Erste Ableitung Wenn die Ableitung einer Funktion in einem Intervall positiv (negativ) ist, dann ist die Funktion in diesem Intervall monoton steigend (monoton fallend). Wenn die Ableitungsfunktion in einem bestimmten Intervall positiv (negativ) ist, dann ist die Funktion in diesem Intervall monoton steigend (monoton fallend). Weiter

Definition Eine Kurve heißt an einem Punkt konvex, wenn sie in einer Umgebung dieses Punktes unter ihrer Tangente an einem Punkt liegt. Eine Kurve heißt an einem Punkt konvex, wenn sie in einer Umgebung dieses Punktes an einem Punkt unter ihrer Tangente liegt , sie befindet sich in einem Punkt über ihrer Tangente. Eine Kurve heißt in einem Punkt konkav, wenn sie in einer Umgebung dieses Punktes in einem Punkt über ihrer Tangente liegt

Vorzeichen von Konkavität und Konvexität Wenn die zweite Ableitung einer Funktion in einem bestimmten Intervall positiv ist, dann ist die Kurve in diesem Intervall konkav, und wenn sie negativ ist, ist sie in diesem Intervall konvex. Wenn die zweite Ableitung einer Funktion in einem bestimmten Intervall positiv ist, dann ist die Kurve in diesem Intervall konkav, und wenn sie negativ ist, ist sie in diesem Intervall konvex. Definition

Planen Sie, die Funktion zu untersuchen und ihren Graphen zu konstruieren. 1. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion und bestimmen Sie die Bruchpunkte, falls vorhanden. 1. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion und bestimmen Sie die Bruchpunkte, falls vorhanden. 2. Finden Sie heraus, ob die Funktion gerade ist oder ungerade; überprüfen Sie ihre Periodizität 2. Finden Sie heraus, ob die Funktion gerade oder ungerade ist; überprüfen Sie seine Periodizität 3. Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen 3. Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen 4. Finden Sie die kritischen Punkte der 1. Art 4. Finden Sie die kritischen Punkte der 1. Art Art 5. Bestimmen Sie die Intervalle der Monotonie und Extrema der Funktion 5. Bestimmen Sie die Intervalle der Monotonie und Extrema der Funktion 6. Bestimmen Sie die Intervalle der Konvexität und Konkavität und finden Sie Wendepunkte 6. Bestimmen Sie die Intervalle der Konvexität und Konkavität und finden Sie Wendepunkte 7 Verbinden Sie anhand der Ergebnisse der Studie die erhaltenen Punkte einer glatten Kurve 7. Verbinden Sie anhand der Ergebnisse der Studie die erhaltenen Punkte einer glatten Kurve

Was ist ein Derivat?
Definition und Bedeutung der Ableitung einer Funktion

Viele werden von der unerwarteten Stelle dieses Artikels im Kurs meines Autors über die Ableitung einer Funktion einer Variablen und ihre Anwendungen überrascht sein. Immerhin, wie es aus der Schule war: Ein Standard-Lehrbuch gibt zunächst einmal eine Definition einer Ableitung, ihrer geometrischen, mechanischen Bedeutung. Als nächstes finden die Schüler Ableitungen von Funktionen per Definition, und tatsächlich wird nur dann die Ableitungstechnik perfektioniert Ableitungstabellen.

Pragmatischer ist aus meiner Sicht aber folgender Ansatz: Zunächst einmal empfiehlt es sich, GUT ZU VERSTEHEN Funktionsgrenze, und speziell unendlich klein. Die Sache ist die Die Definition des Derivats basiert auf dem Konzept einer Grenze, die im Schulunterricht kaum berücksichtigt wird. Aus diesem Grund dringt ein erheblicher Teil der jungen Konsumenten von Granitwissen schlecht in die Essenz des Derivats ein. Wenn Sie sich also nicht mit Differentialrechnung auskennen oder sich der kluge Kopf dieses Ballasts im Laufe der Jahre erfolgreich entledigt hat, beginnen Sie bitte mit Funktionsgrenzen. Gleichzeitig meistern / erinnern Sie sich an ihre Entscheidung.

Der gleiche praktische Sinn legt nahe, dass es zuerst profitabel ist lernen, Derivate zu finden, einschließlich Ableitungen komplexer Funktionen. Theorie ist Theorie, aber man will ja immer differenzieren. Diesbezüglich ist es besser, die aufgeführten Grundlektionen zu erarbeiten und vielleicht zu werden Meister der Differenzierung ohne die Essenz ihres Handelns überhaupt zu erkennen.

Ich empfehle, mit den Materialien auf dieser Seite zu beginnen, nachdem Sie den Artikel gelesen haben. Die einfachsten Probleme mit einem Derivat, wobei insbesondere das Problem der Tangente an den Funktionsgraphen betrachtet wird. Aber es kann sich verzögern. Tatsache ist, dass viele Anwendungen der Ableitung kein Verständnis erfordern, und es ist nicht verwunderlich, dass die theoretische Lektion ziemlich spät erschien – als ich sie erklären musste Auffinden von Anstiegs-/Abnahmeintervallen und Extrema Funktionen. Außerdem war er ziemlich lange in dem Thema " Funktionen und Graphen“, bis ich beschloss, es früher einzulegen.

Deshalb, liebe Teekannen, beeilen Sie sich nicht, die Essenz des Derivats wie hungrige Tiere aufzunehmen, da die Sättigung geschmacklos und unvollständig sein wird.

Das Konzept des Erhöhens, Verringerns, Maximums, Minimums einer Funktion

Viele Tutorials führen mit Hilfe einiger praktischer Probleme zum Konzept eines Derivats, und ich habe auch ein interessantes Beispiel gefunden. Stellen Sie sich vor, wir müssten in eine Stadt reisen, die auf verschiedenen Wegen zu erreichen ist. Wir verwerfen sofort die gekrümmten gewundenen Pfade und betrachten nur gerade Linien. Aber auch die direkte Anfahrt ist anders: Die Stadt ist auf einer ebenen Autobahn zu erreichen. Oder auf einer hügeligen Autobahn – auf und ab, auf und ab. Eine andere Straße geht nur bergauf, und eine andere geht die ganze Zeit bergab. Abenteuerlustige wählen eine Route durch die Schlucht mit einer steilen Felswand und einem steilen Anstieg.

Aber was auch immer Ihre Vorlieben sind, es ist wünschenswert, das Gebiet zu kennen oder zumindest eine topografische Karte davon zu haben. Was ist, wenn es keine solchen Informationen gibt? Immerhin kann man zum Beispiel einen flachen Weg wählen, stolpert dabei aber über eine Skipiste mit lustigen Finnen. Nicht die Tatsache, dass der Navigator und sogar ein Satellitenbild zuverlässige Daten liefern. Daher wäre es schön, die Entlastung des Weges mathematisch zu formalisieren.

Betrachten Sie eine Straße (Seitenansicht):

Für alle Fälle erinnere ich Sie an eine elementare Tatsache: Die Reise findet statt von links nach rechts. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die Funktion kontinuierlich im betrachteten Bereich.

Was sind die Merkmale dieses Diagramms?

In Intervallen Funktion erhöht sich, das heißt, jeder von seinem nächsten Wert mehr Der vorherige. Grob gesagt geht der Zeitplan runter nach oben(wir besteigen den Hügel). Und auf dem Intervall die Funktion sinkt- jeder nächste Wert kleiner der vorherige, und unser Zeitplan geht von oben nach unten(geht den Abhang hinunter).

Achten wir auch auf besondere Punkte. An dem Punkt, an dem wir ankommen maximal, also existieren ein solcher Abschnitt des Pfades, auf dem der Wert am größten (höchsten) sein wird. An der gleichen Stelle, Minimum, und existieren so seine Nachbarschaft, in der der Wert am kleinsten (niedrigsten) ist.

Strengere Terminologie und Definitionen werden in der Lektion berücksichtigt. über die Extrema der Funktion, aber lassen Sie uns jetzt ein weiteres wichtiges Merkmal untersuchen: die Intervalle die Funktion nimmt zu, aber sie nimmt zu bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Und das erste, was auffällt, ist, dass der Chart im Intervall nach oben steigt viel cooler als im Intervall. Ist es möglich, die Steilheit der Straße mit mathematischen Mitteln zu messen?

Funktionsänderungsrate

Die Idee ist folgende: Nehmen Sie etwas Wert (lesen Sie "Delta x"), die wir anrufen werden Argumenterhöhung, und beginnen wir mit dem "Anprobieren" an verschiedenen Punkten unseres Weges:

1) Betrachten wir den Punkt ganz links: Unter Umgehung der Distanz steigen wir den Hang bis zu einer Höhe (grüne Linie) hinauf. Der Wert wird aufgerufen Funktionsinkrement, und in diesem Fall ist dieses Inkrement positiv (die Differenz der Werte entlang der Achse ist größer als Null). Machen wir das Verhältnis , das das Maß für die Steilheit unserer Straße sein wird. Offensichtlich ist eine sehr spezifische Zahl, und da beide Inkremente positiv sind, dann .

Beachtung! Bezeichnung sind EIN Symbol, das heißt, Sie können das „Delta“ nicht vom „x“ „abreißen“ und diese Buchstaben separat betrachten. Der Kommentar gilt natürlich auch für das Inkrementsymbol der Funktion.

Lassen Sie uns die Art des resultierenden Bruchs aussagekräftiger untersuchen. Angenommen, wir befinden uns zunächst in einer Höhe von 20 Metern (im linken schwarzen Punkt). Nachdem wir die Entfernung von Metern (linke rote Linie) überwunden haben, befinden wir uns auf einer Höhe von 60 Metern. Dann wird das Inkrement der Funktion sein Meter (grüne Linie) und: . Auf diese Weise, auf jedem Meter diesen Straßenabschnitt Höhe nimmt zu im mittleren um 4 Meter… hast du deine Kletterausrüstung vergessen? =) Mit anderen Worten, das konstruierte Verhältnis charakterisiert die DURCHSCHNITTLICHE ÄNDERUNGSRATE (in diesem Fall das Wachstum) der Funktion.

Notiz : Die Zahlenwerte des betreffenden Beispiels entsprechen nur annähernd den Proportionen der Zeichnung.

2) Lassen Sie uns nun die gleiche Entfernung vom schwarzen Punkt ganz rechts gehen. Hier ist der Anstieg sanfter, daher ist die Schrittweite (rote Linie) relativ klein, und das Verhältnis im Vergleich zum vorherigen Fall wird ziemlich bescheiden sein. Relativ gesehen, Meter und Funktionswachstumsrate ist . Das heißt, hier für jeden Meter der Straße gibt es im mittleren einen halben Meter hoch.

3) Ein kleines Abenteuer am Berghang. Schauen wir uns den oberen schwarzen Punkt auf der y-Achse an. Nehmen wir an, dass dies eine Marke von 50 Metern ist. Wieder überwinden wir die Distanz, wodurch wir uns niedriger befinden - auf einer Höhe von 30 Metern. Da wurde die Bewegung gemacht von oben nach unten(in der "entgegengesetzten" Richtung der Achse), dann das Finale das Inkrement der Funktion (Höhe) wird negativ sein: Meter (braune Linie in der Zeichnung). Und in diesem Fall sprechen wir über Zerfallsrate Merkmale: , das heißt, für jeden Meter des Weges dieses Abschnitts nimmt die Höhe ab im mittleren um 2 Meter. Achten Sie beim fünften Punkt auf die Kleidung.

Stellen wir uns nun die Frage: Was ist der beste Wert für "Messstandard"? Es ist klar, dass 10 Meter sehr grob sind. Ein gutes Dutzend Beulen passen problemlos darauf. Warum gibt es Unebenheiten, es kann eine tiefe Schlucht darunter sein, und nach ein paar Metern - seine andere Seite mit einem weiteren steilen Anstieg. Mit einem Zehn-Meter-Wert erhalten wir daher keine verständliche Eigenschaft solcher Abschnitte des Pfades durch das Verhältnis.

Aus der obigen Diskussion folgt folgende Schlussfolgerung: desto kleiner der Wert, desto genauer werden wir das Relief der Straße beschreiben. Darüber hinaus sind die folgenden Tatsachen wahr:

– Für alle Hebepunkte Sie können einen Wert (wenn auch einen sehr kleinen) wählen, der in die Grenzen des einen oder anderen Anstiegs passt. Und das bedeutet, dass das entsprechende Höheninkrement garantiert positiv ist und die Ungleichung das Wachstum der Funktion an jedem Punkt dieser Intervalle korrekt anzeigt.

- Ebenfalls, für alle Steigungspunkt, gibt es einen Wert, der vollständig auf diese Steigung passt. Daher ist die entsprechende Höhenzunahme eindeutig negativ, und die Ungleichung zeigt die Abnahme der Funktion an jedem Punkt des angegebenen Intervalls korrekt an.

– Von besonderem Interesse ist der Fall, wenn die Änderungsrate der Funktion Null ist: . Erstens ist ein Höheninkrement von Null () ein Zeichen für einen geraden Pfad. Und zweitens gibt es noch andere merkwürdige Situationen, Beispiele dafür sehen Sie in der Abbildung. Stellen Sie sich vor, das Schicksal hat uns auf die Spitze eines Hügels mit hochfliegenden Adlern oder auf den Grund einer Schlucht mit quakenden Fröschen geführt. Wenn Sie einen kleinen Schritt in eine beliebige Richtung machen, ist die Höhenänderung vernachlässigbar, und wir können sagen, dass die Änderungsrate der Funktion tatsächlich Null ist. Das gleiche Muster wird an einigen Stellen beobachtet.

Somit haben wir uns einer erstaunlichen Gelegenheit genähert, die Änderungsrate einer Funktion vollkommen genau zu charakterisieren. Schließlich erlaubt uns die mathematische Analyse, das Inkrement des Arguments auf Null zu lenken, das heißt, es zu machen unendlich klein.

Infolgedessen stellt sich eine weitere logische Frage: Ist es möglich, die Straße und ihren Zeitplan zu finden? eine andere Funktion, welche würde es uns sagenüber alle Ebenen, Anstiege, Abfahrten, Gipfel, Niederungen sowie die Anstiegs- / Abfallrate an jedem Punkt des Pfades?

Was ist ein Derivat? Definition eines Derivats.
Die geometrische Bedeutung der Ableitung und des Differentials

Bitte aufmerksam und nicht zu schnell lesen – das Material ist einfach und für jeden zugänglich! Es ist in Ordnung, wenn an manchen Stellen etwas nicht ganz klar erscheint, Sie können später immer noch zum Artikel zurückkehren. Ich werde mehr sagen, es ist nützlich, die Theorie mehrmals zu studieren, um alle Punkte qualitativ zu verstehen (der Rat ist besonders relevant für „technische“ Studenten, für die höhere Mathematik eine wichtige Rolle im Bildungsprozess spielt).

Natürlich werden wir es in der Definition der Ableitung an einem Punkt ersetzen durch:

Wozu sind wir gekommen? Und wir kamen zu dem Schluss, dass für eine Funktion nach dem Gesetz ausgerichtet ist andere Funktion, welches heisst Ableitungsfunktion(oder einfach Derivat).

Die Ableitung charakterisiert Änderungsrate Funktionen . Auf welche Weise? Der Gedanke zieht sich wie ein roter Faden von Anfang an durch den Artikel. Betrachten Sie einen Punkt Domänen Funktionen . Die Funktion sei an einem gegebenen Punkt differenzierbar. Dann:

1) Wenn , dann steigt die Funktion am Punkt . Und offensichtlich gibt es das Intervall(auch wenn sehr klein), der den Punkt enthält, an dem die Funktion wächst, und ihr Diagramm geht „von unten nach oben“.

2) Wenn , dann nimmt die Funktion am Punkt ab. Und es gibt ein Intervall, das einen Punkt enthält, an dem die Funktion abnimmt (der Graph geht „von oben nach unten“).

3) Wenn, dann unendlich nah In der Nähe des Punktes hält die Funktion ihre Geschwindigkeit konstant. Dies geschieht, wie erwähnt, für ein funktionskonstantes und an kritischen Stellen der Funktion, insbesondere an den minimalen und maximalen Punkten.

Etwas Semantik. Was bedeutet das Verb „differenzieren“ im weitesten Sinne? Differenzieren bedeutet, ein Merkmal hervorzuheben. Indem wir die Funktion differenzieren, „wählen“ wir die Rate ihrer Änderung in Form einer Ableitung der Funktion . Und was ist übrigens mit dem Wort "Ableitung" gemeint? Funktion passiert aus der Funktion.

Die Begriffe interpretieren sehr erfolgreich die mechanische Bedeutung der Ableitung :
Betrachten wir das Gesetz der Änderung der Körperkoordinaten, das von der Zeit abhängt, und die Funktion der Bewegungsgeschwindigkeit des gegebenen Körpers. Die Funktion charakterisiert die Änderungsgeschwindigkeit der Körperkoordinate, ist also die erste Ableitung der Funktion nach der Zeit: . Wenn das Konzept der „Körperbewegung“ in der Natur nicht existierte, dann würde es auch nicht existieren Derivat Begriff „Geschwindigkeit“.

Die Beschleunigung des Körpers ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit, also: . Wenn die ursprünglichen Konzepte „Körperbewegung“ und „Körperbewegungsgeschwindigkeit“ in der Natur nicht existierten, dann gäbe es keine Derivat das Konzept der Beschleunigung eines Körpers.

Wenn wir der Definition folgen, dann ist die Ableitung einer Funktion an einem Punkt die Grenze des Inkrementverhältnisses der Funktion Δ j zum Inkrement des Arguments Δ x:

Alles scheint klar zu sein. Aber versuchen Sie, nach dieser Formel zu berechnen, sagen wir, die Ableitung der Funktion f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x Sünde x. Wenn Sie per Definition alles tun, werden Sie nach ein paar Seiten Berechnungen einfach einschlafen. Daher gibt es einfachere und effektivere Wege.

Zunächst sei darauf hingewiesen, dass die sogenannten Elementarfunktionen von der ganzen Vielfalt der Funktionen unterschieden werden können. Dies sind relativ einfache Ausdrücke, deren Ableitungen längst berechnet und in die Tabelle eingetragen wurden. Solche Funktionen sind leicht zu merken, zusammen mit ihren Ableitungen.

Ableitungen elementarer Funktionen

Elementare Funktionen sind alle unten aufgeführten. Die Ableitungen dieser Funktionen müssen auswendig bekannt sein. Außerdem ist es nicht schwer, sie auswendig zu lernen - deshalb sind sie elementar.

Also die Ableitungen elementarer Funktionen:

Name	Funktion	Derivat
Konstante	f(x) = C, C ∈ R	0 (ja, ja, null!)
Grad mit rationalem Exponenten	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = Sünde x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	− Sünde x(minus Sinus)
Tangente	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
natürlicher Logarithmus	f(x) = Protokoll x	1/x
Beliebiger Logarithmus	f(x) = Protokoll a x	1/(x ln a)
Exponentialfunktion	f(x) = e x	e x(nichts hat sich geändert)

Multipliziert man eine elementare Funktion mit einer beliebigen Konstanten, so lässt sich auch die Ableitung der neuen Funktion leicht berechnen:

(C · f)’ = C · f ’.

Im Allgemeinen können Konstanten aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden. Zum Beispiel:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Natürlich lassen sich elementare Funktionen addieren, multiplizieren, dividieren und vieles mehr. So entstehen neue Funktionen, nicht mehr ganz elementar, aber auch nach bestimmten Regeln differenzierbar. Diese Regeln werden unten diskutiert.

Ableitung von Summe und Differenz

Lassen Sie die Funktionen f(x) und g(x), deren Ableitungen uns bekannt sind. Beispielsweise können Sie die oben besprochenen elementaren Funktionen verwenden. Dann können Sie die Ableitung der Summe und Differenz dieser Funktionen finden:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Die Ableitung der Summe (Differenz) zweier Funktionen ist also gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen. Möglicherweise gibt es noch weitere Begriffe. Zum Beispiel, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Genau genommen gibt es in der Algebra keinen Begriff der "Subtraktion". Es gibt ein Konzept des "negativen Elements". Daher der Unterschied f − g kann als Summe umgeschrieben werden f+ (−1) g, und dann bleibt nur noch eine Formel übrig - die Ableitung der Summe.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funktion f(x) ist die Summe zweier elementarer Funktionen, also:

f ’(x) = (x 2+ Sünde x)’ = (x 2)' + (sünde x)’ = 2x+ cosx;

Ähnlich argumentieren wir für die Funktion g(x). Nur gibt es bereits drei Terme (aus algebraischer Sicht):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Antworten:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Ableitung eines Produkts

Mathematik ist eine logische Wissenschaft, so viele Leute glauben, dass, wenn die Ableitung der Summe gleich der Summe der Ableitungen ist, die Ableitung des Produkts schlagen"\u003e gleich dem Produkt von Derivaten. Aber Feigen für Sie! Die Ableitung des Produkts wird mit einer völlig anderen Formel berechnet. Nämlich:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Die Formel ist einfach, wird aber oft vergessen. Und nicht nur Schüler, sondern auch Studenten. Das Ergebnis sind falsch gelöste Probleme.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funktion f(x) ist ein Produkt zweier elementarer Funktionen, also ist alles einfach:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (Kos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sünde x) = x 2 (3 cos x − x Sünde x)

Funktion g(x) ist der erste Multiplikator etwas komplizierter, aber das allgemeine Schema ändert sich nicht. Offensichtlich der erste Multiplikator der Funktion g(x) ist ein Polynom, und seine Ableitung ist die Ableitung der Summe. Wir haben:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Antworten:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x Sünde x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Beachten Sie, dass im letzten Schritt die Ableitung faktorisiert wird. Formal ist dies nicht notwendig, aber die meisten Ableitungen werden nicht für sich allein berechnet, sondern um die Funktion zu untersuchen. Das bedeutet, dass weiterhin die Ableitung gleich Null gesetzt wird, ihre Vorzeichen ermittelt werden und so weiter. Für einen solchen Fall ist es besser, einen Ausdruck in Faktoren zerlegen zu lassen.

Wenn es zwei Funktionen gibt f(x) und g(x), und g(x) ≠ 0 auf der uns interessierenden Menge können wir eine neue Funktion definieren h(x) = f(x)/g(x). Für eine solche Funktion finden Sie auch die Ableitung:

Nicht schwach, oder? Woher kommt das Minus? Wieso den g 2? Aber so! Dies ist eine der komplexesten Formeln - Sie können es ohne eine Flasche nicht herausfinden. Daher ist es besser, es mit konkreten Beispielen zu studieren.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Es gibt elementare Funktionen im Zähler und Nenner jedes Bruchs, also brauchen wir nur die Formel für die Ableitung des Quotienten:

Traditionell faktorisieren wir den Zähler in Faktoren - dies vereinfacht die Antwort erheblich:

Eine komplexe Funktion ist nicht unbedingt eine Formel von einem halben Kilometer Länge. Beispielsweise genügt es, die Funktion zu übernehmen f(x) = Sünde x und ersetzen Sie die Variable x, sagen wir, auf x 2+ln x. Es stellt sich heraus f(x) = Sünde ( x 2+ln x) ist eine komplexe Funktion. Sie hat auch ein Derivat, aber es wird nicht funktionieren, es nach den oben diskutierten Regeln zu finden.

Wie sein? In solchen Fällen hilft die Ersetzung einer Variablen und die Formel zur Ableitung einer komplexen Funktion:

f ’(x) = f ’(t) · t', Wenn x wird ersetzt durch t(x).

In der Regel ist die Situation beim Verständnis dieser Formel noch trauriger als bei der Ableitung des Quotienten. Daher ist es auch besser, es mit konkreten Beispielen zu erklären, mit einer detaillierten Beschreibung jedes Schritts.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = Sünde ( x 2+ln x)

Beachten Sie, dass if in der Funktion f(x) anstelle von Ausdruck 2 x+ 3 wird einfach sein x, dann erhalten wir eine elementare Funktion f(x) = e x. Deshalb nehmen wir eine Substitution vor: sei 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Wir suchen die Ableitung einer komplexen Funktion nach der Formel:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Und jetzt - Achtung! Durchführen einer umgekehrten Substitution: t = 2x+ 3. Wir erhalten:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Schauen wir uns nun die Funktion an g(x). Muss natürlich ausgetauscht werden. x 2+ln x = t. Wir haben:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (Sünde t)’ · t' = cos t · t ’

Umgekehrter Ersatz: t = x 2+ln x. Dann:

g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Das ist alles! Wie aus dem letzten Ausdruck ersichtlich ist, wurde das ganze Problem auf die Berechnung der Ableitung der Summe reduziert.

Antworten:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) weil ( x 2+ln x).

Sehr oft verwende ich in meinem Unterricht anstelle des Begriffs „Ableitung“ das Wort „Strich“. Beispielsweise ist der Strich der Summe gleich der Summe der Striche. Ist das übersichtlicher? Das ist gut.

Daher läuft die Berechnung der Ableitung darauf hinaus, genau diese Striche gemäß den oben diskutierten Regeln loszuwerden. Als letztes Beispiel kehren wir zur Potenz der Ableitung mit einem rationalen Exponenten zurück:

(x n)’ = n · x n − 1

Das wissen die wenigsten in der Rolle n kann durchaus eine Bruchzahl sein. Die Wurzel ist zum Beispiel x 0,5 . Aber was ist, wenn sich unter der Wurzel etwas kniffliges befindet? Auch hier wird sich eine komplexe Funktion herausstellen - sie geben solche Konstruktionen gerne in Tests und Prüfungen.

Aufgabe. Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Lassen Sie uns zuerst die Wurzel als Potenz mit einem rationalen Exponenten umschreiben:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Jetzt nehmen wir eine Substitution vor: let x 2 + 8x − 7 = t. Wir finden die Ableitung durch die Formel:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Wir führen eine umgekehrte Substitution durch: t = x 2 + 8x− 7. Wir haben:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Abschließend zurück zu den Wurzeln:

Definition. Die Funktion \(y = f(x) \) sei in einem Intervall definiert, das den Punkt \(x_0 \) enthält. Lassen Sie uns \(\Delta x \) zum Argument erhöhen, um dieses Intervall nicht zu verlassen. Finde das entsprechende Inkrement der Funktion \(\Delta y \) (beim Übergang vom Punkt \(x_0 \) zum Punkt \(x_0 + \Delta x \)) und bilde die Beziehung \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Gibt es einen Grenzwert dieser Relation bei \(\Delta x \rightarrow 0 \), so wird der angegebene Grenzwert aufgerufen Ableitungsfunktion\(y=f(x) \) am Punkt \(x_0 \) und bezeichnen \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Das Symbol y wird oft verwendet, um die Ableitung zu bezeichnen. Beachten Sie, dass y" = f(x) eine neue Funktion ist, aber natürlich mit der Funktion y = f(x) verbunden ist, die an allen Punkten x definiert ist, an denen die obige Grenze existiert. Diese Funktion wird wie folgt aufgerufen: Ableitung der Funktion y \u003d f (x).

Die geometrische Bedeutung der Ableitung besteht aus folgendem. Wenn eine Tangente, die nicht parallel zur y-Achse ist, an einem Punkt mit der Abszisse x \u003d a in den Graphen der Funktion y \u003d f (x) gezeichnet werden kann, dann drückt f (a) die Steigung der Tangente aus:
\(k = f"(a)\)

Da \(k = tg(a) \), ist die Gleichheit \(f"(a) = tg(a) \) wahr.

Und jetzt interpretieren wir die Definition der Ableitung in Bezug auf ungefähre Gleichheiten. Die Funktion \(y = f(x) \) habe an einem bestimmten Punkt \(x \) eine Ableitung:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Das bedeutet, dass in der Nähe des Punktes x die ungefähre Gleichheit \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), also \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta\). Die sinnvolle Bedeutung der erhaltenen ungefähren Gleichheit ist wie folgt: Das Inkrement der Funktion ist „fast proportional“ zum Inkrement des Arguments, und der Proportionalitätskoeffizient ist der Wert der Ableitung an einem bestimmten Punkt x. Beispielsweise gilt für die Funktion \(y = x^2 \) die ungefähre Gleichheit \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Wenn wir die Definition der Ableitung sorgfältig analysieren, werden wir feststellen, dass sie einen Algorithmus enthält, um sie zu finden.

Formulieren wir es.

Wie finde ich die Ableitung der Funktion y \u003d f (x) ?

1. Wert \(x \) fixieren, \(f(x) \) finden
2. Erhöhe \(x \) Argument \(\Delta x \), gehe zu einem neuen Punkt \(x+ \Delta x \), finde \(f(x+ \Delta x) \)
3. Finden Sie das Funktionsinkrement: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Bilden Sie die Beziehung \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Berechne $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Diese Grenze ist die Ableitung der Funktion bei x.

Wenn die Funktion y = f(x) an der Stelle x eine Ableitung hat, dann heißt sie an der Stelle x differenzierbar. Das Verfahren zum Ermitteln der Ableitung der Funktion y \u003d f (x) wird aufgerufen Differenzierung Funktionen y = f(x).

Diskutieren wir folgende Frage: Wie hängen Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion an einem Punkt zusammen?

Die Funktion y = f(x) sei an der Stelle x differenzierbar. Dann kann eine Tangente an den Graphen der Funktion am Punkt M (x; f (x)) gezogen werden, und, erinnern Sie sich, die Steigung der Tangente ist gleich f "(x). Ein solcher Graph kann nicht "brechen". Punkt M, d.h. die Funktion muss bei x stetig sein.

Es war Argumentation "an den Fingern". Lassen Sie uns ein strengeres Argument präsentieren. Wenn die Funktion y = f(x) im Punkt x differenzierbar ist, dann gilt die ungefähre Gleichheit \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Null, dann ist \(\Delta y \ ) wird ebenfalls gegen Null gehen, und dies ist die Bedingung für die Stetigkeit der Funktion in einem Punkt.

So, Wenn eine Funktion an einem Punkt x differenzierbar ist, dann ist sie dort auch stetig.

Die Umkehrung ist nicht wahr. Zum Beispiel: Funktion y = |x| ist überall stetig, insbesondere im Punkt x = 0, aber die Tangente an den Graphen der Funktion im „Gelenkpunkt“ (0; 0) existiert nicht. Wenn es an einer Stelle unmöglich ist, eine Tangente an den Funktionsgraphen zu ziehen, dann gibt es an dieser Stelle keine Ableitung.

Noch ein Beispiel. Die Funktion \(y=\sqrt(x) \) ist auf dem gesamten Zahlenstrahl stetig, auch am Punkt x = 0. Und die Tangente an den Graphen der Funktion existiert an jedem Punkt, auch am Punkt x = 0 . An diesem Punkt fällt die Tangente jedoch mit der y-Achse zusammen, dh sie steht senkrecht auf der Abszissenachse, ihre Gleichung hat die Form x \u003d 0. Für eine solche gerade Linie gibt es keine Steigung, was bedeutet, dass \ ( f "(0) \) existiert auch nicht

Wir haben also eine neue Eigenschaft einer Funktion kennengelernt - die Differenzierbarkeit. Wie können Sie feststellen, ob eine Funktion vom Graphen einer Funktion differenzierbar ist?

Die Antwort ist eigentlich oben gegeben. Lässt sich an irgendeiner Stelle eine Tangente an den Graphen einer Funktion ziehen, die nicht senkrecht zur x-Achse steht, dann ist die Funktion an dieser Stelle differenzierbar. Wenn an einer Stelle die Tangente an den Graphen der Funktion nicht existiert oder senkrecht auf der x-Achse steht, dann ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar.

Abgrenzungsregeln

Die Operation zum Finden der Ableitung wird aufgerufen Differenzierung. Bei dieser Operation müssen Sie häufig mit Quotienten, Summen, Produkten von Funktionen sowie mit „Funktionen von Funktionen“, also komplexen Funktionen, arbeiten. Aus der Definition der Ableitung lassen sich Ableitungsregeln ableiten, die diese Arbeit erleichtern. Wenn C eine konstante Zahl ist und f=f(x), g=g(x) einige differenzierbare Funktionen sind, dann gilt Folgendes Unterscheidungsregeln:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Ableitung zusammengesetzter Funktionen:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabelle der Ableitungen einiger Funktionen

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Die Ableitung einer Funktion ist eines der schwierigsten Themen im Schullehrplan. Nicht jeder Absolvent wird die Frage beantworten, was ein Derivat ist.

Dieser Artikel erklärt einfach und klar, was ein Derivat ist und warum es benötigt wird.. Wir werden jetzt keine mathematische Strenge der Darstellung anstreben. Das Wichtigste ist, die Bedeutung zu verstehen.

Erinnern wir uns an die Definition:

Die Ableitung ist die Änderungsrate der Funktion.

Die Abbildung zeigt Graphen von drei Funktionen. Welche wächst deiner Meinung nach am schnellsten?

Die Antwort liegt auf der Hand - die dritte. Es hat die höchste Änderungsrate, dh die größte Ableitung.

Hier ist ein weiteres Beispiel.

Kostya, Grisha und Matvey bekamen gleichzeitig Jobs. Mal sehen, wie sich ihr Einkommen im Laufe des Jahres verändert hat:

Sie können sofort alles auf dem Diagramm sehen, richtig? Kostyas Einkommen hat sich in sechs Monaten mehr als verdoppelt. Und Grishas Einkommen stieg auch, aber nur ein bisschen. Und Matthews Einkommen ging auf null zurück. Die Startbedingungen sind die gleichen, aber die Änderungsrate der Funktion, d.h. Derivat, - anders. Bei Matvey ist die Ableitung seines Einkommens im Allgemeinen negativ.

Intuitiv können wir die Änderungsrate einer Funktion leicht abschätzen. Aber wie machen wir das?

Was wir wirklich sehen, ist, wie steil der Graph der Funktion nach oben (oder nach unten) geht. Mit anderen Worten, wie schnell sich y mit x ändert. Offensichtlich kann dieselbe Funktion an verschiedenen Punkten einen anderen Wert der Ableitung haben – das heißt, sie kann sich schneller oder langsamer ändern.

Die Ableitung einer Funktion wird mit bezeichnet.

Lassen Sie uns zeigen, wie man mithilfe des Diagramms findet.

Ein Graph einer Funktion wird gezeichnet. Nehmen Sie einen Punkt darauf mit einer Abszisse. Zeichnen Sie an dieser Stelle eine Tangente an den Graphen der Funktion. Wir wollen auswerten, wie steil der Graph der Funktion nach oben geht. Ein praktischer Wert dafür ist Tangente der Steigung der Tangente.

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Tangente der Steigung der Tangente, die an diesem Punkt an den Graphen der Funktion gezogen wird.

Bitte beachten Sie - als Neigungswinkel der Tangente nehmen wir den Winkel zwischen der Tangente und der positiven Richtung der Achse.

Manchmal fragen die Schüler, was die Tangente an den Graphen einer Funktion ist. Dies ist eine gerade Linie, die außerdem den einzigen gemeinsamen Punkt mit dem Diagramm in diesem Abschnitt hat, wie in unserer Abbildung gezeigt. Es sieht aus wie eine Tangente an einen Kreis.

Lass uns finden . Wir erinnern uns, dass die Tangente eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten ist. Aus Dreieck:

Wir haben die Ableitung mithilfe des Diagramms gefunden, ohne die Formel der Funktion zu kennen. Solche Aufgaben finden sich oft in der Klausur in Mathematik unter der Nummer.

Es gibt noch einen weiteren wichtigen Zusammenhang. Denken Sie daran, dass die Gerade durch die Gleichung gegeben ist

Die Menge in dieser Gleichung heißt Steigung einer Geraden. Sie ist gleich der Tangente des Neigungswinkels der Geraden zur Achse.

.

Das verstehen wir

Erinnern wir uns an diese Formel. Es drückt die geometrische Bedeutung der Ableitung aus.

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Steigung der Tangente, die an diesem Punkt an den Graphen der Funktion gezogen wird.

Mit anderen Worten, die Ableitung ist gleich der Tangente der Steigung der Tangente.

Wir haben bereits gesagt, dass dieselbe Funktion an verschiedenen Punkten eine andere Ableitung haben kann. Mal sehen, wie die Ableitung mit dem Verhalten der Funktion zusammenhängt.

Lassen Sie uns einen Graphen einer Funktion zeichnen. Lassen Sie diese Funktion in einigen Bereichen zunehmen und in anderen abnehmen, und zwar mit unterschiedlichen Raten. Und lassen Sie diese Funktion maximale und minimale Punkte haben.

An einem Punkt nimmt die Funktion zu. Die am Punkt gezeichnete Tangente an den Graphen bildet einen spitzen Winkel; mit positiver Achsrichtung. Also ist die Ableitung an dem Punkt positiv.

An diesem Punkt nimmt unsere Funktion ab. Die Tangente bildet an dieser Stelle einen stumpfen Winkel; mit positiver Achsrichtung. Da der Tangens eines stumpfen Winkels negativ ist, ist die Ableitung am Punkt negativ.

Folgendes passiert:

Wenn eine Funktion wächst, ist ihre Ableitung positiv.

Wenn es abnimmt, ist seine Ableitung negativ.

Und was passiert bei den Höchst- und Mindestpunkten? Wir sehen, dass bei (Maximalpunkt) und (Minimalpunkt) die Tangente horizontal ist. Daher ist die Tangente der Steigung der Tangente an diesen Punkten Null, und die Ableitung ist ebenfalls Null.

Der Punkt ist der Maximalpunkt. An dieser Stelle wird die Zunahme der Funktion durch eine Abnahme ersetzt. Folglich ändert sich das Vorzeichen der Ableitung an der Stelle von „Plus“ auf „Minus“.

Am Punkt – dem Minimalpunkt – ist die Ableitung ebenfalls gleich Null, ändert aber ihr Vorzeichen von „minus“ auf „plus“.

Fazit: Mit Hilfe der Ableitung erfahren Sie alles, was uns über das Verhalten der Funktion interessiert.

Wenn die Ableitung positiv ist, dann steigt die Funktion.

Wenn die Ableitung negativ ist, dann ist die Funktion fallend.

Am Maximalpunkt ist die Ableitung Null und wechselt das Vorzeichen von Plus nach Minus.

Am Minimalpunkt ist die Ableitung ebenfalls Null und wechselt das Vorzeichen von Minus zu Plus.

Wir schreiben diese Erkenntnisse in Form einer Tabelle:

	erhöht sich	Höchstpunkt	sinkt	Mindestpunkt	erhöht sich
+	0	-	0	+

Machen wir zwei kleine Klarstellungen. Sie werden einen davon benötigen, wenn Sie das Problem lösen. Ein anderer - im ersten Jahr mit einer ernsthafteren Untersuchung von Funktionen und Derivaten.

Es ist ein Fall möglich, in dem die Ableitung einer Funktion irgendwann gleich Null ist, die Funktion aber an dieser Stelle weder ein Maximum noch ein Minimum hat. Diese sog :

An einem Punkt ist die Tangente an den Graphen horizontal und die Ableitung ist Null. Vor dem Punkt nahm die Funktion jedoch zu - und nach dem Punkt steigt sie weiter an. Das Vorzeichen der Ableitung ändert sich nicht – es ist positiv geblieben wie es war.

Es kommt auch vor, dass am Punkt des Maximums oder Minimums die Ableitung nicht existiert. In der Grafik entspricht dies einem scharfen Bruch, wenn es unmöglich ist, an einem bestimmten Punkt eine Tangente zu zeichnen.

Aber wie findet man die Ableitung, wenn die Funktion nicht durch einen Graphen, sondern durch eine Formel gegeben ist? In diesem Fall gilt es