Начальный уровень

Линейные уравнения. Полное руководство (2019)

Что такое «линейные уравнения»

или в устной форме - трем друзьям дали по яблок из расчета, что всего в наличии у Васи яблок.

И вот ты уже решил линейное уравнение
Теперь дадим этому термину математическое определение.

Линейное уравнение - это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна . Оно выглядит следующим образом:

Где и - любые числа и

Для нашего случая с Васей и яблоками мы запишем:

- «если Вася раздаст всем троим друзьям одинаковое количество яблок, у него яблок не останется»

«Скрытые» линейные уравнения, или важность тождественных преобразований

Несмотря на то, что на первый взгляд все предельно просто, при решении уравнений необходимо быть внимательным, потому что линейными уравнениями называются не только уравнения вида, но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду. Например:

Мы видим, что справа стоит, что, по идее, уже говорит о том, что уравнение не линейное. Мало того, если мы раскроем скобки, то получим еще два слагаемых, в которых будет, но не надо торопиться с выводами ! Прежде, чем судить, является ли уравнение линейным, необходимо произвести все преобразования и таким образом, упростить исходный пример. При этом преобразования могут изменять внешний вид, но никак не саму суть уравнения.

Иными словами данные преобразования должны быть тождественными или равносильными . Таких преобразований всего два, но они играют очень, ОЧЕНЬ важную роль при решении задач. Рассмотрим оба преобразования на конкретных примерах.

Перенос влево - вправо.

Допустим, нам необходимо решить такое уравнение:

Еще в начальной школе нам говорили: «с иксами - влево, без иксов - вправо». Какое выражение с иксом стоит справа? Правильно, а не как не. И это важно, так как при неправильном понимании этого, казалось бы простого вопроса, выходит неверный ответ. А какое выражение с иксом стоит слева? Правильно, .

Теперь, когда мы с этим разобрались, переносим все слагаемые с неизвестными в левую сторону, а все, что известно - в правую, помня, что если перед числом нет никакого знака, например, то значит число положительно, то есть перед ним стоит знак « ».

Перенес? Что у тебя получилось?

Все, что осталось сделать - привести подобные слагаемые. Приводим:

Итак, первое тождественное преобразование мы успешно разобрали, хотя уверена, что ты и без меня его знал и активно использовал. Главное - не забывай про знаки при числах и меняй их на противоположные при переносе через знак равенства!

Умножение-деление.

Начнем сразу же с примера

Смотрим и соображаем: что нам не нравится в этом примере? Неизвестное все в одной части, известные - в другой, но что-то нам мешает… И это что-то - четверка, так как если бы ее не было, все было бы идеально - икс равен числу - именно так, как нам и нужно!

Как можно от неё избавиться? Перенести вправо мы не можем, так как тогда нам нужно переносить весь множитель (мы же не можем ее взять и оторвать от), а переносить весь множитель тоже не имеет смысла…

Пришло время вспомнить про деление, в связи с чем разделим все как раз на! Все - это означает и левую, и правую часть. Так и только так! Что у нас получается?

Вот и ответ.

Посмотрим теперь другой пример:

Догадываешься, что нужно сделать в этом случае? Правильно, умножить левую и правую части на! Какой ты получил ответ? Правильно. .

Наверняка все про тождественные преобразования ты и так уже знал. Считай, что мы просто освежили эти знания в твоей памяти и настало время для нечто большего - Например, для решения нашего большого примера:

Как мы уже говорили ранее, глядя на него, не скажешь, что данное уравнение является линейным, но нам необходимо раскрыть скобки и осуществить тождественные преобразования. Так что начнем!

Для начала вспоминаем формулы сокращенного умножения, в частности, квадрат суммы и квадрат разности. Если ты не помнишь, что это такое и как раскрываются скобки, настоятельно рекомендую почитать тему , так как эти навыки пригодятся тебе при решении практически всех примеров, встречающихся на экзамене.
Раскрыл? Сравниваем:

Теперь пришло время привести подобные слагаемые. Помнишь, как нам в тех же начальных классах говорили «не складываем мухи с котлетами»? Вот напоминаю об этом. Складываем все отдельно - множители, у которых есть, множители, у которых есть и остальные множители, в которых нет неизвестных. Как приведешь подобные слагаемые, перенеси все неизвестные влево, а все, что известно вправо. Что у тебя получилось?

Как ты видишь, иксы в квадрате исчезли, и мы видим совершенно обычное линейное уравнение . Осталось только найти!

И напоследок скажу еще одну очень важную вещь про тождественные преобразования - тождественные преобразования применимы не только для линейных уравнений, но и для квадратных, дробных рациональных и других. Просто нужно запомнить, что при переносе множителей через знак равенства мы меняем знак на противоположный, а при делении или умножении на какое-то число, мы умножаем/делим обе части уравнения на ОДНО и то же число.

Что еще ты вынес из этого примера? Что глядя на уравнение не всегда можно прямо и точно определить, является ли оно линейным или нет. Необходимо сначала полностью упростить выражение, и лишь потом судить, каким оно является.

Линейные уравнения. Примеры.

Вот тебе еще пару примеров для самостоятельной тренировки - определи, является ли уравнение линейным и если да, найди его корни:

Ответы:

1. Является.

2. Не является.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Произведем тождественное преобразование - разделим левую и правую часть на:

Мы видим, что уравнение не является линейным, так что искать его корни не нужно.

3. Является.

Произведем тождественное преобразование - умножим левую и правую часть на, чтобы избавиться от знаменателя.

Подумай, почему так важно, чтобы? Если ты знаешь ответ на этот вопрос, переходим к дальнейшему решению уравнения, если нет - обязательно загляни в тему , чтобы не наделать ошибок в более сложных примерах. Кстати, как ты видишь, ситуация, когда невозможна. Почему?
Итак, продолжаем и преобразовываем уравнение:

Если ты без труда со всем справился, поговорим о линейных уравнениях с двумя переменными.

Линейные уравнения с двумя переменными

Теперь перейдем к чуть более сложному - линейным уравнениям с двумя переменными.

Линейные уравнения с двумя переменными имеют вид:

Где, и - любые числа и.

Как ты видишь, вся разница только в том, что в уравнение добавляется еще одна переменная. А так все то же самое - здесь нет иксов в квадрате, нет деления на переменную и т.д. и т.п.

Какой бы привести тебе жизненный пример... Возьмем того же Васю. Допустим, он решил, что каждому из 3-ех друзей он даст одинаковое количество яблок, а яблока оставит себе. Сколько яблок нужно купить Васе, если каждому другу он даст по яблоку? А по? А если по?

Зависимость количества яблок, которое получит каждый человек к общему количеству яблок, которое необходимо приобрести будет выражена уравнением:

• - количество яблок, которое получит человек (, или, или);
• - количество яблок, которое Вася возьмет себе;
• - сколько всего яблок нужно купить Васе с учетом количества яблок на человека.

Решая эту задачу, мы получим, что если одному другу Вася даст яблоко, то ему необходимо покупать штук, если даст яблока - и т.д.

И вообще. У нас две переменные. Почему бы не построить эту зависимость на графике? Строим и отмечаем значение наших, то есть точки, с координатами, и!

Как ты видишь, и зависят друг от друга линейно , отсюда и название уравнений - «линейные ».

Абстрагируемся от яблок и рассмотрим графически различные уравнения. Посмотри внимательно на два построенных графика - прямой и параболы, заданными произвольными функциями:

Найди и отметь на обоих рисунках точки, соответствующие.
Что у тебя получилось?

Ты видишь, что на графике первой функции одному соответствует один , то есть и линейно зависят друг от друга, что не скажешь про вторую функцию. Конечно, ты можешь возразить, что на втором графике так же соответствует икс - , но это только одна точка, то есть частный случай, так как ты все равно можешь найти такой, которому соответствует не только один. Да и построенный график никак не напоминает линию, а является параболой.

Повторюсь, еще раз: графиком линейного уравнения должна быть ПРЯМАЯ линия .

С тем, что уравнение не будет линейным, если у нас идет в какой-либо степени - это понятно на примере параболы, хотя для себя ты можешь построить еще несколько простых графиков, например или. Но я тебя уверяю - ни один из них не будет представлять собой ПРЯМУЮ ЛИНИЮ.

Не веришь? Построй, а затем сравни с тем, что получилось у меня:

А что будет, если мы разделим что-то на, например, какое-то число? Будет ли линейная зависимость и? Не будем рассуждать, а будем строить! Например, построим график функции.

Как-то не выглядит построенное прямой линией… соответственно, уравнение не линейное.
Подведем итоги:

1. Линейное уравнение - это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна.
2. Линейное уравнение с одной переменной имеет вид:
   , где и - любые числа;
   Линейное уравнение с двумя переменными:
   , где, и - любые числа.
3. Не всегда сразу можно определить, является ли уравнение линейным или нет. Иногда, чтобы понять это, необходимо произвести тождественные преобразования перенести влево/вправо подобные члены, не забыв изменить знак, или умножить/разделить обе части уравнения на одного и тоже число.

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

1. Линейное уравнение

Это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна.

2. Линейное уравнение с одной переменной имеет вид:

Где и - любые числа;

3. Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид:

Где, и - любые числа.

4. Тождественные преобразования

Чтобы определить является ли уравнение линейным или нет, необходимо произвести тождественные преобразования:

• перенести влево/вправо подобные члены, не забыв изменить знак;
• умножить/разделить обе части уравнения на одного и тоже число.

Научиться решать уравнения — это одна из главных задач, которые ставит алгебра перед учениками. Начиная с простейшего, когда оно состоит из одной неизвестной, и переходя ко все более сложным. Если не усвоены действия, которые нужно выполнить с уравнениями из первой группы, будет трудно разобраться с другими.

Для продолжения разговора нужно договориться об обозначениях.

Общий вид линейного уравнения с одной неизвестной и принцип его решения

Любое уравнение, которое можно привести к записи такого вида:

а * х = в ,

называется линейным . Это общая формула. Но часто в заданиях линейные уравнения записаны в неявном виде. Тогда требуется выполнить тождественные преобразования, чтобы получить общепринятую запись. К этим действиям относятся:

• раскрытие скобок;
• перемещение всех слагаемых с переменной величиной в левую часть равенства, а остальных — в правую;
• приведение подобных слагаемых.

В случае когда неизвестная величина стоит в знаменателе дроби, нужно определить ее значения, при которых выражение не будет иметь смысла. Другими словами, полагается узнать область определения уравнения.

Принцип, по которому решаются все линейные уравнения, сводится к тому, чтобы разделить значение в правой части равенства на коэффициент перед переменной. То есть «х» будет равен в/а.

Частные случаи линейного уравнения и их решения

Во время рассуждений могут возникать такие моменты, когда линейные уравнения принимают один из особых видов. Каждый из них имеет конкретное решение.

В первой ситуации:

а * х = 0 , причем а ≠ 0.

Решением такого уравнения всегда будет х = 0.

Во втором случае «а» принимает значение равное нулю:

0 * х = 0 .

Ответом такого уравнения будет любое число. То есть у него бесконечное количество корней.

Третья ситуация выглядит так:

0 * х = в , где в ≠ 0.

Это уравнение не имеет смысла. Потому что корней, удовлетворяющих ему, не существует.

Общий вид линейного уравнения с двумя переменными

Из его названия становится ясно, что неизвестных величин в нем уже две. Линейные уравнения с двумя переменными выглядят так:

а * х + в * у = с .

Поскольку в записи встречаются две неизвестные, то ответ будет выглядеть как пара чисел. То есть недостаточно указать только одно значение. Это будет неполный ответ. Пара величин, при которых уравнение превращается в тождество, является решением уравнения. Причем в ответе всегда первой записывают ту переменную, которая идет раньше по алфавиту. Иногда говорят, что эти числа ему удовлетворяют. Причем таких пар может быть бесконечное количество.

Как решить линейное уравнение с двумя неизвестными?

Для этого нужно просто подобрать любую пару чисел, которая окажется верной. Для простоты можно принять одну из неизвестных равной какому-либо простому числу, а потом найти вторую.

При решении часто приходится выполнять действия для упрощения уравнения. Они называются тождественными преобразованиями. Причем для уравнений всегда справедливы такие свойства:

• каждое слагаемое можно перенести в противоположную часть равенства, заменив у него знак на противоположный;
• левую и правую части любого уравнения разрешено делить на одно и то же число, если оно не равно нулю.

Примеры заданий с линейными уравнениями

Первое задание. Решить линейные уравнения: 4х = 20, 8(х — 1) + 2х = 2(4 — 2х); (5х + 15) / (х + 4) = 4; (5х + 15) / (х + 3) = 4.

В уравнении, которое идет в этом списке первым, достаточно просто выполнить деление 20 на 4. Результат будет равен 5. Это и есть ответ: х=5.

Третье уравнение требует того, чтобы было выполнено тождественное преобразование. Оно будет заключаться в раскрытии скобок и приведении подобных слагаемых. После первого действия уравнение примет вид: 8х — 8 + 2х = 8 — 4х. Потом нужно перенести все неизвестные в левую часть равенства, а остальные — в правую. Уравнение станет выглядеть так: 8х + 2х + 4х = 8 + 8. После приведения подобных слагаемых: 14х = 16. Теперь оно выглядит так же, как и первое, и решение его находится легко. Ответом будет х=8/7. Но в математике полагается выделять целую часть из неправильной дроби. Тогда результат преобразится, и «х» будет равен одной целой и одной седьмой.

В остальных примерах переменные находятся в знаменателе. Это значит, что сначала нужно узнать, при каких значениях уравнения определены. Для этого нужно исключить числа, при которых знаменатели обращаются в ноль. В первом из примеров это «-4», во втором оно «-3». То есть эти значения нужно исключить из ответа. После этого нужно умножить обе части равенства на выражения в знаменателе.

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, в первом из этих уравнений получится: 5х + 15 = 4х + 16, а во втором 5х + 15 = 4х + 12. После преобразований решением первого уравнения будет х = -1. Второе оказывается равным «-3», это значит, что последнее решений не имеет.

Второе задание. Решить уравнение: -7х + 2у = 5.

Предположим, что первая неизвестная х = 1, тогда уравнение примет вид -7 * 1 + 2у = 5. Перенеся в правую часть равенства множитель «-7» и поменяв у него знак на плюс, получится, что 2у = 12. Значит, у=6. Ответ: одно из решений уравнения х = 1, у = 6.

Общий вид неравенства с одной переменной

Все возможные ситуации для неравенств представлены здесь:

• а * х > в;
• а * х < в;
• а * х ≥в;
• а * х ≤в.

В общем, оно выглядит как простейшее линейное уравнение, только знак равенства заменен на неравенство.

Правила тождественных преобразований неравенства

Так же как линейные уравнения, и неравенства можно видоизменять по определенным законам. Они сводятся к следующему:

1. к левой и правой частям неравенства можно прибавить любое буквенное или числовое выражение, причем знак неравенства останется прежним;
2. также можно и умножить или разделить на одно и то же положительное число, от этого опять знак не изменяется;
3. при умножении или делении на одно и то же отрицательное число равенство останется верным при условии смены знака неравенства на противоположный.

Общий вид двойных неравенств

В задачах могут быть представлены такие варианты неравенств:

• в < а * х < с;
• в ≤ а * х < с;
• в < а * х ≤ с;
• в ≤ а * х ≤ с.

Двойными оно называется, потому что ограничено знаками неравенства с двух сторон. Оно решается с помощью тех же правил, что и обычные неравенства. И нахождение ответа сводится к ряду тождественных преобразований. Пока не будет получено простейшее.

Особенности решения двойных неравенств

Первой из них является его изображение на координатной оси. Использовать этот способ для простых неравенств нет необходимости. А вот в сложных случаях он может быть просто необходимым.

Для изображения неравенства нужно отметить на оси все точки, которые получились во время рассуждений. Это и недопустимые значения, которые обозначаются выколотыми точками, и значения из неравенств, получившиеся после преобразований. Здесь тоже важно правильно нарисовать точки. Если неравенство строгое, то есть < или >, то эти значения выколотые. В нестрогих неравенствах точки нужно закрашивать.

Потом полагается обозначить смысл неравенств. Это можно сделать с помощью штриховки или дуг. Их пересечение укажет ответ.

Вторая особенность связана с его записью. Здесь предлагается два варианта. Первый — это окончательное неравенство. Второй — в виде промежутков. Вот с ним бывает, что возникают трудности. Ответ промежутками всегда выглядит как переменная со знаком принадлежности и скобок с числами. Иногда промежутков получается несколько, тогда между скобками нужно написать символ «и». Эти знаки выглядят так: ∈ и ∩. Скобки промежутков тоже играют свою роль. Круглая ставится тогда, когда точка исключена из ответа, а прямоугольная включает это значение. Знак бесконечности всегда стоит в круглой скобке.

Примеры решения неравенств

1. Решить неравенство 7 - 5х ≥ 37.

После несложных преобразований получается: -5х ≥ 30. Разделив на «-5» можно получить такое выражение: х ≤ -6. Это уже ответ, но его можно записать и по-другому: х ∈ (-∞; -6].

2. Решите двойное неравенство -4 < 2x + 6 ≤ 8.

Сначала нужно везде вычесть 6. Получится: -10 < 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y - это неизвестные, значение которых надо найти, b, a - коэффициенты при переменных, c - свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.

Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения - это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

Решение с помощью алгебраического сложения

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

1. Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
2. Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
3. Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Способ решения введением новой переменной

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 - 4*a*c, где D - искомый дискриминант, b, a, c - множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Наглядный метод решения систем

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрица и ее разновидности

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. n*m имеет n - строк и m - столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей - вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица - это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Правила преобразования системы уравнений в матрицу

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение - одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y - только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Варианты нахождения обратной матрицы

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 - обратная матрица, а |K| - определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы "два на два", необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта "три на три" существует формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

В примере a nm - коэффициенты уравнений, матрица - вектор x n - переменные, а b n - свободные члены.

Решение систем методом Гаусса

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса - Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 - соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных x n .

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака "стрелка" и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.

Научиться решать уравнения — это одна из главных задач, которые ставит алгебра перед учениками. Начиная с простейшего, когда оно состоит из одной неизвестной, и переходя ко все более сложным. Если не усвоены действия, которые нужно выполнить с уравнениями из первой группы, будет трудно разобраться с другими.

Для продолжения разговора нужно договориться об обозначениях.

Общий вид линейного уравнения с одной неизвестной и принцип его решения

Любое уравнение, которое можно привести к записи такого вида:

а * х = в ,

называется линейным . Это общая формула. Но часто в заданиях линейные уравнения записаны в неявном виде. Тогда требуется выполнить тождественные преобразования, чтобы получить общепринятую запись. К этим действиям относятся:

• раскрытие скобок;
• перемещение всех слагаемых с переменной величиной в левую часть равенства, а остальных — в правую;
• приведение подобных слагаемых.

В случае когда неизвестная величина стоит в знаменателе дроби, нужно определить ее значения, при которых выражение не будет иметь смысла. Другими словами, полагается узнать область определения уравнения.

Принцип, по которому решаются все линейные уравнения, сводится к тому, чтобы разделить значение в правой части равенства на коэффициент перед переменной. То есть «х» будет равен в/а.

Частные случаи линейного уравнения и их решения

Во время рассуждений могут возникать такие моменты, когда линейные уравнения принимают один из особых видов. Каждый из них имеет конкретное решение.

В первой ситуации:

а * х = 0 , причем а ≠ 0.

Решением такого уравнения всегда будет х = 0.

Во втором случае «а» принимает значение равное нулю:

0 * х = 0 .

Ответом такого уравнения будет любое число. То есть у него бесконечное количество корней.

Третья ситуация выглядит так:

0 * х = в , где в ≠ 0.

Это уравнение не имеет смысла. Потому что корней, удовлетворяющих ему, не существует.

Общий вид линейного уравнения с двумя переменными

Из его названия становится ясно, что неизвестных величин в нем уже две. Линейные уравнения с двумя переменными выглядят так:

а * х + в * у = с .

Поскольку в записи встречаются две неизвестные, то ответ будет выглядеть как пара чисел. То есть недостаточно указать только одно значение. Это будет неполный ответ. Пара величин, при которых уравнение превращается в тождество, является решением уравнения. Причем в ответе всегда первой записывают ту переменную, которая идет раньше по алфавиту. Иногда говорят, что эти числа ему удовлетворяют. Причем таких пар может быть бесконечное количество.

Как решить линейное уравнение с двумя неизвестными?

Для этого нужно просто подобрать любую пару чисел, которая окажется верной. Для простоты можно принять одну из неизвестных равной какому-либо простому числу, а потом найти вторую.

При решении часто приходится выполнять действия для упрощения уравнения. Они называются тождественными преобразованиями. Причем для уравнений всегда справедливы такие свойства:

• каждое слагаемое можно перенести в противоположную часть равенства, заменив у него знак на противоположный;
• левую и правую части любого уравнения разрешено делить на одно и то же число, если оно не равно нулю.

Примеры заданий с линейными уравнениями

Первое задание. Решить линейные уравнения: 4х = 20, 8(х — 1) + 2х = 2(4 — 2х); (5х + 15) / (х + 4) = 4; (5х + 15) / (х + 3) = 4.

В уравнении, которое идет в этом списке первым, достаточно просто выполнить деление 20 на 4. Результат будет равен 5. Это и есть ответ: х=5.

Третье уравнение требует того, чтобы было выполнено тождественное преобразование. Оно будет заключаться в раскрытии скобок и приведении подобных слагаемых. После первого действия уравнение примет вид: 8х — 8 + 2х = 8 — 4х. Потом нужно перенести все неизвестные в левую часть равенства, а остальные — в правую. Уравнение станет выглядеть так: 8х + 2х + 4х = 8 + 8. После приведения подобных слагаемых: 14х = 16. Теперь оно выглядит так же, как и первое, и решение его находится легко. Ответом будет х=8/7. Но в математике полагается выделять целую часть из неправильной дроби. Тогда результат преобразится, и «х» будет равен одной целой и одной седьмой.

В остальных примерах переменные находятся в знаменателе. Это значит, что сначала нужно узнать, при каких значениях уравнения определены. Для этого нужно исключить числа, при которых знаменатели обращаются в ноль. В первом из примеров это «-4», во втором оно «-3». То есть эти значения нужно исключить из ответа. После этого нужно умножить обе части равенства на выражения в знаменателе.

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, в первом из этих уравнений получится: 5х + 15 = 4х + 16, а во втором 5х + 15 = 4х + 12. После преобразований решением первого уравнения будет х = -1. Второе оказывается равным «-3», это значит, что последнее решений не имеет.

Второе задание. Решить уравнение: -7х + 2у = 5.

Предположим, что первая неизвестная х = 1, тогда уравнение примет вид -7 * 1 + 2у = 5. Перенеся в правую часть равенства множитель «-7» и поменяв у него знак на плюс, получится, что 2у = 12. Значит, у=6. Ответ: одно из решений уравнения х = 1, у = 6.

Общий вид неравенства с одной переменной

Все возможные ситуации для неравенств представлены здесь:

• а * х > в;
• а * х < в;
• а * х ≥в;
• а * х ≤в.

В общем, оно выглядит как простейшее линейное уравнение, только знак равенства заменен на неравенство.

Правила тождественных преобразований неравенства

Так же как линейные уравнения, и неравенства можно видоизменять по определенным законам. Они сводятся к следующему:

1. к левой и правой частям неравенства можно прибавить любое буквенное или числовое выражение, причем знак неравенства останется прежним;
2. также можно и умножить или разделить на одно и то же положительное число, от этого опять знак не изменяется;
3. при умножении или делении на одно и то же отрицательное число равенство останется верным при условии смены знака неравенства на противоположный.

Общий вид двойных неравенств

В задачах могут быть представлены такие варианты неравенств:

• в < а * х < с;
• в ≤ а * х < с;
• в < а * х ≤ с;
• в ≤ а * х ≤ с.

Двойными оно называется, потому что ограничено знаками неравенства с двух сторон. Оно решается с помощью тех же правил, что и обычные неравенства. И нахождение ответа сводится к ряду тождественных преобразований. Пока не будет получено простейшее.

Особенности решения двойных неравенств

Первой из них является его изображение на координатной оси. Использовать этот способ для простых неравенств нет необходимости. А вот в сложных случаях он может быть просто необходимым.

Для изображения неравенства нужно отметить на оси все точки, которые получились во время рассуждений. Это и недопустимые значения, которые обозначаются выколотыми точками, и значения из неравенств, получившиеся после преобразований. Здесь тоже важно правильно нарисовать точки. Если неравенство строгое, то есть < или >, то эти значения выколотые. В нестрогих неравенствах точки нужно закрашивать.

Потом полагается обозначить смысл неравенств. Это можно сделать с помощью штриховки или дуг. Их пересечение укажет ответ.

Вторая особенность связана с его записью. Здесь предлагается два варианта. Первый — это окончательное неравенство. Второй — в виде промежутков. Вот с ним бывает, что возникают трудности. Ответ промежутками всегда выглядит как переменная со знаком принадлежности и скобок с числами. Иногда промежутков получается несколько, тогда между скобками нужно написать символ «и». Эти знаки выглядят так: ∈ и ∩. Скобки промежутков тоже играют свою роль. Круглая ставится тогда, когда точка исключена из ответа, а прямоугольная включает это значение. Знак бесконечности всегда стоит в круглой скобке.

Примеры решения неравенств

1. Решить неравенство 7 - 5х ≥ 37.

После несложных преобразований получается: -5х ≥ 30. Разделив на «-5» можно получить такое выражение: х ≤ -6. Это уже ответ, но его можно записать и по-другому: х ∈ (-∞; -6].

2. Решите двойное неравенство -4 < 2x + 6 ≤ 8.

Сначала нужно везде вычесть 6. Получится: -10 < 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

И т.п., логично познакомиться с уравнениями и других видов. Следующими по очереди идут линейные уравнения , целенаправленное изучение которых начинается на уроках алгебры в 7 классе.

Понятно, что сначала надо объяснить, что такое линейное уравнение, дать определение линейного уравнения, его коэффициентов, показать его общий вид. Дальше можно разбираться, сколько решений имеет линейное уравнение в зависимости от значений коэффициентов, и как находятся корни. Это позволит перейти к решению примеров, и тем самым закрепить изученную теорию. В этой статье мы это сделаем: детально остановимся на всех теоретических и практических моментах, касающихся линейных уравнений и их решения.

Сразу скажем, что здесь мы будем рассматривать только линейные уравнения с одной переменной, а уже в отдельной статье будем изучать принципы решения линейных уравнений с двумя переменными .

Навигация по странице.

Что такое линейное уравнение?

Определение линейного уравнения дается по виду его записи. Причем в разных учебниках математики и алгебры формулировки определений линейных уравнений имеют некоторые различия, не влияющие на суть вопроса.

Например, в учебнике алгебры для 7 класса Ю. Н. Макарычева и др. линейное уравнение определяется следующим образом:

Определение.

Уравнение вида a·x=b , где x – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной .

Приведем примеры линейных уравнений, отвечающие озвученному определению. Например, 5·x=10 – это линейное уравнение с одной переменной x , здесь коэффициент a равен 5 , а число b есть 10 . Другой пример: −2,3·y=0 – это тоже линейное уравнение, но с переменной y , в котором a=−2,3 и b=0 . А в линейных уравнениях x=−2 и −x=3,33 a не присутствуют в явном виде и равны 1 и −1 соответственно, при этом в первом уравнении b=−2 , а во втором - b=3,33 .

А годом ранее в учебнике математики Виленкина Н. Я. линейными уравнениями с одним неизвестным помимо уравнений вида a·x=b считали и уравнения, которые можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также с помощью приведения подобных слагаемых. Согласно этому определению, уравнения вида 5·x=2·x+6 , и т.п. тоже линейные.

В свою очередь в учебнике алгебры для 7 классов А. Г. Мордковича дается такое определение:

Определение.

Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a·x+b=0 , где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.

К примеру, линейными уравнениями такого вида являются 2·x−12=0 , здесь коэффициент a равен 2 , а b – равен −12 , и 0,2·y+4,6=0 с коэффициентами a=0,2 и b=4,6 . Но в тоже время там приводятся примеры линейных уравнений, имеющие вид не a·x+b=0 , а a·x=b , например, 3·x=12 .

Давайте, чтобы у нас в дальнейшем не было разночтений, под линейным уравнениями с одной переменной x и коэффициентами a и b будем понимать уравнение вида a·x+b=0 . Такой вид линейного уравнения представляется наиболее оправданным, так как линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А все остальные указанные выше уравнения, а также уравнения, которые с помощью равносильных преобразований приводятся к виду a·x+b=0 , будем называть уравнениями, сводящимися к линейным уравнениям . При таком подходе уравнение 2·x+6=0 – это линейное уравнение, а 2·x=−6 , 4+25·y=6+24·y , 4·(x+5)=12 и т.п. – это уравнения, сводящиеся к линейным.

Как решать линейные уравнения?

Теперь пришло время разобраться, как решаются линейные уравнения a·x+b=0 . Другими словами, пора узнать, имеет ли линейное уравнение корни, и если имеет, то сколько их и как их найти.

Наличие корней линейного уравнения зависит от значений коэффициентов a и b . При этом линейное уравнение a·x+b=0 имеет

• единственный корень при a≠0 ,
• не имеет корней при a=0 и b≠0 ,
• имеет бесконечно много корней при a=0 и b=0 , в этом случае любое число является корнем линейного уравнения.

Поясним, как были получены эти результаты.

Мы знаем, что для решения уравнений можно переходить от исходного уравнения к равносильным уравнениям , то есть, к уравнениям с теми же корнями или также как и исходное, не имеющим корней. Для этого можно использовать следующие равносильные преобразования:

• перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком,
• а также умножение или деление обе частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Итак, в линейном уравнении с одной переменной вида a·x+b=0 мы можем перенести слагаемое b из левой части в правую часть с противоположным знаком. При этом уравнение примет вид a·x=−b .

А дальше напрашивается деление обеих частей уравнения на число a. Но есть одно но: число a может быть равно нулю, в этом случае такое деление невозможно. Чтобы справиться с этой проблемой, сначала будем считать, что число a отлично от нуля, а случай равного нулю a рассмотрим отдельно чуть позже.

Итак, когда a не равно нулю, то мы можем обе части уравнения a·x=−b разделить на a , после этого оно преобразуется к виду x=(−b):a , этот результат можно записать с использованием дробной черты как .

Таким образом, при a≠0 линейное уравнение a·x+b=0 равносильно уравнению , откуда виден его корень .

Несложно показать, что этот корень единственный, то есть, линейное уравнение не имеет других корней. Это позволяет сделать метод от противного.

Обозначим корень как x 1 . Предположим, что существует еще один корень линейного уравнения, который обозначим x 2 , причем x 2 ≠x 1 , что в силу определения равных чисел через разность эквивалентно условию x 1 −x 2 ≠0 . Так как x 1 и x 2 корни линейного уравнения a·x+b=0 , то имеют место числовые равенства a·x 1 +b=0 и a·x 2 +b=0 . Мы можем выполнить вычитание соответствующих частей этих равенств, что нам позволяют сделать свойства числовых равенств , имеем a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0 , откуда a·(x 1 −x 2)+(b−b)=0 и дальше a·(x 1 −x 2)=0 . А это равенство невозможно, так как и a≠0 и x 1 −x 2 ≠0 . Так мы пришли к противоречию, что доказывает единственность корня линейного уравнения a·x+b=0 при a≠0 .

Так мы решили линейное уравнение a·x+b=0 при a≠0 . Первый результат, приведенный в начале этого пункта, обоснован. Остались еще два, отвечающие условию a=0 .

При a=0 линейное уравнение a·x+b=0 принимает вид 0·x+b=0 . Из этого уравнения и свойства умножения чисел на нуль следует, что какое бы число мы не взяли в качестве x , при его подстановке в уравнение 0·x+b=0 получится числовое равенство b=0 . Это равенство верное, когда b=0 , а в остальных случаях при b≠0 это равенство неверное.

Следовательно, при a=0 и b=0 любое число является корнем линейного уравнения a·x+b=0 , так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа дает верное числовое равенство 0=0 . А при a=0 и b≠0 линейное уравнение a·x+b=0 не имеет корней, так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа приводит к неверному числовому равенству b=0 .

Приведенные обоснования позволяют сформировать последовательность действий, позволяющую решить любое линейное уравнение. Итак, алгоритм решения линейного уравнения таков:

• Сначала по записи линейного уравнения находим значения коэффициентов a и b .
• Если a=0 и b=0 , то это уравнение имеет бесконечно много корней, а именно, любое число является корнем этого линейного уравнения.
• Если же a отлично от нуля, то
• коэффициент b переносится в правую часть с противоположным знаком, при этом линейное уравнение преобразуется к виду a·x=−b ,
• после чего обе части полученного уравнения делятся на отличное от нуля число a , что и дает искомый корень исходного линейного уравнения .

Записанный алгоритм является исчерпывающим ответом на вопрос, как решать линейные уравнения.

В заключение этого пункта стоит сказать, что похожий алгоритм применяется для решения уравнений вида a·x=b . Его отличие состоит в том, что при a≠0 сразу выполняется деление обеих частей уравнения на это число, здесь b уже находится в нужной части уравнения и не нужно осуществлять его перенос.

Для решения уравнений вида a·x=b применяется такой алгоритм:

• Если a=0 и b=0 , то уравнение имеет бесконечно много корней, которыми являются любые числа.
• Если a=0 и b≠0 , то исходное уравнение не имеет корней.
• Если же a отлично от нуля, то обе части уравнения делятся на отличное от нуля число a , откуда находится единственный корень уравнения, равный b/a .

Примеры решения линейных уравнений

Переходим к практике. Разберем, как применяется алгоритм решения линейных уравнений. Приведем решения характерных примеров, соответствующих различным значениям коэффициентов линейных уравнений.

Пример.

Решите линейное уравнение 0·x−0=0 .

Решение.

В этом линейном уравнении a=0 и b=−0 , что то же самое, b=0 . Следовательно, это уравнение имеет бесконечно много корней, любое число является корнем этого уравнения.

Ответ:

x – любое число.

Пример.

Имеет ли решения линейное уравнение 0·x+2,7=0 ?

Решение.

В данном случае коэффициент a равен нулю, а коэффициент b этого линейного уравнения равен 2,7 , то есть, отличен от нуля. Поэтому, линейное уравнение не имеет корней.