Абсолютные величины и их классификация.

Абсолютные величины — это результаты статистических наблюдений. В статистике в отличие от математики все абсолютные величины имеют размерность (единицу измерения), а также могут быть положительными и отрицательными.

Единицы измерения абсолютных величин отражают свойства единиц статистической совокупности и могут быть простыми , отражая 1 свойство (например, масса груза измеряется в тоннах) или сложными , отражая несколько взаимосвязанных свойств (например, тонно-километр или киловатт-час).

Единицы измерения абсолютных величин могут быть 3 видов :

1. Натуральные — применяются для исчисления величин с однородными свойствами (например, штуки, тонны, метры и т.д.). Их недостаток состоит в том, что они не позволяют суммировать разнородные величины.
2. Условно-натуральные — применяются к абсолютным величинам с однородными свойствами, но проявляющим их по-разному. Например, общая масса энергоносителей (дрова, торф, каменный уголь, нефтепродукты, природный газ) измеряется в т.у.т. — тонны условного топлива, поскольку каждый его вид имеет разную теплотворную способность, а за стандарт принято 29,3 мДж/кг. Аналогично общее количество школьных тетрадей измеряется в у.ш.т. — условные школьные тетради размером 12 листов. Аналогично продукция консервного производства измеряется в у.к.б. — условные консервные банки емкостью 1/3 литра. Аналогично продукция моющих средств приводится к условной жирности 40%.
3. Стоимостные единицы измерения выражаются в рублях или в иной валюте, представляя собой меру стоимости абсолютной величины. Они позволяют суммировать даже разнородные величины, но их недостаток состоит в том, что при этом необходимо учитывать фактор инфляции, поэтому статистика стоимостные величины всегда пересчитывает в сопоставимых ценах.

Абсолютные величины могут быть моментными или интервальными. Моментные абсолютные величины показывают уровень изучаемого явления или процесса на определенный момент времени или дату (например, количество денег в кармане или стоимость основных фондов на первое число месяца). Интервальные абсолютные величины — это итоговый накопленный результат за определенный период (интервал) времени (например, зарплата за месяц, квартал или год). Интервальные абсолютные величины, в отличие от моментных, допускают последующее суммирование.

Абсолютная статистическая величина обозначается X , а их общее число в статистической совокупности — N .

Количество величин с одинаковым значением признака обозначается f и называется частота (повторяемость, встречаемость).

Cами по себе абсолютные статистические величины не дают полного представления об изучаемом явлении, так как не показывают его динамику, структуру, соотношение между частями. Для этих целей служат относительные статистические величины.

г. Кемерово

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №37»

Элективный курс по выбору

для учащихся 10-11 классов

Уравнения, неравенства и системы,

Составила:

Каплунова Зоя Николаевна

учитель математики

Пояснительная записка………………………………………..стр.2

Учебно-тематический план…………………………………...стр. 6

Перечень ключевых слов……………………………………...стр.7

Литература для учителя………………………………………..стр.8

Литература для обучающихся………………………………...стр.8

Пояснительная записка.

Основная задача обучения математики в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Наряду с решением основной задачи более глубокое изучение математики предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, подготовкой к обучению в вузах.

Актуальным остается вопрос о дифференцировании обучения математики, позволяющей, с одной стороны, обеспечить базовую математическую подготовку, а с другой - удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес к предмету.

Программа данного курса «Уравнения, неравенства и системы, содержащие знак абсолютной величины» предлагает изучение таких вопросов, которые входят в курс математики основной школы не в полном объеме, но необходимые при дальнейшем её изучении.

Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так в области комплексных чисел. Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В математическом анализе понятие абсолютной величины числа содержится в определениях таких основных понятий, как предел, ограниченная функция и др. Задачи связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузах и на ЕГЭ.

В школьной программе курса математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах, полученных учащимися за весь период обучения.

Таким образом, данный курс «Уравнения, неравенства и системы, содержащие знак абсолютной величины» предназначен для расширения базового курса алгебры и начала анализа и дает учащимся возможность познакомиться с основными приемами и методами выполнения заданий, связанных с модулями. Пробуждает исследовательский интерес к этим вопросам, развивает логическое мышление, способствует приобретению опыта работы с заданием более высоким по сравнению с обязательным уровнем сложности.

Курс «Уравнения, неравенства и системы, содержащие знак абсолютной величины» предназначен для профильной подготовки учащихся 10-11 классов и рассчитан на 34 часа (1 час в неделю).

В процессе обучения данного курса предлагается использование различных методов активизации познавательной деятельности учащихся, а также различных форм организации их самостоятельной работы.

В ходе изучения данного курса обучающиеся осваивают теоретический материал и выполняют практические задания. Результатом освоения программы курса является представление творческих работ на итоговом занятии

При изучении курса предусмотрен тестовый контроль.

Цели курса:

*обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме «Абсолютная величина»;

*обретение практических навыков выполнения заданий с модулем;

*повышение уровня математической подготовки учащихся.

Задачи курса

* вооружить учащихся системой знаний по теме «Абсолютная величина»

*формировать навыки применения данных знаний при решении задач различной сложности;

*подготовить учащихся к ЕГЭ;

*формировать навыки самостоятельной работы, работы в группах;

*формировать навыки работы со справочной литературой;

Требования к уровню усвоения учебного материала

В результате изучения программы курса учащиеся получают возможность

знать и понимать:

*определения, понятия и основные алгоритмы решения уравнений неравенств и систем с модулем;

*правила построения графиков функций, содержащих знак абсолютной величины;

Уметь:

*применять определение, свойства абсолютной величины действительного числа к решению действительного числа к решению конкретных задач;

*решать уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля;

*уметь самостоятельно осуществлять небольшие исследования.

1.Введение 1ч.

Цели и задачи курса. Вопросы, рассматриваемые в курсе и его структура. Знакомство с литературой, темами творческих работ.

2. (4 часа)

Определение абсолютной величины. Геометрическая интерпретация понятия модуля. Операции над абсолютными величинами. Упрощение выражений, содержащих переменную под знаком модуля. Применение свойств модуля при решении задач.

3.Графики функций, содержащих знак абсолютной величины.(8 часов)

Правила и алгоритмы построения графиков функций. Определение четной функции. Геометрические преобразования графиков функций, содержащих знак модуля. Основные построения графиков на примерах простейших функций. Графики уравнений: y=f|x|; y=f(-|x|); y=|f(x)|; y=|f|x||; |y|=f(x),где f(x)≥0; |y|=|f(x)|

4.Уравнения, содержащие абсолютные величины.(10 часов)

Основные методы решения уравнений с модулем. Раскрытие модуля по определению, переход от исходного уравнения к равносильной системе, возведение в квадрат обеих частей уравнения, метод интервалов, графический метод, использование свойств абсолютной величины. Уравнения вида: |f(x)|=0; f|x|=о; |f(x)|=g(x); |f(x)|=|g(x)|;

Метод замены переменных, при решении уравнений содержащих абсолютные величины. Метод интервалов при решении уравнений, содержащих абсолютные величины. Уравнения вида:|f(x)|±|f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=0; |f(x)|±|)f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=g(x).

Способ последовательного раскрытия модуля при решении уравнений, содержащих «модуль в модуле». Графическое решение уравнений, содержащих абсолютные величины.

5.Неравенства, содержащие абсолютные величины (10 часов)

Неравенства с одним неизвестным. Основные методы решения неравенств

с модулем |f(x)|>a. Неравенства вида a|f(x)|>g(x); |f(x)|>|g(x)|.

6.Итоговое занятие (1 час)

Представление творческих работ.

Раздел III. Учебно-тематический план

	Названия разделов и тем			Прак-тика	Форма проведения	Форма контроля
	Введение				Аукцион знаний	Анкета, записи
	Абсолютная величина действительного числа
	Абсолютная величина действительного числа				Лекция,практикум	Опорный конспект, решение заданий
	Упрощение выражений, содержащих переменную под знаком модуля				практикум	Решение заданий
	Графики уравнений, которые содержат знак модуля
	Правила и алгоритмы построения графиков				Семинар-практикум	Памятка с правилами и алгоритмами построений
	Определение четной функции. Геометрические преобразования графиков				Семинар - практикум	Опорный конспект, решение задания
	Графики уравнений: y=f|x|; y=f(-|x|); y=|f(x)|; y=|f|x||; |y|=f(x),где f(x)≥0; |y|=|f(x)|					Проверка выполнения построения графиков
	Уравнения, содержащие абсолютные величины
	Основные методы решения уравнений с модулем					Конспекты, алгоритмы
	Уравнения вида: |f(x)|=0; f|x|=о; |f(x)|=g(x); |f(x)|=|g(x)|;				практикум	Проверка решенных заданий
	Метод интервалов при решении уравнений, содержащих знак модуля. Уравнения вида:|f(x)|±|f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=0; |f(x)|±|)f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=g(x).				Семинар-практикум	Опорный конспект, проверка решенных заданий
	Способ последовательного раскрытия модуля при решении уравнений, содержащих «модуль в модуле»				практикум	Реферат, памятка, проверка заданий
	Графическое решение уравнений, содержащих абсолютные величины.				Семинар-практикум	Тест по графикам
	Неравенства, содержащие абсолютные величины
	Неравенства с одним неизвестным. Основные методы решения неравенств с модулем					конспект
	Основные методы решения неравенств с модулем				практикум	Реферат, проверка решения
	Неравенства вида a|f(x)|>g(x); |f(x)|>|g(x)|.				практикум
	Метод интервалов при решении неравенств, содержащих знак модуля.				практикум	Тестовый контроль
	Итоговое занятие				конференция	рефераты

Раздел IV. Перечень ключевых слов .

Алгоритм, уравнение, неравенство, модуль, график, оси координат, параллельный перенос, центральная и осевая симметрии, метод интервалов, квадратный трехчлен, многочлен, разложение многочлена на множители, формулы сокращенного умножения, симметрические уравнения, возвратные уравнения, свойства абсолютной величины, область определения, область допустимых значений.

Раздел V. Литература для учителя.

1. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. (Текст)/ М.И. Башмаков.-М.: ВЗМШ

при МГУ, 1983.-138с.

2.Виленкин Н.Я и др. Алгебра и математический анализ 11 класс. (Текст)/Н.Я.

Виленкин-М.: Просвещение, 2007.-280с.

3.Гайдуков И.И. Абсолютная величина. (Текст)/ Гайдуков И.И. –М.: Просвещение,1968.-96 с.

4.Гельфанд И. М. и др. Функции и графики.(Текст)/И.М.Гельфанд- М.: МЦНМО,

5.Гольдич В.А. Злотин С.Е.т 3000 задач по алгебре (Текст)/В.А. Гольдич С.Е.-М.:

Эксмо,2009.-350с.

6.Колесникова С.И. Математика. Интенсивный курс подготовки к Единому

Государственному экзамену. (Текст)/ Колесникова С.И.- М.: Айрис-пресс 2004.-299с.

7.Никольская И.Л. Факультативный курс по математике. (Текст)/И.Л. Никольская-

М.: Просвещение,1995.-80с.

8.Олехник С.Н. и др. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения.

(Текст)/ .Олехник С.Н.-М.: Дрофа,2002.-219с.

Раздел VI. Литература для обучающихся

1. Гольдич В.А. Злотин С.Е.т 3000 задач по алгебре (Текст)/В.А. Гольдич С.Е.-М.:

Эксмо,2009.-350с.

2.Колесникова С.И. Математика. Интенсивный курс подготовки к Единому

Документ

... для выбора того или иного учебного предмета (в рамках учебного плана, раздел: «Элективные курсы» ) в 10 -11 классах ... а также в системе дополнительного образования. Для этих категорий учащихся разработаны и внедрены сетевые учебные курсы по всем...

Мероприятие Н 4 51-1 " Совершенствование методик преподавания в средней школе на основе создания предметно-ориентированных модулей не менее чем по 18 предметам на основе реализации информационных технологий развитие научно-образовательного

Отчет

... учащихся . В данном исследовании представлен элективный курс по математике «Начала математического анализа и их приложения» для 10 - 11 профильных классов ... зависимостей и отношений (функций, уравнений , неравенств и т.д.). Обычно сначала определяется...

При решении неравенства, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величены, используется тот же прием, что и при решении уравнении, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величены, именно: решение исходного неравенства сводится к решению нескольких неравенств, рассматриваемых на промежутках знакопостоянства выражений, стоящих под знаков абсолютной величены.

Пример: Решить неравенство

х 2 - 2 + х < 0. (*)

Решение: Рассмотрим промежутки знакопостоянства выражения х 2 - 2, стоящего под знаком абсолютной величены.

1) Предположим, что

тогда неравенство (*) принимает вид

х 2 + х -2 < 0.

Пересечение множества решений этого неравенства и неравенства х 2 -2 0 представляет собой первое множество решений исходного неравенства (рис 1): х(-2; -].

• 2) Предположим, что х 2 - 2
• 2 - х 2 + х

Пересечение множества решений этого неравенства и неравенства х 2 - 2 < 0 дает второе множество решений исходного неравенства (рис. 2): х(-; -1). Объединяя найденные множества решений, окончательно получаем х(-2; -1)

Ответ: х(-2; -1).

В отличие от уравнений неравенства не допускают непосредственной проверки. Однако в большинстве случаев можно убедиться в правильности полученных результатов графическим способом. Действительно, запишем неравенство примера в виде

х - 2 < -х.

Построим функции y 1 =х 2 - 2 и y 2 = -х, входящие в левую и правую часть рассматриваемого неравенства, и найдем те значения аргумента, при которых y 1

На рис. 3 заштрихованная область оси абсцисс содержит искомые значения х. Решение неравенств, содержащих знак абсолютной величены, иногда можно значительно сократить, используя равенство х 2 = х 2 .

Рисунок 3

Пример: Решить неравенство

Решение: Исходное неравенство при всех х -2 эквивалентно неравенству

х - 1> х + 2. (**)

Возведя обе части неравенства (**) в квадрат, после приведения подобных членов получаем неравенство

6х < -3, т.е. х < -1/2.

Учитывая множество допустимых значений исходного неравенства, определяемого условием х -2, окончательно получаем, что неравенство (*) выполняется при всех х(-; -2)(-2; -1/2).

Ответ: (-; -2)(-2; -1/2).

Пример: Найти наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству:

Решение: Так как х +1 0 и, по условию, х +1 0, то данное неравенство равносильно следующему: 2х + 5 > х +1. Последнее в свою очередь, эквивалентно системе неравенств -(2х + 5) < х + 1 < 2х + 5,

• -(2х + 5)
• 2х + 5 > х +1,

Наименьшим целым числом х удовлетворяющей этой системе будет неравенств, является 0. Заметим, что х -1, иначе выражение в левой части данного неравенства не имеет смысла.

Пример: Решить неравенство:

Ответ: [-1; 1].

Пример: Решить неравенство

х2 - 3х + 2+ 2х + 1 5.

Решение. х 2 - 3х + 2 отрицателен при 1 < x < 2 и неотрицателен при остальных х, 2х + 1 меняет знак при х = -Ѕ. Следовательно, нам надо рассмотреть четыре случая.

• 2. - Ѕ ? х? 1. Имеем неравенство х2 - х - 2 ? 0. Его решение -1 ? х? 2. Следовательно, весь отрезок -Ѕ ? x ? 1удовлетворяет неравенству.
• 4. х? 2. Неравенство то же, что и в случае 2. Подходит лишь х = 2.

Ответ: 5 - 41 2 ? х? 2.

Пример: Решить неравенство.

х 3 + х - 3- 5 х 3 - х + 8.

Решение. Решим это неравенство не стандартным образом.

х 3 + х - 3 - 5 х 3 - х + 8,

х 3 + х - 3 - 5 -х 3 + х - 8

х 3 + х - 3 х 3 - х + 13

х 3 + х - 3 - х 3 + х - 3

х 3 + х - 3 х 3 - х + 13,

х 3 + х - 3 -х 3 + х - 13,

х 3 + х - 3 -х 3 + х - 3,

х 3 + х - 3 х 3 - х + 3

Нет решение методом интервалов. Рассматриваются ли уравнения и неравенства с двумя и более модулями.

Уравнения и неравенства, содержащие знак абсолютной величины в школьном курсе математики как отдельная тема не изучается. Впервые понятие модуля встречается в 6 классе, где дается определение модуля числа. Но в учебниках разных авторов даются в различных главах. В учебниках Г.В. Дорофеева модуль числа дается при сравнении рациональных чисел на примере: модуль числа -6,5 равен 6,5, модуль числа -4 равен 4.

Потом объяснение происхождения модуль и после этого вводится обозначение |а|.

В учебнике Н.Я. Виленкина дается при изучении положительных и отрицательных чисел как отдельный пункт «Модуль».

Понятие модуля числа вводится как расстояние от точки, изображающей это число, до начальной точки на координатной прямой.

Затем формулируется правило нахождения модуля числа. Поясняется, что модуль числа не может быть отрицательным, ибо модуль числа – это расстояние, что модуль положительного числа и нуля он равен самому числу, а для противоположного – противоположному числу и противоположные числа имеют равные модули |-а|=|а|.

По учебнику Ю.Н. Макарычева, модуль встречается в дополнительных упражнениях в главе 7 «Графики», параграфа «функции и их графики».

Например: определите область определения у=10/(|х|-1)

А в 8 классе при решении неравенств с одной переменной и их системы.

В учебнике Никольского 8 класс рассматривают функцию у=|х| и ее график у= х, если х≥0

Х, если х≤0

В курсе девятилетней школы рассматриваются простейшие уравнения с одной переменной, содержащие переменную под знаком модуля. К ним относится уравнения вида |ах+в|=с.

При решении таких уравнений надо различить случаи:

Если с < 0, то уравнение |ах+в|=с не имеет корней.

Если с = 0, то уравнение |ах+в|=с равносильно уравнению ах+в=0.

Если с > 0, то уравнение |ах+в|=с равносильно ах+в= -с или ах+в=с.

Кроме указанного вида уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, учащиеся 8 класса встречается еще с уравнениями вида |ах+в|= ах+в или вида |ах+в|= -(ах+в). К таким уравнениям сводится, например, уравнения √ х²=х, √х²-4х+4=2-х.

Так как равенство |m|=m верно тогда и только тогда, когда m≥0,

а равенство |m|=-m верно тогда и только тогда, когда m ≤ 0,

то уравнение |ах+в|= ах+в равносильно неравенству ах+в≥0,

а уравнение |ах+в| = -(ах+в) равносильно неравенству ах+в≤0.

Из неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, в курсе девятилетней школы рассматриваются только неравенства вида |ах+в|>в и |ах+в|<в.

В качестве дополнительных заданий даются более сложные задания, например, двойное неравенство к<|ах+в|< m. Это двойное неравенство можно записать в виде системы |ах+в| > к

|ах+в|< m и, решив каждое из неравенств системы, найти пересечение множеств их решений с помощью координатной прямой.

Способы решений неравенств:

1. Решение связывается с понятием расстояния между точками координатной прямой.

2. Исходя из определения модуля.

3. Наглядно – графический прием.

4. В других случаях бывает полезно сначала установить, в каких точках обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля. Эти точки разбивают числовую ось на промежутки, внутри которых выражения сохраняют постоянный знак (промежутки знакопостоянства). Это позволяет освободиться на каждом из таких промежутков от знака модуля и свести задачу к решению нескольких уравнений - по одному на каждом промежутке. Этот метод называется методом интервалов.

Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа с.Ошторма Юмья

Согласовано Утверждено

на заседании УМО на заседании экспертной

учителей математики комиссии

Протокол № 1 от _________ Протокол № __________

Руководитель УМО: Председатель экспертной

Гилязева М.М. группы:

Садикова А.Р.
Элективный курс

«Абсолютная величина (модуль)»

(Учебный курс профильной подготовки для учащихся 10-х классов, 34 часа)

Учитель математики Васильева В.А.

2008 г.
Пояснительная записка

Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел.

Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах математики , физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешности приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля векто­ра). В математическом анализе понятие абсолютной величины чис­ла содержится в определениях таких основных понятий, как пре­дел, ограниченная функция и др. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы, ЕГЭ.

Программой школьного курса математики не предусмотре­ны обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах , полученных учащимися за весь период обучения. Это позволит сделать программа «».

Курс рассчитан на профильную подготовку учащихся 10 классов общеобразова­тельных школ, проявляющих интерес к изучению математики.

Курс позволит школьникам систематизировать, расширить и укрепить знания, связанные с абсолютной величиной, подгото­виться для дальнейшего изучения тем, использующих это понятие, научиться решать разнообразные задачи различной сложности, способствует выработке и закреплению навыков работы на компь­ютере.

Учителю курс поможет наиболее качественно подготовить учащихся к математическим олимпиадам, сдаче ЕГЭ , экзаменов при поступлении в вузы.

Программа элективного курса предполагает знакомство с теорией и практикой рассматриваемых вопросов и рассчитана на 34 часа.

В процессе изучения данного курса предполагается исполь­зование различных методов активизации познавательной деятель­ности школьников, а также различных форм организации их само­стоятельной работы.

Результатом освоения программы курса является представ­ление школьниками творческих индивидуальных и групповых ра­бот на итоговом занятии.

Цели курса: обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме абсолютная величина, обретение практи­ческих навыков выполнения заданий с модулем, повышение уровня ма­тематической подготовки школьников.

Задачи курса

Вооружить учащихся системой знаний по теме абсолютная величина;

Сформировать навыки применения данных знаний при ре­шении разнообразных задач различной сложности;

Сформировать навыки самостоятельной работы, работы в малых группах;

Сформировать навыки работы со справочной литературой, с компьютером;

Сформировать умения и навыки исследовательской работы;

Способствовать развитию алгоритмического мышления уча­щихся;

Способствовать формированию познавательного интереса к

математике.

Требования к уровню усвоения учебного материала

В результате изучения программы элективного курса «Аб­солютная величина (модуль)» учащиеся получают возможность знать и понимать:

Определение абсолютной величины действительного числа;

основные операции и свойства абсолютной величины;

Правила построения графиков функций, содержащих знак абсолютной величины;

Алгоритмы решения уравнений, неравенств, систем уравне­ний и неравенств, содержащих переменную под знаком мо­дуля.

Уметь:

применять определение , свойства абсолютной величины действительного числа к решению конкретных задач;

Тематическое планирование

№	Название тем	Кол-во часов	Форма занятий	Методическое обеспечение	Контроль
	Введение	1	лекция	презентация
	Абсолютная величина действительного числа а	4
2	Абсолютная величина действительного числа а. Основные теоремы	1	лекция	Опорные карточки
3	Операции над абсолютными величинами	1		Опорные карточки
4	Упрощение выражений, содержащих переменную под знаком модуля.	1	практикум
5	Приме­нение свойств модуля при решении олимпиадных задач.	1	практикум	Карточки с заданиями	Самостоятель ная работа
	Графики функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины	5
6	Правила и алгоритмы построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля	1	лекция, практикум	Опорные карточки
7-8	Графики функций y=f |х|, y=f(-|x|), y=|f(x)|, y= |f |х||, |у| =f(x), где f(х) ≥ 0, | у| = |f (х)|	2	практикум	Карточки с заданиями	Самостоятель ная работа
9	Графики некоторых простейших функций, заданных явно и неявно , аналитическое выражение кото­рых содержит знак модуля	1	мастерская	Индивидуальные карточки
10	Графики функций, аналитическое вы­ражение которых содержит знак абсолютной величины в олимпи­адных заданиях	1	практикум	прехентация
	Уравнения, содержащие абсолютные величины	11
11-13	Основные методы решения уравнений с модулем	3	лекция	Опорные карточки
14	Уравнения вида | f(х)| = a , f \ x \ = а, где а R ; |f(x)| = g (х) и f(х)| = | g (x) |.	1	практикум	Карточки с заданиями	Самостоятель ная работа
15	Метод замены переменных при решении уравнений , содержащих абсолютные величины	1	практикум	Опорные карточки
16-17	Метод интервалов при решении уравнений, содержащих абсолютные вели­чины. Уравнения вида |f 1 (х)| ± |f 2 (х)| ±.. .±|f n (х)| = а, где а е R , = = g (x)	2	лекция, практикум	Карточки с заданиями	Самостоятель ная работа
18	Способ последовательного раскрытия модуля при решении уравнений, содержащих «модуль в модуле»	1	лекция, практикум	Опорные карточки
19	Графическое решение уравнений, содержащих абсолют­ные величины.	1	практикум
20	Уравнения с параметрами , содержащие абсо­лютные величины	1	семинар-практикум
21	Защита решенных заданий ЕГЭ	1	защита решений	Таблица	защита решений
		7
22-23	Неравенства с одним неизвестным. Основные методы ре­шения неравенств с модулем	2	лекция	Опорные карточки
24	Основные методы ре­шения неравенств с модулем	1	семинар
25	Неравенства вида |f(x)| >  ≥ ≤ а, где а R ..	1	практикум
26-27	Неравенства вида |f(x)| >  ≥ ≤ g(x), |f(x)| >  ≥ ≤ |g(x)|.	2	практикум	Карточки с заданиями	Самостоятель ная работа
28	Неравенст­ва с параметрами, содержащие абсолютные величины	1	практикум
29-32		4	лекция, практикум
33		1	семинар-практикум
34	Итоговое занятие	1		Карточки с заданиями	контрольный срез
	Итого	34

1. Введение (1 ч).

Цели и задачи элективного курса. Вопросы, рассматривае­мые в курсе и его структура. Знакомство с литературой, темами творческих работ. Требования, предъявляемые к участникам курса. Аукцион «Что я знаю об абсолютной величине».

2. Абсолютная величина действительного числа а (4 ч).

Абсолютная величина действительного числа а. Модули проти­воположных чисел. Геометрическая интерпретация понятия |а |. Модуль суммы и модуль разности конечного числа действительных чисел. Модуль разности модулей двух чисел. Модуль произведения и мо­дуль частного. Операции над абсолютными величинами. Упрощение выражений, содержащих переменную под знаком модуля. Приме­нение свойств модуля при решении олимпиадных задач.

3. Графики функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины (5 ч).

Правила и алгоритмы построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля. Графики функций y=f |х|,

y=f (-|x|), y=|f(x)|, y= |f |х||, |у| =f(x), где f(х) ≥ 0, | у| = |f (х)|. Графики некоторых простейших функций, заданных явно и неявно, аналитическое выражение кото­рых содержит знак модуля. Графики функций, аналитическое вы­ражение которых содержит знак абсолютной величины в олимпи­адных заданиях.

4. Уравнения, содержащие абсолютные величины (11 ч).

Основные методы решения уравнений с модулем. Раскры­тие модуля по определению, переход от исходного уравнения к равносильной системе, возведение в квадрат обеих частей уравне­ния, метод интервалов, графический метод , использование свойств абсолютной величины. Уравнения вида | f(х)| = a , f \ x \ = а, где а R ; |f(x)| = g (х) и | f(х)| = | g (x) |. Метод замены переменных при решении уравнений, содержащих абсолютные величины. Метод интервалов при решении уравнений, содержащих абсолютные вели­чины. Уравнения вида |f 1 (х)| ± |f 2 (х)| ±.. .±|f n (х)| = а, где а е R , |f 1 (х)| ± |f 2 (х)| ±.. .± |f n (х)| = g (x ). Способ последовательного раскрытия модуля при решении уравнений, содержащих «модуль в модуле». Графическое решение уравнений, содержащих абсолют­ные величины. Использование свойств абсолютной величины при решении уравнений. Уравнения с параметрами, содержащие абсо­лютные величины. Защита решенных заданий ЕГЭ.

5. Неравенства, содержащие абсолютные величины (7 ч).

Неравенства с одним неизвестным. Основные методы ре­шения неравенств с модулем. Неравенства вида |f(x)| >  ≥ ≤ а, где а R .. Неравенства вида |f(x)| >  ≥ ≤ g(x), |f(x)| >  ≥ ≤ |g(x)|. Метод интерва­лов при решении неравенств, содержащих знак модуля. Неравенст­ва с параметрами, содержащие абсолютные величины.

6. Системы уравнений и неравенств, содержащие абсо­лютные величины (4 ч).

7. Другие вопросы, при решении которых используется понятие абсолютной величины (1 ч).

8. Итоговое занятие (1 ч).

Ожидаемые результаты
После изучения курса учащиеся должны:

Уметь применять определение, свойства абсолютной величины действительного числа к решению конкретных задач;

Решать уравнения, неравенства, системы уравнений и нера­венств, содержащих переменную под знаком модуля.

Литература для учителя

1. 
   С.И.Колесникова «Решение сложных задач ЕГЭ» 300 задач с подробным решением. Издательство Москва Айрис пресс 2005 год.
2. 
   Г.А.Воронина Практическое руководство для учителя «Элективные курсы» Издательство Москва Айрис пресс 2006 год
3. 
   М.И.Сканави Сборник задач по математике М.: ОНИКС, 2006
4. 
   Электронный учебник «Алгебра 7 – 11»
5. 
   Олехник С.Н. и др. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы

решения. 10 – 11 кл. – М.: Дрофа, 1995.

Литература для учащихся
1. М.И.Сканави Сборник задач по математике М.: ОНИКС, 2006

2. А.Г. Мордкович. Алгебра 9. Углубленное изучение. Учебник.