Баканина Л. Закон сохранения импульса при соударениях // Квант. – 1977. – № 3. – С. 46-51.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Закон сохранения импульса (количества движения) выполняется для замкнутых систем, то есть таких, которые включают в себя все взаимодействующие тела, так что ни на одно из тел системы не действуют внешние силы. Однако при решении многих физических задач оказывается, что импульс может оставаться постоянным и для незамкнутых систем. Правда, в этом случае количество движения сохраняется лишь приближенно. Попытаемся разобраться, в чем тут дело.

Изменение импульса незамкнутой системы равно суммарному импульсу внешних сил. Обозначим через среднее значение результирующей внешней силы, действующей на систему в течение промежутка времени Δt . Тогда

Если абсолютная величина этой силы не слишком велика и время, в течение которого действует сила, мало, то произведение тоже будет малым. В таком случае возникает необходимость оценки, с какой точностью можно считать импульс системы неизменным.

Кроме того, не следует забывать, что импульс - вектор, и, следовательно, можно говорить о сохранении проекции этого вектора на какое-либо направление. Действительно, если система не замкнута, но внешние силы таковы, что сумма проекций всех сил на некоторое направление равна нулю, то проекция импульса системы на это направление остается величиной постоянной. Незамкнутая система в этом направлении аналогична замкнутой.

Кратковременные взаимодействия возникают, например, при взрывах, выстрелах, соударениях. Такого типа задачи мы и обсудим. Постараемся в каждом конкретном случае выяснить, выполняется или не выполняется закон сохранения импульса и от чего это зависит.

Задача 1 . Из пушки, соскальзывающей без трения по наклонной плоскости и прошедшей уже путь l , производится выстрел в горизонтальном направлении (рис. 1). При какой скорости снаряда пушка остановится после выстрела? Масса снаряда m много меньше массы пушки M , угол наклона плоскости α.

Перед выстрелом пушка (вместе со снарядом), прошедшая путь l , имеет импульс , направленный вдоль наклонной плоскости. Модуль этого импульса можно найти из закона сохранения энергии:

Сразу после выстрела пушка остановилась, а снаряд полетел в горизонтальном направлении. Таким образом, несмотря на кратковременность взаимодействия пушки и снаряда, импульс этой системы не сохраняется. Почему же?

Во время выстрела резко возрастает сила давления пушки на наклонную плоскость, а значит, возрастает и сила реакции со стороны плоскости, так что импульс этой силы оказывается достаточно большим. Он то и изменяет суммарный импульс пушки и снаряда.

Однако в направлении вдоль наклонной плоскости проекция силы реакции равна нулю, а проекция импульса силы тяжести за малое время выстрела Δt мала и при выстреле не увеличивается. Поэтому можно, с некоторой степенью точности, считать, что в направлении вдоль наклонной плоскости проекция количества движения системы пушка - снаряд сохраняется. Следовательно, проекция суммарного импульса пушки и снаряда до выстрела равна проекции снаряда после выстрела (пушка покоится):

Отсюда модуль скорости снаряда непосредственно после выстрела

При решении этой задачи мы полагали, что в направлении вдоль наклонной плоскости система пушка - снаряд ведет себя как замкнутая система. Однако оценить, с какой степенью точности это справедливо, мы не можем, так как система взаимодействующих тел сложная и нет необходимых данных для такой оценки.

Разберем теперь две задачи с более простым взаимодействием, где такую оценку можно сделать.

Задача 2 . В деревянный шар массы M = 1 кг, падающий вниз со скоростью V 0 = 1 м/c, стреляют снизу из ружья и пробивают его насквозь. Какую скорость будет иметь шар сразу после этого? Скорость пули υ 0 = 300 м/с, после вылета из шара υ = 100 м/с, масса пули m = 10 г.

Время взаимодействия , где d - диаметр шара, a υ ср - средняя скорость пули внутри шара. Диаметр шара можно оценить, зная, что плотность дерева ρ приблизительно равна плотности воды ρ в = 10 3 кг/м 3:

Таким образом, Δt ≈ 5·10 –4 c. Импульс силы тяжести системы за это время (а значит, и изменение суммарного импульса шара и пули)

p = (M + m )·g· Δt ≈ 5·10 –3 Н·с.

Количество движения системы перед взаимодействием

p 0 = m· υ 0 – M· V 0 = 2 Н·с.

Тогда отношение

и, следовательно, с точностью до 0,2 % можно считать, что во время взаимодействия импульс системы не изменяется.

Запишем закон сохранения для проекции импульса на ось, направленную вертикально вверх:

m· υ 0 – M· V 0 = m· υ+ M· V y .

Отсюда проекция скорости шара после взаимодействия

то есть шар начнет двигаться вверх со скоростью 1 м/сек.

Задача 3 . Шарик бросают вертикально вверх со скоростью υ 0 = 1 м/с. Когда он достиг верхней точки своего подъема, бросают еще такой же шарик с начальной скоростью 2υ 0 . Определить скорости шариков после столкновения, если столкновение можно считать абсолютно упругим.

Аналогично предыдущей задаче прежде всего оценим, с какой степенью точности систему двух шариков во время соударения можно считать замкнутой. Для этого найдем импульс системы до удара, импульс силы тяжести за время удара и сравним их между собой.

Пусть шарики столкнулись на высоте h через время t после начала движения второго шарика (рис. 2). Тогда для первого шарика

где - максимальная высота подъема. Для второго шарика

Отсюда , и скорости обоих шариков непосредственно перед столкновением равны

причем первый шарик движется вниз, а второй - вверх.

Итак, количество движения системы до взаимодействия

p 0 = m· υ 2 – m· υ 1 = 1,5m· υ 0 .

Теперь попытаемся оценить время взаимодействия и импульс силы тяжести за это время. Для этого мы должны представить себе, как происходит процесс соударения. Рассмотрим вначале соударение торцами двух одинаковых стержней. При ударе в торце возникает упругая деформация, которая распространяется вдоль стержня, то есть в стержне возникает звуковая волна. Дойдя до противоположного конца стержня, волна отражается и возвращается обратно. Можно сказать, что на этом процесс соударения заканчивается, и время взаимодействия стержней равно времени прохождения звуковой волны вдоль стержня и обратно. На самом деле картина взаимодействия гораздо сложнее, а в случае шариков, где возникающая упругая волна не плоская, - тем более. Однако для оценки и здесь будем считать, что с точностью до порядка величины время соударения равно времени распространения звуковой волны внутри шарика: . Скорость звука в твердых телах порядка нескольких километров в секунду. Если диаметр шарика порядка сантиметра, то Δt ~ 10 –5 c, и импульс силы тяжести по абсолютной величине во много раз меньше импульса шариков до взаимодействия:

Таким образом, и в этом случае мы можем считать систему соударяющихся шариков замкнутой. (Конечно, дальнейшее движение шариков существенно зависит от силы тяжести.) Так как удар шариков абсолютно упругий, воспользуемся законами сохранения механической энергии и проекции импульса на ось, направленную вертикально вверх:

Подставив сюда соответствующие значения для υ 1 и υ 2:

При упругом ударе шарики равных масс обмениваются скоростями.

Не следует, однако, думать, что всегда при соударениях можно пренебречь действием внешних сил и считать систему замкнутой. Для примера рассмотрим такую задачу.

Задача 4 . Мешок с мукой сползает без начальной скорости с высоты Н по гладкой доске, наклоненной подуглим α = 60° к горизонту. После спуска мешок попадает на горизонтальный шероховатый пол. Коэффициент трения мешка о пол μ = 0,7. Где остановится мешок?

После спуска с доски мешок имеет скорость , направленную вдоль доски (рис. 3). Ее абсолютную величину можно найти из закона сохранения механической энергии, так как доска гладкая и потерь энергии нет:

В горизонтальном направлении на мешок действует сила трения скольжения, модуль которой . Импульс этой силы за время удара равен

то есть не зависит ни от того, но какому закону изменяется сила реакции опоры (aзначит, и сила давлении мешка на пол), ни от времени соударения. Найдем изменение горизонтальной проекции импульса мешка. Направим ось X по горизонтали вправо, тогда, согласно второму закону Ньютона,

Отсюда проекция скорости, с которой мешок начнет двигаться по полу,

Что означает знак «минус»? Формально знак «минус» говорит о том, что после удара мешок должен двигаться влево, или, другими словами, что импульс силы трения оказался больше первоначальной горизонтальной проекции импульса мешка. Значит, в какой-то момент в процессе соударения проекция скорости мешка на ось Х обратилась в нуль. Начиная с этого момента, наше решение становится неверным. Действительно, модуль силы трения равен μ·N cp только при скольжении, а в состоянии покоя сила трения может принимать любые значения от 0 до μ·N cp в зависимости от того, какие силы (кроме силы трения) действуют на тело. В нашем случае никакие другие силы не имеют проекций в горизонтальном направлении, следовательно, в тот момент, когда горизонтальная проекция скорости мешка обратилась в нуль, сила трения тоже обращается в нуль. Таким образом, мешок по полу вообще двигаться не будет.

Наконец, обсудим еще одну достаточно известную задачу на соударение тел. При решении этой задачи обычно используют довольно грубые приближения, никак не оговаривая при этом ни то, что это приближение, ни при каких условиях им можно пользоваться.

Задача 5 . На стоящий на гладкой горизонтальной поверхности клин массы М с высоты h падает шар массы m и отскакивает в горизонтальном направлении (рис. 4). Найти горизонтальную проекцию скорости клина после удара. Трением пренебречь, удар считать абсолютно упругим.

В отличие от всех предыдущих задач здесь нужно рассматривать соударение не двух, а трех тел - шарика, клина и горизонтальной плоскости. В общем случае, не делая никаких дополнительных предположений о механизме удара, решить эту задачу нельзя. В наиболее распространенном решении этой задачи неявно (без всяких оговорок) предполагается, что соударения шарика с клином и клина с горизонтальной плоскостью происходят одновременно, а клин после соударения имеет только горизонтальную проекцию скорости. Затем записываются уравнения законов сохранения механической энергии и импульса:

где V x и υ x - соответственно проекции скоростей клина и шарика на горизонтальную ось, направленную вправо. Отсюда

Однако в таком решении совершенно не ясно, куда делась вертикальная проекция импульса шарика. Ведь если соударение абсолютно упругое, вертикальная проекция импульса системы не исчезает, а лишь меняет знак! Шарик после удара отскакивает в горизонтальном направлении, плоскость вообще неподвижна. Значит, клин после удара обязательно должен подпрыгнуть. А энергия, связанная с этим движением, в приведенном решении не учитывается.

Физической картине удара больше соответствует предположение о том, что вначале шарик соударяется только с клином, а потом клин, получивший некоторую скорость в результате этого соударения, взаимодействует с горизонтальной плоскостью. После первого соударения вертикальная проекция скорости клина

Во время удара проходит через центр тяжести О клина (рис. 5).

Кроме того, заметим, что для того чтобы шарик после соударения отскочил горизонтально, угол клина α должен иметь вполне определенную величину, зависящую от масс шарика и клина.

В заключение предлагаем несколько задач для самостоятельного решения.

Упражнения

1. В центр шара массы m 1 = 300 г, лежащего на краю стола, попадает горизонтально летящая пуля массы m 2 = 10 г и пробивает его насквозь. Шар падает на пол на расстоянии s 1 = 6 м от стола, а пуля - на расстоянии s 2 = 15 м. Высота стола H = 1 м. Определить первоначальную скорость пули.

2. Две частицы с массами m и 2m , имеющие импульсы и , движутся по взаимно перпендикулярным направлениям. После соударения частицы обмениваются импульсами (рис. 6). Определить выделившееся при ударе количество теплоты.

3. Мешок с мукой сползает без начальной скорости с высоты Н = 2 м по доске, наклоненной под углом α= 45° к горизонту. После спуска мешок попадает на горизонтальную поверхность. Коэффициент трения мешка о доску и горизонтальную поверхность μ = 0,5. На каком расстоянии от конца доски остановится мешок?

Ответы

1.

3.

Оборудование: прибор для исследования столкновений шаров, комплект шаров.

Теоретическая часть

При соударении тел друг с другом они претерпевают деформации. При этом кинетическая энергия, которой обладает тело перед ударом, частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и внутреннюю энергию тел.

В случае, когда после удара форма тела восстанавливается, удар называют упругим. При упругом ударе общая кинетическая энергия соударяющихся тел остается неизменной. При неупругом ударе кинетическая энергия частично переходит в другие виды энергии и тело после удара приобретает остаточную деформацию.

Отличительной особенностью ударов является малость времени взаимодействия с. Главный интерес при рассмотрении столкновения заключается в знании не самого процесса, а результата. Ситуация до столкновения называется начальным состоянием, после – конечным состоянием.

Между величинами, характеризующими начальное и конечное состояния, соблюдаются соотношения, независящие от детального характера взаимодействия. Наличие этих соотношений обуславливается тем, что совокупность частиц, участвующих в столкновении, составляет изолированную систему, для которой справедливы законы сохранения энергии, импульса и момента импульса.

Импульс шаров до столкновения определяется по формуле

где - масса ударяющего шара вместе с подвеской, - скорость ударяющего шара.

Для определения скорости ударяющего шара приравняем потенциальную энергию шара, отклоненного первоначально на угол и его кинетическую энергию к моменту удара о второй шар

где - высота первоначального положения ударяющего шара (за нулевую отметку взято положение центра масс покоящегося шара).

Высоту подъема найдем из геометрических соображений (рис. 1)

Тогда , (2)

где - ускорение свободного падения, - длина подвески шаров, - угол с которого шар был пущен.

Суммарный импульс шаров после упругого столкновения определяется по формуле

где - масса ударяемого шара с подвеской;

Скорость ударяющего шара после столкновения;

Скорость ударяемого шара после столкновения.

Скорости и определяются по формулам:

где - угол, на который после столкновения отскочил ударяющий шар; - угол, на который после столкновения отскочил ударяемый шар.

Суммарный импульс шаров после идеального неупругого столкновения определяется по формуле

где - общая скорость шаров после идеального неупругого столкновения.

Общая скорость шаров определяется по формуле

где - угол, на который после столкновения отскочит ударяемый шар вместе с ударяющим.

Описание экспериментальной установки

Общий вид прибора для исследования столкновения шаров FРМ-08 представлен на рис. 2. Основание 1 оснащено регулируемыми ножками 2, которые позволяют провести выравнивание прибора. В основании закреплена колонка 3, к которой прикреплен нижний кронштейн 4 и верхний кронштейн 5.

На верхнем кронштейне прикреплены кронштейны со стержнями 6 и вороток 7, служащий для установки расстояния между шарами. На стержнях 6 помещены передвигаемые держатели 8 с втулками 9, фиксированные при помощи болта 10 и приспособленные к прикреплению подвесов 11. Через подвесы 11 проведены провода 12, подводящие напряжение к подвесам 11,13, а через них к шарам 14. После отвинчивания винтов в подвесах 11 можно установить длину подвески шаров.

На нижнем кронштейне закреплены угольники со шкалами 15, 16, а на специальных направляющих закреплен электромагнит 17.

После отвинчивания болтов 18, 19 электромагнит можно передвигать вдоль правой шкалы и фиксировать высоту его установки. Силу электромагнита можно регулировать воротком 23.

Угольники со шкалами также могут передвигаться вдоль нижнего кронштейна. Для изменения их положения надо отпустить гайки 20, подобрать положение угольников, а затем довинтить гайки.

Прибор содержит микросекундомер FPM-16 21. Прибор передает через разъем 22 напряжение к шарам и электромагниту.

Лицевая панель FPM-16 представлена на рис. 3. На ней находятся следующие кнопки:

СЕТЬ - выключатель сети. Нажатие этой кнопки вызывает включение питающего напряжения. Визуально объявляется это свечением цифровых индикаторов (высвечивающих нуль);

СБРОС - сброс измерителя. Нажатие этой кнопки вызывает сброс показпний микросекундомера;

ПУСК - управление электромагнитом. Нажатие этой кнопки вызывает освобожение электромагнита и генерирование в микросекундомере импульса разрешения на измерение.

Задания к лабораторной работе

Закон сохранения энергии позволяет рецдать механические задачи в тех случаях, когда почему-либо неизвестны действующие на тело хилы. Интересным примером именно такого случая является столкновение двух тел. Этот пример особенно интересен тем, что при его анализе нельзя обойтись одним только законом сохранения энергии. Нужно привлечь еще и закон сохранения импульса (количества движения).

В обыденной жизни и в технике не так уж часто приходится иметь дело со столкновениями тел, но в физике атома и атомных частиц столкновения - очень частое явление.

Для простоты мы сначала рассмотрим столкновение двух шаров массами из которых второй покоится, а первый движется по направлению ко второму со скоростью Будем считать, что движение происходит вдоль линии, соединяющей центры обоих шаров (рис. 205), так что при столкновении шаров имеет место так называемый центральный, или лобовой, удар. Каковы скорости обоих шаров после столкновения?

До столкновения кинетическая энергия второго шара равна нулю, а первого . Сумма энергий обоих шаров составляет:

После столкновения первый шар станет двигаться с некоторой скоростью Второй шар, скорость которого была равна нулю, также получит какую-то скорость Поэтому после столкновения сумма кинетических энергий двух шаров станет равной

По закону сохранения энергии эта сумма должна быть равна энергии шаров до столкновения:

Из этого одного уравнения мы, конечно, не можем найти две неизвестные скорости: Вот тут-то на помощь и приходит второй закон сохранения - закон сохранения импульса. До столкновения шаров импульс первого шара был равен а импульс второго - нулю. Полный импульс двух шаров был равен:

После столкновения импульсы обоих шаров изменились и стали равными а полный импульс стал

По закону сохранения импульса полный импульс при столкновении измениться не может. Поэтому мы должны написать:

Так как движение происходит вдоль прямой, то вместо векторного уравнения можно написать алгебраическое (для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара):

Теперь мы имеем два уравнения:

Такую систему уравнений можно решить и найтн неизвестные скорости их и шаров после столкновения. Для этого перепишем ее следующим образом:

Разделив первое уравнение на второе, получим:

Решая теперь это уравнение совместно со вторым уравнением

(проделайте это самостоятельно), найдем, что первый шар после удара будет двигаться со скоростью

а второй - со скоростью

Если оба шара имеют одинаковые массы то Это значит, что первый шар, столкнувшись со вторым, передал ему свою скорость, а сам остановился (рис. 206).

Таким образом, пользуясь законами сохранения энергии и импульса, можно, зная скорости тел до столкновения, определить их скорости после столкновения.

А как обстояло дело во время самого столкновения в тот момент, когда центры шаров максимально сблизились?

Очевидно, что в это время они двигались вместе с некоторой скоростью . При одинаковых массах тел их общая масса равна 2т. По закону сохранения импульса во время совместного движения обоих шаров их импульс должен быть равен общему импульсу до столкновения:

Отсюда следует, что

Таким образом, скорость обоих шаров при их совместном движении равна половине

скорости одного из них до столкновения. Найдем кинетическую энергию обоих шаров для этого момента:

А до столкновения общая энергия обоих шаров была равна

Следовательно, в самый момент столкновения шаров кинетическая энергия уменьшилась вдвое. Куда же пропала половина кинетической энергии? Не происходит ли здесь нарушения закона сохранения энергии?

Энергия, конечно, и во время совместного движения шаров осталась прежней. Дело в том, что во время столкновения оба шара были деформированы и поэтому обладали потенциальной энергией упругого взаимодействия. Именно на величину этой потенциальной энергии и уменьшилась кинетическая энергия шаров.

Тест по физике Закон сохранения импульса для учащихся 9 класса с ответами. Тест включает в себя 10 заданий с выбором ответа.

1. Кубик массой m движется по гладкому столу со скоростью v и налетает на покоящийся кубик такой же массы.

После удара кубики движутся как единое целое, при этом суммар­ный импульс системы, состоящей из двух кубиков, равен

1) mv
2) 2mv
3) mv /2
4) 0

2. Два шара массами m и 2m движутся со скоростями, равны­ми соответственно 2v и v . Первый шар движется за вторым и, догнав, прилипает к нему. Каков суммарный импульс шаров после удара?

1) mv
2) 2mv
3) 3mv
4) 4mv

3. Навстречу друг другу летят шарики из пластилина. Моду­ли их импульсов равны соответственно 5 · 10 -2 кг · м/с и 3 · 10 -2 кг · м/с. Столкнувшись, шарики слипаются. Им­пульс слипшихся шариков равен

1) 8 · 10 -2 кг · м/с
2) 2 · 10 -2 кг · м/с
3) 4 · 10 -2 кг · м/с
4) √34 · 10 -2 кг · м/с

4. Два кубика массой m движутся по гладкому столу со скоростями, по модулю равными v . После удара кубики слипаются. Суммарный импульс системы двух кубиков до и после удара по модулю равен соответственно

1) 0 и 0
2) mv и 0
3) 2mv и 0
4) 2mv и 2mv

5. По гладкому столу катятся два шарика из пластилина. Модули их импульсов равны соответственно 3 · 10 -2 кг · м/с и 4 · 10 -2 кг · м/с, а направления перпендикулярны друг дру­гу. Столкнувшись, шарики слипаются. Импульс слипших­ся шариков равен

1) 10 -2 кг · м/с
2) 3,5 · 10 -2 кг · м/с
3) 5 · 10 -2 кг · м/с
4) 7 · 10 -2 кг · м/с

6. Мальчик массой 30 кг, бегущий со скоростью 3 м/с, вскакивает сзади на покоящуюся платформу массой 15 кг. Чему равна скорость платформы с мальчиком?

1) 1 м/с
2) 2 м/с
3) 6 м/с
4) 15 м/с

7. Вагон массой 30 т, движущийся по горизонтальному пути со скоростью 1,5 м/с, автоматически на ходу сцепляется с неподвижным вагоном массой 20 т. С какой скоростью дви­жется сцепка?

1) 0 м/с
2) 0,6 м/с
3) 0,5 м/с
4) 0,9 м/с

8. Две тележки движутся вдоль одной прямой в одном направлении. Массы тележек m и 2m , скорости соответственно равны 2v и v . Какой будет их скорость после абсолютно не­упругого столкновения?

1) 4v /3
2) 2v /3
3) 3v
4) v /3

9. Два неупругих шара массами 6 кг и 4 кг движутся навстречу друг другу со скоростями 8 м/с и 3 м/с соответственно, направленными вдоль одной прямой. С какой по модулю скоростью они будут двигаться после абсолютно неупругого соударения?

1) 0 м/с
2) 3,6 м/с
3) 5 м/с
4) 6 м/с

10. Тележка с песком катится со скоростью 1 м/с по горизонтальному пути без трения. Навстречу тележке летит шар массой 2 кг с горизонтальной скоростью 7 м/с. Шар после попадания в песок застревает в нем. С какой по модулю скоростью покатится тележка после столкновения с шаром? Масса тележки 10 кг.

1) 0 м/с
2) 0,33 м/с
3) 2 м/с
4) 3 м/с

Ответы на тест по физике Закон сохранения импульса
1-1
2-4
3-2
4-1
5-3
6-2
7-4
8-1
9-2
10-2