Успейте воспользоваться скидками до 60% на курсы «Инфоурок»
Сложение:
Вычитание: прибавить вычесть разность.
Умножение:
Деление: умножить разделить на частное.
Выучи названия компонентов действий и правила нахождения неизвестных компонентов:
Сложение: слагаемое, слагаемое, сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
Вычитание: уменьшаемое, вычитаемое, разность. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
Умножение: множитель, множитель, произведение. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
Деление: делимое, делитель, частное. Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.
- Макаренко Инна Александровна
- 30.09.2016
Номер материала: ДБ-225492
Свидетельство о публикации данного материала автор может скачать в разделе «Достижения» своего сайта.
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей
Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность
Сертификат о создании сайта
Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта
Грамота за использование ИКТ в работе педагога
Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО
Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне
Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство
Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта «Инфоурок»
Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту
Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом «Инфоурок»
Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту
Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта «Инфоурок»
Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Как найти неизвестное слагаемое вычитаемое уменьшаемое правило
Числовое выражение — это составленная по определенным правилам запись, в которой используются числа, знаки арифметических действий и скобки.
Пример: 7 · (15 — 2) — 25 · 3 + 1.
Чтобы найти значение числового выражения , не содержащего скобки, надо выполнить слева направо по порядку сначала все действия умножения и деления, а затем все действия сложения и вычитания.
Если в числовом выражении есть скобки, то действия в них выполняются в первую очередь.
Алгебраическое выражение — это составленная по определенным правилам запись, в которой используются буквы, числа, знаки арифметических действий и скобки.
Пример: a + b + ; 6 + 2 · (n — 1).
Если в алгебраическое выражение вместо буквы подставить числа, то мы перейдем от алгебраического выражения к числовому: например, если в выражение 6 + 2 · (n — 1) вместо буквы n подставим число 25, то получим 6 + 2 · (25 — 1).
Таким образом,
6 + 2 · (n — 1) — алгебраическое выражение;
6 + 2 · (25 — 1) — числовое выражение;
54 — значение числового выражения.
Уравнением называют равенство выражений, содержащее букву, если ставится задача нахождения этой буквы . Сама буква в этом случае называется неизвестным . Значение неизвестного, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство, называется корнем уравнения.
Пример:
х + 9 = 16 — уравнение; х — неизвестное.
При х = 7, 7 + 9 = 16 верное числовое равенство, значит, 7 — корень уравнения.
Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
При решении простейших уравнений используют законы арифметических действий и правила нахождения компонентов действий.
Правила нахождения компонентов действий:
- Чтобы найти неизвестное слагаемое , надо из суммы вычесть известное слагаемое.
- Чтобы найти уменьшаемое , надо к вычитаемому прибавить разность.
- Чтобы найти вычитаемое , надо из уменьшаемого вычесть разность.
Если из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое.
Данные правила являются основой для подготовки к решению уравнений, которые в начальной школе решаются с опорой на правило нахождения соответствующего неизвестного компонента равенства.
Решите уравнение 24-х-19.
В уравнении неизвестно вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность: х = 24 – 19, х=5.
В стабильном учебнике математики действия сложения и вычитания изучаются одновременно. В некоторых альтернативных учебниках (И.И. Аргинская, Н.Б. Истомина) сначала изучается сложение, а затем вычитание.
Выражение вида 3+5 называют суммой .
Числа 3 и 5 в этой записи называют слагаемыми .
Запись вида 3+5=8 называют равенством . Число 8 называют значением выражения. Поскольку число 8 в данном случае получено в результате суммирования, его также часто называют суммой.
Найдите сумму чисел 4 и 6 (Ответ: сумма чисел 4 и 6 – это 10).
Выражения вида 8-3 называют разность.
Число 8 называют уменьшаемым , а число 3 – вычитаемым.
Значение выражения – число 5 также могут называть разностью.
Найдите разность чисел 6 и 4.(Ответ: разность чисел 6и4 – это 2.)
Поскольку названия компонентов действий сложения и вычитания вводятся по соглашению (детям сообщаются эти названия и их необходимо запомнить), педагог активно использует задания, требующие распознания компонентов действий и употребления их названий в речи.
7. Среди данных выражений найдите такие, в которых первое слагаемое (уменьшаемое, вычитаемое) равно 3:
8. Составьте выражение, в котором второе слагаемое (уменьшаемое, вычитаемое) равно 5. найдите его значение.
9. Выберите примеры, в которых сумма равна 6. Подчеркните их красным цветом. Выберите примеры, в которых разность равна2. Подчеркните их синим цветом.
10. Как называют число 4 в выражении 5-4? Как называют число 5? Найдите разность. Составьте другой пример, в котором разность равна тому же числу.
11. Уменьшаемое 18, вычитаемое 9. Найдите разность.
12. найдите разность чисел 11 и 7. Назовите уменьшаемое, вычитаемое.
Во 2 классе дети знакомятся с правилами проверки результатов действий сложения и вычитания:
Сложение можно проверить вычитанием:
57+8 = 65. Проверка: 65 – 8 =57
Из суммы вычли одно слагаемое, получили другое слагаемое. Значит, сложение выполнено верно.
Данное правило применимо к проверке действия сложения в любом концентре (при проверке вычислений с любыми числами).
Вычитание можно проверить сложением:
63-9=54. Проверка: 54+9=63
К разности прибавили вычитаемое, получили уменьшаемое. Значит, вычитание выполнено верно.
Данное правило также применимо к проверке действия вычитания с любыми числами.
В 3 классе дети знакомятся с правилами взаимосвязи компонентов сложения и вычитания, которые являются обобщением представлений ребенка о способах проверки сложения и вычитания:
Если из суммы вычесть одно слагаемое, то получится другое слагаемое.
Поиск вычитаемого, уменьшаемого и разности для первоклассников
Длинная дорога в мир знаний
начинается с первых примеров, простых уравнений и задач. В нашей статье мы рассмотрим уравнение вычитания, которое, как известно, состоит из трёх частей: уменьшаемое, вычитаемое, разность.
Теперь рассмотрим правила вычисления каждого из этих компонентов на простых примерах.
Чтобы сделать юным математикам понимание азов науки проще и доступнее, представим эти сложные и пугающие термины именами чисел в уравнении. Ведь у каждого человека есть имя, по которому к нему обращаются, чтобы о чем-то спросить, что-то рассказать, обменяться информацией. Учитель в классе, вызывая ученика к доске, смотрит на него и называет по имени. Так и мы, глядя на числа в уравнении, можем очень легко понять, какое число как зовут. А после уже и обратиться к числу, чтобы правильно решить уравнение или даже найти потерявшееся число, об этом чуть позже.
Это интересно: разрядные слагаемые – что это?
Но, ничего не зная о числах в уравнении, давайте сначала с ними познакомимся. Для этого приведем пример: уравнение 5−3= 2. Первое и самое большое число 5 после того, как мы от него отняли 3, становится меньше, уменьшается. Поэтому в мире математики его так и называют - Уменьшаемое. Второе число 3, которое мы отнимаем от первого, тоже легко узнать и запомнить - оно Вычитаемое. Глядя на третье число 2, мы видим разницу между Уменьшаемым и Вычитаемым - это Разность, то, что мы получили в результате вычитания. Вот так.
Как найти неизвестные
Мы познакомились с тремя братьями:
Но бывают случаи, когда какое-то из чисел теряется или просто неизвестно. Что же делать? Все очень просто - для того, чтобы такое число найти, нам нужно знать только два других значения, а также несколько правил математики, и, конечно, уметь ими пользоваться. Начнём с самой лёгкой ситуации, когда нам нужно найти Разность.
Это интересно: что такое хорда окружности в геометрии, определение и свойства.
Как найти разность
Представим, что мы купили 7 яблок, подарили 3 яблока своей сестре и оставили какое-то количество себе. Уменьшаемое - это наши 7 яблок, число которых уменьшилось. Вычитаемое - это те 3 подаренных нами яблока. Разность - это количество оставшихся яблок. Что сделать, чтобы узнать это количество? Решить уравнение 7−3= 4. Таким образом, хотя мы и подарили 3 яблока сестре, у нас ещё осталось 4.
Правило поиска уменьшаемого
Теперь узнаем, что делать, если потерялось Уменьшаемое .
Как найти вычитаемое
Рассмотрим, что делать, если потерялось Вычитаемое
. Представим, что мы купили 7 яблок, принесли домой и ушли гулять, а когда вернулись - осталось всего 4. Вычитаемым в этом случае будет то количество яблок, которое кто-то съел в наше отсутствие. Давайте обозначим это число в виде буквы Y. Получится уравнение 7-Y=4. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо знать простое правило и сделать следующее - из Уменьшаемого отнять Разность, то есть 7 -4= 3. Наше неизвестное значение отыскалось, это 3. Ура! Теперь мы знаем, сколько было съедено.
На всякий случай можно проверить наши успехи и подставить отыскавшееся Вычитаемое в исходный пример. 7−3= 4. Разность не изменилась, а значит мы сделали все правильно. Было 7 яблок, съели 3, осталось 4.
Правила очень простые, но, чтобы быть уверенными и ничего не забыть, можно поступить так - самому для себя придумать лёгкий и понятный пример на вычитание и, решая другие примеры, отыскивать неизвестные значения, просто подставляя цифры и легко находить правильный ответ. Например, 5−3= 2. Мы уже знаем, как найти и Уменьшаемое 5, и Вычитаемое 3, поэтому решая более сложное уравнение, скажем, 25-Х= 13, мы можем вспомнить наш простой пример и понять, что, чтобы найти неизвестное Вычитаемое, нужно лишь отнять от 25 число 13, то есть 25 -13= 12.
Ну вот, теперь мы познакомились с вычитанием, его главными участниками.
Мы умеем отличать их друг от друга, находить, если они неизвестны и решать любые уравнения с их участием. Пусть эти знания помогут и пригодятся вам в начале интересного и увлекательного пути в страну Математики. Удачи!
Составные задачи на нахождение уменьшаемого, вычитаемого и разности
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На данном уроке ученики познакомятся с составными задачами на нахождение уменьшаемого, вычитаемого и разности. Будут рассмотрены несколько составных задач (в несколько действий), в которых нужно будет найти разность, вычитаемое и уменьшаемое.
Давайте повторим определение составных задач.
Составные задачи – это задачи, в которых ответ на главный вопрос задачи требует выполнения нескольких действий.
Давайте вспомним, компонентами, какого действия является уменьшаемое и вычитаемое. Это компоненты вычитания. Результатом какого действия является разность? И разность – это тоже результат вычитания.
Решение задачи 1
Задача 1
Рис. 2. Схема задачи 1
Из схемы на рис. 2 нам видно, что целое нам известно – это 90 роз. Целое в этой задаче – уменьшаемое, которое состоит из двух частей: вычитаемого и разности. Мы видим, что вычитаемое нам пока неизвестно, но мы можем его узнать. Мы можем узнать, сколько роз в трех букетах. А неизвестное в этой задаче – разность, ее мы найдем вторым действием.
Сначала нам нужно узнать, сколько роз в трех букетах. Букеты были одинаковые, в каждом букете было 9 роз. Значит, для того чтобы узнать, сколько роз в трех букетах, нужно 9 повторить три раза, то есть 9 умножить на 3.
Сколько роз осталось? Мы ищем разность. Для того чтобы найти разность, нужно из уменьшаемого вычесть вычитаемое. Из количества роз, которое привезли в магазин, –90 – вычтем количество роз, которое в букетах, – 27. Значит, осталось 63 розы.
В задаче 1 мы находили разность. Такие задачи так и называются задачи на нахождение разности .
Решение задачи 2
Задача 2
Рис. 4. Схема задачи 2
Из схемы на рис. 4 хорошо видно, что части нам известны. Мы пока не знаем, сколько учебников на полках, но мы можем это вычислить. Мы знаем, сколько учебников пока не поставили на полки 8. А неизвестно нам целое. Целое в данном случае – это уменьшаемое. Значит, мы приступаем к задаче на нахождение уменьшаемого .
Давайте вспомним правило на нахождение уменьшаемого, если мы знаем вычитаемое и разность. Чтобы найти уменьшаемое, мы должны к разности прибавить вычитаемое. Но вычитаемое нам пока не известно, его мы и узнаем.
Если на каждой полке стоит 15 учебников и таких полок 4, то мы можем узнать, сколько учебников стоит на полках. Для этого количество учебников на одной полке – 15 – умножим на количество полок – 4. И мы определим, что на четырех полках находится 60 книг.
А восемь учебников у нас осталось, их еще не поставили на полки. Как нам узнать, сколько всего книг привезли в библиотеку? Мы к количеству учебников, которые находятся на полках, – 60 – прибавим количество учебников, которые остались, – 8 – и узнаем, что всего в школьную библиотеку было привезено 68 книг.
Решение задачи 3
Вы уже познакомились с задачами на нахождение разности и нахождение у уменьшаемого. Давайте определим, что неизвестно в задаче 3.
Задача 3
Давайте выясним, что неизвестно в данной задаче.
Рис. 6. Схема к задаче 3
Из схемы на рис. 6 видно, что целое нам известно – это количество бочонков, которое было у Винни Пуха – 10. Целое в нашей задаче – это уменьшаемое, которое нам известно. Та часть, которую он отдал Кролику, нам пока не известна, и это главный вопрос задачи. Еще мы знаем, что оставшиеся бочонки с медом Винни Пух поставил на две полки по 3 бочонка на каждую полку. Мы пока не знаем, сколько бочонков стоит на полках, но мы можем это вычислить.
В этой задаче неизвестно вычитаемое. Для того чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого, которое нам известно, вычесть разность , которая нам пока неизвестна. С нахождения разности мы начнем решение задачи.
У Вини Пуха на двух полках стоит по 3 бочонка. Как узнать, сколько бочонков стоит на полках? Для этого нужно количество бочонков на одной полке – 3 – повторить, то есть умножить на 2, так как полок было две.
Значит, из 10 бочонков 6 стоят на полках, а остальные Винни Пух подарил Кролику. Как узнать, сколько бочонков с медом Винни Пух подарил Кролику? Для этого мы воспользуемся правилом, из уменьшаемого вычтем разность, и у нас останется наше вычитаемое, которое равно 4. Значит, 4 бочонка с медом Винни Пух подарил своему другу Кролику.
Сегодня на уроке мы познакомились с новым видом задач и узнали, как нужно рассуждать, чтобы их решить правильно. На следующем уроке мы будем решать составные задачи на разностное и кратное сравнение.
Список литературы
- Александрова Э.И. Математика. 2 класс. – М.: Дрофа, 2004.
- Башмаков М.И., Нефёдова М.Г. Математика. 2 класс. – М.: Астрель, 2006.
- Дорофеев Г.В., Миракова Т.И. Математика. 2 класс. – М.: Просвещение, 2012.
Домашнее задание
Какие задачи называются составными? Компонентами какого действия является уменьшаемое и вычитаемое?
Ежик собрал 28 яблок. 9 из них он отдал ежику и еще несколько белочке. Сколько ежик отдал яблок белочке, если у него осталось 12 яблок?
В банке были соленые огурцы. За завтраком съели 12 огурцов, а в обед – 21. Сколько огурцов было в банке, если в ней осталось 15 огурцов?
Туристы прошли в первый день 5 км, во второй день – 3 км. Сколько всего км им надо пройти, если осталось пройти 2 км?
Чтобы научиться быстро и успешно решать уравнения, нужно начать с самых простых правил и примеров. В первую очередь надо научиться решать уравнения, слева у которых стоит разность, сумма, частное или произведение некоторых чисел с одним неизвестным, а справа другое число. Иными словами, в этих уравнениях есть одно неизвестное слагаемое и либо уменьшаемое с вычитаемым, либо делимое с делителем и т.д. Именно об уравнениях такого типа мы с вами поговорим.
Эта статья посвящена основным правилам, позволяющим найти множители, неизвестные слагаемые и др. Все теоретические положения будем сразу пояснять на конкретных примерах.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Нахождение неизвестного слагаемого
Допустим, у нас есть некоторое количество шариков в двух вазах, например, 9 . Мы знаем, что во второй вазе 4 шарика. Как найти количество во второй? Запишем эту задачу в математическом виде, обозначив число, которое нужно найти, как x. Согласно первоначальному условию, это число вместе с 4 образуют 9 , значит, можно записать уравнение 4 + x = 9 . Слева у нас получилась сумма с одним неизвестным слагаемым, справа – значение этой суммы. Как найти x ? Для этого надо использовать правило:
Определение 1
Для нахождения неизвестного слагаемого надо вычесть известное из суммы.
В данном случае мы придаем вычитанию смысл, который является обратным смыслу сложения. Иначе говоря, есть определенная связь между действиями сложения и вычитания, которую можно в буквенном виде выразить так: если a + b = c , то c − a = b и c − b = a , и наоборот, из выражений c − a = b и c − b = a можно вывести, что a + b = c .
Зная это правило, мы можем найти одно неизвестное слагаемое, используя известное и сумму. Какое именно слагаемое мы знаем, первое или второе, в данном случае неважно. Посмотрим, как применить данное правило на практике.
Пример 1
Возьмем то уравнение, что у нас получилось выше: 4 + x = 9 . Согласно правилу, нам нужно вычесть из известной суммы, равной 9 , известное слагаемое, равное 4 . Вычтем одно натуральное число из другого: 9 - 4 = 5 . Мы получили нужное нам слагаемое, равное 5 .
Обычно решения подобных уравнений записывают следующим образом:
- Первым пишется исходное уравнение.
- Далее мы записываем уравнение, которое получилось после того, как мы применили правило вычисления неизвестного слагаемого.
- После этого пишем уравнение, которое получилось после всех действий с числами.
Такая форма записи нужна для того, чтобы проиллюстрировать последовательную замену исходного уравнения равносильными и отобразить процесс нахождения корня. Решение нашего простого уравнения, приведенного выше, правильно будет записать так:
4 + x = 9 , x = 9 − 4 , x = 5 .
Мы можем проверить правильность полученного ответа. Подставим то, что у нас получилось, в исходное уравнение и посмотрим, выйдет ли из него верное числовое равенство. Подставим 5 в 4 + x = 9 и получим: 4 + 5 = 9 . Равенство 9 = 9 верное, значит, неизвестное слагаемое было найдено правильно. Если бы равенство оказалось неверным, то нам следовало бы вернуться к решению и перепроверить его, поскольку это знак допущенной ошибки. Как правило, чаще всего это бывает вычислительная ошибка или применение неверного правила.
Нахождение неизвестного вычитаемого или уменьшаемого
Как мы уже упоминали в первом пункте, между процессами сложения и вычитания существует определенная связь. С ее помощью можно сформулировать правило, которое поможет найти неизвестное уменьшаемое, когда мы знаем разность и вычитаемое, или же неизвестное вычитаемое через уменьшаемое или разность. Запишем эти два правила по очереди и покажем, как применять их при решении задач.
Определение 2
Для нахождения неизвестного уменьшаемого надо прибавить вычитаемое к разности.
Пример 2
Например, у нас есть уравнение x - 6 = 10 . Неизвестно уменьшаемое. Согласно правилу, нам надо прибавить к разности 10 вычитаемое 6 , получим 16 . То есть исходное уменьшаемое равно шестнадцати. Запишем все решение целиком:
x − 6 = 10 , x = 10 + 6 , x = 16 .
Проверим получившийся результат, добавив получившееся число в исходное уравнение: 16 - 6 = 10 . Равенство 16 - 16 будет верным, значит, мы все подсчитали правильно.
Определение 3
Для нахождения неизвестного вычитаемого надо вычесть разность из уменьшаемого.
Пример 3
Воспользуемся правилом для решения уравнения 10 - x = 8 . Мы не знаем вычитаемого, поэтому нам надо из 10 вычесть разность, т.е. 10 - 8 = 2 . Значит, искомое вычитаемое равно двум. Вот вся запись решения:
10 - x = 8 , x = 10 - 8 , x = 2 .
Сделаем проверку на правильность, подставив двойку в исходное уравнение. Получим верное равенство 10 - 2 = 8 и убедимся, что найденное нами значение будет правильным.
Перед тем, как перейти к другим правилам, отметим, что существует правило переноса любых слагаемых из одной части уравнения в другую с заменой знака на противоположный. Все приведенные выше правила ему полностью соответствуют.
Нахождение неизвестного множителя
Посмотрим на два уравнения: x · 2 = 20 и 3 · x = 12 . В обоих нам известно значение произведения и один из множителей, необходимо найти второй. Для этого нам надо воспользоваться другим правилом.
Определение 4
Для нахождения неизвестного множителя нужно выполнить деление произведения на известный множитель.
Данное правило базируется на смысле, который является обратным смыслу умножения. Между умножением и делением есть следующая связь: a · b = c при a и b , не равных 0 , c: a = b , c: b = c и наоборот.
Пример 4
Вычислим неизвестный множитель в первом уравнении, разделив известное частное 20 на известный множитель 2 . Проводим деление натуральных чисел и получаем 10 . Запишем последовательность равенств:
x · 2 = 20 x = 20: 2 x = 10 .
Подставляем десятку в исходное равенство и получаем, что 2 · 10 = 20 . Значение неизвестного множителя было выполнено правильно.
Уточним, что в случае, если один из множителей нулевой, данное правило применять нельзя. Так, уравнение x · 0 = 11 с его помощью решить мы не можем. Эта запись не имеет смысла, поскольку для решения надо разделить 11 на 0 , а деление на нуль не определено. Подробнее о подобных случаях мы рассказали в статье, посвященной линейным уравнениям.
Когда мы применяем это правило, мы, по сути, делим обе части уравнения на другой множитель, отличный от 0 . Существует отдельное правило, согласно которому можно проводить такое деление, и оно не повлияет на корни уравнения, и то, о чем мы писали в этом пункте, с ним полностью согласовано.
Нахождение неизвестного делимого или делителя
Еще один случай, который нам нужно рассмотреть, – это нахождение неизвестного делимого, если мы знаем делитель и частное, а также нахождение делителя при известном частном и делимом. Сформулировать это правило мы можем с помощью уже упомянутой здесь связи между умножением и делением.
Определение 5
Для нахождения неизвестного делимого нужно умножить делитель на частное.
Посмотрим, как применяется данное правило.
Пример 5
Решим с его помощью уравнение x: 3 = 5 . Перемножаем между собой известное частное и известный делитель и получаем 15 , которое и будет нужным нам делимым.
Вот краткая запись всего решения:
x: 3 = 5 , x = 3 · 5 , x = 15 .
Проверка показывает, что мы все подсчитали верно, ведь при делении 15 на 3 действительно получается 5 . Верное числовое равенство – свидетельство правильного решения.
Указанное правило можно интерпретировать как умножение правой и левой части уравнения на одинаковое отличное от 0 число. Это преобразование никак не влияет на корни уравнения.
Переходим к следующему правилу.
Определение 6
Для нахождения неизвестного делителя нужно разделить делимое на частное.
Пример 6
Возьмем простой пример – уравнение 21: x = 3 . Для его решения разделим известное делимое 21 на частное 3 и получим 7 . Это и будет искомый делитель. Теперь оформляем решение правильно:
21: x = 3 , x = 21: 3 , x = 7 .
Удостоверимся в верности результата, подставив семерку в исходное уравнение. 21: 7 = 3 , так что корень уравнения был вычислен верно.
Важно отметить, что это правило применимо только для случаев, когда частное не равно нулю, ведь в противном случае нам опять же придется делить на 0 . Если же частным будет нуль, возможны два варианта. Если делимое также равно нулю и уравнение выглядит как 0: x = 0 , то значение переменной будет любым, то есть данное уравнение имеет бесконечное число корней. А вот уравнение с частным, равным 0 , с делимым, отличным от 0 , решений иметь не будет, поскольку таких значений делителя не существует. Примером может быть уравнение 5: x = 0 , которое не имеет ни одного корня.
Последовательное применение правил
Зачастую на практике встречаются более сложные задачи, в которых правила нахождения слагаемых, уменьшаемых, вычитаемых, множителей, делимых и частных нужно применять последовательно. Приведем пример.
Пример 7
У нас есть уравнение вида 3 · x + 1 = 7 . Вычисляем неизвестное слагаемое 3 · x , отняв от 7 единицу. Получим в итоге 3 · x = 7 − 1 , потом 3 · x = 6 . Это уравнение решить очень просто: делим 6 на 3 и получаем корень исходного уравнения.
Вот краткая запись решения еще одного уравнения (2 · x − 7) : 3 − 5 = 2:
(2 · x − 7) : 3 − 5 = 2 , (2 · x − 7) : 3 = 2 + 5 , (2 · x − 7) : 3 = 7 , 2 · x − 7 = 7 · 3 , 2 · x − 7 = 21 , 2 · x = 21 + 7 , 2 · x = 28 , x = 28: 2 , x = 14 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Долгий путь наработки навыков решения уравнений начинается с решения самых первых и относительно простых уравнений. Под такими уравнениями мы подразумеваем уравнения, в левой части которых находится сумма, разность, произведение или частное двух чисел, одно из которых неизвестно, а в правой части стоит число. То есть, эти уравнения содержат неизвестное слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое, множитель, делимое или делитель. О решении таких уравнений и пойдет речь в этой статье.
Здесь мы приведем правила, позволяющие находить неизвестное слагаемое, множитель и т.п. Причем будем сразу рассматривать применение этих правил на практике, решая характерные уравнения.
Навигация по странице.
Итак, подставляем в исходное уравнение 3+x=8 вместо x число 5 , получаем 3+5=8 – это равенство верное, следовательно, мы правильно нашли неизвестное слагаемое. Если бы при проверке мы получили неверное числовое равенство, то это указало бы нам на то, что мы неверно решили уравнение. Основными причинами этого могут быть либо применение не того правила, которое нужно, либо вычислительные ошибки.
Как найти неизвестное уменьшаемое, вычитаемое?
Связь между сложением и вычитанием чисел, про которую мы уже упоминали в предыдущем пункте, позволяет получить правило нахождения неизвестного уменьшаемого через известное вычитаемое и разность, а также правило нахождения неизвестного вычитаемого через известное уменьшаемое и разность. Будем формулировать их по очереди, и сразу приводить решение соответствующих уравнений.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
Для примера рассмотрим уравнение x−2=5 . Оно содержит неизвестное уменьшаемое. Приведенное правило нам указывает, что для его отыскания мы должны к известной разности 5 прибавить известное вычитаемое 2 , имеем 5+2=7 . Таким образом, искомое уменьшаемое равно семи.
Если опустить пояснения, то решение записывается так:
x−2=5
,
x=5+2
,
x=7
.
Для самоконтроля выполним проверку. Подставляем в исходное уравнение найденное уменьшаемое, при этом получаем числовое равенство 7−2=5 . Оно верное, поэтому, можно быть уверенным, что мы верно определили значение неизвестного уменьшаемого.
Можно переходить к нахождению неизвестного вычитаемого. Оно находится с помощью сложения по следующему правилу: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность .
Решим уравнение вида 9−x=4 с помощью записанного правила. В этом уравнении неизвестным является вычитаемое. Чтобы его найти, нам надо от известного уменьшаемого 9 отнять известную разность 4 , имеем 9−4=5 . Таким образом, искомое вычитаемое равно пяти.
Приведем краткий вариант решения этого уравнения:
9−x=4
,
x=9−4
,
x=5
.
Остается лишь проверить правильность найденного вычитаемого. Сделаем проверку, для чего подставим в исходное уравнение вместо x найденное значение 5 , при этом получаем числовое равенство 9−5=4 . Оно верное, поэтому найденное нами значение вычитаемого правильное.
И прежде чем переходить к следующему правилу заметим, что в 6 классе рассматривается правило решения уравнений, которое позволяет выполнять перенос любого слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. Так вот все рассмотренные выше правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого с ним полностью согласованы.
Чтобы найти неизвестный множитель, надо…
Давайте взглянем на уравнения x·3=12 и 2·y=6 . В них неизвестное число является множителем в левой части, а произведение и второй множитель известны. Для нахождения неизвестного множителя можно использовать такое правило: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель .
В основе этого правила лежит то, что делению чисел мы придали смысл, обратный смыслу умножения. То есть, между умножением и делением существует связь: из равенства a·b=c , в котором a≠0 и b≠0 следует, что c:a=b и c:b=c , и обратно.
Для примера найдем неизвестный множитель уравнения x·3=12 . Согласно правилу нам надо разделить известное произведение 12 на известный множитель 3 . Проведем : 12:3=4 . Таким образом, неизвестный множитель равен 4 .
Кратко решение уравнения записывается в виде последовательности равенств:
x·3=12
,
x=12:3
,
x=4
.
Желательно еще сделать проверку результата: подставляем в исходное уравнение вместо буквы найденное значение, получаем 4·3=12 – верное числовое равенство, поэтому мы верно нашли значение неизвестного множителя.
И еще один момент: действуя по изученному правилу, мы фактически выполняем деление обеих частей уравнения на отличный от нуля известный множитель. В 6 классе будет сказано, что обе части уравнения можно умножать и делить на одно и то же отличное от нуля число, это не влияет на корни уравнения.
Как найти неизвестное делимое, делитель?
В рамках нашей темы осталось разобраться, как найти неизвестное делимое при известном делителе и частном, а также как найти неизвестный делитель при известном делимом и частном. Ответить на эти вопросы позволяет уже упомянутая в предыдущем пункте связь между умножением и делением.
Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.
Рассмотрим его применение на примере. Решим уравнение x:5=9 . Чтобы найти неизвестное делимое этого уравнения надо согласно правилу умножить известное частное 9 на известный делитель 5 , то есть, выполняем умножение натуральных чисел: 9·5=45 . Таким образом, искомое делимое равно 45 .
Покажем краткую запись решения:
x:5=9
,
x=9·5
,
x=45
.
Проверка подтверждает, что значение неизвестного делимого найдено верно. Действительно, при подстановке в исходное уравнение вместо переменной x числа 45 оно обращается в верное числовое равенство 45:5=9 .
Заметим, что разобранное правило можно трактовать как умножение обеих частей уравнения на известный делитель. Такое преобразование не влияет на корни уравнения.
Переходим к правилу нахождения неизвестного делителя: чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное .
Рассмотрим пример. Найдем неизвестный делитель из уравнения 18:x=3 . Для этого нам нужно известное делимое 18 разделить на известное частное 3 , имеем 18:3=6 . Таким образом, искомый делитель равен шести.
Решение можно оформить и так:
18:x=3
,
x=18:3
,
x=6
.
Проверим этот результат для надежности: 18:6=3 – верное числовое равенство, следовательно, корень уравнения найден верно.
Понятно, что данное правило можно применять только тогда, когда частное отлично от нуля, чтобы не столкнуться с делением на нуль. Когда частное равно нулю, то возможны два случая. Если при этом делимое равно нулю, то есть, уравнение имеет вид 0:x=0 , то этому уравнению удовлетворяет любое отличное от нуля значение делителя. Иными словами, корнями такого уравнения являются любые числа, не равные нулю. Если же при равном нулю частном делимое отлично от нуля, то ни при каких значениях делителя исходное уравнение не обращается в верное числовое равенство, то есть, уравнение не имеет корней. Для иллюстрации приведем уравнение 5:x=0 , оно не имеет решений.
Совместное использование правил
Последовательное применение правил нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого и делителя позволяет решать и уравнения с единственной переменной более сложного вида. Разберемся с этим на примере.
Рассмотрим уравнение 3·x+1=7 . Сначала мы можем найти неизвестное слагаемое 3·x , для этого надо от суммы 7 отнять известное слагаемое 1 , получаем 3·x=7−1 и дальше 3·x=6 . Теперь осталось найти неизвестный множитель, разделив произведение 6 на известный множитель 3 , имеем x=6:3 , откуда x=2 . Так найден корень исходного уравнения.
Для закрепления материала приведем краткое решение еще одного уравнения (2·x−7):3−5=2
.
(2·x−7):3−5=2
,
(2·x−7):3=2+5
,
(2·x−7):3=7
,
2·x−7=7·3
,
2·x−7=21
,
2·x=21+7
,
2·x=28
,
x=28:2
,
x=14
.
Список литературы.
- Математика. . 4 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 1 / [М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др.].- 8-е изд. - М.: Просвещение, 2011. - 112 с.: ил. - (Школа России). - ISBN 978-5-09-023769-7.
- Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
Основные правила по математике.
Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из значения суммы вычесть известное слагаемое.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к значению разности прибавить вычитаемое.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть значение разности.
Чтобы найти неизвестный множитель, надо значение произведения разделить на известный множитель
Чтобы найти неизвестное делимое, надо значение частного умножить на делитель.
Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на значение частного.
Законы действия сложения:
Переместительный: а + в = в + а (от перестановки мест слагаемых значение суммы не изменяется)
Сочетательный: (а + в) + с = а + (в + с) (Чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, можно к первому слагаемому прибавить сумму второго н третьего слагаемых).
Закон сложения числа с 0: а + 0 = а (при сложении числа с нулём, получаем то же самое число).
Законы умножения:
Переместительный: а ∙ в = в ∙ а (от перестановки мест множителей значение произведения не изменяется)
Сочетательный: (а ∙ в) ∙ с = а ∙ (в ∙ с) – Чтобы произведение двух множителей умножить на третий множитель, можно первый множитель умножить на произведение второго и третьего множителей.
Распределительный закон умножения: а ∙ (в + с) = а ∙ с + в ∙ с (Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое из слагаемых и полученные произведения сложить).
Закон умножения на 0: а ∙ 0 = 0 (при умножении любого числа на 0 получается 0)
Законы деления:
а: 1 = а (При делении числа на 1 получается то же самое число)
0: а = 0 (При делении 0 на число получается 0)
На ноль делить нельзя!
Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин его длины и ширины. Или: периметр прямоугольника равен сумме удвоенной ширины и удвоенной длины: Р = (а + в) ∙ 2,
Р = а ∙ 2 + в ∙ 2
Периметр квадрата равен длине стороны, умноженной на 4 (Р = а ∙ 4)
1 м = 10 дм = 100 см 1 час = 60 мин 1т = 1000 кг = 10 ц 1м = 1000 мм
1 дм = 10 см = 100 мм 1 мин = 60 сек 1 ц = 100 кг 1 кг = 1000 г
1 см = 10 мм 1 сут = 24 час 1 км = 1000 м
При выполнении разностного сравнения из большего числа вычитают меньшее, при выполнении кратного сравнения – большее число делят на меньшее.
Равенство, содержащее неизвестное, называется уравнением. Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение вместо х получается верное числовое равенство. Решить уравнение – значит, найти его корень.
Диаметр делит круг пополам – на 2 равные части. Диаметр равен двум радиусам.
Если в выражении без скобок присутствуют действия первой (сложение, вычитание) и второй (умножение, деление) ступени, то сначала выполняются по порядку действия второй ступени, а уже потом действия второй ступени.
12 часов дня – это полдень. 12 часов ночи – это полночь.
Римские цифры: 1 – I, 2 –II, 3 – III, 4 – IV, 5 – V, 6 – VI, 7 – VII, 8 – VIII, 9 – IX, 10 – X, 11 – XI, 12 – XII, 13 – XIII, 14 – XIV, 15 – XV, 16 – XVI, 17 – XVII, 18 – XVIII, 19 – XIX, 20 – XX и т.д.
Алгоритм решения уравнения: определить чем является неизвестное, вспомнить правило, как найти неизвестное, применить правило, сделать проверку.
