden. Das heißt, der Eintrag sollte wie folgt verstanden werden: "y ist immer gleich -4, für jeden Wert von x."

3) Eine Gleichung der Form definiert eine gerade Linie parallel zur Achse, insbesondere ist die Achse selbst durch die Gleichung gegeben. Der Graph der Funktion wird auch sofort aufgebaut. Der Eintrag ist wie folgt zu verstehen: "x ist für jeden Wert von y immer gleich 1."

Einige werden fragen, warum erinnern Sie sich an die 6. Klasse?! So ist es vielleicht, nur in den Jahren der Praxis habe ich ein gutes Dutzend Studenten kennengelernt, die von der Aufgabe, einen Graphen wie oder zu konstruieren, verblüfft waren.

Das Zeichnen einer geraden Linie ist die häufigste Aktion beim Erstellen von Zeichnungen.

Die gerade Linie wird im Verlauf der analytischen Geometrie ausführlich behandelt, und wer möchte, kann auf den Artikel verweisen Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene.

Quadratischer Funktionsgraph, kubischer Funktionsgraph, Polynomgraph

Parabel. Graph einer quadratischen Funktion () ist eine Parabel. Betrachten Sie den berühmten Fall:

Erinnern wir uns an einige Eigenschaften der Funktion.

Also, die Lösung unserer Gleichung: - An diesem Punkt befindet sich der Scheitelpunkt der Parabel. Warum das so ist, erfahren Sie aus dem theoretischen Artikel über die Ableitung und der Lektion über die Extrema der Funktion. In der Zwischenzeit berechnen wir den entsprechenden Wert von "y":

Der Scheitelpunkt ist also der Punkt

Jetzt finden wir andere Punkte, indem wir dreist die Symmetrie der Parabel nutzen. Zu beachten ist die Funktion – ist nicht einmal, aber trotzdem hat niemand die Symmetrie der Parabel aufgehoben.

In welcher Reihenfolge die verbleibenden Punkte zu finden sind, wird meiner Meinung nach am Final Table deutlich:

Dieser Konstruktionsalgorithmus kann bildlich als „Shuttle“ oder das „Hin und Her“-Prinzip bei Anfisa Chekhova bezeichnet werden.

Machen wir eine Zeichnung:

Aus den betrachteten Grafiken fällt mir ein weiteres nützliches Feature ein:

Für eine quadratische Funktion () Folgendes gilt:

Wenn , dann sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet.

Wenn , dann sind die Äste der Parabel nach unten gerichtet.

Vertiefte Kenntnisse der Kurve erhalten Sie in der Lektion Hyperbel und Parabel.

Die kubische Parabel ist durch die Funktion gegeben. Hier eine aus der Schule bekannte Zeichnung:

Wir listen die wichtigsten Eigenschaften der Funktion auf

Funktionsgraph

Es repräsentiert einen der Zweige der Parabel. Machen wir eine Zeichnung:

Die wichtigsten Eigenschaften der Funktion:

In diesem Fall ist die Achse vertikale Asymptote für den Hyperbelgraphen bei .

Es ist ein GROSSER Fehler, wenn Sie beim Erstellen einer Zeichnung fahrlässig zulassen, dass sich der Graph mit der Asymptote schneidet.

Auch einseitige Begrenzungen sagen uns das zu einer Übertreibung nicht von oben begrenzt und nicht von unten begrenzt.

Lassen Sie uns die Funktion im Unendlichen untersuchen: , das heißt, wenn wir anfangen, uns entlang der Achse nach links (oder rechts) bis ins Unendliche zu bewegen, dann werden die „Spiele“ ein schmaler Schritt sein unendlich nah nähern sich Null und dementsprechend die Äste der Hyperbel unendlich nah Annäherung an die Achse.

Die Achse ist also horizontale Asymptote für den Graphen der Funktion, wenn "x" gegen plus oder minus unendlich geht.

Die Funktion ist seltsam, was bedeutet, dass die Hyperbel bezüglich des Ursprungs symmetrisch ist. Dieser Sachverhalt ist aus der Zeichnung ersichtlich, zudem lässt er sich leicht analytisch nachweisen: .

Der Graph einer Funktion der Form () repräsentiert zwei Zweige einer Hyperbel.

Wenn , dann befindet sich die Hyperbel im ersten und dritten Koordinatenquadranten(siehe Bild oben).

Wenn , dann befindet sich die Hyperbel im zweiten und vierten Koordinatenquadranten.

Es ist nicht schwierig, die angegebene Regelmäßigkeit des Wohnorts der Hyperbel vom Standpunkt geometrischer Transformationen von Graphen zu analysieren.

Beispiel 3

Konstruieren Sie den rechten Ast der Hyperbel

Wir verwenden die punktweise Konstruktionsmethode, wobei es vorteilhaft ist, die Werte so zu wählen, dass sie sich vollständig teilen:

Machen wir eine Zeichnung:

Es wird nicht schwierig sein, den linken Zweig der Hyperbel zu konstruieren, hier hilft nur die Seltsamkeit der Funktion. Grob gesagt fügen Sie in der punktweisen Konstruktionstabelle gedanklich ein Minus zu jeder Zahl hinzu, setzen Sie die entsprechenden Punkte und zeichnen Sie den zweiten Zweig.

Detaillierte geometrische Informationen zur betrachteten Linie finden Sie im Artikel Hyperbel und Parabel.

Graph einer Exponentialfunktion

In diesem Absatz gehe ich gleich auf die Exponentialfunktion ein, da bei Problemen der höheren Mathematik in 95% der Fälle der Exponent vorkommt.

Ich erinnere Sie daran, dass - dies eine irrationale Zahl ist: , dies wird beim Erstellen eines Diagramms erforderlich sein, das ich tatsächlich ohne Zeremonie erstellen werde. Drei Punkte sind wahrscheinlich genug:

Lassen wir den Graphen der Funktion erstmal in Ruhe, dazu später.

Die wichtigsten Eigenschaften der Funktion:

Grundsätzlich sehen die Graphen von Funktionen gleich aus usw.

Ich muss sagen, dass der zweite Fall in der Praxis weniger häufig ist, aber er kommt vor, weshalb ich es für notwendig hielt, ihn in diesen Artikel aufzunehmen.

Graph einer logarithmischen Funktion

Betrachten Sie eine Funktion mit natürlichem Logarithmus.
Machen wir eine Strichzeichnung:

Wenn Sie vergessen haben, was ein Logarithmus ist, schlagen Sie bitte in Schulbüchern nach.

Die wichtigsten Eigenschaften der Funktion:

Domain:

Wertebereich: .

Die Funktion wird von oben nicht eingeschränkt: , wenn auch langsam, aber der Zweig des Logarithmus geht bis ins Unendliche.
Betrachten wir rechts das Verhalten der Funktion nahe Null: . Die Achse ist also vertikale Asymptote für den Graphen der Funktion mit "x", das rechts gegen Null geht.

Achten Sie darauf, den typischen Wert des Logarithmus zu kennen und sich daran zu erinnern: .

Grundsätzlich sieht die Darstellung des Logarithmus zur Basis gleich aus: , , (dezimaler Logarithmus zur Basis 10) usw. Gleichzeitig wird das Diagramm umso flacher, je größer die Basis ist.

Wir werden den Fall nicht betrachten, etwas, an das ich mich nicht erinnere, wann ich das letzte Mal einen Graphen mit einer solchen Basis erstellt habe. Ja, und der Logarithmus scheint ein sehr seltener Gast bei Problemen der höheren Mathematik zu sein.

Zum Abschluss des Absatzes möchte ich noch eine Tatsache sagen: Exponentialfunktion und Logarithmusfunktionsind zwei zueinander inverse Funktionen. Wenn Sie sich den Graphen des Logarithmus genau ansehen, können Sie sehen, dass dies derselbe Exponent ist, nur dass er etwas anders angeordnet ist.

Graphen trigonometrischer Funktionen

Wie beginnt trigonometrische Qual in der Schule? Korrekt. Vom Sinus

Zeichnen wir die Funktion

Diese Zeile heißt sinusförmig.

Ich erinnere Sie daran, dass „pi“ eine irrationale Zahl ist: und in der Trigonometrie blendet es in den Augen.

Die wichtigsten Eigenschaften der Funktion:

Diese Funktion ist Zeitschrift mit Periode. Was bedeutet das? Schauen wir uns den Schnitt an. Links und rechts davon wiederholt sich genau derselbe Teil des Diagramms endlos.

Domain: , das heißt, für jeden Wert von "x" gibt es einen Sinuswert.

Wertebereich: . Die Funktion ist begrenzt: , das heißt, alle „Spiele“ sitzen strikt im Segment .
Das passiert nicht, oder genauer gesagt, es passiert, aber diese Gleichungen haben keine Lösung.

Eine Funktion ist eine Entsprechung zwischen Elementen zweier Mengen, die gemäß einer solchen Regel hergestellt wird, dass jedes Element einer Menge einem Element aus einer anderen Menge zugeordnet ist.

Der Graph einer Funktion ist der Ort der Punkte in der Ebene, deren Abszissen (x) und Ordinaten (y) durch die angegebene Funktion verbunden sind:

der Punkt befindet sich (oder befindet sich) auf dem Graphen der Funktion genau dann, wenn .

Somit kann eine Funktion durch ihren Graphen adäquat beschrieben werden.

tabellarischer Weg. Ganz üblich besteht es darin, eine Tabelle mit einzelnen Argumentwerten und ihren entsprechenden Funktionswerten zu erstellen. Diese Methode zum Definieren einer Funktion wird verwendet, wenn der Definitionsbereich der Funktion eine diskrete endliche Menge ist.

Mit der tabellarischen Methode zur Angabe einer Funktion ist es möglich, die nicht in der Tabelle enthaltenen Werte der Funktion näherungsweise zu berechnen, die den Zwischenwerten des Arguments entsprechen. Verwenden Sie dazu die Methode der Interpolation.

Die Vorteile der tabellarischen Einstellung einer Funktion liegen darin, dass es möglich ist, ohne zusätzliche Messungen oder Berechnungen bestimmte spezifische Werte auf einmal zu ermitteln. In einigen Fällen definiert die Tabelle jedoch die Funktion nicht vollständig, sondern nur für einige Werte des Arguments und bietet keine visuelle Darstellung der Art der Änderung der Funktion in Abhängigkeit von der Änderung des Arguments.

Grafischer Weg. Der Graph der Funktion y = f(x) ist die Menge aller Punkte in der Ebene, deren Koordinaten die gegebene Gleichung erfüllen.

Die grafische Art, eine Funktion anzugeben, ermöglicht es nicht immer, die numerischen Werte des Arguments genau zu bestimmen. Es hat jedoch einen großen Vorteil gegenüber anderen Methoden - Sichtbarkeit. In den Ingenieurwissenschaften und der Physik wird häufig eine grafische Methode zum Einstellen einer Funktion verwendet, und ein Diagramm ist die einzige verfügbare Möglichkeit dafür.

Damit die grafische Zuordnung einer Funktion aus mathematischer Sicht ganz korrekt ist, ist es notwendig, den genauen geometrischen Aufbau des Graphen anzugeben, der meistens durch eine Gleichung gegeben ist. Dies führt zu folgender Art, eine Funktion zu definieren.

analytische Weise. Meistens wird das Gesetz, das eine Beziehung zwischen einem Argument und einer Funktion herstellt, durch Formeln angegeben. Diese Art, eine Funktion zu definieren, wird als analytisch bezeichnet.

Dieses Verfahren ermöglicht es, zu jedem Zahlenwert des Arguments x den entsprechenden Zahlenwert der Funktion y genau oder mit einiger Genauigkeit zu finden.

Wenn die Beziehung zwischen x und y durch eine nach y aufgelöste Formel gegeben ist, d.h. die Form y = f(x) hat, dann sagen wir, dass die Funktion von x explizit gegeben ist.

Wenn die Werte x und y durch eine Gleichung der Form F(x,y) = 0 in Beziehung stehen, d.h. die Formel ist bezüglich y nicht erlaubt, was bedeutet, dass die Funktion y = f(x) implizit definiert ist.

Eine Funktion kann durch verschiedene Formeln in verschiedenen Teilen ihres Aufgabenbereichs definiert werden.

Die analytische Methode ist die gebräuchlichste Art, Funktionen zu definieren. Kompaktheit, Prägnanz, die Fähigkeit, den Wert einer Funktion für einen beliebigen Wert des Arguments aus dem Definitionsbereich zu berechnen, die Fähigkeit, den Apparat der mathematischen Analyse auf eine gegebene Funktion anzuwenden, sind die Hauptvorteile der analytischen Methode zur Definition von a Funktion. Zu den Nachteilen gehört die mangelnde Sichtbarkeit, die durch die Möglichkeit, ein Diagramm zu erstellen, und die Notwendigkeit, manchmal sehr umständliche Berechnungen durchzuführen, kompensiert wird.

verbaler Weg. Diese Methode besteht darin, dass die funktionale Abhängigkeit in Worten ausgedrückt wird.

Beispiel 1: Die Funktion E(x) ist der ganzzahlige Teil der Zahl x. Im Allgemeinen bezeichnet E(x) = [x] die größte ganze Zahl, die x nicht überschreitet. Mit anderen Worten, wenn x = r + q, wobei r eine ganze Zahl ist (kann negativ sein) und q zum Intervall = r gehört. Die Funktion E(x) = [x] ist konstant auf dem Intervall = r.

Beispiel 2: Funktion y = (x) - Bruchteil einer Zahl. Genauer gesagt, y =(x) = x - [x], wobei [x] der ganzzahlige Teil der Zahl x ist. Diese Funktion ist für alle x definiert. Wenn x eine beliebige Zahl ist, dann stellst du sie als x = r + q (r = [x]) dar, wobei r eine ganze Zahl ist und q im Intervall liegt.
Wir sehen, dass das Hinzufügen von n zum x-Argument den Wert der Funktion nicht ändert.
Die kleinste Nicht-Null-Zahl in n ist , also ist die Periode sin 2x .

Der Wert des Arguments, für das die Funktion gleich 0 ist, wird aufgerufen Null (Wurzel) Funktionen.

Eine Funktion kann mehrere Nullstellen haben.

Zum Beispiel die Funktion y=x(x+1)(x-3) hat drei Nullen: x=0, x=-1, x=3.

Geometrisch ist der Nullpunkt einer Funktion die Abszisse des Schnittpunktes des Funktionsgraphen mit der Achse X .

Abbildung 7 zeigt den Graphen der Funktion mit Nullstellen: x = a, x = b und x = c .

Nähert sich der Graph einer Funktion auf unbestimmte Zeit einer bestimmten Geraden, wenn er sich vom Ursprung wegbewegt, so heißt diese Gerade Asymptote.

Umkehrfunktion

Gegeben sei die Funktion y=ƒ(x) mit dem Definitionsbereich D und der Wertemenge E. Wenn jeder Wert yєE einem einzelnen Wert xєD entspricht, dann ist die Funktion x=φ(y) mit definiert Definitionsbereich E und die Wertemenge D (siehe Abb. 102 ).

Eine solche Funktion φ(y) heißt Umkehrfunktion der Funktion ƒ(x) und wird in folgender Form geschrieben: x=j(y)=f -1 (y) Über die Funktionen y=ƒ(x) und x=φ(y) sie sagen, dass sie zueinander invers sind. Um die Funktion x=φ(y) invers zur Funktion y=ƒ(x) zu finden, genügt es, die Gleichung ƒ(x)=y nach x zu lösen (wenn möglich).

1. Für die Funktion y \u003d 2x ist die Umkehrfunktion die Funktion x \u003d y / 2;

2. Für die Funktion y \u003d x2 xє ist die Umkehrfunktion x \u003d √y; beachten Sie, dass für die Funktion y \u003d x 2, angegeben auf dem Segment [-1; 1] gibt es keine Umkehrung, da ein Wert von y zwei Werten von x entspricht (z. B. wenn y=1/4, dann x1=1/2, x2=-1/2).

Aus der Definition der Umkehrfunktion folgt, dass die Funktion y=ƒ(x) genau dann eine Umkehrung hat, wenn die Funktion ƒ(x) eine Eins-zu-Eins-Beziehung zwischen den Mengen D und E definiert. Daraus folgt, dass beliebig streng monotone Funktion hat eine Umkehrung. Wenn die Funktion zunimmt (abnimmt), steigt außerdem auch die Umkehrfunktion (abnimmt).

Beachten Sie, dass die Funktion y \u003d ƒ (x) und ihre Umkehrung x \u003d φ (y) durch dieselbe Kurve dargestellt werden, dh ihre Graphen stimmen überein. Wenn wir uns darauf einigen, dass die unabhängige Variable (d. H. Das Argument) wie üblich mit x und die abhängige Variable mit y bezeichnet wird, wird die Umkehrfunktion der Funktion y \u003d ƒ (x) als y \u003d geschrieben φ(x).

Das bedeutet, dass der Punkt M 1 (x o; y o) der Kurve y = f(x) zum Punkt M 2 (y o; x o) der Kurve y = φ(x) wird. Die Punkte M 1 und M 2 sind jedoch symmetrisch zur Geraden y \u003d x (siehe Abb. 103). Daher sind die Graphen der zueinander inversen Funktionen y=f(x) und y=φ(x) symmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Koordinatenwinkels.

Komplexe Funktion

Sei die Funktion y=ƒ(u) auf der Menge D und die Funktion u= φ(х) auf der Menge D 1 definiert, und für  x D 1 der entsprechende Wert u=φ(x) є D. Dann ist auf der Menge D 1 die Funktion u=ƒ(φ(x)) definiert, die eine komplexe Funktion von x (oder eine Überlagerung von gegebenen Funktionen oder eine Funktion einer Funktion) genannt wird.

Die Variable u=φ(x) heißt Zwischenargument einer komplexen Funktion.

Beispielsweise ist die Funktion y=sin2x eine Überlagerung zweier Funktionen y=sinu und u=2x. Eine komplexe Funktion kann mehrere Zwischenargumente haben.

4. Grundlegende Elementarfunktionen und ihre Graphen.

Die folgenden Funktionen werden grundlegende Elementarfunktionen genannt.

1) Die Exponentialfunktion y \u003d a x, a> 0, a ≠ 1. In Abb. 104 zeigt Graphen von Exponentialfunktionen, die verschiedenen Exponentialbasen entsprechen.

2) Potenzfunktion y=x α , αєR. Beispiele von Graphen von Potenzfunktionen, die verschiedenen Exponenten entsprechen, sind in den Figuren bereitgestellt

3) Logarithmische Funktion y = log a x, a > 0, a ≠ 1. Graphen von logarithmischen Funktionen, die verschiedenen Basen entsprechen, sind in Abb. 1 gezeigt. 106.

4) Trigonometrische Funktionen y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Graphen trigonometrischer Funktionen haben die in Abb. 1 gezeigte Form. 107.

5) Inverse trigonometrische Funktionen y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx. Auf Abb. 108 zeigt Graphen inverser trigonometrischer Funktionen.

Eine Funktion, die durch eine Formel gegeben ist, die aus elementaren Grundfunktionen und Konstanten unter Verwendung einer endlichen Anzahl von arithmetischen Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) und Operationen zum Abnehmen einer Funktion aus einer Funktion besteht, wird als Elementarfunktion bezeichnet.

Beispiele für elementare Funktionen sind die Funktionen

Beispiele für nicht elementare Funktionen sind die Funktionen

5. Konzepte des Grenzwerts einer Folge und einer Funktion. Eigenschaften einschränken.

Funktionsgrenze (Funktionsgrenze) an einem bestimmten Punkt, der den Definitionsbereich einer Funktion begrenzt, ist ein solcher Wert, zu dem der Wert der betrachteten Funktion tendiert, wenn ihr Argument gegen einen bestimmten Punkt tendiert.

In Mathematik Sequenzlimit Elemente eines metrischen Raums oder eines topologischen Raums ist ein Element desselben Raums, das die Eigenschaft hat, Elemente einer gegebenen Sequenz "anzuziehen". Der Grenzwert einer Folge von Elementen eines topologischen Raums ist ein solcher Punkt, dessen Nachbarschaft alle Elemente der Folge enthält, beginnend mit einer bestimmten Zahl. In einem metrischen Raum werden Nachbarschaften in Bezug auf eine Abstandsfunktion definiert, sodass das Konzept einer Grenze in der Sprache der Abstände formuliert wird. Historisch gesehen war das erste das Konzept des Grenzwerts einer numerischen Folge, das in der mathematischen Analyse auftaucht, wo es als Grundlage für ein Näherungssystem dient und bei der Konstruktion von Differential- und Integralrechnungen weit verbreitet ist.

Bezeichnung:

(lesen: der Grenzwert der x-n-ten Folge in Richtung Unendlich ist a)

Man nennt die Eigenschaft einer Folge, einen Grenzwert zu haben Konvergenz: Wenn eine Folge einen Grenzwert hat, dann heißt die gegebene Folge konvergiert; andernfalls (wenn die Folge keine Begrenzung hat) heißt die Folge weicht ab. In einem Hausdorff-Raum und insbesondere einem metrischen Raum konvergiert jede Teilfolge einer konvergenten Folge, und ihr Grenzwert ist derselbe wie der Grenzwert der ursprünglichen Folge. Mit anderen Worten, eine Folge von Elementen in einem Hausdorff-Raum kann nicht zwei verschiedene Grenzen haben. Es kann sich jedoch herausstellen, dass die Folge keinen Grenzwert hat, aber es gibt eine Teilfolge (der gegebenen Folge), die einen Grenzwert hat. Wenn eine beliebige Folge von Punkten in einem Raum eine konvergente Teilfolge hat, hat der gegebene Raum die Eigenschaft der sequentiellen Kompaktheit (oder einfach Kompaktheit, wenn Kompaktheit ausschließlich in Bezug auf Folgen definiert ist).

Der Begriff des Grenzwertes einer Folge steht in direktem Zusammenhang mit dem Begriff eines Grenzwertpunktes (Menge): Wenn eine Menge einen Grenzwertpunkt hat, dann gibt es eine Folge von Elementen der gegebenen Menge, die gegen den gegebenen Punkt konvergieren.

Definition

Gegeben sei ein topologischer Raum und eine Folge Dann, wenn es ein solches Element gibt

wo eine offene Menge enthaltend ist, dann heißt sie Grenzwert der Folge. Wenn der Raum metrisch ist, kann die Grenze mithilfe einer Metrik definiert werden: wenn es ein solches Element gibt

Wo ist die Metrik, dann heißt die Grenze.

· Wenn ein Raum mit einer antidiskreten Topologie ausgestattet ist, dann ist der Grenzwert jeder Sequenz ein beliebiges Element des Raums.

6. Grenzwert einer Funktion an einem Punkt. Einseitige Grenzen.

Funktion einer Variablen. Bestimmung des Grenzwertes einer Funktion an einem Punkt nach Cauchy. Anzahl b heißt Grenzwert der Funktion beim = f(x) beim X streben nach a(oder an der Stelle a) wenn es für jede positive Zahl  eine positive Zahl  gibt, so dass für alle x ≠ a, so dass | x – a | < , выполняется неравенство
| f(x) – a | <  .

Bestimmung des Grenzwertes einer Funktion an einem Punkt nach Heine. Anzahl b heißt Grenzwert der Funktion beim = f(x) beim X streben nach a(oder an der Stelle a) wenn für jede Sequenz ( x n ) konvergiert zu a(anstrebt a, die eine Grenzzahl hat a) und für jeden Wert n x n≠ a, Folge ( j n= f(x n)) konvergiert gegen b.

Diese Definitionen gehen davon aus, dass die Funktion beim = f(x) ist in einer Umgebung des Punktes definiert a, außer vielleicht für den Punkt a.

Die Definitionen des Grenzwertes einer Funktion an einem Punkt nach Cauchy und nach Heine sind äquivalent: Wenn die Zahl b dient in einem von ihnen als Grenze, so gilt dasselbe in dem zweiten.

Die angegebene Grenze wird wie folgt angegeben:

Geometrisch bedeutet die Existenz des Grenzwertes einer Funktion in einem Punkt nach Cauchy, dass für jede Zahl  > 0 ein solches Rechteck auf der Koordinatenebene mit einer Grundfläche 2 > 0, einer Höhe 2 und einem Mittelpunkt angegeben werden kann am Punkt ( a; b), dass alle Punkte des Graphen dieser Funktion auf dem Intervall ( a– ; a+ ), mit der möglichen Ausnahme des Punktes M(a; f(a)), liegen in diesem Rechteck

Einseitige Begrenzung in der mathematischen Analyse die Grenze einer numerischen Funktion, was bedeutet, dass man sich dem Grenzpunkt von einer Seite "annähert". Solche Grenzen werden entsprechend genannt linke Grenze(oder linke Grenze) und rechte Grenze (rechts begrenzen). Es sei eine numerische Funktion auf einer numerischen Menge gegeben und die Zahl sei der Grenzwert des Definitionsbereichs. Für die einseitige Begrenzung einer Funktion an einem Punkt gibt es verschiedene Definitionen, die aber alle gleichwertig sind.

Nationale Forschungsuniversität

Institut für Angewandte Geologie

Essay über höhere Mathematik

Zum Thema: "Grundlegende Elementarfunktionen,

ihre Eigenschaften und Graphen"

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Definition. Die durch die Formel y=a x (mit a>0, a≠1) gegebene Funktion wird als Exponentialfunktion mit Basis a bezeichnet.

Formulieren wir die Haupteigenschaften der Exponentialfunktion:

1. Der Definitionsbereich ist die Menge (R) aller reellen Zahlen.

2. Der Wertebereich ist die Menge (R+) aller positiven reellen Zahlen.

3. Wenn a > 1, steigt die Funktion auf der gesamten reellen Linie; bei 0<а<1 функция убывает.

4. Ist eine allgemeine Funktion.

, auf dem Intervall xí [-3;3]
, auf dem Intervall xí [-3;3]

Eine Funktion der Form y(х)=х n , wobei n die Zahl ¾R ist, wird Potenzfunktion genannt. Die Zahl n kann verschiedene Werte annehmen: sowohl ganzzahlig als auch gebrochen, sowohl gerade als auch ungerade. Abhängig davon hat die Potenzfunktion eine andere Form. Betrachten Sie Sonderfälle, bei denen es sich um Potenzfunktionen handelt, und spiegeln Sie die Haupteigenschaften dieser Art von Kurven in der folgenden Reihenfolge wider: Potenzfunktion y \u003d x² (eine Funktion mit geradem Exponenten - eine Parabel), eine Potenzfunktion y \u003d x³ (eine Funktion mit einem ungeraden Exponenten - einer kubischen Parabel) und Funktion y \u003d √ x (x hoch ½) (Funktion mit einem gebrochenen Exponenten), eine Funktion mit einem negativen ganzzahligen Exponenten (Hyperbel).

Power-Funktion y=x²

1. D(x)=R – die Funktion wird auf der gesamten numerischen Achse definiert;

2. E(y)= und erhöht sich im Intervall

Power-Funktion y=x³

1. Der Graph der Funktion y \u003d x³ wird als kubische Parabel bezeichnet. Die Potenzfunktion y=x³ hat folgende Eigenschaften:

2. D(x)=R – die Funktion wird auf der ganzen numerischen Achse definiert;

3. E(y)=(-∞;∞) – die Funktion nimmt alle Werte in ihrem Definitionsbereich an;

4. Wenn x=0 y=0 – geht die Funktion durch den Ursprung O(0;0).

5. Die Funktion nimmt über den gesamten Definitionsbereich zu.

6. Die Funktion ist ungerade (symmetrisch zum Ursprung).

, auf dem Intervall xí [-3;3]

Je nach Zahlenfaktor vor x³ kann die Funktion steil / flach und steigend / fallend sein.

Potenzfunktion mit ganzzahligem negativem Exponenten:

Ist der Exponent n ungerade, so heißt der Graph einer solchen Potenzfunktion Hyperbel. Eine Potenzfunktion mit einem negativen ganzzahligen Exponenten hat die folgenden Eigenschaften:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) für beliebige n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞) wenn n eine ungerade Zahl ist; E(y)=(0;∞) wenn n eine gerade Zahl ist;

3. Die Funktion nimmt über den gesamten Definitionsbereich ab, wenn n eine ungerade Zahl ist; die Funktion nimmt im Intervall (-∞;0) zu und im Intervall (0;∞) ab, wenn n eine gerade Zahl ist.

4. Die Funktion ist ungerade (symmetrisch zum Ursprung), wenn n eine ungerade Zahl ist; Eine Funktion ist gerade, wenn n eine gerade Zahl ist.

5. Die Funktion durchläuft die Punkte (1;1) und (-1;-1), wenn n eine ungerade Zahl ist, und die Punkte (1;1) und (-1;1), wenn n eine gerade Zahl ist.

, auf dem Intervall xí [-3;3]

Potenzfunktion mit Bruchexponent

Eine Potenzfunktion mit einem gebrochenen Exponenten der Form (Bild) hat einen Graphen der in der Abbildung gezeigten Funktion. Eine Potenzfunktion mit gebrochenem Exponenten hat folgende Eigenschaften: (Bild)

1. D(x) íR wenn n eine ungerade Zahl ist und D(x)=
, auf dem Intervall xн
, auf dem Intervall xí [-3;3]

Die logarithmische Funktion y \u003d log a x hat folgende Eigenschaften:

1. Definitionsbereich D(x)í (0; + ∞).

2. Wertebereich E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Die Funktion ist weder gerade noch ungerade (allgemein).

4. Die Funktion steigt auf dem Intervall (0; + ∞) für a > 1, fällt auf (0; + ∞) für 0< а < 1.

Der Graph der Funktion y = log a x kann aus dem Graph der Funktion y = a x unter Verwendung einer Symmetrietransformation um die Gerade y = x erhalten werden. In Abbildung 9 ist ein Diagramm der logarithmischen Funktion für a > 1 dargestellt, und in Abbildung 10 - für 0< a < 1.

; auf dem Intervall xО
; auf dem Intervall xО

Die Funktionen y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x werden trigonometrische Funktionen genannt.

Die Funktionen y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x sind ungerade und die Funktion y \u003d cos x ist gerade.

Funktion y \u003d Sünde (x).

1. Definitionsbereich D(x) ОR.

2. Wertebereich E(y) О [ - 1; ein].

3. Die Funktion ist periodisch; die Hauptperiode ist 2π.

4. Die Funktion ist ungerade.

5. Die Funktion steigt auf den Intervallen [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] und nimmt auf den Intervallen [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Der Graph der Funktion y \u003d sin (x) ist in Abbildung 11 dargestellt.