Das Thema dieses Video-Tutorials sind Bewegungseigenschaften sowie parallele Übersetzung. Zu Beginn der Lektion wiederholen wir noch einmal das Bewegungskonzept, seine Haupttypen - axiale und zentrale Symmetrie. Danach betrachten wir alle Eigenschaften der Bewegung. Lassen Sie uns das Konzept der "Parallelübertragung" analysieren, wofür es verwendet wird, lassen Sie uns seine Eigenschaften benennen.

Thema: Bewegung

Lektion: Bewegung. Bewegungseigenschaften

Beweisen wir den Satz: Beim Bewegen geht das Segment in das Segment über.

Entschlüsseln wir die Formulierung des Satzes mit Hilfe von Abb. 1. Wenn die Enden eines bestimmten Segments MN während der Bewegung an einigen Punkten M 1 bzw. N 1 angezeigt werden, geht jeder Punkt P des Segments MN notwendigerweise zu einem Punkt P 1 des Segments M 1 N 1. und umgekehrt, zu jedem Punkt Q 1 des Segments M 1 N 1 wird irgendein Punkt Q des Segments MN angezeigt.

Nachweisen.

Wie aus der Figur ersichtlich, ist MN = MP + PN.

Lassen Sie den Punkt P zu einem Punkt P 1 "der Ebene gehen. Die Definition der Bewegung impliziert die Gleichheit der Längen der Segmente MN \u003d M 1 N 1, MP \u003d M 1 P 1", PN \u003d P 1 "N 1. Aus diesen Gleichheiten folgt, dass M 1 Р 1 ", M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 = MP + РN = MN = M 1 N 1, dh der Punkt Р 1 "gehört zu Segment M 1 N 1 und fällt mit dem Punkt P 1 zusammen, andernfalls wäre anstelle der obigen Gleichheit die Ungleichung des Dreiecks M 1 P 1 "+ P 1" N 1 > M 1 N 1 wahr. Das heißt, wir haben bewiesen dass beim Bewegen jeder Punkt, jeder Punkt P des Segments MN notwendigerweise zu einem Punkt P 1 des Segments M 1 N 1 gehen wird. Der zweite Teil des Theorems (betreffend den Punkt Q 1) wird auf genau dieselbe Weise bewiesen .

Der bewiesene Satz gilt für beliebige Bewegungen!

Satz: Beim Bewegen geht der Winkel in einen gleichen Winkel über.

Sei RAOB gegeben (Abb. 2). Und es sei eine Bewegung gegeben, bei der der Scheitel РО zum Punkt О 1 geht und die Punkte A und B - jeweils zu den Punkten А 1 und В 1 .

Betrachten Sie die Dreiecke AOB und A 1 O 1 B 1 . Gemäß der Bedingung des Theorems bewegen sich die Punkte A, O und B, wenn sie sich jeweils zu den Punkten A 1, O 1 und B 1 bewegen. Daher besteht eine Gleichheit der Längen AO \u003d A 1 O 1, OB \u003d O 1 B 1 und AB \u003d A 1 B 1. Also AOB \u003d A 1 O 1 B 1 auf drei Seiten. Aus der Gleichheit der Dreiecke folgt die Gleichheit der entsprechenden Winkel O und O 1.

So behält jede Bewegung Winkel bei.

Viele Konsequenzen ergeben sich aus den grundlegenden Eigenschaften der Bewegung, insbesondere, dass jede Figur während der Bewegung auf eine ihr gleiche Figur abgebildet wird.

Betrachten Sie eine andere Art von Bewegung - parallele Übertragung.

Parallele Übertragung auf einen gegebenen Vektor wird eine solche Abbildung der Ebene auf sich selbst genannt, bei der jeder Punkt M der Ebene zu einem solchen Punkt M 1 derselben Ebene geht (Fig. 3).

Lassen Sie uns das beweisen Parallelübersetzung ist eine Bewegung.

Nachweisen.

Betrachten Sie ein beliebiges Segment MN (Fig. 4). Lassen Sie den Punkt M während der parallelen Übertragung zum Punkt M 1 und den Punkt N - zum Punkt N 1 verschieben. In diesem Fall sind die Bedingungen der parallelen Übertragung erfüllt: und . Betrachten Sie ein Viereck

MM 1 N 1 N. Seine beiden gegenüberliegenden Seiten (MM 1 und NN 1) sind gleich und parallel, wie es durch die Parallelverschiebungsbedingungen vorgegeben ist. Daher ist dieses Viereck ein Parallelogramm nach einem der Zeichen des letzteren. Dies impliziert, dass die beiden anderen Seiten (MN und M 1 N 1) des Parallelogramms gleich lang sind, was zu beweisen war.

Paralleltransfer ist also tatsächlich eine Bewegung.

Fassen wir zusammen. Drei Bewegungsarten sind uns bereits bekannt: Axialsymmetrie, Zentralsymmetrie und Paralleltranslation. Wir haben bewiesen, dass beim Bewegen ein Segment in ein Segment übergeht und ein Winkel in einen gleichen Winkel. Außerdem lässt sich zeigen, dass beim Bewegen eine Gerade in eine Gerade übergeht und ein Kreis in einen Kreis mit gleichem Radius.

1. Atanasyan L. S. und andere Geometriegrade 7-9. Lehrbuch für Bildungseinrichtungen. -M.: Bildung, 2010.

2. Farkov A. V. Geometrietests: Klasse 9. Zum Lehrbuch von L. S. Atanasyan und anderen - M .: Exam, 2010.

3. A. V. Pogorelov, Geometrie, Konto. für 7-11 Zellen. Allgemeines inst. - M.: Aufklärung, 1995.

1. Russisches Bildungsportal ().

2. Festival der pädagogischen Ideen "Open Lesson" ().

1. Atanasyan (siehe Referenzen), S. 293, § 1, Punkt 114.

Eigenschaft 1. Sei f die Bewegung von Punkten in der Ebene, A", B" und C" seien die Bilder der Punkte A, B und C während der Bewegung von f. Dann liegen die Punkte A", B" und C". auf einer geraden Linie genau dann, wenn die Punkte A, B und C kollinear sind.

Eigenschaft 4. Beim Bewegen verwandelt es sich in ein Segment, das ihm gleich ist Eigenschaft 5. Beim Bewegen verwandelt sich ein Strahl in einen Strahl.

Eigenschaft 7. Gegeben sei ein Kreis mit Radius r, zentriert in einem Punkt O. Dann verwandelt er sich beim Bewegen in einen Kreis mit demselben Radius, zentriert in einem Punkt, der mit dem Bild des Mittelpunkts O zusammenfällt.

Unter einem affinen Ebenenrahmen verstehen wir ein geordnetes Tripel von nichtkollinearen Punkten. Eigenschaft 7. Beim Verschieben wird der Rahmen in einen Rahmen und der orthonormale Rahmen in einen orthonormalen Rahmen umgewandelt.

Satz (Grundsatz der Bewegungen). Seien orthonormale Rahmen u auf der Ebene gegeben. Dann gibt es einen einzigartigen Zug g, der den Rahmen R zu R" bringt: .

Folge. Wenn f eine Bewegung der Ebene ist: Übersetzen des orthonormalen Rahmens R in den orthonormalen Rahmen R", dann entspricht jeder Punkt M der Ebene mit den Koordinaten x und y relativ zu R einem Punkt M" = f(M) mit demselben Koordinaten x und y relativ zu R".

"Untersuchung ebener Bewegungen und einiger ihrer Eigenschaften". Seite 21 von 21

Untersuchung von Flugzeugbewegungen

und einige ihrer Eigenschaften

Inhalt

Aus der Entwicklungsgeschichte der Bewegungstheorie.

Definition und Eigenschaften von Bewegungen.

Kongruenz der Figuren.

Arten von Bewegungen.

4.1. Parallele Übertragung.

4.2. Wende.

4.3. Symmetrie um eine Gerade.

4.4. Gleitende Symmetrie.

5. Untersuchung besonderer Eigenschaften der Achsensymmetrie.

6. Untersuchung der Möglichkeit der Existenz anderer Arten von Bewegungen.

7. Mobilitätssatz. Zwei Arten von Bewegungen.

8. Klassifizierung von Bewegungen. Satz von Chall.

Bewegungen als eine Gruppe geometrischer Transformationen.

Anwendung von Bewegungen bei der Problemlösung.

Literatur.

Entwicklungsgeschichte der Bewegungstheorie.

Der erste, der anfing, einige geometrische Sätze zu beweisen, gilt als der antike griechische Mathematiker Thales von Milet(625-547 v. Chr.). Dank Thales begann sich die Geometrie von einer Reihe praktischer Regeln zu einer wahren Wissenschaft zu entwickeln. Vor Thales gab es einfach keine Beweise!

Wie führte Thales seine Beweise durch? Dazu bediente er sich Bewegungen.

Bewegung - Dies ist eine Transformation von Figuren, bei der Abstände zwischen Punkten erhalten bleiben. Wenn zwei Figuren exakt durch Bewegung miteinander verbunden werden, dann sind diese Figuren gleich, gleich.

Auf diese Weise bewies Thales eine Reihe der ersten Sätze der Geometrie. Wenn die Ebene als starres Ganzes um einen Punkt gedreht wird Ö 180 o, Strahl OA wird zu seiner Fortsetzung gehen OA ’ . Mit solchen drehen (auch genannt zentrale Symmetrie zentriert Ö ) jeder Punkt SONDERN bewegt sich zu einem Punkt SONDERN ’ , was Ö ist der Mittelpunkt des Segments AA ’ (Abb. 1).

Abb.1 Abb.2

Lassen Ö - gemeinsamer Scheitel vertikaler Ecken AOB und SONDERN ’ OV ’ . Aber dann ist klar, dass bei einer Drehung um 180° die Seiten des einen der beiden vertikalen Winkel gerade an den Seiten des anderen vorbeigehen, d.h. diese beiden Ecken sind ausgerichtet. Das bedeutet, dass die vertikalen Winkel gleich sind (Abb. 2).

Zum Beweis der Winkelgleichheit an der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks verwendete Thales axiale Symmetrie : Er kombinierte die beiden Hälften eines gleichschenkligen Dreiecks, indem er die Zeichnung entlang der Winkelhalbierenden an der Spitze knickte (Abb. 3). Auf die gleiche Weise bewies Thales, dass der Durchmesser den Kreis halbiert.

Abb.3 Abb.4

Angewandter Thales und eine andere Bewegung - parallele Übertragung , bei der alle Punkte der Figur um den gleichen Abstand in eine bestimmte Richtung verschoben sind. Mit seiner Hilfe bewies er den Satz, der heute seinen Namen trägt:

Wenn auf einer Seite des Winkels gleiche Segmente beiseite gelegt werden und parallele Linien durch die Enden dieser Segmente gezogen werden, bis sie sich mit der zweiten Seite des Winkels schneiden, werden auch auf der anderen Seite des Winkels gleiche Segmente erhalten(Abb. 4).

In der Antike wurde die Idee der Bewegung auch von den Berühmten verwendet Euklid, der Autor von "Beginnings" - einem Buch, das mehr als zwei Jahrtausende überdauert hat. Euklid war ein Zeitgenosse von Ptolemaios I., der von 305-283 v. Chr. in Ägypten, Syrien und Mazedonien regierte.

Bewegungen waren zum Beispiel in Euklids Argumentation implizit vorhanden, als er die Gleichheitszeichen von Dreiecken bewies: "Lasst uns ein Dreieck so und so dem anderen auferlegen." Nach Euklid heißen zwei Figuren gleich, wenn sie mit allen ihren Punkten „kombinierbar“ sind, d.h. Indem man eine Figur als festes Ganzes bewegt, kann man sie genau auf eine zweite Figur legen. Bewegung war für Euklid noch kein mathematisches Konzept. Das von ihm erstmals in den „Prinzipien“ dargelegte Axiomensystem wurde zur Grundlage einer so genannten geometrischen Theorie Euklidische Geometrie.

In der Neuzeit geht die Entwicklung der mathematischen Disziplinen weiter. Die analytische Geometrie entstand im 11. Jahrhundert. Professor für Mathematik an der Universität Bologna Bonaventura Cavalieri(1598-1647) veröffentlicht den Aufsatz „Geometrie, neu formuliert mit Hilfe der unteilbaren Stetigkeit“. Laut Cavalieri kann jede flache Figur als eine Reihe paralleler Linien oder "Spuren" betrachtet werden, die eine Linie hinterlässt, wenn sie sich parallel zu sich selbst bewegt. In ähnlicher Weise wird eine Vorstellung von Körpern gegeben: Sie entstehen während der Bewegung von Ebenen.

Die Weiterentwicklung der Bewegungstheorie ist mit dem Namen des französischen Mathematikers und Wissenschaftshistorikers verbunden Michel Chall(1793-1880). 1837 veröffentlichte er das Werk „Historischer Überblick über die Entstehung und Entwicklung geometrischer Methoden“. Im Zuge seiner eigenen geometrischen Forschung beweist Schall den wichtigsten Satz:

jede orientierungserhaltende Bewegung einer Ebene ist entweder

parallele Translation oder Rotation,

Jede orientierungsändernde Bewegung einer Ebene ist entweder axial

Symmetrie oder Gleitsymmetrie.

Der Beweis des Satzes von Chall wird vollständig in Punkt 8 dieser Zusammenfassung durchgeführt.

Eine wichtige Bereicherung, die die Geometrie dem 19. Jahrhundert verdankt, ist die Entstehung der Theorie der geometrischen Transformationen, insbesondere der mathematischen Theorie der Bewegungen (Verschiebungen). Zu diesem Zeitpunkt bestand die Notwendigkeit, alle existierenden geometrischen Systeme zu klassifizieren. Dieses Problem wurde von einem deutschen Mathematiker gelöst Christian Felix Klein(1849-1925).

1872 hielt Klein, als er eine Professur an der Universität Erlangen antrat, einen Vortrag über "Eine vergleichende Übersicht über die neuesten geometrischen Forschungen". Die von ihm vorgebrachte Idee, alle Geometrie auf der Grundlage der Bewegungstheorie neu zu denken, wurde genannt „Erlanger Programm“.

Laut Klein müssen Sie zum Konstruieren einer bestimmten Geometrie einen Satz von Elementen und eine Gruppe von Transformationen angeben. Die Aufgabe der Geometrie besteht darin, jene Beziehungen zwischen Elementen zu untersuchen, die unter allen Transformationen einer gegebenen Gruppe unveränderlich bleiben. Beispielsweise untersucht Euklids Geometrie jene Eigenschaften von Figuren, die während der Bewegung unverändert bleiben. Mit anderen Worten, wenn eine Figur durch Bewegung aus einer anderen erhalten wird (solche Figuren werden kongruent genannt), dann haben diese Figuren die gleichen geometrischen Eigenschaften.

In diesem Sinne bilden Bewegungen die Grundlage der Geometrie und der fünf Axiome der Kongruenz werden im Axiomensystem der modernen Geometrie von einer unabhängigen Gruppe herausgehoben. Dieses vollständige und ziemlich strenge Axiomensystem, das alle bisherigen Studien zusammenfasst, wurde von dem deutschen Mathematiker vorgeschlagen David Gilbert(1862-1943). Sein System von zwanzig Axiomen, unterteilt in fünf Gruppen, wurde erstmals 1899 in dem Buch veröffentlicht "Grundlagen der Geometrie".

1909 ein deutscher Mathematiker Friedrich Schür(1856-1932) entwickelte in Anlehnung an die Ideen von Thales und Klein ein weiteres System von Axiomen der Geometrie - basierend auf der Betrachtung von Bewegungen. Insbesondere in seinem System statt der Hilbertschen Gruppe von Kongruenzaxiomen eine Dreiergruppe Axiome der Bewegung.

Die Arten und einige wichtige Eigenschaften von Bewegungen werden in diesem Essay ausführlich diskutiert, aber sie können kurz wie folgt ausgedrückt werden: die Bewegungen bilden eine Gruppe, die die euklidische Geometrie definiert und bestimmt.

Definition und Eigenschaften von Bewegungen.

Indem jeder Punkt dieser Figur auf irgendeine Weise verschoben wird, wird eine neue Figur erhalten. Es wird gesagt, dass diese Zahl empfangen wird Transformation von diesem. Die Verwandlung einer Figur in eine andere heißt Bewegung, wenn sie die Abstände zwischen den Punkten beibehält, d.h. übersetzt zwei beliebige Punkte X und Y eine Form pro Punkt X ’ und Y ’ eine andere Figur, damit XY = X ’Y ’.

Definition. Formtransformation, die Distanz bewahrt

zwischen Punkten nennt man die Bewegung dieser Figur.

! Kommentar: Der Begriff der Bewegung in der Geometrie ist mit der üblichen Vorstellung von Verschiebung verbunden. Aber wenn wir uns, wenn wir von Verschiebung sprechen, einen kontinuierlichen Prozess vorstellen, dann kommt es in der Geometrie nur auf die Anfangs- und Endposition (Bild) der Figur an. Dieser geometrische Ansatz unterscheidet sich vom physikalischen.

Beim Bewegen entsprechen verschiedene Punkte verschiedenen Bildern und jedem Punkt X eine Zahl wird mit der einzigen in Verbindung gebracht Punkt X ’ eine andere Figur. Diese Art der Transformation wird aufgerufen eins zu eins oder bijektiv.

Bei Bewegungen wird anstelle des Begriffs "Gleichheit" von Figuren (Geraden, Strecken, Ebenen etc.) der Begriff verwendet "Kongruenz" und das Symbol verwendet wird  . Das Symbol є wird verwendet, um die Zugehörigkeit anzuzeigen.In Anbetracht dessen können wir eine korrektere Definition von Bewegung geben:

Bewegung ist eine bijektive Transformation φ der Ebene π, unter der für alle

verschiedene Punkte X, Y є π die Beziehung XY  φ (X ) φ (Y ).

Das Ergebnis der aufeinanderfolgenden Ausführung zweier Bewegungen wird aufgerufen Komposition. Wenn der Zug zuerst gemacht wird φ , gefolgt von Bewegung ψ , dann wird die Zusammensetzung dieser Bewegungen mit bezeichnet ψ ◦ φ .

Das einfachste Beispiel für Bewegung ist die Identitätsanzeige (es ist üblich zu bezeichnen - ε ), an denen jeder Punkt X , zur Ebene gehörend, wird dieser Punkt selbst verglichen, d.h. ε (X ) = X .

Betrachten wir einige wichtige Eigenschaften von Bewegungen.

C Eigentum 1.

Lemma 2. 1. Kompositionφ ◦ ψ zwei Bewegungenψ , φ ist eine Bewegung.

Nachweisen.

Lassen Sie die Figur F übersetzt durch Bewegung ψ in eine Figur F “, und die Figur F “ wird mit Bewegung übersetzt φ in eine Figur F ''. Lassen Sie den Punkt X Zahlen F geht zur Sache X ’ Zahlen F “ und im zweiten Satz der Punkt X ’ Zahlen F “ geht auf den Punkt X ''Formen F ''. Dann die Transformation der Figur F in eine Figur F '', an dem ein willkürlicher Punkt X Zahlen F geht zur Sache X ''Formen F '', behält den Abstand zwischen Punkten bei und ist daher auch eine Bewegung.

Beachten Sie, dass die Aufnahme einer Komposition immer mit dem letzten Satz beginnt, weil Das Ergebnis der Komposition ist das endgültige Bild - es wird mit dem Original in Einklang gebracht:

X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

C Eigentum 2.

Lemma 2.2 . Wenn einφ – Bewegung, dann Transformationφ -1 ist auch eine Bewegung.

Nachweisen.

Lassen Sie die Formtransformation F in eine Figur F “ übersetzt die verschiedenen Punkte der Abbildung F an verschiedenen Stellen der Figur F '. Lassen Sie einen beliebigen Punkt X Zahlen F unter dieser Transformation geht zu einem Punkt X ’ Zahlen F ’.

Transformation der Form F “ zu einer Figur F , an dem der Punkt X “ geht auf den Punkt X , wird genannt Transformation invers zu der gegebenen. Für jede Bewegung φ es ist möglich, die Rückwärtsbewegung zu definieren, die bezeichnet ist φ -1 .

Ähnlich wie beim Beweis von Eigenschaft 1 können wir verifizieren, dass eine zu einer Bewegung inverse Transformation auch eine Bewegung ist.

Es ist offensichtlich, dass die Transformation φ -1 erfüllt die Gleichheiten:

f ◦ f -1 = f -1 ◦ f = ε , wo ε ist die identische Anzeige.

Eigenschaft 3 (Assoziativität von Kompositionen).

Lemma 2.3. Sei φ 1 , φ 2 , φ 3 - freiwillige Bewegungen. Dann φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3 ) = (φ 1 ◦φ 2 )◦φ 3 .

Die Tatsache, dass die Komposition von Bewegungen die Eigenschaft der Assoziativität hat, ermöglicht es uns, den Grad zu bestimmen φ mit einem natürlichen Indikator n .

Lasst uns φ 1 = φ und φ n+1 = φ n ◦ φ , Wenn n ≥ 1 . Also die Bewegung φ n erhalten von n -mehrere sequentielle Anwendung der Bewegung φ .

C Eigentum 4 (Aufrechterhaltung der Geradheit).

Satz 2. 1. Punkte, die auf derselben geraden Linie liegen, gehen beim Bewegen in Punkte über,

Bewegung Körper unter dem Einfluss der Schwerkraft

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Einführung.

Geometrische Transformationen sind ein recht später Zweig der Mathematik. Die ersten geometrischen Transformationen wurden im 17. Jahrhundert in Betracht gezogen, während projektive Transformationen erst zu Beginn des 19. Jahrhunderts auftauchten.

In der Algebra werden verschiedene Funktionen betrachtet. Die Funktion f ordnet jeder Zahl x aus dem Definitionsbereich der Funktion eine bestimmte Zahl f(x) zu - den Wert der Funktion f am Punkt x. In der Geometrie werden Funktionen betrachtet, die andere Definitionsbereiche und Wertemengen haben. Sie ordnen jedem Punkt einen Punkt zu. Diese Funktionen werden als geometrische Transformationen bezeichnet.

Geometrische Transformationen sind in der Geometrie von großer Bedeutung. Mit Hilfe geometrischer Transformationen werden so wichtige geometrische Konzepte wie Gleichheit und Ähnlichkeit von Figuren definiert. Dank geometrischer Transformationen passen viele unterschiedliche Fakten der Geometrie in eine kohärente Theorie.

Im Abstrakten werden wir hauptsächlich über die Transformationen des Raums sprechen. Alle Bewegungen, Ähnlichkeiten, kreisförmigen und affinen Transformationen des Raums sowie affine und projektive Transformationen der Ebene werden berücksichtigt. Für jede Transformation werden ihre Eigenschaften und Anwendungsbeispiele zur Lösung geometrischer Probleme betrachtet.

Schauen wir uns zunächst einige grundlegende Konzepte an, die wir für die Arbeit mit Transformationen benötigen. Bleiben wir bei zwei Begriffen: Distanz und Transformation. Was meinen wir also mit diesen Worten:

Definition. Distanz zwischen zwei Punkten nennen wir die Länge des Segments mit Enden an diesen Punkten.

Definition. Transformation Menge wird eine Eins-zu-Eins-Abbildung dieser Menge auf sich selbst genannt.

Kommen wir nun zur Betrachtung bestimmter Arten geometrischer Transformationen.

Teil I. Raumbewegungen.

Allgemeine Eigenschaften von Bewegungen.

Definition. Die Raumtransformation heißt Bewegung, wenn Abstände zwischen Punkten beibehalten werden.

Bewegungseigenschaften.

1. Die zur Bewegung inverse Transformation ist Bewegung.
2. Die Komposition von Bewegungen ist Bewegung.
3. Beim Bewegen wird aus einer Geraden eine Gerade, aus einem Strahl ein Strahl, aus einem Segment ein Segment, aus einer Ebene eine Ebene, aus einer Halbebene eine Halbebene.
4. Das Bild eines ebenen Winkels in Bewegung ist ein ebener Winkel gleicher Größe.
5. Bewegung bewahrt den Winkel zwischen geraden Linien, zwischen einer geraden Linie und einer Ebene, zwischen Ebenen.
6. Bewegung bewahrt die Parallelität von geraden Linien, einer geraden Linie und einer Ebene, Ebenen.

Eigentumsnachweise.

1 und 2. Folgen Sie aus der Definition der Bewegung.

1. Die Punkte A, X und B liegen auf derselben Geraden, und der Punkt X liegt zwischen A und B. Dann ist AX + XB = AB. Die Punkte А´, Х´, В´ seien die Bilder der Punkte А, Х, В während der Bewegung. Dann ist А´Х´+Х´В´=А´В´ (aus der Bewegungsdefinition). Und daraus folgt, dass die Punkte A´, X´, B´ auf einer Geraden liegen und X´ zwischen A´ und B´ liegt.
   Aus der bewiesenen Aussage folgt sofort, dass beim Bewegen eine Gerade zu einer Geraden wird, ein Strahl zu einem Strahl, ein Segment zu einem Segment.

Für die Ebene kann der Beweis wie folgt geführt werden. Seien a, b zwei sich schneidende Geraden unserer Ebene α, a´, b´ ihre Bilder. Offensichtlich schneiden sich a´ und b´. Sei α´ die Ebene, die die Geraden a´, b´ enthält. Beweisen wir, dass α´ das Bild der Ebene α ist. Sei ¼ ein beliebiger Punkt der Ebene α, der nicht auf den Geraden a und b liegt. Zeichnen wir eine Linie c durch M, die die Linien a und b an verschiedenen Punkten schneidet. Das Bild dieser Linie ist die Linie c´, die die Linien a´, b´ an verschiedenen Punkten schneidet. Das bedeutet, dass auch M´, das Bild des Punktes M, in der Ebene α´ liegt. Das Bild eines beliebigen Punktes der Ebene α liegt also in der Ebene α´. Analog wird bewiesen, dass das Urbild jedes Punktes der Ebene α´ in der Ebene α liegt. Also ist α´ das Bild der Ebene α.

Nun ist es nicht schwer, die Behauptung auch für die Halbebene zu beweisen. Man braucht nur die Halbebene zu einer Ebene zu vervollständigen, die die Halbebene begrenzende Linie a und ihr Bild a´ zu betrachten und dann durch Widerspruch zu beweisen, dass die Bilder von je zwei Punkten der Halbebene auf liegen dieselbe Seite von a´.

1. Folgt aus Eigenschaft 3.
2. Sie folgt aus Eigenschaft 4 und der Definition des Winkels zwischen Linien (einer Linie und einer Ebene, zwei Ebenen) im Raum.
3. Nehmen Sie das Gegenteil an, d.h. Lassen Sie die Bilder unserer parallelen Linien (eine Linie und eine Ebene, Ebenen) sich schneiden (im Fall von parallelen Linien muss noch gezeigt werden, dass ihre Bilder keine schiefen Linien sein können, aber dies folgt sofort aus der Tatsache, dass die Ebene enthält diese Linien gehen in eine Ebene über). Betrachten Sie dann ihren gemeinsamen Punkt. Es wird zwei Prototypen haben, was nach der Definition von Transformation unmöglich ist.

Definition. Figur F wird aufgerufen gleich Figur Ä´, wenn es eine Bewegung gibt, die Ä in Ä´ umwandelt.

Arten von Bewegungen.

3.1. Identitätstransformation.

Definition. Identitätstransformation E-Raum wird eine Transformation genannt, bei der jeder Punkt des Raums in sich selbst übergeht.

Offensichtlich ist die identische Transformation eine Bewegung.

3.2. Parallele Übertragung.

Definition. Gegeben sei ein Vektor im Raum. Parallele Übertragung Raum auf einen Vektor heißt eine Transformation, bei der jeder Punkt M auf einen Punkt M´ abgebildet wird, so dass .

Satz 3.2. Parallelübertragung - Bewegung.

Nachweisen. Seien А´, В´ die Bilder der Punkte А, В unter paralleler Übertragung auf den Vektor . Es genügt zu zeigen, dass AB=A´B´, was aus der Gleichheit folgt:

Eigentum übertragen. Paralleltranslation übersetzt eine Gerade (Ebene) in sich selbst oder in eine dazu parallele Gerade (Ebene).

Nachweisen. Beim Beweis von Theorem 3.2 haben wir bewiesen, dass Vektoren bei paralleler Translation erhalten bleiben. Das bedeutet, dass die Richtungsvektoren der Linien und die Normalenvektoren der Ebenen erhalten bleiben. Hier folgt unsere Behauptung.

zentrale Symmetrie.

Definition. Symmetrie bezüglich Punkt O ( zentrale Symmetrie) des Raums ist eine Raumtransformation, die einen Punkt O auf sich selbst abbildet und jeden anderen Punkt M auf einen Punkt M´ abbildet, so dass der Punkt O der Mittelpunkt der Strecke MM´ ist. Punkt O wird aufgerufen Zentrum der Symmetrie.

Satz 3.4. Zentrale Symmetrie - Bewegung.

Nachweisen.

Seien A, B zwei beliebige Punkte, A´, B´ ihre Bilder, О das Symmetriezentrum. Dann .

Eigenschaft der Zentralsymmetrie. Die Zentralsymmetrie nimmt eine Gerade (Ebene) in sich selbst oder in eine dazu parallele Gerade (Ebene) auf.

Nachweisen. Beim Beweis von Theorem 3.4 haben wir bewiesen, dass die Vektoren bei paralleler Translation umgekehrt werden. Das bedeutet, dass die Richtungsvektoren der Linien und die Normalenvektoren der Ebenen mit Zentralsymmetrie nur ihre Richtung ändern. Hier folgt unsere Behauptung.

Der Satz über die Bewegungszuweisung.

Satz 5.1. (Satz über Bewegungsspezifikation) Bei zwei Tetraedern ABCD und A´B´C´D´ mit jeweils gleichen Kanten gibt es eine und nur eine Raumbewegung, die die Punkte A, B, C, D jeweils auf die Punkte A´, B´, C´ abbildet, D´.

Nachweisen.

ICH. Existenz. Wenn A mit A´ übereinstimmt, B mit B´ übereinstimmt, C mit C´ übereinstimmt, D mit D´ übereinstimmt, dann ist einfach die Identitätstransformation gegeben. Wenn nicht, dann nehmen wir zur Bestimmtheit an, dass A nicht mit A´ übereinstimmt. Betrachten Sie die Symmetrieebene α der Punkte A und A´. Die Symmetrie S α nehme den Tetraeder ABCD in den Tetraeder A´B 1 C 1 D 1 .

Wenn nun В 1 mit В´, С 1 - mit С´, D 1 - mit D´ übereinstimmt, dann ist der Beweis vollständig. Wenn nicht, dann können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die Punkte В´ und В 1 nicht zusammengefallen sind. Betrachten Sie die Symmetrieebene β der Punkte B 1 und B´. Punkt A´ ist von den Punkten B1 und B´ gleich weit entfernt, liegt also auf der Ebene β. Die Symmetrie S β nehme den Tetraeder A´B 1 C 1 D 1 in den Tetraeder A´B´C 2 D 2 .

Wenn nun С 2 mit С´ übereinstimmt und D 2 mit D´ übereinstimmt, dann ist der Beweis vollständig. Wenn nicht, dann können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die Punkte С´ und С 2 nicht zusammengefallen sind. Betrachten Sie die Symmetrieebene γ der Punkte С 2 und С´. Die Punkte А´, В´ sind von den Punkten С 2 und С´ gleich weit entfernt, liegen also in der Ebene γ. Die Symmetrie S γ nehme den Tetraeder A´B´C 2 D 2 in den Tetraeder A´B´C´D 3 .

Stimmt nun D 3 mit D´ überein, so ist der Beweis vollständig. Wenn nicht, dann betrachte die Symmetrieebene δ der Punkte D 3 und D´. Die Punkte А´, В´, С´ sind von den Punkten D 3 und D´ gleich weit entfernt, liegen also in der Ebene δ. Die Symmetrie S δ bringt also den Tetraeder A´B´C´D 3 in den Tetraeder A´B´C´D´.

Somit verwandelt die Zusammensetzung der erforderlichen Anzahl von Spiegelsymmetrien reduziert den Tetraeder ABCD in den Tetraeder A´B´C´D´. Und diese Transformation ist eine Bewegung (Eigenschaft 2 von Bewegungen).

II. Einzigartigkeit. Es gebe 2 Bewegungen f und g, die A nach A´, B nach B´, C nach C´, D nach D´ führen. Dann ist die Bewegung eine identische Transformation, da lässt die Punkte A, B, C, D fixiert. Also f=g.

Im Beweis von Theorem 5.1 (Existenz) ist tatsächlich die

Satz 5.2. Jede Raumbewegung ist eine Komposition aus nicht mehr als vier Spiegelsymmetrien.

Homotheität des Raums.

Betrachten wir zunächst einen wichtigen Spezialfall der Ähnlichkeit, die Homothetie.

Definition. Homothetie mit Mittelpunkt O und Koeffizient ist eine Raumtransformation, bei der das Bild jedes Punktes X ein Punkt X´ ist, so dass .

Eigenschaften der Homothetie.

Eigentumsnachweise.

1 und 2. Folgen Sie aus der Definition von Homothetie.

3. Er wird ähnlich wie der entsprechende Satz in der Ebene bewiesen. In der Tat, wenn wir einen beliebigen Punkt X des Raums betrachten, wird es uns genügen, unseren Satz für die Ebene (AXB) zu beweisen.

4. Beweis durch Widerspruch.

1. Folgt aus Eigenschaft 1.

Ähnlichkeitseigenschaften.

Satz 2.1. Die Ähnlichkeit des Raumes lässt sich durch die Zusammensetzung von Homothetie und Bewegung f darstellen:

Nachweisen. Machen wir eine Homothetie, die an einem beliebigen Punkt zentriert ist. Betrachten Sie eine Transformation f derart, dass (die Existenz einer solchen Transformation folgt aus der Definition einer Transformation). Die Transformation f wird durch die Definition von Bewegung Bewegung sein.

Beachten Sie, dass wir durch die Wahl von f die Bewegung auch in dieser Form eine Darstellung unserer Ähnlichkeit erhalten können.

Ähnlichkeitseigenschaften.

Eigentumsnachweise.

1 und 2. Folgerungen aus Theorem 2.1.

3. Folgt aus der Definition der Ähnlichkeit.

4. Für den Würfel gilt der Satz offensichtlich. Natürlich auch für einen Körper aus Würfeln.

Einem kubischen Gitter kann ein beliebiges Polyeder M auferlegt werden. Wir werden dieses Gitter schleifen. Da die Seite eines Würfels unseres Gitters gegen Null geht, tendieren die Volumina zweier Körper: des Körpers I, bestehend aus Würfeln, die vollständig in M ​​liegen, und des Körpers S, bestehend aus Würfeln, die gemeinsame Punkte mit M haben, zum Volumen des Polyeders M (dies folgt aus der Tatsache, dass für jede Fläche unseres Polyeders M das Volumen der Würfel, die diese Fläche kreuzen, gegen Null tendiert). Gleichzeitig tendieren für das Bild M´ des Polyeders M mit unserer Ähnlichkeit die Volumina der Körper I´, S´ (die Bilder der Körper I, S) zum Volumen des Polyeders M´. Für die Körper I und S gilt unser Satz, was bedeutet, dass er auch für das Polyeder M gilt.

Das Volumen eines beliebigen Körpers wird durch die Volumina der entsprechenden Polyeder bestimmt, daher gilt der Satz auch für einen beliebigen Körper.

Satz 2.2. (beim Einstellen der Raumähnlichkeit) Sind zwei Tetraeder ABCD und A´B´C´D´ gegeben, so dass , dann gibt es genau eine Raumähnlichkeit, für die A→A´, B→B´, С→С´, D→D´.

Nachweisen. Dass eine solche Ähnlichkeit besteht, folgt aus Theorem 2.1 und dem Theorem zur Spezifikation der Raumbewegung (Teil I, Theorem 5.1). Es gebe zwei solche Transformationen: P und Р´. Dann ist die Transformation eine Bewegung mit Fixpunkten A, B, C, D, d.h. f ist die Identitätstransformation. Also P=P´.

Aufgabe 1.

Die Punkte M, N, P befinden sich auf den Seiten AB, BC, AC des Dreiecks ABC. Die Punkte M´, N´, P´ sind symmetrisch zu den Punkten M, N, P bezüglich der Seiten AB, BC, AC. Beweisen Sie, dass die Flächeninhalte der Dreiecke MNP und M´N´P´ gleich sind.

Entscheidung.

Für ein regelmäßiges Dreieck ist die Behauptung offensichtlich.

Ebenso kann jedes Trapez durch eine affine Transformation in ein gleichschenkliges umgewandelt werden, d.h. es genügt, jede affine Behauptung für ein gleichschenkliges Trapez zu beweisen.

Aufgabe 2.

In einem Trapez ABCD mit den Basen AD und BC wird eine Linie durch Punkt B gezogen, die parallel zur Seite CD verläuft und die Diagonale AC am Punkt P schneidet, und durch Punkt C eine Linie, die parallel zur Seite AB verläuft und die Diagonale BD am Punkt Q schneidet. Beweise diese Linie PQ ist parallel zum Trapez der Basis.

Entscheidung.

Für ein gleichschenkliges Trapez ist die Behauptung offensichtlich.

Komprimierung auf eine gerade Linie.

Definition. Komprimierung auf eine gerade Linieℓ mit einem Koeffizienten k () ist eine Transformation, die einen beliebigen Punkt M zu einem Punkt M´ bringt, so dass und , wobei .

Satz 2.1. Die Kontraktion auf eine gerade Linie ist eine affine Transformation.

Nachweisen. Durch eine direkte Kontrolle stellen wir sicher, dass die Gerade in eine Gerade übergeht. Sie können sogar feststellen, dass das Schrumpfen auf eine gerade Linie ein Sonderfall der Parallelprojektion ist (wenn die Projektionsrichtung senkrecht zur Schnittlinie der Ebenen ist).

Satz 2.2. Für jede affine Transformation gibt es ein quadratisches Gitter, das sich unter dieser Transformation in ein rechteckiges Gitter verwandelt.

Nachweisen. Nehmen wir einen beliebigen quadratischen Verband und betrachten eines seiner Quadrate als OABS. Mit unserer Transformation wird es zu einem Parallelogramm О´А´В´С´. Wenn O´A´B´C´ ein Rechteck ist, dann ist unser Beweis vollständig. Ansonsten nehmen wir zur Bestimmtheit an, dass der Winkel А´О´В´ spitz ist. Wir werden das quadratische OABS und unser gesamtes Gitter um den Punkt O drehen. Wenn das quadratische OABS eingeschaltet wird (also sich Punkt A zu Punkt B bewegt hat), geht Punkt A´ zu Punkt B´ und B´ zum Scheitelpunkt von Parallelogramm neben O´A´ W´S´. Jene. Winkel A´O´B´ wird stumpf. Nach dem Kontinuitätsprinzip war er irgendwann hetero. In diesem Moment verwandelte sich das quadratische OABS in ein Rechteck und unser Gitter in ein rechteckiges Gitter usw.

Satz 2.3. Eine affine Transformation kann durch eine Zusammensetzung aus Kontraktion zu einer geraden Linie und Ähnlichkeit dargestellt werden.

Nachweisen. Folgt aus Satz 2.2.

Satz 2.4. Eine affine Transformation, die einen bestimmten Kreis in einen Kreis verwandelt, ist eine Ähnlichkeit.

Nachweisen. Wir beschreiben ein Quadrat in der Nähe unseres Kreises und drehen es so, dass es bei unserer Transformation zu einem Rechteck wird (Theorem 2.2.). Unser Kreis geht in einen Kreis über, der in dieses Rechteck eingeschrieben ist, also ist dieses Rechteck ein Quadrat. Jetzt können wir das quadratische Gitter angeben, das unsere Transformation in ein quadratisches Gitter umwandeln wird. Offensichtlich ist unsere Transformation eine Ähnlichkeit.

3. Affine Transformationen des Raumes.

Definition. affin Eine Raumtransformation ist eine Raumtransformation, die jede Ebene in eine Ebene umwandelt.

Eigenschaften.

1. Bei einer affinen Transformation werden Geraden zu Geraden.
2. Eine affine Transformation des Raums induziert eine affine Abbildung jeder Ebene auf ihr Bild.
3. Bei einer affinen Transformation gehen parallele Ebenen (Geraden) in parallele Ebenen (Geraden) über.

Eigentumsnachweise.

1. Dies folgt aus der Tatsache, dass eine Gerade der Schnittpunkt zweier Ebenen ist, und aus der Definition einer affinen Transformation.
2. Es folgt aus der Definition einer affinen Transformation und Eigenschaft 1.
3. Für Ebenen wird es durch Widerspruch bewiesen, für Geraden - durch Eigenschaft 2 und die Eigenschaft der affinen Transformation der Ebene.

Satz 3.1. (bei Angabe einer affinen Raumtransformation) Für jeden gegebenen Tetraeder ABCD und A´B´C´D´ gibt es eine eindeutige affine Transformation, die A zu A´, B zu B´, C zu C´, D zu D´ bringt.

Nachweisen. Der Beweis ist ähnlich wie Satz 1.1. (Gitter aus Parallelepipeden werden konstruiert).

Aus dem Beweis von Theorem 3.1 folgt, dass wenn wir ein schiefes Koordinatensystem W haben und W´ sein Bild unter einer affinen Transformation ist, dann sind die Koordinaten eines beliebigen Raumpunktes im W-Koordinatensystem gleich den Koordinaten seines Koordinatensystems Bild im W´-Koordinatensystem.

Daraus folgt gleich noch einiges mehr Eigenschaften affine Transformation.

1. Eine affine Transformation ist affin.
2. Affine Transformationen bewahren die Verhältnisse der Längen paralleler Segmente.

Nun sei das Koordinatensystem (O, , , ) im Raum gegeben und die affine Transformation f führt O zu O´ bzw. die Basisvektoren zu den Vektoren , . Finden wir die Koordinaten x´, y´, z´ des Bildes M´(x´,y´,z´) des Punktes M(x,y,z) unter der Transformation f.

Wir gehen davon aus, dass der Punkt M im Koordinatensystem (О, , , ) die gleichen Koordinaten hat wie der Punkt М´ im Koordinatensystem (О´, , , ). Von hier

Daher haben wir Gleichheiten (*):

Auch das ist erwähnenswert , da die Vektoren , , sind linear unabhängig.

Diese Determinante heißt affine Transformationsdeterminante.

Satz 3.2. Die durch Gleichheiten (*) gegebene Transformation ist affin.

Nachweisen. Es genügt zu prüfen, ob die zur Transformation (*) inverse Transformation affin ist (Eigenschaft 4). Nehmen Sie eine beliebige Ebene Аx´+Вy´+Сz´+D=0, wobei А, В, С gleichzeitig nicht gleich Null sind. Durch Substitutionen (*) erhalten wir die Gleichung seines Urbildes:

Es bleibt nur noch zu prüfen, dass die Koeffizienten bei x, y, z in der resultierenden Gleichung nicht gleichzeitig gleich Null sind. Das stimmt, denn ansonsten das System

mit einer Determinante ungleich Null hätte nur eine Nulllösung: A=B=C=0, was nicht wahr ist.

Satz 3.3. Für die Volumina V und V´ der der affinen Transformation entsprechenden Körper besteht eine Abhängigkeit .

Nachweisen. Lassen Sie nicht-koplanare Vektoren , , eine Vektorbasis des Raums bilden, und lassen Sie die Vektoren , und . Wenn wir das gemischte Produkt dieser Vektoren berechnen, erhalten wir:

.

Nutzen wir die Tatsache, dass das Volumen eines orientierten Parallelepipeds, das auf Vektoren wie auf Kanten aufgebaut ist, gleich dem Mischprodukt dieser Vektoren ist:

,

wobei V 0 das Volumen des auf Basisvektoren aufgebauten Parallelepipeds ist.

Eine affine Transformation ändert die Koordinaten der entsprechenden Vektoren in den entsprechenden Basen nicht. Daher gilt für das Volumen V´ des Bildes des Parallelepipeds des Volumens V:

,

wo ist das Volumen eines Parallelepipeds, das auf Vektoren wie auf Kanten aufgebaut ist.

Von hier erhalten wir: . Weiter , also haben wir für unorientierte Volumes . Diese Gleichheit kann analog zum Eigenschaftsnachweis 4 der Ähnlichkeiten (Teil II, §2) auf alle Körper ausgedehnt werden.

Aufgabe.

Der Scheitelpunkt des Parallelepipeds ist mit den Mittelpunkten von drei Flächen verbunden, die ihn nicht enthalten. Finden Sie das Verhältnis des Volumens des resultierenden Tetraeders zum Volumen des gegebenen Parallelepipeds.

Entscheidung.

Lassen Sie uns dieses Verhältnis für einen Würfel berechnen, und nachdem wir den Würfel durch eine affine Transformation in ein Parallelepiped umgewandelt haben, verwenden wir die Tatsache, dass die affine Transformation das Verhältnis der Volumina beibehält. Für einen Würfel ist das Verhältnis einfach zu berechnen. Es ist gleich 1:12.

Antworten: 1:12.

Das Raumverhältnis.

Definition. Eine affine Transformation des Raumes mit einer Ebene von Fixpunkten heißt verwandte Transformation ρ (Verwandtschaft) und die Ebene ihrer Fixpunkte heißt Verwandtschaft Flugzeug. Elemente, die verwandt sind, werden aufgerufen verbunden.

Definition. Die Richtung von Linien, die verwandte Punkte verbinden, wird genannt Richtung der Verwandtschaft.

Verwandtschaftseigenschaften.

1. Verwandte Linien (Ebenen) schneiden sich auf der Verwandtschaftsebene oder sind parallel zu ihr.
2. (Korrektheit der Bestimmung der Verwandtschaftsrichtung) Geraden, die jeweils zwei zusammengehörige Punkte verbinden, sind parallel.
3. Wenn die Beziehungsrichtung nicht parallel zur Ebene dieser Beziehung ist, dann wird jedes Segment, das zwei verbundene Punkte verbindet, durch die Beziehungsebene im gleichen Verhältnis geteilt.
4. Jede Ebene parallel zur Verwandtschaftsrichtung ist in dieser Verwandtschaft bewegungslos. Darin wird die Beziehung der Ebene induziert (eine affine Transformation, die eine Linie von Fixpunkten hat, die als Beziehungsachse bezeichnet wird), deren Achse die Linie ihres Schnitts mit der Ebene der gegebenen Raumbeziehung ist.

Eigentumsnachweise.

1. Der Beweis ist ähnlich dem Beweis der Spiegelsymmetrieeigenschaft (Teil I, §3.5).

2. Seien A, B zwei verschiedene Punkte; A´, B´ sind ihre Beziehungsbilder, α ist die Beziehungsebene. Lassen . Dann (eine Eigenschaft einer affinen Transformation), d.h. AA´||BB´ usw.

3 und 4. Folge aus dem Eigentumsnachweis 2.

Definition. Die durch die Gleichung dargestellte Oberfläche , wird genannt Ellipsoid. Ein Spezialfall eines Ellipsoids ist eine Kugel.

Es tritt folgende Tatsache auf, die wir nicht beweisen werden, aber im Beweis der folgenden Sätze benötigen wir sie:

Satz 4.1. Eine affine Transformation transformiert ein Ellipsoid in ein Ellipsoid.

Satz 4.2. Eine beliebige affine Transformation des Raumes kann durch eine Zusammensetzung aus Ähnlichkeit und Verwandtschaft dargestellt werden.

Nachweisen. Eine affine Transformation f bilde die Kugel σ auf das Ellipsoid σ´ ab. Aus Satz 3.1 folgt, dass f durch diese Zahlen gegeben werden kann. Betrachten Sie eine Ebene α´, die den Mittelpunkt des Ellipsoids enthält und ihn entlang eines Kreises ω´ schneidet (die Existenz einer solchen Ebene kann leicht durch Kontinuitätsüberlegungen bewiesen werden). Sei α das Urbild von α´, das Urbild von ω´ und β die Kugel mit dem Kreis ω´ als Diametralkreis. Es gibt eine Beziehung ρ, die β auf σ´ abbildet, und es gibt eine Ähnlichkeit P, die σ auf β abbildet. Dann ist die erforderliche Darstellung.

Satz 4.3 folgt unmittelbar aus dem Beweis des vorigen Satzes:

Satz 4.3. Eine affine Transformation, die die Sphäre bewahrt, ist eine Ähnlichkeit.

Teil IV. Projektive Transformationen.

1. Projektive Transformationen der Ebene.

Definition. Projektive Ebene– eine gewöhnliche (euklidische) Ebene, ergänzt durch Punkte im Unendlichen und eine gerade Linie im Unendlichen, auch genannt ungeeignete Elemente. In diesem Fall wird jede Gerade durch einen unechten Punkt ergänzt, die gesamte Ebene - durch eine uneigentliche Gerade; parallele Linien werden durch einen gemeinsamen unechten Punkt ergänzt, nicht parallel - durch verschiedene; uneigentliche Punkte, die alle möglichen Linien der Ebene ergänzen, gehören zur uneigentlichen Linie.

Definition. Eine projektive Ebenentransformation, die eine beliebige Linie in eine Linie bringt, wird aufgerufen projektiv.

Folge. Eine projektive Transformation, die die Linie im Unendlichen bewahrt, ist affin; Jede affine Transformation ist projektiv und bewahrt die Linie im Unendlichen.

Definition. zentrale Gestaltung die Ebene α auf die Ebene β zentriert in einem Punkt O, der nicht auf diesen Ebenen liegt, wird eine Abbildung genannt, die jeden Punkt A der Ebene α mit dem Punkt A´ des Schnittpunkts der Linie OA mit der Ebene β verbindet.

Wenn die Ebenen α und β nicht parallel sind, dann gibt es außerdem in der Ebene α eine Linie l, so dass die Ebene, die durch den Punkt O und die Linie l verläuft, parallel zu der Ebene β ist. Wir nehmen an, dass ℓ während unserer Projektion zu der Linie im Unendlichen der Ebene β geht (in diesem Fall geht jeder Punkt B der Linie ℓ zu dem Punkt der Linie im Unendlichen, der die geraden Linien parallel zu OB ergänzt). In der Ebene β gibt es eine Linie ℓ´, so dass die Ebene, die durch den Punkt O und die Linie ℓ´ verläuft, parallel zur Ebene α ist. Wir betrachten ℓ´ als Bild der Geraden α im Unendlichen. Die Zeilen ℓ und ℓ´ werden aufgerufen engagiert.

Wir können sagen, dass eine einfache Transformation der projektiven Ebene gegeben ist (wenn wir die Ebenen α und β kombinieren).

Das folgt sofort aus der Definition zentrale Projektionseigenschaften:

1. Zentrales Design ist eine projektive Transformation.
2. Die zum zentralen Design inverse Transformation ist das zentrale Design mit dem gleichen Zentrum.
3. Linien parallel zu den ausgewählten werden parallel.

Definition. Lassen Sie die Punkte A, B, C, D auf derselben Linie liegen. Doppelte Haltung(AB; CD) dieser Punkte wird als Wert bezeichnet. Liegt einer der Punkte im Unendlichen, so können die Längen der Segmente, deren Ende dieser Punkt ist, verkürzt werden.

Satz 1.1. Die zentrale Projektion bewahrt die duale Beziehung.

Nachweisen. Sei О das Projektionszentrum, А, В, С, D – vier Punkte, die auf einer Geraden liegen, A´, B´, C´, D´ – ihre Bilder.

Ähnlich .

Teilen wir eine Gleichung durch die andere, erhalten wir .

In ähnlicher Weise erhalten wir anstelle von Punkt C unter Berücksichtigung von Punkt D .

Von hier , d.h. .

Zur Vervollständigung des Beweises bleibt noch anzumerken, dass alle Segmente, Flächen und Winkel als orientiert betrachtet werden können.

Satz 1.2. Gegeben seien vier Punkte A, B, C, D der Ebene π, die nicht auf einer Geraden liegen, und vier Punkte M, N, P, Q der Ebene π´, die nicht auf einer Geraden liegen. Dann gibt es eine Zusammensetzung aus zentraler (paralleler) Projektion und Ähnlichkeit, die A auf M, B auf N, C auf P, D auf Q abbildet.

Nachweisen.

Der Einfachheit halber werden wir sagen, dass ABCD und MNPQ Vierecke sind, obwohl dies eigentlich nicht notwendig ist (z. B. können sich die Segmente AB und CD schneiden). Aus dem Beweis geht hervor, dass wir nirgends verwenden, dass die Punkte A, B, C, D und M, N, P, Q in dieser Reihenfolge Vierecke bilden.

.

Zeichnen wir nun Linien AK, BL, CF, DG durch die Punkte A, B, C, D parallel zu X 1 X 2 (K, L liegen auf DC; G, F liegen auf AB) und durch die Punkte N, M - Leitungen NT , MS parallel zu Y 1 Y 2 (T, S liegen auf PQ). Mit der zentralen (Parallel-)Projektion f transformieren wir das Trapez ABLK in das Trapez A´B´L´K´ der Ebene π´, das dem Trapez MNTS ähnlich ist (dies ist nach Teil I unseres Beweises möglich) . Außerdem folgt aus der Wahl der Punkte X 1 , X 2 , dass die Linie X 1 X 2 eine ausgezeichnete Linie der Ebene π´ ist. Markieren wir die Punkte С´, D´ auf der Linie L´K´ so, dass das Trapez ABCD dem Trapez A´B´C´D´ ähnlich ist. Zeichne Linien C´F´, D´G´ parallel zur Linie B´L´ (F´, G´ liegen auf А´В´) und markiere einen Punkt Y 1 ´ auf Linie A´B´ so dass , . Markieren Sie auf der Linie C´D´ einen Punkt Y 2 ´ so dass Y 1 ´Y 2 ´||A´K´ (siehe Abbildung). Aus der Wahl der Punkte Y 1 ´ und Y 2 ´ folgt, dass die Gerade Y 1 ´ Y 2 ´ eine ausgezeichnete Gerade der Ebene π´ ist. Unter der Transformation f geht der Punkt E zum Punkt E´ des Schnittpunktes der Geraden A´B´ und L´K´. Der Punkt С geht zu einem Punkt С 0 ´ der Geraden С´D´.

Beweisen wir, dass С 0 mit С´ übereinstimmt. Aus der Tatsache, dass X 2 unter der Transformation f zum Unendlichkeitspunkt der Geraden C´D´ geht, und Y 2 ´ das Bild des Unendlichkeitspunktes der Geraden CD ist und die Zentralprojektion doppelte Relationen wahrt, folgt das , wo . Betrachten Sie nun die Transformation g, die Zusammensetzung der Zentralprojektion und Ähnlichkeit, die das Trapez CDGF zum Trapez C´D´G´F´ führt. Für die Transformation g kann man das ähnlich zeigen . Daraus folgt, dass die Punkte С 0 und С´ zusammenfallen. Ebenso kann man zeigen, dass D 0 - das Bild des Punktes D unter der Transformation f - mit D´ zusammenfällt. Die Transformation f transformiert also wie gefordert das Viereck ABCD in das Viereck A´B´C´D´ ähnlich dem Viereck MNPQ.

Satz 1.3. Gegeben seien vier Punkte, von denen keine drei auf derselben Geraden liegen: A, B, C, D und A´, B´, C´, D´. Dann gibt es eine eindeutige projektive Transformation, die A zu A´, B zu B´, C zu C´, D zu D´ führt.

Existenz eine solche Transformation folgt aus Satz 1.1.

Einzigartigkeit kann auf die gleiche Weise bewiesen werden wie die Eindeutigkeit einer affinen Transformation (Theorem 1.1, Teil III): Betrachten Sie ein quadratisches Gitter, bauen Sie sein Bild auf und verfeinern Sie es dann. Umgehen Sie die Schwierigkeiten, mit denen wir konfrontiert waren

Der Satz über die Bewegung des Massenschwerpunktes.

In einigen Fällen reicht es aus, das Bewegungsgesetz seines Massenschwerpunkts zu kennen, um die Art der Bewegung eines Systems (insbesondere eines starren Körpers) zu bestimmen. Wenn Sie zum Beispiel einen Stein auf ein Ziel werfen, müssen Sie überhaupt nicht wissen, wie er während des Fluges taumeln wird, es ist wichtig festzustellen, ob er das Ziel treffen wird oder nicht. Dazu genügt es, die Bewegung eines Punktes dieses Körpers zu betrachten.

Um dieses Gesetz zu finden, wenden wir uns den Bewegungsgleichungen des Systems zu und addieren deren linken und rechten Teil Term für Term. Dann bekommen wir:

Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichheit transformieren. Aus der Formel für den Radiusvektor des Massenmittelpunkts haben wir:

Wenn wir von beiden Teilen dieser Gleichheit die zweite zeitliche Ableitung nehmen und feststellen, dass die Ableitung der Summe gleich der Summe der Ableitungen ist, finden wir:

wo ist die Beschleunigung des Massenmittelpunkts des Systems. Da je nach Eigenschaft die inneren Kräfte des Systems , Wenn wir dann alle gefundenen Werte ersetzen, erhalten wir schließlich:

Die Gleichung und drückt den Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts des Systems aus: das Produkt aus der Masse des Systems und der Beschleunigung seines Massenschwerpunkts ist gleich der geometrischen Summe aller auf das System einwirkenden äußeren Kräfte. Durch Vergleich mit der Bewegungsgleichung eines materiellen Punktes erhalten wir einen weiteren Ausdruck des Satzes: der Massenmittelpunkt des Systems bewegt sich als materieller Punkt, dessen Masse gleich der Masse des gesamten Systems ist und auf den alle auf das System einwirkenden äußeren Kräfte wirken.

Wenn wir beide Seiten der Gleichheit auf die Koordinatenachsen projizieren, erhalten wir:

Diese Gleichungen sind Differentialgleichungen der Bewegung des Massenschwerpunkts in Projektionen auf die Achsen des kartesischen Koordinatensystems.

Die Bedeutung des bewiesenen Satzes ist wie folgt.

1) Der Satz liefert eine Rechtfertigung für die Methoden der Punktdynamik. Aus den Gleichungen ist ersichtlich, dass die Lösungen, die wir erhalten, wenn wir den gegebenen Körper als materiellen Punkt betrachten, bestimmen das Bewegungsgesetz des Massenschwerpunkts dieses Körpers, jene. haben eine ganz bestimmte Bedeutung.

Bewegt sich der Körper insbesondere nach vorne, so wird seine Bewegung vollständig durch die Bewegung des Massenmittelpunkts bestimmt. Somit kann ein sich fortschreitend bewegender Körper immer als ein materieller Punkt betrachtet werden, dessen Masse gleich der Masse des Körpers ist. In anderen Fällen kann der Körper nur dann als materieller Punkt betrachtet werden, wenn es in der Praxis zur Bestimmung der Position des Körpers ausreicht, die Position seines Massenschwerpunkts zu kennen.

2) Der Satz erlaubt es, bei der Bestimmung des Bewegungsgesetzes des Massenschwerpunktes eines beliebigen Systems alle bisher unbekannten inneren Kräfte von der Berücksichtigung auszuschließen. Das ist sein praktischer Wert.

Die Bewegung eines Autos in einer horizontalen Ebene kann also nur unter Einwirkung äußerer Kräfte erfolgen, wobei Reibungskräfte von der Straßenseite auf die Räder wirken. Und das Bremsen des Autos ist auch nur durch diese Kräfte möglich und nicht durch Reibung zwischen den Bremsbelägen und der Bremstrommel. Wenn die Straße glatt ist, egal wie stark die Räder bremsen, rutschen sie und halten das Auto nicht an.

Oder nach der Explosion eines fliegenden Projektils (unter dem Einfluss innerer Kräfte) werden seine Fragmente zerstreut, so dass sich ihr Massenschwerpunkt auf derselben Flugbahn bewegt.

Der Satz über die Bewegung des Massenmittelpunkts eines mechanischen Systems soll verwendet werden, um Probleme in der Mechanik zu lösen, die Folgendes erfordern:

Bestimmen Sie anhand der auf ein mechanisches System (meistens auf einen festen Körper) ausgeübten Kräfte das Bewegungsgesetz des Massenschwerpunkts;

Finden Sie nach dem gegebenen Bewegungsgesetz der im mechanischen System enthaltenen Körper die Reaktionen auf äußere Zwänge;

Bestimmen Sie auf der Grundlage der gegebenen gegenseitigen Bewegung der im mechanischen System enthaltenen Körper das Bewegungsgesetz dieser Körper relativ zu einem festen Bezugsrahmen.

Mit diesem Satz lässt sich eine der Bewegungsgleichungen eines mechanischen Systems mit mehreren Freiheitsgraden aufstellen.

Bei der Lösung von Problemen werden häufig die Konsequenzen des Satzes auf die Bewegung des Massenschwerpunkts eines mechanischen Systems verwendet.

Korollar 1. Wenn der Hauptvektor äußerer Kräfte, die auf ein mechanisches System einwirken, gleich Null ist, dann befindet sich der Massenmittelpunkt des Systems in Ruhe oder bewegt sich gleichmäßig und geradlinig. Da die Beschleunigung des Massenschwerpunktes Null ist, ist .

Korollar 2. Wenn die Projektion des Hauptvektors der äußeren Kräfte auf eine beliebige Achse gleich Null ist, ändert der Massenmittelpunkt des Systems entweder seine Position relativ zu dieser Achse nicht oder bewegt sich gleichmäßig relativ zu ihr.

Wenn beispielsweise zwei Kräfte auf den Körper wirken und ein Kräftepaar bilden (Abb. 38), dann der Schwerpunkt Mit es wird sich entlang der gleichen Bahn bewegen. Und der Körper selbst dreht sich um den Massenmittelpunkt. Und es spielt keine Rolle, wo ein paar Kräfte wirken.

Übrigens haben wir in der Statik bewiesen, dass die Wirkung eines Paares auf einen Körper nicht davon abhängt, wo es angebracht wird. Hier haben wir gezeigt, dass die Drehung des Körpers um die Mittelachse erfolgt Mit.

Abb.38

Satz über die Änderung des kinetischen Moments.

Kinetisches Moment eines mechanischen Systems bezogen auf einen festen Mittelpunkt Ö ist ein Maß für die Bewegung des Systems um dieses Zentrum. Bei der Lösung von Problemen wird normalerweise nicht der Vektor selbst verwendet, sondern seine Projektionen auf die Achsen eines festen Koordinatensystems, die als kinetische Momente um die Achse bezeichnet werden. Zum Beispiel - das kinetische Moment des Systems relativ zur festen Achse Unze .

Das kinetische Moment eines mechanischen Systems ist die Summe der kinetischen Momente der in diesem System enthaltenen Punkte und Körper. Betrachten Sie Methoden zur Bestimmung des Drehimpulses eines materiellen Punktes und eines starren Körpers in verschiedenen Fällen ihrer Bewegung.

Für einen materiellen Punkt mit einer Masse, die eine Geschwindigkeit hat, der Drehimpuls um eine Achse Unze ist definiert als das Moment des Impulsvektors dieses Punktes um die gewählte Achse:

Der Drehimpuls eines Punktes wird als positiv angesehen, wenn die Bewegung des Punktes von der Seite der positiven Achsenrichtung im Gegenuhrzeigersinn erfolgt.

Wenn ein Punkt eine komplexe Bewegung ausführt, sollte zur Bestimmung seines Drehimpulses der Impulsvektor als Summe der Größen der relativen und tragbaren Bewegung betrachtet werden (Abb. 41).

Aber , wo ist der Abstand vom Punkt zur Rotationsachse, und

Reis. 41

Die zweite Komponente des Drehimpulsvektors kann wie das Kraftmoment um die Achse definiert werden. Wie beim Kraftmoment ist der Wert Null, wenn der Relativgeschwindigkeitsvektor in der gleichen Ebene liegt wie die translatorische Rotationsachse.

Der Impuls eines starren Körpers relativ zu einem festen Mittelpunkt kann als Summe zweier Komponenten definiert werden: Die erste charakterisiert den translatorischen Anteil der Bewegung des Körpers zusammen mit seinem Massenmittelpunkt, die zweite charakterisiert die Bewegung des Systems um den Masseschwerpunkt:

Führt der Körper eine Translationsbewegung aus, so ist die zweite Komponente gleich Null

Das kinetische Moment eines starren Körpers wird am einfachsten berechnet, wenn er sich um eine feste Achse dreht

wo ist das Trägheitsmoment des Körpers um die Drehachse.

Der Satz über die Änderung des Drehimpulses eines mechanischen Systems, wenn es sich um einen festen Mittelpunkt bewegt, wird wie folgt formuliert: die Gesamtzeitableitung des Drehimpulsvektors eines mechanischen Systems in Bezug auf einen festen Mittelpunkt Ö in Größe und Richtung ist gleich dem Hauptmoment der äußeren Kräfte, die auf das mechanische System einwirken und relativ zum gleichen Zentrum definiert sind

wo - das Hauptmoment aller äußeren Kräfte um das Zentrum Ö.

Bei der Lösung von Problemen, bei denen angenommen wird, dass sich Körper um eine feste Achse drehen, verwenden sie den Satz über die Änderung des Drehimpulses relativ zu einer festen Achse

Wie für den Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts hat der Satz über die Änderung des Drehimpulses Konsequenzen.

Korollar 1. Wenn das Hauptmoment aller äußeren Kräfte relativ zu einem festen Zentrum gleich Null ist, dann bleibt das kinetische Moment des mechanischen Systems relativ zu diesem Zentrum unverändert.

Korollar 2. Wenn das Hauptmoment aller äußeren Kräfte um eine feste Achse gleich Null ist, dann bleibt das kinetische Moment des mechanischen Systems um diese Achse unverändert.

Der Impulsänderungssatz wird zur Lösung von Problemen verwendet, bei denen die Bewegung eines mechanischen Systems betrachtet wird, das aus einem zentralen Körper besteht, der sich um eine feste Achse dreht, und einem oder mehreren Körpern, deren Bewegung mit dem zentralen verbunden ist mit Fäden durchgeführt werden, können sich Körper aufgrund innerer Kräfte entlang der Oberfläche des Zentralkörpers oder in seinen Kanälen bewegen. Mit diesem Satz kann man die Abhängigkeit des Rotationsgesetzes des zentralen Körpers von der Position oder Bewegung der übrigen Körper bestimmen.