Sisältö 4
Käännöseditorista 10
Kolmannen painoksen esipuhe 13
Toisen painoksen esipuhe 15
Ensimmäisen painoksen esipuhe 16
Merkintä 20
Luku 1. Johdanto 22
§ 1. Elastisuus 22
§ 2. Jännitteet 23
§ 3. Voimien ja jännitysten nimitykset 24
§ 4. Jännitysosat 25
§ 5. Muodonmuutosten osat 26
§ 6. Hooken laki 28
§ 7. Hakemistomerkintä 32
Ongelmat 34
Luku 2. Tasojännitystila ja tason muodonmuutos 35
§ 8. Tasojännitys koostui 35:stä
§ 9. Tasomuodonmuutos 35
§ 10. Korostus kohdassa 37
§ 11. Muodonmuutos kohdassa 42
§ 12. Pinnan muodonmuutosten mittaus 44
§ 13. Mohrin muodonmuutosympyrän rakentaminen ruusukkeelle 46
§ 14. Differentiaalitasapainoyhtälöt 46
§ 15. Rajaehdot 47
§ 16. Yhteensopivuusyhtälöt 48
§ 17. Stressitoiminto 50
Ongelmat 52
Luku 3. Kaksiulotteiset tehtävät suorakaiteen muotoisissa koordinaateissa 54
§ 18. Ratkaisu polynomeissa 54
§ 19. Loppuvaikutukset. Saint-Venantin periaate 58
§ 20. Siirtymien määrittäminen 59
§ 21. Päästä ladatun konsolin taivutus 60
§ 22. Palkin taivutus tasaisella kuormituksella 64
§ 23. Muut palkkien tapaukset jatkuvalla kuormanjakaumalla 69
§ 24. Kaksiulotteisen tehtävän ratkaisu Fourier-sarjan 71 avulla
§ 25. Muut Fourier-sarjan sovellukset. Omapainoinen kuorma 77
§ 26. Kondomin vaikutus. Omat toiminnot 78
Ongelmat 80
Luku 4. Kaksiulotteiset tehtävät napakoordinaateissa 83
§ 27. Yleiset yhtälöt napakoordinaateissa 83
§ 28. Polaarisymmetrinen jännitysjakauma 86
§ 29. Kaarevien palkkien puhdas taivutus 89
§ 30. Muodonmuutosten komponentit napakoordinaateissa 93
§ 31. Siirtymät symmetrisillä jännitenollapisteillä 94
§ 32. Pyörivät levyt 97
§ 33. Kaarevan palkin taivutus 100:n lopussa kohdistetulla voimalla
§ 34. Reunasiirtymät 105
§ 35. Pyöreän reiän vaikutus jännitysjakaumaan levyssä 106
§ 36. Keskitetty voima kohdistetaan suoraviivaisen rajan johonkin kohtaan 113
§ 37. Mielivaltainen pystysuora kuormitus suoralla rajalla 119
§ 38. Kiilan kärkeen vaikuttava voima 125
§ 39. Kiilan kärkeen vaikuttava taivutusmomentti 127
§ 40. Vaikutus keskittyneen voiman säteeseen 128
§ 41. Paina pyöreässä kiekossa 137
§ 42. Voima, joka vaikuttaa äärettömän levyn pisteeseen 141
§ 43. Kaksiulotteisen ongelman yleinen ratkaisu napakoordinaateissa 146
§ 44. Yleisen ratkaisun sovellukset napakoordinaateissa 150
§ 45. Reunoja pitkin kuormitettu kiila 153
§ 46. Omat ratkaisut kiiloille ja leikkauksille 155
Ongelmat 158
Luku 5. Koemenetelmät. Fotoelastisuusmenetelmä ja moiré-menetelmä 163
47 § Koemenetelmät ja teoreettisten ratkaisujen testaus 163
§ 48. Jännitysten mittaus fotoelastisella menetelmällä 163
§ 49. Pyöreä polariscope 169
§ 50. Esimerkkejä jännitysten määrittämisestä fotoelastisella menetelmällä 171
§ 51. Pääjännitysten määrittäminen 174
§ 52. Fotoelastisuuden menetelmät kolmiulotteisessa kotelossa 175
§ 53. Moire-menetelmä 177
Luku 6. Kaksiulotteiset tehtävät kaarevissa koordinaateissa 180
§ 54. Kompleksimuuttujan funktiot 180
§ 55. Analyyttiset funktiot ja Laplacen yhtälö 182
§ 56. Harmonisten ja monimutkaisten toimintojen kautta ilmaistut stressitoiminnot 184
§ 57. Annettua jännitysfunktiota vastaavat siirtymät 186
§ 58. Jännitysten ja siirtymien ilmaiseminen kompleksisten potentiaalien kautta 188
§ 59. Tiettyä käyrää pitkin vaikuttavien jännitysten resultantti. Rajaehdot 190
§ 60. Kaarevat koordinaatit 193
§ 61. Jännityskomponentit kaarevissa koordinaateissa 196
Ongelmat 198
§ 62. Ratkaisut elliptisinä koordinaatteina. Elliptinen reikä levyssä, jossa on tasainen jännitystila 198
§ 63. Elliptinen reikä levyssä, johon kohdistuu yksiakselinen jännitys 202
§ 64. Hyperboliset rajat. Leikkaukset 206
§ 65. Kaksinapaiset koordinaatit 208
§ 66. Ratkaisut bipolaarisissa koordinaateissa 209
§ 67. Kompleksisten potentiaalien määrittäminen annettujen reunaehtojen perusteella. N. I. Muskhelishvilin menetelmät 214
§ 68 Monimutkaisten potentiaalien kaavat 217
§ 69. Reiän ympärillä sijaitsevan materiaalin alueella analyyttisiä kompleksisia potentiaalisia vastaavien jännitysten ja venymien ominaisuudet 219
§ 70. Lauseet rajaintegraaleille 221
§ 71. Elliptisen reiän kartoitusfunktio ω(ξ). Toinen rajaintegraali 224
§ 72. Elliptinen reikä. Kaava ψ(ζ) 225
§ 73. Elliptinen reikä. Erityiset ongelmat 226
Ongelmat 229
Luku 7. Jännitys- ja venymäanalyysi spatiaalisessa tapauksessa 230
§ 74. Johdanto 230
§ 75. Pääpainot 232
§ 76. Jännitysellipsoidi ja jännitysohjainpinta 233
§ 77. Pääjännitysten määritys 234
§ 78. Stressin invariantit 235
§ 79. Suurimman leikkausjännityksen määritys 236
§ 80. Homogeeninen muodonmuutos 238
§ 81. Muodonmuutos kehon kohdassa 239
§ 82. Muodonmuutosten pääakselit 242
§ 83. Kierto 243
Ongelmat 245
Luku 8. Yleiset lauseet 246
§ 84. Differentiaalitasapainoyhtälöt 246
§ 85. Yhteensopivuusehdot 247
§ 86. Liikkeiden määrittäminen 250
§ 87. Siirtymien tasapainoyhtälöt 251
§ 88. Yleinen ratkaisu liikkeille 252
§ 89. Päällekkäisyysperiaate 253
§ 90. Muodonmuutosenergia 254
§ 91. Reunasiirtymän jännitysenergia 259
92 § Virtuaalityön periaate 261
§ 93. Castiglianon lause 266
§ 94. Vähimmäistyön periaatteen soveltaminen. Suorakaiteen muotoiset levyt 270
§ 95. Palkkien 273 leveiden laippojen tehollinen leveys
Ongelmat 279
§ 96. Ratkaisun ainutlaatuisuus 280
§ 97. Vastavuoroisuuslause 282
§ 98. Tasojännitystilan ratkaisujen likimääräinen luonne 285
Ongelmat 287
Luku 9. Elastisuusteorian kolmiulotteiset alkeisongelmat 289
§ 99. Homogeeninen jännitystila 289
§ 100. Prismatangon jännitys oman painonsa vaikutuksesta 290
§ 101. Poikkileikkaukseltaan vakion pyöreän akselin vääntö 293
§ 102. Prismaattisten tankojen puhdas taivutus 294
§ 103. Puhdas levyjen taivutus 298
Luku 10. Vääntö 300
§ 104. Suorien tankojen vääntö 300
§ 105. Elliptinen poikkileikkaus 305
§ 106. Muut perusratkaisut 307
§ 107. Kalvoanalogia 310
§ 108. Poikkileikkaukseltaan kapea suorakaiteen muotoisen tangon vääntö 314
§ 109. Suorakaiteen muotoisten tankojen vääntö 317
§ 110. Lisätulokset 320
§ 111. Vääntöongelmien ratkaiseminen energiamenetelmällä 323
§ 112. Valssattujen profiilien tankojen vääntö 329
§ 113. Kokeelliset analogiat 331
§ 114. Hydrodynaamiset analogiat 332
§ 115. Onttojen akselien vääntö 335
§ 116. Ohutseinäisten putkien vääntö 339
§ 117. Ruuvien sijoitukset 343
§ 118. Tangon vääntö, jonka yksi poikkileikkauksista pysyy tasaisena 345
§ 119. Muuttuvan halkaisijan omaavien pyöreiden akselien vääntö 347
Ongelmat 355
Luku 11. Palkkien taivutus 359
§ 120. Konsolin taivutus 359
§ 121. Stressitoiminto 361
§ 122. Pyöreä poikkileikkaus 363
§ 123. Elliptinen poikkileikkaus 364
§ 124. Suorakaiteen muotoinen poikkileikkaus 365
§ 125. Lisätulokset 371
§ 126. Epäsymmetriset poikkileikkaukset 373
§ 127. Kaaren keskipiste 375
§ 128. Taivutusongelmien ratkaiseminen saippuakalvomenetelmällä 378
§ 129. Liikkeet 381
§ 130. Palkkien taivutuksen lisätutkimukset 382
Luku 12. Kierroskappaleiden akselisymmetriset jännitykset ja muodonmuutokset 384
§ 131. Yleiset yhtälöt 384
§ 132. Ratkaisu polynomeissa 387
§ 133. Pyöreän levyn taivutus 388
§ 134. Pyörivän kiekon kolmiulotteinen ongelma 391
§ 135. Jossain äärettömän kappaleen kohdassa kohdistettu voima 393
§ 136. Pallomainen astia sisäisen tai ulkoisen tasaisen paineen vaikutuksesta 396
§ 137. Paikalliset jännitykset pallomaisen ontelon ympärillä 399
§ 138. Puoliäärettömän kappaleen 401 rajalle kohdistettu voima
§ 139. Kuorma, joka jakautuu osittain äärettömän kappaleen rajasta 405
§ 140. Paine kahden koskettavan pallomaisen kappaleen välillä 412
§ 141. Paine kahden kosketuksissa olevan kappaleen välillä. Yleisempi tapaus 417
§ 142. Pallien törmäys 422
§ 143. Pyöreän sylinterin symmetrinen muodonmuutos 424
§ 144. Pyöreä sylinteri ympäröivän paineen vaikutuksesta 428
§ 145. Boussinesqin ratkaisu kahden harmonisen funktion muodossa 430
§ 146. Kierrejousen jännitys (ruuvin siirtymät renkaassa) 431
§ 147. Pyöreän renkaan osan puhdas taivutus 434
Luku 13. Lämpötilajännitykset 436
§ 148. Yksinkertaisimmat lämpötilajännityksen jakauman tapaukset. Muodonpoistomenetelmä 436
Ongelmat 442
§ 149. Pituussuuntainen lämpötilan muutos nauhassa 442
§ 150. Ohut pyöreä kiekko: lämpötilan jakautuminen symmetrisesti keskeltä 445
§ 151. Pitkä pyöreä sylinteri 447
Ongelmat 455
§ 152. Pallo 455
§ 153. Yleiset yhtälöt 459
§ 154. Lämpöelastisuuden vastavuoroisuuslause 463
§ 155. Termoelastiset kokonaismuodonmuutokset. Satunnainen lämpötilajakauma 464
§ 156. Lämpöelastiset siirtymät. V. M. Maizel 466:n kokonaisratkaisu
Ongelmat 469
§ 157. Alkujännitykset 469
§ 158. Alkujännityksiin liittyvä tilavuuden yleinen muutos 472
§ 159. Tasovenymä ja tasojännitystila. Menetelmä muodonmuutosten poistamiseksi 472
§ 160. Kiinteän lämpövirran kaksiulotteiset ongelmat 474
§ 161. Eristetyn reiän aiheuttaman tasaisen lämpövirran häiriön aiheuttama tasoterminen rasitustila 480
§ 162. Yleisten yhtälöiden ratkaisut. Termoelastinen siirtymäpotentiaali 481
§ 163. Yleinen kaksiulotteinen ongelma ympyräalueille 485
§ 164. Yleinen kaksiulotteinen ongelma. Ratkaisu kompleksipotentiaalissa 487
Luku 14. Aallon eteneminen elastisessa jatkuvassa väliaineessa 490
§ 165. Johdanto 490
§ 166. Paisunta- ja vääristymäaallot isotrooppisessa elastisessa väliaineessa 491
§ 167. Tasoaallot 492
§ 168. Pituusaallot vakiopoikkileikkauksellisissa sauvoissa. Alkeiteoria 497
§ 169. Tankojen pituussuuntainen törmäys 502
§ 170. Rayleighin pinta-aallot 510
§ 171. Pallosymmetriset aallot äärettömässä väliaineessa 513
§ 172. Räjähdyspaine pallomaisessa ontelossa 514
Sovellus. Äärellisten eroyhtälöiden soveltaminen joustoteoriassa 518
§ 1. Äärillisen eron yhtälöiden johtaminen 518
§ 2. Peräkkäisten likiarvojen menetelmät 522
§ 3. Rentoutumismenetelmä 525
§ 4. Kolmio- ja kuusikulmaiset silmät 530
§ 5. Lohko- ja ryhmärentoutumiset 535
§ 6. Usein yhdistetyillä poikkileikkauksilla varustettujen tankojen vääntö 536
§ 7. Lähellä rajaa sijaitsevat pisteet 538
§ 8. Biharmoninen yhtälö 540
§ 9. Muuttuvan halkaisijan 548 pyöreän akselin vääntö
§ 10. Ongelmien ratkaiseminen tietokoneen avulla 551
Nimiindeksi 553
Aihehakemisto 558

Elastisuus- ja plastisuusteorian luomista itsenäisenä mekaniikkahaarana edelsi 1600- ja 1700-luvun tiedemiesten työt jo 1600-luvun alussa. G. Galileo (1564-1642) yritti ratkaista palkin venytyksen ja taivutuksen ongelmia. Hän oli yksi ensimmäisistä, joka yritti soveltaa laskelmia maa- ja vesirakentamisen ongelmiin.

Ohuiden elastisten tankojen taivutusteoriaa tutkivat sellaiset erinomaiset tiedemiehet kuin E. Mariotte, J. Bernoulli Sr., S.O. Coulomb, L. Euler ja elastisuusteorian muodostuminen tieteenä voidaan yhdistää R. Gunin, T. Jungin, J.L. Lagrange, S. Germain.

Robert Hooke (1635-1703) loi perustan elastisten kappaleiden mekaniikalle julkaisemalla vuonna 1678 r. työ, jossa hän kuvaili suhteellisuuslakia, jonka hän vahvisti kuorman ja vetomuodonmuutoksen välille. Thomas Young (1773-1829) aivan 1800-luvun alussa. otti käyttöön kimmomoduulin käsitteen jännityksessä ja puristuksessa. Hän teki myös eron veto- tai puristusmuodonmuutoksen ja leikkausmuodonmuutoksen välillä. Joseph Louis Lagrangen (1736-1813) ja Sophie Germainin (1776-1831) teokset juontavat juurensa samaan aikaan. He löysivät ratkaisun elastisten levyjen taipumisen ja tärinän ongelmaan. Myöhemmin S. Poisson ja 781-1840 sekä L. Navier (1785-1836) paransivat levyteoriaa.

Joten 1700-luvun loppuun ja 1800-luvun alkuun. materiaalien lujuuden perusta luotiin ja pohja joustoteorian syntymiselle. Tekniikan nopea kehitys aiheutti valtavan määrän käytännön ongelmia matematiikan kannalta, mikä johti teorian nopeaan kehitykseen. Yksi monista tärkeistä ongelmista oli elastisten materiaalien ominaisuuksien tutkimisen ongelma. Tämän ongelman ratkaisu mahdollisti syvemmin ja täydellisemmin tutkia sisäisiä voimia ja muodonmuutoksia, jotka syntyvät elastisessa kappaleessa ulkoisten voimien vaikutuksesta.

Matemaattisen kimmoisuusteorian syntyaikana on pidettävä vuotta 1821, jolloin julkaistiin L. Navierin teos, jossa perusyhtälöt muotoiltiin.

Suuret matemaattiset vaikeudet ongelmien ratkaisemisessa kimmoisuusteoriassa herättivät monien 1800-luvun merkittävien matemaatikoiden huomion: Lame, Clapeyron, Poisson jne. Elastisuusteoriaa kehitettiin edelleen ranskalaisen matemaatikon O. Cauchyn teoksissa. 1789-1857), joka esitteli muodonmuutoksen ja jännitteen käsitteen, mikä yksinkertaisti yleisten yhtälöiden johtamista.

Vuonna 1828 matemaattisen elastisuusteorian peruslaitteisto valmistui ranskalaisten tiedemiesten ja insinöörien G. Lamen (1795-1870) ja B. Clapeyronin (1799-1864), jotka opettivat tuolloin instituutissa. Pietarin rautatieinsinöörejä. Heidän yhteinen työnsä tarjosi yleisten yhtälöiden soveltamista käytännön ongelmien ratkaisuun.

Ratkaisu moniin kimmoisuusteorian ongelmiin tuli mahdolliseksi sen jälkeen, kun ranskalainen mekaanikko B. Saint-Venant (1797-1886) esitti nimeään kantavan periaatteen ja ehdotti tehokasta menetelmää kimmoisuusteorian ongelmien ratkaisemiseksi. Kuuluisan englantilaisen tiedemiehen A. Loven (1863-1940) mukaan hänen ansionsa piilee myös siinä, että hän yhdisti palkkien vääntö- ja taivutusongelmat yleiseen teoriaan.

Jos ranskalaiset matemaatikot käsittelivät pääasiassa yleisiä teoriaongelmia, venäläiset tiedemiehet antoivat suuren panoksen voimatieteen kehitykseen ratkaisemalla monia kiireellisiä käytännön ongelmia. Vuosina 1828-1860 erinomainen tiedemies M. V. Ostrogradsky (1801-1861) opetti matematiikkaa ja mekaniikkaa Pietarin teknisissä yliopistoissa. Hänen tutkimuksensa elastisessa väliaineessa syntyvistä värähtelyistä oli tärkeä kimmoisuusteorian kehittämisen kannalta. Ostrogradsky koulutti galaksin tutkijoita ja insinöörejä. Heidän joukossaan on mainittava D.I. Zhuravsky (1821-1891), joka työskennellessään Pietari-Moskovan rautatien rakentamisessa loi paitsi uusia siltasuunnitelmia, myös teorian siltaristikkojen laskemiseen ja johti myös kaavan. taivutuspalkin tangentiaalisille jännityksille.

A. V. Gadolin (1828-1892) sovelsi Lamen ongelmaa paksuseinäisen putken aksisymmetrisestä muodonmuutoksesta tutkiessaan tykistön piipuissa syntyviä jännityksiä, ja hän oli yksi ensimmäisistä, joka sovelsi elastisuusteoriaa tiettyyn tekniseen ongelmaan.

Muiden 1800-luvun lopulla ratkaistujen ongelmien joukossa on huomionarvoinen Kh S. Golovinin (1844-1904) työ, joka suoritti kaarevan palkin tarkan laskennan elastisuusteorian menetelmillä, mikä mahdollisti sen. määrittää likimääräisten ratkaisujen tarkkuusasteen.

Suuri ansio voimatieteen kehittämisestä kuuluu V. L. Kirpicheville (1845-1913). Hän onnistui yksinkertaistamaan merkittävästi erilaisia ​​staattisesti määrittelemättömien rakenteiden laskentamenetelmiä. Hän sovelsi ensimmäisenä optista menetelmää jännitteiden kokeelliseen määritykseen ja loi samankaltaisuusmenetelmän.

Neuvostoliiton tieteelle on ominaista läheinen yhteys rakennuskäytäntöön, eheys ja analyysin syvyys. I. G. Bubnov (1872-1919) kehitti uuden likimääräisen menetelmän differentiaaliyhtälöiden integroimiseksi, jonka loistavasti kehitti B. G. Galerkin (1871-1945). Bubnov-Galerkin-variaatiomenetelmä on tällä hetkellä laajalti käytössä. Näiden tiedemiesten työt levyn taivutuksen teoriassa ovat erittäin tärkeitä. Jatkaessaan Galerkinin tutkimusta, P.F. sai uusia tärkeitä tuloksia. Papkovich (1887-1946).

G.V. ehdotti menetelmää tasoongelman ratkaisemiseksi elastisuusteoriassa, joka perustuu kompleksisen muuttujan funktioteorian soveltamiseen. Kolosov (1867-1936). Myöhemmin tämän menetelmän kehitti ja yleisti N.I. Muskhelishvili (1891-1976). A.N. ratkaisi joukon tankojen ja levyjen vakauteen, tankojen ja kiekkojen värähtelyyn sekä elastisten kappaleiden törmäys- ja puristusteoriaan liittyviä ongelmia. Dinnik (1876-1950). L.S.n teoksilla on suuri käytännön merkitys. Leibenzon (1879-1951) pitkien kierrettyjen tankojen elastisen tasapainon stabiilisuudesta, pallomaisten ja sylinterimäisten kuorien stabiilisuudesta. V. Z. Vlasovin (1906-1958) pääteokset ohutseinäisten spatiaalisten sauvojen, taitettujen järjestelmien ja kuorien yleisestä teoriasta ovat erittäin käytännön tärkeitä.

Plastisuusteorialla on lyhyempi historia. Saint-Venant loi ensimmäisen matemaattisen plastisiteettiteorian 1800-luvun 70-luvulla. perustuu ranskalaisen insinöörin G. Trescan kokeisiin. 1900-luvun alussa. R. Mises työskenteli plastisuuden ongelmien parissa. G. Genki, L. Prandtl, T. Karman. 1900-luvun 30-luvulta lähtien plastisuusteoria on herättänyt suuren ulkomaisten tutkijoiden (A. Nadai, R. Hill, V. Prager, F. Hodge, D. Drucker jne.) huomion. Neuvostoliiton tutkijoiden plastisuusteoriaa koskevat teokset ovat laajalti tunnettuja. Sokolovsky, A. Yu. Ishlinsky, G.A. Smirnova-Aljaeva, L.M. Kachanova. A.A. antoi perustavanlaatuisen panoksen plastisuuden deformaatioteorian luomiseen. Iljushin. A.A. Gvozdev kehitti teorian levyjen ja kuorien laskemiseen tuhoavien kuormien perusteella. Tämän teorian kehitti menestyksekkäästi A.R. Rzhanitsyn.

Teoria virumisesta muotoaan muuttavan kappaleen mekaniikan haarana syntyi suhteellisen hiljattain. Ensimmäiset tutkimukset tällä alalla ovat peräisin 1900-luvun 20-luvulta. Niiden yleisen luonteen määrää se, että virumisongelmalla oli suuri merkitys energiatekniikalle ja insinöörit joutuivat etsimään yksinkertaisia ​​ja nopeita tavoitetta johtavia menetelmiä käytännön ongelmien ratkaisemiseksi. Virumisteorian luomisessa suuri rooli kuuluu niille kirjoittajille, jotka osallistuivat merkittävästi nykyaikaisen plastisuusteorian luomiseen. Tästä johtuen monien ideoiden ja lähestymistapojen yhteisyys. Maassamme ensimmäiset teokset virumisen mekaanisesta teoriasta kuuluivat N.M. Beljajev (1943), K.D. Mirtov (1946), ensimmäiset tutkimukset N. N. Malininista, Yu.N. Rabotnova.

Tutkimus elastis-viskoosisten kappaleiden alalla suoritettiin A.Yu:n töissä. Ishlinsky, A.N. Gerasimova, A.R. Rzhanitsyna, Yu.N. Rabotnova. Tämän teorian soveltaminen ikääntyviin materiaaleihin, ensisijaisesti betoniin, on annettu N.X:n teoksissa. Harutyunyan, A.A. Gvozdeva, G.N. Maslova. A.A.:n johtamat tutkimusryhmät ovat tehneet suuren määrän tutkimusta polymeerimateriaalien virumisesta. Ilyushina, A.K. Malmeister, M.I. Rozovsky, G.N. Savina.

Neuvostovaltio kiinnittää suurta huomiota tieteeseen. Tutkimuslaitosten organisointi ja suurten tutkijaryhmien osallistuminen ajankohtaisten ongelmien kehittämiseen mahdollisti Neuvostoliiton tieteen nostamisen korkeammalle tasolle.

Lyhyessä katsauksessa ei ole mahdollista tarkastella yksityiskohtaisemmin kaikkien jousto- ja plastisuusteorian kehittämiseen osallistuneiden tutkijoiden työtä. Ne, jotka haluavat tutustua yksityiskohtaisesti tämän tieteen kehityshistoriaan, voivat viitata oppikirjaan, jonka on kirjoittanut N.I. Bezukhov, jossa annetaan yksityiskohtainen analyysi elastisuus- ja plastisuusteorian kehityksen päävaiheista sekä laaja bibliografia.

1.1.Perushypoteesit, periaatteet ja määritelmät

Jännitysteoria jatkumomekaniikan haarana perustuu useisiin hypoteeseihin, joista tärkeimpiä tulisi kutsua jatkuvuus- ja luonnollisen (tausta)jännitystilan hypoteesiksi.

Jatkuvuushypoteesin mukaan kaikki kappaleet katsotaan täysin jatkuviksi sekä ennen kuormitusta (ennen muodonmuutosta) että sen vaikutuksen jälkeen. Tässä tapauksessa mikä tahansa kehon tilavuus pysyy kiinteänä (jatkuvana), mukaan lukien alkeistilavuus, toisin sanoen äärettömän pieni. Tässä suhteessa kappaleen muodonmuutoksia pidetään jatkuvina koordinaattifunktioina, kun kappaleen materiaalia muotoutuu ilman, että siihen muodostuisi halkeamia tai epäjatkuvia taitoksia.

Luonnollisen jännitystilan hypoteesi olettaa, että kehossa on alku(tausta)jännitystaso, joka yleensä otetaan nollaksi, ja ulkoisen kuormituksen aiheuttamia todellisia jännityksiä pidetään luonnollisen tason yläpuolella olevina jännityslisäyksinä.

Yllä mainittujen päähypoteesien ohella jännitysteoriassa omaksutaan myös joukko perusperiaatteita, joista ensinnäkin on mainittava kappaleiden omaaminen ihanteellisella kimmoisuudella, pallomaisella isotropialla, täydellisellä homogeenisuudella ja jännitysten ja muodonmuutosten välinen lineaarinen suhde.

Ideaalinen elastisuus on muodonmuutoksille altistettujen materiaalien kyky palauttaa alkuperäinen muoto (koko ja tilavuus) ulkoisen kuormituksen (ulkoinen vaikutus) poistamisen jälkeen. Lähes kaikilla kivillä ja useimmilla rakennusmateriaaleilla on jonkin verran joustavuutta, nämä materiaalit sisältävät sekä nesteitä että kaasuja.

Palloinen isotropia edellyttää samoja materiaalien ominaisuuksia kuorman kaikissa toimintasuunnissa, sen antipodi on anisotropia, eli ominaisuuksien erilaisuus eri suuntiin (jotkut kiteet, puu jne.). Samanaikaisesti pallomaisen isotropian ja homogeenisuuden käsitteitä ei pidä sekoittaa: esimerkiksi puun homogeeniselle rakenteelle on ominaista anisotropia - puun lujuuden ero kuituja pitkin ja poikki. Elastisille, isotrooppisille ja homogeenisille materiaaleille on ominaista jännitysten ja venymien välinen lineaarinen suhde, joka kuvataan Hooken lailla, jota käsitellään oppikirjan vastaavassa osassa.

Jännitysteorian (ja muun muassa muodonmuutoksen) perusperiaate on itsetasapainotettujen ulkoisten kuormien paikallisen vaikutuksen periaate - Saint-Venant-periaate. Tämän periaatteen mukaan tasapainotettu voimajärjestelmä, joka kohdistuu kappaleeseen missä tahansa kohdassa (linjassa), aiheuttaa materiaaliin jännitystä, joka pienenee nopeasti etäisyyden mukaan kuormituspaikasta esimerkiksi eksponentiaalisen lain mukaan. Esimerkki tällaisesta toiminnasta olisi paperin leikkaaminen saksilla, joka muuttaa muotoaan (leikkaa) arkin (viivan) äärettömän pienen osan, kun taas muu paperiarkki ei häiriinny, eli tapahtuu paikallista muodonmuutosta. Saint-Venant-periaatteen soveltaminen auttaa yksinkertaistamaan matemaattisia laskelmia, kun ratkaistaan ​​arvonlisäveron estimointiongelmia korvaamalla tietty matemaattisesti vaikeasti kuvailtava kuorma yksinkertaisemmalla, mutta vastaavalla.

Kun puhutaan jännitysteorian tutkimuksen aiheesta, on välttämätöntä antaa määritelmä itse jännitykselle, joka ymmärretään sisäisten voimien mittana kehossa, sen tietyssä osassa, jaettuna tarkasteltavalle alueelle ja vastustaa ulkoista kuormitusta. Tässä tapauksessa poikittaisalueelle ja siihen kohtisuoraan vaikuttavia jännityksiä kutsutaan normaaleiksi; vastaavasti tämän alueen suuntaiset tai sitä koskettavat jännitykset ovat tangentiaalisia.

Jännitysteorian tarkastelua yksinkertaistetaan ottamalla käyttöön seuraavat oletukset, jotka eivät käytännössä vähennä saatujen ratkaisujen tarkkuutta:

Suhteelliset venymät (lyhennykset) sekä suhteelliset siirtymät (leikkauskulmat) ovat paljon pienempiä kuin yhtenäisyys;

Kappaleen pisteiden siirtymät sen muodonmuutoksen aikana ovat pieniä verrattuna rungon lineaarisiin mittoihin;

Kappaleiden pyörimiskulmat rungon taivutusmuodonmuutoksen aikana ovat myös hyvin pieniä verrattuna yksikköön, ja niiden neliöt ovat mitättömiä verrattuna suhteellisten lineaaristen ja kulmamuutosten arvoihin.

4. MAAN RAKENNE SEISMOLOGIAN TIETOJEN MUKAAN

Elastisuusteorian perusteet: venymätensori, jännitystensori, Hooken laki, kimmomoduulit, homogeeniset muodonmuutokset, elastiset aallot isotrooppisessa väliaineessa, Fermatin, Huygensin, Snellin lait. Seismiset aallot. Seismometristen havaintojen kehittäminen: seismiset asemat ja niiden verkostot, hodografit, aaltoreitit maan sisällä. Seismisten aaltojen etenemisnopeuden määritys Hertlots-Wiechert-yhtälön avulla. Pituus- ja poikkiaaltojen nopeudet maan säteen funktiona. Maan aineen tila seismologisten tietojen mukaan. Maankuori. Litosfääri ja astenosfääri. Seismologia ja globaali tektoniikka.

Elastisuusteorian perusteet[Landau, Lifshits, 2003, s. 9-25, 130-144]

Jännitystensori

Jatkuvana väliaineena pidettyjen kiinteiden aineiden mekaniikka on sisältö elastisuusteoria. Elastisuusteorian perusyhtälöt määritti O.L. Koshy ja S.D. Poisson 1800-luvun 20-luvulla (katso lisätietoja luvusta 15).

Käytettyjen voimien vaikutuksesta kiinteät kappaleet muuttavat muotoaan tavalla tai toisella, ts. muuttaa niiden muotoa ja tilavuutta. Kuvaile matemaattisesti kappaleen muodonmuutosta seuraavasti. Kappaleen kunkin pisteen sijainti määräytyy sen sädevektorin r avulla (komponenteilla x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z) tietyssä koordinaatistossa. Kun kehon muoto muuttuu, sen kaikki pisteet yleisesti ottaen siirtyvät. Tarkastellaanpa jotakin tiettyä kehon kohtaa; jos sen sädevektori ennen muodonmuutosta oli r, niin epämuodostuneessa kappaleessa sillä on jokin muu

arvo r / (komponenteilla x i / ). Kehon pisteen siirtymä muodonmuutoksen aikana esitetään sitten vektorilla r / - r, jota merkitsemme kirjaimella u:

u = x/ − x .

Vektoria u kutsutaan muodonmuutosvektori(tai siirtymävektori). Vektorin u tuntemus

x i:n funktiona määrittää täysin kappaleen muodonmuutoksen.

Kun kappale muuttaa muotoaan, sen pisteiden väliset etäisyydet muuttuvat. Jos niiden välinen sädevektori ennen muodonmuutosta oli dx i , niin muodonmuutoskappaleessa säde

vektori samojen kahden pisteen välillä on dx i / = dx i + du i . Pisteiden välinen etäisyys ennen muodonmuutosta oli yhtä suuri:

dl = dx1 2 + dx2 2 + dx3 2,

ja muodonmuutoksen jälkeen:

dl / = dx 1 / 2 + dx 2 / 2 + dx 3 / 2 .

Lopulta saamme:

dl / 2 = dl 2 + 2 u

∂u i

∂u k

∂u l

∂u l

∂xk

∂xk

∂x i

∂x i

Nämä lausekkeet määrittävät pituuselementin muutoksen, kun runko muuttuu. Tensoria u ik kutsutaan jännitystensori; määritelmänsä mukaan se on symmetrinen:

u ik = u ki .

Kuten mikä tahansa symmetrinen tensori, tensori u ik kussakin pisteessä voidaan vähentää arvoon

pääakselit ja varmista, että jokaisessa kappaleen tilavuuden elementissä muodonmuutosta voidaan pitää kolmen itsenäisen muodonmuutoksen sarjana kolmessa kohtisuorassa suunnassa - muodonmuutostensorin pääakselit. Lähes kaikissa kappaleiden muodonmuutostapauksissa muodonmuutokset osoittautuvat pieniksi. Tämä tarkoittaa, että minkä tahansa etäisyyden muutos kehossa osoittautuu pieneksi verrattuna itse etäisyyteen. Toisin sanoen suhteelliset venymät ovat pieniä verrattuna yksikköön.

Joitakin erikoistapauksia lukuun ottamatta, joihin emme puutu, jos kappale altistuu pienelle muodonmuutokselle, kaikki muodonmuutostensorin komponentit ovat myös pieniä. Siksi lauseessa (4.3) voidaan jättää huomiotta viimeinen termi toisen kertaluvun pienenä suurena. Näin ollen pienten muodonmuutosten tapauksessa muodonmuutostensori määräytyy lausekkeella:

u = 1			∂u i	+ ∂ u k) .
			∂xk	∂x i

Joten voimat ovat syynä kehossa tapahtuviin liikkeisiin (liikkeisiin), ja muodonmuutokset ovat seurausta liikkeistä [Khaikin, 1963, s. 176].

Klassisen elastisuusteorian pääoletus

Epämuodostuneessa kappaleessa molekyylien järjestely vastaa sen lämpötasapainon tilaa. Samaan aikaan sen kaikki osat ovat mekaanisessa tasapainossa keskenään. Tämä tarkoittaa, että jos valitset jonkin tilavuuden kehon sisällä, kaikkien tähän tilavuuteen vaikuttavien voimien resultantti muista osista on nolla.

Kun se muotoutuu, molekyylien järjestely muuttuu ja keho poistuu tasapainotilasta, jossa se alun perin oli. Tämän seurauksena siihen syntyy voimia, jotka pyrkivät palauttamaan kehon tasapainotilaan. Näitä muodonmuutoksen aikana syntyviä sisäisiä voimia kutsutaan sisäisiä jännityksiä. Jos runko ei ole epämuodostunut, siinä ei ole sisäisiä jännityksiä.

Sisäisiä jännityksiä aiheuttavat molekyylisidokset, ts. kehon molekyylien vuorovaikutusvoimat keskenään. Elastisuusteorian kannalta erittäin tärkeää on se, että molekyylivoimilla on hyvin pieni vaikutussäde. Niiden vaikutus ulottuu ne luovan hiukkasen ympärille vain molekyylien välisen luokan etäisyydellä. Mutta elastisuusteoriassa, kuten makroskooppisessa teoriassa, otetaan huomioon vain etäisyydet, jotka ovat suuria verrattuna molekyylien välisiin. Siksi molekyylivoimien "vaikutussäteen" kimmoisuusteoriassa tulisi katsoa olevan nolla. Voidaan sanoa, että sisäisiä jännityksiä aiheuttavat voimat ovat kimmoteoriassa ”lyhyen kantaman” voimia, jotka välittyvät kustakin pisteestä vain sitä lähinnä oleviin pisteisiin.

Siten klassisen elastisuusteorian mukaan voimat, jotka vaikuttavat mihin tahansa kehon osaan sitä ympäröivistä osista, osoittavat tämän vaikutuksen. vain suoraan pinnan läpi tätä kehon osaa.

Itse asiassa perusteoksen kirjoittaja [Khaikin, 1963, s. 484].

Stressitensori

Johtopäätös, jonka mukaan kaikki voimat vaikuttavat vain pinnan läpi, on avain klassiseen elastisuusteoriaan. Se sallii minkä tahansa kehon tilavuuden kaikkien sisäisten jännitysten ja voimien resultantin kolmesta komponentista

∫ F i dV (jossa F i on tilavuusyksikköön dV vaikuttava voima) muunnetaan integraaliksi tämän tilavuuden pinnalla. Tässä tapauksessa, kuten vektorianalyysistä seuraa, vektorin F i on oltava jonkin toisen asteen tensorin divergenssi, ts. näyttää joltakin:

F i = ∂ σ ik . (4.6)

∂xk

Sitten tiettyyn tilavuuteen vaikuttava voima voidaan kirjoittaa integraaliksi tämän tilavuuden peittävän suljetun pinnan päälle:

∫ Fi dV = ∫ ∂ ∂ σ x ik			= ∫ σ ik df k ,
missä vektori d f = df 2			Df 2	ohjattu	pitkin ulompaa normaalia pintaan,

kattaa äänenvoimakkuuden dV.

Tensoria σ ik kutsutaan stressitensori. Kuten kohdasta (4.7) voidaan nähdä, σ ik df k on i

pintaelementtiin vaikuttavan voiman komponentti d f. Valitsemalla pinta-alkiot xy-, yz- ja xz-tasoista, havaitaan, että jännitystensorin komponentti σ ik

on x-akseliin k nähden kohtisuoraan yksikköpintaan vaikuttavan voiman i:s komponentti. Joten yksikköpinta-alalla, joka on kohtisuorassa x-akselia vastaan, normaalisti

hänen (suuntautunut x-akselia pitkin) voima σ xx ja tangentiaalinen (suuntautunut y- ja z-akselia pitkin)

voimat σ yx ja σ zx.

Huomaa, että sisäisistä jännityksistä kehon koko pintaan vaikuttava voima, toisin kuin (4.7), on:

− ∫ σ ik df k .

Tiettyyn kehon tilavuuteen vaikuttavien voimien M ik momenttien kirjoittaminen muodossa:

M ik = ∫ (F i x k − F k x i ) dV

ja edellyttäen, että se ilmaistaan ​​integraalina vain pinnan yli, saadaan, että jännitystensori on symmetrinen:

σ ik = σ ki .

Samanlainen johtopäätös voidaan tehdä yksinkertaisemmalla tavalla [Sivukhin, 1974, s. 383]. Nimittäin. Momentti dM ik on suoraan verrannollinen alkeiskappaleen hitausmomenttiin

tilavuus dM ik ≈ I ≈ (dV )5 / 3 ja siksi saadaan (F i x k − F k x i )dV = dM ik ≈ (dV )5 / 3 ≈ 0, mikä tarkoittaa automaattisesti relaatiota (4.8).

Jännitystensorin symmetria mahdollistaa sen tuomisen pääakseleille kussakin pisteessä, ts. kussakin pisteessä jännitystensori voidaan esittää seuraavasti:

σ ik = σ xx + σ yy + σ zz .

Tasapainossa sisäiset jännitysvoimat on kompensoitava keskenään jokaisessa kappaleen tilavuuden elementissä, ts. pitäisi olla F i = 0 . Siis yhtälöt

epämuodostuneen kappaleen tasapaino on muotoa:

∂ σ ik = 0 .

∂xk

Jos kappale on painovoimakentässä, niin sisäisten jännitysvoimien F summan F + ρ g ja tilavuusyksikköön vaikuttavan painovoiman ρ g pitäisi kadota, ρ -

kehon tiheys, g – vapaan pudotuksen kiihtyvyysvektori. Tasapainoyhtälöillä on tässä tapauksessa muoto:

∂ σ ik + ρ g i = 0 .
∂xk

Rajaa energiaa

Tarkastellaan jotakin epämuodostunutta kappaletta ja oletetaan, että sen muodonmuutos muuttuu siten, että muodonmuutosvektori u i muuttuu pienen määrän δ u i .

Määritetään sisäisten jännitysvoimien suorittama työ. Kertomalla voima (4.6) siirtymällä δ u i ja integroimalla koko kehon tilavuus, saadaan:

		∫ ∂ x k
	δ RdV =		∂σik	δ ui dV .

Symboli δ R tarkoittaa sisäisten jännitysvoimien työtä kehon tilavuusyksikköä kohti. Integroimalla osilla, ottaen huomioon rajattoman väliaineen, joka ei muutu äärettömyydessä, suuntaa integrointipinnan äärettömyyteen, jolloin sillä σ ik = 0 saadaan:

∫ δ RdV = − ∫ σ ik δ uik dV .

Siten löydämme:

δ R = − σ ikδ u ik .

Tuloksena oleva kaava määrittää muodonmuutostensorin muutostyön, joka määrittää kehon sisäisen energian muutoksen.

Elastisuusteoria tutkii elastisten kappaleiden jännityksiä ja muodonmuutoksia, jotka syntyvät niihin kohdistuvien ulkoisten voimien (kuormien) vaikutuksesta.

Elastisuus- tämä on muotoaan ja kokoaan kuormituksen alaisena muuttaneen rungon kyky palata alkuperäiseen kokoonsa ja muotoonsa kuorman poistamisen jälkeen. Jos kehon koon muutos riippuu lineaarisesti kuormituksesta, niin lineaarinen joustavuus. Tätä ominaisuutta omaavaa kappaletta kutsutaan täydellisen elastinen. Ihanteellisen joustavuuden omaavia materiaaleja ovat teräs, valurauta, alumiini, puu, lasi. Jos kehon koon muutos riippuu epälineaarisesti kuormituksesta, puhutaan epälineaarisesta kimmoisuudesta. Esimerkiksi kumilla on epälineaarinen elastisuus. Me opiskellaan lineaarinen elastisuusteoria.

Riisi. 1 - Lineaarinen (1) ja epälineaarinen (2) kimmoisuus

Jos jokaisessa pisteessä kappaleen ominaisuudet ovat samat kaikkiin suuntiin, niin tällaista kappaletta kutsutaan isotrooppinen. Teknisellä tarkkuudella terästä voidaan pitää isotrooppisena. Jos jokaisessa pisteessä kappaleen ominaisuudet ovat erilaisia ​​eri suuntiin, niin tällaista kappaletta kutsutaan anisotrooppinen. Tällaisia ​​ominaisuuksia on puulla, jolla on joitakin ominaisuuksia pitkin syyä ja toisia poikki syyn. Me opiskellaan lineaarinen teoria isotrooppisten kappaleiden elastisuudesta.

Lisäksi otamme käyttöön seuraavat rajoitukset:

1. Runkojen materiaali on homogeeninen, eli sen ominaisuudet ovat samat kaikissa kehon kohdissa;
2. Runkojen materiaalilla on jatkuvuus ts. rungon muodonmuutos tapahtuu ilman repeämiä;
3. Huomioon otetaan vain kappaleet, joiden muodonmuutokset ja siirtymät kuormitettuina ovat pieniä verrattuna kappaleen kokoon.

Siten elastisen tasapainon stabiilisuusongelmat, voimakkaasti kaarevien tankojen laskelmat ja levyjen ja kuorien taivutukset, joiden taipuma on verrattavissa vaipan paksuuteen, jätetään huomioimatta. Näitä ongelmia harkitaan geometrisesti epälineaarinen elastisuusteoria.

Lineaarinen kimmoteoria tutkii sisäisiä voimia, jotka syntyvät ihanteellisesti elastisessa kappaleessa ulkoisten voimien vaikutuksesta.

Siten voimat jaetaan ulkoisiin (eri kappaleiden vuorovaikutusvoimat) ja sisäisiin (voimiin, jotka syntyvät kahden vierekkäisen elementin välillä kehon sisällä). Ulkoisia voimia voidaan kohdistaa pisteeseen (keskitetty), kappaleen pintaa pitkin (pinta) ja jokaiseen kappaleen pisteeseen (tilavuus).

Tarkastellaan kehoa tasapainossa ulkoisten voimien vaikutuksesta F1, F2, …, Fn (kuvio 2a). Kehon osien välillä syntyy sisäisiä vuorovaikutusvoimia, jotka voivat tuhota kehon. Näiden voimien määrittämiseksi meitä kiinnostavalla alueella jaamme kehon henkisesti kahteen osaan ja hylkäämme oikean osan, korvaamme sen toiminnan jäljellä olevalla osalla tuloksena olevalla voimalla. R (Kuvio 2b).

Olkoon OX-akseli suunnattu kohtisuoraan leikkaustamme vastaan. Tällöin OY- ja OZ-akselit sijaitsevat leikkaustasossa. Tulosvoiman projektio P OX-akselilla antaa meille normaalin Px , ja OY- ja OZ-akseleilla - tangentit Py Ja Pz tämän voiman komponentteja.

Todellisuudessa voima P sitä ei levitetä johonkin kohtaan, vaan se jakautuu epätasaisesti koko leikkaukselle. Tämän voiman intensiteettiä eli pinta-alayksikköä kohti vaikuttavaa voimaa kutsutaan Jännite. Täysi jännite pisteessä määritellään suhteen rajaksi:

Normaali jännite pisteessä määritellään suhteen rajaksi

Leikkausjännitys pisteessä määritellään suhteiden rajoituksiksi

Ensimmäinen indeksi leikkausjännityksille ilmaisee leikkausjännitysten suuntaa ja toinen indeksi on akseli, joka on normaali sen pinnan suhteen, johon leikkausjännitykset vaikuttavat. Leikataan mielivaltaisesti alkeissuuntaissärmiö, jonka sivut ovat dx, dy ja dz, tarkasteltavan leikkauksen mielivaltaisesta pisteestä ja tarkastellaan tämän suuntaissärmiön pintoihin vaikuttavia jännityksiä (kuva 3).

Sitten jokaisessa pisteessä on jännityksiä, joita edustaa matriisi nimeltä stressitensori.

On selvää, että jännitystensorin komponentit riippuvat koordinaattijärjestelmän valinnasta.

Jännitystensorin komponenttien kautta voidaan löytää ns. ekvivalenttijännitys, joka ei riipu koordinaattijärjestelmän valinnasta. Ekvivalenttijännitystä voidaan verrata materiaalin lujuusominaisuuteen, jota edustaa sallittu jännitys.

Sitten lujuusehto kirjoitetaan tunnetussa muodossa:

Elastisuusteorian tehtävänä on määrittää mahdollisimman tarkasti jännitystensorin komponentit ja siten ekvivalenttijännitys.

Merkitään kaavamaisesti eri teorioiden käyttöalueet osien jännitys-venymätilan kuvaamiseksi lievän teräsnäytteen vetolujuuskaaviossa ennen rikkoutumista.

Riisi. 4 - Erilaisten teorioiden käyttöalueet: I - kimmoteoria, II - plastisuusteoria, III - murtumismekaniikka

Jos jännitykset laskelmissa ovat suuremmat kuin myötöraja st (nykyaikaisessa merkinnässä Rp ), niitä kutsutaan ehdollisesti elastisiksi. On olemassa menetelmiä, jotka mahdollistavat osan elastis-plastisen ja plastisen tilan tutkimisen elastisten ratkaisujen avulla. Tarkastellaanpa elastisuusteorian yleistä rakennetta.

Riisi. 6 - Lohkokaavio elastisuusteoriasta

70-luvulta lähtien modernia matemaattista laitteistoa on useimmiten käytetty elastisuusteorian teoksissa. Muodollinen matemaattinen laitteisto on kohteiden ja niihin kohdistuvien toimien nimeäminen ja formalisointi. Elastisuusteoriassa käytetään tensorilaskentaa. Kurssillamme käytämme tensorilaskentaa vain havainnollistamaan laajennettujen lausekkeiden lyhyttä merkintää. Lyhyen kirjoittamisen mahdollistamiseksi koordinaattiakselit ja jännitysindeksit ei ole merkitty kirjaimilla, vaan numeroilla.

Tensorin arvo on siihen liitettyjen indeksien lukumäärä. Kuten myöhemmin osoitetaan, jännitystensori on toisen asteen tensori. Määritelmän mukaan toisen asteen tensori on suureiden kokoelma Aij, jotka riippuvat kahdesta indeksistä ja muunnetaan, kun koordinaattijärjestelmä muuttuu kaavojen mukaan

Tensorin arvo ei liity avaruuden ulottuvuuteen! Tilan koko määräytyy kunkin indeksin saamien arvojen lukumäärän mukaan. Jos i, j, k, l ota arvot 1, 2, 3, sitten tensori (*) määritellään kolmiulotteisessa avaruudessa. Säännöt lausekkeiden tiivistämiseen ja laajentamiseen: sisäisillä (monomiaalisilla) indekseillä k, l summaus suoritetaan ja päästä päähän (toistuu vasemmalla ja oikealla) indeksit i, j määrittää yhtälöiden lukumäärä. Esimerkki arvojen lausekkeen laajennuksesta (*). minä = 2, j = 3:

Toinen merkintöjen lyhenne on se, että osittaiset derivaatat merkitään alaindeksillä ja pilkulla. Esimerkiksi:

Sitten merkintä tarkoittaa useita suhteita:

Jatkossa huolehdimme siitä, että pisteen jännitystaulukko on toisen asteen tensori, eli se tyydyttää relaatiot (*) koordinaattijärjestelmän muuttuessa.

- – mekaniikan ala, joka tutkii fysikaalisten vaikutusten aiheuttamia kimmoisia muodonmuutoksia ja jännityksiä kiinteässä kappaleessa. [Terminologinen rakentamisen sanakirja 12 kielellä] Termiotsikko: Yleiset termit Encyclopedia headings: Abrasive... ... Rakennusmateriaalien termien, määritelmien ja selitysten tietosanakirja

elastisuusteoria- Tiede kuormitetun kiinteän aineen jännitys- ja muodonmuutostilojen muutosmalleista materiaalin elastisen työn rajoissa [Terminologinen rakentamisen sanakirja 12 kielellä (VNIIIS Gosstroy USSR)] FI kimmoteoria DE.. . Teknisen kääntäjän opas

elastisuusteoria- tamprumo teorija statusas T ala fizika atitikmenys: engl. elastisuusteoria vok. Elastizitätstheorie, f rus. elastisuusteoria, f pranc. théorie d'élasticité, f … Fizikos terminų žodynas

JOUSTUSTEORIA- tiede kuormitetun kiinteän aineen jännitys- ja muodonmuutostilojen muutoslakeista materiaalin elastisen työn rajoissa (bulgaria; Български) kimmoisuusteoria (tšekin kieli; Čeština) teorie pružnosti (saksa... ... Rakennussanakirja

Elastisuuden ja plastisuuden teoria- koostuu kahdesta alaosasta: elastisuusteoria, plastisuusteoria. Luettelo sanan tai lauseen merkityksistä... Wikipedia

JOUSTUSTEORIA- mekaniikan ala, jossa tutkitaan lepäävissä tai liikkuvissa elastisissa kappaleissa kuormituksen vaikutuksesta syntyviä siirtymiä, muodonmuutoksia ja jännityksiä. U. t. lujuus-, muodonmuutos- ja vakavuuslaskelmien perusta rakentamisessa, liiketoiminnassa, ilmailussa ja... ... Fyysinen tietosanakirja

MATEMAATTINEN JOUSTUSTEORIA- mekaniikan ala, jossa tutkitaan lepäävissä tai liikkuvissa kimmoisissa kappaleissa kuormituksen vaikutuksesta syntyviä siirtymiä, muodonmuutoksia ja jännityksiä. Stressiä missä tahansa kehon kohdassa luonnehditaan 6 stressikomponentin arvolla: normaali... Matemaattinen tietosanakirja

Elastisuusteoria- Continuum-mekaniikka Continuum Klassinen mekaniikka Massan säilymislaki Liikemäärän säilymislaki ... Wikipedia

Elastisuusteoria- mekaniikan ala (katso Mekaniikka), joka tutkii siirtymiä, muodonmuutoksia ja jännityksiä, jotka syntyvät elastisissa kappaleissa levossa tai liikkeessä kuormituksen vaikutuksesta. U. t. teoreettinen perusta lujuuden, muodonmuutosten ja... ... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

Plastisuusteoria- Plastisuusteoria on jatkumomekaniikan haara, jonka tavoitteena on määrittää jännitykset ja siirtymät muotoutuvassa kappaleessa kimmoisuuden rajojen yli. Tarkkaan ottaen plastisuusteoriassa oletetaan, että jännitystila... ... Wikipedia

Kirjat

• Elastisuusteoria, M. Filonenko-Borodich, Lukijoille tarjottu lyhyt elastisuusteorian kurssi perustuu kirjoittajan Moskovan valtionyliopistossa pitämiin luentoihin. M. V. Lomonosov. Näillä luennoilla on... Luokka: Matematiikka Kustantaja: YOYO Media, Valmistaja: Yoyo Media, Osta hintaan 2200 UAH (vain Ukraina)
• Elastisuusteoria, M. Filonenko-Borodich, Lukijoille tarjottu "lyhyt kurssi elastisuusteoriasta" on koottu kirjailijan Moskovan valtionyliopistossa pitämien luentojen perusteella. M. V. Lomonosov. Nämä luennot... Luokka: Matematiikka ja luonnontieteet Sarja: Kustantaja: