§6. Inhomogenes lineares Gleichungssystem
Ist im linearen Gleichungssystem (7.1) mindestens einer der freien Terme in ich von Null verschieden ist, dann heißt ein solches System heterogen.
Gegeben sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, das sich vektoriell darstellen lässt als
, ich = 1,2,.. .,zu, (7.13)
Betrachten Sie das entsprechende homogene System
ich = 1,2,...
,zu.
(7.14)
Lassen Sie den Vektor 
eine Lösung des inhomogenen Systems (7.13) und des Vektors ist 
ist eine Lösung des homogenen Systems (7.14). Dann ist es leicht zu sehen, dass der Vektor 
ist auch eine Lösung des inhomogenen Systems (7.13). Wirklich
Nun haben wir mit Formel (7.12) der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung
wo 
beliebige Nummer ab R, a 
sind fundamentale Lösungen eines homogenen Systems.
Die Lösung eines inhomogenen Systems ist also die Kombination seiner speziellen Lösung und der allgemeinen Lösung des entsprechenden homogenen Systems.
Lösung (7.15) wird aufgerufen eine allgemeine Lösung eines inhomogenen linearen Gleichungssystems. Aus (7.15) folgt, dass ein kompatibles inhomogenes lineares Gleichungssystem eine eindeutige Lösung vom Rang hat r(EIN) der Hauptmatrix ABER stimmt mit der Nummer überein n unbekanntes System (Cramers System), wenn r(EIN) n, dann hat das System eine unendliche Menge von Lösungen, und diese Menge von Lösungen ist äquivalent zum Unterraum von Lösungen des entsprechenden homogenen Systems von Dimensionsgleichungen n– r.
Beispiele.
1. Gegeben sei ein inhomogenes Gleichungssystem, in dem die Anzahl der Gleichungen zu= 3 und die Anzahl der Unbekannten n = 4.
X 1 – X 2 + X 3 –2X 4 = 1,
X 1 – X 2 + 2X 3 – X 4 = 2,
5X 1 – 5X 2 + 8X 3 – 7X 4 = 3.
Bestimmen Sie die Ränge der Hauptmatrix ABER und erweitert ABER * dieses System. Weil die ABER und ABER * Nicht-Null-Matrizen und k = 3 n, also 1 r (EIN), r * (ABER * ) 3. Betrachten Sie Untergeordnete zweiter Ordnung von Matrizen ABER und ABER * :
Also unter den Minderjährigen zweiter Ordnung von Matrizen ABER und ABER * es gibt ein Moll ungleich Null, also 2 r(EIN),r * (EIN * ) 3. Betrachten Sie nun die Minderjährigen dritter Ordnung
, da die erste und die zweite Spalte proportional sind. Gleiches für Moll 
.
Und so alle Minoren der dritten Ordnung der Hauptmatrix ABER gleich Null sind, also r(EIN) = 2. Für die erweiterte Matrix ABER * es gibt noch Minderjährige dritter Ordnung
Daher unter den Minoren dritter Ordnung der erweiterten Matrix ABER * es gibt einen Moll ungleich Null, also r * (EIN * ) = 3. Das bedeutet das r(EIN) r * (EIN * ) und dann schließen wir auf der Grundlage des Kornecker-Capelli-Theorems, dass dieses System inkonsistent ist.
2. Lösen Sie das Gleichungssystem
3X 1 + 2X 2 + X 3 + X 4 = 1,
3X 1 + 2X 2 – X 3 – 2X 4 = 2.
Für dieses System 
und damit 1 r(EIN),r *
(EIN *
) 2. Betrachte für Matrizen EIN und EIN *
Minderjährige zweiter Ordnung
Auf diese Weise, r(EIN)= r * (EIN * ) = 2, und damit ist das System konsistent. Als Basisvariablen wählen wir zwei beliebige Variablen, bei denen der Minor zweiter Ordnung, zusammengesetzt aus den Koeffizienten dieser Variablen, ungleich Null ist. Solche Variablen können bspw.
X 3 und X 4 weil 
Dann haben wir
X 3 + X 4 = 1 – 3X 1 – 2X 2 ,
– X 3 – 2X 4 = 2 – 3X 1 – 2X 2 .
Wir definieren eine bestimmte Lösung 
heterogenes System. Dafür setzen wir X 1
= X 2
= 0.
X 3 + X 4 = 1,
– X 3 – 2X 4 = 2.
Lösung für dieses System: X 3
= 4, X 4 = - 3, also 
=
(0,0,4, –3).
Wir definieren nun die allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung
X 3 + X 4 = – 3X 1 – 2X 2 ,
–X 3 – 2X 4 = – 3X 1 – 2X 2 .
Lasst uns: X 1 = 1, X 2 = 0
X 3 + X 4 = –3,
–X 3 – 2X 4 = –3.
Lösung dieses Systems X 3 = –9, X 4 = 6.
Auf diese Weise 
Jetzt lassen Sie uns setzen X 1 = 0, X 2 = 1
X 3 + X 4 = –2,
–X 3 – 2X 4 = –2.
Lösung: X 3
= – 6, X 4 = 4, und dann 
Nachdem eine bestimmte Lösung bestimmt wurde 
, inhomogene Gleichung und Fundamentallösungen 
und 
der entsprechenden homogenen Gleichung schreiben wir die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung an.
wo 
beliebige Nummer ab R.
Interne Heterogenität von Systemen: Unterscheidbarkeit von Teilen. Wenn Sie in die „Black Box“ schauen, stellt sich heraus, dass das System nicht homogen, nicht monolithisch ist: Sie können feststellen, dass sich an verschiedenen Stellen unterschiedliche Qualitäten unterscheiden. Die Beschreibung der internen Heterogenität des Systems reduziert sich auf die Isolierung relativ homogener Bereiche, die zwischen diesen Grenzen ziehen. So sieht das Konzept der Teile des Systems aus. Bei näherer Betrachtung stellt sich heraus, dass auch die ausgewählten großen Teile nicht homogen sind, was die Auswahl noch kleinerer Teile erfordert. Das Ergebnis ist eine hierarchische Liste von Systemteilen, die wir das Systemzusammensetzungsmodell nennen werden.
Informationen über die Zusammensetzung des Systems können verwendet werden, um mit dem System zu arbeiten. Die Ziele der Interaktion mit Systemen können unterschiedlich sein, und daher können sich auch die Modelle der Zusammensetzung desselben Systems unterscheiden. Es ist nicht einfach, ein nützliches, praktikables Modell zu erstellen.
Schwierigkeiten beim Aufbau eines Kompositionsmodells
Auf den ersten Blick sind die Teile des Systems nicht schwer zu unterscheiden, sie sind „auffällig“. Einige Systeme differenzieren sich im Prozess des natürlichen Wachstums und der Entwicklung spontan in Teile (Organismen, Gesellschaften, Planetensysteme, Moleküle, Mineralvorkommen usw.). Künstliche Systeme werden bewusst aus zuvor getrennten Teilen (Mechanismen, Gebäude, Texte, Melodien etc.) zusammengesetzt. Es gibt auch gemischte Arten von Systemen (Schutzgebiete, landwirtschaftliche Systeme, Naturforschungsorganisationen, Zugverkehr).
Fragen Sie andererseits einen Rektor, einen Studenten, einen Buchhalter oder einen Geschäftsführer, aus welchen Teilen die Universität besteht, und jeder wird Ihnen sein eigenes Modell der Zusammensetzung nennen, das sich von den anderen unterscheidet. Der Pilot, die Stewardess und der Passagier bestimmen auch die Zusammensetzung des Flugzeugs auf unterschiedliche Weise. Wir können sagen, dass der Körper aus der rechten und der linken Hälfte besteht, oder Sie können sagen, dass er aus der oberen und der unteren Hälfte besteht. Worin besteht es also „wirklich“?
Die Schwierigkeiten beim Aufbau eines Kompositionsmodells, die jeder überwinden muss, lassen sich durch drei Bestimmungen darstellen.
1. Das Ganze kann auf unterschiedliche Weise in Teile geteilt werden.
Das Ganze kann auf unterschiedliche Weise in Teile geteilt werden (wie das Schneiden eines Brotlaibs in Scheiben unterschiedlicher Größe und Form). Wie genau ist es notwendig? Antwort: wie Sie Ihr Ziel erreichen müssen. Beispielsweise wird die Zusammensetzung eines Autos Fahranfängern, zukünftigen Berufskraftfahrern, Mechanikern, die sich auf die Arbeit in Autowerkstätten vorbereiten, und Verkäufern in Autohäusern auf unterschiedliche Weise präsentiert.
Dann liegt es nahe, auf die Frage zurückzukommen: Existieren die Teile „eigentlich“? Beachten Sie die sorgfältige Formulierung der betreffenden Eigenschaft: Unterscheidbarkeit von Teilen statt Trennbarkeit in Teile. Auf der anderen Seite sind wir auf das Problem der Integrität von Systemen gekommen: Sie können die Teile des Systems, die Sie für Ihren Zweck benötigen, unterscheiden und die Ihnen darüber zur Verfügung stehenden Informationen verwenden, aber Sie sollten sie nicht trennen. Später werden wir diese Position vertiefen und ausbauen.
2. Die Anzahl der Teile im Kompositionsmodell
Die Anzahl der Teile im Kompositionsmodell hängt auch davon ab, auf welcher Ebene die Fragmentierung des Systems gestoppt wird. Die Teile an den Endzweigen des resultierenden hierarchischen Baums werden als Elemente bezeichnet. Unter verschiedenen Umständen wird die Zersetzung auf verschiedenen Ebenen beendet. Wenn Sie beispielsweise anstehende Arbeiten beschreiben, müssen Sie einem erfahrenen Arbeiter und einem Anfänger Anweisungen in unterschiedlichem Detaillierungsgrad geben. Daher hängt das Kompositionsmodell davon ab, was als elementar angesehen wird, und da dieses Wort bewertend ist, ist es kein absolutes, sondern ein relatives Konzept. Es gibt jedoch Fälle, in denen ein Element natürlicher, absoluter Natur ist (eine Zelle ist das einfachste Element eines lebenden Organismus; ein Individuum ist das letzte Element der Gesellschaft, Phoneme sind die kleinsten Teile der mündlichen Sprache) oder durch unsere Fähigkeiten bestimmt (Wir können zum Beispiel annehmen, dass ein Elektron auch aus etwas besteht, aber bisher konnten Physiker Teile davon nicht mit einer Bruchladung nachweisen).
3. Äußere Grenze des Systems
Jedes System ist Teil eines größeren Systems (und oft Teil mehrerer Systeme gleichzeitig). Und dieses Metasystem kann auch auf unterschiedliche Weise in Subsysteme unterteilt werden. Das bedeutet, dass die äußere Grenze des Systems einen relativen, bedingten Charakter hat. Auch die „offensichtliche“ Grenze des Systems (menschliche Haut, der Zaun eines Unternehmens etc.) reicht unter bestimmten Bedingungen nicht aus, um die Grenze unter diesen Bedingungen zu bestimmen. Zum Beispiel nehme ich während einer Mahlzeit ein Schnitzel mit einer Gabel von einem Teller, beiße es ab, kaue es, schlucke es, verdaue es. Wo ist der Grenzübergang, welches Schnitzel mein Teil wird? Ein weiteres Beispiel ist die Unternehmensgrenze. Der Arbeiter stürzte auf der Treppe und brach sich das Bein. Nach der Behandlung stellt sich beim Bezahlen des Bulletins die Frage: Welche Art von Verletzung war es - häuslich oder industriell (sie werden unterschiedlich bezahlt)? Es besteht kein Zweifel, dass es die Treppe des Unternehmens war. Aber wenn es die Treppe des Hauses war, in dem der Arbeiter lebt, dann hängt alles davon ab, wie er nach Hause gegangen ist. Wenn Sie direkt von der Arbeit kommen und die Wohnungstür noch nicht erreicht haben, gilt die Verletzung als Arbeitsunfall. Aber wenn er unterwegs in ein Geschäft oder ins Kino ging, handelt es sich um eine häusliche Verletzung. Wie Sie sehen können, definiert das Gesetz die Grenzen des Unternehmens bedingt.
Die Konditionalität der Systemgrenzen bringt uns wieder zurück zum Problem der Integrität, nun der Integrität der ganzen Welt. Die Definition der Systemgrenze erfolgt unter Berücksichtigung der Ziele des Subjekts, das die Systemmodelle verwenden wird.
Tarasenko F.P. Angewandte Systemanalyse (Die Wissenschaft und Kunst der Problemlösung): Lehrbuch. - Tomsk; Tomsk University Press, 2004. ISBN 5-7511-1838-3
Der Begriff „System“ wird in verschiedenen Wissenschaften verwendet. Dementsprechend werden in verschiedenen Situationen unterschiedliche Definitionen des Systems verwendet: von philosophisch bis formal. Für die Zwecke des Kurses ist die folgende Definition am besten geeignet: Ein System ist eine Menge von Elementen, die durch Verbindungen verbunden sind und zusammenwirken, um ein Ziel zu erreichen.
Systeme zeichnen sich durch eine Reihe von Eigenschaften aus, von denen die wichtigsten in drei Gruppen unterteilt sind: statisch, dynamisch und synthetisch.
1.1 Statische Eigenschaften von Systemen
statisch Eigenschaften werden Merkmale eines Zustands des Systems genannt. Diese besitzt das System zu jedem festen Zeitpunkt.Integrität. Jedes System agiert als etwas Einheitliches, Ganzes, Isoliertes, das sich von allem anderen unterscheidet. Diese Eigenschaft wird als Systemintegrität bezeichnet. Es ermöglicht Ihnen, die ganze Welt in zwei Teile zu teilen: das System und die Umgebung.
Offenheit. Das isolierte System ist im Unterschied zu allem anderen nicht von der Umwelt isoliert. Im Gegenteil, sie sind miteinander verbunden und tauschen verschiedene Arten von Ressourcen (Stoffe, Energie, Informationen usw.) aus. Dieses Merkmal wird als "Offenheit" bezeichnet.
Die Verbindungen des Systems mit der Umwelt sind gerichtet: nach dem einen beeinflusst die Umwelt das System (System-Inputs), nach anderen beeinflusst das System die Umwelt, tut etwas in der Umwelt, gibt der Umwelt etwas (System-Outputs) . Die Beschreibung der Ein- und Ausgänge des Systems wird als Black-Box-Modell bezeichnet. In einem solchen Modell gibt es keine Informationen über die internen Merkmale des Systems. Trotz der scheinbaren Einfachheit reicht ein solches Modell oft aus, um mit dem System zu arbeiten.
In vielen Fällen können Sie bei der Steuerung von Geräten oder Personen nur mit Informationen über die Ein- und Ausgänge des Systems das Ziel erfolgreich erreichen. Dieses Modell muss jedoch bestimmte Anforderungen erfüllen. Beispielsweise kann es für den Nutzer zu Schwierigkeiten kommen, wenn er nicht weiß, dass bei manchen TV-Modellen der Power-Knopf nicht gedrückt, sondern herausgezogen werden muss. Daher muss das Modell für ein erfolgreiches Management alle Informationen enthalten, die zum Erreichen des Ziels erforderlich sind. Beim Versuch, diese Anforderung zu erfüllen, können vier Arten von Fehlern auftreten, die darauf zurückzuführen sind, dass das Modell immer eine endliche Anzahl von Verbindungen enthält, während die Anzahl der Verbindungen in einem realen System unbegrenzt ist.
Ein Fehler der ersten Art tritt auf, wenn das Subjekt die Beziehung irrtümlicherweise als signifikant ansieht und beschließt, sie in das Modell aufzunehmen. Dies führt zum Auftreten unnötiger, unnötiger Elemente im Modell. Ein Fehler der zweiten Art liegt hingegen vor, wenn entschieden wird, einen vermeintlich unbedeutenden Zusammenhang aus dem Modell auszuschließen, ohne den die Zielerreichung tatsächlich schwierig oder gar unmöglich ist.
Die Antwort auf die Frage, welcher Fehler schlimmer ist, hängt vom Kontext ab, in dem er gestellt wird. Es ist klar, dass die Verwendung eines fehlerhaften Modells zwangsläufig zu Verlusten führt. Verluste können gering, akzeptabel, unerträglich und inakzeptabel sein. Der durch einen Fehler 1. Art verursachte Schaden ist darauf zurückzuführen, dass die von ihm eingeführten Informationen redundant sind. Wenn Sie mit einem solchen Modell arbeiten, müssen Sie Ressourcen für die Korrektur und Verarbeitung unnötiger Informationen aufwenden, z. B. Computerspeicher und Verarbeitungszeit dafür aufwenden. Dies hat möglicherweise keinen Einfluss auf die Qualität der Lösung, wirkt sich jedoch definitiv auf die Kosten und die Aktualität aus. Verluste durch einen Fehler der zweiten Art - Schäden durch die Tatsache, dass nicht genügend Informationen vorhanden sind, um das Ziel vollständig zu erreichen, das Ziel kann nicht vollständig erreicht werden.
Nun ist klar, dass der schlimmste Fehler derjenige ist, durch den die Verluste größer sind, und dies hängt von den konkreten Umständen ab. Wenn zum Beispiel Zeit ein kritischer Faktor ist, dann wird ein Fehler der ersten Art viel gefährlicher als ein Fehler der zweiten Art: Eine rechtzeitig getroffene Entscheidung, wenn auch nicht die beste, ist einer optimalen, aber späten vorzuziehen .
Fehler vom Typ III gelten als Folgen von Unwissenheit. Um die Bedeutung einer Verbindung einschätzen zu können, muss man wissen, dass sie überhaupt existiert. Ist dies nicht bekannt, dann lohnt sich die Frage nach der Einbeziehung des Anschlusses in das Modell überhaupt nicht. Für den Fall, dass eine solche Verbindung unbedeutend ist, wird ihr Vorhandensein in der Realität und ihr Fehlen im Modell in der Praxis nicht wahrnehmbar sein. Wenn die Beziehung signifikant ist, treten ähnliche Schwierigkeiten auf wie bei einem Typ-II-Fehler. Der Unterschied besteht darin, dass der Typ-III-Fehler schwieriger zu korrigieren ist: Er erfordert die Gewinnung neuer Erkenntnisse.
Ein Fehler der vierten Art tritt auf, wenn eine fehlerhafte Zuordnung eines bekannten signifikanten Zusammenhangs zu der Anzahl von Ein- oder Ausgängen des Systems erfolgt. Es ist zum Beispiel bekannt, dass im England des 19. Jahrhunderts die Gesundheit von Männern mit Zylinderhüten die von Männern mit Mützen weit übertraf. Daraus folgt kaum, dass die Art der Kopfbedeckung als Input für ein System zur Vorhersage des Gesundheitszustandes angesehen werden kann.
Interne Heterogenität von Systemen, Unterscheidbarkeit von Teilen. Schaut man in die „Black Box“, stellt sich heraus, dass das System heterogen und nicht monolithisch ist. Es kann festgestellt werden, dass unterschiedliche Qualitäten in verschiedenen Teilen des Systems unterschiedlich sind. Die Beschreibung der internen Heterogenität des Systems reduziert sich auf die Isolierung relativ homogener Bereiche, die zwischen diesen Grenzen ziehen. So sieht das Konzept der Teile des Systems aus. Bei näherer Betrachtung stellt sich heraus, dass auch die ausgewählten großen Teile inhomogen sind, was die Auswahl noch kleinerer Teile erfordert. Das Ergebnis ist eine hierarchische Beschreibung der Teile des Systems, die als Kompositionsmodell bezeichnet wird.
Informationen über die Zusammensetzung des Systems können verwendet werden, um mit dem System zu arbeiten. Die Ziele der Interaktion mit dem System können unterschiedlich sein, und daher können sich auch die Modelle der Zusammensetzung desselben Systems unterscheiden. Auf den ersten Blick ist es nicht schwierig, die Teile des Systems zu unterscheiden, sie sind "auffällig". In einigen Systemen entstehen Teile willkürlich im Prozess des natürlichen Wachstums und der Entwicklung (Organismen, Gesellschaften usw.). Künstliche Systeme werden bewusst aus bereits bekannten Teilen (Mechanismen, Gebäude etc.) zusammengesetzt. Es gibt auch gemischte Arten von Systemen, wie z. B. Reserven, landwirtschaftliche Systeme. Andererseits besteht die Universität aus Sicht des Rektors, Studenten, Buchhalters und Wirtschaftsführers aus verschiedenen Teilen. Das Flugzeug besteht aus Sicht des Piloten, der Stewardess und des Passagiers aus verschiedenen Teilen. Die Schwierigkeiten bei der Erstellung eines Zusammensetzungsmodells können durch drei Bestimmungen dargestellt werden.
Erstens kann das Ganze auf unterschiedliche Weise in Teile geteilt werden. In diesem Fall wird die Teilungsmethode durch das Ziel bestimmt. Beispielsweise wird die Zusammensetzung eines Autos Fahranfängern, zukünftigen Berufskraftfahrern, Mechanikern, die sich auf die Arbeit in einem Autoservice-Center vorbereiten, und Verkäufern in Autohäusern auf unterschiedliche Weise präsentiert. Es stellt sich natürlich die Frage, ob Teile des Systems „wirklich“ existieren? Die Antwort liegt in der Formulierung der betreffenden Eigenschaft: Wir sprechen von der Unterscheidbarkeit und nicht von der Trennbarkeit von Teilen. Man kann die Teile des Systems unterscheiden, die zur Erreichung des Ziels notwendig sind, aber man kann sie nicht trennen.
Zweitens hängt die Anzahl der Teile im Zusammensetzungsmodell auch davon ab, auf welcher Ebene die Fragmentierung des Systems gestoppt wird. Die Teile an den Endzweigen des resultierenden hierarchischen Baums werden als Elemente bezeichnet. Unter verschiedenen Umständen wird die Zersetzung auf verschiedenen Ebenen beendet. Wenn Sie beispielsweise anstehende Arbeiten beschreiben, müssen Sie einem erfahrenen Arbeiter und einem Anfänger Anweisungen in unterschiedlichem Detaillierungsgrad geben. Somit hängt das Zusammensetzungsmodell davon ab, was als elementar betrachtet wird. Es gibt Fälle, in denen ein Element einen natürlichen, absoluten Charakter hat (Zelle, Individuum, Phonem, Elektron).
Drittens ist jedes System Teil eines größeren Systems und manchmal mehrerer Systeme gleichzeitig. Ein solches Metasystem kann auch auf unterschiedliche Weise in Subsysteme unterteilt werden. Das bedeutet, dass die äußere Grenze des Systems einen relativen, bedingten Charakter hat. Die Definition der Grenzen des Systems erfolgt unter Berücksichtigung der Ziele des Subjekts, das das Systemmodell verwenden wird.
Strukturiert. Die Eigenschaft der Strukturiertheit liegt darin, dass die Teile des Systems nicht isoliert, nicht unabhängig voneinander sind; sie sind miteinander verbunden und interagieren miteinander. Dabei hängen die Eigenschaften des Systems wesentlich davon ab, wie genau seine Teile zusammenspielen. Daher sind Informationen über die Verbindungen der Elemente des Systems so wichtig. Die Liste der wesentlichen Verbindungen zwischen den Elementen des Systems wird als Systemstrukturmodell bezeichnet. Die Ausstattung eines beliebigen Systems mit einer bestimmten Struktur wird als Strukturiertheit bezeichnet.
Das Konzept der Strukturierung vertieft die Idee der Integrität des Systems weiter: Verbindungen halten sozusagen die Teile zusammen, halten sie als Ganzes. Integrität, die zuvor als externe Eigenschaft erwähnt wurde, erhält eine verstärkende Erklärung aus dem Inneren des Systems – durch die Struktur.
Beim Aufbau eines Modells der Struktur treten auch gewisse Schwierigkeiten auf. Der erste davon bezieht sich auf die Tatsache, dass das Strukturmodell bestimmt wird, nachdem das Zusammensetzungsmodell gewählt wurde, und davon abhängt, was genau die Zusammensetzung des Systems ist. Aber auch bei fester Zusammensetzung ist das Strukturmodell variabel. Dies liegt an der Möglichkeit, die Bedeutung von Beziehungen auf unterschiedliche Weise zu bestimmen. Beispielsweise wird einem modernen Manager empfohlen, neben der formalen Struktur seiner Organisation auch die Existenz informeller Beziehungen zwischen Mitarbeitern zu berücksichtigen, die sich auch auf das Funktionieren der Organisation auswirken. Die zweite Schwierigkeit ergibt sich aus der Tatsache, dass jedes Element des Systems wiederum eine „kleine Black Box“ ist. Somit sind alle vier Arten von Fehlern möglich, wenn die Ein- und Ausgänge jedes im Strukturmodell enthaltenen Elements bestimmt werden.
1.2 DYNAMISCHE EIGENSCHAFTEN VON SYSTEMEN
Betrachten wir den Zustand des Systems zu einem neuen Zeitpunkt, so finden wir wieder alle vier statischen Eigenschaften. Legt man aber die „Fotografien“ des Systems zu unterschiedlichen Zeitpunkten übereinander, so stellt man fest, dass sie sich in Details unterscheiden: In der Zeit zwischen zwei Beobachtungspunkten traten einige Veränderungen im System und seinem System auf Umgebung. Solche Änderungen können bei der Arbeit mit dem System wichtig sein und sollten sich daher in den Beschreibungen des Systems widerspiegeln und bei der Arbeit damit berücksichtigt werden. Merkmale von Änderungen im Laufe der Zeit innerhalb und außerhalb des Systems werden als dynamische Eigenschaften des Systems bezeichnet. Allgemein werden vier dynamische Eigenschaften eines Systems unterschieden.Funktionalität. Prozesse Y(t) an den Ausgängen des Systems auftreten, gelten als seine Funktionen. Die Funktionen des Systems sind sein Verhalten in der äußeren Umgebung, die Ergebnisse seiner Aktivitäten, die vom System produzierten Produkte.
Aus der Vielzahl der Ausgänge folgt die Vielzahl der Funktionen, die jeweils von jemandem und für etwas genutzt werden können. Daher kann dasselbe System unterschiedlichen Zwecken dienen. Das Subjekt, das das System für seine eigenen Zwecke verwendet, wird natürlich seine Funktionen bewerten und sie in Bezug auf seine Bedürfnisse anordnen. So erscheinen die Begriffe Haupt-, Neben-, Neutral-, unerwünschte, überflüssige Funktion usw.
Stimulierbarkeit. Auch an den Eingängen des Systems finden bestimmte Prozesse statt. X(t), das System beeinflusst und sich nach einer Reihe von Transformationen im System in verwandelt Y(t). Einfluss X(t) werden als Anreize bezeichnet, und die Anfälligkeit eines Systems gegenüber äußeren Einflüssen und die Änderung seines Verhaltens unter diesen Einflüssen werden als Stimulierbarkeit bezeichnet.
Variabilität des Systems im Laufe der Zeit. In jedem System gibt es Änderungen, die berücksichtigt werden müssen. In Bezug auf das Systemmodell können wir sagen, dass sich die Werte interner Variablen (Parameter) ändern können Z(t), die Zusammensetzung und Struktur des Systems und jede Kombination davon. Auch die Art dieser Veränderungen kann unterschiedlich sein. Daher können weitere Klassifizierungen von Änderungen in Betracht gezogen werden.
Die naheliegendste Klassifizierung erfolgt nach der Änderungsrate (langsam, schnell). Die Änderungsrate wird relativ zu einer als Standard genommenen Rate gemessen. Eine große Anzahl von Abstufungen von Raten kann eingeführt werden. Es ist auch möglich, Trends zu klassifizieren Änderungen des Systems hinsichtlich seiner Struktur und Zusammensetzung.
Wir können über solche Änderungen sprechen, die die Struktur des Systems nicht beeinflussen: Einige Elemente werden durch andere ersetzt, gleichwertige; Optionen Z(t) kann sich ändern, ohne die Struktur zu ändern. Diese Art der Systemdynamik wird als Funktionieren bezeichnet. Änderungen können quantitativ sein: Es kommt zu einer Zunahme der Zusammensetzung des Systems, und obwohl sich automatisch auch seine Struktur ändert, beeinflusst dies die Eigenschaften des Systems erst ab einem bestimmten Punkt (z. B. Erweiterung einer Müllhalde). Solche Änderungen werden als Systemwachstum bezeichnet. Bei qualitativen Änderungen des Systems ändern sich dessen wesentliche Eigenschaften. Gehen solche Veränderungen in eine positive Richtung, spricht man von Entwicklung. Mit den gleichen Ressourcen erzielt ein entwickeltes System bessere Ergebnisse, neue positive Eigenschaften (Funktionen) können auftreten. Dies ist auf eine Erhöhung des Konsistenzniveaus und der Organisation des Systems zurückzuführen.
Wachstum erfolgt hauptsächlich aufgrund des Verbrauchs materieller Ressourcen, Entwicklung - aufgrund der Assimilation und Nutzung von Informationen. Wachstum und Entwicklung können gleichzeitig stattfinden, sind aber nicht unbedingt miteinander verbunden. Wachstum ist immer begrenzt (aufgrund begrenzter materieller Ressourcen), und Entwicklung von außen ist nicht begrenzt, da Informationen über die externe Umgebung unerschöpflich sind. Entwicklung ist das Ergebnis des Lernens, aber das Lernen kann nicht anstelle des Lernenden erfolgen. Daher gibt es eine interne Beschränkung der Entwicklung. Wenn das System nicht lernen „will“, kann und will es sich nicht weiterentwickeln.
Neben den Wachstums- und Entwicklungsprozessen können im System auch umgekehrte Prozesse ablaufen. Die Umkehrung des Wachstums wird Rückgang, Kontraktion, Abnahme genannt. Die umgekehrte Entwicklung der Veränderung wird als Abbau, Verlust oder Schwächung nützlicher Eigenschaften bezeichnet.
Die betrachteten Änderungen sind monoton, dh sie sind "in eine Richtung" gerichtet. Offensichtlich können monotone Änderungen nicht ewig dauern. In der Geschichte eines jeden Systems lassen sich Perioden des Niedergangs und des Aufstiegs, der Stabilität und der Instabilität unterscheiden, deren Abfolge einen individuellen Lebenszyklus des Systems bildet.
Sie können andere Klassifikationen von Prozessen verwenden, die im System auftreten: Gemäß der Vorhersagbarkeit werden Prozesse in zufällige und deterministische Prozesse unterteilt; Je nach Art der Zeitabhängigkeit werden Prozesse in monotone, periodische, harmonische, impulsive usw. unterteilt.
Existenz in einer sich verändernden Umwelt. Nicht nur dieses System verändert sich, sondern auch alle anderen. Für das betrachtete System sieht dies nach einer kontinuierlichen Veränderung der Umgebung aus. Dieser Umstand hat viele Konsequenzen für das System selbst, das sich an neue Bedingungen anpassen muss, um nicht unterzugehen. Bei der Betrachtung eines bestimmten Systems wird üblicherweise auf die Merkmale einer bestimmten Reaktion des Systems geachtet, beispielsweise die Reaktionsgeschwindigkeit. Wenn wir Systeme betrachten, die Informationen speichern (Bücher, magnetische Medien), dann sollte die Reaktionsgeschwindigkeit auf Änderungen in der äußeren Umgebung minimal sein, um die Erhaltung von Informationen zu gewährleisten. Andererseits muss die Reaktionsgeschwindigkeit des Steuersystems um ein Vielfaches größer sein als die Änderungsgeschwindigkeit der Umgebung, da das System die Steueraktion wählen muss, noch bevor sich der Zustand der Umgebung irreversibel ändert.
1.3 SYNTHETISCHE EIGENSCHAFTEN VON SYSTEMEN
Synthetische Eigenschaften umfassen verallgemeinernde, integrale, kollektive Eigenschaften, die die Wechselwirkung des Systems mit der Umgebung beschreiben und die Integrität im allgemeinsten Sinne berücksichtigen.Entstehung. Die Kombination von Elementen zu einem System führt zur Entstehung qualitativ neuer Eigenschaften, die nicht aus den Eigenschaften der Teile abgeleitet sind, nur dem System selbst innewohnen und nur existieren, solange das System ein Ganzes ist. Solche Eigenschaften des Systems werden genannt
emergent (aus dem Englischen „entstehen“).
Beispiele für emergente Eigenschaften finden sich in verschiedenen Bereichen. Zum Beispiel kann kein Teil eines Flugzeugs fliegen, aber das Flugzeug fliegt trotzdem. Die Eigenschaften von Wasser, von denen viele noch nicht vollständig verstanden sind, folgen nicht aus den Eigenschaften von Wasserstoff und Sauerstoff.
Lassen Sie es zwei Black Boxes geben, von denen jede einen Eingang und einen Ausgang hat und eine Operation ausführt - addiert eins zu der Zahl am Eingang. Wenn wir solche Elemente gemäß dem in der Abbildung gezeigten Schema verbinden, erhalten wir ein System ohne Eingänge, aber mit zwei Ausgängen. Bei jedem Arbeitszyklus gibt das System eine größere Zahl aus, während an einem Eingang nur gerade Zahlen und an dem anderen nur ungerade Zahlen erscheinen.
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| a | b |
| Abb.1.1. Anschluss von Systemelementen: a) System mit zwei Ausgängen; b) Parallelschaltung von Elementen |
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Die emergenten Eigenschaften eines Systems werden durch seine Struktur bestimmt. Dies bedeutet, dass unterschiedliche Kombinationen von Elementen unterschiedliche emergente Eigenschaften erzeugen. Wenn Sie die Elemente beispielsweise parallel schalten, unterscheidet sich das funktional neue System nicht von einem Element. Die Entstehung manifestiert sich in einer Erhöhung der Zuverlässigkeit des Systems aufgrund der Parallelschaltung zweier identischer Elemente - dh aufgrund von Redundanz.
Es sollte ein wichtiger Fall beachtet werden, wenn die Elemente des Systems alle seine Eigenschaften haben. Diese Situation ist typisch für den fraktalen Aufbau des Systems. Dabei sind die Strukturierungsprinzipien der Teile dieselben wie die des Gesamtsystems. Ein Beispiel für ein fraktales System ist eine Organisation, in der das Management auf allen Hierarchieebenen identisch aufgebaut ist.
Untrennbarkeit in Teile. Diese Eigenschaft ist tatsächlich eine Folge der Emergenz. Sie wird besonders deshalb hervorgehoben, weil ihre praktische Bedeutung groß ist und häufig unterschätzt wird.
Wenn ein Teil aus dem System entfernt wird, treten zwei wichtige Ereignisse auf. Erstens ändert sich die Zusammensetzung des Systems und damit seine Struktur. Es wird ein anderes System mit anderen Eigenschaften sein. Zweitens verhält sich das dem System entzogene Element anders, weil sich seine Umgebung ändert. All dies legt nahe, dass bei der getrennten Betrachtung eines Elements vom Rest des Systems Vorsicht geboten ist.
Inhärenz. Das System ist umso integraler (aus dem Englischen inhärent – „Teil von etwas sein“), je besser es auf die Umgebung abgestimmt, mit ihr verträglich ist. Der Grad der Vererbung ist unterschiedlich und kann sich ändern. Die Zweckmäßigkeit, die Inhärenz als eine der Eigenschaften des Systems zu betrachten, hängt damit zusammen, dass der Grad und die Qualität der Implementierung der gewählten Funktion durch das System davon abhängen. In natürlichen Systemen wird die Vererbung durch natürliche Selektion erhöht. In künstlichen Systemen sollte die Inhärenz ein besonderes Anliegen des Designers sein.
In einer Reihe von Fällen wird die Inhärenz mit Hilfe von Zwischensystemen bereitgestellt. Beispiele sind Adapter für die Verwendung ausländischer Elektrogeräte in Verbindung mit Steckdosen im sowjetischen Stil; Middleware (z. B. der Windows-COM-Dienst), die es zwei Programmen unterschiedlicher Hersteller ermöglicht, miteinander zu kommunizieren.
Zweckmäßigkeit. In von Menschen geschaffenen Systemen ist die Unterordnung sowohl der Struktur als auch der Zusammensetzung unter das Erreichen des gesetzten Ziels so offensichtlich, dass sie als grundlegende Eigenschaft jedes künstlichen Systems anerkannt werden kann. Diese Eigenschaft wird Zweckmäßigkeit genannt. Das Ziel, für das das System erstellt wird, bestimmt, welche emergente Eigenschaft das Erreichen des Ziels sicherstellt, und dies bestimmt wiederum die Wahl der Struktur und Zusammensetzung des Systems. Um den Begriff der Zweckmäßigkeit auf natürliche Systeme auszudehnen, bedarf es einer Klärung des Zweckbegriffs. Die Verfeinerung erfolgt am Beispiel eines künstlichen Systems.
Die Geschichte eines beliebigen künstlichen Systems beginnt zu einem Zeitpunkt 0, wenn sich der vorhandene Wert des Zustandsvektors Y 0 als unbefriedigend herausstellt, dh eine problematische Situation entsteht. Der Proband ist mit diesem Zustand unzufrieden und möchte ihn ändern. Er begnüge sich mit den Werten des Zustandsvektors Y*. Dies ist die erste Definition des Zwecks. Außerdem stellt sich heraus, dass Y* derzeit nicht existiert und aus einer Reihe von Gründen in naher Zukunft nicht erreicht werden kann. Der zweite Schritt bei der Definition eines Ziels besteht darin, es als wünschenswerten zukünftigen Zustand zu erkennen. Es wird sofort klar, dass die Zukunft nicht begrenzt ist. Der dritte Schritt zur Verfeinerung des Zielbegriffs besteht darin, die Zeit T* abzuschätzen, zu der der gewünschte Zustand Y* unter gegebenen Bedingungen erreicht werden kann. Jetzt wird das Ziel zweidimensional, es ist ein Punkt (T*, Y*) auf dem Graphen. Die Aufgabe besteht darin, sich vom Punkt (0, Y 0) zum Punkt (T*, Y*) zu bewegen. Aber es stellt sich heraus, dass dieser Weg auf verschiedenen Trajektorien beschritten werden kann und nur einer davon verwirklicht werden kann. Die Wahl sei auf die Trajektorie Y*( t). Damit wird das Ziel nun nicht nur als Endzustand (T*, Y*), sondern auch als gesamte Trajektorie Y*( t) („Zwischenziele“, „Plan“). Das Ziel sind also die gewünschten zukünftigen Zustände Y*( t).
Nach der Zeit T* wird der Zustand Y* real. Daher wird es möglich, das Ziel als einen zukünftigen realen Zustand zu definieren. Damit lässt sich sagen, dass auch natürliche Systeme die Eigenschaft der Zweckmäßigkeit haben, was uns erlaubt, von einem einheitlichen Standpunkt aus an die Beschreibung von Systemen jeglicher Art heranzugehen. Der Hauptunterschied zwischen natürlichen und künstlichen Systemen besteht darin, dass natürliche Systeme, die den Naturgesetzen gehorchen, objektive Ziele verwirklichen, während künstliche Systeme geschaffen werden, um subjektive Ziele zu erreichen.
2.4.1. Definition. Gegeben sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem
Stellen Sie sich ein homogenes System vor
für die die Koeffizientenmatrix mit der Koeffizientenmatrix des Systems (2.4.1) übereinstimmt. Dann wird System (2.4.2) aufgerufen reduziertes homogenes System (2.4.1).
2.4.2. Satz. Die allgemeine Lösung eines inhomogenen Systems ist gleich der Summe einer bestimmten Lösung des inhomogenen Systems und der allgemeinen Lösung des reduzierten homogenen Systems.
Um also die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems (2.4.1) zu finden, genügt es:
1) Untersuchen Sie es auf Kompatibilität. Bei Kompatibilität:
2) Finden Sie die allgemeine Lösung des reduzierten homogenen Systems.
3) Finden Sie eine bestimmte Lösung zur ursprünglichen (nicht homogenen) Lösung.
4) Nachdem Sie die gefundene spezielle Lösung und die allgemeine Lösung der gegebenen addiert haben, finden Sie die allgemeine Lösung des ursprünglichen Systems.
2.4.3. Eine Übung. Untersuchen Sie das System auf Kompatibilität und finden Sie im Kompatibilitätsfall seine allgemeine Lösung in Form der Summe aus dem Quotienten und der allgemeinen Reduktion.
Lösung. a) Um das Problem zu lösen, verwenden wir das obige Schema:
1) Wir prüfen das System auf Kompatibilität (nach der Methode der Begrenzung von Minoren): Der Rang der Hauptmatrix ist 3 (siehe Lösung von Übung 2.2.5, a), und der von Null verschiedene Minor der maximalen Ordnung besteht aus den Elementen der 1. , 2., 4. Reihe und die 1., 3., 4. Spalte. Um den Rang der erweiterten Matrix zu finden, umranden wir sie mit der 3. Zeile und der 6. Spalte der erweiterten Matrix: =0. Meint, rg EIN =rg=3, und das System ist konsistent. Insbesondere ist es dem System äquivalent
2) Finden Sie eine allgemeine Lösung X 0 reduziert homogen dieses Systems
X 0 ={(-2a - b ; a ; b ; b ; b ) | a , b Î R}
(siehe Lösung von Aufgabe 2.2.5, a)).
3) Finden Sie eine bestimmte Lösung x h des ursprünglichen Systems . Dazu werden im System (2.4.3), das dem ursprünglichen entspricht, die freien Unbekannten verwendet x 2 und x Wir setzen zum Beispiel 5 gleich Null (dies sind die bequemsten Daten):
und lösen Sie das resultierende System: x 1 =- , x 3 =- , x 4=-5. Somit ist (- ; 0; - ; -5; 0) ¾ eine spezielle Lösung des Systems.
4) Wir finden die allgemeine Lösung X n des ursprünglichen Systems :
Xn={x h }+X 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2a - b ; a ; b ; b ; b )}=
={(- -2a - b ; a ; - + b ; -5+b ; b )}.
Kommentar. Vergleichen Sie Ihre Antwort mit der zweiten Antwort in Beispiel 1.2.1 c). Um eine Antwort in der ersten Form für 1.2.1 c) zu erhalten, nehmen wir als grundlegende Unbekannte x 1 , x 3 , x 5 (deren Moll ebenfalls ungleich Null ist) und als freies ¾ x 2 und x 4 .
§3. Einige Anwendungen.
3.1. Zur Frage der Matrizengleichungen. Wir erinnern Sie daran Matrixgleichung über das Feld F ist eine Gleichung, in der eine Matrix über dem Feld als Unbekannte fungiert F .
Die einfachsten Matrixgleichungen sind Gleichungen der Form
AXT=B , XA =B (2.5.1)
wo EIN , B ¾ gegebene (bekannte) Matrizen über Feld F , a X ¾ solcher Matrizen, bei deren Einsetzen welche Gleichungen (2.5.1) zu echten Matrixgleichungen werden. Insbesondere die Matrixmethode bestimmter Systeme wird auf das Lösen einer Matrixgleichung reduziert.
Wenn die Matrizen EIN in Gleichungen (2.5.1) sind nicht entartet, sie haben jeweils Lösungen X =Ein B und X =BA .
Für den Fall, dass mindestens eine der Matrizen auf der linken Seite der Gleichungen (2.5.1) entartet ist, ist dieses Verfahren nicht mehr geeignet, da die entsprechende inverse Matrix EIN existiert nicht. In diesem Fall reduziert sich das Finden von Lösungen für Gleichungen (2.5.1) auf das Lösen von Systemen.
Aber zuerst wollen wir einige Konzepte einführen.
Die Menge aller Lösungen des Systems heißt gemeinsame Lösung . Nennen wir es eine individuelle Lösung eines unbestimmten Systems private Entscheidung .
3.1.1. Beispiel. Lösen Sie die Matrixgleichung über dem Feld R.
a) X = ; b) X = ; in) X = .
Lösung. a) Seit \u003d 0, dann die Formel X =Ein B nicht geeignet, diese Gleichung zu lösen. Wenn in der Arbeit XA =B Matrix EIN hat 2 Zeilen, dann die Matrix X hat 2 Spalten. Anzahl der Zeilen X muss mit der Anzahl der Zeilen übereinstimmen B . Deshalb X hat 2 Zeilen. Auf diese Weise, X ¾ ist eine quadratische Matrix zweiter Ordnung: X = . Ersatz X in die ursprüngliche Gleichung:
Durch Multiplikation der Matrizen auf der linken Seite von (2.5.2) erhalten wir die Gleichheit
Zwei Matrizen sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen Dimensionen haben und ihre entsprechenden Elemente gleich sind. Daher ist (2.5.3) äquivalent zum System
Dieses System entspricht dem System
Wenn wir es zum Beispiel mit der Gauß-Methode lösen, gelangen wir zu einem Satz von Lösungen (5-2 b , b , -2d , d ), wo b , d laufen unabhängig voneinander R. Auf diese Weise, X = .
b) Analog zu a) haben wir X = und.
Dieses System ist inkonsistent (überprüfen Sie es!). Daher hat diese Matrixgleichung keine Lösungen.
c) Bezeichne diese Gleichung mit AXT =B . Als EIN hat 3 Spalten und B hat dann 2 Spalten X ¾ etwa 3´2 Matrix: X = . Daher haben wir die folgende Äquivalenzkette:
Wir lösen das letzte System mit der Gauß-Methode (wir lassen die Kommentare weg)
Damit kommen wir zum System
dessen Lösung ist (11+8 z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w ,w ) wo z , w laufen unabhängig voneinander R.
Antwort: a) X = , b , d Î R.
b) Es gibt keine Lösungen.
in) X = z , w Î R.
3.2. Zur Frage der Permutabilität von Matrizen. Im Allgemeinen ist das Produkt von Matrizen nicht permutierbar, dh wenn EIN und B so dass AB und BA definiert, dann allgemein gesprochen, AB ¹ BA . Aber das Identitätsmatrix-Beispiel E zeigt, dass auch Austauschbarkeit möglich ist AE =EA für jede Matrix EIN , wenn nur AE und EA wurden bestimmt.
In diesem Unterabschnitt betrachten wir Probleme, die Menge aller Matrizen zu finden, die mit einer gegebenen kommutieren. Auf diese Weise,
Unbekannt x 1 , j 2 und z 3 kann jeden Wert annehmen: x 1 =a , j 2 =b , z 3 =g . Dann
Auf diese Weise, X = .
Antworten. a) X d ¾ eine beliebige Zahl.
b) X ¾ Satz von Matrizen der Form , wobei a , b und g ¾ beliebige Zahlen.
