В этой статье мы разберем, как выполняется вычитание отрицательных чисел из произвольных чисел. Здесь мы дадим правило вычитания отрицательных чисел, и рассмотрим примеры применения этого правила.

Навигация по странице.

Правило вычитания отрицательных чисел

Имеет место следующее правило вычитания отрицательных чисел : чтобы из числа a вычесть отрицательное число b , нужно к уменьшаемому a прибавить число −b , противоположное вычитаемому b .

В буквенном виде правило вычитания отрицательного числа b из произвольного числа a выглядит так: a−b=a+(−b) .

Докажем справедливость данного правила вычитания чисел.

Для начала напомним смысл вычитания чисел a и b . Найти разность чисел a и b - это значит найти такое число с , сумма которого с числом b равна a (смотрите связь вычитания со сложением). То есть, если найдено число с такое, что c+b=a , то разность a−b равна c .

Таким образом, чтобы доказать озвученное правило вычитания, достаточно показать, что прибавление к сумме a+(−b) числа b даст число a . Чтобы это показать, обратимся к свойствам действий с действительными числами . В силу сочетательного свойства сложения справедливо равенство (a+(−b))+b=a+((−b)+b) . Так как сумма противоположных чисел равна нулю, то a+((−b)+b)=a+0 , а сумма a+0 равна a , так как прибавление нуля не изменяет число. Таким образом, доказано равенство a−b=a+(−b) , а значит, доказана и справедливость приведенного правила вычитания отрицательных чисел.

Мы доказали данное правило для действительных чисел a и b . Однако, это правило справедливо и для любых рациональных чисел a и b , а также для любых целых чисел a и b , так как действия с рациональными и целыми числами тоже обладают свойствами, которые мы использовали при доказательстве. Отметим, что с помощью разобранного правила можно выполнять вычитание отрицательного числа как из положительного числа, так и из отрицательного числа, а также из нуля.

Осталось рассмотреть, как выполняется вычитание отрицательных чисел с помощью разобранного правила.

Примеры вычитания отрицательных чисел

Рассмотрим примеры вычитания отрицательных чисел . Начнем с решения простого примера, чтобы разобраться со всеми тонкостями процесса, не утруждаясь вычислениями.

Пример.

Отнимите от отрицательного числа −13 отрицательное число −7 .

Решение.

Числом, противоположным вычитаемому −7 , является число 7 . Тогда по правилу вычитания отрицательных чисел имеем (−13)−(−7)=(−13)+7 . Осталось выполнить сложение чисел с разными знаками , получаем (−13)+7=−(13−7)=−6 .

Вот все решение: (−13)−(−7)=(−13)+7=−(13−7)=−6 .

Ответ:

(−13)−(−7)=−6 .

Вычитание дробных отрицательных чисел можно выполнить, осуществив переход к соответствующим обыкновенным дробям , смешанным числам или десятичным дробям . Здесь стоит отталкиваться от того, с какими числами удобнее работать.

Пример.

Выполните вычитание из числа 3,4 отрицательного числа .

Решение.

Применив правило вычитания отрицательных чисел, имеем . Теперь заменим десятичную дробь 3,4 смешанным числом: (смотрите перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби), получаем . Осталось выполнить сложение смешанных чисел : .

На этом вычитание отрицательного числа из числа 3,4 завершено. Приведем краткую запись решения: .

Ответ:

.

Пример.

Отнимите отрицательное число −0,(326) от нуля.

Решение.

По правилу вычитания отрицательных чисел имеем 0−(−0,(326))=0+0,(326)=0,(326) . Последний переход справедлив в силу свойства сложения числа с нулем.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

1. Образовательные:

• обобщить и систематизировать знания учащихся о правилах действий над положительными и отрицательными числами;
• закрепить умение применять правила в процессе выполнения упражнений;
• формировать навыки самостоятельной работы.

2. Развивающие:

• развивать логическое мышление учащихся, математическую речь, вычислительные навыки;
• развивать умение применять полученные навыки в решении уравнений.

3. Воспитательные:

• воспитание познавательного интереса к предмету;
• воспитание активности, настойчивости в достижении цели;
• воспитание коллективной дружбы, взаимопомощи, товарищества.

Тип урока : повторение, систематизация и обобщение изученного.

Формы работы на уроке : индивидуальная, групповая, парная, коллективная; устная, письменная.

Оборудование : наглядный материал (презентация); мультимедийный проектор, компьютерная система; раздаточный дидактический материал.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Постановка целей и формулировка темы урока.
3. Актуализация знаний учащихся.
4. Закрепление знаний.
5. Исторические сведения.
6. Подведение итогов урока и задание на дом.

Ход урока

I. Организационный момент.

– Добрый день! Здравствуйте, ребята!

Нам урок пора начать.
Пришло время вычислять.
И на трудные вопросы
Вы ответ сумейте дать.

– А трудных вопросов сегодня будет много.

II. Постановка целей и формулирование темы урока.

(Слайды 1 3

– Ребята, на протяжении последних уроков математики, мы, учились выполнять действия с положительными и отрицательными числами. Целью сегодняшнего урока будет закрепление знаний, связанных с выполнением действий над положительными и отрицательными числами. Итак, давайте вместе сформулируем тему сегодняшнего урока.

Ученики формулируют тему. Запись в тетрадях.

– Девизом нашего урока мне хочется взять слова гениального русского поэта и ученого М.В.Ломоносова: «Примеры учат больше, чем теория». И мы сегодня с вами, ребята, постараемся подтвердить эти слова. (Слайд 4)

За выполнение каждого задания, во время работы, вы будете ставить себе в тетрадях определенное количество баллов.

III. Актуализация знаний учащихся.

1) Работа над правилами (5 баллов). (Слайды 5-12)

• Учитель проводит указкой по знакам сверху вниз и говорит «Знаки». Это означает, что первый ученик должен представлять вместо * знаки действий в порядке очередности, определить знаки чисел, которые будут получаться в результате выполнения этих действий. Потом проводит указкой снизу вверх, и второй ученик назовет знаки чисел в обратном порядке.
• Учитель проводит указкой по знакам сверху вниз и говорит «Ответы». Третий ученик должен представлять вместо * знаки действий в порядке очередности, назовет ответы чисел, которые будут получаться в результате выполнения этих действий. Потом проводит указкой снизу вверх, и четвертый ученик назовет ответы в обратном порядке.
• Учитель говорит «Представьте себе, что на первом месте стоит число -150, а не 150» и предлагает выполнить устно задание, аналогичное предыдущему.

Проверку каждого примера сопроводить правилом.

2) Даны числа -15 и 3. Назовите:

а) какое из чисел больше (меньше);
б) модули этих чисел;
в) два целых числа, расположенных между ними;
г) сумму, разность, произведение и частное данных чисел (4 балла). (Слайд 13)

– Итак, мы с вами вспомнили правила действий с положительными и отрицательными числами.

IV. Закрепление знаний.

1) Опорная схема. (Слайды 14-17)

– А сейчас повторим основные правила на действия с отрицательными и положительными числами, составляем опорную схему.

Действие «вычитание» заменяется сразу раскрытием скобок и приведением к алгебраической сумме и отрабатывается навык вычисления алгебраической суммы.

2) Карточка-тренажер . Работа в группах (6 баллов).

– Ребята, я вам раздам карточки. Выделим четыре типа заданий, которые оформляются в виде карточек. Для удобства карточки обозначим: «ДПОЧ-1», «ДПОЧ-2», «ДПОЧ-3», «ДПОЧ-4», где буквы указывают тему, а цифры – порядковый номер карточки. В каждой карточке содержится по 5 упражнений с ответами (Приложение 1 ).

Все ученики получают по одной карточке и рассаживаются по парам. Один из учеников пары диктует своему напарнику первое упражнение своей карточки, однако ответ не читает. Напарник выполняет предложенное упражнение. Первый ученик следит за правильностью выполнения упражнения напарником. Если ответ правильный, то предлагает выполнить второе упражнение. Если ответ неправильный, то он дает время напарнику подумать и еще раз попытаться ответить на вопрос. Если напарник затрудняется или ошибается, то первый ученик сообщает правильный ответ, затем переходит к следующему вопросу. После того как первый ученик продиктует все упражнения из своей карточки, а второй правильно выполнит их, напарники меняются ролями. Совместная работа считается законченной, когда все упражнения продиктованы и проверены друг другом. Пара расходится, и каждый ученик уходит со своей карточкой. Один из учеников группы выполняет координацию работы.

3) Самостоятельная работа (1-3 – 5 баллов; 4 – 3 балла), (приложение 2 ).

– Проверьте себя, выполнив тестовые задания по этой теме.

1 вариант

Какой знак надо поставить вместо *, чтобы получилось верное неравенство? 10 + (-35) * -10,9
а) > б) <; в) =; г) нет такого знака

Выполните действия: (– 0,5* 6,8 + 1,2): (-2);
а) -2,3; б) -1,1; в) 1,1; г) 2,3

Решите уравнение: -5 + х = 6,9
а) 11,9; б) -1,9; в) – 11,9; г) 1,9

Для желающих. Решите уравнение: |2 + х| = 4

Ответы: 1. б; 2. в; 3. а; 4. – 6; 2.

2 вариант

Какой знак надо поставить вместо *, чтобы получилось верное неравенство? 24 + (-30) * – 20,51
а) > б) <; в) =; г) нет такого знака

Выполните действия: (4,8* (– 0,5) – 2,1): 5;
а) – 0,18; б) 0,9; в) 0, 18; г) – 0,9

Решите уравнение: 7,2 – х = 8,7
а) 1, 5; б) 15, 9; в) – 1,5; г) – 15, 9

Для желающих. Решите уравнение: |4 + х| = 12
Ответы: 1. а; 2. г; 3. в; 4. – 16; 8.

Самопроверка и самооценка по «ключу». (Слайд 18)

Ответ: Брахмагупта

Брахмагупта – индийский математик, который жил в 7 веке. Одним из первых он начал использовать положительные и отрицательные числа. Положительные числа он называл «имущество», отрицательные – «долги».

VI. Подведение итогов урока.

(Слайды 23-24)

– Ребята, на ваших столах лежат карточки. Заполните, пожалуйста! (Приложение 4 )

«3» – 12 -16б; «4» – 17 -22б; «5» – 23б и более.

Задание на дом:

• №1211, 1224 (2)
• Для желающих: составить математическое лото по данной теме или придумать правила сложения, вычитания, умножения и деления рациональных чисел в стихотворной форме.

Ученики сдают тетради и карточки подведения итогов урока на проверку учителю.

– Молодцы! Спасибо за урок!

Литературные источники, использованные при подготовке к уроку:

1. Математика, 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С Чесноков, С. И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2010.
2. Математика в школе, 1995, №2. Взаимотренаж на уроках математики. Текст Б.Н. Бигельдинова.
3. Математика в школе, 1994, №6. Опорные конспекты для 5-6 классов. Л.В. Воронина.

Урок и презентация на тему: "Примеры сложения и вычитания отрицательных чисел"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 6 класса
Электронная рабочая тетрадь по математике для 6 класса
Интерактивный тренажер к учебнику Виленкина Н.Я.

Ребята, давайте повторим пройденный материал.

Сложение - это математическая операция, после выполнения которой, мы получим сумму исходных чисел (первого слагаемого и второго слагаемого).

Модуль числа - это расстояние на координатной прямой от начала координат до какой-либо точки.
У модуля числа есть определенные свойства:
1. Модуль числа нуль равен нулю.
2. Модуль положительного числа, например, пяти есть само число пять.
3. Модуль отрицательного числа, например, минус семь есть положительное число семь.

Сложение двух отрицательных чисел

При сложении двух отрицательных чисел, можно использовать понятие модуля. Тогда можно отбросить знаки чисел и сложить их модули, а сумме присвоить отрицательный знак, поскольку изначально оба числа были отрицательными.

Например, необходимо сложить числа: - 5 + (-23)=?
Отбрасываем знаки и сложим модули чисел. Получим: 5 + 23 = 28.
Теперь присвоим полученной сумме знак минус.
Ответ: -28.

Ещё примеры сложения.

39 + (-45) = - 84
-193 + (-205) = -398

При сложении дробных чисел, можно использовать этот же метод.

Пример: -0,12 + (-3,4) = -3,52

Сложение положительного и отрицательного чисел

Сложение чисел с разными знаками немного отличается от сложения чисел с одинаковыми знаками.

Рассмотрим пример: 14 + (-29) =?
Решение.
1. Отбрасываем знаки, получаем числа 14 и 29.
2. Из большего по модуля числа вычитаем меньшее: 29 - 14.
3. Перед разностью ставим знак числа, у которого больше модуль. В нашем примере - это число -29.

14 + (-29) = -15

Ответ: -15.

Сложение чисел с помощью числовой прямой

Если при сложении отрицательных чисел у вас возникают трудности, то можно использовать метод числовой прямой. Он нагляден и удобен для маленьких чисел.
Например, сложим два числа: -6 и +8. Отметим на числовой прямой точку -6.

Затем переместим точку, обозначающую число -6, на восемь позиций вправо, т.к. второе слагаемое равно +8 и попадем в точку, обозначающую число +2.

Ответ: +2.

Пример 2.
Сложим два отрицательных числа: -2 и (-4).
Отметим на числовой прямой точку -2.

Затем переместим её на четыре позиции влево, т.к. второе слагаемое равно -4 и попадем в точку -6.

Ответ -6.

Этот метод удобен, но он громоздкий, ведь нужно рисовать числовую прямую.

ВЫЧИТАНИЕ

Математика, 6 класс

(Н.Я.Виленкин)

учитель математики МОУ «Упшинская основная

общеобразовательная школа» Оршанского района Республики Марий Эл

Смысл вычитания

Задача. Пешеход за 2 часа прошел 9 км. Сколько километров он прошел за первый час, если его путь за второй час равен 4 км?

В этой задаче число 9 - сумма двух слагаемых, одно из которых равно 4 , а другое неизвестно.

Действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое, называют вычитанием.

Смысл вычитания

Так как 5 + 4 = 9,

то искомое слагаемое равно 5.

Пишут 9 – 4 = 5

9 – 4 = 5

разность

вычитаемое

уменьшаемое

Смысл вычитания

– 5 + 14 = 9

9 – 14 = ?

? + 14 = 9

9 – 14 = –5

– 9 – 14 = ?

– 23 + 14 = –9

? + 14 = –9

– 9 – 14 = – 23

Смысл вычитания

Вычитание отрицательных чисел имеет тот же смысл: действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое, называют вычитанием.

9 – (–14) = ?

23 + (–14) = 9

? + (–14) = 9

9 – (–14) = 23

Подберите неизвестное слагаемое

– 9 – (–14) = ?

5 + (–14) = –9

? + (–14) = –9

– 9 – (–14) = 5

9 – (–14) = 23

9 – 14 = –5

9 + (–14) = –5

9 + 14 = 23

– 9 – (–14) = 5

– 9 – 14 = – 23

– 9 + (–14) = – 23

– 9 + 14 = 5

Подумайте, как вычитание заменить сложением.

ПРАВИЛО. Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

ВЫЧИТАНИЕ

а – b = a + ( –b )

15 – 18 = 15 + ( –18 ) =

15 – ( –18 ) = 15 + 18 =

ВЫЧИТАНИЕ

Замените вычитание сложением и найдите значение выражения:

12 – 20 =

3,4 – 10 =

– 10 – ( –13 ) =

– 1,2 – ( –1,3 ) =

17 – ( –13 ) =

2,3 – ( –3,5 ) =

– 21 – 13 =

– 5,1 – 4,9 =

ВЫЧИТАНИЕ

5 – 10 = 5 + ( – 10 )

ПРАВИЛО. Любое выражение, содержащее лишь знаки сложения и вычитания, можно рассматривать как сумму

Назовите каждое слагаемое в сумме:

5 – 10 + 7 –15 –23 =

– n + y – 9 + b – c – 1 =

ВЫЧИСЛИТЕ:

– 10 + 7 – 15 =

12 – 17 – 11 =

12 + 23 – 41 =

– 2 – 33 + 20 =

24 – 75 + 20 =

6 – 2 –5 ПРАВИЛО. Разность двух чисел положительна, если уменьшаемое больше вычитаемого. " width="640"

8 – 6 =

2

уменьшаемое

вычитаемое

разность

– 2 – ( –5 ) =

3

уменьшаемое

разность

вычитаемое

Когда разность двух чисел положительна?

8 6

– 2 –5

ПРАВИЛО. Разность двух чисел положительна, если уменьшаемое больше вычитаемого .

10 – 15 =

– 5

уменьшаемое

вычитаемое

разность

– 8 – ( –6 ) =

– 2

уменьшаемое

разность

вычитаемое

Сравните уменьшаемое и вычитаемое в примерах.

Когда разность двух чисел отрицательна?

10 15

– 8 –6

ПРАВИЛО. Разность двух чисел отрицательна, если уменьшаемое меньше вычитаемого .

Подумайте, когда разность двух чисел равна 0. Приведите примеры.

0

уменьшаемое

разность

вычитаемое

Определите знак разности, не производя вычислений:

– 12 – ( –13 ) =

3,4 – 10 =

15 – ( –11 ) =

2,3 – ( –3,5 ) =

– 5,1 – 4,9 =

– 31 – 23 =

Нахождение длины отрезка

х

А (–3)

– 3 + х = 4

х = 4 – (–3) = 7

В (4)

АВ - ?

АВ = 7 ед.

ПРАВИЛО.

Нахождение длины отрезка

А (–1)

АВ = –1 – (–5) = 4 ед.

В (–5)

АВ - ?

АВ = 4 ед.

ПРАВИЛО. Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату левого конца.

Вопросы для закрепления:

• Что означает вычитание отрицательных чисел?
• Как вычитание заменить сложением?
• Когда разность двух чисел положительна?
• Когда разность двух чисел отрицательна?
• Когда разность двух чисел равна нулю?
• Как найти длину отрезка на координатной прямой?

учитель начальных классов МАОУ лицей №21 , г. Иваново

НЕМНОГО ИСТОРИИ

Индийские математики пред-ставляли себе положительные числа как «имущества» , а отрицательные числа как «долги»

Правила сложения и вычитания, излагаемые Брахмагуптой:

• «Сумма двух имуществ есть имущество».
• «Сумма двух долгов есть долг»

• «Сумма имущества и долга равна их разности»

Брахмагупта, индийский математик и астроном.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели и задачи урока:

• Обобщить и систематизировать знаний учащихся по данной теме.
• Развивать предметные и общеучебные навыки и умения, умение использовать полученные знания для достижения поставленной цели; устанавливать закономерности многообразия связей для достижения уровня системности знаний.
• Воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля; вырабатывать желания и потребности обобщать полученные факты; развивать самостоятельность, интерес к предмету.

План урока:

I. Вступительное слово учителя.

II. Проверка домашнего задания.

III. Повторение правил сложения и вычитания чисел с разными знаками. Актуализация знаний.

IV. Решение заданий по карточкам

V. Самостоятельная работа по вариантам.

VI. Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания.

Ход урока

I. Организационный момент

Ученики под руководством учителя проверяют наличие дневника, рабочей тетради, инструментов, отмечаются отсутствующие, проверяется готовность класса к уроку, учитель психологически настраивает детей на работу на уроке.

Народная мудрость гласит нам “повторенье – мать ученья”.

Сегодня мы с вами проведём заключительный урок по теме сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел.

Цель нашего урока - повторить материал по этой теме и подготовиться к контрольной работе.

И девизом нашего урока, я думаю, должно стать высказывание: “Складывать и вычитать мы научимся на “5”!”

II. Проверка домашнего задания

№1114. Заполните пустые места таблицы:

№1116. В альбоме 1105 марок, число иностранных марок составило 30% от числа российских марок. Сколько иностранных и сколько российских марок было в альбоме?

III. Повторение правил сложения и вычитания чисел с разными знаками. Актуализация знаний.

Учащиеся повторяют: правило сложения отрицательных чисел, правило сложения чисел с разными знаками, правило вычитания чисел с разными знаками. Затем решают примеры на применение каждого из этих правил. (Слайды 4-10)

Актуализация знаний учащихся по нахождению длины отрезка на координатной прямой по известным координатам его концов:

4) Задание “Отгадай слово”

На земном шаре живут птицы – безошибочные “составители” прогноза погоды на лето. Название этих птиц зашифровано в карточке.

Выполнив все задания, ученик получает ключевое слово, а ответы проверяются с помощью проектора.

Ключ ФЛАМИНГО строят гнезда в виде конуса: высокие – к дождливому лету; низкие – к сухому. (Показывается ученикам модель Слайды 14-16)

IV. Решение заданий по карточкам.

V. Самостоятельная работа по вариантам.

У каждого учащегося индивидуальная карточка.

Вариант 1.

Обязательная часть.

1. Сравните числа:

а) –24 и 15;

б) –2 и –6.

2. Запишите число, противоположное числу:

3. Выполните действия:

4. Найдите значение выражения:

VI. Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания.

Вопросы спроектированы на экран.

1. Число, которому соответствует точка на координатной прямой...
2. Из двух чисел на координатной прямой больше то число, которое расположено...
3. Число, не являющееся ни отрицательным, ни положительным...
4. Расстояние от числа до начала отсчета на числовой прямой...
5. Натуральные числа, им противоположные и нуль...

Постановка домашнего задания:

• подготовиться к контрольной работе:
• повторить правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел;
• решить № 1096 (к,л,м) №1117

Итоги урока.

Шёл мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и каждому задал по вопросу. У первого спросил: “Что ты делал целый день?” И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: “А Что ты делал целый день?”. А тот ответил: “А я добросовестно выполнял свою работу”. А третий улыбнулся,его лицо засветилось радостью и удовольствием: “А я принимал участие в строительстве храма”

Ребята! Давайте мы попробуем оценить каждый свою работу за урок.

Кто работал так, как первый человек, поднимает синие квадратики.

Кто работал добросовестно, поднимает зеленые квадратики.

Кто принимал участие в строительстве храма “Знаний”, поднимает красные квадратики.

Рефлексия - Соответствуют ли ваши знания и умения девизу урока?

Какие знания вам сегодня были необходимы?