27956. Зависимость объема спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задается формулой q = 100 – 10p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r (p ) = q ∙ p . Определите наибольшую цену p , при которой месячная выручка r (p ) составит не менее 240 тысяч рублей. Ответ приведите в тысяч рублей.

Выражение «месячная выручка r (p ) составит не менее 240 тыс. руб», означает, что она будет равна или больше указанной суммы, то есть q ∙ p ≥240 (записываем в тыс. рублях). Подставляем q и решаем неравенство, находим наименьшую цену:

Решаем неравенство:

1. Решаем квадратное уравнение p 2 –10p+24 = 0.

2. Находим корни D =96 p 1 =4 p 2 =6.

3. Подставляем в формулу a (p–p 1)(p– p 2), получаем

p 2 –10p+24 = (p–4)(p– 6)

4. Записываем неравенство (p–4)(p– 6)≤ 0

5. Определяем интервалы на числовой прямой (корни уравнения делят числовую ось на интервалы). Обратите внимание, что р величина положительная, так как это цена. Получили

6. Определяем «знаки» на этих интервалах, путём подстановки в неравенство (p–4)(p– 6)≤ 0 значений взятых из этих интервалов.

Решением будет являться интервал , значит наибольшая цена, при которой месячная выручка составит не менее 240 т. р. будет 6 тысяч рублей.

Ответ: 6

Это простые текстовые задачи из ЕГЭ по математике 2012. Впрочем, некоторые из них не такие уж и простые. Для разнообразия некоторые задачи будут решены с помощью теоремы Виета (см. урок «Теорема Виета »), другие - стандартно, через дискриминант.

Разумеется, далеко не всегда задачи B12 будут сводиться к квадратному уравнению. Там, где в задаче возникает простое линейное уравнение, никаких дискриминантов и теорем Виета не потребуется.

Задача. Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию q (единиц в месяц) от ее цены p (тыс. руб.) задается формулой: q = 150 − 10p . Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q · p составит не менее 440 тыс. руб.

Это простейшая текстовая задача. Подставим формулу спроса q = 150 − 10p в формулу выручки r = q · p . Получим: r = (150 − 10p ) · p .

По условию, выручка предприятия должна составлять хотя бы 440 тысяч рублей. Составим и решим уравнение:

(150 − 10p ) · p = 440 - это квадратное уравнение;
150p − 10p 2 = 440 - раскрыли скобки;
150p − 10p 2 − 440 = 0 - собрали все в одной стороне;
p 2 − 15p + 44 = 0 - разделили все на коэффициент a = −10.

Получилось приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:
p 1 + p 2 = −(−15) = 15;
p 1 · p 2 = 44.

Очевидно, корни: p 1 = 11; p 2 = 4.

Итак, у нас есть два кандидата на ответ: числа 11 и 4. Возвращаемся к условию задачи и смотрим на вопрос. Требуется найти максимальный уровень цены, т.е. из чисел 11 и 4 надо выбрать 11. Разумеется, эту задачу можно было решать и через дискриминант - ответ получится точно таким же.

Задача. Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию q (единиц в месяц) от ее цены p (тыс. руб.) задается формулой: q = 75 − 5p . Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q · p составит не менее 270 тыс. руб.

Задача решается аналогично предыдущей. Нас интересует выручка, равная 270. Поскольку выручка предприятия считается по формуле r = q · p , а спрос - по формуле q = 75 − 5p , составим и решим уравнение:

(75 − 5p ) · p = 270;
75p − 5p 2 = 270;
−5p 2 + 75p − 270 = 0;
p 2 − 15p + 54 = 0.

Задача сведена к приведенному квадратному уравнению. По теореме Виета:
p 1 + p 2 = −(−15) = 15;
p 1 · p 2 = 54.

Очевидно, что корни - это числа 6 и 9. Итак, при цене 6 или 9 тысяч рублей выручка составит требуемые 270 тысяч рублей. В задаче просят указать максимальную цену, т.е. 9 тысяч рублей.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax 2 + bx , где a = −1/5000 (1/м), b = 1/10 - постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 метров надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Итак, высота задается уравнением y = ax 2 + bx . Чтобы камни перелетали через крепостную стену, высота должна быть больше или, в крайнем случае, равна высоте этой стены. Таким образом, в указанном уравнении известно число y = 8 - это высота стены. Остальные числа указаны прямо в условии, поэтому составляем уравнение:

8 = (−1/5000) · x 2 + (1/10) · x - довольно неслабые коэффициенты;
40 000 = −x 2 + 500x - это уже вполне вменяемое уравнение;
x 2 − 500x + 40 000 = 0 - перенесли все слагаемые в одну сторону.

Получили приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:
x 1 + x 2 = −(−500) = 500 = 100 + 400;
x 1 · x 2 = 40 000 = 100 · 400.

Корни: 100 и 400. Нас интересует наибольшее расстояние, поэтому выбираем второй корень.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax 2 + bx , где a = −1/8000 (1/м), b = 1/10 - постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 15 метров надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Задача полностью аналогична предыдущей - только числа другие. Имеем:

15 = (−1/8000) · x 2 + (1/10) · x ;
120 000 = −x 2 + 800x - умножили обе стороны на 8000;
x 2 − 800x + 120 000 = 0 - собрали все элементы с одной стороны.

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:
x 1 + x 2 = −(−800) = 800 = 200 + 600;
x 1 · x 2 = 120 000 = 200 · 600.

Отсюда корни: 200 и 600. Наибольший корень: 600.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax 2 + bx , где a = −1/22 500 (1/м), b = 1/25 - постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 метров надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Еще одна задача с бешеными коэффициентами. Высота - 8 метров. В этот раз попробуем решить через дискриминант. Имеем:

8 = (−1/22 500) · x 2 + (1/25) · x ;
180 000 = −x 2 + 900x - умножили все числа на 22 500;
x 2 − 900x + 180 000 = 0 - собрали все в одной стороне.

Дискриминант: D = 900 2 − 4 · 1 · 180 000 = 90 000; Корень из дискриминанта: 300. Корни уравнения:
x 1 = (900 − 300) : 2 = 300;
x 2 = (900 + 300) : 2 = 600.

Наибольший корень: 600.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax 2 + bx , где a = −1/20 000 (1/м), b = 1/20 - постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 метров надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Аналогичная задача. Высота снова 8 метров. Составим и решим уравнение:

8 = (−1/20 000) · x 2 + (1/20) · x ;
160 000 = −x 2 + 1000x - умножили обе стороны на 20 000;
x 2 − 1000x + 160 000 = 0 - собрали все с одной стороны.

Дискриминант: D = 1000 2 − 4 · 1 · 160 000 = 360 000. Корень из дискриминанта: 600. Корни уравнения:
x 1 = (1000 − 600) : 2 = 200;
x 2 = (1000 + 600) : 2 = 800.

Наибольший корень: 800.

Задача. Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Ее конструкция такова, что траектория полета камня описывается формулой y = ax 2 + bx , где a = −1/22 500 (1/м), b = 1/15 - постоянные параметры. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 24 метра надо расположить машину, чтобы камни перелетали через нее?

Очередная задача-клон. Требуемая высота: 24 метра. Составляем уравнение:

24 = (−1/22 500) · x 2 + (1/15) · x ;
540 000 = −x 2 + 1500x - умножили все на 22 500;
x 2 − 1500x + 540 000 = 0 - собрали все в одной стороне.

Получили приведенное квадратное уравнение. Решаем по теореме Виета:
x 1 + x 2 = −(−1500) = 1500 = 600 + 900;
x 1 · x 2 = 540 000 = 600 · 900.

Из разложения видно, что корни: 600 и 900. Выбираем наибольший: 900.

Задача. В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем меняется по закону H (t ) = 5 − 1,6t + 0,128t 2 , где t - время в минутах. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?

Вода будет вытекать из бака до тех пор, пока высота столба жидкости будет больше нуля. Таким образом, надо выяснить, когда H (t ) = 0. Составляем и решаем уравнение:

5 − 1,6t + 0,128t 2 = 0;
625 − 200t + 16t 2 = 0 - умножили все на 125;
16t 2 − 200t + 625 = 0 - расположили слагаемые в нормальном порядке.

Дискриминант: D = 200 2 − 4 · 16 · 625 = 0. Значит, корень будет всего один. Найдем его:

x 1 = (200 + 0) : (2 · 16) = 6,25. Итак, через 6,25 минуты уровень воды опустится до нулевой отметки. Это и будет момент, до которого вода будет вытекать.

Задачи о рельсах и колодцах.

№ 6437

L 0 = 10м зазор в 4,5 мм .

L t°

Решение.

Зазор - это то расстояние, которое оставляют между рельсами, для того, чтобы они могли расширяться при нагревании. А нагревание происходит вследствие трения, возникающего при прохождении поезда по рельсам.

Выразим зазор в метрах: 4,5 мм = 4,5 · 10 -3 м.

L(t°) = L 0 + зазор - длина рельса при удлинении после нагревания на t° .

С другой стороны L(t°) = L 0 (1+α·t°) . Приравняем правые части равенств, подставим данные величины, раскроем скобки, получим:

10 + 4,5·10 -3 = 10 + 10·1,2·10 -5 ·t° --> t°·12·10 -5 = 4,5·10 -3 --> t°=450 / 12 = 37,5°.

Ответ: 37,5

№ 6439

П ри температуре 0 °C рельс имеет длину L 0 = 12,5м . При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 6 мм .

При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону L (t°) = L 0 (1 +αt°), где α = 1,2·10 -5 (°C) -1 — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? (Ответ выразите в градусах Цельсия.)

Ответ: 40.

№ 6441

П ри температуре 0 °C рельс имеет длину L 0 = 15м . При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 6,3 мм .

При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону L (t°) = L 0 (1 +αt°), где α = 1,2·10 -5 (°C) -1 — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? (Ответ выразите в градусах Цельсия.)

Ответ: 35.

№ 6459

t h = -5t 2 0,6 с больше, чем на 0,2 с? (Ответ выразите в м.)

Ответ: 1.

№ 6461

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле h = -5t 2 . До дождя время падения камушков составляло 1 с . На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше, чем на 0,2 с? (Ответ выразите в м.)

Ответ: 1,8.

№ 6465

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле h = -5t 2 . До дождя время падения камушков составляло 0,8 с . На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше, чем на 0,1 с? (Ответ выразите в м.)

Ответ: 0,75.

Тренировочная работа. 1 Задание В10.

Задача №1. Зависимость объема спроса q(тыс. руб .?) на продукцию предприятия-монополиста от цены p(тыс. руб.) задается формулой q=160-10p. Выручка предприятия за месяц r(в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=q*p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 280 тыс.руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Вариант 9 Задание В10

Задача №2. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой h(t)= -5t 2 +39t, где h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента броска. Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 28 метров.

Математика Подготовка к ЕГЭ - 2011 под редакцией Ф.Ф. Лысенко.

Вариант 11 Задание В10

Задача №3. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задается выражением T(t) = T 0 +a*t +b*t 2 , где T 0 = 296 K, a = 5K/мин, b = -1/8 K/мин 2 . Известно, что при нагреве прибора свыше 338 градусов он может выйти из строя, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое время в минутах после начала работы нужно отключать прибор?

А.А. Быков Сборник задач по математике ГУ ВШЭ.

Часть 2 Варианты вступительных испытаний по математике

Задача №4. Доход нефтяной компании (в у. е.) равен численно произведению квадрата числа геологов на куб числа добытчиков. Наем одного геолога обходится в 4 у. е., одного добытчика - в 27 у. е. Найдите число t, равное отношению числа геологов x к числу добытчиков y, если доход заданной величины получен при наименьшем возможном расходе на наем.

Задача №5.

Предприниматель должен израсходовать 1440 у.е. на наем грузчиков (2 у.е. на каждого) и менеджеров (15 у.е. на каждого), причем ожидаемый доход (в у.е.) равен численно произведению числа грузчиков на квадрат числа менеджеров. Сколько всего сотрудников нужно нанять, чтобы получить максимальный доход?

Задача №6.

Расстояние от Парижа до Марселя (по шоссе) равно 77 лье. В Париже квартирует 9000 мушкетеров, в Марселе - 16000. На каком расстоянии (в лье) от Парижа следует расположить винокуренный завод для обслуживания мушкетеров, чтобы минимизировать транспортные издержки, если затраты на перевозку P тонн бургундского на расстояние L лье составляют P*L 3 бурбонов?

Оговорюсь, что при презентации найденных подходов к решению проблемы не предполагалось обсуждения и сравнения решений самих задач, однако, при подготовке к занятиям, участники групп рассмотрели и решения конкретных задач. Мне представляется, что сравнительный анализ подходов к их решению может быть интересен тем, что решая задачи, ученики столкнулись с широким набором дополнительных вопросов.

Решение 1 задачи. Стараемся свести задачу к известной модели и минимизировать временные и интеллектуальные затраты на её решение. Выручка предприятия от цены изделия есть квадратичная функция r(p)=(160-10p)p. Тогда мы, очевидно, должны решить неравенство (160-10p)p ? 280, p 2 - 16p + 28 ? 0. Спасибо составителям за подбор числовых значений и великому Франсуа Виету (1540-1603). За что? За его теорему, позволяющую подобрать нули квадратного трехчлена и решить квадратичное неравенство 2 ? p ? 14. Кстати, спасибо великому французскому математику намного серьезнее: ведь до него не было в математике формул, он ввел в алгебру буквенные обозначения и разработал почти всю элементарную алгебру.

Ответ на вопрос задания готов: нет сомневающихся в том, что наибольшее число на промежутке, задаваемом полученным неравенством, равно 14.

Еще раз оглянулись на условие задачи и вспомнили, в каких единицах хотят авторы видеть ответ. В тысячах рублей. Значит, все нормально, в ответ помещаем число 14.

Если бы все проблемы так легко решались!!! А была ли проблема вообще?

А попадется ли точно такая же задача на экзамене?

Что делать, если на экзамене будет ошибка в формулировке условия?

Спросить могут то же самое? Какие вопросы можно было бы сформулировать по данному условию?

А помимо успешной сдачи экзамена что может и должно нас волновать?

Кто-то думает о блистательном будущем в роли финансового аналитика?

А все ли понимают, что роль клиента - покупателя - неизбежная составляющая при жизни в условиях современного общества?

Давайте проанализируем заданную ситуацию с этих позиций.

Что означают краевые точки в удовлетворяющем нас промежутке?

Возможный ответ: выручка в 280 тыс. рублей может быть получена в двух случаях: цена изделия 2 тыс. руб. и мы продаем 140 изделий или цена изделия 14 тыс. руб. и мы продаем 20 изделий.

Давайте представим себя в роли финансового аналитика. Что вы посоветуете: реализовать много единиц товара по малой цене или небольшую партию изделий по эксклюзивной цене?

Возможные варианты ответов:

1) если найдутся богатые "Буратино", то почему бы не обуть их? Тем более, что ты являешься монополистом;

2) существуют антимонопольные законы, они должны преследовать завышение цен и получение сверхприбыли;

3) выручка еще не означает доход или прибыль, возможно, что существуют другие ограничения, которые стоит учитывать. Например, транспортные расходы, расходы на аренду помещений, расходы на наем сотрудников. Тогда можно говорить о наиболее благоприятных условиях;

4) важно ведь и кому продавать товар, скорее всего в нашей ситуации слишком простые приближения: если есть большая прибыль, то долго в состоянии монополии без сохранения секрета производства быть не удастся;

6) в этой модели естественно задать вопрос, какой может быть максимальная выручка или какой в этих условиях должна быть оптимальная цена?

Легко увидеть, что оптимальная цена для максимальной выручки равна 8 тыс. рублей, причем выручка тогда составляет 640 тыс. рублей;

7) по цене 16 тысяч рублей не удастся продать ни одного изделия;

8) на самом деле, для исследования непрерывной функции у нас нет, мы имеем в случае штучного товара дискретный набор значений. Если мы продадим одно изделие, то его цена в нашей модели будет 15,9 тыс. рублей. Больше 160 изделий продать нельзя, да и 160 можно только раздарить. Минимальная выручка возможна при продаже 159 изделий по цене 0,1 тыс рублей.

Решение задачи №2.

А здесь совсем неприятная для многих ситуация. Физическая задача, точнее задача с физическим содержанием. А кто из собравшихся учеников понимает физику? Любит физику? Кто её боится?

Давайте будем анализировать задание с точки зрения математики, забыв, что скрывается за обозначениями. h(t)<28. -5t 2 +39t < 28, 5t 2 - 39t +28>0. Спасибо составителям уже не скажем. D = 39 2 -4*5*28 = 961. Мы позиционируем себя в качестве любителей математики, умеющих решать квадратичные неравенства. Получаем 0,8 < t < 7. А что вписывать в ответ? Приходится вернуться к физическому смыслу задачи. Очевидно, разность граничных значений промежутка и есть время, когда мы находимся на высоте не менее 28 м. Ответ: 6,2 (не забываем, что в бланк ответа размерность величины входить не должна).

А какие проблемы с нашим моделированием? Что можно еще спросить? На какую максимальную высоту мы можем подняться? Можно увидеть, что время t, отвечающее максимальной высоте подъема, равно 4 с, тогда h(4) = 76 м. И время полета найти легко - оно равно 8 с. Если построить график h(t) , то на построенном графике все точки с отрицательными ординатами надо убрать. Ведь тогда по смыслу задачи мы уже не летим в воздухе, а пробираемся под землей как кроты. Пределы использования нашей модели:

Решение задачи №3.

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задается выражением T(t) = T 0 +a*t +b*t 2 , где T 0 = 296 K, a = 5K/мин, b = -1/8 K/мин 2 . Известно, что при нагреве прибора свыше 338 градусов он может выйти из строя, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое максимальное время в минутах после начала работы нужно отключать прибор? А вот здесь физики хотят взять реванш. Они решили ввести в формулу две буковки t. Конечно, любящие физику ребята, легко составят неравенство T(t) < 338. 296+5t-t 2 /8 < 338, t 2 -40t + 336 > 0. С точки зрения математики нас устраивают значения t < 12 или t > 28. А в ответ нужно вписать одно число? Здесь стоит задуматься (на самом деле не очень глубоко) над физическим смыслом задачи. В решении нашего неравенства нет самого большого числа, из двух границ промежутков, казалось бы, 28 больше, давайте его и поместим в ответ. (К сожалению, эти рассуждения взяты из воспоминаний неудачного решения тренировочной работы сильными учащимися).

А ведь здравый смысл подсказывает: прибор должен нагреваться при включении, через 12 минут он достигает критической температуры и нуждается в выключении, в противном случае он перегорит. С точки зрения области определения функции из физического смысла задачи t. Бесполезно задавать вопрос, какой будет температура прибора в момент времени t = 28 минут, ориентируясь на имеющуюся формулу для квадратичной функции, так как пользоваться нашей моделью в этот момент времени нельзя: если мы допустим перегрев прибора, и он перегорит, то дальше он может только остывать до комнатной температуры.

Решение задачи №4.

Данная задача предлагалась в качестве одной из самых трудных (30 из 30 за 1,5 часа) в 2006 году на вступительных экзаменах в ВШЭ.

Как быстро решать подобные задачи? А надо ли их решать быстро?

Если хочешь учиться в этом вузе на бюджете, то нужно. А будешь ли ты получать удовольствие от работы, тем самым увеличивая возможность обретения счастья в жизни?

Тогда надо интересоваться делом. А хочешь ли ты быть успешным в работе? Тогда надо понимать замыслы противника (в данном случае составителя задания).

Пробуем быть просто математиками. Надо максимально быстро решить задание.

Пусть x - число геологов в компании, y- число добытчиков в компании, D - доход в компании. D = x 2 y 3 . Пусть N - расход на наем. N = 4x + 27y. Мы учились исследовать функции одной переменной. Доход - фиксированный, мы не полагаем, что он равен нулю, тогда x и y - натуральные числа. x =(D/y 3) 1/2 . N(y) = 4(D/y 3) 1/2 +27y. Строго говоря, полученная функция задана на множестве натуральных чисел, для исследования таких последовательностей у нас меньше возможностей. Давайте предположим, что y - просто действительное положительное число. Тогда мы видим две предельные ситуации: y стремится к нулю - N уходит в бесконечность, y стремится к бесконечности - N опять же бесконечно велико. У нашей непрерывной функции есть наименьшее значение.

Найдем производную N " (t)=-6(k) 1/2 y -5/2 +27. Для нахождения нулей производной решим уравнение 2(k) 1/2 y -5/2 = 9, откуда y 5 = 4D/81. При этом условии x/y = (D/y 5) 1/2 . Получаем x/y =4,5.

Какие предварительные выводы можно сделать? Наем добытчиков более затратный, затраты на наем 1 добытчика превышают затраты на наем 1 геолога в 6,75 раза. Однако доход пропорционален кубу числа добытчиков, а потому в целом оплата добытчиков обходится компании дороже, чем геологов.

Решение задачи №5.

Пусть x - число грузчиков в компании, y- число менеджеров в компании, D - доход в компании. D = xy 2 . Пусть N - расход на наем. N = 2x + 15y. N = 1440. x = 720 - 15y/2. Мы учились исследовать функции одной переменной. D = D(y) = (720 - 15y/2)y 2 . Очевидно, компания не собирается делать долги, тогда D > 0. Значит, 0< y < 96. Квадратный трехчлен будем исследовать с помощью производной. А лучше исследовать функцию g(x) = (96-y)y 2 = 96y 2 - y 3 . g"(x) =192y - 3y 2 =3y(64-y). При y =64 имеем максимальный доход. (А почему, кстати?) Тогда x = 240, а общее число работников компании равно 304.

Что общего и чем отличаются условия задач №4 и №5?

1) В задании 4 мы хотим как можно меньше тратить на наем, в задании 5 мы хотим получить как можно больший доход. А нельзя ли постараться догнать сразу двух зайцев? Что ограничивает деятельность компании? Доход компании, казалось бы, может неограниченно возрастать, если возрастает число, как грузчиков, так и менеджеров. Причем работа менеджера существеннее сказывается на доходе компании, но и наем менеджера требует больших расходов.

Спрос на продукцию компании не может быть неограниченным.

Важна структура расходов, в частности транспортные расходы.

Число работников не может быть больше числа, проживающих в том или ином регионе.

А занятия людей должны быть разносторонними, обеспечивающими разные аспекта жизни человека. Отсюда возникают проблемы городов - монополий.

2) Какие дополнительные ограничения мы должны учитывать?

По крайней мере, расход на наем должен быть меньше дохода компании.

Оплата персонала не должна быть меньше прожиточного минимума.

Понятно, что решение задачи с учетом даже лежащих на поверхности вопросов становится, хотя и много более интересным, но и явно выходящим за рамки экзаменационного задания.

Задача №6. Расстояние от Парижа до Марселя (по шоссе) равно 77 лье. В Париже квартирует 9000 мушкетеров, в Марселе - 16000. На каком расстоянии (в лье) от Парижа следует расположить винокуренный завод для обслуживания мушкетеров, чтобы минимизировать транспортные издержки, если затраты на перевозку P тонн бургундского на расстояние L лье составляют P*L 3 бурбонов?

Еще одна задача на оптимальность принимаемого решения.

Для чего "серьезные дяди" вместо пунктов А и В вводят географические уточнения, зачем нам знать название вина и валюты, используемой при оплате, а также единицу измерения длины, принятую во Франции? Нам веселее, интереснее, сложнее решать задачу, формулируемую в данных терминах?

Что меняется в условии задачи, если вместо числа мушкетеров, квартирующих в городах, мы введем число жителей городов?

Особенности математической модели, которые подразумеваются автоматически: все мушкетеры пьют, причем потребление алкоголя в столице и портовом городе одинаково; дороги во Франции одинаково хороши в любом направлении; винокуренный завод способен обеспечить любимым вином мушкетеров в неограниченном количестве.

Итак, предполагаем, что мушкетер потребляет k тонн (кг, г) вина в год (месяц, день) (k>0).

В Париж поставляется 9000k тонн (кг, г) в год (месяц, день), в Марсель, соответственно, 16000k.

Пусть расстояние до Парижа от винокуренного завода x лье, тогда до Марселя (77-x) лье.

Общие транспортные расходы производителя y(x)= 9000k*x 3 +16000k*(77-x) 3 .

Чтобы упростить задачу на нахождение минимума транспортных расходов, будем исследовать функцию g(x)=9x 3 +16(77-x) 3 .

Для исследования кубического многочлена используем производную функции g(x).

g"(x)=27x 2 - 48(77-x) 2 =3((3x+4(77-x))(3x-4(77-x)) = 3 (308-x)(7x-308). x<77. При x<44 g(x) убывает, при x>44 возрастает. Принимаем решение: Завод строим на расстоянии 44 лье от Парижа. Транспортные расходы на перевозку вина будут минимальными.

Как будущие экономисты мы понимаем: существует масса неучтенных факторов: а есть ли соответствующая инфраструктура в месте расположения заводика? А каковы транспортные расходы на перевозку сырья? Есть ли желающие трудиться на этом заводе? Каковы затраты на аренду пунктов распития напитков в двух городах?

Но если нам это интересно, то в выборе профессии есть существенное продвижение. А, значит, мы на верном пути.