Wann die Zahl multipliziert sich auf sich, Arbeit genannt Grad.

Also 2,2 = 4, Quadrat oder zweite Potenz von 2
2.2.2 = 8, Kubik oder dritte Potenz.
2.2.2.2 = 16, vierter Grad.

Außerdem ist 10,10 = 100, die zweite Potenz ist 10.
10.10.10 = 1000, dritter Grad.
10.10.10.10 = 10000 vierter Grad.

Und a.a = aa, die zweite Potenz von a
a.a.a = aaa, die dritte Potenz von a
a.a.a.a = aaaa, vierte Potenz von a

Die ursprüngliche Nummer wird angerufen Wurzel Grade dieser Zahl, denn das ist die Zahl, aus der die Grade geschaffen wurden.

Es ist jedoch nicht sehr praktisch, insbesondere bei hohen Potenzen, alle Faktoren aufzuschreiben, aus denen die Potenzen bestehen. Daher wird eine abgekürzte Schreibweise verwendet. Die Wurzel des Grads wird nur einmal geschrieben, und rechts und etwas höher daneben, aber in einer etwas kleineren Schriftart wird geschrieben, wie oft die Wurzel wirkt als Faktor. Diese Nummer oder dieser Buchstabe wird aufgerufen Exponent oder Grad Zahlen. Eine 2 ist also gleich a.a oder aa, weil die Wurzel von a zweimal mit sich selbst multipliziert werden muss, um die Potenz von aa zu erhalten. Auch eine 3 bedeutet aaa, d.h. hier wird a wiederholt drei Mal als Multiplikator.

Der Exponent der ersten Potenz ist 1, wird aber normalerweise nicht aufgeschrieben. Eine 1 wird also als a geschrieben.

Sie sollten Abschlüsse nicht mit verwechseln Koeffizienten. Der Koeffizient zeigt an, wie oft der Wert genommen wird Teil ganz. Der Exponent gibt an, wie oft der Wert genommen wird Faktor Auf der Arbeit.
Also 4a = a + a + a + a. Aber eine 4 = a.a.a.a

Die Exponentialschreibweise hat den besonderen Vorteil, dass sie es uns ermöglicht auszudrücken Unbekannt Grad. Dazu wird statt einer Zahl der Exponent geschrieben Buchstabe. Im Prozess der Lösung des Problems können wir einen Wert erhalten, der, wie wir wissen, ist etwas Grad einer anderen Größenordnung. Aber bisher wissen wir nicht, ob es sich um ein Quadrat, einen Würfel oder eine andere, höhere Stufe handelt. Im Ausdruck a x bedeutet der Exponent also, dass dieser Ausdruck hat etwas Grad, obwohl nicht definiert welchem ​​Grad. Also werden b m und d n mit m und n potenziert. Wenn der Exponent gefunden ist, Nummer durch einen Buchstaben ersetzt. Also, wenn m = 3, dann b m = b 3 ; aber wenn m = 5, dann b m = b 5 .

Auch die Methode, Werte mit Exponenten zu schreiben, ist ein großer Vorteil bei der Verwendung Ausdrücke. Somit ist (a + b + d) 3 (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), also die dritte Potenz des Trinoms (a + b + d) . Aber wenn wir diesen Ausdruck nach Kubik schreiben, sieht es so aus
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Wenn wir eine Reihe von Potenzen nehmen, deren Exponenten um 1 steigen oder fallen, stellen wir fest, dass das Produkt um steigt gemeinsamer Faktor oder reduziert um gemeinsamer Teiler, und dieser Faktor oder Teiler ist die ursprüngliche Zahl, die potenziert wird.

Also, in der Reihe aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
oder a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a 1 ;
Indikatoren, wenn von rechts nach links gezählt, sind 1, 2, 3, 4, 5; und die Differenz zwischen ihren Werten ist 1. Wenn wir anfangen rechts multiplizieren Auf a erhalten wir erfolgreich mehrere Werte.

Also a.a = a 2 , der zweite Term. Und a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , der dritte Term. ein 4 . ein = ein 5 .

Wenn wir anfangen links teilen auf einen,
wir erhalten ein 5:a = a 4 und ein 3:a = a 2 .
ein 4:a = ein 3 ein 2:a = ein 1

Aber ein solcher Teilungsprozess kann weiter fortgesetzt werden, und wir erhalten einen neuen Wertekanon.

Also a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Die vollständige Zeile lautet: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Oder a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .

Hier Werte rechts von Einheit ist umkehren Werte links von eins. Daher können diese Grade aufgerufen werden umgekehrte Potenzen a. Man kann auch sagen, dass die Potenzen auf der linken Seite das Gegenteil der Potenzen auf der rechten Seite sind.

Also 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Und 1:(1/a 3) = a 3 .

Derselbe Aufzeichnungsplan kann angewendet werden Polynome. Für a + b erhalten wir also eine Menge,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Der Einfachheit halber wird eine andere Form des Schreibens inverser Potenzen verwendet.

Gemäß dieser Form ist 1/a oder 1/a 1 = a -1 . Und 1/aaa oder 1/a 3 = a -3 .
1/aa oder 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa oder 1/a 4 = a -4 .

Und um die Exponenten zu einer vollständigen Reihe mit 1 als Gesamtdifferenz zu machen, wird a/a oder 1 als solche betrachtet, die keinen Grad hat und als 0 geschrieben wird.

Dann unter Berücksichtigung der direkten und inversen Potenzen
statt aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
Sie können eine 4 , eine 3 , eine 2 , eine 1 , eine 0 , eine -1 , eine -2 , eine -3 , eine -4 schreiben.
Oder a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .

Und eine Reihe von nur separat erworbenen Abschlüssen wird die Form haben:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Die Wurzel des Grades kann durch mehr als einen Buchstaben ausgedrückt werden.

Somit ist aa.aa oder (aa) 2 die zweite Potenz von aa.
Und aa.aa.aa oder (aa) 3 ist die dritte Potenz von aa.

Alle Grade der Zahl 1 sind gleich: 1.1 oder 1.1.1. wird gleich 1 sein.

Bei der Potenzierung wird der Wert einer beliebigen Zahl ermittelt, indem diese Zahl mit sich selbst multipliziert wird. Potenzierungsregel:

Multipliziere den Wert so oft mit sich selbst, wie es in der Potenz der Zahl angegeben ist.

Diese Regel ist allen Beispielen gemeinsam, die im Prozess der Potenzierung auftreten können. Aber es wird richtig sein zu erklären, wie es auf bestimmte Fälle zutrifft.

Wird nur ein Term potenziert, dann wird er so oft mit sich selbst multipliziert, wie der Exponent angibt.

Die vierte Potenz a ist eine 4 oder aaaa. (Art. 195.)
Die sechste Potenz von y ist y 6 oder yyyyyy.
Die n-te Potenz von x ist x n oder xxx..... n mal wiederholt.

Wenn es notwendig ist, einen Ausdruck aus mehreren Begriffen zu potenzieren, gilt das Prinzip, dass der Grad des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem potenzierten Produkt dieser Faktoren.

Also (ay) 2 = a 2 y 2 ; (ay) 2 = ja.ay.
Aber ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Also (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Daher können wir beim Ermitteln des Grads eines Produkts entweder das gesamte Produkt auf einmal bearbeiten oder jeden Faktor einzeln bearbeiten und dann seine Werte mit Graden multiplizieren.

Beispiel 1. Die vierte Potenz von dhy ist (dhy) 4 oder d 4 h 4 y 4 .

Beispiel 2. Die dritte Potenz von 4b ist (4b) 3 oder 4 3 b 3 oder 64b 3 .

Beispiel 3. Die n-te Potenz von 6ad ist (6ad) n oder 6 n a n d n .

Beispiel 4. Die dritte Potenz von 3m.2y ist (3m.2y) 3 oder 27m 3 .8y 3 .

Der Grad eines Binoms, bestehend aus Gliedern, die durch + und - verbunden sind, wird durch Multiplikation seiner Glieder berechnet. Ja,

(a + b) 1 = a + b, die erste Potenz.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 , zweite Potenz (a + b).
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, dritter Grad.
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, vierter Grad.

Quadrat a - b, da ist a 2 - 2ab + b 2 .

Das Quadrat a + b + h ist a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Aufgabe 1. Finden Sie den Würfel a + 2d + 3

Aufgabe 2. Finden Sie die vierte Potenz b + 2.

Aufgabe 3. Finden Sie die fünfte Potenz von x + 1.

Übung 4. Finden Sie den sechsten Grad 1 - b.

Summe Quadrate Beträge und Unterschied Binome sind in der Algebra so verbreitet, dass man sie sehr gut kennen muss.

Wenn wir a + h mit sich selbst oder a - h mit sich selbst multiplizieren,
wir erhalten: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 auch (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Dies zeigt, dass jeweils der erste und der letzte Term die Quadrate von a und h sind und der mittlere Term das doppelte Produkt von a und h ist. Daher kann das Quadrat der Summe und Differenz der Binome mit der folgenden Regel gefunden werden.

Das Quadrat eines Binoms, dessen beide Terme positiv sind, ist gleich dem Quadrat des ersten Terms + zweimal dem Produkt beider Terme + dem Quadrat des letzten Terms.

Quadrat Unterschied Die Binomialzahl ist gleich dem Quadrat des ersten Terms minus dem doppelten Produkt beider Terme plus dem Quadrat des zweiten Terms.

Beispiel 1. Quadrat 2a + b, es gibt 4a 2 + 4ab + b 2 .

Beispiel 2. Das Quadrat ab + cd ist a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

Beispiel 3. Das Quadrat 3d - h ist 9d 2 + 6dh + h 2 .

Beispiel 4. Das Quadrat a - 1 ist a 2 - 2a + 1.

Eine Methode zum Finden höherer Potenzen von Binomen finden Sie in den folgenden Abschnitten.

In vielen Fällen ist es effizient zu schreiben Grad keine Multiplikation.

Das Quadrat a + b ist also (a + b) 2 .
Die n-te Potenz bc + 8 + x ist (bc + 8 + x) n

In solchen Fällen decken die Klammern ab alle Mitglieder unter Grad.

Aber wenn die Wurzel des Grades aus mehreren besteht Multiplikatoren, können die Klammern je nach Zweckmäßigkeit den gesamten Ausdruck abdecken oder separat auf Faktoren angewendet werden.

Somit ist das Quadrat (a + b)(c + d) entweder [(a + b).(c + d)] 2 oder (a + b) 2 .(c + d) 2 .

Für den ersten dieser Ausdrücke ist das Ergebnis das Quadrat des Produkts zweier Faktoren und für den zweiten das Produkt ihrer Quadrate. Aber sie sind einander ebenbürtig.

Der Würfel a.(b + d) ist 3 , oder a 3 .(b + d) 3 .

Es ist auch notwendig, das Zeichen vor den beteiligten Mitgliedern zu berücksichtigen. Es ist sehr wichtig, sich daran zu erinnern, dass, wenn die Wurzel einer Kraft positiv ist, alle ihre positiven Kräfte ebenfalls positiv sind. Aber wenn die Wurzel negativ ist, Werte von seltsam Potenzen sind negativ, während die Werte eben Grade sind positiv.

Die zweite Potenz (- a) ist +a 2
Der dritte Grad (-a) ist -a 3
Die vierte Potenz (-a) ist +a 4
Die fünfte Potenz (-a) ist -a 5

Daher irgendwelche seltsam der Exponent hat das gleiche Vorzeichen wie die Zahl. Aber eben der Grad ist positiv, unabhängig davon, ob die Zahl ein negatives oder positives Vorzeichen hat.
Also +a.+a = +a 2
UND -a.-a = +a 2

Ein bereits potenzierter Wert wird durch Multiplikation der Exponenten nochmals potenziert.

Die dritte Potenz von a 2 ist a 2,3 = a 6 .

Für a 2 = aa; Würfel aa ist aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; das ist die sechste Potenz von a, aber die dritte Potenz von a 2 .

Die vierte Potenz a 3 b 2 ist a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

Die dritte Potenz von 4a 2 x ist 64a 6 x 3 .

Die fünfte Potenz von (a + b) 2 ist (a + b) 10 .

Die n-te Potenz einer 3 ist eine 3n

Die n-te Potenz von (x - y) m ist (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Die Regel gilt gleichermaßen für Negativ Grad.

Beispiel 1. Die dritte Potenz von a -2 ist a -3,3 = a -6 .

Für a -2 = 1/aa und die dritte Potenz davon
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Die vierte Potenz a 2 b -3 ist a 8 b -12 oder a 8 / b 12 .

Das Quadrat b 3 x –1 ist b 6 x –2 .

Die n-te Potenz ax -m ist x -mn oder 1/x .

Allerdings muss hier beachtet werden, dass wenn ein Zeichen früher Grad ist "-", dann sollte es in "+" geändert werden, wenn der Grad eine gerade Zahl ist.

Beispiel 1. Das Quadrat -a 3 ist +a 6 . Das Quadrat von -a 3 ist -a 3 .-a 3 , was nach den Regeln der Multiplikationszeichen +a 6 ist.

2. Aber der Würfel -a 3 ist -a 9 . Für -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. Die N-te Potenz von -a 3 ist a 3n .

Hier kann das Ergebnis positiv oder negativ sein, je nachdem ob n gerade oder ungerade ist.

Wenn ein Fraktion Potenziert werden Zähler und Nenner potenziert.

Das Quadrat a/b ist a 2 /b 2 . Nach der Regel der Multiplikation von Brüchen gilt:
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Die zweite, dritte und n-te Potenz von 1/a sind 1/a 2 , 1/a 3 und 1/a n .

Beispiele Binome wobei einer der Terme ein Bruch ist.

1. Finden Sie das Quadrat x + 1/2 und x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Das Quadrat a + 2/3 ist a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Quadrat x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.

4 Das Quadrat x - b/m ist x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Zuvor wurde das gezeigt Bruchkoeffizient kann vom Zähler zum Nenner oder vom Nenner zum Zähler verschoben werden. Unter Verwendung des Schemas zum Schreiben inverser Potenzen kann dies gesehen werden irgendein Multiplikator kann auch verschoben werden wenn das Vorzeichen des Grads geändert wird.

Im Bruch ax -2 /y können wir also x vom Zähler auf den Nenner verschieben.
Dann ist ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

Im Bruch a/by 3 können wir y vom Nenner zum Zähler verschieben.
Dann a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Auf die gleiche Weise können wir einen Faktor mit positivem Exponenten auf den Zähler verschieben oder einen Faktor mit negativem Exponenten auf den Nenner.

Also, ax 3 / b = a / bx -3 . Für x 3 ist die Inverse x –3 , was x 3 = 1/x –3 ist.

Daher kann der Nenner eines beliebigen Bruchs vollständig entfernt oder der Zähler auf eins reduziert werden, ohne die Bedeutung des Ausdrucks zu ändern.

Also a/b = 1/ba –1 oder ab –1 .

In Fortsetzung des Gesprächs über den Grad einer Zahl ist es logisch, sich mit der Ermittlung des Gradwerts zu befassen. Dieser Vorgang wurde benannt Potenzierung. In diesem Artikel werden wir nur untersuchen, wie die Potenzierung durchgeführt wird, während wir alle möglichen Exponenten berühren - natürliche, ganze, rationale und irrationale. Und traditionell werden wir die Lösungen für Beispiele zum Erhöhen von Zahlen in unterschiedlichem Maße im Detail betrachten.

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Was bedeutet „Potenzierung“?

Beginnen wir damit, zu erklären, was Potenzierung genannt wird. Hier ist die entsprechende Definition.

Definition.

Potenzierung ist es, den Wert der Potenz einer Zahl zu finden.

Den Wert der Potenz von a mit dem Exponenten r zu finden und die Zahl a mit r zu potenzieren, ist also dasselbe. Lautet die Aufgabe beispielsweise „Berechnen Sie den Wert der Potenz (0,5) 5“, dann kann sie wie folgt umformuliert werden: „Potenziere die Zahl 0,5 mit 5“.

Jetzt können Sie direkt zu den Regeln gehen, nach denen die Potenzierung durchgeführt wird.

Eine Zahl in eine natürliche Potenz erheben

In der Praxis wird die Gleichheit basierend auf meist in der Form angewendet. Das heißt, wenn die Zahl a auf eine gebrochene Potenz m / n erhoben wird, wird zuerst die Wurzel des n-ten Grades aus der Zahl a gezogen, wonach das Ergebnis auf eine ganzzahlige Potenz m erhoben wird.

Betrachten Sie Lösungen für Beispiele zum Erhöhen auf eine gebrochene Potenz.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert des Abschlusses.

Lösung.

Wir zeigen zwei Lösungen.

Erster Weg. Per Definition von Grad mit einem gebrochenen Exponenten. Wir berechnen den Gradwert unter dem Zeichen der Wurzel, danach ziehen wir die Kubikwurzel: .

Der zweite Weg. Durch Definition eines Grads mit gebrochenem Exponenten und aufgrund der Eigenschaften der Wurzeln sind die Gleichungen wahr . Extrahieren Sie nun die Wurzel Schließlich potenzieren wir mit einer ganzen Zahl .

Offensichtlich stimmen die erhaltenen Ergebnisse des Erhöhens auf eine gebrochene Potenz überein.

Antworten:

Beachten Sie, dass der Bruchexponent als Dezimalbruch oder als gemischte Zahl geschrieben werden kann, in diesen Fällen sollte er durch den entsprechenden gewöhnlichen Bruch ersetzt werden, und dann sollte die Potenzierung durchgeführt werden.

Beispiel.

Berechnen Sie (44,89) 2,5 .

Lösung.

Den Exponenten schreiben wir in Form eines gewöhnlichen Bruchs (ggf. siehe Artikel): . Jetzt führen wir eine Potenzerhöhung durch:

Antworten:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Es sollte auch gesagt werden, dass das Potenzieren von Zahlen ein ziemlich mühsamer Prozess ist (insbesondere wenn Zähler und Nenner des Bruchexponenten ziemlich große Zahlen sind), der normalerweise mit Computertechnologie durchgeführt wird.

Zum Abschluss dieses Absatzes werden wir uns mit der Konstruktion der Zahl Null zu einer gebrochenen Potenz befassen. Wir haben dem gebrochenen Nullgrad der Form folgende Bedeutung gegeben: denn wir haben , während null hoch m/n nicht definiert ist. Also ist Null zu einer positiven Bruchpotenz Null, zum Beispiel, . Und Null in einer gebrochenen negativen Potenz macht keinen Sinn, zum Beispiel machen die Ausdrücke und 0 -4,3 keinen Sinn.

Erhebung zu einer irrationalen Macht

Manchmal ist es notwendig, den Gradwert einer Zahl mit irrationalem Exponenten herauszufinden. In diesem Fall reicht es für praktische Zwecke normalerweise aus, den Gradwert bis zu einem bestimmten Vorzeichen zu erhalten. Wir stellen gleich fest, dass dieser Wert in der Praxis mit elektronischer Rechentechnik berechnet wird, da das manuelle Potenzieren mit dem Irrationalen eine große Anzahl umständlicher Berechnungen erfordert. Aber dennoch werden wir in allgemeinen Begriffen das Wesen der Aktionen beschreiben.

Um einen ungefähren Wert der Potenz von a mit einem irrationalen Exponenten zu erhalten, wird eine dezimale Annäherung des Exponenten genommen und der Wert des Exponenten berechnet. Dieser Wert ist der ungefähre Wert des Grades der Zahl a mit einem irrationalen Exponenten. Je genauer die dezimale Näherung der Zahl anfangs genommen wird, desto genauer wird am Ende der Gradwert sein.

Als Beispiel berechnen wir den ungefähren Wert der Potenz von 2 1,174367... . Nehmen wir die folgende dezimale Näherung eines irrationalen Indikators: . Jetzt erhöhen wir 2 auf eine rationale Potenz von 1,17 (wir haben die Essenz dieses Prozesses im vorherigen Absatz beschrieben), wir erhalten 2 1,17 ≈ 2,250116. Auf diese Weise, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Wenn wir eine genauere dezimale Annäherung an einen irrationalen Exponenten nehmen, zum Beispiel , dann erhalten wir einen genaueren Wert des ursprünglichen Grades: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Referenzliste.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematik Zh Lehrbuch für 5 Zellen. Bildungsinstitutionen.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: ein Lehrbuch für 7 Zellen. Bildungsinstitutionen.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Bildungsinstitutionen.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: ein Lehrbuch für 9 Zellen. Bildungsinstitutionen.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere Algebra und die Anfänge der Analysis: Ein Lehrbuch für die Klassen 10-11 allgemeiner Bildungseinrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen).

Wichtige Notizen!
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Los geht's!)

ERSTE EBENE

Potenzierung ist die gleiche mathematische Operation wie Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division.

Jetzt werde ich alles in menschlicher Sprache anhand sehr einfacher Beispiele erklären. Vorsichtig sein. Beispiele sind elementar, erklären aber wichtige Dinge.

Beginnen wir mit der Addition.

Hier gibt es nichts zu erklären. Ihr wisst schon alles: Wir sind zu acht. Jeder hat zwei Flaschen Cola. Wie viel Cola? Das ist richtig - 16 Flaschen.

Jetzt Multiplikation.

Dasselbe Beispiel mit Cola kann auch anders geschrieben werden: . Mathematiker sind schlaue und faule Leute. Sie bemerken zuerst einige Muster und finden dann eine Möglichkeit, sie schneller zu „zählen“. In unserem Fall bemerkten sie, dass jede der acht Personen die gleiche Anzahl von Cola-Flaschen hatte, und entwickelten eine Technik namens Multiplikation. Stimmen Sie zu, es gilt als einfacher und schneller als.

Um also schneller, einfacher und fehlerfrei zu zählen, müssen Sie sich nur daran erinnern Multiplikationstabelle. Natürlich geht alles auch langsamer, härter und mit Fehlern! Aber…

Hier ist das Einmaleins. Wiederholen.

Und noch ein hübscher:

Und welche anderen kniffligen Zähltricks sind faulen Mathematikern eingefallen? Richtig - eine Zahl potenzieren.

Eine Zahl potenzieren

Wenn Sie eine Zahl fünfmal mit sich selbst multiplizieren müssen, sagen Mathematiker, dass Sie diese Zahl in die fünfte Potenz erheben müssen. Zum Beispiel, . Mathematiker erinnern sich, dass zwei hoch fünf ist. Und sie lösen solche Probleme im Kopf – schneller, einfacher und fehlerfrei.

Dazu brauchen Sie nur Merken Sie sich, was in der Tabelle der Zahlenpotenzen farbig hervorgehoben ist. Glauben Sie mir, es wird Ihr Leben viel einfacher machen.

Übrigens, warum heißt der zweite Grad Quadrat Nummern und die dritte Würfel? Was bedeutet das? Eine sehr gute Frage. Jetzt haben Sie sowohl Quadrate als auch Würfel.

Beispiel #1 aus dem wirklichen Leben

Beginnen wir mit einem Quadrat oder der zweiten Potenz einer Zahl.

Stellen Sie sich einen quadratischen Pool vor, der Meter für Meter misst. Der Pool ist in Ihrem Hinterhof. Es ist heiß und ich möchte wirklich schwimmen. Aber ... ein Pool ohne Boden! Es ist notwendig, den Boden des Beckens mit Fliesen abzudecken. Wie viele Fliesen benötigen Sie? Um dies zu bestimmen, müssen Sie die Fläche des Beckenbodens kennen.

Sie können einfach zählen, indem Sie mit dem Finger hineinstecken, dass der Boden des Pools Meter für Meter aus Würfeln besteht. Wenn Ihre Fliesen Meter für Meter sind, benötigen Sie Stücke. Ganz einfach... Aber wo hast du so eine Kachel gesehen? Die Fliese wird eher cm für cm sein und dann wird man mit „Fingerzählen“ gequält. Dann musst du multiplizieren. Wir werden also auf einer Seite des Beckenbodens Fliesen (Stücke) und auf der anderen Seite auch Fliesen anbringen. Durch Multiplizieren mit erhalten Sie Kacheln ().

Haben Sie bemerkt, dass wir dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert haben, um die Fläche des Beckenbodens zu bestimmen? Was bedeutet das? Da dieselbe Zahl multipliziert wird, können wir die Potenzierungstechnik anwenden. (Wenn du nur zwei Zahlen hast, musst du sie natürlich trotzdem multiplizieren oder potenzieren. Aber wenn du viele davon hast, dann ist das Potenzieren viel einfacher und es gibt auch weniger Fehler bei Berechnungen. Für die Prüfung ist dies sehr wichtig).
Also, dreißig bis zum zweiten Grad werden (). Oder Sie können sagen, dass dreißig zum Quadrat sein wird. Mit anderen Worten, die zweite Potenz einer Zahl kann immer als Quadrat dargestellt werden. Und umgekehrt, wenn Sie ein Quadrat sehen, ist es IMMER die zweite Potenz einer Zahl. Ein Quadrat ist ein Bild der zweiten Potenz einer Zahl.

Beispiel #2 aus dem wirklichen Leben

Hier ist eine Aufgabe für Sie, zählen Sie, wie viele Quadrate auf dem Schachbrett sind, indem Sie das Quadrat der Zahl verwenden ... Auf der einen Seite der Zellen und auf der anderen auch. Um ihre Anzahl zu zählen, müssen Sie acht mit acht multiplizieren, oder ... wenn Sie feststellen, dass ein Schachbrett ein Quadrat mit einer Seite ist, können Sie acht quadrieren. Zellen bekommen. () So?

Beispiel #3 aus dem wirklichen Leben

Jetzt der Würfel oder die dritte Potenz einer Zahl. Das gleiche Becken. Aber jetzt müssen Sie herausfinden, wie viel Wasser in diesen Pool gegossen werden muss. Du musst das Volumen berechnen. (Volumen und Flüssigkeiten werden übrigens in Kubikmetern gemessen. Unerwartet, oder?) Zeichnen Sie ein Becken: einen Meter großen und einen Meter tiefen Boden und versuchen Sie zu berechnen, wie viele Meter für Meter Würfel in Ihr Becken gelangen.

Einfach mit dem Finger zeigen und zählen! Eins, zwei, drei, vier … zweiundzwanzig, dreiundzwanzig … Wie viel ist herausgekommen? Nicht verloren gegangen? Ist es schwierig, mit dem Finger zu zählen? So dass! Nehmen Sie ein Beispiel von Mathematikern. Sie sind faul, also haben sie bemerkt, dass man Länge, Breite und Höhe miteinander multiplizieren muss, um das Volumen des Pools zu berechnen. In unserem Fall entspricht das Volumen des Pools Würfeln ... Einfacher, oder?

Stellen Sie sich nun vor, wie faul und schlau Mathematiker sind, wenn sie sich das zu einfach machen. Alles auf eine Aktion reduziert. Sie bemerkten, dass Länge, Breite und Höhe gleich sind und dass dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert wird ... Und was bedeutet das? Das bedeutet, dass Sie den Abschluss verwenden können. Was Sie also einmal mit dem Finger gezählt haben, machen sie in einer Aktion: Drei in einem Würfel ist gleich. Es ist so geschrieben:

Bleibt nur die Gradtabelle auswendig lernen. Es sei denn natürlich, Sie sind so faul und schlau wie Mathematiker. Wenn Sie gerne hart arbeiten und Fehler machen, können Sie mit dem Finger weiterzählen.

Nun, um Sie endlich davon zu überzeugen, dass die Abschlüsse von Faulenzern und schlauen Menschen erfunden wurden, um ihre Lebensprobleme zu lösen, und nicht, um Ihnen Probleme zu bereiten, hier noch ein paar Beispiele aus dem Leben.

Beispiel #4 aus dem wirklichen Leben

Sie haben eine Million Rubel. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie für jede Million eine weitere Million. Das heißt, jede Ihrer Millionen verdoppelt sich zu Beginn eines jeden Jahres. Wie viel Geld wirst du in Jahren haben? Wenn Sie jetzt dasitzen und „mit dem Finger zählen“, dann sind Sie ein sehr fleißiger Mensch und … dumm. Aber höchstwahrscheinlich werden Sie in ein paar Sekunden eine Antwort geben, weil Sie schlau sind! Also, im ersten Jahr - zwei mal zwei ... im zweiten Jahr - was geschah, um zwei weitere, im dritten Jahr ... Halt! Sie haben bemerkt, dass die Zahl einmal mit sich selbst multipliziert wird. Zwei hoch fünf ist also eine Million! Stellen Sie sich jetzt vor, Sie haben einen Wettbewerb und derjenige, der schneller rechnet, bekommt diese Millionen ... Lohnt es sich, sich an die Zahlengrade zu erinnern, was denken Sie?

Beispiel #5 aus dem wirklichen Leben

Du hast eine Million. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie zwei weitere für jede Million. Es ist großartig, oder? Jede Million wird verdreifacht. Wie viel Geld wirst du in einem Jahr haben? Lass uns zählen. Das erste Jahr - mit multiplizieren, dann das Ergebnis mit einem anderen ... Es ist schon langweilig, weil Sie schon alles verstanden haben: Drei wird mal mit sich selbst multipliziert. Die vierte Potenz ist also eine Million. Sie müssen sich nur daran erinnern, dass drei hoch vier oder ist.

Jetzt wissen Sie, dass Sie Ihr Leben viel einfacher machen werden, wenn Sie eine Zahl potenzieren. Lassen Sie uns einen weiteren Blick darauf werfen, was Sie mit Abschlüssen machen können und was Sie darüber wissen müssen.

Begriffe und Konzepte ... um nicht verwirrt zu werden

Lassen Sie uns also zuerst die Konzepte definieren. Wie denkst du, was ist exponent? Es ist ganz einfach – das ist die Zahl, die „an der Spitze“ der Potenz der Zahl steht. Nicht wissenschaftlich, aber klar und leicht zu merken ...

Nun, gleichzeitig, was eine solche Studienbasis? Noch einfacher ist die Zahl, die ganz unten an der Basis steht.

Hier ist ein Bild, damit Sie sicher sein können.

Nun, allgemein gesagt, um zu verallgemeinern und sich besser zu erinnern ... Ein Abschluss mit einer Basis "" und einem Indikator "" wird als "im Abschluss" gelesen und wie folgt geschrieben:

Potenz einer Zahl mit natürlichem Exponenten

Du hast es wahrscheinlich schon erraten: weil der Exponent eine natürliche Zahl ist. Ja, aber was ist natürliche Zahl? Elementar! Natürliche Zahlen sind diejenigen, die zum Zählen beim Auflisten von Artikeln verwendet werden: eins, zwei, drei ... Wenn wir Artikel zählen, sagen wir nicht: „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“. Wir sagen auch nicht „ein Drittel“ oder „null Komma fünf Zehntel“. Das sind keine natürlichen Zahlen. Was glauben Sie, was diese Zahlen sind?

Zahlen wie „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“ beziehen sich auf ganze Zahlen. Im Allgemeinen umfassen ganze Zahlen alle natürlichen Zahlen, Zahlen, die natürlichen Zahlen entgegengesetzt sind (dh mit einem Minuszeichen genommen werden) und eine Zahl. Null ist leicht zu verstehen - das ist, wenn es nichts gibt. Und was bedeuten negative ("minus") Zahlen? Aber sie wurden hauptsächlich erfunden, um Schulden zu kennzeichnen: Wenn Sie ein Guthaben in Rubel auf Ihrem Telefon haben, bedeutet dies, dass Sie dem Betreiber Rubel schulden.

Alle Brüche sind rationale Zahlen. Wie sind sie entstanden, denken Sie? Sehr einfach. Vor mehreren tausend Jahren entdeckten unsere Vorfahren, dass sie nicht genügend natürliche Zahlen hatten, um Länge, Gewicht, Fläche usw. Und sie kamen auf Rationale Zahlen… Interessant, nicht wahr?

Es gibt auch irrationale Zahlen. Was sind das für Zahlen? Kurz gesagt, ein unendlicher Dezimalbruch. Wenn Sie beispielsweise den Umfang eines Kreises durch seinen Durchmesser teilen, erhalten Sie eine irrationale Zahl.

Zusammenfassung:

Lassen Sie uns das Konzept des Grads definieren, dessen Exponent eine natürliche Zahl ist (dh ganzzahlig und positiv).

1. Jede Zahl hoch 1 ist gleich sich selbst:
2. Eine Zahl quadrieren heißt, sie mit sich selbst multiplizieren:
3. Eine Zahl in die dritte Potenz zu bringen heißt, sie dreimal mit sich selbst zu multiplizieren:

Definition. Eine Zahl mit einer natürlichen Potenz zu potenzieren heißt, die Zahl mit sich selbst zu multiplizieren:
.

Grad Eigenschaften

Woher kommen diese Eigenschaften? Ich zeige es dir jetzt.

Mal sehen, was ist und ?

Per Definition:

Wie viele Multiplikatoren gibt es insgesamt?

Es ist ganz einfach: Wir haben Faktoren zu den Faktoren hinzugefügt, und das Ergebnis sind Faktoren.

Aber per Definition ist dies der Grad einer Zahl mit einem Exponenten, also: , der bewiesen werden musste.

Beispiel: Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung:

Beispiel: Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung: Es ist wichtig, dies in unserer Regel zu beachten Notwendig muss der selbe grund sein!
Daher kombinieren wir die Grade mit der Basis, bleiben aber ein separater Faktor:

nur für Potenzprodukte!

Das darfst du auf keinen Fall schreiben.

2. das heißt -te Potenz einer Zahl

Wenden wir uns wie bei der vorherigen Eigenschaft der Definition des Grades zu:

Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck einmal mit sich selbst multipliziert wird, das heißt, laut Definition ist dies die te Potenz der Zahl:

Tatsächlich kann dies als "Einklammern des Indikators" bezeichnet werden. Aber Sie können dies niemals vollständig tun:

Erinnern wir uns an die Formeln für die abgekürzte Multiplikation: Wie oft wollten wir schreiben?

Aber das ist nicht wahr, wirklich.

Abschluss mit negativer Basis

Bis zu diesem Punkt haben wir nur besprochen, was der Exponent sein sollte.

Aber was soll die Basis sein?

In Grad von natürlicher Indikator die Grundlage kann sein irgendeine Nummer. Tatsächlich können wir jede Zahl miteinander multiplizieren, egal ob sie positiv, negativ oder gerade ist.

Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen (" " oder "") Grad positiver und negativer Zahlen haben werden?

Wird die Zahl beispielsweise positiv oder negativ sein? ABER? ? Mit dem ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.

Aber die negativen sind ein wenig interessanter. Schließlich erinnern wir uns an eine einfache Regel aus der 6. Klasse: „Minus mal Minus ergibt Plus.“ Das heißt, bzw. Aber wenn wir mit multiplizieren, stellt sich heraus.

Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Hast du es geschafft?

Hier die Antworten: In den ersten vier Beispielen ist hoffentlich alles klar? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.

In Beispiel 5) ist auch nicht alles so beängstigend, wie es scheint: Es spielt keine Rolle, wie die Basis gleich ist - der Grad ist gleichmäßig, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird.

Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht die gleiche, oder? Offensichtlich nicht, da (weil).

Beispiel 6) ist nicht mehr so ​​einfach!

6 Praxisbeispiele

Analyse der Lösung 6 Beispiele

ganz wir nennen die natürlichen Zahlen, ihre Gegensätze (also mit dem Vorzeichen "") und die Zahl.

positive ganze Zahl, und es ist nicht anders als natürlich, dann sieht alles genauso aus wie im vorigen Abschnitt.

Schauen wir uns nun neue Fälle an. Beginnen wir mit einem Indikator gleich.

Jede Zahl hoch null ist gleich eins:

Wie immer fragen wir uns: Warum ist das so?

Betrachten Sie etwas Macht mit einer Basis. Nimm zum Beispiel und multipliziere mit:

Also multiplizierten wir die Zahl mit und bekamen dasselbe wie es war -. Mit welcher Zahl muss multipliziert werden, damit sich nichts ändert? Das ist richtig, auf. Meint.

Wir können dasselbe mit einer beliebigen Zahl tun:

Wiederholen wir die Regel:

Jede Zahl hoch null ist gleich eins.

Aber von vielen Regeln gibt es Ausnahmen. Und hier ist es auch da - das ist eine Zahl (als Basis).

Einerseits muss sie beliebig gleich sein – egal wie sehr man Null mit sich selbst multipliziert, man bekommt immer noch Null, das ist klar. Aber andererseits muss sie, wie jede Zahl bis zum Nullgrad, gleich sein. Also, was ist die Wahrheit davon? Die Mathematiker beschlossen, sich nicht einzumischen und weigerten sich, Null mit Null zu potenzieren. Das heißt, jetzt können wir nicht nur durch Null dividieren, sondern auch mit Null potenzieren.

Gehen wir weiter. Zu den ganzen Zahlen gehören neben natürlichen Zahlen und Zahlen auch negative Zahlen. Um zu verstehen, was ein negativer Grad ist, machen wir dasselbe wie beim letzten Mal: ​​Wir multiplizieren eine normale Zahl mit derselben in einem negativen Grad:

Von hier aus ist es bereits einfach, das Gewünschte auszudrücken:

Nun erweitern wir die resultierende Regel beliebig:

Also formulieren wir die Regel:

Eine Zahl zu einer negativen Potenz ist die Umkehrung derselben Zahl zu einer positiven Potenz. Aber zur selben Zeit Basis darf nicht null sein:(weil es unmöglich ist, zu teilen).

Fassen wir zusammen:

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

Nun, wie üblich, Beispiele für eine unabhängige Lösung:

Aufgabenanalyse zur eigenständigen Lösung:

Ich weiß, ich weiß, die Zahlen sind beängstigend, aber bei der Prüfung muss man auf alles gefasst sein! Lösen Sie diese Beispiele oder analysieren Sie deren Lösung, wenn Sie es nicht lösen konnten, und Sie werden lernen, wie Sie in der Prüfung leicht damit umgehen können!

Erweitern wir den Bereich der als Exponent „geeigneten“ Zahlen weiter.

Jetzt bedenke Rationale Zahlen. Welche Zahlen nennt man rational?

Antwort: alles, was als Bruch dargestellt werden kann, wobei und außerdem ganze Zahlen sind.

Zu verstehen, was ist "Bruchgrad" Betrachten wir einen Bruch:

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung potenzieren:

Erinnere dich jetzt an die Regel „Grad zu Grad“:

Welche Zahl muss potenziert werden, um zu erhalten?

Diese Formulierung ist die Definition der Wurzel des 1. Grades.

Ich möchte Sie daran erinnern: Die Wurzel der Potenz einer Zahl () ist eine Zahl, die, wenn sie potenziert wird, gleich ist.

Das heißt, die Wurzel des . Grades ist die Umkehroperation der Potenzierung: .

Es stellt sich heraus, dass. Offensichtlich kann dieser Spezialfall erweitert werden: .

Fügen Sie nun den Zähler hinzu: Was ist das? Die Antwort ist mit der Power-to-Power-Regel leicht zu bekommen:

Aber kann die Basis eine beliebige Zahl sein? Schließlich kann die Wurzel nicht aus allen Zahlen gezogen werden.

Keiner!

Denke an die Regel: Jede gerade Potenzierte Zahl ist eine positive Zahl. Das heißt, es ist unmöglich, Wurzeln mit geradem Grad aus negativen Zahlen zu ziehen!

Und das bedeutet, dass solche Zahlen nicht mit einem geraden Nenner auf eine gebrochene Potenz erhoben werden können, dh der Ausdruck macht keinen Sinn.

Was ist mit dem Ausdruck?

Aber hier taucht ein Problem auf.

Die Zahl kann beispielsweise als andere, gekürzte Brüche oder dargestellt werden.

Und es stellt sich heraus, dass es existiert, aber nicht existiert, und dies sind nur zwei verschiedene Datensätze mit derselben Nummer.

Oder ein anderes Beispiel: Einmal, dann kannst du es aufschreiben. Aber sobald wir den Indikator anders schreiben, bekommen wir wieder Ärger: (das heißt, wir haben ein völlig anderes Ergebnis!).

Um solche Paradoxien zu vermeiden, bedenken Sie nur positiver Basisexponent mit gebrochenem Exponenten.

Also wenn:

• - natürliche Zahl;
• - ganze Zahl;

Beispiele:

Potenzen mit rationalem Exponenten sind sehr nützlich, um Ausdrücke mit Wurzeln umzuwandeln, zum Beispiel:

5 Praxisbeispiele

Analyse von 5 Beispielen für die Ausbildung

Nun, jetzt - das Schwierigste. Jetzt werden wir analysieren Grad mit einem irrationalen Exponenten.

Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier genau die gleichen wie für Grade mit einem rationalen Exponenten, mit Ausnahme von

Tatsächlich sind irrationale Zahlen per Definition Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (das heißt, irrationale Zahlen sind alle reelle Zahlen außer rationalen).

Beim Studium von Abschlüssen mit einem natürlichen, ganzzahligen und rationalen Indikator haben wir uns jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen ausgedacht.

Ein natürlicher Exponent ist beispielsweise eine Zahl, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird;

...Null Leistung- dies ist sozusagen eine einmal mit sich selbst multiplizierte Zahl, das heißt, sie hat noch nicht begonnen, sich zu multiplizieren, was bedeutet, dass die Zahl selbst noch nicht einmal aufgetreten ist - daher ist das Ergebnis nur eine gewisse „Vorbereitung von eine Zahl“, nämlich eine Zahl;

...negativer ganzzahliger Exponent- es ist, als hätte ein gewisser „umgekehrter Prozess“ stattgefunden, das heißt, die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern dividiert.

Übrigens wird in der Wissenschaft oft ein Grad mit einem komplexen Exponenten verwendet, das heißt, ein Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl.

Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach, Sie haben die Möglichkeit, diese neuen Konzepte am Institut zu verstehen.

WO WIR SICHER SIND, DASS SIE GEHEN WERDEN! (wenn du lernst, wie man solche Beispiele löst :))

Zum Beispiel:

Entscheide dich selbst:

Analyse von Lösungen:

1. Beginnen wir mit der bereits üblichen Regel zur Anhebung eines Abschlusses auf einen Abschluss:

FORTGESCHRITTENES LEVEL

Definition von Grad

Der Grad ist ein Ausdruck der Form: , wobei:

• — Basis des Abschlusses;
• - Exponent.

Grad mit natürlichem Exponenten (n = 1, 2, 3,...)

Eine Zahl mit der natürlichen Potenz n zu potenzieren bedeutet, die Zahl mit sich selbst zu multiplizieren:

Potenz mit ganzzahligem Exponenten (0, ±1, ±2,...)

Wenn der Exponent ist positive ganze Zahl Nummer:

Erektion auf Nullleistung:

Der Ausdruck ist unbestimmt, weil einerseits bis zu jedem Grad dies ist und andererseits jede Zahl bis zum ten Grad dies ist.

Wenn der Exponent ist Ganzzahl negativ Nummer:

(weil es unmöglich ist, zu teilen).

Noch einmal zu Nullen: Der Ausdruck ist im Fall nicht definiert. Wenn, dann.

Beispiele:

Grad mit rationalem Exponenten

• - natürliche Zahl;
• - ganze Zahl;

Beispiele:

Grad Eigenschaften

Um das Lösen von Problemen zu erleichtern, versuchen wir zu verstehen: Woher kommen diese Eigenschaften? Beweisen wir sie.

Mal sehen: was ist und?

Per Definition:

Auf der rechten Seite dieses Ausdrucks erhält man also das folgende Produkt:

Aber per Definition ist dies eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten, das heißt:

Q.E.D.

Beispiel : Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung : .

Beispiel : Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung : Es ist wichtig, das in unserer Regel zu beachten Notwendig müssen auf der gleichen Grundlage stehen. Daher kombinieren wir die Grade mit der Basis, bleiben aber ein separater Faktor:

Noch ein wichtiger Hinweis: Diese Regel - nur für Potenzprodukte!

Das darf ich auf keinen Fall schreiben.

Wenden wir uns wie bei der vorherigen Eigenschaft der Definition des Grades zu:

Ordnen wir es so um:

Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck einmal mit sich selbst multipliziert wird, das heißt, laut Definition ist dies die -te Potenz der Zahl:

Tatsächlich kann dies als "Einklammern des Indikators" bezeichnet werden. Aber das schaffst du nie im Ganzen:!

Erinnern wir uns an die Formeln für die abgekürzte Multiplikation: Wie oft wollten wir schreiben? Aber das ist nicht wahr, wirklich.

Macht mit negativer Basis.

Bis zu diesem Punkt haben wir nur diskutiert, was sein sollte Index Grad. Aber was soll die Basis sein? In Grad von natürlich Indikator die Grundlage kann sein irgendeine Nummer .

Tatsächlich können wir jede Zahl miteinander multiplizieren, egal ob sie positiv, negativ oder gerade ist. Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen (" " oder "") Grad positiver und negativer Zahlen haben werden?

Wird die Zahl beispielsweise positiv oder negativ sein? ABER? ?

Mit dem ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.

Aber die negativen sind ein wenig interessanter. Schließlich erinnern wir uns an eine einfache Regel aus der 6. Klasse: „Minus mal Minus ergibt Plus.“ Das heißt, bzw. Aber wenn wir mit () multiplizieren, erhalten wir -.

Und so weiter bis ins Unendliche: Bei jeder weiteren Multiplikation ändert sich das Vorzeichen. Sie können diese einfachen Regeln formulieren:

1. eben Grad, - Zahl positiv.
2. Negative Zahl erhöht auf seltsam Grad, - Zahl Negativ.
3. Eine positive Zahl zu jeder Potenz ist eine positive Zahl.
4. Null hoch jede Potenz ist gleich Null.

Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Hast du es geschafft? Hier sind die Antworten:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

In den ersten vier Beispielen ist hoffentlich alles klar? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.

In Beispiel 5) ist auch nicht alles so beängstigend, wie es scheint: Es spielt keine Rolle, wie die Basis gleich ist - der Grad ist gleichmäßig, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird. Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht die gleiche, oder? Offensichtlich nicht, da (weil).

Beispiel 6) ist nicht mehr so ​​einfach. Hier müssen Sie herausfinden, was weniger ist: oder? Wenn Sie sich das merken, wird klar, dass die Basis kleiner als Null ist. Das heißt, wir wenden Regel 2 an: Das Ergebnis wird negativ sein.

Und wieder verwenden wir die Definition von Grad:

Alles ist wie immer - wir schreiben die Definition von Graden auf und teilen sie ineinander, teilen sie in Paare und erhalten:

Lassen Sie uns vor der Analyse der letzten Regel einige Beispiele lösen.

Berechnen Sie die Werte von Ausdrücken:

Lösungen :

Kommen wir zurück zum Beispiel:

Und nochmal die Formel:

Also jetzt die letzte Regel:

Wie werden wir es beweisen? Natürlich, wie immer: Erweitern wir das Konzept des Abschlusses und vereinfachen es:

Nun, lassen Sie uns jetzt die Klammern öffnen. Wie viele Buchstaben werden es sein? mal durch Multiplikatoren - wie sieht es aus? Dies ist nichts anderes als die Definition einer Operation Multiplikation: Insgesamt stellte sich heraus, dass es Multiplikatoren gab. Das heißt, es ist per Definition eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten:

Beispiel:

Grad mit irrationalem Exponenten

Neben Informationen zu den Abschlüssen für das Durchschnittsniveau werden wir den Abschluss mit einem irrationalen Indikator analysieren. Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier genau die gleichen wie für einen Grad mit einem rationalen Exponenten, mit der Ausnahme, dass irrationale Zahlen per Definition Zahlen sind, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (d.h , irrationale Zahlen sind alle reelle Zahlen außer rationale).

Beim Studium von Abschlüssen mit einem natürlichen, ganzzahligen und rationalen Indikator haben wir uns jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen ausgedacht. Ein natürlicher Exponent ist beispielsweise eine Zahl, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird; eine Zahl bis zum Grad null ist sozusagen eine einmal mit sich selbst multiplizierte Zahl, das heißt, sie hat noch nicht begonnen, sich zu multiplizieren, was bedeutet, dass die Zahl selbst noch nicht einmal aufgetreten ist - daher ist das Ergebnis nur a bestimmte „Vorbereitung einer Nummer“, nämlich eine Nummer; ein Grad mit einer negativen ganzen Zahl - es ist, als ob ein gewisser „umgekehrter Prozess“ stattgefunden hätte, dh die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern geteilt.

Es ist äußerst schwierig, sich einen Grad mit einem irrationalen Exponenten vorzustellen (ebenso wie es schwierig ist, sich einen 4-dimensionalen Raum vorzustellen). Vielmehr ist es ein rein mathematisches Objekt, das Mathematiker geschaffen haben, um das Konzept eines Grades auf den gesamten Zahlenraum auszudehnen.

Übrigens wird in der Wissenschaft oft ein Grad mit einem komplexen Exponenten verwendet, das heißt, ein Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl. Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach, Sie haben die Möglichkeit, diese neuen Konzepte am Institut zu verstehen.

Was machen wir also, wenn wir einen irrationalen Exponenten sehen? Wir versuchen unser Bestes, um es loszuwerden! :)

Zum Beispiel:

Entscheide dich selbst:

1)

2)

3)

Antworten:

ABSCHNITT ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMEL

Grad heißt ein Ausdruck der Form: , wobei:

Grad mit ganzzahligem Exponenten

Grad, dessen Exponent eine natürliche Zahl ist (d. h. ganzzahlig und positiv).

Grad mit rationalem Exponenten

Grad, dessen Indikator negative und Bruchzahlen sind.

Grad mit irrationalem Exponenten

Exponent, dessen Exponent ein unendlicher Dezimalbruch oder eine Wurzel ist.

Grad Eigenschaften

Merkmale von Abschlüssen.

• Negative Zahl erhöht auf eben Grad, - Zahl positiv.
• Negative Zahl erhöht auf seltsam Grad, - Zahl Negativ.
• Eine positive Zahl zu jeder Potenz ist eine positive Zahl.
• Null ist gleich jeder Potenz.
• Jede Zahl hoch null ist gleich.

JETZT HAST DU EIN WORT...

Wie gefällt Ihnen der Artikel? Lassen Sie mich in den Kommentaren unten wissen, ob es Ihnen gefallen hat oder nicht.

Erzählen Sie uns von Ihren Erfahrungen mit den Power-Eigenschaften.

Vielleicht haben Sie Fragen. Oder Vorschläge.

Schreiben Sie in die Kommentare.

Und viel Erfolg bei deinen Prüfungen!

So, das Thema ist erledigt. Wenn Sie diese Zeilen lesen, dann sind Sie sehr cool.

Denn nur 5% der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie zu Ende gelesen haben, dann sind Sie bei den 5%!

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Sie haben die Theorie zu diesem Thema herausgefunden. Und ich wiederhole, es ist ... es ist einfach super! Sie sind bereits besser als die große Mehrheit Ihrer Kollegen.

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Aber das ist nicht die Hauptsache.

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Grad Rechner

Zur Macht erheben

Potenzierung: 24601

Was ist eine natürliche Potenz einer Zahl?

Die Zahl p wird als n-te Potenz der Zahl a bezeichnet, wenn p gleich der Zahl a ist, die n-mal mit sich selbst multipliziert wird: p \u003d a n \u003d a ... a
n - genannt Exponent, und die Zahl a - Basis des Abschlusses.

Wie erhebt man eine Zahl in eine natürliche Potenz?

Betrachten Sie einige Beispiele, um zu verstehen, wie man verschiedene Zahlen zu natürlichen Potenzen erhebt:

Beispiel 1. Erhöhen Sie die Zahl drei in die vierte Potenz. Das heißt, es ist notwendig, 3 4 zu berechnen
Lösung: wie oben erwähnt, 3 4 = 3 3 3 3 = 81 .
Antworten: 3 4 = 81 .

Beispiel 2. Erhebe die Zahl fünf in die fünfte Potenz. Das heißt, es ist notwendig, 5 5 zu berechnen
Lösung: ähnlich 5 5 = 5 5 5 5 5 = 3125 .
Antworten: 5 5 = 3125 .

Um also eine Zahl in eine natürliche Potenz zu erheben, genügt es, sie n-mal mit sich selbst zu multiplizieren.

Was ist eine negative Potenz einer Zahl?

Die negative Potenz -n von a ist eins dividiert durch a hoch n: a -n = .

In diesem Fall existiert ein negativer Exponent nur für Zahlen ungleich Null, da sonst eine Division durch Null erfolgen würde.

Wie erhöhe ich eine Zahl auf eine negative ganze Zahl?

Um eine Zahl ungleich Null zu einer negativen Potenz zu erheben, müssen Sie den Wert dieser Zahl mit derselben positiven Potenz berechnen und eins durch das Ergebnis dividieren.

Beispiel 1. Erhöhen Sie die Zahl zwei auf die minus vierte Potenz. Das heißt, es ist notwendig, 2 -4 zu berechnen

Lösung: wie oben erwähnt, 2 -4 = = = 0,0625 .

Antworten: 2 -4 = 0.0625 .

Wir haben herausgefunden, was der Grad einer Zahl im Allgemeinen ist. Jetzt müssen wir verstehen, wie man es richtig berechnet, d.h. Zahlen potenzieren. In diesem Material analysieren wir die Grundregeln für die Berechnung des Grades im Fall eines ganzzahligen, natürlichen, gebrochenen, rationalen und irrationalen Exponenten. Alle Definitionen werden mit Beispielen illustriert.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Das Konzept der Potenzierung

Beginnen wir mit der Formulierung grundlegender Definitionen.

Bestimmung 1

Potenzierung ist die Berechnung des Wertes der Potenz einer Zahl.

Das heißt, die Wörter "Berechnung des Gradwerts" und "Potenzierung" bedeuten dasselbe. Wenn also die Aufgabe lautet „Potenziere die Zahl 0 , 5 mit der fünften Potenz“, ist dies zu verstehen als „Berechne den Wert der Potenz (0 , 5) 5 .

Jetzt geben wir die Grundregeln an, die bei solchen Berechnungen befolgt werden müssen.

Erinnere dich daran, was eine Potenz einer Zahl mit einem natürlichen Exponenten ist. Bei einer Potenz mit Basis a und Exponent n ist dies das Produkt der n-ten Anzahl von Faktoren, von denen jeder gleich a ist. Dies kann so geschrieben werden:

Um den Wert des Grades zu berechnen, müssen Sie die Operation der Multiplikation durchführen, dh die Basen des Grades mit der angegebenen Anzahl multiplizieren. Das Konzept eines Abschlusses mit einem natürlichen Indikator basiert auf der Fähigkeit, sich schnell zu vermehren. Lassen Sie uns Beispiele geben.

Beispiel 1

Bedingung: Raise - 2 hoch 4 .

Lösung

Unter Verwendung der obigen Definition schreiben wir: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Als nächstes müssen wir nur diese Schritte befolgen und erhalten 16 .

Nehmen wir ein komplizierteres Beispiel.

Beispiel 2

Berechne den Wert 3 2 7 2

Lösung

Dieser Eintrag kann umgeschrieben werden als 3 2 7 · 3 2 7 . Weiter oben haben wir uns angesehen, wie man die in der Bedingung erwähnten gemischten Zahlen richtig multipliziert.

Führen Sie diese Schritte aus und erhalten Sie die Antwort: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Wenn die Aufgabe die Notwendigkeit anzeigt, irrationale Zahlen in eine natürliche Potenz zu erheben, müssen wir ihre Basen zuerst auf eine Ziffer runden, die es uns ermöglicht, eine Antwort mit der gewünschten Genauigkeit zu erhalten. Nehmen wir ein Beispiel.

Beispiel 3

Führen Sie das Quadrieren der Zahl π durch.

Lösung

Runden wir zuerst auf Hundertstel auf. Dann ist π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Wenn π ≈ 3 . 14159, dann erhalten wir ein genaueres Ergebnis: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Beachten Sie, dass die Notwendigkeit, die Potenzen irrationaler Zahlen zu berechnen, in der Praxis relativ selten auftritt. Die Antwort können wir dann als Potenz selbst schreiben (ln 6) 3 oder wenn möglich umrechnen: 5 7 = 125 5 .

Getrennt davon sollte angegeben werden, was die erste Potenz einer Zahl ist. Hier können Sie sich nur daran erinnern, dass jede Zahl, die zur ersten Potenz erhoben wird, sie selbst bleibt:

Das geht aus dem Protokoll hervor. .

Es kommt nicht auf die Grundlage des Abschlusses an.

Beispiel 4

Also, (− 9) 1 = − 9 , und 7 3 in die erste Potenz erhoben bleibt gleich 7 3 .

Der Einfachheit halber werden wir drei Fälle separat analysieren: wenn der Exponent eine positive ganze Zahl ist, wenn er Null ist und wenn er eine negative ganze Zahl ist.

Im ersten Fall kommt dies einer Potenzierung gleich, schließlich gehören positive ganze Zahlen zur Menge der natürlichen Zahlen. Wie man mit solchen Graden arbeitet, haben wir oben bereits beschrieben.

Sehen wir uns nun an, wie man richtig zur Nullpotenz erhebt. Bei einer Basis ungleich Null ergibt diese Berechnung immer eine Ausgabe von 1 . Wir haben bereits erklärt, dass die 0. Potenz von a für jede reelle Zahl ungleich 0 definiert werden kann und a 0 = 1 ist.

Beispiel 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nicht definiert.

Uns bleibt nur der Fall eines Grads mit einem negativen ganzzahligen Exponenten. Wir haben bereits besprochen, dass solche Grade als Bruch 1 a z geschrieben werden können, wobei a eine beliebige Zahl und z eine negative ganze Zahl ist. Wir sehen, dass der Nenner dieses Bruchs nichts anderes als ein gewöhnlicher Grad mit einer positiven ganzen Zahl ist, und wir haben bereits gelernt, wie man ihn berechnet. Lassen Sie uns Beispiele für Aufgaben geben.

Beispiel 6

Erhöhe 3 hoch -2.

Lösung

Unter Verwendung der obigen Definition schreiben wir: 2 - 3 = 1 2 3

Wir berechnen den Nenner dieses Bruchs und erhalten 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Dann lautet die Antwort: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Beispiel 7

Erhöhe 1, 43 hoch -2.

Lösung

Formuliere neu: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Wir berechnen das Quadrat im Nenner: 1,43 1,43. Dezimalzahlen können auf diese Weise multipliziert werden:

Als Ergebnis erhalten wir (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Es bleibt uns überlassen, dieses Ergebnis in Form eines gewöhnlichen Bruchs zu schreiben, für den es mit 10.000 multipliziert werden muss (siehe Material zur Umwandlung von Brüchen).

Antwort: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Ein separater Fall ist das Potenzieren einer Zahl mit der ersten minus minus. Der Wert eines solchen Grades ist gleich der Zahl, die dem ursprünglichen Wert der Basis gegenüberliegt: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Beispiel 8

Beispiel: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Wie man eine Zahl mit einer Bruchzahl potenziert

Um eine solche Operation durchzuführen, müssen wir uns an die grundlegende Definition eines Grades mit einem Bruchexponenten erinnern: a m n \u003d a m n für jedes positive a, jede ganze Zahl m und jedes natürliche n.

Bestimmung 2

Daher muss die Berechnung eines Bruchgrades in zwei Schritten durchgeführt werden: Erhöhen auf eine ganzzahlige Potenz und Finden der Wurzel des n-ten Grades.

Wir haben die Gleichung a m n = a m n , die aufgrund der Eigenschaften der Wurzeln normalerweise verwendet wird, um Probleme in der Form a m n = a n m zu lösen. Das heißt, wenn wir die Zahl a auf eine gebrochene Potenz m / n potenzieren, ziehen wir zuerst die Wurzel n-ten Grades aus a, dann potenzieren wir das Ergebnis mit einem ganzzahligen Exponenten m.

Lassen Sie es uns an einem Beispiel veranschaulichen.

Beispiel 9

Berechnen Sie 8 - 2 3 .

Lösung

Methode 1. Gemäß der grundlegenden Definition können wir dies darstellen als: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Nun berechnen wir den Grad unter der Wurzel und ziehen die dritte Wurzel aus dem Ergebnis: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Methode 2. Lassen Sie uns die grundlegende Gleichheit umwandeln: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Danach ziehen wir die Wurzel 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 und quadrieren das Ergebnis: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Wir sehen, dass die Lösungen identisch sind. Sie können es beliebig verwenden.

Es gibt Fälle, in denen der Abschluss einen Indikator hat, der als gemischte Zahl oder als Dezimalbruch ausgedrückt wird. Zur Vereinfachung der Berechnung ist es besser, ihn durch einen gewöhnlichen Bruch zu ersetzen und wie oben angegeben zu zählen.

Beispiel 10

Erhöhen Sie 44,89 hoch 2,5.

Lösung

Lassen Sie uns den Wert des Indikators in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Und jetzt führen wir alle oben angegebenen Aktionen der Reihe nach aus: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Antwort: 13501, 25107.

Wenn Zähler und Nenner eines Bruchexponenten große Zahlen enthalten, dann ist die Berechnung solcher Exponenten mit rationalen Exponenten eine ziemlich schwierige Aufgabe. Es erfordert normalerweise Computertechnologie.

Separat gehen wir auf den Grad mit einer Nullbasis und einem gebrochenen Exponenten ein. Einem Ausdruck der Form 0 m n kann folgende Bedeutung gegeben werden: wenn m n > 0, dann 0 m n = 0 m n = 0 ; wenn m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Wie man eine Zahl irrational potenziert

Die Notwendigkeit, den Wert des Abschlusses zu berechnen, in dessen Indikator sich eine irrationale Zahl befindet, tritt nicht so oft auf. In der Praxis beschränkt sich die Aufgabe meist auf die Berechnung eines Näherungswerts (bis zu einer bestimmten Anzahl von Nachkommastellen). Dies wird aufgrund der Komplexität solcher Berechnungen normalerweise auf einem Computer berechnet, daher werden wir nicht im Detail darauf eingehen, sondern nur die wichtigsten Bestimmungen angeben.

Wenn wir den Wert des Grades a mit einem irrationalen Exponenten a berechnen müssen, dann nehmen wir die dezimale Näherung des Exponenten und zählen davon. Das Ergebnis wird eine ungefähre Antwort sein. Je genauer die Dezimalannäherung genommen wird, desto genauer ist die Antwort. Lassen Sie uns mit einem Beispiel zeigen:

Beispiel 11

Berechnen Sie einen ungefähren Wert von 21, 174367 ....

Lösung

Wir beschränken uns auf die dezimale Näherung a n = 1,17 . Führen wir die Berechnungen mit dieser Zahl durch: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Nehmen wir zum Beispiel die Näherung a n = 1 , 1743 , dann wird die Antwort etwas präziser: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 . 1743 ≈ 2 . 256833 .

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