Введение.

Геометрические преобразования являются достаточно поздним разделом математики. Первые геометрические преобразования стали рассматриваться в XVII веке, а проективные преобразования появились лишь в начале XIX века.

В алгебре рассматриваются различные функции. Функция f каждому числу х из области определения функции ставит в соответствие некоторое число f(x) – значение функции f в точке х. В геометрии рассматриваются функции, у которых другие области определения и множества значений. Они каждой точке ставят в соответствие точку. Эти функции называются геометрическими преобразованиями.

Геометрические преобразования имеют большое значение в геометрии. С помощью геометрических преобразований определяются такие важные геометрические понятия, как равенство и подобие фигур. Благодаря геометрическим преобразованиям, многие разрозненные факты геометрии укладываются в стройную теорию.

В реферате, в основном, речь пойдёт о преобразованиях пространства. Будут рассмотрены все движения, подобия, круговые и аффинные преобразования пространства, а также аффинные и проективные преобразования плоскости. Для каждого преобразования будут рассмотрены его свойства и примеры применения к решению геометрических задач.

Для начала обратимся к некоторым основным понятиям, которые будут необходимы нам для работы с преобразованиями. Остановимся на двух терминах: расстояние и преобразование. Итак, что мы будем понимать под этими словами:

Определение. Расстоянием между двумя точками будем называть длину отрезка с концами в этих точках.

Определение. Преобразованием множества будем называть взаимно однозначное отображение этого множества на себя.

Теперь перейдём к рассмотрению отдельных видов геометрических преобразований.

Часть I. Движения пространства.

Общие свойства движений.

Определение. Преобразование пространства называется движением , если оно сохраняет расстояния между точками.

Свойства движений.

1. Преобразование, обратное к движению, – движение.
2. Композиция движений – движение.
3. При движении прямая переходит в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок, плоскость – в плоскость, полуплоскость – в полуплоскость.
4. Образом плоского угла при движении является плоский угол той же величины.
5. Движение сохраняет величину угла между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями.
6. Движение сохраняет параллельность прямых, прямой и плоскости, плоскостей.

Доказательства свойств.

1 и 2. Следуют из определения движения.

1. Пусть точки А, Х и В лежат на одной прямой, причём точка Х лежит между А и В. Тогда АХ+ХВ=АВ. Пусть точки А´, Х´, В´ – образы точек А, Х, В при движении. Тогда А´Х´+Х´В´=А´В´ (из определения движения). А отсюда следует, что точки A´, X´, B´ лежат на одной прямой, причём Х´ лежит между А´ и В´.
   Из доказанного утверждения сразу следует, что при движении прямая переходит в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок.

Для плоскости доказательство можно провести так. Пусть a, b – две пересекающиеся прямые нашей плоскости α, a´, b´ – их образы. Очевидно, a´ и b´ пересекаются. Пусть α´ – плоскость, содержащая прямые a´, b´. Докажем, что α´ – образ плоскости α. Пусть М – произвольная точка плоскости α, не лежащая на прямых a и b. Проведём через M прямую c, пересекающую прямые a и b в различных точках. Образом этой прямой является прямая с´, пересекающая прямые a´, b´ в различных точках. Значит, и М´, образ точки М, лежит в плоскости α´. Итак, образ любой точки плоскости α лежит в плоскости α´. Аналогично доказывается, что прообраз любой точки плоскости α´ лежит в плоскости α. Отсюда α´ – образ плоскости α.

Теперь уже несложно доказать утверждение и для полуплоскости. Надо лишь дополнить полуплоскость до плоскости, рассмотреть прямую а, ограничивающую полуплоскость, и её образ а´, а затем доказать от противного, что образы любых двух точек полуплоскости лежат по одну сторону от а´.

1. Следует из свойства 3.
2. Следует из свойства 4 и определения угла между прямыми (прямой и плоскостью, двумя плоскостями) в пространстве.
3. Предположим противное, т.е. пусть образы наших параллельных прямых (прямой и плоскости, плоскостей) пересекаются (в случае параллельных прямых ещё надо показать, что их образы не могут быть скрещивающимися прямыми, но это сразу следует из того, что плоскость, содержащая эти прямые, перейдёт в плоскость). Тогда рассмотрим их общую точку. У неё будет два прообраза, что невозможно по определению преобразования.

Определение. Фигура Ф называется равной фигуре Ф´, если существует движение, переводящее Ф в Ф´.

Виды движений.

3.1. Тождественное преобразование.

Определение. Тождественным преобразованием Е пространства называется преобразование, при котором каждая точка пространства переходит в себя.

Очевидно, тождественное преобразование является движением.

3.2. Параллельный перенос.

Определение. Пусть в пространстве задан вектор . Параллельным переносом пространства на вектор называется преобразование, при котором каждая точка М отображается в такую точку М´, что .

Теорема 3.2. Параллельный перенос – движение.

Доказательство. Пусть А´, В´ – образы точек А, В при параллельном переносе на вектор . Достаточно показать, что АВ=А´В´, что следует из равенства:

Свойство переноса. Параллельный перенос переводит прямую (плоскость) в себя или в параллельную ей прямую (плоскость).

Доказательство. При доказательстве теоремы 3.2, мы доказали, что при параллельном переносе сохраняются вектора. Значит, сохраняются направляющие вектора прямых и векторы нормали плоскостей. Отсюда и следует наше утверждение.

Центральная симметрия.

Определение. Симметрией относительно точки О (центральной симметрией ) пространства называется преобразование пространства, которое точку О отображает на себя, а любую другую точку М отображает на такую точку М´, что точка О является серединой отрезка ММ´. Точка О называется центром симметрии .

Теорема 3.4. Центральная симметрия – движение.

Доказательство.

Пусть А, В – две произвольные точки, А´, В´ – их образы, О – центр симметрии. Тогда .

Свойство центральной симметрии. Центральная симметрия переводит прямую (плоскость) в себя или в параллельную ей прямую (плоскость).

Доказательство. При доказательстве теоремы 3.4, мы доказали, что при параллельном переносе вектора меняются на противоположные. Значит, у направляющих векторов прямых и векторов нормали плоскостей при центральной симметрии лишь меняются направления. Отсюда и следует наше утверждение.

Теорема о задании движения.

Теорема 5.1. (теорема о задании движения) Если даны два тетраэдра ABCD и A´B´C´D´ с соответственно равными рёбрами, то существует одно и только одно движение пространства, отображающее точки A, B, C, D соответственно на точки A´, B´, C´, D´.

Доказательство.

I. Существование. Если А совпадает с А´, В – с B´, С – с C´, D – с D´, то задано просто тождественное преобразование. Если нет, то положим для определённости, что А не совпадает с А´. Рассмотрим плоскость α симметрии точек А и А´. Пусть симметрия S α переводит тетраэдр ABCD в тетраэдр A´B 1 C 1 D 1 .

Теперь, если В 1 совпала с В´, С 1 – с С´, D 1 – с D´, то доказательство завершено. Если нет, то можно без ограничения общности считать, что точки В´ и В 1 не совпали. Рассмотрим плоскость β симметрии точек B 1 и B´. Точка A´ – равноудалена от точек В 1 и В´, следовательно лежит на плоскости β. Пусть симметрия S β переводит тетраэдр A´B 1 C 1 D 1 в тетраэдр A´B´C 2 D 2 .

Теперь, если С 2 совпала с С´, а D 2 – с D´, то доказательство завершено. Если нет, то можно без ограничения общности считать, что точки С´ и С 2 не совпали. Рассмотрим плоскость γ симметрии точек С 2 и С´. Точки А´, В´ равноудалены от точек С 2 и С´, поэтому лежат в плоскости γ. Пусть симметрия S γ переводит тетраэдр A´B´C 2 D 2 в тетраэдр A´B´C´D 3 .

Теперь, если D 3 совпала с D´, то доказательство завершено. Если нет, то рассмотрим плоскость δ симметрии точек D 3 и D´. Точки А´, В´, С´ равноудалены от точек D 3 и D´, поэтому лежат в плоскости δ. Значит, симметрия S δ переводит тетраэдр A´B´C´D 3 в тетраэдр A´B´C´D´.

Итак, композиция нужного числа приведённых зеркальных симметрий переводит тетраэдр ABCD в тетраэдр A´B´C´D´. А это преобразование является движением (свойство 2 движений).

II. Единственность. Пусть существуют 2 движения f и g, переводящие А в А´, В в В´, С в С´, D в D´. Тогда движение является тождественным преобразованием, т.к. оставляет точки А, B, C, D неподвижными. Значит, f=g.

При доказательстве теоремы 5.1 (существование), фактически была доказана и

Теорема 5.2. Любое движение пространства есть композиция не более четырёх зеркальных симметрий.

Гомотетия пространства.

Вначале рассмотрим важный частный случай подобия – гомотетию.

Определение. Гомотетией с центром О и коэффициентом называется преобразование пространства, при котором образом каждой точки Х является точка Х´ такая, что .

Свойства гомотетии.

Доказательства свойств.

1 и 2. Следуют из определения гомотетии.

3. Доказывается аналогично соответствующей теореме на плоскости. Действительно, если мы рассмотрим произвольную точку Х пространства, нам будет достаточно доказать нашу теорему для плоскости (АХВ).

4. Доказывается от противного.

1. Следует из свойства 1.

Свойства подобия.

Теорема 2.1. Подобие пространства можно представить композицией гомотетии и движения f:

Доказательство. Произведём гомотетию с центром в произвольной точке. Рассмотрим преобразование f такое, что (существование такого преобразования следует из определения преобразования). Преобразование f будет движением по определению движения.

Заметим, что, выбрав за f движение , мы сможем получить представление нашего подобия и в таком виде .

Свойства подобия.

Доказательства свойств.

1 и 2. Следствия из теоремы 2.1.

3. Следует из определения подобия.

4. Для куба теорема, очевидно, верна. Для тела, состоящего из кубов, естественно, тоже.

Произвольный многогранник М можно наложить на кубическую решётку. Будем измельчать эту решётку. При стремлении стороны одного кубика нашей решётки к нулю объёмы двух тел: тела I, состоящего из кубиков лежащих полностью внутри М, и тела S, состоящего из кубиков, имеющих общие точки с М, – стремятся к объёму многогранника М (это следует из того, что для каждой грани нашего многогранника М к нулю будет стремиться объём кубиков, пересекающих эту грань). При этом для образа М´ многогранника М при нашем подобии объёмы тел I´, S´ (образов тел I, S) стремятся к объёму многогранника М´. Для тел I и S наша теорема верна, значит, она верна и для многогранника М.

Объём произвольного тела определяется через объёмы соответствующих многогранников, поэтому теорема верна и для произвольного тела.

Теорема 2.2. (о задании подобия пространства) Если даны два тетраэдра ABCD и A´B´C´D´ такие, что , то существует ровно одно подобие пространства, при котором А→А´, В→В´, С→С´, D→D´.

Доказательство. То, что такое подобие существует, следует из теоремы 2.1 и теоремы о задании движения пространства (часть I, теорема 5.1). Пусть таких преобразований два: P и Р´. Тогда преобразование – движение, имеющие неподвижные точки A, B, C, D, т.е. f – тождественное преобразование. Отсюда Р=Р´.

Задача 1.

Точки M, N, P расположены на сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС. Точки M´, N´, P´ симметричны точкам M, N, P относительно сторон АВ, ВС, АС. Доказать, что площади треугольников MNP и M´N´P´ равны.

Решение.

Для правильного треугольника утверждение очевидно.

Точно так же любую трапецию можно аффинным преобразованием перевести в равнобедренную, т.е. любое аффинное утверждение достаточно доказать для равнобедренной трапеции.

Задача 2.

В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС через точку В проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая диагональ АС в точке Р, а через точку С – прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая диагональ BD в точке Q. Доказать, что прямая PQ параллельна основаниям трапеции.

Решение.

Для равнобедренной трапеции утверждение очевидно.

Сжатие к прямой.

Определение. Сжатием к прямой ℓ с коэффициентом k () называется преобразование, переводящее произвольную точку М в такую точку М´, что и , где .

Теорема 2.1. Сжатие к прямой – аффинное преобразование.

Доказательство. Непосредственной проверкой убеждаемся, что прямая переходит в прямую. Можно даже заметить, что сжатие к прямой – частный случай параллельного проектирования (когда направление проектирования перпендикулярно линии пересечения плоскостей).

Теорема 2.2. Для любого аффинного преобразования существует квадратная решётка, которая при этом преобразовании переходит в прямоугольную решётку.

Доказательство. Возьмём произвольную квадратную решётку и рассмотрим один из её квадратиков ОАВС. Он при нашем преобразовании перейдёт в параллелограмм О´А´В´С´. Если О´А´В´С´ – прямоугольник, то наше доказательство закончено. В противном случае положим для определённости, что угол А´О´В´ – острый. Будем поворачивать квадрат ОАВС и всю нашу решётку вокруг точки О. Когда квадрат ОАВС повернётся на (так что точка А перешла в точку В), точка А´ перейдёт в точку В´, а В´ в вершину параллелограмма, смежного с О´А´В´С´. Т.е. угол А´О´В´ станет тупым. По принципу непрерывности, в какой-то момент он был прямым. В этот момент квадрат ОАВС переходил в прямоугольник, а наша решётка – в прямоугольную решётку, ч.т.д.

Теорема 2.3. Аффинное преобразование можно представить композицией сжатия к прямой и подобия.

Доказательство. Следует из теоремы 2.2.

Теорема 2.4. Аффинное преобразование, переводящее некоторую окружность в окружность, является подобием.

Доказательство. Опишем около нашей окружности квадрат и повернём его так, чтобы он переходил при нашем преобразовании в прямоугольник (теорема 2.2.). Наша окружность перейдёт в окружность, вписанную в этот прямоугольник, поэтому этот прямоугольник является квадратом. Теперь мы можем указать квадратную решётку, переходящую при нашем преобразовании в квадратную решётку. Очевидно, наше преобразование – подобие.

3. Аффинные преобразования пространства.

Определение. Аффинным преобразованием пространства называется преобразование пространства, переводящее каждую плоскость в плоскость.

Свойства.

1. При аффинном преобразовании прямые переходят в прямые.
2. Аффинное преобразование пространства индуцирует аффинное отображение каждой плоскости на её образ.
3. При аффинном преобразовании параллельные плоскости (прямые) переходят в параллельные плоскости (прямые).

Доказательства свойств.

1. Следует из того, что прямая есть пересечение двух плоскостей, и из определения аффинного преобразования.
2. Следует из определения аффинного преобразования и свойства 1.
3. Для плоскостей доказывается от противного, для прямых – через свойство 2 и свойство аффинного преобразования плоскости.

Теорема 3.1. (о задании аффинного преобразования пространства) Для любых данных тетраэдров АВСD и А´В´С´D´ существует единственное аффинное преобразование, переводящее А в А´, В в В´, С в С´, D в D´.

Доказательство. Доказывается аналогично теореме 1.1. (строятся решётки параллелепипедов).

Из доказательства теоремы 3.1 следует, что если у нас есть некоторая косоугольная система координат W, а W´ – её образ при аффинном преобразовании, то координаты произвольной точки пространства в системе координат W равны координатам её образа в системе координат W´.

Отсюда сразу вытекают ещё некоторые свойства аффинного преобразования.

1. Преобразование, обратное аффинному, является аффинным.
2. Аффинные преобразования сохраняют отношения длин параллельных отрезков.

Теперь пусть в пространстве задана система координат (О, , , ) и аффинное преобразование f переводит О в О´ , а базисные вектора в вектора , , соответственно. Найдём координаты x´, y´, z´ образа M´(x´,y´,z´) точки M(x,y,z) при преобразовании f.

Будем исходить из того, что точка М в системе координат (О, , , ) имеет такие же координаты, что и точка М´ в системе координат (О´, , , ). Отсюда

Поэтому имеем равенства (*):

Стоит ещё заметить, что , т.к. векторы , , линейно независимы.

Этот определитель называется определителем аффинного преобразования .

Теорема 3.2. Преобразование, заданное равенствами (*), при является аффинным.

Доказательство. Достаточно проверить, что преобразование, обратное преобразованию(*), является аффинным (свойство 4). Возьмём произвольную плоскость Аx´+Вy´+Сz´+D=0, где А, В, С не равны одновременно нулю. Выполняя подстановки (*), получим уравнение её прообраза:

Остаётся лишь проверить, что в полученном уравнении коэффициенты при x, y, z одновременно не равны нулю. Это действительно так, т.к. иначе система

с неравным нулю определителем имела бы лишь нулевое решение: А=В=С=0, что неверно.

Теорема 3.3. Для объёмов V и V´ соответственных при аффинном преобразовании тел имеет место зависимость .

Доказательство. Пусть некомпланарные векторы , , образуют векторный базис пространства, и пусть в пространстве заданы векторы , и . Вычислив смешанное произведение этих векторов, получим:

.

Воспользуемся тем, что объём ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах как на рёбрах, равен смешанному произведению этих векторов:

,

где V 0 – объём параллелепипеда, построенного на базисных векторах.

Аффинное преобразование не изменяет координаты соответственных векторов в соответственных базисах. Поэтому для объёма V´ образа параллелепипеда объёма V имеем:

,

где – объём параллелепипеда, построенного на векторах , как на рёбрах.

Отсюда получаем: . Далее , поэтому для неориентированных объёмов имеем . На все тела это равенство можно распространить аналогично доказательству свойства 4 подобий (часть II, §2).

Задача.

Вершина параллелепипеда соединена с центрами трёх не содержащих её граней. Найдите отношение объёма полученного тетраэдра к объёму данного параллелепипеда.

Решение.

Посчитаем данное отношение для куба и, переведя аффинным преобразованием куб в параллелепипед, воспользуемся тем, что аффинное преобразование сохраняет отношение объёмов. Для куба отношение легко считается. Оно равно 1:12.

Ответ: 1:12.

Родство пространства.

Определение. Аффинное преобразование пространства, имеющее плоскость неподвижных точек, называется родственным преобразованием ρ (родством ), а плоскость его неподвижных точек называется плоскостью родства . Соответственные при родстве элементы называются родственными .

Определение. Направление прямых, соединяющих родственные точки, называется направлением родства .

Свойства родства.

1. Родственные прямые (плоскости) пересекаются на плоскости родства или ей параллельны.
2. (Корректность определения направления родства) Прямые, каждая из которых соединяет две родственные точки, параллельны.
3. Если направление родства непараллельно плоскости этого родства, то каждый отрезок, соединяющий две родственные точки, делится плоскостью родства в одном и том же отношении.
4. Всякая плоскость, параллельная направлению родства, неподвижна при этом родстве. В ней индуцируется родство плоскости (аффинное преобразование, имеющее прямую неподвижных точек, называющуюся осью родства), осью которого является прямая её пересечения с плоскостью данного родства пространства.

Доказательства свойств.

1. Доказательство аналогично доказательству свойства зеркальной симметрии (часть I, §3.5).

2. Пусть А, В – две различные точки; А´, В´ – их образы при родстве, α – плоскость родства. Пусть . Тогда (свойство аффинного преобразования), т.е. АА´||ВВ´, ч.т.д.

3 и 4. Следуют из доказательства свойства 2.

Определение. Поверхность, представляемая уравнением , называется эллипсоидом . Частным случаем эллипсоида является сфера.

Имеет место следующий факт, который мы доказывать не будем, однако, при доказательстве следующих теорем он нам понадобится:

Теорема 4.1. Аффинное преобразование переводит эллипсоид в эллипсоид.

Теорема 4.2. Произвольное аффинное преобразование пространства представимо композицией подобия и родства.

Доказательство. Пусть аффинное преобразование f отображает сферу σ на эллипсоид σ´. Из теоремы 3.1 следует, что f может быть задано этими фигурами. Рассмотрим плоскость α´, содержащую центр эллипсоида и пересекающую его по некоторой окружности ω´ (существование такой плоскости легко доказать из соображений непрерывности). Пусть α – прообраз α´, – прообраз ω´, β – сфера, имеющая окружность ω´ своей диаметральной окружностью. Существует родство ρ, отображающее β на σ´, и существует подобие P, отображающее σ на β. Тогда – искомое представление.

Из доказательства предыдущей теоремы сразу следует теорема 4.3:

Теорема 4.3. Аффинное преобразование, сохраняющее сферу, является подобием.

Часть IV. Проективные преобразования.

1. Проективные преобразования плоскости.

Определение. Проективная плоскость – обычная (евклидова)плоскость, дополненная бесконечно удаленными точками и бесконечно удаленной прямой, называемыми также несобственными элементами . При этом каждая прямая дополняется одной несобственной точкой, вся плоскость – одной несобственной прямой; параллельные прямые дополняются общей несобственной точкой, непараллельные – разными; несобственные точки, дополняющие всевозможные прямые плоскости, принадлежат несобственной прямой.

Определение. Преобразование проективной плоскости, переводящее любую прямую в прямую, называется проективным .

Следствие. Проективное преобразование, сохраняющее бесконечно удалённую прямую является аффинным; любое аффинное преобразование является проективным, сохраняющим бесконечно удалённую прямую.

Определение. Центральным проектированием плоскости α на плоскость β с центром в точке О, не лежащей на этих плоскостях, называется отображение, которое любой точке А плоскости α ставит в соответствие точку А´ пересечения прямой ОА с плоскостью β.

При этом, если плоскости α и β не параллельны, то в плоскости α найдётся прямая ℓ такая, что плоскость, проходящая через точку О и прямую ℓ, параллельна плоскости β. Будем считать, что ℓ при нашем проектировании переходит в бесконечно удалённую прямую плоскости β (при этом каждая точка B прямой ℓ переходит в ту точку бесконечно удалённой прямой, что дополняет прямые параллельные ОВ). В плоскости β найдётся прямая ℓ´ такая, что плоскость, проходящая через точку О и прямую ℓ´, параллельна плоскости α. Будем считать ℓ´ образом бесконечно удалённой прямой плоскости α. Прямые ℓ и ℓ´ будем называть выделенными .

Мы можем говорить, что задано просто преобразование проективной плоскости (если совместить плоскости α и β).

Из определения сразу вытекают свойства центральной проекции :

1. Центральное проектирование – проективное преобразование.
2. Обратное к центральному проектированию преобразование – центральное проектирование с тем же центром.
3. Прямые, параллельные выделенным, переходят в параллельные.

Определение. Пусть точки А, В, С, D лежат на одной прямой. Двойным отношением (АВ; СD) этих точек называется величина . Если одна из точек является бесконечно удалённой, то длины отрезков, концом которых является эта точка, можно сократить.

Теорема 1.1. Центральная проекция сохраняет двойные отношения.

Доказательство. Пусть О – центр проектирования, А, В, С, D – четыре точки, лежащие на одной прямой, A´, B´, C´, D´ – их образы.

Аналогично .

Поделив одно равенство на другое, получим .

Аналогично, вместо точки С рассматривая точку D, получим .

Отсюда , т.е. .

Чтобы доказательство было полным, осталось заметить, что все отрезки, площади и углы можно считать ориентированными.

Теорема 1.2. Пусть даны четыре точки A, B, C, D плоскости π, не лежащие на одной прямой, и четыре точки M, N, P, Q плоскости π´, не лежащие на одной прямой. Тогда существует композиция центральной (параллельной) проекции и подобия, переводящая A в M, В в N, С в Р, D в Q.

Доказательство.

Будем для удобства говорить, что ABCD и MNPQ – четырёхугольники, хотя на самом деле это не обязательно (например, могут пересекаться отрезки АВ и CD). Из доказательства будет видно, что мы нигде не используем, что точки A, В, С, D и M, N, P, Q в указанном порядке образуют четырёхугольники.

.

Проведём теперь через точки A, B, C, D прямые АK, BL, CF, DG, параллельные X 1 X 2 (K, L лежат на DC; G, F – на АВ), а через точки N, M – прямые NT, MS, параллельные Y 1 Y 2 (T, S лежат на PQ). Переведём центральной (параллельной) проекцией f трапецию АВLK в трапецию А´В´L´K´ плоскости π´, подобную трапеции MNTS (это возможно по части I нашего доказательства). При этом из выбора точек Х 1 , Х 2 следует, что прямая Х 1 Х 2 – выделенная прямая плоскости π´. Отметим на прямой L´K´ точки С´, D´ такие, что трапеция ABCD подобна трапеции A´B´C´D´. Проведём прямые C´F´, D´G´, параллельные прямой B´L´ (F´, G´ лежат на А´В´), и отметим на прямой А´В´ точку Y 1 ´ такую, что , . На прямой C´D´ отметим точку Y 2 ´ такую, что Y 1 ´Y 2 ´||A´K´ (см. рис.). Из выбора точек Y 1 ´ и Y 2 ´ следует, что прямая Y 1 ´Y 2 ´ – выделенная прямая плоскости π´. При преобразовании f точка Е переходит в точку Е´ пересечения прямых A´B´ и L´K´. Точка С переходит в некоторую точку С 0 ´ прямой С´D´.

Докажем, что С 0 совпадает с С´. Из того, что Х 2 при преобразовании f переходит в бесконечно удалённую точку прямой C´D´, а Y 2 ´ - образ бесконечно удалённой точки прямой CD и центральная проекция сохраняет двойные отношения, следует, что , откуда . Теперь рассмотрим преобразование g, композицию центральной проекции и подобия, переводящее трапецию CDGF в трапецию C´D´G´F´. Для преобразования g аналогично можно показать, что . Отсюда будет следовать, что точки С 0 и С´ совпадают. Аналогично можно показать, что D 0 – образ точки D при преобразовании f – совпадает с D´. Итак, преобразование f переводит четырёхугольник ABCD в четырёхугольник A´B´C´D´, подобный четырёхугольнику MNPQ, что и требовалось.

Теорема 1.3. Пусть даны четвёрки точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой: A, B, C, D и A´, B´, C´, D´. Тогда существует единственное проективное преобразование, переводящее А в А´, В в В´, С в С´, D в D´.

Существование такого преобразования следует из теоремы 1.1.

Единственность можно доказывать так же, как и единственность аффинного преобразования (теорема 1.1, часть III): рассматривать квадратную решётку, строить её образ, а затем измельчать. Обойти те трудности, с которыми мы столкнулись п

Движения плоскости и их свойства. Примеры движений. Классификация движений. Группа движений. Применение движений к решению задач

Движение – это преобразования фигур, при котором сохраняются расстояния между точками. Если две фигуры точно совместить друг с другом посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны.

Движение – это биективное преобразование φ плоскости π, при котором для любых различных точек X, Y є π выполнено соотношение XY  φ(X)φ(Y).

Свойства движений:

1.Композиция φ ◦ ψ двух движений ψ , φ является движением.

Док-во: Пусть фигура F переводится движением ψ в фигуру F ’, а фигура F ’ переводится движением φ в фигуру F ’’. Пусть при первом движении точка X фигуры F переходит в точку X ’ фигуры F ’ , а при втором движении точка X ’ фигуры F ’ переходит в точку X ’’ фигуры F ’’. Тогда преобразование фигуры F в фигуру F ’’, при котором произвольная точка X фигуры F переходит в точку X ’’ фигуры F ’’, сохраняет расстояние между точками, а значит, также является движением.

Запись композиции всегда начинается с последнего движения, т.к. результатом композиции является конечный образ – он и ставится в соответствие исходному: X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

2. Если φ – движение, то преобразование φ -1 также является движением.

Док-во: Пусть преобразование фигуры F в фигуру F ’ переводит различные точки фигуры F в различные точки фигуры F ’. Пусть произвольная точка X фигуры F при этом преобразовании переходит в точку X ’ фигуры F ’.

Преобразование фигуры F ’ в фигуру F , при котором точка X ’ переходит в точку X , называется преобразованием, обратным данному. Для каждого движения φ можно определить обратное ему движение, которое обозначается φ -1 .

Т.о., преобразование, обратное движению, также является движением.

Очевидно, что преобразование φ -1 удовлетворяет равенствам: f ◦ f -1 = f -1 ◦ f = ε , где ε – тождественное отображение.

3. Ассоциативность композиций: Пусть φ 1 , φ 2 , φ 3 – произвольные движения. Тогда φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3) = (φ 1 ◦φ 2)◦φ 3 .

Тот факт, что композиция движений обладает свойством ассоциативности, позволяет определить степень φ с натуральным показателем n .

Положим φ 1 = φ и φ n +1 = φ n ◦ φ , если n ≥ 1 . Таким образом, движение φ n получается путём n -кратного последовательного применения движения φ .

4. Сохранение прямолинейности: Точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в точки, лежащие на одной прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

Это значит, что если точки A , B , C , лежащие на одной прямой (такие точки называют коллинеарными), переходят в точки A 1 , B 1 , C 1 , то эти точки также лежат на прямой; если точка B лежит между точками A и C , то точка B 1 лежит между точками A 1 и C 1 .

Док-во. Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C . Докажем, что точки A 1 , B 1 , C 1 лежат на одной прямой.

Если точки A 1 , B 1 , C 1 не лежат на одной прямой, то они являются вершинами некоторого треугольника A 1 B 1 C 1 . Поэтому A 1 C 1 < A 1 B 1 + B 1 C 1 .

По определению движения следует, что AC < AB + BC .

Однако по свойству измерения отрезков AC = AB + BC .

Мы пришли к противоречию. Значит, точка B 1 лежит между точками A 1 и C 1 .

Допустим, что точка A 1 лежит между точками B 1 , и C 1 . Тогда A 1 B 1 + A 1 C 1 = B 1 C 1 , и, следовательно, AB + AC = BC . Но это противоречит равенству AB + BC = AC .

Т.о., точка A 1 нележит между точками B 1 , и C 1 .

Аналогично доказывается, что точка C 1 не можетлежать между точками A 1 и B 1 . Т.к. из трёх точек A 1 , B 1 , C 1 одна лежит между двумя другими, то этой точкой может быть только B 1 . Теорема доказана полностью.

Следствие . При движении прямая отображается на прямую, луч – на луч, отрезок – на отрезок, а треугольник – на равный ему треугольник.

Если через Х обозначить множество точек плоскости, а через φ(Х) - образ множества Х при движении φ, т.е. множество всех точек вида φ(х), где х є Х, то можно дать более корректную формулировку данного свойства:

Пусть φ – движение, А, В, С – три различные коллинеарные точки.

Тогда точки φ(А), φ(В), φ(С) также коллинеарны.

Если l – прямая, то φ(l) также прямая.

Если множество Х является лучом (отрезком, полуплоскостью), то множество φ(Х) также является лучом (отрезком, полуплоскостью).

5. При движении сохраняются углы между лучами.

Док-во. Пусть AB и AC – два луча, исходящие, из точки A , не лежащие на одной прямой. При движении эти лучи переходят в некоторые полупрямые (лучи) A 1 B 1 и A 1 C 1 . Т.к. движение сохраняет расстояния, то треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по третьему признаку равенства треугольников (если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны).Из равенства треугольников следует равенство углов BAC и B 1 A 1 C 1 , что и требовалось доказать.

6. Всякое движение сохраняет сонаправленность лучей и одинаковую ориентированность флагов.

Лучи l А и l В называются сонаправленными (одинаково ориентированными, обозначение: l А l В ), если один из них содержится в другом, или если они совмещаются параллельным переносом. Флаг F = (π l , l o) – это объединение полуплоскости π l и луча l o .

Точка О – начало флага, луч l o с началом в точке О – древко флага, π l – полуплоскость с границей l .

Док-во. Пусть φ – произвольное движение, l А l В –сонаправленные лучи с началами в точках А и В соответственно. Введём обозначения: l А1 = φ (l А ), А 1 = φ (А ), l В1 = φ (l В ), В 1 = φ (А ).Если лучи l А и l В лежат на одной прямой, то в силу сонаправленности один из них содержится в другом. Считая, что l А  l В , получаем φ (l А )  φ (l В ), т.е. l А1 l В1 (символом  обозначается включение или равенство подмножества элементов множеству элементов).Если же l А, l В лежат на разных прямых, то пусть n = (AB ).Тогда существует такая полуплоскость π n , что l А, l В  π n . Отсюда φ (l А ),φ (l В ) φ (π n ). Поскольку φ (π n ) – полуплоскость, причем ее граница содержит точки А 1 и В 1 , мы опять получаем, что l А, l В сонаправлены.

Применим теперь движение φ к одинаково ориентированным флагам F = (π l ,l А ), G = (π m ,m B ).Рассмотрим случай, когда точки A и B совпадают. Если прямые l и m различны, то одинаковая ориентированность флагов означает, что либо (1) l А  π m , m А  π’ l , либо (2) l А  π’ m , m А  π l . Без ограничения общности можно считать, что выполняется условие (1). Тогда φ (l А )  φ (π m ), φ (m А )  φ (π’ l ). Отсюда вытекает одинаковая ориентированность флагов φ (F ) и φ (G ).Если же прямые l , m совпадают, то либо F = G, либо F = G’. Отсюда следует, что флаги φ (F ) и φ (G ) одинаково ориентированные.

Пусть теперь точки A и B различны. Обозначим через n прямую (AB ). Понятно, что найдутся сонаправленные лучи n A и n B и полуплоскость π n такие, что флаг F 1 = (π n, n A ) сонаправлен с F , а флаг G 1 = (π n , n B , ) сонаправлен с G. Значит φ (F ) и φ (G ) одинаково ориентированные.Теорема доказана.

Примеры движений:

1)параллельный перенос - такое преобразование фигуры, при котором все точки фигуры перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

2)симметрия относительно прямой (осевая или зеркальная симметрия). Преобразование σ фигуры F в фигуру F’ ,при котором каждая её точка X переходит в точку X’ , симметричную относительно данной прямой l , называется преобразованием симметрии относительно прямой l. При этом фигуры F и F’ называются симметричными относительно прямой l .

3)поворот вокруг точки. Поворотом плоскости ρ вокруг данной точки O называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол α в одном и том же направлении

Движения сохраняют расстояния и потому сохраняют все геометрические свойства фигур, поскольку они определяются расстояниями. В этом пункте мы получим наиболее общие свойства движений, приводя доказательства в тех случаях, когда они не очевидны.

Свойство 1. Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, а три точки, не лежащие на одной прямой, - в три точки, не лежащие на одной прямой.

Пусть движение переводит соответственно точки в точки Тогда выполняются равенства

Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то одна из них, например, точка В лежит между двумя другими. В этом случае и из равенств (1) следует, что . А это равенство означает, что точка В лежит между точками А и С. Первое утверждение доказано. Второе вытекает из первого и обратимости движения (способом от противного).

Свойство 2. Отрезок движением переводится в отрезок.

Пусть концам отрезка АВ движение f сопоставляет точки А и В. Возьмем любую точку X отрезка АВ. Тогда, как и в доказательстве свойства 1, можно установить, что ее образ - точка лежит на отрезке АВ между точками А и В. Далее, каждая точка

Y отрезка А В является образом некоторой точки Y отрезка АВ. А именно, той точки Y, которая удалена от точки А на расстояние A Y. Следовательно, отрезок АВ движением переводится в отрезок АВ.

Свойство 3. При движении луч переходит в луч, прямая - в прямую.

Эти утверждения докажите самостоятельно. Свойство 4. Треугольник движением переводится в треугольник, полуплоскость - в полуплоскость, плоскость - в плоскость, параллельные плоскости - в параллельные плоскости.

Треугольник ABC заполняется отрезками, соединяющими вершину А с точками X противоположной стороны ВС (рис. 26.1). Движение сопоставит отрезку ВС некоторый отрезок В С и точке А - точку А, не лежащую на прямой ВС. Каждому отрезку АХ это движение сопоставит отрезок АХ, где точка X лежит на ВС. Все эти отрезки АХ заполнят треугольник АВС.

В него и переходит треугольник

Полуплоскость можно представить как объединение неограниченно расширяющихся треугольников, у которых одна сторона лежит на границе полуплоскости

(рис. 26.2). Поэтому полуплоскость перейдет при движении в полуплоскость.

Аналогично, плоскость можно представить как объединение неограниченно расширяющихся треугольников (рис. 26.3). Поэтому при движении плоскость отображается на плоскость.

Поскольку движение сохраняет расстояния, то при движении расстояния между фигурами не изменяются. Отсюда следует, в частности, что при движениях параллельные плоскости перейдут в параллельные.

Свойство 5. При движении образом тетраэдра является тетраэдр, образом полупространства - полупространство, образом пространства - все пространство.

Тетраэдр ABCD представляет собой объединение отрезков, соединяющих точку D со всевозможными точками X треугольника ABC (рис. 26.4). При движении отрезки отображаются на отрезки, а потому тетраэдр перейдет в тетраэдр.

Полупространство можно представить как объединение расширяющихся тетраэдров, у которых основания лежат в граничной плоскости полупространства. Поэтому при движении образом полупространства будет полупространство.

Пространство можно представить как объединение неограниченно расширяющихся тетраэдров. Поэтому при движении пространство отображается на все пространство.

Свойство 6. При движении углы сохраняются, т. е. всякий угол отображается на угол того же вида и той же величины. Аналогичное верно и для двугранных углов.

При движении полуплоскость отображается на полуплоскость. Так как выпуклый угол есть пересечение двух полуплоскостей, а невыпуклый угол и двугранный угол есть объединение полуплоскостей, то при движении выпуклый угол переходит в выпуклый угол, а невыпуклый

угол и двугранный угол соответственно - в невыпуклый и двугранный угол.

Пусть лучи а и b, исходящие из точки О, отобразились на лучи а и b, исходящие из точки О. Возьмем треугольник ОАВ с вершинами А на луче а и В на луче b (рис. 26.5). Он отобразится на равный треугольник ОАВ с вершинами А на луче а и В на луче b. Значит, углы между лучами а, b и а, b равны. Поэтому при движении величины углов сохраняются.

Следовательно, сохраняется перпендикулярность прямых, а значит - прямой и плоскости. Вспомнив определения угла между прямой и плоскостью и величины двугранного угла, получим, что величины этих углов сохраняются.

Свойство 7. Движения сохраняют площади поверхностей и объемы тел.

Действительно, поскольку движение сохраняет перпендикулярность, то движение высоты (треугольников, тетраэдров, призм и т. п.) переводит в высоты (образы этих треугольников, тетраэдров, призм и т. п.). При этом длины этих высот будут сохраняться. Поэтому площади треугольников и объемы тетраэдров при движениях сохраняются. А значит, сохранятся и площади многоугольников, и объемы многогранников. Площади же криволинейных поверхностей и объемы тел, ограниченных такими поверхностями, получаются предельными переходами от площадей многогранных поверхностей и объемов многогранных тел. Поэтому и они при движениях сохраняются.

Темой этого видеоурока будут свойства движения, а также параллельный перенос. В начале занятия мы еще раз повторим понятие движения, его основные виды - осевую и центральную симметрию. После этого рассмотрим все свойства движения. Разберем понятие «параллельный перенос», для чего он используется, назовем его свойства.

Тема: Движение

Урок: Движение. Свойства движения

Докажем теорему: при движении отрезок переходит в отрезок .

Расшифруем формулировку теоремы с помощью Рис. 1. Если концы некоторого отрезка MN при движении отобразились в некоторые точки M 1 и N 1 соответственно, то любая точка Р отрезка MN обязательно перейдет в некоторую точку Р 1 отрезка M 1 N 1 , и наоборот, в каждую точку Q 1 отрезка M 1 N 1 обязательно отобразится некоторая точка Qотрезка MN.

Доказательство.

Как видно из рисунка, MN = MР + РN.

Пусть точка Р переходит в некоторую точку Р 1 " плоскости. Из определения движения следует равенство длин отрезков MN = M 1 N 1 , MР = M 1 Р 1 ", РN = Р 1 "N 1 . Из этих равенств следует, что M 1 Р 1 ", M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 = MР + РN = MN = M 1 N 1 , то есть, точка Р 1 " принадлежит отрезку M 1 N 1 и совпадает с точкой P 1 , в противном случае вместо приведенного равенства было бы справедливо неравенство треугольника M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 > M 1 N 1 . То есть мы доказали, что при движении любая точка любая точка Р отрезка MN обязательно перейдет в некоторую точку Р 1 отрезка M 1 N 1 . Вторая часть теоремы (касательно точки Q 1) доказывается абсолютно аналогично.

Доказанная теорема справедлива для любых движений!

Теорема: при движении угол переходит в равный ему угол.

Пусть дан ÐАОВ (Рис. 2). И пусть задано некоторое движение, при котором вершина ÐО переходит в точку О 1 , а точки А и В - соответственно в точки А 1 и В 1 .

Рассмотрим треугольники АОВ и А 1 О 1 В 1 . По условию теоремы, точки А, О и В переходят при движении в точки А 1 , О 1 и В 1 соответственно. Следовательно, имеет место равенство длин АО = А 1 О 1 , ОВ = О 1 В 1 и АВ = А 1 В 1 . Таким образом, АОВ = А 1 О 1 В 1 по трем сторонам. Из равенства треугольников вытекает равенство соответствующих углов О и О 1 .

Итак, любое движение сохраняет углы.

Из основных свойств движения вытекает масса следствий, в частности то, что любая фигура при движении отображается на равную ей фигуру

Рассмотрим еще один вид движения - параллельный перенос.

Параллельным переносом на некоторый заданный вектор называется такое отображение плоскости на саму себя, при котором каждая точка М плоскости переходит в такую точку М 1 той же плоскости, чтобы (Рис. 3).

Докажем, что параллельный перенос является движением .

Доказательство.

Рассмотрим произвольный отрезок MN (Рис. 4). Пусть при параллельном переносе точка М перешла в точку М 1 , а точка N - в точку N 1 . При этом выполнены условия параллельного переноса: и . Рассмотрим четырехугольник

ММ 1 N 1 N. У него две противоположные стороны (MM 1 и NN 1) равны и параллельны, как это продиктовано условиями параллельного переноса. Следовательно, данный четырехугольник является параллелограммом согласно одному из признаков последнего. Отсюда вытекает, что и другие две стороны (MN и M 1 N 1) параллелограмма имеют равные длины, что и требовалось доказать.

Таким образом, параллельный перенос, действительно, является движением.

Подведем итоги. Мы знакомы уже с тремя видами движений: осевой симметрией, центральной симметрией и параллельным переносом. Мы доказали, что при движении отрезок переходит в отрезок, а угол - в равный ему угол. Кроме того, можно показать, что прямая при движении переходит в прямую и окружность переходит в окружность того же радиуса.

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. - М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7-11 кл. общеобр. учрежд. - М.: Просвещение, 1995.

1. Российский общеобразовательный портал ().

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» ().

1. Атанасян (см. список литературы), стр. 293, § 1, пункт 114.

Свойства движений.

Теорема. Основное свойстве движений.

Результатом двух последовательных движений плоскости является движение плоскости.

Доказательство Утверждение той теоремы очевидно. По сути, надо лишь разъяснить ее формулировку.

Пусть в результате первого движения тока A переходит в точку A", а в результате второго точка A" переходит в точку A"". Два этих движения можно заменить одним преобразованием, переводящим точку A непосредственно в точку A"". Различные точки плоскости при этом переходят в различные точки, поэтому мы на самом деле получили преобразование плоскости. Осталось доказать, что построенное таким образом преобразование является движением.

Рассмотрим две различные точки плоскости A и B, переходящие после первого движения соответственно в точки A" и B". Пусть точки A" и B" в результате второго движения переходят соответственно в точки A"" и B"". Так как AB = A"B"= A""B"", то преобразование, переводящее A и B в A"" и B"", является движением. (Ведь A и B - две любые точки плоскости.) t

1. При движении три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой.

2. При движении любой отрезок отображается на отрезок, причём концы отрезка переходят в концы его образа.

3. При движении прямая отображается на прямую и параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.

4. При движении луч отображается на луч.

5. При движении угол отображается на равный ему угол.

6. При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.

7. При движении окружность отображается на окружность того же радиуса.

Аналитическое задание движений

Определение: Говоря, что два репера одинаково ориентированы, если они имеют однозначные базисы, и противоположно ориентированы, если базисы также противоположны.

Определение: Говорят, что преобразование точек плоскости сохраняет ориентацию, если при этом преобразовании соответствующие реперы одинаково ориентированы и. наоборот, меняет ориентацию если соответствующие реперы противоположно ориентированы.

I. Движение не меняющее ориентацию. Эти движения можно задать формулой вида:

.

II. Движение задается аналогично формулой с противоположными знаками.

.

Обе формулы можно объединить в единую запись.

Можно показать, что все известные нам движения имеют формулу, имеющую частную формулу общей.

- движение II рода.

Можно доказать, что перенос, поворот и центр симметрии является движением I рода.

Теорема: Если некоторое преобразование плоскости может быть задано формулой вида.

,

тогда, если матрица ортогональная, то преобразование является движением. Под ортогональной

Понимаем матрицу, определитель которой равен .

Пример: Пусть на ориентированной плоскости задан угол поворота, зная координаты двух соответствующих точек в заданном репере рассмотрим частный случай, когда центр поворота совпадает с началом координат.

.

- ?

30. Инвариантные точки и прямые. Классификация движений

ТОЧКА ИНВАРИАНТНАЯ

Точка на физико-хим. диаграмме, соответствующая инвариантному равновесию фаз, характеризующемуся строго определенными постоянными значениями всех интенсивных параметров состояния системы (температура, давление, хим. потенциалы компонентов). Частный случай Т. и. - точка тройная . Инвариантные прямые - это прямые, все точки которых после аффинного преобразования остаются принадлежащими данной прямой. То есть если точка с координатами (x, y) принадлежит прямой, то и точка (x*, y*) также принадлежит данной прямой.

Классификация движений плоскости

Определение: Точка плоскости инвариантной (неподвижной), если при данном преобразовании она переходит в себя.

Пример: При центральной симметрии инвариантной является точка центра симметрии. При повороте инвариантной является точка центра поворота. При осевой симметрии инвариантной является прямая - ось симметрии - это прямая инвариантных точек.

Теорема: Если движение не имеет ни одной инвариантной точки, то оно имеет хотя бы одно инвариантное направление.

Пример: Параллельный перенос. Действительно, прямые, параллельные этому направлению инвариантных как фигура в целом, хотя не состоит из инвариантных точек.

Теорема: Если движется какой-то луч, луч переводит в себя, то это движение либо тождественное преобразование, либо симметрия относительно прямой содержащей данный луч.

Поэтому по наличию инвариантных точек или фигур можно провести классификацию движений.