Für eine vollständige Untersuchung der Funktion und das Zeichnen ihres Diagramms wird empfohlen, das folgende Schema zu verwenden:

1) finden Sie den Umfang der Funktion;

2) Finden Sie die Unstetigkeitspunkte der Funktion und vertikale Asymptoten (falls vorhanden);

3) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion im Unendlichen, finden Sie die horizontalen und schiefen Asymptoten;

4) Untersuchung der Funktion auf Gleichmäßigkeit (Oddity) und auf Periodizität (für trigonometrische Funktionen);

5) finden Sie Extrema und Intervalle der Monotonie der Funktion;

6) Bestimmen Sie die Intervalle der Konvexität und Wendepunkte;

7) Finden Sie Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, wenn möglich, und einige zusätzliche Punkte, die den Graphen verfeinern.

Die Untersuchung der Funktion wird gleichzeitig mit der Konstruktion ihres Graphen durchgeführt.

Beispiel 9 Untersuchen Sie die Funktion und erstellen Sie ein Diagramm.

1. Definitionsbereich: ;

2. Die Funktion bricht an bestimmten Stellen ab
,
;

Wir untersuchen die Funktion für das Vorhandensein vertikaler Asymptoten.

;
,
─ vertikale Asymptote.

;
,
─ vertikale Asymptote.

3. Wir untersuchen die Funktion auf das Vorhandensein von schrägen und horizontalen Asymptoten.

Gerade
─ schiefe Asymptote, wenn
,
.

,
.

Gerade
─ horizontale Asymptote.

4. Die Funktion ist sogar da
. Die Parität der Funktion gibt die Symmetrie des Graphen in Bezug auf die y-Achse an.

5. Finden Sie die Intervalle der Monotonie und die Extrema der Funktion.

Lassen Sie uns die kritischen Punkte finden, d.h. Punkte, an denen die Ableitung 0 ist oder nicht existiert:
;
. Wir haben drei Punkte
;

. Diese Punkte teilen die gesamte reelle Achse in vier Intervalle. Lassen Sie uns die Zeichen definieren auf jedem von ihnen.

Auf den Intervallen (-∞; -1) und (-1; 0) nimmt die Funktion zu, auf den Intervallen (0; 1) und (1; +∞) ab. Beim Passieren eines Punktes
die Ableitung wechselt das Vorzeichen von Plus nach Minus, daher hat die Funktion an dieser Stelle ein Maximum
.

6. Finden wir Konvexitätsintervalle, Wendepunkte.

Lassen Sie uns die Punkte finden, wo 0 ist oder nicht existiert.

hat keine wirklichen Wurzeln.
,
,

Punkte
und
Teilen Sie die reelle Achse in drei Intervalle. Lassen Sie uns das Zeichen definieren in jedem Intervall.

Somit ist die Kurve auf den Intervallen
und
konvex nach unten, auf dem Intervall (-1;1) konvex nach oben; es gibt keine Wendepunkte, da die Funktion an den Punkten
und
nicht spezifiziert.

7. Finde die Schnittpunkte mit den Achsen.

mit Achse
der Graph der Funktion schneidet sich am Punkt (0; -1) und mit der Achse
der Graph schneidet sich nicht, weil der Zähler dieser Funktion hat keine echten Wurzeln.

Der Graph der gegebenen Funktion ist in Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1 ─ Graph der Funktion

Anwendung des Begriffs des Derivats in der Volkswirtschaftslehre. Funktionselastizität

Um wirtschaftliche Prozesse zu untersuchen und andere angewandte Probleme zu lösen, wird häufig das Konzept der Elastizität einer Funktion verwendet.

Definition. Funktionselastizität
heißt die Grenze des Verhältnisses des relativen Inkrements der Funktion auf das relative Inkrement der Variablen beim
, . (VII)

Die Elastizität einer Funktion zeigt ungefähr, um wie viel Prozent sich die Funktion ändert
beim Ändern der unabhängigen Variablen um 1%.

Die Elastizität einer Funktion wird bei der Analyse von Nachfrage und Verbrauch verwendet. Wenn die Elastizität der Nachfrage (in absoluten Werten)
, dann gilt die Nachfrage als elastisch, wenn
─ neutral falls
─ unelastisch in Bezug auf Preis (oder Einkommen).

Beispiel 10 Berechnen Sie die Elastizität einer Funktion
und finden Sie den Wert des Elastizitätsindex für = 3.

Lösung: nach Formel (VII) die Elastizität der Funktion:

Sei dann x=3
Das bedeutet, wenn die unabhängige Variable um 1 % steigt, steigt der Wert der abhängigen Variablen um 1,42 %.

Beispiel 11 Lassen Sie die Nachfrage funktionieren bezüglich des preises hat die Form
, wo ─ konstanter Koeffizient. Ermitteln Sie den Wert des Elastizitätsindex der Nachfragefunktion zum Preis x = 3 den. Einheiten

Lösung: Berechnen Sie die Elastizität der Nachfragefunktion mit der Formel (VII)

Vorausgesetzt
Geldeinheiten, bekommen wir
. Das heißt, zum Preis
Geldeinheit eine Preiserhöhung von 1 % führt zu einem Rückgang der Nachfrage um 6 %, d.h. Die Nachfrage ist elastisch.

Das Studium der Funktion erfolgt nach einem klaren Schema und setzt solide Kenntnisse mathematischer Grundbegriffe wie Definitions- und Wertebereich, Stetigkeit der Funktion, Asymptote, Extrempunkte, Parität, Periodizität, etc. Der Schüler muss Funktionen frei differenzieren und Gleichungen lösen, die manchmal sehr kompliziert sind.

Das heißt, diese Aufgabe überprüft eine bedeutende Wissensebene, in der jede Lücke ein Hindernis für das Erhalten der richtigen Lösung darstellt. Besonders häufig treten Schwierigkeiten bei der Konstruktion von Funktionsgraphen auf. Dieser Fehler fällt dem Lehrer sofort ins Auge und kann deine Note stark ruinieren, selbst wenn alles andere richtig gemacht wurde. Hier kannst du finden Aufgaben für das Studium der Funktion online: Lernbeispiele, Lösungen herunterladen, Aufgaben bestellen.

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Wir führen für Sie eine vollständige Untersuchung der Funktion durch: Wir finden den Definitionsbereich und den Wertebereich, untersuchen auf Stetigkeit und Diskontinuität, stellen die Parität ein, prüfen Ihre Funktion auf Periodizität, finden die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen . Und natürlich weiter mit Hilfe der Differentialrechnung: Wir finden Asymptoten, berechnen Extrema, Wendepunkte und bauen den Graphen selbst auf.

Die Bezugspunkte bei der Untersuchung von Funktionen und der Konstruktion ihrer Graphen sind charakteristische Punkte - Unstetigkeitspunkte, Extremum, Wendepunkt, Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen. Mit Hilfe der Differentialrechnung können die charakteristischen Merkmale der Funktionsänderung ermittelt werden: Zunahme und Abnahme, Maxima und Minima, Richtung der Konvexität und Konkavität des Graphen, Vorhandensein von Asymptoten.

Eine Skizze des Funktionsgraphen kann (und sollte) nach dem Auffinden der Asymptoten und Extrempunkte skizziert werden, und es ist bequem, die zusammenfassende Tabelle des Studiums der Funktion im Laufe des Studiums auszufüllen.

Normalerweise wird das folgende Schema der Funktionsforschung verwendet.

1.Ermitteln Sie den Definitionsbereich, die Kontinuitätsintervalle und die Haltepunkte einer Funktion.

2.Untersuchen Sie die Funktion auf gerade oder ungerade (axiale oder zentrale Symmetrie des Graphen).

3.Finden Sie Asymptoten (vertikal, horizontal oder schräg).

4.Finden und untersuchen Sie die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion, ihre Extrempunkte.

5.Finden Sie die Intervalle der Konvexität und Konkavität der Kurve, ihre Wendepunkte.

6.Finden Sie die Schnittpunkte der Kurve mit den Koordinatenachsen, falls vorhanden.

7.Erstellen Sie eine zusammenfassende Tabelle der Studie.

8.Erstellen Sie ein Diagramm unter Berücksichtigung der Untersuchung der Funktion, die gemäß den obigen Punkten durchgeführt wurde.

Beispiel. Explore-Funktion

und plotte es.

7. Lassen Sie uns eine zusammenfassende Tabelle der Untersuchung der Funktion erstellen, in der wir alle charakteristischen Punkte und die Intervalle zwischen ihnen eingeben werden. Angesichts der Parität der Funktion erhalten wir die folgende Tabelle:

				Diagrammfunktionen
[-1, 0[			Zunehmend	Konvex
				(0; 1) – maximaler Punkt
]0, 1[			Sinkt	Konvex
				Wendepunkt, bildet mit der Achse Ochse stumpfer Winkel

Führen Sie eine vollständige Studie durch und zeichnen Sie einen Funktionsgraphen

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Funktionsumfang. Da die Funktion ein Bruch ist, musst du die Nullstellen des Nenners finden.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Wir schließen den einzigen Punkt x=1x=1 aus dem Funktionsdefinitionsbereich aus und erhalten:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Untersuchen wir das Verhalten der Funktion in der Nähe des Unstetigkeitspunktes. Einseitige Grenzen finden:

Da die Grenzen gleich unendlich sind, ist der Punkt x=1x=1 eine Unstetigkeit zweiter Art, die Gerade x=1x=1 eine senkrechte Asymptote.

3) Lassen Sie uns die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit den Koordinatenachsen bestimmen.

Finden wir die Schnittpunkte mit der Ordinatenachse OyOy, für die wir x=0x=0 gleichsetzen:

Somit hat der Schnittpunkt mit der Achse OyOy die Koordinaten (0;8)(0;8).

Finden wir die Schnittpunkte mit der Abszissenachse OxOx, für die wir y=0y=0 setzen:

Die Gleichung hat keine Wurzeln, daher gibt es keine Schnittpunkte mit der OxOx-Achse.

Beachten Sie, dass x2+8>0x2+8>0 für alle xx. Daher ist für x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) die Funktion y>0y>0 (nimmt positive Werte an, der Graph liegt über der x-Achse), für x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) Funktion y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Die Funktion ist weder gerade noch ungerade, denn:

5) Wir untersuchen die Funktion auf Periodizität. Die Funktion ist nicht periodisch, da es sich um eine gebrochen rationale Funktion handelt.

6) Wir untersuchen die Funktion für Extrema und Monotonie. Dazu finden wir die erste Ableitung der Funktion:

Lassen Sie uns die erste Ableitung gleich Null setzen und die stationären Punkte finden (an denen y′=0y′=0):

Wir haben drei kritische Punkte: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Wir teilen den gesamten Definitionsbereich der Funktion durch gegebene Punkte in Intervalle und bestimmen die Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall:

Für x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) ist die Ableitung y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Für x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) die Ableitung y′>0y′>0, wächst die Funktion auf diesen Intervallen.

In diesem Fall ist x = –2x = –2 ein lokaler Minimalpunkt (die Funktion nimmt ab und steigt dann an), x = 4x = 4 ist ein lokaler Maximalpunkt (die Funktion steigt an und fällt dann ab).

Lassen Sie uns die Werte der Funktion an diesen Punkten finden:

Der Minimalpunkt ist also (−2;4)(−2;4), der Maximalpunkt ist (4;−8)(4;−8).

7) Wir untersuchen die Funktion auf Knicke und Konvexität. Finden wir die zweite Ableitung der Funktion:

Gleichsetzen Sie die zweite Ableitung mit Null:

Die resultierende Gleichung hat keine Wurzeln, also gibt es keine Wendepunkte. Wenn x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 erfüllt ist, d. h., die Funktion ist konkav, wenn x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Wir untersuchen das Verhalten der Funktion im Unendlichen, also bei .

Da die Grenzen unendlich sind, gibt es keine horizontalen Asymptoten.

Versuchen wir, schiefe Asymptoten der Form y=kx+by=kx+b zu bestimmen. Wir berechnen die Werte von k,bk,b nach den bekannten Formeln:

Wir haben festgestellt, dass die Funktion eine schiefe Asymptote y=−x−1y=−x−1 hat.

9) Zusätzliche Punkte. Lassen Sie uns den Wert der Funktion an einigen anderen Punkten berechnen, um ein genaueres Diagramm zu erstellen.

y(–5)=5,5;y(2)=–12;y(7)=–9,5.y(–5)=5,5;y(2)=–12;y(7)=–9,5.

10) Aus den gewonnenen Daten bauen wir einen Graphen auf, ergänzen ihn mit Asymptoten x=1x=1 (blau), y=−x−1y=−x−1 (grün) und markieren die charakteristischen Punkte (den Schnittpunkt mit dem y -Achse ist violett, Extrema sind orange, Zusatzpunkte sind schwarz) :

Aufgabe 4: Geometrische, ökonomische Probleme (keine Ahnung was, hier eine ungefähre Auswahl von Problemen mit Lösung und Formeln)

Beispiel 3.23. a

Entscheidung. x und j j
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Da x = a/4 der einzige kritische Punkt ist, prüfen wir, ob sich das Vorzeichen der Ableitung beim Durchgang durch diesen Punkt ändert. Für xa/4 S "> 0 und für x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Beispiel 3.24.

Entscheidung.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Beispiel 3.22. Finden Sie die Extrema der Funktion f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Entscheidung. Da f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), dann sind die kritischen Punkte der Funktion x 1 \u003d 2 und x 2 \u003d 3. Extreme Punkte können nur an diesen Punkten sein.Wenn also beim Durchgang durch den Punkt x 1 \u003d 2 die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, hat die Funktion an diesem Punkt ein Maximum.Beim Durchgang durch den Punkt x 2 \u003d 3, die Ableitung ändert das Vorzeichen von Minus nach Plus, daher hat die Funktion am Punkt x 2 \u003d 3 ein Minimum Berechnen der Werte der Funktion in Punkten
x 1 = 2 und x 2 = 3 finden wir die Extrema der Funktion: Maximum f(2) = 14 und Minimum f(3) = 13.

Beispiel 3.23. Es ist notwendig, in der Nähe der Steinmauer einen rechteckigen Bereich zu bauen, der auf drei Seiten mit Maschendraht eingezäunt ist und auf der vierten Seite an die Mauer angrenzt. Dafür gibt es a laufende Meter des Gitters. Bei welchem ​​Seitenverhältnis hat die Site die größte Fläche?

Entscheidung. Bezeichnen Sie die Seiten der Website durch x und j. Die Fläche des Standorts ist S = xy. Lassen j ist die Länge der an die Wand angrenzenden Seite. Dann muss per Bedingung die Gleichheit 2x + y = a gelten. Daher y = a - 2x und S = x(a - 2x), wobei
0 ≤ x ≤ a/2 (die Länge und Breite der Fläche dürfen nicht negativ sein). S "= a - 4x, a - 4x = 0 für x = a/4, woraus
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Da x = a/4 der einzige kritische Punkt ist, prüfen wir, ob sich das Vorzeichen der Ableitung beim Durchgang durch diesen Punkt ändert. Für xa/4 S "> 0 und für x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Beispiel 3.24. Es ist erforderlich, einen geschlossenen zylindrischen Tank mit einem Fassungsvermögen von V=16p ≈ 50 m 3 herzustellen. Welche Abmessungen sollte der Tank haben (Radius R und Höhe H), um möglichst wenig Material für seine Herstellung zu verwenden?

Entscheidung. Die Gesamtoberfläche des Zylinders ist S = 2pR(R+H). Wir kennen das Volumen des Zylinders V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Daher ist S(R) = 2p(R 2 + 16/R). Wir finden die Ableitung dieser Funktion:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S "(R) \u003d 0 für R 3 \u003d 8, daher
R = 2, H = 16/4 = 4.

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Seit einiger Zeit funktioniert in TheBat (unklar aus welchem ​​Grund) die eingebaute Zertifikatsdatenbank für SSL nicht mehr richtig.

Beim Überprüfen des Beitrags wird ein Fehler angezeigt:

Unbekanntes CA-Zertifikat
Der Server hat in der Sitzung kein Root-Zertifikat präsentiert und das entsprechende Root-Zertifikat wurde nicht im Adressbuch gefunden.
Diese Verbindung kann nicht geheim sein. Gern geschehen
Wenden Sie sich an Ihren Serveradministrator.

Und es wird eine Auswahl an Antworten angeboten - JA / NEIN. Und so jedes Mal, wenn Sie Post schießen.

Entscheidung

In diesem Fall müssen Sie den S/MIME- und TLS-Implementierungsstandard durch Microsoft CryptoAPI in TheBat ersetzen!

Da ich alle Dateien zu einer zusammenführen musste, konvertierte ich zuerst alle doc-Dateien in eine einzige PDF-Datei (mit dem Acrobat-Programm) und übertrug sie dann über einen Online-Konverter auf fb2. Sie können Dateien auch einzeln konvertieren. Formate können absolut beliebig sein (Quelle) und doc und jpg und sogar ein Zip-Archiv!

Der Name der Seite entspricht dem Wesen :) Online Photoshop.

Aktualisierung Mai 2015

Ich habe noch eine tolle Seite gefunden! Noch bequemer und funktionaler zum Erstellen einer völlig beliebigen Collage! Diese Seite ist http://www.fotor.com/ru/collage/ . Verwendung für die Gesundheit. Und ich werde es selbst verwenden.

Konfrontiert im Leben mit der Reparatur von Elektroherden. Ich habe schon viel gemacht, viel gelernt, aber irgendwie hatte ich wenig mit Fliesen zu tun. Es war notwendig, die Kontakte an den Reglern und Brennern auszutauschen. Es stellte sich die Frage: Wie bestimmt man den Durchmesser des Brenners am Elektroherd?

Die Antwort erwies sich als einfach. Sie müssen nichts messen, Sie können in Ruhe mit dem Auge bestimmen, welche Größe Sie benötigen.

Der kleinste Brenner beträgt 145 Millimeter (14,5 Zentimeter)

Mittlerer Brenner beträgt 180 Millimeter (18 Zentimeter).

Und schließlich die meisten großer Brenner beträgt 225 Millimeter (22,5 Zentimeter).

Es reicht aus, die Größe mit dem Auge zu bestimmen und zu verstehen, welchen Durchmesser Sie für einen Brenner benötigen. Als ich das nicht wusste, stieg ich mit diesen Größen in die Höhe, ich wusste nicht, wie man misst, an welcher Kante man navigiert, etc. Jetzt bin ich weise :) Ich hoffe, es hat dir auch geholfen!

In meinem Leben stand ich vor einem solchen Problem. Ich denke, ich bin nicht der Einzige.