Im ersten Teil haben wir theoretisches Material, die Substitutionsmethode sowie die Methode der Term-für-Term-Addition von Systemgleichungen betrachtet. Allen, die über diese Seite auf die Website gekommen sind, empfehle ich, den ersten Teil zu lesen. Manchen Besuchern wird das Material vielleicht zu einfach erscheinen, aber im Zuge der Lösung linearer Gleichungssysteme habe ich einige sehr wichtige Bemerkungen und Schlussfolgerungen zur Lösung mathematischer Probleme im Allgemeinen gemacht.
Und jetzt analysieren wir die Cramersche Regel sowie die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit der inversen Matrix (Matrixmethode). Alle Materialien werden einfach, detailliert und klar präsentiert, fast alle Leser werden in der Lage sein, zu lernen, wie man Systeme mit den oben genannten Methoden löst.
Wir betrachten zunächst die Cramersche Regel im Detail für ein System aus zwei linearen Gleichungen in zwei Unbekannten. Wozu? „Schließlich ist das einfachste System nach der Schulmethode zu lösen, durch Term-für-Term-Addition!
Tatsache ist, dass es manchmal eine solche Aufgabe gibt, ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten mit Cramers Formeln zu lösen. Zweitens hilft Ihnen ein einfacheres Beispiel zu verstehen, wie Sie die Cramersche Regel für einen komplexeren Fall anwenden können – ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten.
Außerdem gibt es lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen, die man am besten exakt nach der Cramerschen Regel löst!
Betrachten Sie das Gleichungssystem
Im ersten Schritt berechnen wir die Determinante , heißt sie die Hauptdeterminante des Systems.
Gauss-Methode.
Wenn , dann hat das System eine eindeutige Lösung, und um die Wurzeln zu finden, müssen wir zwei weitere Determinanten berechnen:
und
In der Praxis können die obigen Qualifier auch mit dem lateinischen Buchstaben bezeichnet werden.
Die Wurzeln der Gleichung werden durch die Formeln gefunden:
,
Beispiel 7
Löse ein lineares Gleichungssystem 
Entscheidung: Wir sehen, dass die Koeffizienten der Gleichung ziemlich groß sind, auf der rechten Seite gibt es Dezimalbrüche mit einem Komma. Das Komma ist ein eher seltener Gast bei praktischen Aufgaben in der Mathematik, dieses System habe ich einem ökonometrischen Problem entnommen.
Wie löst man ein solches System? Sie können versuchen, eine Variable durch eine andere auszudrücken, aber in diesem Fall werden Sie sicherlich schreckliche, ausgefallene Brüche erhalten, mit denen Sie äußerst unbequem arbeiten können, und das Design der Lösung wird einfach schrecklich aussehen. Du kannst die zweite Gleichung mit 6 multiplizieren und Term für Term subtrahieren, aber hier erscheinen dieselben Brüche.
Was zu tun ist? In solchen Fällen helfen Cramers Formeln.
;
;
Antworten: ,
Beide Wurzeln haben unendliche Schwänze und werden ungefähr gefunden, was für ökonometrische Probleme durchaus akzeptabel (und sogar alltäglich) ist.
Kommentare sind hier nicht erforderlich, da die Aufgabe nach vorgefertigten Formeln gelöst wird, es gibt jedoch eine Einschränkung. Wenn Sie diese Methode verwenden, verpflichtend Das Fragment der Aufgabe ist das folgende Fragment: „Das System hat also eine einzigartige Lösung“. Andernfalls kann der Rezensent Sie dafür bestrafen, dass Sie Cramers Theorem nicht respektieren.
Es ist nicht überflüssig zu überprüfen, was auf einem Taschenrechner bequem durchzuführen ist: Wir ersetzen die ungefähren Werte auf der linken Seite jeder Gleichung des Systems. Als Ergebnis sollten mit einem kleinen Fehler Zahlen erhalten werden, die auf der rechten Seite stehen.
Beispiel 8
Drücken Sie Ihre Antwort in gewöhnlichen unechten Brüchen aus. Machen Sie einen Scheck.
Dies ist ein Beispiel für eine eigenständige Lösung (Beispiel für feines Design und Antwort am Ende der Lektion).
Wir wenden uns der Betrachtung der Cramerschen Regel für ein System von drei Gleichungen mit drei Unbekannten zu: 
Wir finden die Hauptdeterminante des Systems: 
Wenn , dann hat das System unendlich viele Lösungen oder ist inkonsistent (hat keine Lösungen). In diesem Fall hilft die Cramer-Regel nicht, Sie müssen die Gauß-Methode verwenden.
Wenn , dann hat das System eine eindeutige Lösung, und um die Wurzeln zu finden, müssen wir drei weitere Determinanten berechnen: 
, 
, 
Und schließlich wird die Antwort durch die Formeln berechnet: 
Wie Sie sehen, unterscheidet sich der Fall „drei mal drei“ grundsätzlich nicht vom Fall „zwei mal zwei“, die Spalte der freien Terme „wandert“ nacheinander von links nach rechts entlang der Spalten der Hauptdeterminante.
Beispiel 9
Lösen Sie das System mit Cramers Formeln. 
Entscheidung: Lösen wir das System mit Cramers Formeln. 
, also hat das System eine eindeutige Lösung.
Antworten: 
.
Eigentlich gibt es hier wieder nichts Besonderes zu kommentieren, in Anbetracht der Tatsache, dass die Entscheidung nach vorgefertigten Formeln getroffen wird. Aber es gibt ein paar Anmerkungen.
Es kommt vor, dass als Ergebnis von Berechnungen „schlechte“ irreduzible Brüche erhalten werden, zum Beispiel: .
Ich empfehle den folgenden „Behandlungs“-Algorithmus. Wenn kein Computer zur Hand ist, machen wir Folgendes:
1) Möglicherweise liegt ein Fehler in den Berechnungen vor. Sobald Sie auf einen „schlechten“ Schuss stoßen, müssen Sie sofort prüfen, ob ist die Bedingung richtig umgeschrieben. Wenn die Bedingung fehlerfrei umgeschrieben wird, müssen Sie die Determinanten mithilfe der Erweiterung in einer anderen Zeile (Spalte) neu berechnen.
2) Wenn bei der Überprüfung keine Fehler gefunden wurden, dann wurde höchstwahrscheinlich ein Tippfehler in der Bedingung der Aufgabe gemacht. Lösen Sie in diesem Fall die Aufgabe ruhig und SORGFÄLTIG bis zum Ende und dann unbedingt prüfen und nach der Entscheidung in Reinschrift zu erstellen. Natürlich ist es eine unangenehme Aufgabe, eine Teilantwort zu überprüfen, aber es wird ein entwaffnendes Argument für den Lehrer sein, der, nun ja, wirklich gerne ein Minus für so etwas wie Schlechtes setzt. Wie mit Brüchen umgegangen wird, ist in der Antwort zu Beispiel 8 beschrieben.
Wenn Sie einen Computer zur Hand haben, überprüfen Sie ihn mit einem automatisierten Programm, das Sie gleich zu Beginn des Unterrichts kostenlos herunterladen können. Übrigens ist es am vorteilhaftesten, das Programm gleich (noch bevor Sie mit der Lösung beginnen) zu verwenden, Sie sehen sofort den Zwischenschritt, bei dem Sie einen Fehler gemacht haben! Derselbe Rechner berechnet automatisch die Lösung des Systems unter Verwendung der Matrixmethode.
Zweite Bemerkung. Von Zeit zu Zeit gibt es Systeme, in deren Gleichungen einige Variablen fehlen, zum Beispiel: 
Hier gibt es in der ersten Gleichung keine Variable, in der zweiten keine Variable. In solchen Fällen ist es sehr wichtig, die Hauptdeterminante richtig und SORGFÄLTIG aufzuschreiben: 
– Fehlende Variablen werden durch Nullen ersetzt.
Übrigens ist es sinnvoll, Determinanten mit Nullen in der Zeile (Spalte) zu öffnen, in der die Null steht, da es merklich weniger Berechnungen gibt.
Beispiel 10
Lösen Sie das System mit Cramers Formeln. 
Dies ist ein Beispiel für die Selbstlösung (Abschlussprobe und Antwort am Ende der Lektion).
Für den Fall eines Systems aus 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten werden die Formeln von Cramer nach ähnlichen Prinzipien geschrieben. Sie können ein Live-Beispiel in der Lektion Determinanteneigenschaften sehen. Reduzieren der Ordnung der Determinante - fünf Determinanten 4. Ordnung sind gut lösbar. Wobei die Aufgabe schon sehr an den Schuh eines Professors auf der Brust eines glücklichen Studenten erinnert.
Lösung des Systems mit der inversen Matrix
Das Inverse-Matrix-Verfahren ist im Wesentlichen ein Sonderfall Matrixgleichung(Siehe Beispiel Nr. 3 der angegebenen Lektion).
Um diesen Abschnitt zu studieren, müssen Sie in der Lage sein, die Determinanten zu erweitern, die inverse Matrix zu finden und eine Matrixmultiplikation durchzuführen. Relevante Links werden im Verlauf der Erläuterung angegeben.
Beispiel 11
Lösen Sie das System mit der Matrixmethode 
Entscheidung: Wir schreiben das System in Matrixform:
, wo 
Bitte schauen Sie sich das Gleichungssystem und die Matrizen an. Nach welchem Prinzip schreiben wir Elemente in Matrizen, ich denke, jeder versteht es. Einziger Kommentar: Wenn in den Gleichungen einige Variablen fehlen würden, müssten an den entsprechenden Stellen in der Matrix Nullen gesetzt werden.
Wir finden die inverse Matrix durch die Formel:
, wo ist die transponierte Matrix der algebraischen Komplemente der entsprechenden Elemente der Matrix .
Befassen wir uns zunächst mit der Determinante:
Hier wird die Determinante um die erste Zeile erweitert.
Beachtung! Wenn , dann existiert die inverse Matrix nicht, und es ist unmöglich, das System mit der Matrixmethode zu lösen. In diesem Fall wird das System durch Elimination von Unbekannten (Gauß-Verfahren) gelöst.
Jetzt müssen Sie 9 Minoren berechnen und in die Minorenmatrix eintragen 
Referenz: Es ist nützlich, die Bedeutung doppelter Indizes in der linearen Algebra zu kennen. Die erste Ziffer ist die Zeilennummer, in der sich das Element befindet. Die zweite Ziffer ist die Nummer der Spalte, in der sich das Element befindet: 
Das heißt, ein doppelter Index gibt an, dass sich das Element in der ersten Zeile, dritten Spalte befindet, während sich das Element beispielsweise in der 3. Zeile, 2. Spalte befindet
Um diesen Absatz zu meistern, müssen Sie die Qualifier „Zwei mal Zwei“ und „Drei mal Drei“ öffnen können. Wenn Qualifikanten schlecht sind, lesen Sie bitte die Lektion Wie berechnet man die Determinante?
Wir betrachten zunächst die Cramersche Regel im Detail für ein System aus zwei linearen Gleichungen in zwei Unbekannten. Wozu? „Schließlich ist das einfachste System nach der Schulmethode zu lösen, durch Term-für-Term-Addition!
Tatsache ist, dass es manchmal eine solche Aufgabe gibt, ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten mit Cramers Formeln zu lösen. Zweitens hilft Ihnen ein einfacheres Beispiel zu verstehen, wie Sie die Cramersche Regel für einen komplexeren Fall anwenden können – ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten.
Außerdem gibt es lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen, die man am besten exakt nach der Cramerschen Regel löst!
Betrachten Sie das Gleichungssystem
Im ersten Schritt berechnen wir die Determinante , heißt sie die Hauptdeterminante des Systems.
Gauss-Methode.
Wenn , dann hat das System eine eindeutige Lösung, und um die Wurzeln zu finden, müssen wir zwei weitere Determinanten berechnen:
und
In der Praxis können die obigen Qualifier auch mit dem lateinischen Buchstaben bezeichnet werden.
Die Wurzeln der Gleichung werden durch die Formeln gefunden:
,
Beispiel 7
Löse ein lineares Gleichungssystem 
Entscheidung: Wir sehen, dass die Koeffizienten der Gleichung ziemlich groß sind, auf der rechten Seite gibt es Dezimalbrüche mit einem Komma. Das Komma ist ein eher seltener Gast bei praktischen Aufgaben in der Mathematik, dieses System habe ich einem ökonometrischen Problem entnommen.
Wie löst man ein solches System? Sie können versuchen, eine Variable durch eine andere auszudrücken, aber in diesem Fall werden Sie sicherlich schreckliche, ausgefallene Brüche erhalten, mit denen Sie äußerst unbequem arbeiten können, und das Design der Lösung wird einfach schrecklich aussehen. Du kannst die zweite Gleichung mit 6 multiplizieren und Term für Term subtrahieren, aber hier erscheinen dieselben Brüche.
Was zu tun ist? In solchen Fällen helfen Cramers Formeln.
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Antworten: ,
Beide Wurzeln haben unendliche Schwänze und werden ungefähr gefunden, was für ökonometrische Probleme durchaus akzeptabel (und sogar alltäglich) ist.
Kommentare sind hier nicht erforderlich, da die Aufgabe nach vorgefertigten Formeln gelöst wird, es gibt jedoch eine Einschränkung. Wenn Sie diese Methode verwenden, verpflichtend Das Fragment der Aufgabe ist das folgende Fragment: „Das System hat also eine einzigartige Lösung“. Andernfalls kann der Rezensent Sie dafür bestrafen, dass Sie Cramers Theorem nicht respektieren.
Es ist nicht überflüssig zu überprüfen, was auf einem Taschenrechner bequem durchzuführen ist: Wir ersetzen die ungefähren Werte auf der linken Seite jeder Gleichung des Systems. Als Ergebnis sollten mit einem kleinen Fehler Zahlen erhalten werden, die auf der rechten Seite stehen.
Beispiel 8
Drücken Sie Ihre Antwort in gewöhnlichen unechten Brüchen aus. Machen Sie einen Scheck.
Dies ist ein Beispiel für eine eigenständige Lösung (Beispiel für feines Design und Antwort am Ende der Lektion).
Wir wenden uns der Betrachtung der Cramerschen Regel für ein System von drei Gleichungen mit drei Unbekannten zu: 
Wir finden die Hauptdeterminante des Systems: 
Wenn , dann hat das System unendlich viele Lösungen oder ist inkonsistent (hat keine Lösungen). In diesem Fall hilft die Cramer-Regel nicht, Sie müssen die Gauß-Methode verwenden.
Wenn , dann hat das System eine eindeutige Lösung, und um die Wurzeln zu finden, müssen wir drei weitere Determinanten berechnen: 
, 
,
Und schließlich wird die Antwort durch die Formeln berechnet: 
Wie Sie sehen, unterscheidet sich der Fall „drei mal drei“ grundsätzlich nicht vom Fall „zwei mal zwei“, die Spalte der freien Terme „wandert“ nacheinander von links nach rechts entlang der Spalten der Hauptdeterminante.
Beispiel 9
Lösen Sie das System mit Cramers Formeln. 
Entscheidung: Lösen wir das System mit Cramers Formeln. 
, also hat das System eine eindeutige Lösung.
Antworten: 
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Eigentlich gibt es hier wieder nichts Besonderes zu kommentieren, in Anbetracht der Tatsache, dass die Entscheidung nach vorgefertigten Formeln getroffen wird. Aber es gibt ein paar Anmerkungen.
Es kommt vor, dass als Ergebnis von Berechnungen „schlechte“ irreduzible Brüche erhalten werden, zum Beispiel: .
Ich empfehle den folgenden „Behandlungs“-Algorithmus. Wenn kein Computer zur Hand ist, machen wir Folgendes:
1) Möglicherweise liegt ein Fehler in den Berechnungen vor. Sobald Sie auf einen „schlechten“ Schuss stoßen, müssen Sie sofort prüfen, ob ist die Bedingung richtig umgeschrieben. Wenn die Bedingung fehlerfrei umgeschrieben wird, müssen Sie die Determinanten mithilfe der Erweiterung in einer anderen Zeile (Spalte) neu berechnen.
2) Wenn bei der Überprüfung keine Fehler gefunden wurden, dann wurde höchstwahrscheinlich ein Tippfehler in der Bedingung der Aufgabe gemacht. Lösen Sie in diesem Fall die Aufgabe ruhig und SORGFÄLTIG bis zum Ende und dann unbedingt prüfen und nach der Entscheidung in Reinschrift zu erstellen. Natürlich ist es eine unangenehme Aufgabe, eine Teilantwort zu überprüfen, aber es wird ein entwaffnendes Argument für den Lehrer sein, der, nun ja, wirklich gerne ein Minus für so etwas wie Schlechtes setzt. Wie mit Brüchen umgegangen wird, ist in der Antwort zu Beispiel 8 beschrieben.
Wenn Sie einen Computer zur Hand haben, überprüfen Sie ihn mit einem automatisierten Programm, das Sie gleich zu Beginn des Unterrichts kostenlos herunterladen können. Übrigens ist es am vorteilhaftesten, das Programm gleich (noch bevor Sie mit der Lösung beginnen) zu verwenden, Sie sehen sofort den Zwischenschritt, bei dem Sie einen Fehler gemacht haben! Derselbe Rechner berechnet automatisch die Lösung des Systems unter Verwendung der Matrixmethode.
Zweite Bemerkung. Von Zeit zu Zeit gibt es Systeme, in deren Gleichungen einige Variablen fehlen, zum Beispiel: 
Hier gibt es in der ersten Gleichung keine Variable, in der zweiten keine Variable. In solchen Fällen ist es sehr wichtig, die Hauptdeterminante richtig und SORGFÄLTIG aufzuschreiben: 
– Fehlende Variablen werden durch Nullen ersetzt.
Übrigens ist es sinnvoll, Determinanten mit Nullen in der Zeile (Spalte) zu öffnen, in der die Null steht, da es merklich weniger Berechnungen gibt.
Beispiel 10
Lösen Sie das System mit Cramers Formeln.
Dies ist ein Beispiel für die Selbstlösung (Abschlussprobe und Antwort am Ende der Lektion).
Für den Fall eines Systems aus 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten werden die Formeln von Cramer nach ähnlichen Prinzipien geschrieben. Sie können ein Live-Beispiel in der Lektion Determinanteneigenschaften sehen. Reduzieren der Ordnung der Determinante - fünf Determinanten 4. Ordnung sind gut lösbar. Wobei die Aufgabe schon sehr an den Schuh eines Professors auf der Brust eines glücklichen Studenten erinnert.
Lösung des Systems mit der inversen Matrix
Das Inverse-Matrix-Verfahren ist im Wesentlichen ein Sonderfall Matrixgleichung(Siehe Beispiel Nr. 3 der angegebenen Lektion).
Um diesen Abschnitt zu studieren, müssen Sie in der Lage sein, die Determinanten zu erweitern, die inverse Matrix zu finden und eine Matrixmultiplikation durchzuführen. Relevante Links werden im Verlauf der Erläuterung angegeben.
Beispiel 11
Lösen Sie das System mit der Matrixmethode
Entscheidung: Wir schreiben das System in Matrixform:
, wo 
Bitte schauen Sie sich das Gleichungssystem und die Matrizen an. Nach welchem Prinzip schreiben wir Elemente in Matrizen, ich denke, jeder versteht es. Einziger Kommentar: Wenn in den Gleichungen einige Variablen fehlen würden, müssten an den entsprechenden Stellen in der Matrix Nullen gesetzt werden.
Wir finden die inverse Matrix durch die Formel:
, wo ist die transponierte Matrix der algebraischen Komplemente der entsprechenden Elemente der Matrix .
Befassen wir uns zunächst mit der Determinante:
Hier wird die Determinante um die erste Zeile erweitert.
Beachtung! Wenn , dann existiert die inverse Matrix nicht, und es ist unmöglich, das System mit der Matrixmethode zu lösen. In diesem Fall wird das System durch Elimination von Unbekannten (Gauß-Verfahren) gelöst.
Jetzt müssen Sie 9 Minoren berechnen und in die Minorenmatrix eintragen 
Referenz: Es ist nützlich, die Bedeutung doppelter Indizes in der linearen Algebra zu kennen. Die erste Ziffer ist die Zeilennummer, in der sich das Element befindet. Die zweite Ziffer ist die Nummer der Spalte, in der sich das Element befindet: 
Das heißt, ein doppelter Index gibt an, dass sich das Element in der ersten Zeile, dritten Spalte befindet, während sich das Element beispielsweise in der 3. Zeile, 2. Spalte befindet
Im Laufe des Lösens ist es besser, die Berechnung von Minderjährigen ausführlich zu beschreiben, obwohl sie mit einer gewissen Erfahrung angepasst werden können, um mündlich mit Fehlern zu zählen.
Cramers Methode basiert auf der Verwendung von Determinanten beim Lösen von linearen Gleichungssystemen. Dies beschleunigt den Lösungsprozess erheblich.
Das Cramer-Verfahren kann verwendet werden, um ein System aus so vielen linearen Gleichungen zu lösen, wie es in jeder Gleichung Unbekannte gibt. Wenn die Determinante des Systems ungleich Null ist, kann das Cramer-Verfahren zur Lösung verwendet werden, ist sie gleich Null, dann nicht. Darüber hinaus kann das Cramer-Verfahren verwendet werden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen, die eine eindeutige Lösung haben.
Definition. Die aus den Koeffizienten der Unbekannten zusammengesetzte Determinante wird Determinante des Systems genannt und mit (delta) bezeichnet.
Determinanten
erhält man, indem man die Koeffizienten an den entsprechenden Unbekannten durch freie Terme ersetzt:
;
.
Satz von Cramer. Wenn die Determinante des Systems ungleich Null ist, hat das lineare Gleichungssystem eine einzige Lösung, und die Unbekannte ist gleich dem Verhältnis der Determinanten. Der Nenner enthält die Determinante des Systems, und der Zähler enthält die Determinante, die man aus der Determinante des Systems erhält, indem man die Koeffizienten durch die Unbekannten durch freie Terme ersetzt. Dieser Satz gilt für ein System linearer Gleichungen beliebiger Ordnung.
Beispiel 1 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem:
Entsprechend Satz von Cramer wir haben:
Also, die Lösung von System (2):
Online-Rechner, Lösungsverfahren nach Cramer.
Drei Fälle beim Lösen von linearen Gleichungssystemen
Wie aus hervorgeht Cramers Theoreme, beim Lösen eines linearen Gleichungssystems können drei Fälle auftreten:
Erster Fall: Das lineare Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung
(das System ist konsistent und eindeutig)
Zweiter Fall: Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen
(das System ist konsistent und unbestimmt)
** 
,
jene. die Koeffizienten der Unbekannten und der freien Terme sind proportional.
Dritter Fall: Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösungen
(systeminkonsistent)
Also das System m lineare Gleichungen mit n Variablen aufgerufen wird unvereinbar wenn es keine Lösungen hat, und gemeinsam wenn es mindestens eine Lösung gibt. Ein gemeinsames Gleichungssystem, das nur eine Lösung hat, wird aufgerufen sicher, und mehr als eine unsicher.
Beispiele für das Lösen linearer Gleichungssysteme nach der Cramer-Methode
Lassen Sie das System
.
Basierend auf dem Satz von Cramer
………….
,
wo 
-
Systemkennung. Die restlichen Determinanten erhält man, indem man die Spalte mit den Koeffizienten der entsprechenden Variablen (unbekannt) durch freie Mitglieder ersetzt:
Beispiel 2
.
Daher ist das System definitiv. Um seine Lösung zu finden, berechnen wir die Determinanten
Nach Cramers Formeln finden wir:
Also ist (1; 0; -1) die einzige Lösung des Systems.
Um die Lösungen der Gleichungssysteme 3 x 3 und 4 x 4 zu überprüfen, können Sie den Online-Rechner, die Cramer-Lösungsmethode, verwenden.
Wenn es in einer oder mehreren Gleichungen keine Variablen im linearen Gleichungssystem gibt, dann sind in der Determinante die ihnen entsprechenden Elemente gleich Null! Dies ist das nächste Beispiel.
Beispiel 3 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem nach Cramers Methode:
.
Entscheidung. Wir finden die Determinante des Systems:
Schauen Sie sich das Gleichungssystem und die Determinante des Systems genau an und wiederholen Sie die Antwort auf die Frage, in welchen Fällen ein oder mehrere Elemente der Determinante gleich Null sind. Die Determinante ist also nicht gleich Null, also ist das System definitiv. Um seine Lösung zu finden, berechnen wir die Determinanten für die Unbekannten
Nach Cramers Formeln finden wir:
Die Lösung des Systems ist also (2; -1; 1).
Um die Lösungen der Gleichungssysteme 3 x 3 und 4 x 4 zu überprüfen, können Sie den Online-Rechner, die Cramer-Lösungsmethode, verwenden.
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Wir lösen weiterhin gemeinsam Systeme nach der Cramer-Methode
Wenn, wie bereits erwähnt, die Determinante des Systems gleich Null ist und die Determinanten für die Unbekannten ungleich Null sind, ist das System inkonsistent, d. h. es hat keine Lösungen. Lassen Sie uns dies anhand des folgenden Beispiels veranschaulichen.
Beispiel 6 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem nach Cramers Methode:
Entscheidung. Wir finden die Determinante des Systems:
Die Determinante des Systems ist gleich Null, daher ist das lineare Gleichungssystem entweder inkonsistent und eindeutig oder inkonsistent, dh es hat keine Lösungen. Zur Verdeutlichung berechnen wir die Determinanten für die Unbekannten
Die Determinanten für die Unbekannten sind ungleich Null, daher ist das System inkonsistent, dh es hat keine Lösungen.
Um die Lösungen der Gleichungssysteme 3 x 3 und 4 x 4 zu überprüfen, können Sie den Online-Rechner, die Cramer-Lösungsmethode, verwenden.
Bei Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen gibt es auch solche, bei denen neben den Buchstaben für Variablen auch andere Buchstaben vorkommen. Diese Buchstaben stehen für eine Zahl, meistens eine reelle Zahl. In der Praxis führen solche Gleichungen und Gleichungssysteme zu Problemen, die allgemeinen Eigenschaften beliebiger Phänomene und Objekte zu finden. Das heißt, Sie haben ein neues Material oder Gerät erfunden, und um seine Eigenschaften zu beschreiben, die unabhängig von der Größe oder Anzahl der Kopien üblich sind, müssen Sie ein System linearer Gleichungen lösen, in dem anstelle einiger Koeffizienten für Variablen Buchstaben stehen. Sie müssen nicht lange nach Beispielen suchen.
Das nächste Beispiel bezieht sich auf ein ähnliches Problem, nur dass die Anzahl der Gleichungen, Variablen und Buchstaben, die eine reelle Zahl bezeichnen, zunimmt.
Beispiel 8 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem nach Cramers Methode:
Entscheidung. Wir finden die Determinante des Systems:
Determinanten für Unbekannte finden
