Es ist absolut unmöglich, physikalische Probleme oder Beispiele in der Mathematik zu lösen, ohne die Ableitung und Methoden zu ihrer Berechnung zu kennen. Die Ableitung ist eines der wichtigsten Konzepte der mathematischen Analyse. Wir haben uns entschlossen, den heutigen Artikel diesem grundlegenden Thema zu widmen. Was ist eine Ableitung, was ist ihre physikalische und geometrische Bedeutung, wie berechnet man die Ableitung einer Funktion? Alle diese Fragen können zu einer kombiniert werden: Wie versteht man die Ableitung?

Geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung

Es gebe eine Funktion f(x) , gegeben in einem gewissen Intervall (a,b) . Zu diesem Intervall gehören die Punkte x und x0. Wenn sich x ändert, ändert sich die Funktion selbst. Argumentänderung - Unterschied seiner Werte x-x0 . Dieser Unterschied wird geschrieben als Delta x und heißt Argumentinkrement. Die Änderung oder Erhöhung einer Funktion ist die Differenz zwischen den Werten der Funktion an zwei Punkten. Ableitungsdefinition:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion an einem gegebenen Punkt zum Inkrement des Arguments, wenn letzteres gegen Null geht.

Ansonsten kann man es so schreiben:

Was bringt es, eine solche Grenze zu finden? Aber welcher:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Tangente des Winkels zwischen der OX-Achse und der Tangente an den Graphen der Funktion an einem bestimmten Punkt.

Die physikalische Bedeutung der Ableitung: die zeitliche Ableitung des Weges ist gleich der Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung.

Tatsächlich weiß jeder seit der Schulzeit, dass Geschwindigkeit ein Privatweg ist. x=f(t) und Zeit t . Durchschnittsgeschwindigkeit über einen bestimmten Zeitraum:

Um die Geschwindigkeit der Bewegung zu einem Zeitpunkt herauszufinden t0 Sie müssen die Grenze berechnen:

Regel eins: Nimm die Konstante heraus

Die Konstante kann aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden. Außerdem muss es gemacht werden. Nehmen Sie beim Lösen von Beispielen in Mathematik in der Regel - Wenn Sie den Ausdruck vereinfachen können, vereinfachen Sie ihn unbedingt .

Beispiel. Lassen Sie uns die Ableitung berechnen:

Regel zwei: Ableitung der Summe von Funktionen

Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Ableitungen dieser Funktionen. Dasselbe gilt für die Ableitung der Differenz von Funktionen.

Wir werden diesen Satz nicht beweisen, sondern ein praktisches Beispiel betrachten.

Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Regel drei: die Ableitung des Produkts von Funktionen

Die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen wird nach folgender Formel berechnet:

Beispiel: Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Lösung:

Hier ist es wichtig, über die Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen zu sprechen. Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung dieser Funktion nach dem Zwischenargument durch die Ableitung des Zwischenarguments nach der unabhängigen Variablen.

Im obigen Beispiel begegnen wir dem Ausdruck:

In diesem Fall ist das Zwischenargument 8x hoch fünf. Um die Ableitung eines solchen Ausdrucks zu berechnen, betrachten wir zuerst die Ableitung der externen Funktion in Bezug auf das Zwischenargument und multiplizieren dann mit der Ableitung des Zwischenarguments selbst in Bezug auf die unabhängige Variable.

Regel 4: Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

Formel zur Bestimmung der Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen:

Wir haben versucht, von Grund auf über Derivate für Dummies zu sprechen. Dieses Thema ist nicht so einfach, wie es scheint, seien Sie also gewarnt: Es gibt oft Fallstricke in den Beispielen, also seien Sie vorsichtig bei der Berechnung von Derivaten.

Bei allen Fragen zu diesem und anderen Themen können Sie sich an den Studierendenservice wenden. In kurzer Zeit helfen wir Ihnen, die schwierigsten Steuerungs- und Aufgabenstellungen zu lösen, auch wenn Sie sich noch nie mit der Berechnung von Derivaten beschäftigt haben.

Und der Satz über die Ableitung einer komplexen Funktion, dessen Formulierung wie folgt lautet:

Seien 1) die Funktion $u=\varphi (x)$ irgendwann eine Ableitung $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ $x_0$ hat, 2) die Funktion $y=f(u)$ hat an der entsprechenden Stelle $u_0=\varphi (x_0)$ die Ableitung $y_(u)"=f"(u)$. Dann wird die komplexe Funktion $y=f\left(\varphi (x) \right)$ an der erwähnten Stelle auch eine Ableitung haben, die gleich dem Produkt der Ableitungen der Funktionen $f(u)$ und $\varphi ( x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

oder in kürzerer Schreibweise: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

In den Beispielen dieses Abschnitts haben alle Funktionen die Form $y=f(x)$ (dh wir betrachten nur Funktionen einer Variablen $x$). Dementsprechend wird in allen Beispielen die Ableitung $y"$ nach der Variablen $x$ gebildet. Um zu betonen, dass die Ableitung nach der Variablen $x$ erfolgt, schreibt man statt $ oft $y"_x$ y"$.

Die Beispiele Nr. 1, Nr. 2 und Nr. 3 liefern einen detaillierten Prozess zum Finden der Ableitung komplexer Funktionen. Beispiel Nr. 4 ist für ein vollständigeres Verständnis der Ableitungstabelle gedacht und es ist sinnvoll, sich damit vertraut zu machen.

Es ist ratsam, nach dem Studium des Materials in den Beispielen Nr. 1-3 mit der unabhängigen Lösung der Beispiele Nr. 5, Nr. 6 und Nr. 7 fortzufahren. Die Beispiele #5, #6 und #7 enthalten eine kurze Lösung, damit der Leser die Richtigkeit seines Ergebnisses überprüfen kann.

Beispiel 1

Finde die Ableitung der Funktion $y=e^(\cos x)$.

Wir müssen die Ableitung der komplexen Funktion $y"$ finden. Da $y=e^(\cos x)$, dann ist $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. To finde die Ableitung $ \left(e^(\cos x)\right)"$ benutze Formel #6 aus der Ableitungstabelle. Um die Formel Nr. 6 zu verwenden, müssen Sie berücksichtigen, dass in unserem Fall $u=\cos x$. Die weitere Lösung besteht in einer banalen Substitution des Ausdrucks $\cos x$ anstelle von $u$ in Formel Nr. 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Jetzt müssen wir den Wert des Ausdrucks $(\cos x)"$ finden. Wieder wenden wir uns der Ableitungstabelle zu und wählen daraus die Formel Nr. 10. Wenn wir $u=x$ in die Formel Nr. 10 einsetzen, haben wir : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Jetzt setzen wir Gleichheit (1.1) fort und ergänzen sie mit dem gefundenen Ergebnis:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Da $x"=1$, setzen wir Gleichheit (1.2) fort:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Aus Gleichheit (1.3) haben wir also: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Natürlich werden Erklärungen und Zwischengleichungen normalerweise übersprungen, indem die Ableitung wie bei der Gleichheit in eine Zeile geschrieben wird ( 1.3) Die Ableitung der komplexen Funktion ist also gefunden, es bleibt nur noch, die Antwort aufzuschreiben.

Antworten: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Beispiel #2

Finde die Ableitung der Funktion $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Wir müssen die Ableitung $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ berechnen. Zunächst bemerken wir, dass die Konstante (also die Zahl 9) aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden kann:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Wenden wir uns nun dem Ausdruck $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ zu. Um die Auswahl der gewünschten Formel aus der Ableitungstabelle zu erleichtern, stelle ich den Ausdruck vor in dieser Form: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Jetzt ist klar, dass es notwendig ist, Formel Nr. 2 zu verwenden, d.h. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Setze $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ und $\alpha=12$ in diese Formel ein:

Wenn wir Gleichheit (2.1) mit dem erhaltenen Ergebnis ergänzen, haben wir:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

In dieser Situation wird oft ein Fehler gemacht, wenn der Löser im ersten Schritt die Formel $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ anstelle der Formel wählt $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Der Punkt ist, dass zuerst die Ableitung der externen Funktion gefunden werden muss. Um zu verstehen, welche Funktion außerhalb des Ausdrucks $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ liegt, stellen Sie sich vor, Sie zählen den Wert des Ausdrucks $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ für einen Wert von $x$. Zuerst berechnen Sie den Wert von $5^x$, dann multiplizieren Sie das Ergebnis mit 4, um $4\cdot 5^x$ zu erhalten. Jetzt nehmen wir den Arkustangens von diesem Ergebnis und erhalten $\arctg(4\cdot 5^x)$. Dann erhöhen wir die resultierende Zahl auf die zwölfte Potenz und erhalten $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Die letzte Aktion, d.h. hoch 12, - und wird eine externe Funktion sein. Und daraus sollte man beginnen, die Ableitung zu finden, was in Gleichheit (2.2) gemacht wurde.

Jetzt müssen wir $(\arctg(4\cdot \ln x))"$ finden. Wir verwenden die Formel Nr. 19 der Ableitungstabelle und setzen $u=4\cdot \ln x$ ein:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Vereinfachen wir den resultierenden Ausdruck etwas und berücksichtigen dabei $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Gleichheit (2.2) wird nun zu:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Es bleibt $(4\cdot \ln x)"$ zu finden. Wir entfernen die Konstante (also 4) aus dem Vorzeichen der Ableitung: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$. Um $(\ln x)"$ zu finden, verwenden wir die Formel Nr. 8 und setzen $u=x$ ein: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$. Da $x"=1$, dann ist $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Setzen wir das erhaltene Ergebnis in Formel (2.3) ein, erhalten wir:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Ableitung einer komplexen Funktion meistens in einer Zeile steht, wie in der letzten Gleichheit geschrieben. Daher ist es bei Standardberechnungen oder Tests überhaupt nicht erforderlich, die Lösung im gleichen Detail zu malen.

Antworten: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Beispiel #3

Finde $y"$ der Funktion $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Lassen Sie uns zunächst die Funktion $y$ leicht umwandeln, indem wir die Wurzel (Wurzel) als Potenz ausdrücken: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Beginnen wir nun damit, die Ableitung zu finden. Da $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, dann:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Wir verwenden Formel Nr. 2 aus der Ableitungstabelle und setzen $u=\sin(5\cdot 9^x)$ und $\alpha=\frac(3)(7)$ ein:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Wir setzen Gleichheit (3.1) mit dem erhaltenen Ergebnis fort:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Jetzt müssen wir $(\sin(5\cdot 9^x))"$ finden. Dazu verwenden wir die Formel Nr. 9 aus der Ableitungstabelle und setzen $u=5\cdot 9^x$ ein:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Wenn wir Gleichheit (3.2) mit dem erhaltenen Ergebnis ergänzen, haben wir:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Es bleibt $(5\cdot 9^x)"$ zu finden. Zuerst entfernen wir die Konstante (die Zahl $5$) aus dem Vorzeichen der Ableitung, also $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. Um die Ableitung $(9^x)"$ zu finden, wenden wir die Formel Nr. 5 der Ableitungstabelle an und setzen $a=9$ und $u=x$ ein: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Da $x"=1$, dann $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Jetzt können wir Gleichheit (3.3) fortsetzen:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Sie können wieder von Potenzen zu Radikalen (d. h. Wurzeln) zurückkehren, indem Sie $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ als $\ frac(1) schreiben )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^ x)))$. Dann wird die Ableitung in der folgenden Form geschrieben:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))) $$

Antworten: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

Beispiel Nr. 4

Zeigen Sie, dass die Formeln Nr. 3 und Nr. 4 der Ableitungstabelle ein Sonderfall der Formel Nr. 2 dieser Tabelle sind.

In Formel Nr. 2 der Ableitungstabelle steht die Ableitung der Funktion $u^\alpha$. Wenn wir $\alpha=-1$ in Formel #2 einsetzen, erhalten wir:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Da $u^(-1)=\frac(1)(u)$ und $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, kann Gleichheit (4.1) wie folgt umgeschrieben werden: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Dies ist die Formel Nummer 3 der Ableitungstabelle.

Wenden wir uns noch einmal der Formel Nr. 2 der Ableitungstabelle zu. Ersetzen Sie $\alpha=\frac(1)(2)$ darin:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Da $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ und $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, dann kann Gleichheit (4.2) wie folgt umgeschrieben werden:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Die resultierende Gleichheit $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ ist Formel Nr. 4 der Ableitungstabelle. Wie Sie sehen können, werden die Formeln Nr. 3 und Nr. 4 der Ableitungstabelle aus Formel Nr. 2 erhalten, indem der entsprechende Wert von $\alpha$ ersetzt wird.

Wenn wir der Definition folgen, dann ist die Ableitung einer Funktion an einem Punkt die Grenze des Inkrementverhältnisses der Funktion Δ j zum Inkrement des Arguments Δ x:

Alles scheint klar zu sein. Aber versuchen Sie, nach dieser Formel zu berechnen, sagen wir, die Ableitung der Funktion f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x Sünde x. Wenn Sie per Definition alles tun, werden Sie nach ein paar Seiten Berechnungen einfach einschlafen. Daher gibt es einfachere und effektivere Wege.

Zunächst sei darauf hingewiesen, dass die sogenannten Elementarfunktionen von der ganzen Vielfalt der Funktionen unterschieden werden können. Dies sind relativ einfache Ausdrücke, deren Ableitungen längst berechnet und in die Tabelle eingetragen wurden. Solche Funktionen sind leicht zu merken, zusammen mit ihren Ableitungen.

Ableitungen elementarer Funktionen

Elementare Funktionen sind alle unten aufgeführten. Die Ableitungen dieser Funktionen müssen auswendig bekannt sein. Außerdem ist es nicht schwer, sie auswendig zu lernen - deshalb sind sie elementar.

Also die Ableitungen elementarer Funktionen:

Name	Funktion	Derivat
Konstante	f(x) = C, C ∈ R	0 (ja, ja, null!)
Grad mit rationalem Exponenten	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = Sünde x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	− Sünde x(minus Sinus)
Tangente	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
natürlicher Logarithmus	f(x) = Protokoll x	1/x
Beliebiger Logarithmus	f(x) = Protokoll a x	1/(x ln a)
Exponentialfunktion	f(x) = e x	e x(nichts hat sich verändert)

Multipliziert man eine elementare Funktion mit einer beliebigen Konstanten, so lässt sich auch die Ableitung der neuen Funktion leicht berechnen:

(C · f)’ = C · f ’.

Im Allgemeinen können Konstanten aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden. Zum Beispiel:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Natürlich lassen sich elementare Funktionen addieren, multiplizieren, dividieren und vieles mehr. So entstehen neue Funktionen, nicht mehr ganz elementar, aber auch nach bestimmten Regeln differenzierbar. Diese Regeln werden unten diskutiert.

Ableitung von Summe und Differenz

Lassen Sie die Funktionen f(x) und g(x), deren Ableitungen uns bekannt sind. Beispielsweise können Sie die oben besprochenen elementaren Funktionen verwenden. Dann können Sie die Ableitung der Summe und Differenz dieser Funktionen finden:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Die Ableitung der Summe (Differenz) zweier Funktionen ist also gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen. Möglicherweise gibt es noch weitere Begriffe. Zum Beispiel, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Genau genommen gibt es in der Algebra keinen Begriff der "Subtraktion". Es gibt ein Konzept des "negativen Elements". Daher der Unterschied f − g kann als Summe umgeschrieben werden f+ (−1) g, und dann bleibt nur noch eine Formel übrig - die Ableitung der Summe.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funktion f(x) ist die Summe zweier elementarer Funktionen, also:

f ’(x) = (x 2+ Sünde x)’ = (x 2)' + (sünde x)’ = 2x+ cosx;

Ähnlich argumentieren wir für die Funktion g(x). Nur gibt es bereits drei Terme (aus algebraischer Sicht):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Antworten:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Ableitung eines Produkts

Mathematik ist eine logische Wissenschaft, so viele Leute glauben, dass, wenn die Ableitung der Summe gleich der Summe der Ableitungen ist, die Ableitung des Produkts schlagen"\u003e gleich dem Produkt von Derivaten. Aber Feigen für Sie! Die Ableitung des Produkts wird mit einer völlig anderen Formel berechnet. Nämlich:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Die Formel ist einfach, wird aber oft vergessen. Und nicht nur Schüler, sondern auch Studenten. Das Ergebnis sind falsch gelöste Probleme.

Eine Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funktion f(x) ist ein Produkt zweier elementarer Funktionen, also ist alles einfach:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (Kos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sünde x) = x 2 (3 cos x − x Sünde x)

Funktion g(x) ist der erste Multiplikator etwas komplizierter, aber das allgemeine Schema ändert sich nicht. Offensichtlich der erste Multiplikator der Funktion g(x) ist ein Polynom, und seine Ableitung ist die Ableitung der Summe. Wir haben:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Antworten:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x Sünde x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Beachten Sie, dass im letzten Schritt die Ableitung faktorisiert wird. Formal ist dies nicht notwendig, aber die meisten Ableitungen werden nicht für sich allein berechnet, sondern um die Funktion zu untersuchen. Das bedeutet, dass weiterhin die Ableitung gleich Null gesetzt wird, ihre Vorzeichen ermittelt werden und so weiter. Für einen solchen Fall ist es besser, einen Ausdruck in Faktoren zerlegen zu lassen.

Wenn es zwei Funktionen gibt f(x) und g(x), und g(x) ≠ 0 auf der uns interessierenden Menge können wir eine neue Funktion definieren h(x) = f(x)/g(x). Für eine solche Funktion finden Sie auch die Ableitung:

Nicht schwach, oder? Woher kommt das Minus? Warum g 2? Aber so! Dies ist eine der komplexesten Formeln - Sie können es ohne eine Flasche nicht herausfinden. Daher ist es besser, es mit konkreten Beispielen zu studieren.

Eine Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Es gibt elementare Funktionen im Zähler und Nenner jedes Bruchs, also brauchen wir nur die Formel für die Ableitung des Quotienten:

Traditionell faktorisieren wir den Zähler in Faktoren - dies vereinfacht die Antwort erheblich:

Eine komplexe Funktion ist nicht unbedingt eine Formel von einem halben Kilometer Länge. Beispielsweise genügt es, die Funktion zu übernehmen f(x) = Sünde x und ersetzen Sie die Variable x, sagen wir, auf x 2+ln x. Es stellt sich heraus f(x) = Sünde ( x 2+ln x) ist eine komplexe Funktion. Sie hat auch ein Derivat, aber es wird nicht funktionieren, es nach den oben diskutierten Regeln zu finden.

Wie sein? In solchen Fällen hilft die Ersetzung einer Variablen und die Formel zur Ableitung einer komplexen Funktion:

f ’(x) = f ’(t) · t', wenn x wird ersetzt durch t(x).

In der Regel ist die Situation beim Verständnis dieser Formel noch trauriger als bei der Ableitung des Quotienten. Daher ist es auch besser, es mit konkreten Beispielen zu erklären, mit einer detaillierten Beschreibung jedes Schritts.

Eine Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = Sünde ( x 2+ln x)

Beachten Sie, dass if in der Funktion f(x) anstelle von Ausdruck 2 x+ 3 wird einfach sein x, dann erhalten wir eine elementare Funktion f(x) = e x. Deshalb nehmen wir eine Substitution vor: sei 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Wir suchen die Ableitung einer komplexen Funktion nach der Formel:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Und jetzt - Achtung! Durchführen einer umgekehrten Substitution: t = 2x+ 3. Wir erhalten:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Schauen wir uns nun die Funktion an g(x). Muss natürlich ausgetauscht werden. x 2+ln x = t. Wir haben:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (Sünde t)’ · t' = cos t · t ’

Umgekehrter Ersatz: t = x 2+ln x. Dann:

g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Das ist alles! Wie aus dem letzten Ausdruck ersichtlich ist, wurde das ganze Problem auf die Berechnung der Ableitung der Summe reduziert.

Antworten:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) weil ( x 2+ln x).

Sehr oft verwende ich in meinem Unterricht anstelle des Begriffs „Ableitung“ das Wort „Strich“. Beispielsweise ist der Strich der Summe gleich der Summe der Striche. Ist das übersichtlicher? Das ist gut.

Daher läuft die Berechnung der Ableitung darauf hinaus, genau diese Striche gemäß den oben diskutierten Regeln loszuwerden. Als letztes Beispiel kehren wir zur Potenz der Ableitung mit einem rationalen Exponenten zurück:

(x n)’ = n · x n − 1

Das wissen die wenigsten in der Rolle n kann durchaus eine Bruchzahl sein. Die Wurzel ist zum Beispiel x 0,5 . Aber was ist, wenn sich unter der Wurzel etwas kniffliges befindet? Auch hier wird sich eine komplexe Funktion herausstellen - sie geben solche Konstruktionen gerne in Tests und Prüfungen.

Eine Aufgabe. Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Lassen Sie uns zuerst die Wurzel als Potenz mit einem rationalen Exponenten umschreiben:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Jetzt nehmen wir eine Substitution vor: let x 2 + 8x − 7 = t. Wir finden die Ableitung durch die Formel:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Wir führen eine umgekehrte Substitution durch: t = x 2 + 8x− 7. Wir haben:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Abschließend zurück zu den Wurzeln:

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Ableitung der Funktion. Umfassender Leitfaden (2019)

Stellen Sie sich eine gerade Straße vor, die durch ein hügeliges Gebiet führt. Das heißt, es geht auf und ab, dreht sich aber nicht nach rechts oder links. Wenn die Achse horizontal entlang der Straße und vertikal ausgerichtet ist, ist die Straßenlinie dem Diagramm einer kontinuierlichen Funktion sehr ähnlich:

Die Achse ist eine bestimmte Höhe von Null, im Leben verwenden wir den Meeresspiegel als solches.

Wenn wir uns auf einer solchen Straße vorwärts bewegen, bewegen wir uns auch aufwärts oder abwärts. Wir können auch sagen: Wenn sich das Argument ändert (Bewegung entlang der Abszissenachse), ändert sich der Wert der Funktion (Bewegung entlang der Ordinatenachse). Lassen Sie uns nun darüber nachdenken, wie wir die "Steilheit" unserer Straße bestimmen können. Was könnte dieser Wert sein? Ganz einfach: Wie stark ändert sich die Höhe, wenn man sich um eine bestimmte Strecke vorwärts bewegt? In der Tat werden wir auf verschiedenen Abschnitten der Straße, wenn wir uns einen Kilometer vorwärts (entlang der Abszisse) bewegen, relativ zum Meeresspiegel (entlang der Ordinate) um eine unterschiedliche Anzahl von Metern ansteigen oder abfallen.

Wir bezeichnen Fortschritt vorwärts (lesen Sie „Delta x“).

Der griechische Buchstabe (Delta) wird in der Mathematik häufig als Präfix für „Veränderung“ verwendet. Das heißt - dies ist eine Größenänderung, - eine Änderung; Was ist es dann? Das ist richtig, eine Größenänderung.

Wichtig: Der Ausdruck ist eine einzelne Entität, eine Variable. Sie sollten niemals das „Delta“ vom „x“ oder einem anderen Buchstaben abreißen! Das heißt zum Beispiel.

Wir haben uns also horizontal vorwärts bewegt. Wenn wir die Linie der Straße mit dem Graphen einer Funktion vergleichen, wie bezeichnen wir dann den Anstieg? Na sicher, . Das heißt, wenn wir uns vorwärts bewegen, steigen wir höher auf.

Es ist einfach, den Wert zu berechnen: Wenn wir uns am Anfang auf einer Höhe befanden und nach dem Umzug auf einer Höhe waren, dann. Wenn sich herausstellt, dass der Endpunkt niedriger als der Startpunkt ist, ist er negativ - das bedeutet, dass wir nicht aufsteigen, sondern absteigen.

Zurück zur „Steilheit“: Dies ist ein Wert, der angibt, wie stark (steil) die Höhe beim Vorwärtsbewegen pro Wegeinheit zunimmt:

Angenommen, auf einem Abschnitt des Weges steigt die Straße um Kilometer an, wenn sie um Kilometer vorrückt. Dann ist die Steilheit an dieser Stelle gleich. Und wenn die Straße beim Vorrücken um m um km sank? Dann ist die Steigung gleich.

Betrachten Sie nun die Spitze eines Hügels. Wenn Sie den Beginn des Abschnitts einen halben Kilometer nach oben und das Ende - einen halben Kilometer danach - nehmen, können Sie sehen, dass die Höhe fast gleich ist.

Das heißt, nach unserer Logik stellt sich heraus, dass die Steigung hier fast gleich Null ist, was eindeutig nicht stimmt. Nur wenige Kilometer entfernt kann sich viel ändern. Kleinere Bereiche müssen für eine angemessenere und genauere Schätzung der Steilheit berücksichtigt werden. Wenn Sie zum Beispiel die Höhenänderung messen, wenn Sie sich einen Meter bewegen, wird das Ergebnis viel genauer sein. Aber selbst diese Genauigkeit reicht uns möglicherweise nicht aus - schließlich können wir, wenn mitten auf der Straße ein Mast steht, einfach durchrutschen. Welchen Abstand sollten wir dann wählen? Zentimeter? Millimeter? Weniger ist besser!

Im wirklichen Leben ist es mehr als genug, die Entfernung auf den nächsten Millimeter zu messen. Aber Mathematiker streben immer nach Perfektion. Daher war das Konzept unendlich klein, das heißt, der Modulo-Wert ist kleiner als jede Zahl, die wir nennen können. Sie sagen zum Beispiel: ein Billionstel! Wie viel weniger? Und Sie teilen diese Zahl durch - und es wird noch weniger. Usw. Wenn wir schreiben wollen, dass der Wert unendlich klein ist, schreiben wir so: (wir lesen „x strebt gegen Null“). Es ist sehr wichtig zu verstehen dass diese Zahl nicht gleich Null ist! Aber ganz nah dran. Dies bedeutet, dass es unterteilt werden kann.

Das Gegenteil von unendlich klein ist unendlich groß (). Sie sind ihm wahrscheinlich schon begegnet, als Sie an Ungleichungen gearbeitet haben: Diese Zahl hat einen größeren Modul als jede Zahl, die Sie sich vorstellen können. Wenn Sie auf die größtmögliche Zahl kommen, multiplizieren Sie sie einfach mit zwei und Sie erhalten noch mehr. Und Unendlichkeit ist noch mehr als das, was passiert. Tatsächlich sind unendlich groß und unendlich klein zueinander invers, also at, und umgekehrt: at.

Nun zurück zu unserer Straße. Die ideal berechnete Steigung ist die für ein unendlich kleines Segment des Weges berechnete Steigung, das heißt:

Ich stelle fest, dass bei einer unendlich kleinen Verschiebung auch die Höhenänderung unendlich klein sein wird. Aber ich möchte Sie daran erinnern, dass unendlich klein nicht gleich Null bedeutet. Wenn man infinitesimale Zahlen durcheinander dividiert, erhält man zum Beispiel eine ganz gewöhnliche Zahl. Das heißt, ein kleiner Wert kann genau doppelt so groß sein wie ein anderer.

Warum das alles? Die Straße, die Steilheit ... Wir fahren keine Rallye, aber wir lernen Mathematik. Und in der Mathematik ist alles genau gleich, nur anders genannt.

Das Konzept eines Derivats

Die Ableitung einer Funktion ist das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments bei einem infinitesimalen Inkrement des Arguments.

Zuwachs in der Mathematik heißt Veränderung. Wie stark sich das Argument () beim Bewegen entlang der Achse geändert hat, wird aufgerufen Argumenterhöhung und bezeichnet durch Wie viel sich die Funktion (Höhe) geändert hat, wenn man sich entlang der Achse um eine Strecke vorwärts bewegt, wird aufgerufen Funktionsinkrement und ist markiert.

Die Ableitung einer Funktion ist also die Beziehung zum Wann. Die Ableitung bezeichnen wir mit demselben Buchstaben wie die Funktion, nur mit einem Strich von rechts oben: oder einfach. Schreiben wir also die Ableitungsformel mit diesen Notationen:

Wie in der Analogie mit der Straße ist hier die Ableitung positiv, wenn die Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ.

Aber ist die Ableitung gleich Null? Na sicher. Wenn wir zum Beispiel auf einer flachen horizontalen Straße fahren, ist die Steilheit null. Tatsächlich ändert sich die Höhe überhaupt nicht. Also mit der Ableitung: Die Ableitung einer konstanten Funktion (Konstante) ist gleich Null:

da das Inkrement einer solchen Funktion für alle Null ist.

Nehmen wir das Beispiel auf dem Hügel. Es stellte sich heraus, dass es möglich war, die Enden des Segments auf gegenüberliegenden Seiten des Scheitelpunkts so anzuordnen, dass die Höhe an den Enden gleich ausfällt, dh das Segment parallel zur Achse ist:

Aber große Segmente sind ein Zeichen für eine ungenaue Messung. Wir werden unser Segment parallel zu sich selbst anheben, dann wird seine Länge abnehmen.

Am Ende, wenn wir der Spitze unendlich nahe sind, wird die Länge des Segments unendlich klein. Gleichzeitig blieb es jedoch parallel zur Achse, dh der Höhenunterschied an seinen Enden ist gleich Null (neigt nicht, ist aber gleich). Also die Ableitung

Das kann man so verstehen: Wenn wir ganz oben stehen, verändert eine kleine Verschiebung nach links oder rechts unsere Körpergröße nur unwesentlich.

Es gibt auch eine rein algebraische Erklärung: Links oben nimmt die Funktion zu, rechts fällt sie ab. Wie wir bereits früher herausgefunden haben, ist die Ableitung positiv, wenn die Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ. Aber es ändert sich sanft, ohne Sprünge (weil die Straße ihre Neigung nirgendwo stark ändert). Daher muss es zwischen negativen und positiven Werten geben. Es wird dort sein, wo die Funktion weder zunimmt noch abnimmt - am Scheitelpunkt.

Dasselbe gilt für das Tal (der Bereich, in dem die Funktion links abnimmt und rechts zunimmt):

Ein bisschen mehr über Inkremente.

Also ändern wir das Argument in einen Wert. Ab welchem ​​Wert wechseln wir? Was ist aus ihm (Argument) geworden? Wir können einen beliebigen Punkt wählen, und jetzt werden wir von ihm aus tanzen.

Betrachten Sie einen Punkt mit einer Koordinate. Der Wert der darin enthaltenen Funktion ist gleich. Dann machen wir das gleiche Inkrement: Erhöhen Sie die Koordinate um. Was ist jetzt das Argument? Sehr leicht: . Welchen Wert hat die Funktion jetzt? Wo das Argument hingehört, kommt die Funktion dorthin: . Was ist mit dem Funktionsinkrement? Nichts Neues: Um diesen Betrag hat sich die Funktion noch geändert:

Übe das Finden von Inkrementen:

1. Finden Sie das Inkrement der Funktion an einem Punkt mit einem Inkrement des Arguments gleich.
2. Dasselbe gilt für eine Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

An verschiedenen Punkten ist bei gleichem Inkrement des Arguments das Inkrement der Funktion unterschiedlich. Dies bedeutet, dass die Ableitung an jedem Punkt ihre eigene hat (wir haben das ganz am Anfang besprochen - die Steilheit der Straße an verschiedenen Punkten ist unterschiedlich). Wenn wir also eine Ableitung schreiben, müssen wir angeben, an welcher Stelle:

Power-Funktion.

Eine Potenzfunktion wird eine Funktion genannt, bei der das Argument bis zu einem gewissen Grad (logisch, richtig?) ist.

Und - in jedem Fall: .

Der einfachste Fall ist, wenn der Exponent ist:

Lassen Sie uns seine Ableitung an einem Punkt finden. Denken Sie an die Definition eines Derivats:

Das Argument ändert sich also von zu. Was ist das Funktionsinkrement?

Zuwachs ist. Aber die Funktion ist an jedem Punkt gleich ihrem Argument. Deshalb:

Die Ableitung ist:

Die Ableitung von ist:

b) Betrachten Sie nun die quadratische Funktion (): .

Erinnern wir uns jetzt daran. Das bedeutet, dass der Wert des Inkrements vernachlässigt werden kann, da er unendlich klein und daher vor dem Hintergrund eines anderen Terms unbedeutend ist:

Also haben wir eine andere Regel:

c) Wir setzen die logische Reihe fort: .

Dieser Ausdruck kann auf verschiedene Arten vereinfacht werden: Öffnen Sie die erste Klammer mit der Formel für die abgekürzte Multiplikation des Würfels der Summe oder zerlegen Sie den gesamten Ausdruck in Faktoren mit der Formel für die Differenz von Würfeln. Versuchen Sie, es selbst auf eine der vorgeschlagenen Arten zu tun.

Also ich habe folgendes bekommen:

Und wieder, erinnere dich daran. Das bedeutet, dass wir alle Terme vernachlässigen können, die Folgendes enthalten:

Wir bekommen: .

d) Ähnliche Regeln können für große Potenzen erhalten werden:

e) Es stellt sich heraus, dass diese Regel für eine Potenzfunktion mit einem beliebigen Exponenten, nicht einmal einer ganzen Zahl, verallgemeinert werden kann:

(2)

Sie können die Regel mit den Worten formulieren: „der Grad wird als Koeffizient vorgezogen und nimmt dann um ab“.

Wir werden diese Regel später (fast ganz am Ende) beweisen. Sehen wir uns nun einige Beispiele an. Finden Sie die Ableitung von Funktionen:

1. (auf zwei Arten: durch die Formel und unter Verwendung der Definition der Ableitung - durch Zählen des Inkrements der Funktion);

1. . Ob Sie es glauben oder nicht, das ist eine Potenzfunktion. Bei Fragen wie „Wie ist es? Und wo ist der Abschluss?“, Merkt euch das Thema „ “!
   Ja, ja, die Wurzel ist auch ein Grad, nur ein gebrochener:.
   Unsere Quadratwurzel ist also nur eine Potenz mit einem Exponenten:
   .
   Wir suchen die Ableitung mit der neu gelernten Formel:

   Wenn es an dieser Stelle wieder unklar wurde, wiederholen Sie das Thema "" !!! (etwa ein Abschluss mit negativem Kennzeichen)

2. . Jetzt der Exponent:

   Und nun zur Definition (schon vergessen?):
   ;
   .
   Nun vernachlässigen wir wie üblich den Term, der enthält:
   .

3. . Kombination früherer Fälle: .

trigonometrische Funktionen.

Hier verwenden wir eine Tatsache aus der höheren Mathematik:

Beim Ausdruck.

Den Beweis lernst du im ersten Jahr des Instituts (und um dorthin zu gelangen, musst du die Prüfung gut bestehen). Jetzt zeige ich es einfach grafisch:

Wir sehen, dass, wenn die Funktion nicht existiert, der Punkt auf dem Graphen punktiert ist. Aber je näher am Wert, desto näher an der Funktion, das ist das eigentliche „Streben“.

Zusätzlich können Sie diese Regel mit einem Taschenrechner überprüfen. Ja, ja, keine Scheu, nimm einen Taschenrechner, wir sind noch nicht bei der Prüfung.

Lass es uns versuchen: ;

Vergessen Sie nicht, den Taschenrechner in den Radian-Modus zu schalten!

usw. Wir sehen, je kleiner, desto näher der Wert des Verhältnisses.

a) Betrachten Sie eine Funktion. Wie üblich finden wir sein Inkrement:

Lassen Sie uns die Sinusdifferenz in ein Produkt umwandeln. Dazu verwenden wir die Formel (denken Sie an das Thema ""):.

Nun die Ableitung:

Nehmen wir eine Ersetzung vor: . Dann ist sie für unendlich klein auch unendlich klein: . Der Ausdruck für hat die Form:

Und jetzt merken wir uns das mit dem Ausdruck. Und was ist, wenn ein unendlich kleiner Wert in der Summe vernachlässigt werden kann (dh at).

Damit erhalten wir folgende Regel: die Ableitung des Sinus ist gleich dem Kosinus:

Dies sind grundlegende („Tabellen“)-Derivate. Hier sind sie in einer Liste:

Später werden wir noch ein paar weitere hinzufügen, aber das sind die wichtigsten, da sie am häufigsten verwendet werden.

Trainieren:

1. Finden Sie die Ableitung einer Funktion an einem Punkt;
2. Finde die Ableitung der Funktion.

Lösungen:

1. Zuerst finden wir die Ableitung in allgemeiner Form und ersetzen dann stattdessen ihren Wert:
   ;
   .
2. Hier haben wir etwas Ähnliches wie eine Potenzfunktion. Versuchen wir, sie zu sich zu bringen
   normale Ansicht:
   .
   Ok, jetzt können Sie die Formel verwenden:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Was ist das????

Okay, Sie haben Recht, wir wissen immer noch nicht, wie wir solche Derivate finden können. Hier haben wir eine Kombination aus mehreren Arten von Funktionen. Um mit ihnen zu arbeiten, müssen Sie einige weitere Regeln lernen:

Exponent und natürlicher Logarithmus.

Es gibt eine solche Funktion in der Mathematik, deren Ableitung für jede gleich dem Wert der Funktion selbst für dieselbe ist. Sie wird „Exponent“ genannt und ist eine Exponentialfunktion

Die Basis dieser Funktion - eine Konstante - ist ein unendlicher Dezimalbruch, dh eine irrationale Zahl (z. B.). Sie wird „Euler-Zahl“ genannt, weshalb sie mit einem Buchstaben bezeichnet wird.

Die Regel lautet also:

Es ist sehr leicht zu merken.

Nun, wir werden nicht weit gehen, wir werden sofort die Umkehrfunktion betrachten. Was ist die Umkehrung der Exponentialfunktion? Logarithmus:

In unserem Fall ist die Basis eine Zahl:

Einen solchen Logarithmus (also einen Logarithmus mit Basis) nennt man einen „natürlichen“ und wir verwenden dafür eine spezielle Notation: wir schreiben stattdessen.

Was ist gleich? Natürlich, .

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist ebenfalls sehr einfach:

Beispiele:

1. Finde die Ableitung der Funktion.
2. Was ist die Ableitung der Funktion?

Antworten: Der Exponent und der natürliche Logarithmus sind Funktionen, die in Bezug auf die Ableitung einzigartig einfach sind. Exponential- und Logarithmusfunktionen mit jeder anderen Basis haben eine andere Ableitung, die wir später analysieren werden, nachdem wir die Ableitungsregeln durchgegangen sind.

Abgrenzungsregeln

Welche Regeln? Schon wieder ein neuer Begriff?!...

Unterscheidung ist der Prozess, die Ableitung zu finden.

Nur und alles. Was ist ein anderes Wort für diesen Vorgang? Nicht proizvodnovanie... Das Differential der Mathematik heißt das eigentliche Inkrement der Funktion bei. Dieser Begriff kommt vom lateinischen differentia – Unterschied. Hier.

Bei der Ableitung all dieser Regeln verwenden wir zwei Funktionen, zum Beispiel und. Wir benötigen auch Formeln für ihre Inkremente:

Es gibt insgesamt 5 Regeln.

Die Konstante wird aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen.

Wenn - eine konstante Zahl (Konstante), dann.

Offensichtlich funktioniert diese Regel auch für die Differenz: .

Beweisen wir es. Lassen Sie, oder einfacher.

Beispiele.

Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

1. am Punkt;
2. am Punkt;
3. am Punkt;
4. am Punkt.

Lösungen:

1. (Die Ableitung ist an allen Punkten gleich, da es sich um eine lineare Funktion handelt, erinnern Sie sich?);

Ableitung eines Produkts

Hier ist alles ähnlich: Wir führen eine neue Funktion ein und finden ihre Schrittweite:

Derivat:

Beispiele:

1. Finden Sie Ableitungen von Funktionen und;
2. Finden Sie die Ableitung einer Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

Ableitung der Exponentialfunktion

Jetzt reicht Ihr Wissen aus, um zu lernen, wie man die Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion findet, und nicht nur den Exponenten (haben Sie schon vergessen, was das ist?).

Wo ist also eine Zahl.

Wir kennen bereits die Ableitung der Funktion, also versuchen wir, unsere Funktion auf eine neue Basis zu bringen:

Dazu verwenden wir eine einfache Regel: . Dann:

Nun, es hat funktioniert. Versuchen Sie nun, die Ableitung zu finden, und vergessen Sie nicht, dass diese Funktion komplex ist.

Passiert?

Hier, prüfen Sie selbst:

Es stellte sich heraus, dass die Formel der Ableitung des Exponenten sehr ähnlich war: So wie es war, erschien nur ein Faktor, der nur eine Zahl, aber keine Variable ist.

Beispiele:
Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Antworten:

Dies ist nur eine Zahl, die ohne Taschenrechner nicht berechnet, dh nicht in einfacherer Form geschrieben werden kann. Daher belassen wir es in dieser Form in der Antwort.

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Hier ist es ähnlich: Sie kennen bereits die Ableitung des natürlichen Logarithmus:

Um also eine beliebige aus dem Logarithmus mit einer anderen Basis zu finden, zum Beispiel:

Wir müssen diesen Logarithmus zur Basis bringen. Wie verändert man die Basis eines Logarithmus? Ich hoffe, Sie erinnern sich an diese Formel:

Nur jetzt werden wir anstelle von schreiben:

Der Nenner war nur eine Konstante (eine konstante Zahl ohne Variable). Die Ableitung ist ganz einfach:

Ableitungen der Exponential- und Logarithmusfunktionen werden fast nie in der Prüfung gefunden, aber es wird nicht überflüssig sein, sie zu kennen.

Ableitung einer komplexen Funktion.

Was ist eine „komplexe Funktion“? Nein, das ist kein Logarithmus und kein Arkustangens. Diese Funktionen können schwer zu verstehen sein (obwohl Ihnen der Logarithmus schwierig erscheint, lesen Sie das Thema „Logarithmen“ und alles wird funktionieren), aber in mathematischer Hinsicht bedeutet das Wort „komplex“ nicht „schwierig“.

Stellen Sie sich ein kleines Förderband vor: Zwei Personen sitzen und führen einige Aktionen mit einigen Objekten aus. Zum Beispiel wickelt der erste einen Schokoriegel in eine Hülle und der zweite bindet ihn mit einem Band zusammen. Es stellt sich ein solches zusammengesetztes Objekt heraus: ein Schokoriegel, der mit einem Band umwickelt und gebunden ist. Um einen Schokoriegel zu essen, müssen Sie die entgegengesetzten Schritte in umgekehrter Reihenfolge ausführen.

Lassen Sie uns eine ähnliche mathematische Pipeline erstellen: Zuerst finden wir den Kosinus einer Zahl und dann quadrieren wir die resultierende Zahl. Sie geben uns also eine Zahl (Schokolade), ich finde ihren Kosinus (Wrapper) und dann quadrierst du, was ich bekommen habe (binde es mit einem Band). Was ist passiert? Funktion. Dies ist ein Beispiel für eine komplexe Funktion: Wenn wir, um ihren Wert zu finden, die erste Aktion direkt mit der Variablen ausführen und dann eine weitere zweite Aktion mit dem, was als Ergebnis der ersten passiert ist.

Wir können die gleichen Aktionen auch in umgekehrter Reihenfolge ausführen: Zuerst quadrieren Sie, und dann suche ich nach dem Kosinus der resultierenden Zahl:. Es ist leicht zu erraten, dass das Ergebnis fast immer anders sein wird. Ein wichtiges Merkmal komplexer Funktionen: Wenn sich die Reihenfolge der Aktionen ändert, ändert sich die Funktion.

Mit anderen Worten, Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument eine andere Funktion ist: .

Für das erste Beispiel, .

Zweites Beispiel: (gleich). .

Die letzte Aktion, die wir ausführen, wird aufgerufen "externe" Funktion, bzw. die zuerst durchgeführte Aktion "interne" Funktion(Dies sind informelle Namen, ich verwende sie nur, um das Material in einfacher Sprache zu erklären).

Versuchen Sie selbst festzustellen, welche Funktion extern und welche intern ist:

Antworten: Die Trennung von inneren und äußeren Funktionen ist sehr ähnlich wie beim Ändern von Variablen: zum Beispiel in der Funktion

1. Welche Maßnahmen ergreifen wir zuerst? Zuerst berechnen wir den Sinus und erst dann erhöhen wir ihn auf einen Würfel. Es ist also eine interne Funktion, keine externe.
   Und die ursprüngliche Funktion ist ihre Zusammensetzung: .
2. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
3. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
4. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
5. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .

Wir ändern Variablen und erhalten eine Funktion.

Nun, jetzt werden wir unsere Schokolade extrahieren - suchen Sie nach dem Derivat. Dabei wird immer umgekehrt vorgegangen: Zuerst suchen wir die Ableitung der äußeren Funktion, dann multiplizieren wir das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion. Für das ursprüngliche Beispiel sieht es so aus:

Ein anderes Beispiel:

Formulieren wir also endlich die offizielle Regel:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

Alles scheint einfach zu sein, oder?

Lassen Sie uns anhand von Beispielen überprüfen:

Lösungen:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Versuchen Sie jetzt nicht zu reduzieren! Nichts wird unter dem Kosinus herausgenommen, erinnern Sie sich?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Es ist sofort klar, dass es sich hier um eine komplexe Funktion mit drei Ebenen handelt: Schließlich ist dies an sich schon eine komplexe Funktion, und wir extrahieren noch die Wurzel daraus, das heißt, wir führen die dritte Aktion aus (Schokolade in eine Hülle stecken und mit einem Band in einer Aktentasche). Aber kein Grund zur Angst: Jedenfalls werden wir diese Funktion in der gewohnten Reihenfolge „auspacken“: von hinten.

Das heißt, wir differenzieren zuerst die Wurzel, dann den Kosinus und erst dann den Ausdruck in Klammern. Und dann multiplizieren wir alles.

In solchen Fällen ist es zweckmäßig, die Aktionen zu nummerieren. Stellen wir uns vor, was wir wissen. In welcher Reihenfolge werden wir Aktionen ausführen, um den Wert dieses Ausdrucks zu berechnen? Schauen wir uns ein Beispiel an:

Je später die Aktion ausgeführt wird, desto "externer" wird die entsprechende Funktion. Die Reihenfolge der Aktionen - wie zuvor:

Hier ist die Verschachtelung im Allgemeinen 4-stufig. Lassen Sie uns die Vorgehensweise bestimmen.

1. Radikaler Ausdruck. .

2. Wurzel. .

3. Nebenhöhlen. .

4. Quadrat. .

5. Alles zusammen:

DERIVAT. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

Ableitung der Funktion- das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments bei einem infinitesimalen Inkrement des Arguments:

Basische Derivate:

Unterscheidungsregeln:

Die Konstante wird aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen:

Ableitung der Summe:

Derivatprodukt:

Ableitung des Quotienten:

Ableitung einer komplexen Funktion:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

1. Wir definieren die "interne" Funktion, finden ihre Ableitung.
2. Wir definieren die "externe" Funktion, finden ihre Ableitung.
3. Wir multiplizieren die Ergebnisse des ersten und zweiten Punktes.

Ableitung einer komplexen Funktion. Lösungsbeispiele

In dieser Lektion lernen wir, wie man findet Ableitung einer komplexen Funktion. Die Lektion ist eine logische Fortsetzung der Lektion Wie finde ich die Ableitung?, an dem wir die einfachsten Ableitungen analysiert haben, und uns auch mit den Ableitungsregeln und einigen technischen Methoden zum Auffinden von Ableitungen vertraut gemacht haben. Wenn Sie also nicht sehr gut mit Ableitungen von Funktionen umgehen können oder einige Punkte dieses Artikels nicht ganz klar sind, dann lesen Sie zuerst die obige Lektion. Bitte stellen Sie sich auf eine ernste Stimmung ein - der Stoff ist nicht einfach, aber ich werde trotzdem versuchen, ihn einfach und klar darzustellen.

In der Praxis hat man sehr oft, ich würde sagen fast immer, mit der Ableitung einer komplexen Funktion zu tun, wenn man Aufgaben bekommt, Ableitungen zu finden.

Wir betrachten in der Tabelle die Regel (Nr. 5) zum Ableiten einer komplexen Funktion:

Wir verstehen. Werfen wir zunächst einen Blick auf die Notation. Hier haben wir zwei Funktionen - und , und die Funktion ist bildlich gesprochen in der Funktion verschachtelt. Eine Funktion dieser Art (wenn eine Funktion in einer anderen verschachtelt ist) wird als komplexe Funktion bezeichnet.

Ich werde die Funktion aufrufen externe Funktion, und die Funktion – innere (oder verschachtelte) Funktion.

! Diese Definitionen sind nicht theoretisch und sollten nicht in der endgültigen Gestaltung der Aufgaben erscheinen. Ich verwende die umgangssprachlichen Ausdrücke „externe Funktion“, „interne“ Funktion nur, um Ihnen das Verständnis der Materie zu erleichtern.

Um die Situation zu klären, bedenken Sie:

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Unter dem Sinus haben wir nicht nur den Buchstaben „x“, sondern den ganzen Ausdruck, also wird es nicht funktionieren, die Ableitung sofort aus der Tabelle zu finden. Wir bemerken auch, dass es hier unmöglich ist, die ersten vier Regeln anzuwenden, es scheint einen Unterschied zu geben, aber Tatsache ist, dass es unmöglich ist, den Sinus „auszureißen“:

In diesem Beispiel ist bereits aus meinen Erläuterungen intuitiv klar, dass die Funktion eine komplexe Funktion ist und das Polynom eine interne Funktion (Einbettung) und eine externe Funktion ist.

Erster Schritt, die durchgeführt werden muss, wenn die Ableitung einer komplexen Funktion gefunden werden soll verstehen, welche Funktion intern und welche extern ist.

Bei einfachen Beispielen scheint es klar, dass ein Polynom unter den Sinus geschachtelt ist. Aber was ist, wenn es nicht offensichtlich ist? Wie kann man genau bestimmen, welche Funktion extern und welche intern ist? Dazu schlage ich vor, die folgende Technik zu verwenden, die im Kopf oder an einem Entwurf durchgeführt werden kann.

Stellen wir uns vor, dass wir den Wert des Ausdrucks mit einem Taschenrechner berechnen müssen (statt einer kann es eine beliebige Zahl geben).

Was berechnen wir zuerst? Zuerst Sie müssen die folgende Aktion ausführen: , sodass das Polynom eine interne Funktion ist:

Zweitens Sie müssen finden, also wird der Sinus - eine externe Funktion sein:

Nachdem wir VERSTEHE Bei inneren und äußeren Funktionen ist es an der Zeit, die Ableitungsregel für zusammengesetzte Funktionen anzuwenden.

Wir beginnen zu entscheiden. Aus dem Unterricht Wie finde ich die Ableitung? Wir erinnern uns, dass das Design der Lösung einer Ableitung immer so beginnt - wir schließen den Ausdruck in Klammern ein und setzen oben rechts einen Strich:

Zuerst Wir finden die Ableitung der externen Funktion (Sinus), sehen uns die Tabelle der Ableitungen der Elementarfunktionen an und stellen fest, dass . Alle Tabellenformeln gelten auch dann, wenn „x“ durch einen komplexen Ausdruck ersetzt wird, in diesem Fall:

Beachten Sie, dass die innere Funktion hat sich nicht geändert, wir berühren es nicht.

Nun, das ist ganz offensichtlich

Das Endergebnis der Anwendung der Formel sieht so aus:

Der konstante Faktor steht normalerweise am Anfang des Ausdrucks:

Halten Sie bei Missverständnissen die Entscheidung auf Papier fest und lesen Sie die Erläuterungen noch einmal.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir schreiben wie immer:

Wir finden heraus, wo wir eine externe Funktion haben und wo eine interne. Dazu versuchen wir (im Kopf oder auf einem Entwurf), den Wert des Ausdrucks für zu berechnen. Was muss zuerst getan werden? Zuerst müssen Sie berechnen, was die Basis gleich ist:, was bedeutet, dass das Polynom die interne Funktion ist:

Und nur dann wird potenziert, daher ist die Potenzfunktion eine externe Funktion:

Gemäß der Formel müssen Sie zuerst die Ableitung der externen Funktion finden, in diesem Fall den Grad. Wir suchen die gewünschte Formel in der Tabelle:. Wir wiederholen noch einmal: jede Tabellenformel gilt nicht nur für "x", sondern auch für einen komplexen Ausdruck. Somit ist das Ergebnis der Anwendung der Ableitungsregel einer komplexen Funktion das folgende:

Ich betone noch einmal, dass sich die innere Funktion nicht ändert, wenn wir die Ableitung der äußeren Funktion bilden:

Nun bleibt noch, eine ganz einfache Ableitung der inneren Funktion zu finden und das Ergebnis ein wenig zu „kämmen“:

Beispiel 4

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel zur Selbstlösung (Antwort am Ende der Lektion).

Um das Verständnis der Ableitung einer komplexen Funktion zu festigen, werde ich ein kommentarloses Beispiel geben, versuchen Sie es selbst herauszufinden, denken Sie, wo ist die externe und wo die interne Funktion, warum werden die Aufgaben so gelöst?

Beispiel 5

a) Finden Sie die Ableitung einer Funktion

b) Finden Sie die Ableitung der Funktion

Beispiel 6

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier haben wir eine Wurzel, und um die Wurzel zu unterscheiden, muss sie als Grad dargestellt werden. Wir bringen also zunächst die Funktion in die richtige Form zum Differenzieren:

Bei der Analyse der Funktion kommen wir zu dem Schluss, dass die Summe dreier Terme eine interne Funktion und die Potenzierung eine externe Funktion ist. Wir wenden die Ableitungsregel einer komplexen Funktion an:

Der Grad wird wieder als Wurzel (Wurzel) dargestellt, und für die Ableitung der inneren Funktion wenden wir eine einfache Regel zum Differenzieren der Summe an:

Bereit. Du kannst den Ausdruck auch in Klammern auf einen gemeinsamen Nenner bringen und alles als einen Bruch schreiben. Es ist natürlich schön, aber wenn umständliche lange Ableitungen erhalten werden, ist es besser, dies nicht zu tun (es ist leicht verwirrt, macht einen unnötigen Fehler und es ist für den Lehrer unpraktisch, dies zu überprüfen).

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel zur Selbstlösung (Antwort am Ende der Lektion).

Es ist interessant festzustellen, dass man manchmal anstelle der Regel zum Ableiten einer komplexen Funktion die Regel zum Ableiten eines Quotienten verwenden kann , aber eine solche Lösung würde wie eine Perversion lustig aussehen. Hier ist ein typisches Beispiel:

Beispiel 8

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier können Sie die Ableitungsregel des Quotienten anwenden , aber es ist viel profitabler, die Ableitung durch die Ableitungsregel einer komplexen Funktion zu finden:

Wir bereiten die Funktion für die Differenzierung vor - wir entfernen das Minuszeichen der Ableitung und erhöhen den Kosinus auf den Zähler:

Cosinus ist eine interne Funktion, Exponentiation ist eine externe Funktion.
Wenden wir unsere Regel an:

Wir finden die Ableitung der inneren Funktion, setzen den Kosinus wieder zurück:

Bereit. Bei dem betrachteten Beispiel ist es wichtig, sich bei den Zeichen nicht zu verwirren. Versuchen Sie übrigens, es mit der Regel zu lösen , die Antworten müssen übereinstimmen.

Beispiel 9

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel zur Selbstlösung (Antwort am Ende der Lektion).

Bisher haben wir Fälle betrachtet, in denen wir nur eine Verschachtelung in einer komplexen Funktion hatten. Bei praktischen Aufgaben findet man oft Ableitungen, bei denen, wie Puppen ineinander verschachtelt, 3 oder sogar 4-5 Funktionen auf einmal verschachtelt sind.

Beispiel 10

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir verstehen die Anhänge dieser Funktion. Wir versuchen, den Ausdruck mit dem experimentellen Wert auszuwerten. Wie würden wir auf einen Taschenrechner zählen?

Zuerst müssen Sie finden, was bedeutet, dass der Arkussinus die tiefste Verschachtelung ist:

Dieser Arkussinus der Einheit sollte dann quadriert werden:

Und schließlich erheben wir die Sieben zur Potenz:

Das heißt, in diesem Beispiel haben wir drei verschiedene Funktionen und zwei Verschachtelungen, während die innerste Funktion der Arkussinus und die äußerste Funktion die Exponentialfunktion ist.

Wir beginnen zu entscheiden

Gemäß der Regel müssen Sie zuerst die Ableitung der externen Funktion bilden. Wir sehen uns die Ableitungstabelle an und finden die Ableitung der Exponentialfunktion: Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir anstelle von "x" einen komplexen Ausdruck haben, der die Gültigkeit dieser Formel nicht negiert. Das Ergebnis der Anwendung der Ableitungsregel einer komplexen Funktion ist also das folgende:

Unter dem Bindestrich haben wir wieder eine knifflige Funktion! Aber es geht schon einfacher. Es ist leicht zu erkennen, dass die innere Funktion der Arkussinus und die äußere Funktion der Grad ist. Nach der Ableitungsregel einer komplexen Funktion müssen Sie zuerst die Ableitung des Grades bilden.