Etäisyys pisteestä tasoon: määritelmä ja esimerkkejä löydöstä. Etäisyys pisteestä tasoon

Etäisyyden löytäminen pisteestä tasoon on yleinen ongelma, joka syntyy analyyttisen geometrian erilaisia tehtäviä ratkaistaessa; tämä ongelma voidaan lyhentää esimerkiksi kahden leikkaavan suoran tai suoran ja sen suuntaisen tason välisen etäisyyden löytämiseen. se.

Tarkastellaan tasoa $β$ ja pistettä $M_0$ koordinaattein $(x_0;y_0; z_0)$, joka ei kuulu tasoon $β$.

Määritelmä 1

Lyhin etäisyys pisteen ja tason välillä on kohtisuora, joka on vedetty pisteestä $M_0$ tasoon $β$.

Kuva 1. Etäisyys pisteestä tasoon. Author24 - opiskelijatöiden verkkovaihto

Alla pohditaan kuinka löytää etäisyys pisteestä tasoon käyttämällä koordinaattimenetelmää.

Kaavan johtaminen koordinaattimenetelmälle etäisyyden pisteestä tasoon avaruudessa

Kohtisuora pisteestä $M_0$, joka leikkaa tason $β$ pisteessä $M_1$ koordinaattein $(x_1;y_1; z_1)$, on suoralla, jonka suuntavektori on tason $β$ normaalivektori. Tässä tapauksessa yksikkövektorin $n$ pituus on yhtä suuri kuin yksi. Vastaavasti etäisyys $β$ pisteeseen $M_0$ on:

$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, missä $\vec(M_1M_0)$ on $β$-tason normaalivektori, ja $\vec( n)$ on tarkasteltavan tason yksikkönormaalivektori.

Siinä tapauksessa, että tason yhtälö on annettu yleisessä muodossa $Ax+ By + Cz + D=0$, tason normaalivektorin koordinaatit ovat yhtälön $$A;B;C$ kertoimet )$, ja yksikkönormaalivektorilla on tässä tapauksessa koordinaatit , jotka on laskettu seuraavan yhtälön avulla:

$\vec(n)= \frac($A;B;C$)(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\oikea)$.

Nyt voimme löytää normaalivektorin $\vec(M_1M_0)$ koordinaatit:

$\vec(M_0M_1)= $x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1$\left(3\right)$.

Ilmaisemme myös kertoimen $D$ käyttämällä $β$-tasossa olevan pisteen koordinaatteja:

$D = Ax_1+By_1+Cz_1$

Yksikkönormaalivektorin koordinaatit yhtälöstä $(2)$ voidaan korvata $β$-tason yhtälöön, jolloin meillä on:

$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2) +B^2+C^2))\left(4\right)$

Yhtälö $(4)$ on kaava pisteen etäisyyden määrittämiseksi tasoon avaruudessa.

Yleinen algoritmi etäisyyden löytämiseksi pisteestä $M_0$ tasoon

Jos tason yhtälöä ei anneta yleisessä muodossa, sinun on ensin vähennettävä se yleiseen muotoon.
Tämän jälkeen on tarpeen ilmaista tason yleisestä yhtälöstä tietyn tason normaalivektori pisteen $M_0$ ja tiettyyn tasoon kuuluvan pisteen kautta, tätä varten on käytettävä yhtälöä $(3)$ .
Seuraava vaihe on tason yksikkönormaalivektorin koordinaattien etsiminen kaavalla $(2)$.
Lopuksi voit alkaa etsiä etäisyyttä pisteestä tasoon, tämä tehdään laskemalla vektorien $\vec(n)$ ja $\vec(M_1M_0)$ skalaaritulo.

Etäisyyden määrittäminen: 1 - pisteen ja tason välillä; 2 - suora ja tasainen; 3 - lentokoneet; 4 - risteäviä suoria tarkastellaan yhdessä, koska kaikkien näiden ongelmien ratkaisualgoritmi on olennaisesti sama ja koostuu geometrisista rakenteista, jotka on suoritettava määrittämään tietyn pisteen A ja tason α välinen etäisyys. Jos eroa on, niin se johtuu vain siitä, että tapauksissa 2 ja 3, ennen kuin aloitat ongelman ratkaisemisen, tulisi merkitä mielivaltainen piste A suoralle m (tapaus 2) tai tasolle β (tapaus 3). risteysviivojen väliset etäisyydet, suljemme ne ensin yhdensuuntaisiin tasoihin α ja β ja määritämme sitten näiden tasojen välisen etäisyyden.

Tarkastellaan jokaista havaittua ongelmanratkaisutapausta.

1. Pisteen ja tason välisen etäisyyden määrittäminen.

Etäisyys pisteestä tasoon määräytyy pisteestä tasoon vedetyn kohtisuoran segmentin pituuden mukaan.

Siksi tämän ongelman ratkaisu koostuu seuraavien graafisten toimintojen suorittamisesta peräkkäin:

1) pisteestä A laskemme kohtisuoraa tasoon α nähden (kuva 269);

2) etsi tämän kohtisuoran leikkauspiste M tason M = a ∩ α kanssa;

3) määrittää segmentin pituus.

Jos taso α on yleisasennossa, niin kohtisuoran laskemiseksi tälle tasolle on ensin määritettävä tämän tason vaaka- ja etuprojektion suunta. Tämän kohtisuoran kohtauspisteen löytäminen tason kanssa vaatii myös geometrisia lisärakenteita.

Ongelman ratkaisu yksinkertaistuu, jos taso α on tietyssä paikassa suhteessa projektiotasoihin. Tässä tapauksessa sekä kohtisuoran projektio että sen kohtaamispisteen löytäminen tason kanssa suoritetaan ilman ylimääräisiä apurakenteita.

ESIMERKKI 1. Määritä etäisyys pisteestä A edestä heijastuvaan tasoon α (kuva 270).

RATKAISU. A":n kautta piirretään kohtisuoran l" ⊥ h 0α vaakasuora projektio ja A":n kautta - sen frontaaliprojektio l" ⊥ f 0α. Merkitään piste M" = l" ∩ f 0α . AM || π 2, sitten [A" M"] == |AM| = d.

Tarkastetusta esimerkistä käy selvästi ilmi, kuinka yksinkertaisesti ongelma ratkaistaan, kun kone on ulkonevassa asennossa. Siksi, jos lähdetiedoissa on määritelty yleinen sijaintitaso, niin ennen ratkaisuun jatkamista taso tulee siirtää asentoon, joka on kohtisuorassa mihin tahansa projektiotasoon nähden.

ESIMERKKI 2. Määritä etäisyys pisteestä K ΔАВС:n määrittelemään tasoon (kuva 271).

1. Siirrämme tason ΔАВС ulkonevaan asentoon *. Tätä varten siirrymme järjestelmästä xπ 2 /π 1 kohtaan x 1 π 3 /π 1: uuden x 1 -akselin suunta valitaan kohtisuoraan kolmion vaakatason vaakaprojektioon nähden.

2. Projektoi ΔABC uudelle tasolle π 3 (ΔABC-taso projisoidaan π 3:lle, [ C " 1 B " 1 ]).

3. Projisoi piste K samalle tasolle (K" → K" 1).

4. Piirretään pisteen K" 1 kautta (K" 1 M" 1)⊥ jana [C" 1 B" 1]. Tarvittava etäisyys d = |K" 1 M" 1 |

Ongelman ratkaisu yksinkertaistuu, jos taso määritellään jälkien avulla, koska tasoviivojen projektioita ei tarvitse piirtää.

ESIMERKKI 3. Määritä etäisyys pisteestä K tasoon α, joka on määritetty raiteilla (kuva 272).

* Järkevin tapa siirtää kolmion taso projektioasentoon on korvata projektiotasot, koska tässä tapauksessa riittää vain yhden apuprojektion rakentaminen.

RATKAISU. Korvataan taso π 1 tasolla π 3, tätä varten piirretään uusi akseli x 1 ⊥ f 0α. Kohdalla h 0α merkitsemme mielivaltaisen pisteen 1" ja määritämme sen uuden vaakaprojektion tasolle π 3 (1" 1). Pisteiden X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) ja 1" 1 kautta piirretään h 0α 1. Määritämme pisteen K → K" 1 uuden vaakaprojektion. Pisteestä K" 1 laskemme kohtisuoran h 0α 1:een ja merkitsemme sen leikkauspisteen kanssa h 0α 1 - M" 1. Janan K" 1 M" 1 pituus osoittaa vaaditun etäisyyden.

2. Suoran ja tason välisen etäisyyden määrittäminen.

Suoran ja tason välinen etäisyys määräytyy suoran mielivaltaisesta pisteestä tasoon pudotetun kohtisuoran segmentin pituudella (katso kuva 248).

Siksi suoran m ja tason α välisen etäisyyden määrittämisongelman ratkaisu ei eroa kappaleessa 1 käsitellyistä esimerkeistä pisteen ja tason välisen etäisyyden määrittämiseksi (katso kuvat 270 ... 272). Pisteeksi voit ottaa minkä tahansa suoralle m kuuluvan pisteen.

3. Tasojen välisen etäisyyden määrittäminen.

Tasojen välinen etäisyys määräytyy yhden tason pisteestä toiseen tasoon pudotetun kohtisuoran segmentin koon mukaan.

Tästä määritelmästä seuraa, että algoritmi tasojen α ja β välisen etäisyyden löytämisen ongelman ratkaisemiseksi eroaa samanlaisesta algoritmista suorien m ja tason α välisen etäisyyden määrittämisongelman ratkaisemiseksi vain siinä, että suoran m täytyy kuulua tasoon α. , eli tasojen α ja β välisen etäisyyden määrittämiseksi seuraavaa:

1) ota α-tasossa suora m;

2) valitse mielivaltainen piste A suoralta m;

3) pisteestä A laske kohtisuora l tasoon β nähden;

4) määritä piste M - kohtisuoran l kohtauspiste tason β kanssa;

5) määrittää segmentin koko.

Käytännössä on suositeltavaa käyttää erilaista ratkaisualgoritmia, joka poikkeaa annetusta vain siten, että tasot tulee siirtää ennen ensimmäistä vaihetta projektioasentoon.

Tämän lisätoiminnon sisällyttäminen algoritmiin yksinkertaistaa poikkeuksetta kaikkien muiden kohtien suorittamista, mikä lopulta johtaa yksinkertaisempaan ratkaisuun.

ESIMERKKI 1. Määritä tasojen α ja β välinen etäisyys (kuva 273).

RATKAISU. Siirrymme järjestelmästä xπ 2 /π 1 kohtaan x 1 π 1 /π 3. Uuteen tasoon π 3 nähden tasot α ja β ovat ulkonevassa asemassa, joten uusien etujuovien f 0α 1 ja f 0β 1 välinen etäisyys on haluttu.

Insinöörikäytännössä on usein tarpeen ratkaista ongelma rakentaa taso yhdensuuntaisesti tietyn tason kanssa ja poistaa siitä tietyllä etäisyydellä. Alla oleva esimerkki 2 havainnollistaa ratkaisua tällaiseen ongelmaan.

ESIMERKKI 2. Tasosta β on rakennettava projektiot, jotka ovat samansuuntaisia tietyn tason α kanssa (m || n), jos tiedetään, että niiden välinen etäisyys on d (kuva 274).

1. Piirrä α-tasoon mielivaltaiset vaakaviivat h (1, 3) ja etuviivat f (1,2).

2. Pisteestä 1 palautetaan kohtisuora l tasoon α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").

3. Merkitsemme kohtisuoraan l mielivaltaisen pisteen A.

4. Määritä janan pituus - (sijainti osoittaa kaaviossa suoran l metrisesti vääristymättömän suunnan).

5. Aseta jana = d suoralle viivalle (1"A 0) pisteestä 1".

6. Merkitse projektioihin l" ja l" pisteet B" ja B", jotka vastaavat pistettä B 0.

7. Piirretään pisteen B kautta taso β (h 1 ∩ f 1). To β || α, on välttämätöntä noudattaa ehtoa h 1 || h ja f 1 || f.

4. Leikkaavien viivojen välisen etäisyyden määrittäminen.

Leikkaavien viivojen välinen etäisyys määräytyy niiden yhdensuuntaisten tasojen välisen kohtisuoran pituuden mukaan, joihin leikkaavat suorat kuuluvat.

Toistensa yhdensuuntaisten tasojen α ja β piirtämiseksi leikkaavien suorien m ja f kautta riittää, että piirretään pisteen A (A ∈ m) kautta suora p, joka on yhdensuuntainen suoran f kanssa, ja pisteen B kautta (B ∈ f) suora k yhdensuuntainen suoran m kanssa. Leikkaavat suorat m ja p, f ja k määrittävät keskenään yhdensuuntaiset tasot α ja β (ks. kuva 248, e). Tasojen α ja β välinen etäisyys on yhtä suuri kuin vaadittu etäisyys risteysviivojen m ja f välillä.

Leikkaavien viivojen välisen etäisyyden määrittämiseksi voidaan ehdottaa toista tapaa, joka koostuu siitä, että jollakin menetelmällä ortogonaaliset projektiot muunnetaan, yksi leikkaussuovista siirretään projektioasentoon. Tässä tapauksessa yksi suoran projektio degeneroituu pisteeksi. Ristikkäisten viivojen uusien projektioiden (piste A" 2 ja segmentti C" 2 D" 2) välinen etäisyys on vaadittu.

Kuvassa 275 esittää ratkaisun risteyslinjojen a ja b välisen etäisyyden määrittämiseen annetuilla segmenteillä [AB] ja [CD]. Ratkaisu suoritetaan seuraavassa järjestyksessä:

1. Siirrä yksi risteysviivoista (a) tason π 3 suuntaiseen asemaan; Tätä varten siirrytään projektiotasojärjestelmästä xπ 2 /π 1 uuteen x 1 π 1 /π 3:een, x 1 -akseli on yhdensuuntainen suoran a vaakaprojektion kanssa. Määritä a" 1 [A" 1 B" 1 ] ja b" 1.

2. Korvaamalla tason π 1 tasolla π 4, siirrämme suoran

ja asentoon a" 2, kohtisuoraan tasoon π 4 nähden (uusi x 2 -akseli piirretään kohtisuoraan a" 1:een).

3. Muodosta uusi vaakasuora projektio suoralle b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].

4. Etäisyys pisteestä A" 2 suoraan C" 2 D" 2 (segmentti (A" 2 M" 2 ]) (on vaadittava.

On syytä muistaa, että yhden risteävän suoran siirtäminen ulkonevaan asentoon ei ole muuta kuin yhdensuuntaisuustasojen, joihin suorat a ja b voidaan sulkea, siirtoa myös ulkonevaan asentoon.

Itse asiassa siirtämällä viivaa a tasoon π 4 nähden kohtisuoraan, varmistamme, että mikä tahansa taso, joka sisältää suoran a, on kohtisuorassa tasoon π 4, mukaan lukien viivojen a ja m määrittelemä taso α (a ∩ m, m | | b ). Jos nyt piirretään suora n, joka on yhdensuuntainen a:n ja leikkaavan suoran b kanssa, niin saadaan taso β, joka on toinen yhdensuuntaisuuden taso, joka sisältää leikkausviivat a ja b. Koska β || α, sitten β ⊥ π 4 .

MATEMATIIKAN YHDENMUKAINEN VALTIOKOKEEN ONGELMAT C2 ETÄISYYDEN LÖYTÄMISEKSI PISTEESTA TASOON

Kulikova Anastasia Jurievna

5. vuoden opiskelija, matematiikan laitos. analyysi, algebra ja geometria EI KFU, Venäjän federaatio, Tatarstanin tasavalta, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

tieteellinen ohjaaja, Ph.D. ped. Tieteet, apulaisprofessori EI KFU, Venäjän federaatio, Tatarstanin tasavalta, Elabuga

Viime vuosina matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon tehtävissä on noussut tehtäviä pisteen etäisyyden laskemisesta tasoon. Tässä artikkelissa tarkastellaan yhden ongelman esimerkkiä käyttäen erilaisia menetelmiä pisteen ja tason välisen etäisyyden löytämiseksi. Erilaisten ongelmien ratkaisemiseen voidaan käyttää sopivinta menetelmää. Kun olet ratkaissut ongelman yhdellä menetelmällä, voit tarkistaa tuloksen oikeellisuuden toisella menetelmällä.

Määritelmä. Etäisyys pisteestä tasoon, joka ei sisällä tätä pistettä, on tästä pisteestä tiettyyn tasoon vedetyn kohtisuoran segmentin pituus.

Tehtävä. Annettu suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö ABKANSSAD.A. 1 B 1 C 1 D 1 sivuilla AB=2, B.C.=4, A.A. 1 = 6. Etsi etäisyys pisteestä D lentokoneeseen ACD 1 .

1 tapa. Käyttämällä määritelmä. Etsi etäisyys r( D, ACD 1) pisteestä D lentokoneeseen ACD 1 (kuvio 1).

Kuva 1. Ensimmäinen menetelmä

Toteutetaan D.H.⊥AC, siis kolmen kohtisuoran lauseella D 1 H⊥AC Ja (DD 1 H)⊥AC. Toteutetaan suoraan D.T. kohtisuorassa D 1 H. Suoraan D.T. makaa lentokoneessa DD 1 H, siis D.T.⊥A.C.. Siten, D.T.⊥ACD 1.

ADC Etsitään hypotenuusa AC ja korkeus D.H.

Suorakulmaisesta kolmiosta D 1 D.H. Etsitään hypotenuusa D 1 H ja korkeus D.T.

Vastaus:.

Menetelmä 2.Volyymimenetelmä (apupyramidin käyttö). Tämän tyyppinen ongelma voidaan pelkistää pyramidin korkeuden laskentaongelmaksi, jossa pyramidin korkeus on vaadittu etäisyys pisteestä tasoon. Todista, että tämä korkeus on vaadittu etäisyys; etsi tämän pyramidin tilavuus kahdella tavalla ja ilmaise tämä korkeus.

Huomaa, että tällä menetelmällä ei tarvitse rakentaa kohtisuoraa tietystä pisteestä tiettyyn tasoon.

Kuutio on suuntaissärmiö, jonka kaikki pinnat ovat suorakulmioita.

AB=CD=2, B.C.=ILMOITUS=4, A.A. 1 =6.

Vaadittava etäisyys on korkeus h pyramidit ACD 1 D, laskettu ylhäältä alas D pohjalla ACD 1 (kuvio 2).

Lasketaan pyramidin tilavuus ACD 1 D kaksi tapaa.

Laskettaessa otetaan ensimmäisellä tavalla kantaksi ∆ ACD 1 sitten

Toisella tavalla laskettaessa otamme kantaksi ∆ ACD, Sitten

Yhdistäkäämme kahden viimeisen yhtälön oikeat puolet ja saakaamme

Kuva 2. Toinen menetelmä

Suorakulmaisista kolmioista ACD, LISÄTÄ 1 , CDD 1 Etsi hypotenuusa Pythagoraan lauseen avulla

ACD

Laske kolmion pinta-ala ACD 1 käyttäen Heronin kaavaa

Vastaus:.

3 tapaa. Koordinaattimenetelmä.

Annetaan piste M(x 0 ,y 0 ,z 0) ja lentokone α , annetaan yhtälöllä kirves+kirjoittaja+cz+d=0 suorakulmaisessa suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä. Etäisyys pisteestä M tasoon α voidaan laskea kaavalla:

Otetaan käyttöön koordinaattijärjestelmä (kuva 3). Koordinaattien alkupiste pisteessä SISÄÄN;

Suoraan AB-akseli X, suoraan Aurinko-akseli y, suoraan BB 1 - akseli z.

Kuva 3. Kolmas menetelmä

B(0,0,0), A(2,0,0), KANSSA(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Antaa ax+kirjoittaja+ cz+ d=0 – tasoyhtälö ACD 1 . Korvaamalla siihen pisteiden koordinaatit A, C, D 1 saamme:

Tasoyhtälö ACD 1 ottaa lomakkeen

Vastaus:.

4 tapaa. Vektorimenetelmä.

Otetaan käyttöön kanta (kuva 4) , .

Kuva 4. Neljäs menetelmä

, Kilpailu "Esitys oppitunnille"

Luokka: 11

Esitys oppitunnille

Takaisin eteenpäin

Huomio! Diojen esikatselut ovat vain tiedoksi, eivätkä ne välttämättä edusta kaikkia esityksen ominaisuuksia. Jos olet kiinnostunut tästä työstä, lataa täysversio.

Tavoitteet:

opiskelijoiden tietojen ja taitojen yleistäminen ja systematisointi;
analysointi-, vertailu- ja johtopäätöstaitojen kehittäminen.

Laitteet:

multimediaprojektori;
tietokone;
arkkia ongelmateksteillä

LUOKAN EDISTYMINEN

I. Organisatorinen hetki

II. Tiedon päivitysvaihe(dia 2)

Toistamme kuinka etäisyys pisteestä tasoon määritetään

III. Luento(diat 3-15)

Tällä oppitunnilla tarkastellaan erilaisia tapoja löytää etäisyys pisteestä tasoon.

Ensimmäinen menetelmä: askel askeleelta laskennallinen

Etäisyys pisteestä M tasoon α:
– yhtä suuri kuin etäisyys tasoon α mielivaltaisesta pisteestä P, joka sijaitsee suoralla a, joka kulkee pisteen M läpi ja on yhdensuuntainen tason α kanssa;
– on yhtä suuri kuin etäisyys tasoon α mielivaltaisesta pisteestä P, joka sijaitsee tasolla β, joka kulkee pisteen M läpi ja on yhdensuuntainen tason α kanssa.

Ratkaisemme seuraavat ongelmat:

№1. Etsi kuutiosta A...D 1 etäisyys pisteestä C 1 tasoon AB 1 C.

Jää vielä laskea segmentin pituuden arvo O 1 N.

№2. Etsi säännöllisessä kuusikulmaisessa prismassa A...F 1, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, etäisyys pisteestä A tasoon DEA 1.

Seuraava tapa: tilavuusmenetelmä.

Jos pyramidin ABCM tilavuus on yhtä suuri kuin V, niin etäisyys pisteestä M tasoon α, joka sisältää ∆ABC:n, lasketaan kaavalla ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Tehtäviä ratkaistaessa käytämme yhden luvun tilavuuksien yhtäläisyyttä kahdella eri tavalla ilmaistuna.

Ratkaistaan seuraava ongelma:

№3. Pyramidin DABC reuna AD on kohtisuorassa kantatasoon ABC nähden. Laske etäisyys A:sta reunojen AB, AC ja AD keskipisteiden kautta kulkevaan tasoon, jos.

Kun ratkaistaan ongelmia koordinaattimenetelmä etäisyys pisteestä M tasoon α voidaan laskea kaavalla ρ(M; α) = , missä M(x 0; y 0; z 0), ja taso saadaan yhtälöllä ax + + cz + d = 0

Ratkaistaan seuraava ongelma:

№4. Etsi yksikkökuutiosta A...D 1 etäisyys pisteestä A 1 tasoon BDC 1.

Otetaan käyttöön koordinaattijärjestelmä, jonka origo on pisteessä A, y-akseli kulkee reunaa AB pitkin, x-akseli reunaa AD pitkin ja z-akseli reunaa AA 1 pitkin. Sitten pisteiden koordinaatit B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Luodaan yhtälö tasolle, joka kulkee pisteiden B, D, C 1 kautta.

Silloin – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Siksi ρ =

Seuraava menetelmä, jota voidaan käyttää tämäntyyppisten ongelmien ratkaisemiseen, on tukiongelmien menetelmä.

Tämän menetelmän soveltaminen koostuu tunnettujen referenssiongelmien käyttämisestä, jotka on muotoiltu lauseiksi.

Ratkaistaan seuraava ongelma:

№5. Etsi yksikkökuutiosta A...D 1 etäisyys pisteestä D 1 tasoon AB 1 C.

Harkitse hakemusta vektori menetelmä.

№6. Etsi yksikkökuutiosta A...D 1 etäisyys pisteestä A 1 tasoon BDC 1.

Joten tarkastelimme erilaisia menetelmiä, joita voidaan käyttää tämäntyyppisten ongelmien ratkaisemiseen. Yhden tai toisen menetelmän valinta riippuu tietystä tehtävästä ja mieltymyksistäsi.

IV. Ryhmätyö

Yritä ratkaista ongelma eri tavoilla.

№1. Kuution A...D 1 reuna on yhtä suuri kuin . Etsi etäisyys kärjestä C tasoon BDC 1.

№2. Etsi säännöllisessä tetraedrissä ABCD, jossa on reuna, etäisyys pisteestä A tasoon BDC

№3. Etsi säännöllisestä kolmioprismasta ABCA 1 B 1 C 1, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, etäisyys A:sta tasoon BCA 1.

№4. Etsi säännöllisestä nelikulmaisesta pyramidista SABCD, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, etäisyys A:sta tasoon SCD.

V. Oppitunnin yhteenveto, kotitehtävät, reflektointi

Olkoon lentokone . Piirretään normaali
koordinaattien O origon kautta. Olkoon annettu
– normaalin muodostamat kulmat koordinaattiakseleilla.
. Antaa – normaalin segmentin pituus
kunnes se leikkaa koneen. Olettaen, että normaalin suuntakosinit tunnetaan , johdamme tason yhtälön .

Antaa
) on mielivaltainen piste tasossa. Yksikkönormaalivektorilla on koordinaatit. Etsitään vektorin projektio
normaaliksi.

Kohdasta lähtien M kuuluu siis koneeseen

Tämä on tietyn tason yhtälö, ns normaali .

Etäisyys pisteestä tasoon

Anna lentokone ,M*
-piste avaruudessa, d – sen etäisyys koneesta.

Määritelmä. Poikkeama pisteitä M* koneesta kutsutaan numeroksi ( + d), Jos M* sijaitsee tason toisella puolella, jossa normaalin positiivinen suunta osoittaa , ja numero (- d), jos piste sijaitsee tason toisella puolella:

Lause. Anna lentokoneen normaalilla yksiköllä saadaan normaaliyhtälöllä:

Antaa M*
– piste avaruudessa Poikkeama t. M* tasosta saadaan lausekkeella

Todiste. Projektio t.
* merkitsemme normaalia K. Pistepoikkeama M* tasosta on yhtä suuri

Sääntö. Löytää poikkeama T. M* tasosta, sinun on korvattava koordinaatit t tason normaaliyhtälöön. M* . Etäisyys pisteestä tasoon on .

Pelkistetään yleinen tasoyhtälö normaalimuotoon

Määritetään sama taso kahdella yhtälöllä:

Yleinen yhtälö

Normaali yhtälö.

Koska molemmat yhtälöt määrittelevät saman tason, niiden kertoimet ovat verrannollisia:

Nelitetään kolme ensimmäistä yhtälöä ja lasketaan ne yhteen:

Täältä löydämme - normalisoiva tekijä:

. (10)

Kertomalla tason yleinen yhtälö normalisoivalla kertoimella, saadaan tason normaaliyhtälö:

Esimerkkejä ongelmista aiheesta "Lento".

Esimerkki 1. Luo tason yhtälö kulkee tietyn pisteen läpi
(2,1,-1) ja yhdensuuntainen tason kanssa.

Ratkaisu. Normaali lentokoneeseen :
. Koska tasot ovat yhdensuuntaiset, niin normaali on myös normaali halutulle tasolle . Tietyn pisteen (3) läpi kulkevan tason yhtälön avulla saadaan tasolle yhtälö:

Vastaus:

Esimerkki 2. Pystysuoran kanta on pudonnut origosta tasoon , on pointti
. Etsi tason yhtälö .

Ratkaisu. Vektori
on normaalia koneessa . Piste M 0 kuuluu koneeseen. Voit käyttää tietyn pisteen läpi kulkevan tason yhtälöä (3):

Vastaus:

Esimerkki 3. Rakenna lentokone , kulkee pisteiden läpi

ja kohtisuorassa tasoon nähden :.

Siksi jossain vaiheessa M (x, y, z) kuului koneeseen , on välttämätöntä, että kolme vektoria
olivat samassa tasossa:

=0.

On vielä paljastaa determinantti ja saatettava tuloksena oleva lauseke yleisen yhtälön (1) muotoon.

Esimerkki 4. Lentokone annetaan yleisellä yhtälöllä:

Etsi pistepoikkeama
tietystä koneesta.

Ratkaisu. Viedään tason yhtälö normaalimuotoon.

Korvataan pisteen koordinaatit tuloksena olevaan normaaliyhtälöön M*.

Vastaus:
.

Esimerkki 5. Leikkaako taso segmentin?

Ratkaisu. Katkaista AB ylitti koneen, poikkeamat Ja lentokoneesta täytyy olla erilaisia merkkejä:

Esimerkki 6. Kolmen tason leikkaus yhdessä pisteessä.

Järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joten kolmella tasolla on yksi yhteinen piste.

Esimerkki 7. Kahden tietyn tason muodostaman kaksitahoisen kulman puolittajien löytäminen.

Antaa Ja - poikkeama jostain pisteestä
ensimmäisestä ja toisesta tasosta.

Toisella puolittajatasolla (vastaa kulmaa, jossa koordinaattien alkupiste sijaitsee) nämä poikkeamat ovat suuruudeltaan ja etumerkillään yhtä suuret, ja toisella ne ovat suuruudeltaan yhtä suuret ja vastakkaiset etumerkillä.

Tämä on ensimmäisen puolittajatason yhtälö.

Tämä on toisen puolittajatason yhtälö.

Esimerkki 8. Kahden annetun pisteen sijainnin määrittäminen Ja suhteessa näiden tasojen muodostamiin dihedraalisiin kulmiin.