YLEISTÄVÄT VOIMAT

YLEISTÄVÄT VOIMAT

Määrät, jotka näyttelevät tavallisten voimien roolia tasapainoa tai mekaanista liikettä tutkittaessa. järjestelmässä, sen sijainti määräytyy yleisillä koordinaatteilla. O. s. yhtä suuri kuin järjestelmän vapausasteiden lukumäärä s; Tässä tapauksessa jokainen yleinen koordinaatti qi vastaa omaa koordinaattijärjestelmäänsä. Qi. O. s. Koordinaattia q1 vastaava Q1 löytyy laskemalla alkio. kaikkien voimien työ dA1 järjestelmän mahdolliseen liikkeeseen, jonka aikana vain koordinaatti q1 muuttuu: saa inkrementin dq1. Sitten dA1=Q1dq1т. e. kerroin dqi:lle lausekkeessa dA1 on O. s. Q1. Q2, Q3 lasketaan samalla tavalla. . .,Qs.

Mitat O. s. riippuu yleisen koordinaatin mittasuhteesta. Jos qi:llä on pituudet, niin Qi on tavallisen voiman mitta; jos qi on kulma, niin Qi:llä on voimamomentin mitta jne. Kun tutkitaan mekaanisen liikkeen liikettä O.-järjestelmäjärjestelmät tulevat tavallisten voimien sijaan mekaniikan Lagrange-yhtälöihin, ja tasapainossa kaikki O.-järjestelmät. ovat yhtä kuin nolla.

Fyysinen tietosanakirja. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja. Päätoimittaja A. M. Prokhorov. 1983 .

Katso, mitä "GENERALIZED FORCES" ovat muissa sanakirjoissa:

Suuret, joilla on tavallisten voimien roolia, kun mekaanisen järjestelmän tasapainoa tai liikettä tutkittaessa sen sijainti määräytyy yleistetyillä koordinaatteilla (katso Yleiset koordinaatit). O. s. yhtä suuri kuin järjestelmän vapausasteiden lukumäärä s; klo……

Mekaniikassa suureet Qi, suureiden Qi tulo ja yleistettyjen koordinaattien qi mekaaniset alkeisratkaisut dqi. järjestelmät antavat ilmaisun alkeistyöstä bA, jossa se muodostuu kuitumaisten materiaalien kasasta (puuvilla, viskoosi). Tarroille O. yleensä... ... Suuri tietosanakirja polytekninen sanakirja

- (USA) (Yhdysvallat, USA). I. Yleistä Yhdysvallat on osavaltio Pohjois-Amerikassa. Pinta-ala 9,4 miljoonaa km2. Väkiluku 216 miljoonaa ihmistä. (1976, arviointi). Pääkaupunki on Washington. Hallinnollisesti Yhdysvaltojen alue... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

- (Neuvostoliiton ilmavoimat) Neuvostoliiton ilmavoimien lippu Olemassaolovuodet ... Wikipedia

- الإمارات العربية المتحدة‎ al Emarat al Arabiya al Muttahida ... Wikipedia

Voimakenttä määritellään konfiguraatioavaruuden Q-alueella skalaarifunktion gradienttina: missä (yleistetut) koordinaatit, U(q) potentiaalienergia. P. s. mitä tahansa Q:n suljettua ääriviivaa pitkin, joka supistuu pisteeseen, on yhtä suuri kuin nolla. Merkki... ... Fyysinen tietosanakirja

- (Ilmavoimat) valtion asevoimien tyyppi, joka on tarkoitettu itsenäiseen toimintaan operatiivisten strategisten tehtävien ratkaisemisessa sekä yhteistoimintaan muuntyyppisten asevoimien kanssa. Taistelukykynsä suhteen nykyaikaiset ilmavoimat... ... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

Voima, voiman vaikutuksen mitta, joka riippuu voiman numeerisesta suuruudesta ja suunnasta sekä sen kohdistamispisteen liikkeestä. Jos voima F on vakio numeerisesti ja suunnassa ja siirtymä M0M1 on suoraviivainen (kuva 1), niin P. A = F․s․cosα, missä s = M0M1 … Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

Voima, voiman vaikutuksen mitta, joka riippuu voiman numeerisesta suuruudesta ja suunnasta sekä sen kohdistamispisteen liikkeestä. Jos voima F on numeerisesti ja suunnassa vakio ja siirtymä M0M1 on suoraviivainen (kuva 1), niin P. A = F s cosa, missä s = M0M1, ja kulma... ... Fyysinen tietosanakirja

Mekaniikka. 1) Ensimmäisen luokan Lagrange-yhtälöt, mekaanisen liikkeen differentiaaliyhtälöt. järjestelmät, jotka on annettu projektioissa suorakaiteen muotoisille koordinaattiakseleille ja sisältävät ns. Lagrange-kertoimet. Hankinta: J. Lagrange vuonna 1788. Holonomista järjestelmää varten ... ... Fyysinen tietosanakirja

Tietenkin tätä yleistettyä voimaa laskettaessa potentiaalienergia tulisi määrittää yleistettyjen koordinaattien funktiona.

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Huomautuksia.

Ensimmäinen. Yleistettyjä reaktiovoimia laskettaessa ideaaliyhteyksiä ei oteta huomioon.

Toinen. Yleistetyn voiman mitta riippuu yleistetyn koordinaatin mittasuhteesta. Joten jos mitta [ q] – metri, sitten mitta

[Q] = Nm/m = Newton, jos [ q] – radiaani, sitten [Q] = Nm; Jos [ q] = m 2, sitten [Q] = H/m jne.

Esimerkki 4. Rengas liukuu pystytasossa heiluvaa sauvaa pitkin. M paino R(Kuva 10). Pidämme sauvaa painottomana. Määritellään yleiset voimat.

Kuva 10

Ratkaisu. Järjestelmässä on kaksi vapausastetta. Annamme kaksi yleistettyä koordinaattia s Ja .

Etsitään koordinaattia vastaava yleinen voima s. Annamme tälle koordinaatille lisäyksen jättäen koordinaatin ennalleen ja laskemalla ainoan aktiivisen voiman työn R, saamme yleisen voiman

Sitten lisäämme koordinaattia olettaen s= vakio Kun tankoa kierretään kulman läpi, voiman kohdistamispiste R, rengas M, siirtyy osoitteeseen . Yleinen voima tulee olemaan

Koska järjestelmä on konservatiivinen, yleistettyjä voimia voidaan löytää myös käyttämällä potentiaalienergiaa. Saamme Ja . Se osoittautuu paljon yksinkertaisemmiksi.

Lagrangen tasapainoyhtälöt

Määritelmän mukaan (7) yleistyneet voimat , k = 1,2,3,…,s, Missä s– vapausasteiden lukumäärä.

Jos järjestelmä on tasapainossa, niin mahdollisten siirtymien periaatteen mukaan (1) . Tässä on liitosten sallimat liikkeet, mahdolliset liikkeet. Siksi, kun materiaalijärjestelmä on tasapainossa, kaikki sen yleiset voimat ovat nolla:

Q k= 0, (k=1,2,3,…, s). (10)

Nämä yhtälöt tasapainoyhtälöt yleistetyissä koordinaateissa tai Lagrangen tasapainoyhtälöt , salli vielä yksi menetelmä staattisten ongelmien ratkaisemiseksi.

Jos järjestelmä on konservatiivinen, niin . Tämä tarkoittaa, että se on tasapainotilassa. Eli tällaisen materiaalijärjestelmän tasapainoasennossa sen potentiaalienergia on joko maksimi tai minimi, ts. funktiolla П(q) on ääriarvo.

Tämä käy ilmi yksinkertaisimman esimerkin analyysistä (kuva 11). Pallon potentiaalienergia paikallaan M 1:llä on minimi, paikallaan M 2 – maksimi. Sen voi huomata asennossa M 1 tasapaino on vakaa; raskaana M 2 – epävakaa.

Kuva 11

Tasapainoa pidetään vakaana, jos tässä asennossa olevalle keholle annetaan alhainen nopeus tai siirretään pieni matka eivätkä nämä poikkeamat kasva tulevaisuudessa.

Voidaan todistaa (Lagrange-Dirichlet-lause), että jos konservatiivisen järjestelmän tasapainoasennossa sen potentiaalienergialla on minimi, niin tämä tasapainoasema on stabiili.

Konservatiiviselle järjestelmälle, jolla on yksi vapausaste, vähimmäispotentiaalienergian ehto ja siten tasapainoaseman stabiilisuus määräytyy toisella derivaatalla, sen arvolla tasapainoasennossa,

Esimerkki 5. Ydin OA paino R voi pyöriä pystytasossa akselin ympäri NOIN(Kuva 12). Etsitään ja tutkitaan tasapainoasemien vakautta.

Kuva 12

Ratkaisu. Vavalla on yksi vapausaste. Yleistetty koordinaatti – kulma.

Suhteessa alempaan, nolla-asentoon, potentiaalienergia P = Ph tai

Tasapainoasennossa pitäisi olla . Tästä syystä meillä on kaksi tasapainoasemaa, jotka vastaavat kulmia ja (positiot OA 1 ja OA 2). Tutkitaan niiden vakautta. Toisen derivaatan löytäminen. Tietenkin kanssa , . Tasapainotila on vakaa. klo , . Toinen tasapainoasento on epävakaa. Tulokset ovat ilmeisiä.

Yleistyneet inertiavoimat.

Käyttämällä samaa menetelmää (8), jolla yleistetyt voimat laskettiin Q k, jotka vastaavat aktiivisia, määriteltyjä voimia, määritetään myös yleiset voimat S k, joka vastaa järjestelmän pisteiden hitausvoimia:

Ja siitä lähtien Että

Muutama matemaattinen muunnos.

Ilmeisesti

Koska a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), niin

Tämä tarkoittaa, että nopeuden osittainen derivaatta suhteessa

Lisäksi viimeisellä termillä (14) voit muuttaa erottelujärjestystä:

Korvaamalla (15) ja (16) luvulla (14) ja sitten (14):llä (13) saadaan

Jakamalla viimeinen summa kahdella ja pitäen mielessä, että derivaattojen summa on yhtä suuri kuin summan derivaatta, saadaan

missä on järjestelmän liike-energia ja yleinen nopeus.

Lagrangen yhtälöt.

Määritelmän (7) ja (12) mukaan yleistetyt voimat

Mutta yleisen dynamiikkayhtälön (3) perusteella yhtälön oikea puoli on nolla. Ja koska kaikki ( k = 1,2,3,…,s) eroavat nollasta, niin . Korvaamalla yleisen hitausvoiman (17) arvon, saadaan yhtälö

Nämä yhtälöt kutsutaan differentiaaliyhtälöiksi liikeyhtälöiksi yleistetyissä koordinaateissa, toisen tyyppisiksi Lagrange-yhtälöiksi tai yksinkertaisesti – Lagrangen yhtälöt.

Näiden yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin aineellisen järjestelmän vapausasteiden lukumäärä.

Jos järjestelmä on konservatiivinen ja liikkuu potentiaalisten kenttävoimien vaikutuksen alaisena, kun yleiset voimat ovat , voidaan Lagrange-yhtälöt muodostaa muotoon

Missä L = T– P:tä kutsutaan Lagrange-toiminto (oletetaan, että potentiaalienergia P ei riipu yleistetyistä nopeuksista).

Usein materiaalijärjestelmien liikettä tutkittaessa käy ilmi, että jotkut yleistyneet koordinaatit q j eivät sisälly nimenomaisesti Lagrange-funktioon (tai sisään T ja P). Tällaisia ​​koordinaatteja kutsutaan syklinen. Näitä koordinaatteja vastaavat Lagrange-yhtälöt saadaan yksinkertaisemmin.

Tällaisten yhtälöiden ensimmäinen integraali löytyy välittömästi. Sitä kutsutaan sykliseksi integraaliksi:

Lagrangen yhtälöiden lisätutkimukset ja muunnokset muodostavat erityisen teoreettisen mekaniikan osan - "Analyyttinen mekaniikka".

Lagrangen yhtälöillä on useita etuja verrattuna muihin menetelmiin järjestelmien liikkeen tutkimiseksi. Tärkeimmät edut: yhtälöiden muodostamismenetelmä on sama kaikissa tehtävissä, ideaaliyhteyksien reaktioita ei oteta huomioon tehtäviä ratkaistaessa.

Ja vielä yksi asia - näitä yhtälöitä voidaan käyttää paitsi mekaanisten, myös muiden fyysisten järjestelmien (sähköisten, sähkömagneettisten, optisten jne.) tutkimiseen.

Esimerkki 6. Jatketaan renkaan liikkeen tutkimusta M keinuvassa (esimerkki 4).

Yleiset koordinaatit on määritetty – ja s (kuva 13). Yleiset voimat määritellään: ja .

Kuva 13

Ratkaisu. Renkaan kineettinen energia Missä a ja .

Muodostamme kaksi Lagrange-yhtälöä

sitten yhtälöt näyttävät tältä:

Olemme saaneet kaksi epälineaarista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä, joiden ratkaiseminen vaatii erikoismenetelmiä.

Esimerkki 7. Luodaan säteen liikkeen differentiaaliyhtälö AB, joka rullaa liukumatta sylinterimäistä pintaa pitkin (kuva 14). Palkin pituus AB = l, paino - R.

Tasapainoasennossa palkki oli vaakasuorassa ja painopisteessä KANSSA se sijaitsi sylinterin yläosassa. Säteellä on yksi vapausaste. Sen sijainti määräytyy yleisellä koordinaatilla - kulmalla (kuva 76).

Kuva 14

Ratkaisu. Järjestelmä on konservatiivinen. Siksi laadimme Lagrangen yhtälön käyttämällä potentiaalienergiaa P=mgh, joka on laskettu suhteessa vaakasuoraan sijaintiin. Kosketuspisteessä on hetkellinen nopeuskeskipiste ja (yhtä kuin ympyrän kaaren pituus kulman kanssa).

Siksi (katso kuva 76) ja .

Kineettinen energia (säde käy läpi tasossa yhdensuuntaista liikettä)

Löydämme tarvittavat derivaatat yhtälölle ja

Tehdään yhtälö

tai lopuksi

Itsetestauskysymykset

Mitä kutsutaan rajoitetun mekaanisen järjestelmän mahdolliseksi liikkeeksi?

Miten järjestelmän mahdolliset ja todelliset liikkeet liittyvät toisiinsa?

Mitä yhteyksiä kutsutaan: a) kiinteät; b) ihanteellinen?

Muotoile mahdollisten liikkeiden periaate. Kirjoita muistiin sen kaavalauseke.

Onko mahdollista soveltaa virtuaalisten liikkeiden periaatetta järjestelmiin, joissa ei ole ihanteellisia yhteyksiä?

Mitkä ovat mekaanisen järjestelmän yleiset koordinaatit?

Mikä on mekaanisen järjestelmän vapausasteiden lukumäärä?

Missä tapauksessa järjestelmän pisteiden suorakulmaiset koordinaatit eivät ole riippuvaisia ​​pelkästään yleistetyistä koordinaateista, vaan myös ajasta?

Mitä kutsutaan mekaanisen järjestelmän mahdollisiksi liikkeiksi?

Riippuvatko mahdolliset liikkeet järjestelmään vaikuttavista voimista?

Mitä mekaanisen järjestelmän liitoksia kutsutaan ihanteellisiksi?

Miksi kitkalla tehty sidos ei ole ihanteellinen sidos?

Miten mahdollisten liikkeiden periaate on muotoiltu?

Mitä tyyppejä työyhtälöllä voi olla?

Miksi mahdollisten siirtymien periaate yksinkertaistaa tasapainoehtojen johtamista voimille, jotka kohdistuvat suuresta määrästä kappaleita koostuviin järjestelmiin?

Kuinka työyhtälöt muodostetaan mekaaniseen järjestelmään, jossa on useita vapausasteita, vaikuttavia voimia?

Mikä on käyttövoiman ja vastustavan voiman suhde yksinkertaisissa koneissa?

Miten mekaniikan kultainen sääntö on muotoiltu?

Miten yhteyksien reaktiot määritetään mahdollisten liikkeiden periaatteella?

Mitä yhteyksiä kutsutaan holonomisiksi?

Mikä on mekaanisen järjestelmän vapausasteiden lukumäärä?

Mitkä ovat järjestelmän yleiset koordinaatit?

Kuinka monta yleistettyä koordinaattia ei-vapaalla mekaanisella järjestelmällä on?

Kuinka monta vapausastetta auton ohjauspyörässä on?

Mikä on yleinen voima?

Kirjoita muistiin kaava, joka ilmaisee kaikkien järjestelmään kohdistuvien voimien kokonaistyön yleistetyinä koordinaatteina.

Miten yleisen voiman ulottuvuus määritetään?

Miten yleistyneet voimat lasketaan konservatiivisissa järjestelmissä?

Kirjoita muistiin yksi kaavoista, joka ilmaisee ideaalisten yhteyksien järjestelmän dynamiikan yleisen yhtälön. Mikä on tämän yhtälön fysikaalinen merkitys?

Mikä on järjestelmään kohdistettujen aktiivisten voimien yleinen voima?

Mikä on yleinen inertiavoima?

Muotoile d'Alembertin periaate yleistetyissä voimissa.

Mikä on dynamiikan yleinen yhtälö?

Mitä kutsutaan yleistetyksi voimaksi, joka vastaa jotakin järjestelmän yleistettyä koordinaattia, ja mikä ulottuvuus sillä on?

Mitkä ovat ihanteellisten sidosten yleiset reaktiot?

Johda dynamiikan yleinen yhtälö yleistetyissä voimissa.

Missä muodossa ovat tasapainoehdot mekaaniseen järjestelmään kohdistetuille voimille, jotka saadaan yleisestä dynamiikan yhtälöstä yleisissä voimissa?

Mitkä kaavat ilmaisevat yleistettyjä voimia voimien projektioiden kautta suorakulmaisten koordinaattien kiinteille akseleille?

Miten yleistyneet voimat määritetään konservatiivisten ja ei-konservatiivisten voimien tapauksessa?

Mitä yhteyksiä kutsutaan geometrisiksi?

Esitä vektoriesitys mahdollisten siirtymien periaatteesta.

Nimeä välttämätön ja riittävä ehto mekaanisen järjestelmän tasapainolle, jossa on ihanteelliset kiinteät geometriset yhteydet.

Mikä ominaisuus on konservatiivisen järjestelmän voimafunktiolla tasapainotilassa?

Kirjoita muistiin toisen tyyppinen Lagrangen differentiaaliyhtälöjärjestelmä.

Kuinka monta toisen tyyppistä Lagrange-yhtälöä voidaan rakentaa rajoitetulle mekaaniselle järjestelmälle?

Riippuuko mekaanisen järjestelmän Lagrange-yhtälöiden määrä järjestelmään kuuluvien kappaleiden lukumäärästä?

Mikä on järjestelmän kineettinen potentiaali?

Mille mekaanisille järjestelmille Lagrange-funktio on olemassa?

Millä argumenteilla mekaaniseen järjestelmään kuuluvan pisteen nopeusvektorin funktio on s vapauden asteet?

Mikä on järjestelmän pisteen nopeusvektorin osittaisderivaata jonkin yleisen nopeuden suhteen?

Minkä argumenttien funktio on holonomisten ei-stationaaristen rajoitusten alainen järjestelmän kineettinen energia?

Missä muodossa toisen tyyppiset Lagrange-yhtälöt ovat? Mikä on näiden yhtälöiden lukumäärä kullekin mekaaniselle järjestelmälle?

Minkä muodon toisen tyyppiset Lagrange-yhtälöt saavat, kun järjestelmään vaikuttavat samanaikaisesti konservatiiviset ja ei-konservatiiviset voimat?

Mikä on Lagrange-funktio tai kineettinen potentiaali?

Missä muodossa toisen tyyppiset Lagrange-yhtälöt ovat konservatiivisessa järjestelmässä?

Riippuen siitä, mistä muuttujista mekaanisen järjestelmän kineettinen energia tulee ilmaista Lagrange-yhtälöitä laadittaessa?

Miten mekaanisen järjestelmän potentiaalienergia määritetään kimmovoimien vaikutuksesta?

Ongelmia ratkaista itsenäisesti

Tehtävä 1. Määritä komposiittirakenteiden liitosten reaktiot mahdollisten siirtymien periaatteella. Rakennekaaviot on esitetty kuvassa. 15, ja ratkaisuun tarvittavat tiedot on annettu taulukossa. 1. Kuvissa kaikki mitat ovat metreinä.

pöytä 1

R 1, kN R 2, kN q, kN/m M, kNm R 1, kN R 2, kN q, kN/m M, kNm

Vaihtoehto 1 Vaihtoehto 2

Vaihtoehto 3 Vaihtoehto 4

Vaihtoehto 5 Vaihtoehto 6

Vaihtoehto 7 Vaihtoehto 8

Kuva 16 Kuva 17

Ratkaisu. On helppo varmistaa, että tässä tehtävässä kaikki Lagrange-periaatteen soveltamisen edellytykset täyttyvät (järjestelmä on tasapainossa, liitokset ovat stationäärisiä, holonomisia, rajoittavia ja ideaalisia).

Vapautukaamme reaktiota vastaavasta yhteydestä X A (kuvio 17). Tätä varten kohdassa A kiinteä sarana tulee korvata esimerkiksi tankokannattimella, jolloin järjestelmä saa yhden vapausasteen. Kuten jo todettiin, järjestelmän mahdollinen liike määräytyy sille asetettujen rajoitusten mukaan, eikä se riipu käytetyistä voimista. Siksi mahdollisten siirtymien määrittäminen on kinemaattinen ongelma. Koska tässä esimerkissä kehys voi liikkua vain kuvan tasossa, sen mahdolliset liikkeet ovat myös tasomaisia. Tasoliikkeessä kehon liikettä voidaan pitää pyörimisenä hetkellisen nopeuskeskuksen ympäri. Jos hetkellinen nopeuksien keskipiste on äärettömässä, niin tämä vastaa hetkellisen translaatioliikkeen tapausta, jolloin kehon kaikkien pisteiden siirtymät ovat samat.

Nopeuksien hetkellisen keskuksen löytämiseksi on tarpeen tietää minkä tahansa kappaleen kahden pisteen nopeussuunnat. Siksi komposiittirakenteen mahdollisten siirtymien määrittäminen tulisi aloittaa etsimällä sen elementin mahdolliset siirtymät, joille tällaiset nopeudet tunnetaan. Tässä tapauksessa sinun tulee aloittaa kehyksestä CDB, sen pisteestä lähtien SISÄÄN on liikkumaton ja siksi tämän kehyksen mahdollinen liike on sen pyöriminen kulman läpi saranan B läpi kulkevan akselin ympäri. Nyt kun tiedetään pisteen mahdollinen liike KANSSA(se kuuluu samanaikaisesti järjestelmän molempiin kehyksiin) ja pisteen mahdollinen liike A(pisteen A mahdollinen liike on sen liike akselia pitkin X), etsi kehyksen hetkellinen nopeuskeskus C 1 AES. Siten kehyksen mahdollinen liike AES on sen kiertymä pisteen C 1 ympäri kulman verran . Kulmien ja välinen yhteys määräytyy pisteen C liikkeen kautta (katso kuva 17)

Kolmioiden EC 1 C ja BCD samankaltaisuudesta saamme

Tuloksena saamme riippuvuudet:

Mahdollisten liikkeiden periaatteen mukaan

Lasketaan peräkkäin tähän sisältyvät mahdolliset työpaikat:

Q=2q – jakautuneen kuorman resultantti, jonka kohdistamispiste on esitetty kuvassa. 79; sen tekemä mahdollinen työ on yhtä suuri.

Tarkastellaan mekaanista järjestelmää, joka koostuu aineellisista pisteistä, joihin voimat vaikuttavat. Olkoon järjestelmällä s vapausastetta ja sen sijainti määräytyy yleistetyillä koordinaatteilla (104). Ilmoitetaan järjestelmälle sellainen riippumaton mahdollinen liike, jossa koordinaatti saa inkrementin ja loput koordinaatit eivät muutu. Sitten jokainen järjestelmän pisteiden sädevektori saa alkeislisäyksen. Koska yhtälön (106) mukaan ja tarkasteltavan liikkeen aikana vain koordinaatit muuttuvat (loput säilyttävät vakioarvot), se lasketaan osittaisena differentiaalina ja siksi

Käyttämällä tätä yhtälöä ja kaavaa (42) § 87:stä laskemme kaikkien tarkasteltavaan siirtymään vaikuttavien voimien perustöiden summan, jonka merkitsemme Saamme

Ottamalla yhteisen tekijän suluista, löydämme lopulta

missä ilmoitettu

Analogisesti voiman perustyön F määrittävän yhtälön kanssa, suuruutta kutsutaan koordinaattia vastaavaksi yleistetyksi voimaksi.

Ilmoitamalla järjestelmälle toisesta itsenäisestä mahdollisesta liikkeestä, jonka aikana vain koordinaatti muuttuu, saadaan lauseke kaikkien tähän liikkeeseen vaikuttavien voimien perustyölle.

Määrä edustaa yleistettyä voimaa, joka vastaa koordinaattia jne.

Ilmeisesti, jos järjestelmälle annetaan sellainen mahdollinen liike, joka muuttaa samanaikaisesti kaikkia sen yleistettyjä koordinaatteja, niin tähän liikkeeseen kohdistettujen voimien perustöiden summa määräytyy yhtälön perusteella.

Kaava (112) antaa lausekkeen kaikkien järjestelmään vaikuttavien voimien kokonaistyölle yleistetyissä koordinaateissa. Tästä yhtäläisyydestä on selvää, että yleiset voimat ovat suureita, jotka ovat yhtä suuria kuin kertoimet yleisten koordinaattien lisäyksille järjestelmään vaikuttavien voimien kokonaistyön ilmaisussa.

Jos kaikki järjestelmään asetetut kytkennät ovat ihanteellisia, niin työ mahdollisten liikkeiden aikana tapahtuu vain aktiivisilla voimilla ja suureet edustavat järjestelmän yleisiä aktiivisia voimia.

Yleistetyn voiman mitta riippuu vastaavan yleistetyn koordinaatin mittasuhteesta. Koska tuote ja siksi sillä on työn ulottuvuus, niin

eli yleisen voiman ulottuvuus on yhtä suuri kuin työn mitta jaettuna vastaavan yleisen koordinaatin dimensiolla. Tästä on selvää, että jos q on lineaarinen suure, niin Q:lla on tavallisen voiman mitta (SI:ssä se mitataan newtoneina), jos q on kulma (mitamaton suure), niin Q mitataan ja sillä on hetken ulottuvuus; jos q on tilavuus (esim. männän asema sylinterissä voidaan määrittää mäntätilan tilavuudella), niin Q mitataan ja sillä on painemitta jne.

Kuten näemme, yleistyneen voiman käsite kattaa analogisesti yleistyneen nopeuden kanssa kaikki suureet, jotka on aiemmin tavattu ainekappaleiden mekaanisen vuorovaikutuksen mittareina (voima, voimamomentti, paine).

Laskemme yleistetyt voimat muotoa (108), (110) olevilla kaavoilla, mikä pelkistyy mahdollisen perustyön laskemiseen (ks. § 140). Ensin sinun tulee selvittää järjestelmän vapausasteiden lukumäärä, valita yleiset koordinaatit ja kuvata piirustuksessa kaikki järjestelmään kohdistuvat aktiiviset voimat ja kitkavoimat (jos ne toimivat). Sen määrittämiseksi on tarpeen ilmoittaa järjestelmälle sellaisesta mahdollisesta liikkeestä, jossa vain koordinaatti muuttuu, vastaanottaen positiivisen lisäyksen, laskea kaikkien tähän liikkeeseen vaikuttavien voimien perustöiden summa kaavojen (101) mukaisesti. esitä tuloksena oleva lauseke muodossa (108). Sitten kerroin for ja antaa halutun arvon. Laske samalla tavalla

Esimerkki 1. Lasketaan yleinen voima kuvassa 2 esitetylle järjestelmälle. 366, jossa paino A ylitetään tasaista kaltevaa tasoa pitkin ja paino B karkeaa vaakatasoa pitkin, jonka kitkakerroin on yhtä suuri kuin

Painot yhdistetään lohkon O yli heitetyllä kierteellä. Jätetään huomiotta langan ja lohkon massa. Järjestelmällä on yksi vapausaste, sijainti määräytyy koordinaatin mukaan (positiivinen referenssisuunta näkyy nuolella). Määrittämistä varten ilmoitamme järjestelmälle mahdollisen siirtymän, jossa ja laskemme voimien perustyön tähän siirtymään; muut voimat eivät toimi. Siitä lähtien

Siten,

Esimerkki 2. Kitka huomioimatta, saadaan yleiset voimat kuvassa 2 esitetylle järjestelmälle. 367. Homogeenisen tangon A B pituus on l ja paino P ja se voi pyöriä pystytasossa akselin A ympäri. Siihen kiinnitetyllä pallolla M on painoa. Jousen pituus AM on yhtä suuri jännittämättömässä tilassa ja jäykkyys on c.

Järjestelmässä on kaksi vapausastetta (pallon liike sauvaa pitkin ja tangon pyöriminen akselin A ympäri ovat riippumattomia). Yleistetyiksi koordinaatteiksi valitaan pallon kulma ja etäisyys jännittämättömän jousen päästä, koordinaattien positiiviset suunnat näytetään nuolilla.

Ilmoitamme ensin järjestelmälle mahdollisesta liikkeestä, jossa kulma saa lisäyksen. Tässä liikkeessä työn suorittavat voimat. Toisen kaavan (101) avulla löydämme (miinusmerkki tässä, koska hetken suunta on suunnan vastainen)

Siten,

Nyt ilmoitamme järjestelmälle mahdollisesta liikkeestä, jonka aikana vain koordinaatti muuttuu, vastaanottaen inkrementin, ja kulma. Tällä siirtymällä työtä tekevät painovoima ja kimmovoima, jonka moduuli on Siis

Tarkastellaan mekaanista järjestelmää, jossa on ihanteelliset liitännät. Antaa olla aktiiviset voimat järjestelmän. Annetaan mekaaniselle järjestelmälle virtuaalinen siirtymä ja lasketaan järjestelmän voimien perustyö tälle siirtymälle:

.

Yhtälön (17.2) avulla ilmaistaan ​​variaatio
sädevektori pisteitä M k variaatioiden kautta
yleiset koordinaatit:

siten,

. (17.6)

Muutetaan summausjärjestys yhtälössä (17.6):

. (17.7)

Merkitään lausekkeessa (17.7)

. (17.8)

.

Yleistetyillä voimilla K j nimeä kertoimet yleistettyjen koordinaattien variaatioille systeemivoimien perustyön ilmaisussa.

Riippuen yleistettyjen koordinaattien variaatioiden ulottuvuudesta
yleistetyt voimat K j voi olla voiman, momentin jne. mittoja.

Yleistettujen voimien laskentamenetelmät

Tarkastellaan kolmea tapaa laskea yleiset voimat.

1. Yleistettyjen voimien määritys peruskaavalla(17.8)

. (17.9)

Kaavaa (17.9) käytetään harvoin käytännössä. Ongelmia ratkaistaessa käytetään useimmiten toista menetelmää.

2. Menetelmä yleisten koordinaattien "jäädyttämiseksi".

Annetaan mekaaniselle järjestelmälle virtuaalinen siirtymä siten, että kaikki yleistettyjen koordinaattien muunnelmat paitsi
ovat yhtä kuin nolla:

Lasketaan tämän liikkeen työ
kaikki järjestelmään kohdistuvat aktiiviset voimat

.

Määritelmän mukaan vaihtelun kerroin
yhtä suuri kuin ensimmäinen yleinen voima K 1 .

ja määrittele toinen yleinen voima K 2, laskettuaan järjestelmän kaikkien voimien virtuaalisen työn

.

Lasketaan samalla tavalla kaikki muut järjestelmän yleiset voimat.

3. Potentiaalisen voimakentän tapaus.

Oletetaan, että mekaanisen järjestelmän potentiaalienergia tunnetaan

Sitten
ja kaavan (32.8) mukaisesti

Statiikan virtuaalisten liikkeiden periaate yleistetyissä koordinaateissa

Staattisten virtuaalisten siirtymien periaatteen mukaan järjestelmän tasapainolle, jossa on ihanteelliset holonomiset, stationääriset yhteydet, ehto on välttämätön ja riittävä:

nollan alkunopeuksilla.

Siirtymällä yleisiin koordinaatteihin saamme

. (17.11)

Koska yleistettyjen koordinaattien variaatiot ovat riippumattomia, yhtäläisyys lausekkeen (17.11) nollaan on mahdollista vain siinä tapauksessa, että yleistettyjen koordinaattien variaatioiden kaikki kertoimet ovat yhtä suuret kuin nolla:

Täten, Jotta mekaaninen järjestelmä, jossa on ihanteelliset, holonomiset, kiinteät ja rajoittavat kytkennät, olisi tasapainossa, on välttämätöntä ja riittävää, että kaikki järjestelmän yleiset voimat ovat yhtä suuret kuin nolla (järjestelmän nollan alkunopeuksilla).

Lagrange-yhtälöt yleistetyissä koordinaateissa (toisen tyyppiset Lagrange-yhtälöt)

Lagrangen yhtälöt johdetaan yleisestä dynamiikan yhtälöstä korvaamalla virtuaaliset siirtymät niiden lausekkeilla yleistettyjen koordinaattien muunnelmilla. Ne edustavat mekaanisen järjestelmän liikkeen differentiaaliyhtälöjärjestelmää yleistetyissä koordinaateissa:

. (17.13)

Missä
- yleiset nopeudet,

T järjestelmän kineettinen energia yleistettyjen koordinaattien ja yleisten nopeuksien funktiona

K j- yleistyneet voimat.

Järjestelmän yhtälöiden lukumäärä (17.13) määräytyy vapausasteiden lukumäärän mukaan, eikä se riipu järjestelmään kuuluvien kappaleiden lukumäärästä. Ihanteellisissa yhteyksissä vain aktiiviset voimat tulevat yhtälöiden oikealle puolelle. Jos yhteydet eivät ole ihanteellisia, niiden reaktiot tulisi luokitella aktiivisiksi voimiksi.

Kun kyseessä ovat potentiaaliset voimat, jotka vaikuttavat mekaaniseen järjestelmään, yhtälöt (17.13) saavat muodon

.

Jos otamme käyttöön Lagrange-funktion L = T  P, jolloin otetaan huomioon, että potentiaalienergia ei riipu yleistetyistä nopeuksista, saadaan toisen tyyppiset Lagrange-yhtälöt potentiaalivoimille seuraavassa muodossa

.

Kun muodostat toisen tyyppisiä Lagrange-yhtälöitä, sinun on suoritettava seuraavat vaiheet:

Aseta mekaanisen järjestelmän vapausasteiden lukumäärä ja valitse sen yleiset koordinaatit.

Muodosta lauseke järjestelmän kineettiselle energialle ja esitä se yleistettyjen koordinaattien ja yleistettyjen nopeuksien funktiona.

Etsi järjestelmän yleiset aktiiviset voimat yllä kuvattujen menetelmien avulla.

Suorita kaikki Lagrange-yhtälöissä tarvittavat differentiointitoimenpiteet.

Esimerkki.

Missä J z kappaleen hitausmomentti suhteessa pyörimisakseliin z,
- kehon kulmanopeus.

3. Määritellään yleinen voima. Annetaan keholle virtuaalinen siirtymä  ja lasketaan järjestelmän kaikkien aktiivisten voimien virtuaalinen työ:

Siten, K = M z järjestelmän aktiivisten voimien päämomentti suhteessa kappaleen pyörimisakseliin.

4. Suoritetaan Lagrangen yhtälössä differentiointioperaatioita

: (17.14)

. (17.15)

Korvataan yhtälöt (17.15) yhtälöön (173

14) saadaan kappaleen pyörimisliikkeen differentiaaliyhtälö

.

Yleisten voimien määritelmä

Järjestelmälle, jolla on yksi vapausaste, yleinen voima, joka vastaa yleistettyä koordinaattia q, kutsutaan kaavan määrittämäksi suureksi

missä D q– yleisen koordinaatin pieni lisäys; – järjestelmän voimien perustöiden summa sen mahdollisessa liikkeessä.

Muistetaan, että järjestelmän mahdollinen liike määritellään järjestelmän liikkeeksi yhteyksien sallimaan äärettömän lähelle asentoon tietyllä hetkellä (katso tarkemmin liite 1).

Tiedetään, että ihanteellisten sidosten reaktiovoimien suorittaman työn summa järjestelmän mahdollisessa siirtymässä on yhtä suuri kuin nolla. Siksi järjestelmässä, jossa on ihanteelliset yhteydet, lausekkeessa tulisi ottaa huomioon vain järjestelmän aktiivisten voimien työ. Jos liitokset eivät ole ihanteellisia, niin niiden reaktiovoimia, esimerkiksi kitkavoimia, pidetään tavanomaisesti aktiivisina voimina (katso alla ohjeet kuvan 1.5 kaaviosta). Tämä sisältää aktiivisten voimien alkeistyön ja aktiivisten voimien momenttien alkeistyön. Kirjoitetaan kaavoja näiden teosten määrittämiseksi. Sanotaanpa voima ( F kx, F ky, F kz) sovelletaan kohdassa TO, jonka sädevektori on ( x k, y k, z k), ja mahdollinen siirtymä – (d xk, d y k , d z k). Voiman perustyö mahdolliseen siirtymään on yhtä suuri kuin skalaaritulo, joka analyyttisessä muodossa vastaa lauseketta

d A( ) = F to d r to cos(), (1.3a)

ja koordinaattimuodossa - lauseke

d A( ) = F kx d x k + F ky d y k + F kz d z k. (1.3b)

Jos pari voimaa hetkessä M sovelletaan pyörivään kappaleeseen, jonka kulmakoordinaatti on j ja mahdollinen siirtymä on dj, niin hetken perustyö M mahdollisesta siirtymästä dj määritetään kaavalla

d OLEN) = ± M d j. (1,3 V)

Tässä merkki (+) vastaa tapausta, jolloin hetki M ja mahdollinen liike-dj osuvat suuntaan; merkki (–), kun ne ovat vastakkaisessa suunnassa.

Jotta yleistetty voima voidaan määrittää kaavan (1.3) avulla, on välttämätöntä ilmaista kappaleiden ja pisteiden mahdolliset liikkeet yleisen koordinaatin d pienellä lisäyksellä q, käyttämällä riippuvuuksia (1)…(7) adj. 1.

Yleisen voiman määritelmä K, joka vastaa valittua yleistettyä koordinaattia q, on suositeltavaa tehdä se seuraavassa järjestyksessä.

· Piirrä suunnittelukaavioon kaikki järjestelmän aktiiviset voimat.

· Tee pieni lisäys yleistetylle koordinaatille d q> 0; näytä laskentakaaviossa vastaavat mahdolliset siirtymät kaikissa kohdissa, joissa voimia kohdistetaan, sekä kaikkien kappaleiden mahdolliset kulmasiirtymät, joihin voimaparien momentit kohdistuvat.

· Laadi lauseke järjestelmän kaikkien aktiivisten voimien alkeistyöstä näissä liikkeissä, ilmaise mahdolliset liikkeet d:n kautta q.

· Määritä yleinen voima kaavalla (1.3).

Esimerkki 1.4 (katso kuvan 1.1 ehto).

Määritellään yleistettyä koordinaattia vastaava yleinen voima s(Kuva 1.4).

Aktiiviset voimat vaikuttavat järjestelmään: P- lastin paino; G– rummun paino ja vääntömomentti M.

Karkea kalteva taso on kuormaa varten A epätäydellinen yhteys. Liukuva kitkavoima F tr, vaikuttaa kuormaan A tästä yhteydestä, on yhtä suuri kuin F tr = f N.

Vahvuuden määrittämiseksi N Tasoon kohdistuvan kuorman normaalipaine liikkeen aikana, käytetään D'Alembertin periaatetta: jos järjestelmän jokaiseen pisteeseen kohdistetaan ehdollinen inertiavoima liitosten aktiivisten aktiivisten voimien ja reaktiovoimien lisäksi, niin tuloksena oleva joukko voimat tasapainotetaan ja dynaamiset yhtälöt voidaan antaa staattisten tasapainoyhtälöiden muodossa. Tämän periaatteen tunnettua soveltamismenetelmää noudattaen kuvaamme kaikki kuormaan vaikuttavat voimat A(Kuva 1.5), – ja , missä on kaapelin jännitysvoima.

Riisi. 1.4 Kuva. 1.5

Lisätään hitausvoima, missä on kuorman kiihtyvyys. D'Alembertin periaatteen yhtälö projektiossa akselille y näyttää N-Pcos a = 0.

Täältä N = PCS a. Liukukitkavoima voidaan nyt määrittää kaavalla F tr = f P cos a.

Annetaan yleistetty koordinaatti s pieni lisäys d s> 0. Tässä tapauksessa kuorma (kuva 1.4) siirtyy kaltevaa tasoa ylöspäin etäisyydelle d s, ja rumpu kääntyy vastapäivään kulman dj verran.

Käyttämällä kaavoja, kuten (1.3a) ja (1.3c), laaditaan lauseke elementaaristen vääntömomenttien summalle M, voimaa P Ja F tr:

Ilmaistaan ​​dj tässä yhtälössä d:stä s:, sitten

määrittelemme yleisen voiman kaavalla (1.3)

Otetaan huomioon aiemmin kirjoitettu kaava F tr ja vihdoin saamme

Jos samassa esimerkissä otetaan kulma j yleistetyksi koordinaatiksi, niin yleistetty voima Qj ilmaistaan ​​kaavalla

1.4.2. Yleisten systeemivoimien määritys
kahdella vapausasteella

Jos järjestelmässä on n vapausasteita, sen asema määräytyy n yleistetyt koordinaatit. Jokainen koordinaatti qi(minä = 1,2,…,n) vastaa sen yleistä voimaa Qi, joka määritetään kaavalla

missä on aktiivisten voimien elementaaristen töiden summa i-järjestelmän mahdollinen liike, kun d q i > 0, ja loput yleiset koordinaatit ovat ennallaan.

Määritettäessä on otettava huomioon ohjeet yleistettyjen voimien määrittämiseksi kaavan (1.3) mukaisesti.

On suositeltavaa määrittää kahden vapausasteen järjestelmän yleiset voimat seuraavassa järjestyksessä.

· Näytä suunnittelukaaviossa kaikki järjestelmän aktiiviset voimat.

· Määritä ensimmäinen yleinen voima K 1. Tee tämä antamalla järjestelmälle ensimmäinen mahdollinen liike, kun d q 1 > 0 ja d q 2 =q 1 järjestelmän kaikkien kappaleiden ja pisteiden mahdolliset liikkeet; säveltää - ilmaus järjestelmän voimien perustyöstä ensimmäisessä mahdollisessa siirtymässä; mahdolliset liikkeet ilmaistuna d:n kautta q 1; löytö K 1 kaavan (1.4) mukaisesti ottaen minä = 1.

· Määritä toinen yleinen voima K 2. Tee tämä antamalla järjestelmälle toinen mahdollinen liike, kun d q 2 > 0 ja d q 1 = 0; näytä vastaava d suunnittelukaaviossa q 2 järjestelmän kaikkien kappaleiden ja pisteiden mahdolliset liikkeet; säveltää - ilmaus järjestelmän voimien perustyöstä toiseen mahdolliseen siirtymään; mahdolliset liikkeet ilmaistuna d:n kautta q 2; löytö K 2 kaavan (1.4) mukaisesti ottaen minä = 2.

Esimerkki 1.5 (katso kuvan 1.2 ehto)

Määritellään K 1 Ja K 2, joka vastaa yleistettyjä koordinaatteja xD Ja x A(Kuva 1.6, A).

Järjestelmään vaikuttaa kolme aktiivista voimaa: PA = 2P, P B = P D = P.

Määritelmä K 1. Annetaan systeemille ensimmäinen mahdollinen liike, kun d xD> 0, d x A = 0 (kuva 1.6, A). Samaan aikaan kuorma D xD, lohko B pyörii vastapäivään kulman dj verran B, sylinterin akseli A pysyy liikkumattomana, sylinterinä A pyörii akselin ympäri A kulmassa dj A myötäpäivään. Kootaan työn summa osoitetuista liikkeistä:

määritellään

Määritellään K 2. Annetaan järjestelmälle toinen mahdollinen liike, kun d x D = 0, d xA> 0 (kuva 1.6, b). Tässä tapauksessa sylinterin akseli A liikkuu pystysuunnassa alas etäisyyden d x A, sylinteri A pyörii akselin ympäri A myötäpäivään kulmaan dj A, lohko B ja rahtia D pysyy liikkumattomana. Kootaan työn summa osoitetuista liikkeistä:

määritellään

Esimerkki 1.6 (katso kuvan 1.3 ehto)

Määritellään K 1 Ja K 2, joka vastaa yleistettyjä koordinaatteja j, s(Kuva 1.7, A). Järjestelmään vaikuttaa neljä aktiivista voimaa: tangon paino P, pallon paino, jousen kimmovoima ja .

Otetaan se huomioon. Kimmokerroin määritetään kaavalla (a).

Huomaa, että voiman kohdistamispiste F 2 on liikkumaton, joten tämän voiman työ järjestelmän mahdolliseen siirtymään on nolla, yleistettujen voimien ilmaisussa voima F 2 ei mene sisään.

Määritelmä K 1. Annetaan järjestelmälle ensimmäinen mahdollinen liike kun dj > 0, d s = 0 (kuva 1.7, A). Tässä tapauksessa sauva AB pyörii akselin ympäri z vastapäivään kulmalla dj, pallon mahdolliset liikkeet D ja keskustaan E tangot on suunnattu kohtisuoraan segmenttiin nähden ILMOITUS, jousen pituus ei muutu. Laitetaan se koordinaattimuotoon [katso. kaava (1.3b)]:

(Huomaa, että siksi tämän voiman tekemä työ ensimmäisellä mahdollisella siirtymällä on nolla).

Ilmoitetaan siirtymät d x E ja d xD dj:n kautta. Tätä varten kirjoitamme ensin

Sitten kaavan (7) mukaisesti adj. 1 löydämme

Korvaamalla löydetyt arvot arvolla , saamme

Määritämme kaavan (1.4) avulla ottaen huomioon, että

Määritelmä K 2. Annetaan järjestelmälle toinen mahdollinen liike, kun dj = 0, d s> 0 (kuva 1.7, b). Tässä tapauksessa sauva AB pysyy liikkumattomana, ja pallo M liikkuu sauvaa pitkin etäisyyden d s. Kootaan työn summa osoitetuista liikkeistä:

määritellään

korvaamalla voiman arvon F 1 kaavasta (a) saamme

1.5. Ilmaisee järjestelmän kineettistä energiaa
yleistetyissä koordinaateissa

Järjestelmän liike-energia on yhtä suuri kuin sen kappaleiden ja pisteiden kineettisten energioiden summa (Liite 2). saadakseen T Lausekkeen (1.2) tulee ilmaista järjestelmän kaikkien kappaleiden ja pisteiden nopeudet yleistetyillä nopeuksilla kinemaattisia menetelmiä käyttäen. Tässä tapauksessa järjestelmän katsotaan olevan mielivaltaisessa asemassa, kaikki sen yleistyneet nopeudet katsotaan positiivisiksi, eli suunnattuiksi yleistettävien koordinaattien kasvamiseen.

Esimerkki 1. 7 (katso kuvan 1.1 ehto)

Määritetään järjestelmän kineettinen energia (kuva 1.8) ottamalla etäisyys yleistetyksi koordinaatiksi s,

T = T A + T B.

Kaavojen (2) ja (3) mukaan adj. 2 meillä on: .

Näiden tietojen korvaaminen T ja kun se otetaan huomioon, saamme

Esimerkki 1.8(katso kuvan 1.2 ehto)

Määritetään järjestelmän kineettinen energia kuvasta. 1.9, ottaen yleisiksi koordinaatteiksi suuret xD Ja x A,

T = T A + T B + T D.

Kaavojen (2), (3), (4) adj. 2 kirjoitamme ylös

Ilmaistaan V A , V D , w B ja W A kautta :

Kun määritetään w A otetaan huomioon, että kohta O(Kuva 1.9) – sylinterin kierroslukujen hetkellinen keskipiste A Ja V k = V D(katso vastaavat selitykset esimerkki 2 liite 2).

Saatujen tulosten korvaaminen T ja sen huomioon ottaen

määritellään

Esimerkki 1.9(katso kuvan 1.3 ehto)

Määritetään järjestelmän kineettinen energia kuvasta. 1.10, ottaen j ja yleistettyinä koordinaatteina s,

T = TAB + T D.

Kaavojen (1) ja (3) mukaan adj. 2 meillä on

Ilmaistakaamme w AB Ja V D kautta ja:

missä on pallon siirtonopeus D, sen moduuli määräytyy kaavalla

Suunnattu kohtisuoraan segmenttiin ILMOITUS kulman j kasvun suuntaan; – pallon suhteellinen nopeus, sen moduuli määräytyy kaavan mukaan, joka on suunnattu kasvaviin koordinaatteihin s. Huomaa, että se on siis kohtisuorassa

Näiden tulosten korvaaminen T ja sen huomioon ottaen

1.6. Differentiaaliyhtälöiden laatiminen
mekaanisten järjestelmien liikkuminen

Vaadittujen yhtälöiden saamiseksi on tarpeen korvata Lagrangen yhtälöihin (1.1) aiemmin löydetty lauseke järjestelmän liike-energialle yleistetyissä koordinaateissa ja yleistetyissä voimissa. K 1 , K 2 , … , Qn.

Kun etsitään osittaisia ​​johdannaisia T yleistettyjä koordinaatteja ja yleistettyjä nopeuksia käyttäen tulee ottaa huomioon, että muuttujat q 1 , q 2 , … , q n; pidetään toisistaan ​​riippumattomina. Tämä tarkoittaa, että määritettäessä osittaista derivaatta T yhdelle näistä muuttujista, kaikki muut muuttujat lausekkeessa for T tulee pitää vakioina.

Toimia suoritettaessa kaikki muuttujaan sisältyvät muuttujat on erotettava ajallisesti.

Korostamme, että Lagrange-yhtälöt kirjoitetaan jokaiselle yleistetylle koordinaatille qi (minä = 1, 2,…n) järjestelmät.