Modellierung ist eines der wichtigsten Werkzeuge im modernen Leben, wenn man die Zukunft vorhersehen will. Und das ist nicht verwunderlich, denn die Genauigkeit dieser Methode ist sehr hoch. Sehen wir uns in diesem Artikel an, was ein deterministisches Modell ist.

allgemeine Informationen

Deterministische Systemmodelle haben die Eigenschaft, dass sie analytisch analysiert werden können, wenn sie einfach genug sind. Andernfalls können bei Verwendung einer beträchtlichen Anzahl von Gleichungen und Variablen für diesen Zweck elektronische Computer verwendet werden. Darüber hinaus beschränkt sich die Computerunterstützung in der Regel nur darauf, sie zu lösen und Antworten zu finden. Aus diesem Grund ist es notwendig, die Gleichungssysteme zu ändern und eine andere Diskretisierung zu verwenden. Und dies birgt ein erhöhtes Fehlerrisiko bei den Berechnungen. Alle Arten von deterministischen Modellen zeichnen sich dadurch aus, dass die Kenntnis der Parameter in einem bestimmten Untersuchungsintervall es uns ermöglicht, die Dynamik der Entwicklung über die bekannten Indikatoren hinaus vollständig zu bestimmen.

Besonderheiten

Faktormodellierung

Hinweise darauf sind im gesamten Artikel zu sehen, aber wir haben noch nicht besprochen, was es ist. Die Faktormodellierung impliziert, dass die wichtigsten Bestimmungen hervorgehoben werden, für die ein quantitativer Vergleich erforderlich ist. Um die gesetzten Ziele zu erreichen, produziert die Studie eine Transformation der Form.

Besitzt ein streng deterministisches Modell mehr als zwei Faktoren, so spricht man von multifaktoriell. Seine Analyse kann durch verschiedene Methoden durchgeführt werden. Als Beispiel geben wir an. In diesem Fall betrachtet es die gestellten Aufgaben aus der Sicht von vorab festgelegten und entwickelten a priori-Modellen. Die Auswahl unter ihnen erfolgt entsprechend der inhaltlichen Darstellung.

Für die qualitative Konstruktion des Modells ist es notwendig, theoretische und experimentelle Studien zum Wesen des technologischen Prozesses und seiner Ursache-Wirkungs-Beziehungen zu verwenden. Genau das ist der Hauptvorteil der von uns betrachteten Themen. Deterministische Modelle ermöglichen genaue Vorhersagen in vielen Bereichen unseres Lebens. Aufgrund ihrer Qualitätsparameter und Vielseitigkeit sind sie so weit verbreitet.

Kybernetische deterministische Modelle

Sie sind für uns aufgrund der analysebasierten transienten Prozesse interessant, die bei jeder noch so geringfügigen Änderung der aggressiven Eigenschaften der äußeren Umgebung auftreten. Zur Vereinfachung und Geschwindigkeit der Berechnungen wird der aktuelle Stand der Dinge durch ein vereinfachtes Modell ersetzt. Wichtig ist, dass es alle Grundvoraussetzungen erfüllt.

Die Effizienz des automatischen Steuersystems und die Effektivität seiner Entscheidungen hängen von der Einheit aller erforderlichen Parameter ab. Gleichzeitig gilt es folgendes Problem zu lösen: Je mehr Informationen gesammelt werden, desto höher die Fehlerwahrscheinlichkeit und desto länger die Bearbeitungszeit. Wenn Sie jedoch die Erhebung Ihrer Daten einschränken, können Sie mit einem weniger zuverlässigen Ergebnis rechnen. Daher ist es notwendig, einen Mittelweg zu finden, der es ermöglicht, Informationen mit ausreichender Genauigkeit zu erhalten, und gleichzeitig nicht unnötig durch unnötige Elemente kompliziert wird.

Multiplikatives deterministisches Modell

Es wird gebildet, indem die Faktoren in ihre Menge geteilt werden. Als Beispiel können wir den Prozess der Bildung des Volumens der hergestellten Produkte (PP) betrachten. Dazu sind also Arbeit (PC), Materialien (M) und Energie (E) erforderlich. In diesem Fall kann der PP-Faktor in einen Satz (RS; M; E) unterteilt werden. Diese Option spiegelt die multiplikative Form des Faktorensystems und die Möglichkeit seiner Trennung wider. In diesem Fall können Sie die folgenden Transformationsmethoden verwenden: Erweiterung, formale Zerlegung und Verlängerung. Die erste Option hat in der Analyse breite Anwendung gefunden. Es kann verwendet werden, um die Leistung eines Mitarbeiters zu berechnen und so weiter.

Bei der Verlängerung wird ein Wert durch andere Faktoren ersetzt. Aber das Endergebnis sollte die gleiche Zahl sein. Ein Beispiel für eine Erweiterung wurde von uns oben betrachtet. Es bleibt nur die formale Erweiterung. Es beinhaltet die Verwendung der Verlängerung des Nenners des ursprünglichen faktoriellen Modells aufgrund der Ersetzung eines oder mehrerer Parameter. Betrachten Sie dieses Beispiel: Wir berechnen die Rentabilität der Produktion. Dazu wird die Höhe des Gewinns durch die Höhe der Kosten geteilt. Beim Multiplizieren dividieren wir statt durch einen einzelnen Wert durch die aufsummierten Ausgaben für Material, Personal, Steuern etc.

Wahrscheinlichkeiten

Ach, wenn alles so liefe wie geplant! Aber das passiert selten. Daher werden in der Praxis oft deterministisch und zusammen verwendet, was kann man zu letzterem sagen? Ihre Besonderheit ist, dass sie auch verschiedene Wahrscheinlichkeiten berücksichtigen. Nehmen Sie zum Beispiel Folgendes. Es gibt zwei Zustände. Die Beziehungen zwischen ihnen sind sehr schlecht. Der Dritte entscheidet, ob er in die Unternehmen eines der Länder investiert. Wenn schließlich ein Krieg ausbricht, werden die Gewinne stark leiden. Oder Sie können das Beispiel des Baus einer Anlage in einem Gebiet mit hoher seismischer Aktivität anführen. Hier gibt es schließlich natürliche Faktoren, die nicht exakt, sondern nur annähernd berücksichtigt werden können.

Fazit

Wir haben betrachtet, was Modelle der deterministischen Analyse sind. Um sie vollständig zu verstehen und in die Praxis umsetzen zu können, sollten Sie leider sehr gut lernen. Die theoretischen Grundlagen sind bereits vorhanden. Außerdem wurden im Rahmen des Artikels einzelne einfache Beispiele vorgestellt. Außerdem ist es besser, den Weg der allmählichen Komplikation des Arbeitsmaterials zu gehen. Sie können Ihre Aufgabe ein wenig vereinfachen und mit dem Erlernen einer Software beginnen, die die entsprechende Simulation durchführen kann. Aber was auch immer die Wahl sein mag, verstehen Sie die Grundlagen und können Sie Fragen dazu beantworten, was, wie und warum immer noch notwendig ist. Sie sollten lernen, mit der Auswahl der richtigen Eingabedaten und der Auswahl der richtigen Aktionen zu beginnen. Dann werden die Programme ihre Aufgaben erfolgreich erfüllen können.

Die bisher besprochenen Systemmodelle waren deterministisch (definiert), d.h. die Aufgabe der Eingabeaktion bestimmte eindeutig die Ausgabe des Systems. In der Praxis kommt dies jedoch selten vor: Die Beschreibung realer Systeme ist meist von Unsicherheit geprägt. Beispielsweise kann für ein statisches Modell die Unsicherheit berücksichtigt werden, indem die Ortsbeziehung (2.1) geschrieben wird

wobei der Fehler auf die Systemausgabe reduziert wird.

Die Gründe für die Unsicherheit sind vielfältig:

– Fehler und Interferenzen bei Messungen von Systemeingängen und -ausgängen (natürliche Fehler);

– die Ungenauigkeit des Systemmodells selbst, die es notwendig macht, einen Fehler künstlich in das Modell einzuführen;

– unvollständige Angaben zu Systemparametern etc.

Unter den verschiedenen Arten der Klärung und Formalisierung von Unsicherheit ist der chaotische (probabilistische) Ansatz am weitesten verbreitet, bei dem unsichere Größen als zufällig betrachtet werden. Der entwickelte konzeptionelle und rechnerische Apparat der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik ermöglicht es, konkrete Empfehlungen für die Wahl der Struktur eines Systems und die Abschätzung seiner Parameter zu geben. Die Klassifizierung stochastischer Modelle von Systemen und Methoden für ihre Untersuchung ist in der Tabelle dargestellt. 1.4. Schlussfolgerungen und Empfehlungen basieren auf dem Mittelungseffekt: Zufällige Abweichungen der Messergebnisse einer bestimmten Größe von ihrem Erwartungswert heben sich in der Summe auf, und das arithmetische Mittel einer großen Anzahl von Messungen fällt nahe am Erwartungswert aus . Mathematische Formulierungen dieses Effekts sind das Gesetz der großen Zahlen und der zentrale Grenzwertsatz. Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass wenn Zufallsvariablen mit mathematischem Erwartungswert (Mittelwert) und Varianz sind, dann

für groß genug N. Dies weist auf die grundsätzliche Möglichkeit einer beliebig genauen Schätzung aus Messungen hin. Das sagt der zentrale Grenzwertsatz, der (2.32) verfeinert

wobei eine normalverteilte Standard-Zufallsvariable ist

Da die Verteilung der Größe gut bekannt und tabelliert ist (z. B. ist bekannt, dass die Beziehung (2.33) es uns ermöglicht, den Schätzfehler zu berechnen. Nehmen wir zum Beispiel an, bei wie vielen Messungen der Schätzfehler auftritt ihre mathematische Erwartung mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95 wird kleiner als 0,01 sein, wenn die Varianz jeder Messung gleich 0,25 ist. Aus (2.33) finden wir, dass die Ungleichung gelten muss, woher N> 10000.

Natürlich können die Formulierungen (2.32), (2.33) strenger formuliert werden, und dies lässt sich leicht mit den Konzepten der probabilistischen Konvergenz bewerkstelligen. Schwierigkeiten treten auf, wenn man versucht, die Bedingungen dieser strengen Behauptungen zu überprüfen. Beispielsweise werden im Gesetz der großen Zahlen und im zentralen Grenzwertsatz die Unabhängigkeit einzelner Messungen (Realisierungen) einer Zufallsvariablen und die Endlichkeit ihrer Varianz gefordert. Wenn diese Bedingungen verletzt werden, können auch die Schlussfolgerungen verletzt werden. Sind beispielsweise alle Messwerte gleich: dann kommt, obwohl alle anderen Bedingungen erfüllt sind, keine Mittelung in Frage. Ein weiteres Beispiel: Das Gesetz der großen Zahlen ist unfair, wenn Zufallsvariablen nach dem Cauchy-Gesetz verteilt werden (mit einer Verteilungsdichte, die keine endliche mathematische Erwartung und Varianz hat. Aber ein solches Gesetz kommt im Leben vor! auf See (auf einem Schiff) und zu zufälligen Zeiten eingeschaltet.

Aber noch schwieriger ist die Überprüfung der Gültigkeit der Verwendung des Begriffs "zufällig". Was ist eine Zufallsvariable, ein zufälliges Ereignis usw. Es wird oft gesagt, dass die Veranstaltung SONDERN zufällig, wenn es durch das Experiment eintreten kann (mit einer Wahrscheinlichkeit R) oder nicht eintreten (mit einer Wahrscheinlichkeit von 1- R). Alles ist jedoch nicht so einfach. Der eigentliche Begriff der Wahrscheinlichkeit kann nur durch die Häufigkeit seines Auftretens in einer bestimmten Reihe (Serie) von Experimenten mit den Ergebnissen von Experimenten in Verbindung gebracht werden: , wo N / A ist die Anzahl der Experimente, in denen das Ereignis aufgetreten ist, N- Gesamtzahl; Experimente. Wenn Zahlen dafür ausreichend groß sind N Annäherung an eine konstante Zahl r A:

dieses Ereignis SONDERN kann zufällig aufgerufen werden, und die Nummer R- seine Wahrscheinlichkeit. In diesem Fall sollten die in verschiedenen Versuchsreihen beobachteten Frequenzen nahe beieinander liegen (diese Eigenschaft heißt statistische Stabilität oder Homogenität). Dies gilt auch für das Konzept einer Zufallsvariablen, da der Wert zufällig ist, wenn die Ereignisse zufällig sind (und<£<Ь} для любых чисел a,b. Die Häufigkeit des Auftretens solcher Ereignisse in langen Versuchsreihen sollte sich um einige konstante Werte gruppieren.

Für die Anwendbarkeit des stochastischen Ansatzes müssen also folgende Voraussetzungen erfüllt sein:

1) die Massennatur der Experimente, d.h. eine ausreichend große Anzahl;

2) die Wiederholbarkeit der Versuchsbedingungen, die den Vergleich der Ergebnisse verschiedener Versuche rechtfertigt;

3) statistische Stabilität.

Der stochastische Ansatz lässt sich offensichtlich nicht auf einzelne Experimente anwenden: Ausdrücke wie „die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnen wird“, „Zenith gewinnt den Pokal mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8“ usw. sind sinnlos. Aber selbst wenn es Massencharakter und Wiederholbarkeit von Experimenten gibt, gibt es möglicherweise keine statistische Stabilität, und es ist keine leichte Aufgabe, dies zu überprüfen. Bekannte Schätzungen der Häufigkeitsabweichung von der Wahrscheinlichkeit basieren auf dem zentralen Grenzwertsatz oder der Chebyshev-Ungleichung und erfordern zusätzliche Hypothesen über die Unabhängigkeit oder schwache Abhängigkeit der Messungen. Die experimentelle Überprüfung der Unabhängigkeitsbedingung ist noch schwieriger, da sie zusätzliche Experimente erfordert.

Die Methodik und praktische Rezepte zur Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie werden ausführlicher im Lehrbuch von V.N. Tutubalina, eine Vorstellung davon geben die folgenden Zitate:

„Es ist äußerst wichtig, den manchmal bei Ingenieuren und Naturwissenschaftlern, die mit der Wahrscheinlichkeitstheorie nicht ausreichend vertraut sind, anzutreffenden Wahn auszurotten, dass das Ergebnis eines Experiments als Zufallsvariable betrachtet werden kann. In besonders schweren Fällen geht dies mit dem Glauben an ein Normalverteilungsgesetz einher, und wenn die Zufallsvariablen selbst nicht normal sind, dann glauben sie, dass ihre Logarithmen normal sind.

„Nach modernen Vorstellungen ist der Anwendungsbereich probabilistischer Methoden auf Phänomene beschränkt, die sich durch statistische Stabilität auszeichnen. Der Test der statistischen Stabilität ist jedoch schwierig und immer unvollständig, außerdem führt er oft zu einem negativen Ergebnis. Dadurch ist in ganzen Wissensgebieten, beispielsweise in der Geologie, ein solches Vorgehen zur Norm geworden, bei dem die statistische Stabilität überhaupt nicht überprüft wird, was zwangsläufig zu schwerwiegenden Fehlern führt. Darüber hinaus hat die von unseren führenden Wissenschaftlern betriebene Propaganda der Kybernetik (in einigen Fällen!) ein etwas unerwartetes Ergebnis erbracht: Jetzt wird angenommen, dass nur eine Maschine (und kein Mensch) in der Lage ist, objektive wissenschaftliche Ergebnisse zu erzielen.

Unter solchen Umständen ist es die Pflicht eines jeden Lehrers, immer wieder die alte Wahrheit zu verbreiten, die Peter I. (erfolglos) versucht hat, russische Kaufleute zu inspirieren: dass man ehrlich und ohne Betrug handeln muss, da es am Ende für sie selbst profitabler ist.

Wie erstellt man ein Systemmodell, wenn das Problem Unsicherheit enthält, der stochastische Ansatz jedoch nicht anwendbar ist? Einer der alternativen Ansätze, die auf der Fuzzy-Set-Theorie basieren, wird unten kurz umrissen.

Wir erinnern Sie daran, dass eine Beziehung (Beziehung zwischen und) eine Teilmenge einer Menge ist. jene. einige Paare R=(( x, beim)), wo,. Beispielsweise kann eine funktionale Beziehung (Abhängigkeit) als Beziehung zwischen Mengen dargestellt werden, einschließlich Paaren ( X, beim) wofür.

Im einfachsten Fall ist ein R vielleicht eine Identitätsrelation wenn.

Beispiele 12–15 in der Tabelle. 1. 1 erfunden im Jahr 1988 von einem Schüler der Klasse 86 der Schule 292 M. Koroteev.

Der Mathematiker hier wird natürlich feststellen, dass das Minimum in (1.4) streng genommen möglicherweise nicht erreicht wird, und in der Formulierung von (1.4) muss rnin durch inf ersetzt werden („infimum“ ist das Infimum von ). einstellen). Die Situation wird sich dadurch jedoch nicht ändern: Die Formalisierung spiegelt in diesem Fall nicht den Kern des Problems wider; falsch durchgeführt. Um den Ingenieur nicht zu „erschrecken“, verwenden wir in Zukunft die Schreibweise min, max; wobei zu beachten ist, dass sie gegebenenfalls durch allgemeinere inf, sup. ersetzt werden sollten.

Der Begriff "Struktur" wird hier in einem etwas engeren Sinne verwendet; 1.1 und bezeichnet die Zusammensetzung der Subsysteme im System und die Arten der Verbindungen zwischen ihnen.

Ein Graph ist ein Paar ( G, R), wobei G=(g 1 ... gn) ist eine endliche Menge von Ecken, a - binäre Beziehung auf G. Wenn, dann, und nur dann, dann heißt der Graph ungerichtet, andernfalls gerichtet. Die Paare heißen Bögen (Kanten) und die Elemente der Menge G- Scheitelpunkte des Diagramms.

Das heißt, algebraisch oder transzendental.

Eine abzählbare Menge ist streng genommen eine Art Idealisierung, die aufgrund der endlichen Größe technischer Systeme und der Grenzen der menschlichen Wahrnehmung in der Praxis nicht umsetzbar ist. Solche idealisierten Modelle (zum Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen N=(1, 2,...)) sinnvoll für Mengen endlicher, aber bisher unbegrenzter (oder unbekannter) Anzahl von Elementen einzuführen.

Formal ist der Begriff einer Operation ein Spezialfall des Begriffs einer Beziehung zwischen Elementen von Mengen. Beispielsweise definiert die Operation des Addierens von zwei Zahlen eine dreistellige (ternäre) Beziehung R: Zahlentripel (x, y, z) z) gehört zur Relation R(wir schreiben (x, y, z)) wenn z = x+y.

Komplexe Zahl, Argument von Polynomen SONDERN(), BEIM().

Diese Annahme ist in der Praxis oft erfüllt.

Ist der Wert unbekannt, so ist er in (2.33) durch den Schätzwert zu ersetzen wobei In diesem Fall wird der Wert nicht normal, sondern nach dem Studentschen Gesetz verteilt, was praktisch nicht von dem normalen at zu unterscheiden ist.

Es ist leicht zu sehen, dass (2.34) ein Spezialfall von (2.32) ist, wenn man das Ereignis nimmt SONDERN kam herein j- m Experiment, sonst. Dabei

Und heute können Sie "... und Informatik" hinzufügen (Anmerkung des Autors).

1. Deterministische und probabilistische mathematische Modelle in den Wirtschaftswissenschaften. Vorteile und Nachteile

Methoden zur Untersuchung wirtschaftlicher Prozesse basieren auf der Verwendung mathematischer – deterministischer und probabilistischer – Modelle, die den untersuchten Prozess, das System oder die Art der untersuchten Aktivität darstellen. Solche Modelle liefern eine quantitative Beschreibung des Problems und dienen als Grundlage für Managemententscheidungen bei der Suche nach der besten Option. Wie begründet sind diese Entscheidungen, sind sie die bestmöglichen, wurden alle Faktoren, die die optimale Lösung bestimmen, berücksichtigt und abgewogen, nach welchem ​​Kriterium lässt sich feststellen, dass diese Lösung wirklich die beste ist – das sind die Spannweiten Fragen, die für Produktionsleiter von großer Bedeutung sind und deren Beantwortung mit Methoden des Operations Research gefunden werden kann [Chesnokov S. V. Deterministische Analyse sozioökonomischer Daten. - M.: Nauka, 1982, S. 45].

Eines der Prinzipien der Bildung des Steuersystems ist die Methode der kybernetischen (mathematischen) Modelle. Die mathematische Modellierung nimmt eine Zwischenstellung zwischen Experiment und Theorie ein: Es muss kein reales physikalisches Modell des Systems aufgebaut werden, es wird durch ein mathematisches Modell ersetzt. Die Besonderheit der Gestaltung des Regelsystems liegt in der probabilistischen, statistischen Herangehensweise an Regelvorgänge. In der Kybernetik wird akzeptiert, dass jeder Steuerungsprozess zufälligen, störenden Einflüssen unterliegt. Der Produktionsprozess wird also von einer Vielzahl von Faktoren beeinflusst, die nicht deterministisch berücksichtigt werden können. Daher wird davon ausgegangen, dass der Produktionsprozess durch Zufallssignale beeinflusst wird. Aus diesem Grund kann die Planung der Arbeit eines Unternehmens nur probabilistisch sein.

Aus diesen Gründen sind bei der mathematischen Modellierung wirtschaftlicher Prozesse häufig probabilistische Modelle gemeint.

Lassen Sie uns jede der Arten von mathematischen Modellen beschreiben.

Deterministische mathematische Modelle zeichnen sich dadurch aus, dass sie den Zusammenhang bestimmter Faktoren mit der Leistungskennzahl als funktionale Abhängigkeit beschreiben, d.h. in deterministischen Modellen wird die Leistungskennzahl des Modells als Produkt, Quotient, algebraische Summe von Faktoren, oder dargestellt wie jede andere Funktion. Diese Art von mathematischen Modellen ist am gebräuchlichsten, da sie (im Vergleich zu Wahrscheinlichkeitsmodellen) recht einfach zu verwenden sind und es Ihnen ermöglichen, die Logik der Wirkung der Hauptfaktoren bei der Entwicklung des Wirtschaftsprozesses zu verstehen und ihren Einfluss zu quantifizieren. verstehen, welche Faktoren in welchem ​​Verhältnis verändert werden können, um die Produktionseffizienz zu steigern.

Probabilistische mathematische Modelle unterscheiden sich grundlegend von deterministischen dadurch, dass in probabilistischen Modellen die Beziehung zwischen Faktoren und dem resultierenden Merkmal probabilistisch (stochastisch) ist: Bei einer funktionalen Abhängigkeit (deterministische Modelle) entspricht der gleiche Zustand der Faktoren dem einzigen Zustand des Ergebnisses Merkmal, während in probabilistischen Modellen ein und derselbe Zustand von Faktoren einer ganzen Reihe von Zuständen des resultierenden Attributs entspricht [Tolstova Yu. N. Logik der mathematischen Analyse wirtschaftlicher Prozesse. -M.: Nauka, 2001, p. 32-33].

Der Vorteil deterministischer Modelle liegt in ihrer einfachen Handhabung. Der Hauptnachteil ist die geringe Angemessenheit der Realität, da, wie oben erwähnt, die meisten wirtschaftlichen Prozesse Natur sind.

Der Vorteil probabilistischer Modelle liegt darin, dass sie in der Regel realitätsnäher (adäquater) sind als deterministische. Der Nachteil probabilistischer Modelle ist jedoch die Komplexität und der Aufwand ihrer Anwendung, sodass es in vielen Situationen ausreicht, sich auf deterministische Modelle zu beschränken.

Erstmals die Formulierung eines linearen Programmierungsproblems in Form eines Vorschlags zur Erstellung eines optimalen Transportplans; die Möglichkeit, die Gesamtfahrleistung zu minimieren, wurde 1930 in der Arbeit des sowjetischen Ökonomen A. N. Tolstoi angegeben.

Systematische Studien zu Problemen der linearen Programmierung und die Entwicklung allgemeiner Methoden zu ihrer Lösung wurden in den Arbeiten der russischen Mathematiker L. V. Kantorovich, V. S. Nemchinov und anderer Mathematiker und Ökonomen weiterentwickelt. Auch viele Arbeiten ausländischer und vor allem amerikanischer Wissenschaftler widmen sich den Methoden der linearen Programmierung.

Die Aufgabe der linearen Programmierung besteht darin, eine lineare Funktion zu maximieren (minimieren).

, wo

unter Einschränkungen

und alles

Kommentar. Ungleichheiten können auch die gegenteilige Bedeutung haben. Durch Multiplikation der entsprechenden Ungleichungen mit (-1) erhält man immer ein System der Form (*).

Wenn die Anzahl der Variablen des Constraint-Systems und der Zielfunktion im mathematischen Modell des Problems 2 ist, dann kann es grafisch gelöst werden.

Wir müssen also die Funktion maximieren

zu einem befriedigenden System von Beschränkungen.

Wenden wir uns einer der Ungleichungen des Systems der Nebenbedingungen zu.

Aus geometrischer Sicht müssen alle Punkte, die diese Ungleichung erfüllen, entweder auf einer Geraden liegen

, oder gehören zu einer der Halbebenen, in die die Ebene dieser Linie geteilt wird. Um dies herauszufinden, müssen Sie überprüfen, welche von ihnen einen Punkt () enthält.

Bemerkung 2. Wenn

, ist es einfacher, den Punkt (0;0) zu nehmen.

Bedingungen für Nicht-Negativität

jeweils auch Halbebenen mit Begrenzungslinien definieren . Wir nehmen an, dass das Ungleichungssystem konsistent ist, dann bilden die sich schneidenden Halbebenen einen gemeinsamen Teil, der eine konvexe Menge und eine Sammlung von Punkten ist, deren Koordinaten die Lösung dieses Systems sind - dies ist die Menge der zulässigen Lösungen . Die Menge dieser Punkte (Lösungen) wird Lösungspolygon genannt. Es kann ein Punkt, ein Strahl, ein Polygon, eine unbegrenzte polygonale Fläche sein. Die Aufgabe der linearen Programmierung besteht also darin, einen solchen Punkt des Lösungspolygons zu finden, an dem die Zielfunktion den maximalen (minimalen) Wert annimmt. Dieser Punkt existiert, wenn das Lösungspolygon nicht leer ist und die Zielfunktion darauf von oben (von unten) begrenzt ist. Unter diesen Bedingungen nimmt die Zielfunktion an einem der Scheitelpunkte des Entscheidungspolygons den maximalen Wert an. Um diesen Scheitelpunkt zu bestimmen, konstruieren wir eine Gerade (wobei h eine Konstante ist). Am häufigsten direkt eingenommen . Es bleibt die Bewegungsrichtung dieser Geraden herauszufinden. Diese Richtung wird durch den Gradienten (Antigradienten) der Zielfunktion bestimmt. senkrecht zu einer Linie an jedem Punkt , so dass der Wert von f zunimmt, wenn sich die gerade Linie in Richtung des Gradienten bewegt (in Richtung des Antigradienten abnimmt). Dazu parallel zur Linie Zeichnen Sie gerade Linien und bewegen Sie sich in Richtung des Farbverlaufs (Anti-Farbverlauf).

Wir werden diese Konstruktionen fortsetzen, bis die Linie durch den letzten Eckpunkt des Lösungspolygons verläuft. Dieser Punkt bestimmt den optimalen Wert.

Das Finden einer Lösung für ein lineares Programmierproblem durch eine geometrische Methode umfasst also die folgenden Schritte:

Es werden Linien konstruiert, deren Gleichungen erhalten werden, indem die Vorzeichen von Ungleichheiten in den Beschränkungen durch Vorzeichen von exakten Gleichheiten ersetzt werden.

Finden Sie die Halbebenen, die durch jede der Beschränkungen des Problems definiert sind.

Finden Sie ein Lösungspolygon.

Vektor aufbauen

.

Baue eine gerade Linie

.

Baue parallele Linien

in Richtung des Gradienten oder Antigradienten, wodurch der Punkt gefunden wird, an dem die Funktion den maximalen oder minimalen Wert annimmt, oder die Unbeschränktheit von oben (von unten) der Funktion auf der zulässigen Menge festgestellt wird.

Die Koordinaten des maximalen (minimalen) Punktes der Funktion werden bestimmt und der Wert der Zielfunktion an diesem Punkt wird berechnet.

Das Problem der rationalen Ernährung (das Problem der Ernährung)

Formulierung des Problems

Der Betrieb produziert Mastvieh für gewerbliche Zwecke. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass es nur vier Arten von Produkten gibt: P1, P2, P3, P4; Die Stückkosten für jedes Produkt betragen C1, C2, C3 bzw. C4. Aus diesen Produkten muss eine Diät hergestellt werden, die Folgendes enthalten sollte: Proteine ​​​​- mindestens b1-Einheiten; kohlenhydrate - nicht weniger als b2-Einheiten; Fett - mindestens b3-Einheiten. Für die Produkte P1, P2, P3, P4 ist der Gehalt an Proteinen, Kohlenhydraten und Fetten (in Einheiten pro Produkteinheit) bekannt und in der Tabelle angegeben, wobei aij (i=1,2,3,4; j=1 ,2,3) - einige spezifische Zahlen Der erste Index gibt die Nummer des Produkts an, der zweite die Nummer des Elements (Proteine, Kohlenhydrate, Fette).

Mathematische Modelle in Wirtschaft und Programmierung

1. Deterministische und probabilistische mathematische Modelle in den Wirtschaftswissenschaften. Vorteile und Nachteile

Methoden zur Untersuchung wirtschaftlicher Prozesse basieren auf der Verwendung mathematischer – deterministischer und probabilistischer – Modelle, die den untersuchten Prozess, das System oder die Art der untersuchten Aktivität darstellen. Solche Modelle liefern eine quantitative Beschreibung des Problems und dienen als Grundlage für Managemententscheidungen bei der Suche nach der besten Option. Wie begründet sind diese Entscheidungen, sind sie die bestmöglichen, wurden alle Faktoren, die die optimale Lösung bestimmen, berücksichtigt und abgewogen, nach welchem ​​Kriterium lässt sich feststellen, dass diese Lösung wirklich die beste ist – das sind die Spannweiten Fragen, die für Produktionsleiter von großer Bedeutung sind und deren Beantwortung mit Methoden des Operations Research gefunden werden kann [Chesnokov S. V. Deterministische Analyse sozioökonomischer Daten. - M.: Nauka, 1982, S. 45].

Eines der Prinzipien der Bildung des Steuersystems ist die Methode der kybernetischen (mathematischen) Modelle. Die mathematische Modellierung nimmt eine Zwischenstellung zwischen Experiment und Theorie ein: Es muss kein reales physikalisches Modell des Systems aufgebaut werden, es wird durch ein mathematisches Modell ersetzt. Die Besonderheit der Gestaltung des Regelsystems liegt in der probabilistischen, statistischen Herangehensweise an Regelvorgänge. In der Kybernetik wird akzeptiert, dass jeder Steuerungsprozess zufälligen, störenden Einflüssen unterliegt. Der Produktionsprozess wird also von einer Vielzahl von Faktoren beeinflusst, die nicht deterministisch berücksichtigt werden können. Daher wird davon ausgegangen, dass der Produktionsprozess durch Zufallssignale beeinflusst wird. Aus diesem Grund kann die Planung der Arbeit eines Unternehmens nur probabilistisch sein.

Aus diesen Gründen sind bei der mathematischen Modellierung wirtschaftlicher Prozesse häufig probabilistische Modelle gemeint.

Lassen Sie uns jede der Arten von mathematischen Modellen beschreiben.

Deterministische mathematische Modelle zeichnen sich dadurch aus, dass sie den Zusammenhang bestimmter Faktoren mit der Leistungskennzahl als funktionale Abhängigkeit beschreiben, d.h. in deterministischen Modellen wird die Leistungskennzahl des Modells als Produkt, Quotient, algebraische Summe von Faktoren, oder dargestellt wie jede andere Funktion. Diese Art von mathematischen Modellen ist am gebräuchlichsten, da sie (im Vergleich zu Wahrscheinlichkeitsmodellen) recht einfach zu verwenden sind und es Ihnen ermöglichen, die Logik der Wirkung der Hauptfaktoren bei der Entwicklung des Wirtschaftsprozesses zu verstehen und ihren Einfluss zu quantifizieren. verstehen, welche Faktoren in welchem ​​Verhältnis verändert werden können, um die Produktionseffizienz zu steigern.

Probabilistische mathematische Modelle unterscheiden sich grundlegend von deterministischen dadurch, dass in probabilistischen Modellen die Beziehung zwischen Faktoren und dem resultierenden Merkmal probabilistisch (stochastisch) ist: Bei einer funktionalen Abhängigkeit (deterministische Modelle) entspricht der gleiche Zustand der Faktoren dem einzigen Zustand des Ergebnisses Merkmal, während in probabilistischen Modellen ein und derselbe Zustand von Faktoren einer ganzen Reihe von Zuständen des resultierenden Attributs entspricht [Tolstova Yu. N. Logik der mathematischen Analyse wirtschaftlicher Prozesse. -M.: Nauka, 2001, p. 32-33].

Der Vorteil deterministischer Modelle liegt in ihrer einfachen Handhabung. Der Hauptnachteil ist die geringe Angemessenheit der Realität, da, wie oben erwähnt, die meisten wirtschaftlichen Prozesse Natur sind.

Der Vorteil probabilistischer Modelle liegt darin, dass sie in der Regel realitätsnäher (adäquater) sind als deterministische. Der Nachteil probabilistischer Modelle ist jedoch die Komplexität und der Aufwand ihrer Anwendung, sodass es in vielen Situationen ausreicht, sich auf deterministische Modelle zu beschränken.

2. Darstellung des Problems der linearen Programmierung am Beispiel des Problems der Lebensmittelration

Erstmals die Formulierung eines linearen Programmierungsproblems in Form eines Vorschlags zur Erstellung eines optimalen Transportplans; die Möglichkeit, die Gesamtfahrleistung zu minimieren, wurde 1930 in der Arbeit des sowjetischen Ökonomen A. N. Tolstoi angegeben.

Systematische Studien zu Problemen der linearen Programmierung und die Entwicklung allgemeiner Methoden zu ihrer Lösung wurden in den Arbeiten der russischen Mathematiker L. V. Kantorovich, V. S. Nemchinov und anderer Mathematiker und Ökonomen weiterentwickelt. Auch viele Arbeiten ausländischer und vor allem amerikanischer Wissenschaftler widmen sich den Methoden der linearen Programmierung.

Die Aufgabe der linearen Programmierung besteht darin, eine lineare Funktion zu maximieren (minimieren).

unter Einschränkungen

und alles

Kommentar. Ungleichheiten können auch die gegenteilige Bedeutung haben. Durch Multiplikation der entsprechenden Ungleichungen mit (-1) erhält man immer ein System der Form (*).

Wenn die Anzahl der Variablen des Constraint-Systems und der Zielfunktion im mathematischen Modell des Problems 2 ist, dann kann es grafisch gelöst werden.

Daher ist es notwendig, die Funktion auf ein zufriedenstellendes System von Beschränkungen zu maximieren.

Wenden wir uns einer der Ungleichungen des Systems der Nebenbedingungen zu.

Aus geometrischer Sicht müssen alle Punkte, die diese Ungleichung erfüllen, entweder auf der Geraden liegen oder zu einer der Halbebenen gehören, in die die Ebene dieser Geraden unterteilt ist. Um dies herauszufinden, müssen Sie überprüfen, welche von ihnen einen Punkt () enthält.

Bemerkung 2. Wenn , dann ist es einfacher, den Punkt (0;0) zu nehmen.

Die Nicht-Negativitätsbedingungen definieren auch jeweils Halbebenen mit Grenzlinien. Wir nehmen an, dass das Ungleichungssystem konsistent ist, dann bilden die sich schneidenden Halbebenen einen gemeinsamen Teil, der eine konvexe Menge und eine Sammlung von Punkten ist, deren Koordinaten die Lösung dieses Systems sind - dies ist die Menge der zulässigen Lösungen . Die Menge dieser Punkte (Lösungen) wird Lösungspolygon genannt. Es kann ein Punkt, ein Strahl, ein Polygon, eine unbegrenzte polygonale Fläche sein. Die Aufgabe der linearen Programmierung besteht also darin, einen solchen Punkt des Lösungspolygons zu finden, an dem die Zielfunktion den maximalen (minimalen) Wert annimmt. Dieser Punkt existiert, wenn das Lösungspolygon nicht leer ist und die Zielfunktion darauf von oben (von unten) begrenzt ist. Unter diesen Bedingungen nimmt die Zielfunktion an einem der Scheitelpunkte des Entscheidungspolygons den maximalen Wert an. Um diesen Scheitelpunkt zu bestimmen, konstruieren wir eine gerade Linie (wobei h eine Konstante ist). Meistens wird eine gerade Linie genommen. Es bleibt die Bewegungsrichtung dieser Geraden herauszufinden. Diese Richtung wird durch den Gradienten (Antigradienten) der Zielfunktion bestimmt.

Der Vektor an jedem Punkt steht senkrecht zur Linie, sodass der Wert von f zunimmt, wenn sich die Linie in Richtung des Gradienten bewegt (in Richtung des Antigradienten abnimmt). Dazu zeichnen wir gerade Linien parallel zur Geraden und bewegen uns in Richtung des Gradienten (Anti-Gradient).

Wir werden diese Konstruktionen fortsetzen, bis die Linie durch den letzten Eckpunkt des Lösungspolygons verläuft. Dieser Punkt bestimmt den optimalen Wert.

Das Finden einer Lösung für ein lineares Programmierproblem durch eine geometrische Methode umfasst also die folgenden Schritte:

Es werden Linien konstruiert, deren Gleichungen erhalten werden, indem die Vorzeichen von Ungleichheiten in den Beschränkungen durch Vorzeichen von exakten Gleichheiten ersetzt werden.

Finden Sie die Halbebenen, die durch jede der Beschränkungen des Problems definiert sind.

Finden Sie ein Lösungspolygon.

Erstellen Sie einen Vektor.

Baue eine gerade Linie.

Parallele Linien werden in Richtung des Gradienten oder Antigradienten gebaut, wodurch sie den Punkt finden, an dem die Funktion den maximalen oder minimalen Wert annimmt, oder die Funktion von oben (von unten) auf unbeschränkt setzen zulässiger Satz.

Die Koordinaten des maximalen (minimalen) Punktes der Funktion werden bestimmt und der Wert der Zielfunktion an diesem Punkt wird berechnet.

Das Problem der rationalen Ernährung (das Problem der Ernährung)

Formulierung des Problems

Der Betrieb produziert Mastvieh für gewerbliche Zwecke. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass es nur vier Arten von Produkten gibt: P1, P2, P3, P4; Die Stückkosten für jedes Produkt betragen C1, C2, C3 bzw. C4. Aus diesen Produkten muss eine Diät hergestellt werden, die Folgendes enthalten sollte: Proteine ​​​​- mindestens b1-Einheiten; kohlenhydrate - nicht weniger als b2-Einheiten; Fett - mindestens b3-Einheiten. Für die Produkte P1, P2, P3, P4 ist der Gehalt an Proteinen, Kohlenhydraten und Fetten (in Einheiten pro Produkteinheit) bekannt und in der Tabelle angegeben, wobei aij (i=1,2,3,4; j=1 ,2,3) - einige spezifische Zahlen Der erste Index gibt die Nummer des Produkts an, der zweite die Nummer des Elements (Proteine, Kohlenhydrate, Fette).

23. Januar 2017

Das stochastische Modell beschreibt die Situation bei Unsicherheit. Mit anderen Worten, der Prozess ist durch einen gewissen Grad an Zufälligkeit gekennzeichnet. Das Adjektiv „stochastisch“ selbst kommt vom griechischen Wort „schätzen“. Da Unsicherheit ein zentrales Merkmal des Alltags ist, kann ein solches Modell alles beschreiben.

Aber jedes Mal, wenn wir es anwenden, wird das Ergebnis anders sein. Daher werden häufiger deterministische Modelle verwendet. Obwohl sie dem tatsächlichen Sachverhalt nicht so nahe wie möglich kommen, liefern sie immer das gleiche Ergebnis und erleichtern das Verständnis der Situation, vereinfachen sie durch die Einführung einer Reihe mathematischer Gleichungen.

Haupteigenschaften

Ein stochastisches Modell enthält immer eine oder mehrere Zufallsvariablen. Sie versucht, das wirkliche Leben in all seinen Erscheinungsformen widerzuspiegeln. Im Gegensatz zum deterministischen Modell zielt das stochastische nicht darauf ab, alles zu vereinfachen und auf bekannte Werte zu reduzieren. Daher ist Unsicherheit sein Hauptmerkmal. Stochastische Modelle eignen sich zur Beschreibung von allem, haben aber alle folgende Gemeinsamkeiten:

• Jedes stochastische Modell spiegelt alle Aspekte des Problems wider, für das es erstellt wurde.
• Das Ergebnis jedes der Phänomene ist ungewiss. Daher enthält das Modell Wahrscheinlichkeiten. Die Richtigkeit der Gesamtergebnisse hängt von der Genauigkeit ihrer Berechnung ab.
• Diese Wahrscheinlichkeiten können verwendet werden, um die Prozesse selbst vorherzusagen oder zu beschreiben.

Deterministische und stochastische Modelle

Für einige erscheint das Leben als eine Reihe zufälliger Ereignisse, für andere als Prozesse, bei denen die Ursache die Wirkung bestimmt. Tatsächlich ist sie von Unsicherheit geprägt, aber nicht immer und nicht in allem. Daher ist es manchmal schwierig, klare Unterschiede zwischen stochastischen und deterministischen Modellen zu finden. Wahrscheinlichkeiten sind ziemlich subjektiv.

Stellen Sie sich zum Beispiel eine Münzwurfsituation vor. Auf den ersten Blick sieht es so aus, als gäbe es eine 50-prozentige Chance, Schwänze zu bekommen. Daher muss ein deterministisches Modell verwendet werden. In Wirklichkeit stellt sich jedoch heraus, dass viel von der Geschicklichkeit der Hände der Spieler und der Perfektion des Ausbalancierens der Münze abhängt. Dies bedeutet, dass ein stochastisches Modell verwendet werden muss. Es gibt immer Parameter, die wir nicht kennen. Im wirklichen Leben bestimmt immer die Ursache die Wirkung, aber es gibt auch eine gewisse Unsicherheit. Die Wahl zwischen der Verwendung deterministischer und stochastischer Modelle hängt davon ab, was wir bereit sind aufzugeben – Einfachheit der Analyse oder Realismus.

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In der Chaostheorie

In letzter Zeit ist das Konzept, welches Modell als stochastisch bezeichnet wird, noch verschwommener geworden. Dies ist auf die Entwicklung der sogenannten Chaostheorie zurückzuführen. Es beschreibt deterministische Modelle, die bei einer geringfügigen Änderung der Anfangsparameter unterschiedliche Ergebnisse liefern können. Dies ist wie eine Einführung in die Berechnung der Unsicherheit. Viele Wissenschaftler haben sogar zugegeben, dass dies bereits ein stochastisches Modell ist.

Lothar Breuer erklärte alles elegant mit poetischen Bildern. Er schrieb: „Ein Bergbach, ein schlagendes Herz, eine Pockenepidemie, eine aufsteigende Rauchsäule – all dies ist ein Beispiel für ein dynamisches Phänomen, das, wie es scheint, manchmal vom Zufall geprägt ist. In Wirklichkeit unterliegen solche Prozesse immer einer bestimmten Ordnung, die Wissenschaftler und Ingenieure gerade erst zu verstehen beginnen. Das ist das sogenannte deterministische Chaos.“ Die neue Theorie klingt sehr plausibel, weshalb viele moderne Wissenschaftler ihre Befürworter sind. Es ist jedoch immer noch wenig entwickelt, und es ist ziemlich schwierig, es in statistischen Berechnungen anzuwenden. Daher werden häufig stochastische oder deterministische Modelle verwendet.

Gebäude

Das stochastische mathematische Modell beginnt mit der Wahl des Raums der elementaren Ergebnisse. In der Statistik nennen sie also die Liste möglicher Ergebnisse des untersuchten Prozesses oder Ereignisses. Der Forscher bestimmt dann die Wahrscheinlichkeit jedes der elementaren Ergebnisse. Üblicherweise geschieht dies auf der Grundlage einer bestimmten Technik.

Allerdings sind die Wahrscheinlichkeiten immer noch ein ziemlich subjektiver Parameter. Der Forscher bestimmt dann, welche Ereignisse für die Lösung des Problems am interessantesten sind. Danach bestimmt es einfach ihre Wahrscheinlichkeit.

Beispiel

Betrachten Sie den Prozess der Erstellung des einfachsten stochastischen Modells. Angenommen, wir würfeln. Wenn "sechs" oder "eins" herausfällt, dann beträgt unser Gewinn zehn Dollar. Der Prozess zum Erstellen eines stochastischen Modells sieht in diesem Fall wie folgt aus:

• Lassen Sie uns den Raum der elementaren Ergebnisse definieren. Der Würfel hat sechs Seiten, also können eins, zwei, drei, vier, fünf und sechs auftauchen.
• Die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses beträgt 1/6, egal wie oft wir würfeln.
• Jetzt müssen wir die für uns interessanten Ergebnisse bestimmen. Das ist der Verlust eines Gesichts mit der Zahl „sechs“ oder „eins“.
• Schließlich können wir die Wahrscheinlichkeit des für uns interessanten Ereignisses bestimmen. Es ist 1/3. Wir summieren die Wahrscheinlichkeiten der beiden uns interessierenden Elementarereignisse: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Konzept und Ergebnis

Stochastische Simulation wird oft beim Glücksspiel verwendet. Aber es ist auch für Wirtschaftsprognosen unverzichtbar, da es Ihnen ermöglicht, die Situation tiefer zu verstehen als deterministische. Stochastische Modelle in der Wirtschaftswissenschaft werden häufig bei Investitionsentscheidungen verwendet. Sie ermöglichen es Ihnen, Annahmen über die Rentabilität von Investitionen in bestimmte Vermögenswerte oder deren Gruppen zu treffen.

Modellierung macht die Finanzplanung effizienter. Mit ihrer Hilfe optimieren Anleger und Trader die Verteilung ihres Vermögens. Der Einsatz stochastischer Modellierung hat langfristig immer Vorteile. In einigen Branchen kann die Weigerung oder Unfähigkeit, es anzuwenden, sogar zum Konkurs des Unternehmens führen. Denn im realen Leben tauchen täglich neue wichtige Parameter auf, deren Nichtbeachtung verheerende Folgen haben kann.