Työn lähde: Ratkaisu 4954. Unified State Exam 2016 Mathematics, I.V. Jaštšenko. 36 vaihtoehtoa. Vastaus.

Tehtävä 19. Kutsutaan luonnollista lukua palindromiksi, jos sen desimaalimuodossa kaikki numerot on järjestetty symmetrisesti (ensimmäinen ja viimeinen numero ovat samat, toinen ja toiseksi viimeinen jne.). Esimerkiksi numerot 121 ja 953359 ovat palindromeja, mutta luvut 10 ja 953953 eivät ole palindromeja.

a) Anna esimerkki palindromiluvusta, joka on jaollinen 45:llä.

b) Kuinka monta viisinumeroista palindromilukua on olemassa 45:llä jaollisia?

c) Etsi kymmenenneksi suurin palindromiluku, joka on jaollinen 45:llä.

Ratkaisu.

a) Yksinkertaisin vaihtoehto olisi palindromiluku 5445, joka on jaollinen 45:llä.

Vastaus: 5445.

b) Jaetaan luku 45 alkutekijöiksi, saadaan

eli luvun on oltava jaollinen sekä 5:llä että 9:llä. Merkki siitä, että luku on jaollinen 5:llä, on luvun 5 läsnäolo luvun lopussa (emme ota huomioon lukua 0, koska se ei sovi). Saamme palindromiluvun muodossa 5aba5, jossa a, b ovat luvun numeroita. Merkki siitä, että luku on jaollinen 9:llä, on numeroiden summa

täytyy olla jaollinen 9:llä. Tästä ehdosta saamme:

Jos b=0: ;

Jos b=1: ;

Jos b=2: ;

Jos b=3: ;

Jos b=5: ;

b = 6: ;

b=7: ;

Esityksen kuvaus yksittäisillä dioilla:

1 dia

Dian kuvaus:

Mikä on palindromi? Työn teki matematiikan opettaja Galina Vladimirovna Prikhodko

2 liukumäki

Dian kuvaus:

Ongelma Autoilija katsoi autonsa mittaria ja näki symmetrisen luvun (palindromi) 15951 km (lue sama vasemmalta oikealle tai päinvastoin). Hän ajatteli, että toista symmetristä numeroa ei todennäköisesti ilmesty lähiaikoina. Kahden tunnin kuluttua hän kuitenkin löysi uuden symmetrisen luvun. Millä vakionopeudella autoilija ajoi näiden kahden tunnin aikana? Ratkaisu: Seuraava symmetrinen luku on 16061. Ero on 16061 - 15951 = 110 km. Jos jaat 110 km kahdella tunnilla, saat nopeudeksi 55 km/h. Vastaus: 55 km/h

3 liukumäki

Dian kuvaus:

Yhtenäisen valtiontutkinnon tehtävä a) Anna esimerkki palindromiluvusta, joka on jaollinen 15:llä. b) Kuinka monta viisinumeroista palindromilukua on jaollinen 15:llä? c) Etsi 37. suurin palindromiluku, joka on jaollinen 15:llä. Vastaukset: a) 5115; b) 33; c) 59295

4 liukumäki

Dian kuvaus:

Mitä tarkoittaa palindromi? Sana palindrom tulee kreikan sanasta palindromos, joka tarkoittaa "takaisin juoksemassa". Palindromit voivat olla paitsi numeroita myös sanoja, lauseita ja jopa tekstejä.

5 liukumäki

Dian kuvaus:

Matematiikassa numerot - palindromit luetaan samalla tavalla sekä vasemmalta oikealle että oikealta vasemmalle. Esimerkkejä ovat kaikki yksinumeroiset luvut, kaksinumeroiset luvut muotoa αα, kuten 11 ja 99, kolminumeroiset luvut muotoa αβα, kuten 535 ja niin edelleen. Lisäksi kaikki kaksinumeroiset luvut antavat palindromeja (suurin askelmäärä - 24 - vaatii numerot 89 ja 98) Mutta onko numero 196 palindromi, ei vielä tiedetä. Numeeriset palindromit 676 (pienin palindromiluku, joka on ei-palindromin neliö, on 26). 121 (pienin palindromiluku, joka on palindromin neliö, on 11).

6 liukumäki

Dian kuvaus:

Superpalindromi Jotkut palindromiset lauseet ja lauseet ovat olleet meille tuttuja muinaisista ajoista lähtien. Sitten niille annettiin usein maaginen merkitys. Maagisiin palindromeihin kuuluu myös maagisia neliöitä, esimerkiksi SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS (käännettynä "Arepon kylväjä tuskin voi pitää pyöränsä").

7 liukumäki

Dian kuvaus:

Tällä hetkellä palindromilla ei ole kaikkia maagisia voimia ja se on yksinkertainen sanapeli, jonka avulla voit käyttää vähän aivojasi. Useimmat palindromit ovat suhteellisen yhtenäisiä sanoja, mutta on myös mielenkiintoisia yhtenäisiä ja ymmärrettäviä lauseita, esimerkiksi "Mutta näkymätön arkkienkeli makasi temppelissä ja hän oli ihmeellinen." Jos puhumme palindromisista sanoista, niin maailman pisimpään sanaa pidetään ”SAIPPUAKIVIKAUPPIAS”, joka suomesta käännettynä tarkoittaa ”saippuan myyjää”.

8 liukumäki

Dian kuvaus:

Tehtävä: Selvitä kuinka usein alkulukujen joukossa esiintyy symmetrisiä lukuja. Jos luvut ovat alle 1000, tämä on helppo selvittää alkulukutaulukosta. Yksinkertaisten kaksinumeroisten lukujen joukossa on vain yksi symmetrinen luku - 11. Sitten löysimme: 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 797, 919, 929.

Dia 9

Dian kuvaus:

Todistus Nelinumeroisten lukujen joukossa ei ole symmetrisiä alkulukuja. Todistetaan se. Nelinumeroinen symmetrinen luku on muotoa abba. 11:llä jaollisuuskriteerin mukaan parittomien paikkojen lukujen summan ja parittomien paikkojen lukujen summan välinen ero: (a + b) - (b + a) = 0. Tämä tarkoittaa, että kaikki nelinumeroiset symmetriset luvut ovat jaollisia 11:llä, eli yhdistelmälukuja. Vastaavasti voidaan todistaa, että kaikkien 2n-numeroisten symmetristen lukujen joukossa ei ole alkulukuja.

10 diaa

Dian kuvaus:

Alkulukuja sataan asti on 25, joista yksi on symmetrinen, mikä on 4%. Jopa 1000 alkulukua tulee 168:ksi. Symmetriset luvut - 16. Tämä on noin 9,5%. 10 000 asti symmetristen lukujen määrä ei muutu. Jopa 1000000 - 78498 alkulukua. Symmetrisiä lukuja on nyt 109. Tämä on noin 0,13 %. On selvää, että symmetristen lukujen prosenttiosuus on laskussa, mutta ei ole ollenkaan mahdotonta sanoa, että hyvin suurten lukujen joukossa alkuluvut ovat symmetrisiä.

11 diaa

Dian kuvaus:

Minulla on idea. Numeeriset palindromit voivat olla tulosta muiden merkkien operaatioista. Martin Gardner, kirjan "On idea!" kirjoittaja, joka on melko tunnettu tieteen popularisoija, esittää tietyn hypoteesin. Jos otat luonnollisen luvun (mikä tahansa) ja lisäät siihen sen käänteisen (joka koostuu samoista luvuista, mutta käänteisessä järjestyksessä), toista sitten toiminto, mutta tuloksena olevalla summalla, niin yhdessä vaiheessa saat palindromin . Joissain tapauksissa riittää, että summa suoritetaan kerran: 213 + 312 = 525. Mutta yleensä tarvitaan vähintään kaksi operaatiota. Joten jos esimerkiksi otamme luvun 96, niin suorittamalla peräkkäinen lisäys, palindromi voidaan saada vain neljännellä tasolla: 96 + 69 = 165 165 + 651 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 hypoteesin ydin on, että jos teet minkä tahansa määrän, tietyn määrän toimien jälkeen saat varmasti palindromin. Esimerkkejä löytyy paitsi lisäksi, myös eksponentioinnista, juurien poimimisesta ja muista operaatioista.

12 diaa

Dian kuvaus:

Esimerkki1 Otetaan luku 619 Luetaan se 1 askel oikealta vasemmalle 916 Lisätään kaksi numeroa 1535 “käännä se ympäri” 5351 2. vaihe Lisätään 6886 Luku 6886 on palindromi. Lisäksi se saatiin vain kahdessa vaiheessa. Lukemalla sitä oikealta vasemmalle tai vasemmalta oikealle, saamme saman numeron.

Dia 13

Dian kuvaus:

Esimerkki 2 Otetaan numero 95 1 askel. Vaihe 1 "Käännetään se ympäri" 59 Lisää se 154 Vaihe 2. "Käännetään" 451 2. vaihe Lisätään 605 3. vaihe "Käännetään se" 506 3. vaihe Lisätään 1111 Numero 1111 on palindromi.

Dia 14

Dian kuvaus:

Pinocchio Luultavasti kaikki muistatte kirjan Pinokkion seikkailuista. Muistatko kuinka tiukka Malvina opetti hänet kirjoittamaan? Hän käski häntä kirjoittamaan muistiin seuraavan lauseen: JA RUSU PUTOI AZORIN KÄSÄLLE - se on toinen palindromi.

15 diaa

Dian kuvaus:

Palindromit kirjallisuudessa VILU PAINOI MUNAKOISTOA, SINÄ, SASHA, OLET TÄYNÄ, OTTASSA, BOOM ARGENTIINA MUUTUU NEGRAksi, MUTTA SIN OLET OHUT, KUIN ÄÄNEEN, ADA HUNTERS JA RAJOITUS

16 diaa

Dian kuvaus:

Sanat-palindromit SHALASH, NAGAN, CASSACK, KOK, TOPOT, ROOTTORI, KABAC, PULP, Isoisä, TUTKA

Dia 17

Dian kuvaus:

Palindromiset lauseet PYÖRÄ PYSÄTYI, EN OLE VALI VELI SENYA SYÖN KÄÄRMEÄ JA KOIRA BOSA ARGENTIINA ON NEEKRI ETSIKSI TAKSIA ARVOSTAA NEGROA ARGENTIinalainen LYOSHA LÖYDIN HYLLYSTÄ VIKAN

18 dia

Dian kuvaus:

Palindromit vierailla kielillä "Madam, olen Adam" - miehen esittely naiselle (rouva, olen Adam). Tähän nainen voi vastata vaatimattomasti "siirtimellä": "Eeva" (Eeva). Se ei ole vain lauseita tai kirjainjoukkoja, jotka ovat symmetrisiä. Kilpaile nopea, turvallinen auto (Race nopea, turvallinen auto) Näetkö Jumalan? (Näkevätkö hanhet Jumalan?) Ei koskaan pariton tai parillinen (Ei koskaan pariton tai parillinen) Älä nyökkää (Älä nyökkää) Dogma: Minä olen Jumala (Dogma: Minä olen Jumala) Rouva, Eedenissä olen Adam (Rouva, paratiisissa) Olen Adam) Ah, Saatana näkee Natashan (Ah, Saatana näkee Natashan) Jumala näki, että olin koira (Jumala näki, että olin koira) Pidän parempana Pi:tä (minä mieluummin π) Liian kuuma huutaakseen (Liian kuuma huutaakseen) )

Dia 19

Dian kuvaus:

Palindromit-runot Harvoin pidän kädelläni tupakantumppia... Istun tässä vakavissaan, luon kiivaasti hiljaisuudessa, nauran kerran, minulla on onni, nauran kerran - Kyllä, olen iloinen ! Voit lukea sen alusta tai lopusta.

20 diaa

Dian kuvaus:

Musiikissa palindromisia musiikkikappaleita soitetaan "tavalliseen tapaan" sääntöjen mukaan. Kun kappale on valmis, nuotit käännetään. Sitten kappale soitetaan uudelleen, mutta melodia ei muutu. Iteraatioita voi olla kuinka monta tahansa, mutta ei tiedetä, mikä on pohja ja mikä on yläosa. Näitä musiikkikappaleita voi soittaa kaksi henkilöä, kun he lukevat molemmin puolin nuotteja samanaikaisesti. Esimerkkejä tällaisista palindromisista teoksista ovat Moschelesin kirjoittama The Way of the World ja Mozartin säveltämä Table Tune for Two.

Formulaatio. Nelinumeroinen luku annetaan. Tarkista, onko se palindromi. Huomautus: Palindromi on numero, sana tai teksti, joka lukee saman vasemmalta oikealle ja oikealta vasemmalle. Esimerkiksi meidän tapauksessamme nämä ovat numerot 1441, 5555, 7117 jne.

Esimerkkejä muista mielivaltaisen desimaalin palindromisista luvuista, jotka eivät liity ratkaistavaan ongelmaan: 3, 787, 11, 91519 jne.

Ratkaisu. Numeron syöttämiseen näppäimistöltä käytämme muuttujaa n. Syötetty luku kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon ja on nelinumeroinen, joten se on selvästi suurempi kuin 255, joten tyyppi tavu ei sovellu meille kuvaamaan sitä. Sitten käytämme tyyppiä sana.

Mitä ominaisuuksia palindromisilla luvuilla on? Yllä olevista esimerkeistä on helppo nähdä, että niiden molemmilla puolilla identtisen ”luettavuutensa” vuoksi ensimmäinen ja viimeinen numero, toinen ja toiseksi viimeinen jne. ovat niissä samat, keskelle asti. Lisäksi, jos numerossa on pariton määrä numeroita, keskimmäinen numero voidaan jättää huomioimatta tarkistuksessa, koska kun yllä oleva sääntö täyttyy, numero on palindromi sen arvosta riippumatta.

Ongelmassamme kaikki on vieläkin hieman yksinkertaisempaa, koska syöte on nelinumeroinen luku. Tämä tarkoittaa, että ongelman ratkaisemiseksi meidän tarvitsee vain verrata luvun 1. numeroa neljänteen ja 2. numeroa 3. Jos molemmat yhtälöt ovat tosia, luku on palindromi. Jäljelle jää vain hankkia luvun vastaavat numerot yksittäisissä muuttujissa ja sitten ehdollisen operaattorin avulla tarkistaa molempien yhtälöiden toteutuminen Boolen (loogisen) lausekkeen avulla.

Päätöksentekoon ei kuitenkaan kannata kiirehtiä. Ehkä voimme yksinkertaistaa tuloksena olevaa piiriä? Otetaan esimerkiksi jo edellä mainittu luku 1441. Mitä tapahtuu, jos jaamme sen kahdeksi kaksinumeroiseksi luvuksi, joista ensimmäinen sisältää alkuperäisen tuhansien ja sadan paikan ja toinen kymmenien ja yksiköiden paikka alkuperäisestä. Saamme luvut 14 ja 41. Jos nyt toinen luku korvataan sen käänteisellä merkinnällä (teimme tämän vuonna tehtävä 5), niin saamme kaksi yhtä suurta lukua 14 ja 14! Tämä muunnos on varsin ilmeinen, koska palindromi luetaan samalla tavalla molempiin suuntiin, se koostuu kahdesti toistetusta numeroyhdistelmästä ja yksi kopioista käännetään yksinkertaisesti taaksepäin.

Tästä päätelmä: sinun on jaettava alkuperäinen luku kahdeksi kaksinumeroiseksi, käännettävä yksi niistä ja verrattava sitten saatuja lukuja ehdollisen operaattorin avulla jos. Muuten, saadaksemme käänteisen tallennuksen luvun toisesta puoliskosta, meidän on luotava kaksi muuta muuttujaa käytettyjen numeroiden tallentamiseksi. Merkitään ne nimellä a Ja b, ja ne ovat sellaisia tavu.

Kuvataan nyt itse algoritmia:

1) Syötä numero n;

2) Anna numeron yksikkönumero n muuttuja a, hävitä se sitten. Sitten annamme kymmenien paikan n muuttuja b ja myös hävitä se:

3) Määritä muuttuja a numero, joka edustaa muuttujiin tallennettua käänteistä merkintää a Ja b alkuperäisen numeron toinen osa n jo tunnetun kaavan mukaan:

4) Nyt voimme käyttää Boolen lauseketestiä tuloksena olevien lukujen yhtäläisyyteen n Ja a operaattorin apua jos ja järjestä vastauksen tulos käyttämällä haaroja:

jos n = a then writeln('Kyllä') else writeln('Ei');

Koska ongelman ilmaisu ei kerro nimenomaisesti, missä muodossa vastaus tulee näyttää, pidämme loogisena näyttää se käyttäjälle intuitiivisella tasolla, joka on saatavilla omalla kielellä. Pascal. Muista tämä käyttämällä operaattoria kirjoittaa (kirjoitettu) voit näyttää Boolen tyyppisen lausekkeen tuloksen, ja jos tämä lauseke on tosi, näytetään sana 'TRUE' (true englanniksi tarkoittaa "tosi"), jos false - sana FALSE (false englanniksi) "väärä"). Sitten edellinen rakentaminen jos voidaan korvata

1. ohjelma PalindromeNum;
2. n: sana;
3. a, b: tavu;
4. alkaa
5. readln(n);
6. a:= n mod 10;
7. n: = n div 10;
8. b: = n mod 10;
9. n: = n div 10;
10. a:= 10 * a + b;
11. writeln(n = a)

Jakovlev Danil

Lähes kaikki matemaattiset käsitteet perustuvat tavalla tai toisella luvun käsitteeseen, ja minkä tahansa matemaattisen teorian lopputulos ilmaistaan ​​yleensä numeroiden kielellä. Monet niistä, erityisesti luonnolliset luvut, on tiettyjen ominaisuuksien ja ominaisuuksien mukaan ryhmitelty erillisiin rakenteisiin (kokoelmiin) ja niillä on omat nimensä. Siten tutkimuksen tarkoituksena on tutustua palindromisiin lukuihin

Ladata:

Esikatselu:

VENÄJÄN FEDERAATIO

Kunnan budjettikoulutuslaitos

"Yleiskoulu nro 7"

Nižnevartovskin kaupunki

Tutkimustyö
koulun nuorten tutkijoiden tieteelliseen ja käytännön konferenssiin

Palindromit matematiikassa

2016

JOHDANTO 4

PÄÄOSA................................................ ................................................... ......................................5

PÄÄTELMÄ 9

VIITTEET 11

Hypoteesi
Alkuluvut ovat osa lukuja, jotka muodostavat kaikki luonnolliset luvut.
Tutkimalla alkulukujoukkoa voidaan saada hämmästyttäviä numeerisia joukkoja niiden poikkeuksellisilla ominaisuuksilla.

Tutkimuksen tarkoitus
Lähes kaikki matemaattiset käsitteet perustuvat tavalla tai toisella luvun käsitteeseen, ja minkä tahansa matemaattisen teorian lopputulos ilmaistaan ​​yleensä numeroiden kielellä. Monet niistä, erityisesti luonnolliset luvut, on tiettyjen ominaisuuksien ja ominaisuuksien mukaan ryhmitelty erillisiin rakenteisiin (kokoelmiin) ja niillä on omat nimensä. Täten,tutkimuksen tarkoituson johdatus palindromisiin lukuihin.

Tutkimustavoitteet

1. Tutustu tutkimusaiheeseen liittyvään kirjallisuuteen.

2. Harkitse palindromien ominaisuuksia.

3. Selvitä, mikä rooli alkuluvuilla on meitä kiinnostavien lukujen ominaisuuksien muuttamisessa.

Opintojen aihe– joukko alkulukuja.

Tutkimuksen kohde- numerot ovat palindromeja.

Tutkimusmenetelmät:

• teoreettinen
• kysely
• analyysi

JOHDANTO

Eräänä päivänä keilaillessani huomasin epätavallisia numeroita: 44, 77, 99, 101 ja mietin, mitä nämä luvut ovat? Internetistä katsoessani huomasin, että nämä luvut ovat palindromeja.

Palindromi (kreikasta πάλιν - "takaisin, taas" ja kreikan kielestä δρóμος - "juokse"), joskus myös palindromonia, alkaen gr. palindromos juoksemassa takaisin).

Puhuttaessa siitä, mitä palindromi on, on sanottava, että "muuttajat" on tunnettu muinaisista ajoista lähtien. Usein niille annettiin maaginen pyhä merkitys. Ilmestyi palindromeja, joista löytyy esimerkkejä useilta kieliltä, ​​oletettavasti keskiajalla.

Palindromi voidaan saada muiden numeroiden operaatioiden tuloksena. Joten kirjassa "Minulla on idea!" Kuuluisa tieteen popularisoija Martin Gardner mainitsee "palindromihypoteesin" tämän ongelman yhteydessä.Jos otat luonnollisen luvun (mikä tahansa) ja lisäät siihen sen käänteisen (joka koostuu samoista luvuista, mutta käänteisessä järjestyksessä), toista sitten toiminto, mutta tuloksena olevalla summalla, niin yhdessä vaiheessa saat palindromin . Joissain tapauksissa riittää, että summa suoritetaan kerran: 213 + 312 = 525. Mutta yleensä tarvitaan vähintään kaksi operaatiota. Joten jos esimerkiksi otamme luvun 96, niin suorittamalla peräkkäinen lisäys, palindromi voidaan saada vain neljännellä tasolla: 96 + 69 = 165 165 + 561 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 hypoteesin ydin on, että jos teet minkä tahansa määrän, tietyn määrän toimien jälkeen saat varmasti palindromin.

PÄÄOSA

Numerot ovat palindromeja

Numeroiden - palindromien löytäminen matematiikassa ei ollut vaikeaa. Yritin kirjoittaa numeroita näille numeroille - palindromeille.

Kaksinumeroisissa luvuissa - palindromeissa yksiköiden lukumäärä on sama kuin kymmenien lukumäärä.

– kolminumeroisissa luvuissa – palindromeissa satojen määrä on aina sama kuin ykkösten määrä.

Nelinumeroisissa luvuissa - palindromeissa tuhansien yksiköiden lukumäärä on sama kuin yksiköiden lukumäärä ja satojen lukumäärä kymmenien määrän kanssa jne.

Kaavat ovat palindromeja

Palindromiset kaavat herättivät kiinnostukseni. Kaavoilla - palindromeilla tarkoitan lauseketta (joka koostuu lukujen summasta tai erosta), jonka tulos ei muutu luettaessa lauseketta oikealta vasemmalle.

Jos lisäät numeroita, jotka ovat palindromeja, summa ei muutu. Kaksinumeroisten lukujen lisääminen on melko yksinkertaista, päätin kirjoittaa kolminumeroisten lukujen summan.

Esimerkki: 121+343=464

Yleisesti ottaen se voidaan kirjoittaa näin:

+ = +

(100x + 10x+ x) + (100v + 10v + y) = (100v + 10v + y) + (100x + 10x + x)

100x + 10x+ x + 100v + 10v + y = 100v + 10v + y + 100x +10x + x

111x + 111v = 111v + 111x

111(x + y) = 111(y + x)

x + y = y + x

Ehtojen uudelleenjärjestely ei muuta summaa(lisäyksen kommutatiivinen ominaisuus).

Se voidaan todistaa täsmälleen samalla tavalla 4-, 5- ja n-numeroisille luvuille.

Tarkastellaan kaikkia tällaisten kaksinumeroisten lukujen pareja, jotta niiden vähennyksen tulos ei muutu oikealta vasemmalle luetun eron seurauksena.

Mikä tahansa kaksinumeroinen luku voidaan esittää numerotermien summana:

10x 1 + y 1 = 10x 2 + y 2

- = (10x 1 + y 1) – (10x 2 + y 2)

- = (10у 2 + x 2) – (10у 1 + x 1)

(10 x 1 + y 1) – (10 x 2 + y 2) = (10 v 2 + x 2) – (10 v 1 + x 1)

10x 1 + y 1 - 10x 2 - y 2 = 10 v 2 + x 2 - 10 v 1 - x 1

10x 1 + x 1 + y 1 + 10 v 1 = 10 v 2 + y 2 + 10 x 2 + x 2

11 x 1 + 11 v 1 = 11 x 2 + 11 v 2

11(x 1 + y 1) = 11 (x 2 + y 2)

x 1 + y 1 = x 2 + y 2

Tällaisissa luvuissa on yhtä suuri numeroiden summa.

Nyt voit tehdä seuraavat erot:

41 – 32 = 23 – 14

46 – 28 = 82 – 64

52–16 = 61–25 jne.

Nimelliset palindromit

Palindromeja löytyy joistakin numerosarjoista, joilla on omat nimensä: Fibonacci-numero, Smithin numero, Repdigit, Repunit.

Fibonaccin numerotnimeä numerosarjan elementit. Siinä jokainen sarjan seuraava numero saadaan summaamalla kaksi edellistä numeroa.

Esimerkki: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

Smithin numero - yhdistelmäluku, jonka numeroiden summa on yhtä suuri kuin sen alkujakajien numeroiden summa.

Esimerkki: 202=2+0+2=4

Repdigit - luonnollinen luku, jonka kaikki numerot ovat samat.

Kokoa uudelleen - luonnollinen luku, joka on kirjoitettu käyttämällä vain yksiköitä

Numeerinen rakentaja

Palindromisista alkuluvuista järjestämällä ne tietyllä tavalla, vaikkapa rivi riviltä, ​​voit luoda symmetrisiä hahmoja, jotka erottuvat alkuperäisestä toistuvien numeroiden kuvioista.

Tässä on esimerkiksi kaunis yhdistelmä yksinkertaisia ​​palindromeja, jotka on kirjoitettu numeroilla 1 ja 3 (kuva 1). Tämän numerokolmion erikoisuus on, että sama fragmentti toistetaan kolme kertaa ilman, että kuvion symmetria rikkoutuu.

Riisi. 1

On helppo nähdä, että rivien ja sarakkeiden kokonaismäärä on alkuluku (17). Lisäksi alkuluvut ja numeroiden summat: punaisella korostetut fragmentit (17); jokainen rivi paitsi ensimmäinen (5, 11, 17, 19, 23); kolmas, viides, seitsemäs ja yhdeksäs sarake (7, 11) ja kolmion (11) sivut muodostavien yksiköiden "tikkaat". Lopuksi, jos siirrytään rinnakkain osoitettujen "sivujen" kanssa ja lasketaan yhteen kolmannen ja viidennen rivin numerot erikseen (kuva 2), saadaan vielä kaksi alkulukua (17, 5).

Riisi. 2

Jatkamalla rakentamista voit rakentaa monimutkaisempia kuvioita tämän kolmion perusteella. Joten ei ole vaikeaa saada toista kolmiota, jolla on samanlaiset ominaisuudet, siirtymällä lopusta, eli aloittamalla viimeisestä numerosta, yliviivaamalla jokaisessa vaiheessa kaksi identtistä symmetrisesti sijaitsevaa numeroa ja järjestämällä tai korvaamalla muut - 3 yhdellä ja päinvastoin . Tässä tapauksessa itse numerot tulee valita siten, että tuloksena oleva numero osoittautuu yksinkertaiseksi. Yhdistämällä molemmat luvut saadaan rombi, jolla on tyypillinen lukukuvio, joka kätkee monia alkulukuja (kuva 3). Erityisesti punaisella merkittyjen numeroiden summa on 37.

Riisi. 3

Voit myös tehdä monikulmiohahmoja numeroista, joilla on tiettyjä ominaisuuksia. Oletetaan, että sinun täytyy rakentaa kuva yksinkertaisista palindromeista, jotka on kirjoitettu käyttämällä numeroita 1 ja 3, joista jokaisessa on äärimmäisiä numeroita, jotka ovat ykkösiä, ja rivin kaikkien numeroiden summa ja ykkösten kokonaismäärä ovat alkulukuja (poikkeus on yksittäinen -numeroinen palindromi). Lisäksi yksinkertaisen luvun on ilmaistava tietueesta löytyneiden rivien kokonaismäärä sekä numerot 1 tai 3.

Kuvassa Kuvassa 4 on yksi ongelman ratkaisuista - "talo", joka on rakennettu 11 eri palindromista.

Riisi. 4

Tietenkään ei ole tarpeen rajoittua kahteen numeroon ja edellyttää kaikkien määritettyjen numeroiden läsnäoloa kunkin käytetyn numeron tietueessa. Pikemminkin päinvastoin: loppujen lopuksi heidän epätavalliset yhdistelmänsä antavat hahmon kuviolle omaperäisyyttä. Tämän vahvistamiseksi annamme useita esimerkkejä kauniista palindromisista riippuvuuksista (kuvat 5−7).

Riisi. 5

Riisi. 6

Riisi. 7

PÄÄTELMÄ

Työssäni katsoin lukuja - palindromeja, kaavoja - palindromeja kolminumeroisten lukujen summalle ja kaksinumeroisten lukujen erolle ja pystyin todistamaan ne. Tutustuin hämmästyttäviin luonnollisiin lukuihin: palindromeihin ja repunitesiin. Ne kaikki ovat ominaisuuksiensa velkaa alkuluvuille.
Kokosin intuitiivisesti kaavat n-numeroisten lukujen summalle ja erolle, kaksinumeroisten lukujen tulolle ja osamäärälle.

Kertolaskutapauksessa meillä on:

63 ∙ 48 = 84 ∙ 36

82 ∙ 14 = 41 ∙ 28

26 ∙ 31 = 62 ∙ 13 jne.

Ensimmäisten numeroiden tulo on yhtä suuri kuin niiden toisten numeroiden tulo x 1 ∙ x 2 = y 1 ∙ y 2

Jakamista varten saamme seuraavat esimerkit:

62: 31 = 26: 13

96:32 = 69:23 jne.

En ole vielä pystynyt todistamaan näitä väitteitä, mutta uskon pystyväni tekemään tämän tulevaisuudessa.

Kirjallisuudesta onnistuin löytämään kaavoja - palindromeja moninumeroisten lukujen kertomiseen

20646 ∙ 35211 = 11253 ∙ 64602 203313 ∙ 657624 = 426756 ∙ 313302

726966306 = 726966306 133703508312 = 133703508312

Saavutin työni tavoitteen. Katsoin numeroita - palindromeja ja kirjoitin ne muistiin yleisessä muodossa. Hän antoi esimerkkejä ja todisti kaavoja - palindromeja kaksinumeroisten lukujen yhteen- ja vähentämiseen. Tunnistin joukon ongelmia, joita minun on vielä työstettävä ja tutkittava kaavoja - palindromit. Tämä tarkoittaa, että vahvistin hypoteesin, että alkuluvut ovat osa lukuja, jotka muodostavat kaikki luonnolliset luvut. Tutkimalla alkulukujoukkoa voidaan saada hämmästyttäviä numeerisia joukkoja niiden poikkeuksellisilla ominaisuuksilla.

Esikatselu:

Jos haluat käyttää esityksen esikatseluja, luo Google-tili ja kirjaudu sisään:

Natalya Karpushina.

TAAKSEPÄIN

Numeerinen palindromi on luonnollinen luku, joka lukee saman vasemmalta oikealle ja oikealta vasemmalle. Toisin sanoen se erottuu merkinnän symmetrialla (numeroiden järjestely), ja merkkien lukumäärä voi olla joko parillinen tai pariton. Palindromeja löytyy joistakin numerosarjoista, joilla on omat nimensä: Fibonacci-lukujen joukossa - 8, 55 (samannimisen sekvenssin 6. ja 10. jäsen); kuviolliset numerot - 676, 1001 (neliö ja viisikulmainen, vastaavasti); Smithin numerot - 45454, 983389. Kaikilla repunit-numeroilla, esimerkiksi 2222222 ja erityisesti repunitilla, on myös tämä ominaisuus.

Palindromi voidaan saada muiden numeroiden operaatioiden tuloksena. Joten kirjassa "Minulla on idea!" Kuuluisa tieteen popularisoija Martin Gardner mainitsee "palindromihypoteesin" tämän ongelman yhteydessä. Otetaan mikä tahansa luonnollinen luku ja lisätään se käänteiseen numeroon, toisin sanoen kirjoitettuna samoilla numeroilla, mutta käänteisessä järjestyksessä. Tehdään sama toimenpide saadulla summalla ja toistetaan sitä, kunnes muodostuu palindromi. Joskus yksi askel riittää (esim. 312 + 213 = 525), mutta yleensä vaaditaan vähintään kaksi. Oletetaan, että numero 96 luo palindromin 4884 vasta neljännessä vaiheessa. Todellakin:

165 + 561 = 726,

726 + 627 = 1353,

1353 + 3531 = 4884.

Ja hypoteesin ydin on, että jos otetaan mikä tahansa luku, äärellisen määrän toimien jälkeen saamme ehdottomasti palindromin.

Voit harkita paitsi lisäämistä myös muita operaatioita, mukaan lukien eksponentio ja juurien erottaminen. Tässä on esimerkkejä siitä, kuinka niitä voidaan käyttää muiden luomiseen joistakin palindromeista:

NUMEROT PELIT

Toistaiseksi olemme tarkastelleet pääasiassa yhdistelmälukuja. Siirrytään nyt yksinkertaisiin numeroihin. Niiden äärettömässä valikoimassa on monia uteliaita yksilöitä ja jopa kokonaisia ​​palindromiperheitä. Vain ensimmäisen sadan miljoonan luonnollisen luvun joukossa on 781 yksinkertaista palindromia, joista kaksikymmentä kuuluu ensimmäiseen tuhanneen, joista neljä on yksinumeroisia lukuja - 2, 3, 5, 7 ja vain yksi kaksinumeroinen - 11. Monia mielenkiintoisia faktoja ja kauniit kuviot liittyvät sellaisiin numeroihin.

Ensinnäkin on ainutlaatuinen yksinkertainen palindromi, jossa on parillinen määrä numeroita - 11. Toisin sanoen mikä tahansa palindromi, jossa on parillinen määrä numeroita suurempi kuin kaksi, on yhdistelmäluku, joka on helppo todistaa 11:llä jaollisuustestillä. .

Toiseksi minkä tahansa yksinkertaisen palindromin ensimmäinen ja viimeinen numero voivat olla vain 1, 3, 7 tai 9. Tämä johtuu tunnetuista 2:lla ja 5:llä jaollisista merkeistä. On outoa, että kaikki yksinkertaiset kaksinumeroiset luvut on kirjoitettu lueteltujen numeroiden avulla. (lukuun ottamatta lukua 19), voidaan jakaa "käänteisiksi" numeroiksi (toisinaan käänteisiksi numeroiksi) muodossa ja , jossa luvut a ja b ovat erilaisia. Jokainen niistä, riippumatta siitä, mikä numero tulee ensin, luetaan samalla tavalla vasemmalta oikealle ja oikealta vasemmalle:

13 ja 31, 17 ja 71,

37 ja 73, 79 ja 97.

Alkulukutaulukkoon tarkasteltuna löydämme samanlaisia ​​pareja, joiden tallenteessa on myös muita lukuja, erityisesti kolminumeroisten lukujen joukossa on neljätoista samanlaista paria.

Lisäksi yksinkertaisten kolminumeroisten palindromien joukossa on lukupareja, joiden keskinumero eroaa vain yhdellä:

18 1 ja 1 9 1, 37 3 ja 3 8 3,

78 7 ja 7 9 7, 91 9 ja 9 2 9.

Samanlainen kuva on havaittavissa suuremmilla alkuluvuilla, esimerkiksi:

948 49 ja 94 9 49,

1177 711 ja 117 8 711.

Palindromiset alkuluvut voidaan "asettaa" erilaisilla symmetrisillä kaavoilla, jotka heijastavat niiden merkintätapapiirteitä. Tämä näkyy selvästi esimerkissä viisinumeroisista numeroista:

Muuten, muodon yksinkertaiset moninumeroiset numerot löytyvät ilmeisesti vain Repuniteista. Tällaisia ​​lukuja tunnetaan viisi. On huomionarvoista, että jokaisessa niistä numeroiden lukumäärä ilmaistaan ​​alkulukuna: 2, 19, 23, 317, 1031. Mutta alkulukujen joukossa, joissa kaikki numerot paitsi keskimmäinen, on erittäin vaikuttavan pituinen palindromi. löydettiin - siinä on 1749 numeroa:

Yleensä palindromisten alkulukujen joukossa on hämmästyttäviä esimerkkejä. Tässä on vain yksi esimerkki - numeerinen jättiläinen

Ja se on mielenkiintoinen, koska se sisältää 11 811 numeroa, jotka voidaan jakaa kolmeen palidromiseen ryhmään, ja jokaisessa ryhmässä numeroiden lukumäärä ilmaistaan ​​alkulukuna (5903 tai 5).

MERKITTÄVIÄ PARIA

Outoja palindromisia kuvioita voidaan nähdä myös alkulukuryhmissä, jotka sisältävät tiettyjä numeroita. Oletetaan, että vain numerot 1 ja 3, ja jokaisessa numerossa. Siten kaksinumeroiset alkuluvut muodostavat järjestetyt parit 13 - 31 ja 31 - 13 kuudesta kolminumeroisesta alkuluvusta, viisi lukua kerralla, joiden joukossa on kaksi palindromia: 131 ja 313, ja kaksi muuta lukua muodostavat pareja ”Käännökset” 311 - 113 ja 113 - 311 Kaikissa näissä tapauksissa tehdyt parit esitetään visuaalisesti numeeristen neliöiden muodossa (kuva 1).

Riisi. 1

Niiden ominaisuudet muistuttavat taikuutta ja latinalaisia ​​neliöitä. Esimerkiksi keskimääräisessä neliössä kunkin rivin ja jokaisen sarakkeen lukujen summa on 444, diagonaaleissa - 262 ja 626. Kun kaikkien solujen numerot yhteen lasketaan, saadaan 888. Ja mikä on tyypillistä, jokainen summa on palindromi. Jopa kirjoittamalla useita lukuja yhdestä taulukosta ilman välilyöntiä, saadaan uusia palindromeja: 3113, 131313131 jne. Mikä on suurin luku, joka voidaan muodostaa tällä tavalla? Tuleeko siitä palindromi?

Jos lisäämme 131 tai 313 kuhunkin pariin 311 - 113 ja 113 - 311, muodostuu neljä palindromitriplettiä. Kirjoitetaan yksi niistä sarakkeeseen:

Kuten näemme, sekä itse numerot että niiden haluttu yhdistelmä tuntevat itsensä eri suuntiin luettuna. Lisäksi numeroiden järjestely on symmetrinen, ja niiden summa jokaisella rivillä, jokaisessa sarakkeessa ja yhdessä lävistäjässä ilmaistaan ​​yksinkertaisella numerolla - 5.

On sanottava, että tarkasteltavat luvut ovat sinänsä mielenkiintoisia. Esimerkiksi palindromi 131 on syklinen alkuluku: kaikki peräkkäiset ensimmäisen numeron uudelleenjärjestelyt viimeiseen paikkaan tuottavat alkuluvut 311 ja 113. Voitko osoittaa muita alkulukupalindromeja, joilla on sama ominaisuus?

Mutta "käänteisten" numeroiden 13 - 31 ja 113 - 311 parit neliöitynä antavat myös "käänteisiä" lukupareja: 169 - 961 ja 12769 - 96721. On kummallista, että jopa niiden numeroiden summat osoittautuivat liittyy ovelalla tavalla:

(1 + 3) 2 = 1 + 6 + 9,

(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Lisätään vielä, että luonnollisten lukujen joukossa on muitakin "käänteisiä" pareja, joilla on samanlainen ominaisuus: 103 - 301, 1102 - 2011, 11113 - 31111 jne. Mikä selittää havaitun kuvion? Vastataksesi tähän kysymykseen sinun on ymmärrettävä, mikä on erityistä näiden numeroiden tallentamisessa, mitä numeroita ja missä määrin siinä voi olla.

NUMERORAKENNITTAJA

Palindromisista alkuluvuista järjestämällä ne tietyllä tavalla, vaikkapa rivi riviltä, ​​voit luoda symmetrisiä hahmoja, jotka erottuvat alkuperäisestä toistuvien numeroiden kuvioista.

Tässä on esimerkiksi kaunis yhdistelmä yksinkertaisia ​​palindromeja, jotka on kirjoitettu numeroilla 1 ja 3 (paitsi ensimmäinen, kuva 2). Tämän numerokolmion erikoisuus on, että sama fragmentti toistetaan kolme kertaa ilman, että kuvion symmetria rikkoutuu.

Riisi. 2

On helppo nähdä, että rivien ja sarakkeiden kokonaismäärä on alkuluku (17). Lisäksi alkuluvut ja numeroiden summat: punaisella korostetut fragmentit (17); jokainen rivi paitsi ensimmäinen (5, 11, 17, 19, 23); kolmas, viides, seitsemäs ja yhdeksäs sarake (7, 11) ja kolmion (11) sivut muodostavien yksiköiden "tikkaat". Lopuksi, jos siirrytään rinnakkain osoitettujen "sivujen" kanssa ja lasketaan yhteen kolmannen ja viidennen rivin numerot erikseen (kuva 3), saadaan vielä kaksi alkulukua (17, 5).

Riisi. 3

Jatkamalla rakentamista voit rakentaa monimutkaisempia kuvioita tämän kolmion perusteella. Joten ei ole vaikeaa saada toista kolmiota, jolla on samanlaiset ominaisuudet, siirtymällä lopusta, eli aloittamalla viimeisestä numerosta, yliviivaamalla jokaisessa vaiheessa kaksi identtistä symmetrisesti sijaitsevaa numeroa ja järjestämällä tai korvaamalla muut - 3 yhdellä ja päinvastoin . Tässä tapauksessa itse numerot tulee valita siten, että tuloksena oleva numero osoittautuu yksinkertaiseksi. Yhdistämällä molemmat luvut saadaan rombi, jolla on tyypillinen lukukuvio, joka kätkee monia alkulukuja (kuva 4). Erityisesti punaisella merkittyjen numeroiden summa on 37.

Riisi. 4

Toinen esimerkki on kolmio, joka saadaan alkuperäisestä, kun siihen on lisätty kuusi yksinkertaista palindromia (kuva 5). Figuuri herättää heti huomion tyylikkäällä yksikkökehyksellään. Sitä rajaa kaksi yksinkertaista samanpituista yksikköä: 23 yksikköä muodostaa kolmion "pohjan" ja sama määrä muodostaa kolmion "sivut".

Riisi. 5

Muutama luku lisää

Voit myös tehdä monikulmiohahmoja numeroista, joilla on tiettyjä ominaisuuksia. Oletetaan, että sinun täytyy rakentaa kuva yksinkertaisista palindromeista, jotka on kirjoitettu käyttämällä numeroita 1 ja 3, joista jokaisessa on äärimmäisiä numeroita, jotka ovat ykkösiä, ja rivin kaikkien numeroiden summa ja ykkösten kokonaismäärä ovat alkulukuja (poikkeus on yksittäinen -numeroinen palindromi). Lisäksi yksinkertaisen luvun on ilmaistava tietueesta löytyneiden rivien kokonaismäärä sekä numerot 1 tai 3.

Kuvassa Kuvassa 6 on yksi ongelman ratkaisuista - "talo", joka on rakennettu 11 eri palindromista.

Riisi. 6

Tietenkään ei ole tarpeen rajoittua kahteen numeroon ja edellyttää kaikkien määritettyjen numeroiden läsnäoloa kunkin käytetyn numeron tietueessa. Pikemminkin päinvastoin: loppujen lopuksi heidän epätavalliset yhdistelmänsä antavat hahmon kuviolle omaperäisyyttä. Tämän vahvistamiseksi annamme useita esimerkkejä kauniista palindromisista riippuvuuksista (Kuva 7−9).

Riisi. 7

Riisi. 8

Riisi. 9

Nyt alkulukutaulukon avulla voit itse rakentaa esittämiämme lukuja.

Ja lopuksi vielä yksi uteliaisuus - kolmio, joka on kirjaimellisesti lävistetty pitkittäin ja poikittain palindromeilla (kuva 10). Siinä on 11 riviä alkulukuja, ja sarakkeet muodostuvat toistonumeroista. Ja mikä tärkeintä: figuuria sivuilta rajoittava palindromi 193111111323111111391 on alkuluku!