Данный методический материал носит справочный характер и относится к широкому кругу тем. В статье приведен обзор графиков основных элементарных функций и рассмотрен важнейший вопрос – как правильно и БЫСТРО построить график . В ходе изучения высшей математики без знания графиков основных элементарных функций придётся тяжело, поэтому очень важно вспомнить, как выглядят графики параболы, гиперболы, синуса, косинуса и т.д., запомнить некоторые значения функций. Также речь пойдет о некоторых свойствах основных функций .

Я не претендую на полноту и научную основательность материалов, упор будет сделан, прежде всего, на практике – тех вещах, с которыми приходится сталкиваться буквально на каждом шагу, в любой теме высшей математики . Графики для чайников? Можно сказать и так.

По многочисленным просьбам читателей кликабельное оглавление :

Кроме того, есть сверхкраткий конспект по теме
– освойте 16 видов графиков, изучив ШЕСТЬ страниц!

Серьёзно, шесть, удивился даже я сам. Данный конспект содержит улучшенную графику и доступен за символическую плaту , демо-версию можно посмотреть . Файл удобно распечатать, чтобы графики всегда были под рукой. Спасибо за поддержку проекта!

И сразу начинаем:

Как правильно построить координатные оси?

На практике контрольные работы почти всегда оформляются студентами в отдельных тетрадях, разлинованных в клетку. Зачем нужна клетчатая разметка? Ведь работу, в принципе, можно сделать и на листах А4. А клетка необходима как раз для качественного и точного оформления чертежей.

Любой чертеж графика функции начинается с координатных осей .

Чертежи бывают двухмерными и трехмерными.

Сначала рассмотрим двухмерный случай декартовой прямоугольной системы координат :

1) Чертим координатные оси. Ось называется осью абсцисс , а ось – осью ординат . Чертить их всегда стараемся аккуратно и не криво . Стрелочки тоже не должны напоминать бороду Папы Карло.

2) Подписываем оси большими буквами «икс» и «игрек». Не забываем подписывать оси .

3) Задаем масштаб по осям: рисуем ноль и две единички . При выполнении чертежа самый удобный и часто встречающийся масштаб: 1 единица = 2 клеточки (чертеж слева) – по возможности придерживайтесь именно его. Однако время от времени случается так, что чертеж не вмещается на тетрадный лист – тогда масштаб уменьшаем: 1 единица = 1 клеточка (чертеж справа). Редко, но бывает, что масштаб чертежа приходится уменьшать (или увеличивать) еще больше

НЕ НУЖНО «строчить из пулемёта» …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Ибо координатная плоскость – не памятник Декарту, а студент – не голубь. Ставим ноль и две единицы по осям . Иногда вместо единиц удобно «засечь» другие значения, например, «двойку» на оси абсцисс и «тройку» на оси ординат – и эта система (0, 2 и 3) тоже однозначно задаст координатную сетку.

Предполагаемые размеры чертежа лучше оценить еще ДО построения чертежа . Так, например, если в задании требуется начертить треугольник с вершинами , , , то совершенно понятно, что популярный масштаб 1 единица = 2 клеточки не подойдет. Почему? Посмотрим на точку – здесь придется отмерять пятнадцать сантиметров вниз, и, очевидно, что чертеж не вместится (или вместится еле-еле) на тетрадный лист. Поэтому сразу выбираем более мелкий масштаб 1 единица = 1 клеточка.

Кстати, о сантиметрах и тетрадных клетках. Правда ли, что в 30 тетрадных клетках содержится 15 сантиметров? Отмерьте в тетради для интереса 15 сантиметров линейкой. В СССР, возможно, это было правдой… Интересно отметить, что если отмерить эти самые сантиметры по горизонтали и вертикали, то результаты (в клетках) будут разными! Строго говоря, современные тетради не клетчатые, а прямоугольные. Возможно, это покажется ерундой, но, чертить, например, окружность циркулем при таких раскладах очень неудобно. Если честно, в такие моменты начинаешь задумываться о правоте товарища Сталина, который отправлял в лагеря за халтуру на производстве, не говоря уже об отечественном автомобилестроении, падающих самолетах или взрывающихся электростанциях.

К слову о качестве, или краткая рекомендация по канцтоварам. На сегодняшний день большинство тетрадей в продаже, плохих слов не говоря, полное гомно. По той причине, что они промокают, причём не только от гелевых, но и от шариковых ручек! На бумаге экономят. Для оформления контрольных работ рекомендую использовать тетради Архангельского ЦБК (18 листов, клетка) или «Пятёрочку», правда, она дороже. Ручку желательно выбрать гелевую, даже самый дешевый китайский гелевый стержень намного лучше, чем шариковая ручка, которая то мажет, то дерёт бумагу. Единственной «конкурентоспособной» шариковой ручкой на моей памяти является «Эрих Краузе». Она пишет чётко, красиво и стабильно – что с полным стержнем, что с практически пустым.

Дополнительно : вИдение прямоугольной системы координат глазами аналитической геометрии освещается в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов , подробную информацию о координатных четвертях можно найти во втором параграфе урока Линейные неравенства .

Трехмерный случай

Здесь почти всё так же.

1) Чертим координатные оси. Стандарт: ось аппликат – направлена вверх, ось – направлена вправо, ось – влево вниз строго под углом 45 градусов.

2) Подписываем оси.

3) Задаем масштаб по осям. Масштаб по оси – в два раза меньше, чем масштаб по другим осям . Также обратите внимание, что на правом чертеже я использовал нестандартную «засечку» по оси (о такой возможности уже упомянуто выше) . С моей точки зрения, так точнее, быстрее и эстетичнее – не нужно под микроскопом выискивать середину клетки и «лепить» единицу впритык к началу координат.

При выполнении трехмерного чертежа опять же – отдавайте приоритет масштабу
1 единица = 2 клетки (чертеж слева).

Для чего нужны все эти правила? Правила существуют для того, чтобы их нарушать. Чем я сейчас и займусь. Дело в том, что последующие чертежи статьи будут выполнены мной в Экселе, и, координатные оси будут выглядеть некорректно с точки зрения правильного оформления. Я бы мог начертить все графики от руки, но чертить их на самом деле жуть как неохота Эксель их начертит гораздо точнее.

Графики и основные свойства элементарных функций

Линейная функция задается уравнением . График линейной функций представляет собой прямую . Для того, чтобы построить прямую достаточно знать две точки.

Пример 1

Построить график функции . Найдем две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать ноль.

Если , то

Берем еще какую-нибудь точку, например, 1.

Если , то

При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу:

А сами значения рассчитываются устно или на черновике, калькуляторе.

Две точки найдены, выполним чертеж:

При оформлении чертежа всегда подписываем графики .

Не лишним будет вспомнить частные случаи линейной функции:

Обратите внимание, как я расположил подписи, подписи не должны допускать разночтений при изучении чертежа . В данном случае крайне нежелательно было поставить подпись рядом с точкой пересечения прямых , или справа внизу между графиками.

1) Линейная функция вида () называется прямой пропорциональностью. Например, . График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат. Таким образом, построение прямой упрощается – достаточно найти всего одну точку.

2) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции строится сразу, без нахождения всяких точек. То есть, запись следует понимать так: «игрек всегда равен –4, при любом значении икс».

3) Уравнение вида задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось задается уравнением . График функции также строится сразу. Запись следует понимать так: «икс всегда, при любом значении игрек, равен 1».

Некоторые спросят, ну зачем вспоминать 6 класс?! Так-то оно, может и так, только за годы практики я встретил добрый десяток студентов, которых ставила в тупик задача построения графика вроде или .

Построение прямой – самое распространенное действие при выполнении чертежей.

Прямая линия детально рассматривается в курсе аналитической геометрии, и желающие могут обратиться к статье Уравнение прямой на плоскости .

График квадратичной, кубической функции, график многочлена

Парабола. График квадратичной функции () представляет собой параболу. Рассмотрим знаменитый случай:

Вспоминаем некоторые свойства функции .

Итак, решение нашего уравнения: – именно в этой точке и находится вершина параболы. Почему это так, можно узнать из теоретической статьи о производной и урока об экстремумах функции . А пока рассчитываем соответствующее значение «игрек»:

Таким образом, вершина находится в точке

Теперь находим другие точки, при этом нагло пользуемся симметричностью параболы. Следует заметить, что функция – не является чётной , но, тем не менее, симметричность параболы никто не отменял.

В каком порядке находить остальные точки, думаю, будет понятно из итоговой таблицы:

Данный алгоритм построения образно можно назвать «челноком» или принципом «туда-сюда» с Анфисой Чеховой.

Выполним чертеж:

Из рассмотренных графиков вспоминается еще один полезный признак:

Для квадратичной функции () справедливо следующее:

Если , то ветви параболы направлены вверх .

Если , то ветви параболы направлены вниз .

Углублённые знания о кривой можно получить на уроке Гипербола и парабола .

Кубическая парабола задается функцией . Вот знакомый со школы чертеж:

Перечислим основные свойства функции

График функции

Он представляет собой одну из ветвей параболы . Выполним чертеж:

Основные свойства функции :

В данном случае ось является вертикальной асимптотой для графика гиперболы при .

Будет ГРУБОЙ ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой .

Также односторонние пределы , говорят нам о том, что гипербола не ограничена сверху и не ограничена снизу .

Исследуем функцию на бесконечности: , то есть, если мы начнем уходить по оси влево (или вправо) на бесконечность, то «игреки» стройным шагом будут бесконечно близко приближаться к нулю, и, соответственно, ветви гиперболы бесконечно близко приближаться к оси .

Таким образом, ось является горизонтальной асимптотой для графика функции, если «икс» стремится к плюс или минус бесконечности.

Функция является нечётной , а, значит, гипербола симметрична относительно начала координат. Данный факт очевиден из чертежа, кроме того, легко проверяется аналитически: .

График функции вида () представляет собой две ветви гиперболы .

Если , то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях (см. рисунок выше).

Если , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях .

Указанную закономерность места жительства гиперболы нетрудно проанализировать с точки зрения геометрических преобразований графиков .

Пример 3

Построить правую ветвь гиперболы

Используем поточечный метод построения, при этом, значения выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело:

Выполним чертеж:

Не составит труда построить и левую ветвь гиперболы, здесь как раз поможет нечетность функции. Грубо говоря, в таблице поточечного построения мысленно добавляем к каждому числу минус, ставим соответствующие точки и прочерчиваем вторую ветвь.

Детальную геометрическую информацию о рассмотренной линии можно найти в статье Гипербола и парабола .

График показательной функции

В данном параграфе я сразу рассмотрю экспоненциальную функцию , поскольку в задачах высшей математики в 95% случаев встречается именно экспонента.

Напоминаю, что – это иррациональное число: , это потребуется при построении графика, который, собственно, я без церемоний и построю. Трёх точек, пожалуй, хватит:

График функции пока оставим в покое, о нём позже.

Основные свойства функции :

Принципиально так же выглядят графики функций , и т. д.

Должен сказать, что второй случай встречается на практике реже, но он встречается, поэтому я счел нужным включить его в данную статью.

График логарифмической функции

Рассмотрим функцию с натуральным логарифмом .
Выполним поточечный чертеж:

Если позабылось, что такое логарифм, пожалуйста, обратитесь к школьным учебникам.

Основные свойства функции :

Область определения :

Область значений: .

Функция не ограничена сверху: , пусть и медленно, но ветка логарифма уходит вверх на бесконечность.
Исследуем поведение функции вблизи нуля справа: . Таким образом, ось является вертикальной асимптотой для графика функции при «икс» стремящемся к нулю справа.

Обязательно нужно знать и помнить типовое значение логарифма : .

Принципиально так же выглядит график логарифма при основании : , , (десятичный логарифм по основанию 10) и т.д. При этом, чем больше основание, тем более пологим будет график.

Случай рассматривать не будем, что-то я не припомню, когда последний раз строил график с таким основанием. Да и логарифм вроде в задачах высшей математики ооочень редкий гость.

В заключение параграфа скажу еще об одном факте: Экспоненциальная функция и логарифмическая функция – это две взаимно обратные функции . Если присмотреться к графику логарифма, то можно увидеть, что это – та же самая экспонента, просто она расположена немного по-другому.

Графики тригонометрических функций

С чего начинаются тригонометрические мучения в школе? Правильно. С синуса

Построим график функции

Данная линия называется синусоидой .

Напоминаю, что «пи» – это иррациональное число: , и в тригонометрии от него в глазах рябит.

Основные свойства функции :

Данная функция является периодической с периодом . Что это значит? Посмотрим на отрезок . Слева и справа от него бесконечно повторяется точно такой же кусок графика.

Область определения : , то есть для любого значения «икс» существует значение синуса.

Область значений: . Функция является ограниченной : , то есть, все «игреки» сидят строго в отрезке .
Такого не бывает: или , точнее говоря, бывает, но указанные уравнения не имеют решения.

На уроках математики в школе Вы уже познакомились с простейшими свойствами и графиком функции y = x 2 . Давайте расширим знания по квадратичной функции .

Задание 1.

Построить график функции y = x 2 . Масштаб: 1 = 2 см. Отметьте на оси Oy точку F (0; 1/4). Циркулем или полоской бумаги измерьте расстояние от точки F до какой-нибудь точки M параболы. Затем приколите полоску в точке M и поверните ее вокруг этой точки так, чтобы она стала вертикальной. Конец полоски опустится немного ниже оси абсцисс (рис. 1) . Отметьте на полоске, насколько она выйдет за ось абсцисс. Возьмите теперь другую точку на параболе и повторите измерение еще раз. Насколько теперь опустился край полоски за ось абсцисс?

Результат: какую бы точку на параболе y = x 2 вы не взяли, расстояние от этой точки до точки F(0; 1/4) будет больше расстояния от той же точки до оси абсцисс всегда на одно и то же число – на 1/4.

Можно сказать иначе: расстояние от любой точки параболы до точки (0; 1/4) равно расстоянию от той же точки параболы до прямой y = -1/4. Эта замечательная точка F(0; 1/4) называется фокусом параболы y = x 2 , а прямая y = -1/4 – директрисой этой параболы. Директриса и фокус есть у каждой параболы.

Интересные свойства параболы:

1. Любая точка параболы равноудалена от некоторой точки, называемой фокусом параболы, и некоторой прямой, называемой ее директрисой.

2. Если вращать параболу вокруг оси симметрии (например, параболу y = x 2 вокруг оси Oy), то получится очень интересная поверхность, которая называется параболоидом вращения.

Поверхность жидкости во вращающемся сосуде имеет форму параболоида вращения. Вы можете увидеть эту поверхность, если сильно помешаете ложечкой в неполном стакане чая, а потом вынете ложечку.

3. Если в пустоте бросить камень под некоторым углом к горизонту, то он полетит по параболе (рис. 2).

4. Если пересечь поверхность конуса плоскостью, параллельной какой-либо одной его образующей, то в сечении получится парабола (рис. 3) .

5. В парках развлечений иногда устраивают забавный аттракцион «Параболоид чудес». Каждому, из стоящих внутри вращающегося параболоида, кажется, что он стоит на полу, а остальные люди каким-то чудом держаться на стенках.

6. В зеркальных телескопах также применяют параболические зеркала: свет далекой звезды, идущий параллельным пучком, упав на зеркало телескопа, собирается в фокус.

7. У прожекторов зеркало обычно делается в форме параболоида. Если поместить источник света в фокусе параболоида, то лучи, отразившись от параболического зеркала, образуют параллельный пучок.

Построение графика квадратичной функции

На уроках математики вы изучали получение из графика функции y = x 2 графиков функций вида:

1) y = ax 2 – растяжение графика y = x 2 вдоль оси Oy в |a| раз (при |a| < 0 – это сжатие в 1/|a| раз, рис. 4 ).

2) y = x 2 + n – сдвиг графика на n единиц вдоль оси Oy, причем, если n > 0, то сдвиг вверх, а если n < 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2 – сдвиг графика на m единиц вдоль оси Ox: если m < 0, то вправо, а если m > 0, то влево, (рис. 5) .

4) y = -x 2 – симметричное отображение относительно оси Ox графика y = x 2 .

Подробнее остановимся на построении графика функции y = a(x – m) 2 + n .

Квадратичную функцию вида y = ax 2 + bx + c всегда можно привести к виду

y = a(x – m) 2 + n, где m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Докажем это.

Действительно,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Введем новые обозначения.

Пусть m = -b/(2a) , а n = -(b 2 – 4ac)/(4a) ,

тогда получим y = a(x – m) 2 + n или y – n = a(x – m) 2 .

Сделаем еще замены: пусть y – n = Y, x – m = X (*).

Тогда получим функцию Y = aX 2 , графиком которой является парабола.

Вершина параболы находится в начале координат. X = 0; Y = 0.

Подставив координаты вершины в (*), получаем координаты вершины графика y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

Таким образом, для того, чтобы построить график квадратичной функции, представленной в виде

y = a(x – m) 2 + n

путем преобразований, можно действовать следующим образом:

a) построить график функции y = x 2 ;

б) путем параллельного переноса вдоль оси Ox на m единиц и вдоль оси Oy на n единиц – вершину параболы из начала координат перевести в точку с координатами (m; n) (рис. 6) .

Запись преобразований:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Пример.

С помощью преобразований построить в декартовой системе координат график функции y = 2(x – 3) 2 – 2.

Решение.

Цепочка преобразований:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Построение графика изображено на рис. 7 .

Вы можете практиковаться в построении графиков квадратичной функции самостоятельно. Например, постройте в одной системе координат с помощью преобразований график функции y = 2(x + 3) 2 + 2. Если у вас возникнут вопросы или же вы захотите получить консультацию учителя, то у вас есть возможность провести бесплатное 25-минутное занятие с онлайн репетитором после регистрации . Для дальнейшей работы с преподавателем вы сможете выбрать подходящий вам тарифный план.

Остались вопросы? Не знаете, как построить график квадратичной функции?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса "вымучивают" свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.

Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на "чтение" графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.

Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.

Итак, функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax 2 . То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты (b и с ) нулю равняться могут.

Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.

Самая простая зависимость для коэффициента а . Большинство школьников уверенно отвечает: " если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

В данном случае а = 0,5

А теперь для а < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

В данном случае а = - 0,5

Влияние коэффициента с тоже достаточно легко проследить. Представим, что мы хотим найти значение функции в точке х = 0. Подставим ноль в формулу:

y = a 0 2 + b 0 + c = c . Получается, что у = с . То есть с - это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с < 0.

с > 0:

y = x 2 + 4x + 3

с < 0

y = x 2 + 4x - 3

Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:

y = x 2 + 4x

Сложнее с параметром b . Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а . Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х ) находится по формуле х в = - b/(2а) . Таким образом, b = - 2ах в . То есть, действуем следующим образом: на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля (х в > 0) или левее (х в < 0) она лежит.

Однако это не все. Надо еще обратить внимание на знак коэффициента а . То есть посмотреть, куда направлены ветви параболы. И только после этого по формуле b = - 2ах в определить знак b .

Рассмотрим пример:

Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в > 0. Значит b = - 2ах в = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, с < 0.

Как построить параболу? Существует несколько способов построения графика квадратичной функции. Каждый из них имеет свои плюсы и минусы. Рассмотрим два способа.

Начнём с построения графика квадратичной функции вида y=x²+bx+c и y= -x²+bx+c.

Пример.

Построить график функции y=x²+2x-3.

Решение:

y=x²+2x-3 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы

От вершины (-1;-4) строим график параболы y=x²(как от начала координат. Вместо (0;0) — вершина (-1;-4). От (-1;-4) идём вправо на 1 единицу и вверх на 1 единицу, затем влево на 1 и вверх на 1; далее: 2 — вправо, 4 — вверх, 2- влево, 4 — вверх; 3 — вправо, 9 — вверх, 3 — влево, 9 — вверх. Если этих 7 точек недостаточно, далее — 4 вправо, 16 — вверх и т. д.).

График квадратичной функции y= -x²+bx+c — парабола, ветви которой направлены вниз. Для построения графика ищем координаты вершины и от неё строим параболу y= -x².

Пример.

Построить график функции y= -x²+2x+8.

Решение:

y= -x²+2x+8 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы

От вершины строим параболу y= -x² (1 — вправо, 1- вниз; 1 — влево, 1 — вниз; 2 — вправо, 4 — вниз; 2 — влево, 4 — вниз и т. д.):

Этот способ позволяет построить параболу быстро и не вызывает затруднений, если вы умеете строить графики функций y=x² и y= -x². Недостаток: если координаты вершины — дробные числа, строить график не очень удобно. Если требуется знать точные значения точек пересечения графика с осью Ох, придется дополнительно решить уравнение x²+bx+c=0 (или —x²+bx+c=0), даже если эти точки непосредственно можно определить по рисунку.

Другой способ построения параболы — по точкам, то есть можно найти несколько точек графика и через них провести параболу (с учетом того, что прямая x=хₒ является её осью симметрии). Обычно для этого берут вершину параболы, точки пересечения графика с осями координат и 1-2 дополнительные точки.

Построить график функции y=x²+5x+4.

Решение:

y=x²+5x+4 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы

то есть вершина параболы — точка (-2,5; -2,25).

Ищем . В точке пересечения с осью Ох y=0: x²+5x+4=0. Корни квадратного уравнения х1=-1, х2=-4, то есть получили две точки графике (-1; 0) и (-4; 0).

В точке пересечения графика с осью Оy х=0: y=0²+5∙0+4=4. Получили точку (0; 4).

Для уточнения графика можно найти дополнительную точку. Возьмем х=1, тогда y=1²+5∙1+4=10, то есть еще одна точка графика — (1; 10). Отмечаем эти точки на координатной плоскости. С учетом симметрии параболы относительно прямой, проходящей через её вершину, отметим еще две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и проведем через них параболу:

Построить график функции y= -x²-3x.

Решение:

y= -x²-3x — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы

Вершина (-1,5; 2,25) — первая точка параболы.

В точках пересечения графика с осью абсцисс y=0, то есть решаем уравнение -x²-3x=0. Его корни — х=0 и х=-3, то есть (0;0) и (-3; 0) — еще две точки графика. Точка (о; 0) является также точкой пересечения параболы с осью ординат.

При х=1 y=-1²-3∙1=-4, то есть (1; -4) — дополнительная точка для построения графика.

Построение параболы по точкам — более трудоёмкий, по сравнению с первым, способ. Если парабола не пересекает ось Oх, дополнительных точек потребуется больше.

Прежде чем продолжить построение графиков квадратичных функций вида y=ax²+bx+c, рассмотрим построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Графики функций вида y=x²+c также удобнее всего строить, используя одно из таких преобразований — параллельный перенос.

Рубрика: |