Lektion und Präsentation zum Thema: "Funktion y=cos(x). Definition und Graph einer Funktion"

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Was werden wir studieren:
1. Definition.
2. Graph der Funktion.
3. Eigenschaften der Funktion Y=cos(X).
4. Beispiele.

Definition der Kosinusfunktion y=cos(x)

Leute, wir haben uns bereits mit der Funktion Y=sin(X) getroffen.

Erinnern wir uns an eine der Geisterformeln: sin(X + π/2) = cos(X).

Dank dieser Formel können wir behaupten, dass die Funktionen sin(X + π/2) und cos(X) identisch sind und ihre Funktionsgraphen gleich sind.

Der Graph der Funktion sin(X + π/2) wird aus dem Graphen der Funktion sin(X) durch paralleles Verschieben um π/2 Einheiten nach links erhalten. Dies ist der Graph der Funktion Y=cos(X).

Der Graph der Funktion Y=cos(X) wird auch als Sinuskurve bezeichnet.

cos(x)-Funktionseigenschaften

Schreiben wir die Eigenschaften unserer Funktion:
• Der Definitionsbereich ist die Menge der reellen Zahlen.
• Die Funktion ist gerade. Erinnern wir uns an die Definition einer geraden Funktion. Eine Funktion wird auch dann aufgerufen, wenn die Gleichheit y(-x)=y(x) gilt. Wie wir uns von den Geisterformeln erinnern: cos(-x)=-cos(x), ist die Definition erfüllt, dann ist der Kosinus eine gerade Funktion.
• Die Funktion Y=cos(X) nimmt im Intervall ab und steigt im Intervall [π; 2π]. Wir können dies auf dem Graphen unserer Funktion überprüfen.
• Die Funktion Y=cos(X) ist nach unten und oben beschränkt. Diese Eigenschaft kommt daher, dass
  -1 ≤ cos(X) ≤ 1
• Der kleinste Wert der Funktion ist -1 (für x = π + 2πk). Der größte Wert der Funktion ist 1 (für x = 2πk).
• Die Funktion Y=cos(X) ist eine stetige Funktion. Schauen wir uns den Graphen an und vergewissern uns, dass unsere Funktion keine Lücken hat, was Stetigkeit bedeutet.
• Der Wertebereich ist das Segment [- 1; eines]. Dies ist auch deutlich aus der Grafik ersichtlich.
• Die Funktion Y=cos(X) ist eine periodische Funktion. Schauen wir uns den Graphen noch einmal an und sehen, dass die Funktion in einigen Intervallen die gleichen Werte annimmt.

Beispiele mit der cos(x)-Funktion

1. Lösen Sie die Gleichung cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

Lösung: Bauen wir 2 Graphen der Funktion: y=cos(x) und y=(x - 2π) 2 + 1 (siehe Abbildung).


y \u003d (x - 2π) 2 + 1 ist eine um 2π nach rechts und um 1 nach oben verschobene Parabel. Unsere Graphen schneiden sich an einem Punkt A (2π; 1), dies ist die Antwort: x \u003d 2π.

2. Zeichnen Sie die Funktion Y=cos(X) für x ≤ 0 und Y=sin(X) für x ≥ 0

Lösung: Um den erforderlichen Graphen zu erstellen, zeichnen wir Stück für Stück zwei Graphen der Funktion. Erster Schnitt: y=cos(x) für x ≤ 0. Zweiter Schnitt: y=sin(x)
für x ≥ 0. Lassen Sie uns beide "Stücke" in einem Diagramm darstellen.

3. Finde den größten und kleinsten Wert der Funktion Y=cos(X) auf der Strecke [π; 7π/4]

Lösung: Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion erstellen und unser Segment [π; 7π/4]. Die Grafik zeigt, dass die größten und kleinsten Werte an den Enden des Segments erreicht werden: an den Punkten π bzw. 7π/4.
Antwort: cos(π) = -1 ist der kleinste Wert, cos(7π/4) = der größte Wert.

4. Zeichnen Sie die Funktion y=cos(π/3 - x) + 1

Lösung: cos(-x)= cos(x), dann erhält man den gewünschten Graphen, indem man den Graphen der Funktion y=cos(x) π/3 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach oben verschiebt.

Aufgaben zur selbstständigen Lösung

1) Lösen Sie die Gleichung: cos (x) \u003d x - π / 2.
2) Lösen Sie die Gleichung: cos(x)= - (x - π) 2 - 1.
3) Zeichnen Sie die Funktion y=cos(π/4 + x) - 2.
4) Zeichnen Sie die Funktion y=cos(-2π/3 + x) + 1.
5) Finde den größten und kleinsten Wert der Funktion y=cos(x) auf dem Segment .
6) Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion y=cos(x) auf dem Intervall [- π/6; 5π/4].

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Unterrichtsthema: „Funktion y=cosx“

Lektion 1

Lernziele: Den Schülern die Eigenschaften einer Funktion vorstellen

Unterrichtsziele.

Pädagogisch - die Bildung funktionaler Darstellungen auf visuellem Material, die Bildung der Fähigkeit, Diagramme der Funktion y \u003d cosx zu zeichnen, die Fähigkeit zum freien Lesen von Diagrammen zu bilden, die Fähigkeit, die Eigenschaften der Funktion im Diagramm widerzuspiegeln.

Während des Unterrichts

№	Unterrichtsphase	Diashow	Zeit
1	Zeit organisieren. Grüße
2	Bekanntgabe von Thema und Zweck der Unterrichtsstunde
3	Aktualisierung des Grundwissens Mündliche Übungen machen.	Frontaler Überblick
4	Präsentation von neuem Material Die Aufgabe, y \u003d cosx auf einem Segment darzustellen Diskussion der Eigenschaften der Funktion y = cosx auf einem Segment Die Aufgabe, eine Skizze des Graphen der Funktion y \u003d cosx zu erstellen Diskussion der Eigenschaften der Funktion y = cosx	Eingeben von Eigenschaften in eine Tabelle
5	Aufgaben lösen nach Lehrbuch Nr. 708, Nr. 709	Die Entscheidung wird von Folie Nummer 4 begleitet
6	Die Aufgabe, einen Graphen einer Funktion mit einer Verschiebung entlang der Ordinatenachse und entlang der Abszissenachse zu zeichnen. Diskussion der Funktionseigenschaften
7	Selbständiges Arbeiten am Lehrbuch	№710 (1;3), №711 (1;3), №711 (1;3)
	Zusammenfassend. Unterrichtsergebnisse. Benotung.
9	Hausaufgaben	§40 #710(2;4), #711(2;4), #711(2;4). Konstruieren Sie Graphen der Funktionen y \u003d cosx und beschreiben Sie die Eigenschaften dieser Funktion. Extra Nr. 717 (1)

Der Zweck der Lektion: Die Schüler mit den Eigenschaften der Funktion y \u003d cosx vertraut zu machen, zu lernen, den Graphen der Funktion y \u003d cosx zu zeichnen, diesen Graphen zu lesen und die Eigenschaften und den Graphen der Funktion beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen zu verwenden .

2. Die Ankündigung des Themas und Zwecks der Lektion wird von Folie Nummer 2 begleitet

3. Aktualisierung des Grundwissens

Mündliche Übungen machen.

1. Wiederholen Sie die Definition trigonometrischer Funktionen und die Vorzeichen der Werte dieser Funktionen.
2. Machen Sie die Schüler darauf aufmerksam, dass Sie für jede reelle Zahl den entsprechenden Punkt auf dem Einheitskreis und damit ihre Abszisse und Ordinate, d. h. Kosinus und Sinus der Zahl x: y \u003d cosx und y \u003d sinx, deren Definitionsbereich alle reellen Zahlen sind.

Dann beantworten die Schüler die Fragen:

1. Bei welchen Werten von x nimmt die Funktion y=cosx einen Wert gleich 0 an? eines? -eines?
2. Kann die Funktion y=cosx einen Wert größer als 1, kleiner als -1 annehmen?
3. Bei welchen Werten von x nimmt die Funktion y=cosx den größten (kleinsten) Wert an?
4. Was ist die Wertemenge der Funktion y=cosx?

Die Antworten auf diese und die folgenden Fragen werden von einer Illustration auf einem Einheitskreis begleitet.

Nachdem die Vorzeichen der Werte trigonometrischer Funktionen in jedem Viertel der Koordinatenebene wiederholt wurden, werden die Schüler gebeten, mehrere Punkte des Einheitskreises zu zeigen, die Zahlen entsprechen, deren Kosinus eine positive (negative) Zahl ist. Dann beantworte die Fragen:

1) Was ist das Vorzeichen der Funktion y \u003d cosx, wenn x \u003d, x \u003d,

0<х<, 0<х<, <х<, <х<2.5?

2) Geben Sie mehrere Werte von x an, bei denen die Werte der Funktion y \u003d cosx positiv, negativ sind.

3) Ist es möglich, alle Werte einer Zahl zu nennen, deren Kosinus positiv, negativ ist?

4) Ist es möglich, alle Werte des Arguments x zu nennen, für die die Werte der Funktion y = cosx positiv oder negativ sind?

5) Gerade oder ungerade Funktion y = cosx.

6) Welche Periode hat diese Funktion?

4. Präsentation von neuem Material.

Verallgemeinerung und Konkretisierung des zuvor gewonnenen Wissens: Das Studium des Definitionsbereichs, der Wertemenge, der Parität und der Periodizität ermöglicht es Ihnen, zuerst ein Diagramm auf dem Segment, dann auf dem Segment und dann auf der gesamten Zahlenlinie zu erstellen. Die Erklärung wird von Folie Nr. 3 begleitet.

Dann lernen die Schüler, eine Skizze des Graphen der Funktion y \u003d cosx an den Punkten (0; 1), (; 0) zu zeichnen.

(:-1), (;0), (;1) und verallgemeinern Sie die Eigenschaften der Funktion, indem Sie sie in eine Tabelle schreiben.

Wir überprüfen mit Hilfe von Folie Nummer 4.

(Zu diesem Zeitpunkt werden unterstützende Anmerkungen herausgegeben (Anhang 1))

5. Festigung des Grundwissens.

Mit Hilfe einer Skizze des Graphen der Funktion y \u003d cosx beantworten die Schüler die Fragen Nr. 708, anhand der Tabelle der Eigenschaften der Funktion y \u003d cosx beantworten sie die Fragen Nr. 709

6. Die Aufgabe, einen Funktionsgraphen mit einer Verschiebung entlang der Ordinatenachse und entlang der Abszissenachse aufzuzeichnen.

1. Folie Nummer 5, 6

Während des Gesprächs werden die Eigenschaften dieser Funktionen besprochen.

7. Eigenständiges Arbeiten am Lehrbuch

№710(1;3), №711(1;3), №711(1;3), №710

Teilen Sie dieses Segment in zwei Segmente, so dass die Funktion y \u003d cosx auf einem von ihnen zunimmt und auf dem anderen abnimmt:

Sinkt; - steigt

Sinkt; - steigt

Vergleichen Sie die Zahlen mit der zunehmenden oder abnehmenden Eigenschaft der Funktion y \u003d cosx:

Auf dem Segment nimmt die Funktion y \u003d cosx ab; , Folglich, .

Auf dem Segment nimmt die Funktion y \u003d cosx zu;

<, следовательно, cos < cos

Finden Sie alle Wurzeln der Gleichung, die zum Segment gehören:

1) cosx \u003d x \u003d ± +2 n, n Z

Antworten: ; ; .

2) cosx = - x = ±

8. Zusammenfassung.

Benotung.

In der Lektion haben wir gelernt, wie man die Funktion y = cosx grafisch darstellt, die Eigenschaften dieses Graphen liest, eine Skizze des Graphen erstellt, Probleme im Zusammenhang mit der Verwendung des Graphen und den Eigenschaften der Funktion y = cosx löst.

9. Hausaufgaben.

§40 #710(2;4), #711(2;4), #711(2;4). Konstruieren Sie Graphen der Funktionen y \u003d cosx und beschreiben Sie die Eigenschaften dieser Funktion.

Zusätzlich Nr. 717(1).

Thema: „Funktion y=cosx“

Lektion 2

Unterrichtsziele: Wiederholen Sie die Regeln zum Erstellen eines Graphen einer Funktion y \u003d cosx, lernen Sie, wie Sie Graphtransformationstechniken anwenden, lesen Sie diesen Graphen, verwenden Sie die Eigenschaften und den Graphen einer Funktion beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen.

Unterrichtsziele.

Pädagogisch - die Bildung funktionaler Darstellungen auf visuellem Material, die Bildung der Fähigkeit, Diagramme der Funktion y \u003d cosx mit verschiedenen Transformationen zu zeichnen, die Fähigkeit zum freien Lesen von Diagrammen zu bilden, die Fähigkeit, die Eigenschaften einer Funktion zu reflektieren ein Graph.

Entwickeln - die Bildung der Fähigkeit, das gewonnene Wissen zu analysieren und zu verallgemeinern. Bildung des logischen Denkens.

Pädagogisch - um das Interesse am Erwerb neuer Kenntnisse zu wecken, eine grafische Kultur zu erziehen, Genauigkeit und Genauigkeit beim Erstellen von Zeichnungen zu bilden.

Ausstattung: Multimedia-Beamer, Leinwand, Betriebssystem Microsoft Windows 98/Me/2000/XP, MS Office 2003: Power Point, Microsoft Word, Microsoft Excel.

Während des Unterrichts

№	Unterrichtsphase	Diashow	Zeit
1	Zeit organisieren. Grüße		1
2	Bekanntgabe von Thema und Zweck der Unterrichtsstunde		2
3	Überprüfung der Hausaufgaben	№717(1), Folie №7	5
4	Präsentation von neuem Material Die Aufgabe, einen Graphen durch Zusammendrücken und Strecken auf der OX-Achse zu zeichnen Diskussion der Eigenschaften der Funktion y =k cosx für k>1 und 0 Die Aufgabe, einen Graphen durch Zusammendrücken und Strecken zu ori OU zu zeichnen Diskussion der Eigenschaften der Funktion y = cos(k x) für k>1 und 0	Folie Nr. 8, 9	12
5	Festigung des Grundwissens. Aufgaben im Lehrbuch lösen №713(1;3), №715(1) №716(1)	Nr. 717 (2) Lehrbuch S. 208. Verwenden Sie beim Lösen von Nr. 715 (1), Nr. 716 (1) den konstruierten Graphen der Funktion y \u003d cos2x. Folie Nr. 10	5
6	Die Aufgabe besteht darin, einen Graphen einer Funktion zu zeichnen, die symmetrisch zur x-Achse ist. 1. Organisatorischer Moment. Grüße. 2. Die Ankündigung des Themas und Zwecks der Lektion wird von Folie Nummer 2 begleitet. 3. Überprüfung der Hausaufgaben 4. Präsentation von neuem Material 1. Die Aufgabe, einen Graphen durch Zusammendrücken und Strecken auf der OX-Achse zu zeichnen. Diskussion der Eigenschaften der Funktion y =k cosx für k>1 und 0 Folie Nummer 8 2. Die Aufgabe, einen Graphen durch Zusammendrücken und Strecken auf der y-Achse zu zeichnen. Diskussion der Eigenschaften der Funktion y = cos(kx) für k>1 und 0 Folie Nummer 9 5. Festigung des Grundwissens Aufgaben lösen nach Lehrbuch Nr. 713 (1; 3), Nr. 715 (1) Nr. 716 (1) Aufgabe Nr. 715 (1) Nr. 716 (1) wird mit Folie Nr. 10 überprüft 6. Die Aufgabe, einen Graphen einer um die x-Achse symmetrischen Funktion zu zeichnen Diskussion der Funktionseigenschaften . Folie Nr. 11 (verwenden Sie die Referenzskizze (Anhang 1)) 7. Selbständiges Arbeiten Lösung von Testproblemen . (Die Hälfte der Studierenden löst Aufgaben in XL (Anlage 2), am Computer, die zweite Hälfte auf Handzetteln (Anlage 3). Danach tauschen die Studierenden die Plätze.) 8. Die Ergebnisse des Unterrichts. Als Ergebnis des Studiums des Themas lernten die Schüler, wie man die Funktion y \u003d cosx grafisch darstellt, die Eigenschaften der Funktion liest, Graphen der Funktion mit verschiedenen Transformationen erstellt, die Eigenschaften von Graphen mit Transformationen liest, einfache Probleme mit Graphen löst und Eigenschaften der Funktion y \u003d cosx. Benotung. 9. Hausaufgaben. §40 #717(3), #713(4), #715(4), #716(2). Zusätzlich Nr. 719(2) (Prüffolie Nr. 13) Zu Beginn der nächsten Lektion können Sie die Schüler einladen, Diagramme auf vorgefertigten Handzetteln zu erstellen (

In dieser Lektion werden wir die Funktion y \u003d cos x, ihre Haupteigenschaften und ihren Graphen im Detail betrachten.Zu Beginn der Lektion geben wir die Definition der trigonometrischen Funktion y \u003d Kosten auf dem Koordinatenkreis und betrachten die Graph der Funktion auf dem Kreis und der Linie. Lassen Sie uns die Periodizität dieser Funktion im Diagramm zeigen und die Haupteigenschaften der Funktion betrachten. Am Ende der Lektion werden wir einige einfache Probleme lösen, indem wir den Graphen der Funktion und ihre Eigenschaften verwenden.

Thema: Trigonometrische Funktionen

Lektion: Funktion y=Kosten, ihre wichtigsten Eigenschaften und Graph

Eine Funktion ist ein Gesetz, nach dem jedem Wert eines unabhängigen Arguments ein eindeutiger Wert der Funktion zugeordnet wird.

Lass uns erinnern Funktionsdefinition Lassen t- jede reelle Zahl. Es entspricht einem einzigen Punkt M auf dem Zahlenkreis. Am Punkt M es gibt nur eine Abszisse. Man nennt es den Kosinus der Zahl. t. Jeder Argumentwert t entspricht nur einem Wert der Funktion (Abb. 1).

Der Mittelpunktswinkel ist numerisch gleich der Größe des Bogens im Bogenmaß, d.h. Zahl Daher kann das Argument entweder eine reelle Zahl oder ein Winkel im Bogenmaß sein.

Wenn wir für jeden Wert bestimmen können, dann können wir die Funktion grafisch darstellen

Sie können den Graphen der Funktion auf andere Weise erhalten. Nach den Reduktionsformeln Das Kosinusdiagramm ist also eine Sinuskurve, die entlang der Achse verschoben ist x nach links (Abb. 2).

Funktionseigenschaften

1) Definitionsbereich:

2) Wertebereich:

3) Die Funktion ist gerade:

4) Die kleinste positive Periode:

5) Koordinaten der Schnittpunkte mit der Abszissenachse:

6) Koordinaten des Schnittpunktes mit der y-Achse:

7) Intervalle, in denen die Funktion positive Werte annimmt:

8) Intervalle, in denen die Funktion negative Werte annimmt:

9) Aufsteigende Intervalle:

10) Absteigende Intervalle:

11) Tiefpunkte:

12) Mindestfunktion: .

13) Höhepunkte:

14) Maximale Ausstattung:

Wir haben die Haupteigenschaften und den Graphen der Funktion betrachtet und werden sie beim Lösen von Problemen verwenden.

Referenzliste

1. Algebra und der Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Lehrbuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra und der Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Aufgabenbuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra und mathematische Analysis für die 10. Klasse (Lehrbuch für Schülerinnen und Schüler von Schulen und Klassen mit Vertiefung in Mathematik) - M.: Pädagogik, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Eine eingehende Untersuchung der Algebra und mathematischen Analyse.-M.: Bildung, 1997.

5. Sammlung mathematischer Probleme für Bewerber an technischen Universitäten (unter der Redaktion von M.I.Skanavi).-M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraischer Trainer.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Tasks in Algebra and the Beginnings of Analysis (ein Handbuch für Schüler der Klassen 10-11 allgemeinbildender Bildungseinrichtungen).-M.: Bildung, 2003.

8. Karp A.P. Aufgabensammlung der Algebra und Anfänge der Analysis: Lehrbuch. Zulage für 10-11 Zellen. mit einem tiefen lernen Mathematik.-M.: Pädagogik, 2006.

Hausaufgaben

Algebra und die Anfänge der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Aufgabenbuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.6, 16.7, 16.9.

Zusätzliche Webressourcen

3. Bildungsportal zur Prüfungsvorbereitung ().

Die wichtigsten trigonometrischen Funktionen sind die Funktionen y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Betrachten wir jeden von ihnen separat.

Y = Sünde(x)

Graph der Funktion y=sin(x).

Grundeigenschaften:

3. Die Funktion ist ungerade.

Y = cos(x)

Graph der Funktion y=cos(x).

Grundeigenschaften:

1. Der Definitionsbereich ist die gesamte Zahlenachse.

2. Die Funktion ist eingeschränkt. Die Wertemenge ist das Segment [-1;1].

3. Die Funktion ist gerade.

4. Die Funktion ist periodisch, wobei die kleinste positive Periode gleich 2*π ist.

Y = Tan(x)

Graph der Funktion y=tg(x).

Grundeigenschaften:

1. Der Definitionsbereich ist die gesamte numerische Achse mit Ausnahme von Punkten der Form x=π/2 + π*k, wobei k eine ganze Zahl ist.

3. Die Funktion ist ungerade.

Y = ctg(x)

Graph der Funktion y=ctg(x).

Grundeigenschaften:

1. Der Definitionsbereich ist die gesamte numerische Achse, mit Ausnahme von Punkten der Form x=π*k, wobei k eine ganze Zahl ist.

2. Die Funktion ist unbegrenzt. Der eingestellte Wert ist der gesamte Zahlenstrahl.

3. Die Funktion ist ungerade.

4. Die Funktion ist periodisch, wobei die kleinste positive Periode gleich π ist.

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