aaltoprosessi. aaltoyhtälö

Aalto on värähtelyn (tai jonkin muun signaalin) etenemisprosessi avaruudessa.

Kuvittele esimerkiksi, että tason kaikissa kohdissa YOZ jotkut fyysiset parametrit muuttuvat ajassa harmonisen lain mukaan

Anna tämän abstraktin parametrin värähtelyjen edetä pitkin akselia HÄRKÄ nopeudella v(Kuva 13.1.). Sitten tasossa koordinaatilla x alkuperäiset värähtelyt toistetaan uudelleen, mutta sekuntien viiveellä:

Riisi. 13.1.

Funktiota (13.1) kutsutaan tasoaaltoyhtälöksi. Tämä tärkeä funktio kirjoitetaan usein tässä muodossa

Tässä: E 0 ja w - aallon värähtelyjen amplitudi ja taajuus,

(w t – kx+ - aaltovaihe,

a - alkuvaihe,

aaltonumero,

v- aallon etenemisnopeus.

Kaikkien avaruuden pisteiden joukko, joissa värähtelyjä esiintyy samassa vaiheessa, määrittää vaiheen pinta. Esimerkissämme tämä on lentokone.

(w t – kx+ = F = const - vaihepinnan liikeyhtälö aallon etenemisprosessissa. Otetaan tämän yhtälön derivaatta ajan suhteen:

w - k= 0.

Täällä = vφ - vaihepinnan nopeus - vaihenopeus.

= v f = .

Siten vaihenopeus on yhtä suuri kuin aallon etenemisnopeus.

Vaihepintaa, joka erottaa aaltoprosessin peittämän tilan osasta, johon aalto ei ole vielä saavuttanut, kutsutaan aaltorintamaksi. Myös aaltorintama yhtenä vaihepinnoista liikkuu vaihenopeuden mukana. Tämä esimerkiksi akustisen aallon nopeus ilmassa on 330 m/s ja valon (sähkömagneettisen) aallon nopeus tyhjiössä - 3×10 8 m/s.

aaltoyhtälö E = E 0 × cos(w t – kx+ j) on ratkaisu differentiaaliaaltoyhtälö. Tämän differentiaaliyhtälön löytämiseksi erotamme aaltoyhtälön (13.2) kahdesti ajassa ja sitten kahdesti koordinaatissa:

Vertaamalla näitä kahta ilmaisua huomaamme sen

Mutta aaltonumero k=, niin

. (13.3)

Tämä on aaltoprosessin differentiaaliyhtälö - aaltoyhtälö.

Jälleen kerran huomautamme sen aaltoyhtälö(13.2) on ratkaisu aaltoyhtälö (13.3).

Aaltoyhtälö voidaan tietysti kirjoittaa muodossa

Nyt on ilmeistä, että aaltoyhtälössä toisen derivaatan kerroin koordinaatin suhteen on yhtä suuri kuin aallon vaihenopeuden neliö.

Jos ratkaisemalla liikkeen ongelman saamme tyyppisen differentiaaliyhtälön

tämä tarkoittaa, että tutkittava liike on omat vaimentuneet värähtelyt…

Jos säännöllistä ongelmaa ratkaistaessa syntyisi differentiaaliyhtälö

tämä tarkoittaa, että tutkimus aaltoprosessi, ja tämän aallon etenemisnopeus.

Turvallisuushuomautus

Laboratoriotyötä tehdessään

Työssä käytettyjen sähköisten mittauslaitteiden sisällä on 220 V, 50 Hz vaihtojännite, joka on hengenvaarallinen.

Vaarallisimpia paikkoja ovat virtakytkin, sulakepistorasiat, laitteiden virtajohto, jännitteen alaiset liitäntäjohdot.

Opiskelijat, jotka ovat saaneet koulutuksen turvatoimiin laboratoriotyön aikana, saavat tehdä laboratoriotyötä opetuslaboratoriossa laboratoriotyöskentelyn turvallisuustoimenpiteitä koskevan tiedon testauspöytäkirjaan pakollisella rekisteröinnillä.

Ennen laboratoriotyön suorittamista opiskelijat
tarpeellista:

Opi laboratoriotyön suorittamisen menetelmät, sen turvallisen toteuttamisen säännöt;

Tutustu kokeelliseen kokoonpanoon; tuntea turvalliset menetelmät ja tekniikat instrumenttien ja laitteiden käsittelyssä tätä laboratoriotyötä tehdessään;

Tarkista virtajohtojen laatu; varmista, että kaikki laitteiden virtaa kuljettavat osat ovat suljettuja ja kosketuspääsyä sisältämättömiä;

Tarkista instrumenttikotelon liittimien ja maadoitusväylän liitäntöjen luotettavuus;

Jos toimintahäiriö ilmenee, ilmoita välittömästi opettajalle tai insinöörille;

Pyydä opettajalta lupa sen toteuttamiseen, mikä vahvistaa teoreettisen materiaalin assimilaatiota. Opiskelija, joka ei ole saanut lupaa laboratoriotyön tekemiseen, ei ole sallittu.

Laitteiden sisällyttämisen suorittaa opettaja tai insinööri. Vasta kun hän on vakuuttunut laitteiden huollosta ja niiden kokoonpanon oikeellisuudesta, voit jatkaa laboratoriotyötä.

Laboratoriotöitä tehdessään opiskelijoiden tulee:

Älä jätä päälle kytkettyjä laitteita ilman valvontaa;

Älä nojaa niiden lähelle, älä anna mitään esineitä niiden läpi äläkä nojaa niihin;

Kun työskentelet painojen kanssa, kiinnitä ne tiukasti akseleiden kiinnitysruuveilla.

minkä tahansa asennuksen osan vaihtaminen, irrotettavien liitäntöjen kytkeminen tai irrottaminen tulee suorittaa vain, kun virransyöttö on katkaistu opettajan tai insinöörin selkeässä valvonnassa.

Ilmoita laboratoriotyön aikana havaituista puutteista opettajalle tai insinöörille

Työn päätyttyä opettaja tai insinööri irrottaa laitteet ja laitteet sähköverkosta.

Lab #5

ÄÄNEN NOPEUDEN MÄÄRITTÄMINEN ILMASSA SEISEVAAALTOMENETELMÄLLÄ

Työn tavoite:

tutustua aaltoprosessien pääominaisuuksiin;

tutkia seisovan aallon muodostumisolosuhteita ja ominaisuuksia.

Työtehtävät

määrittää äänen nopeus ilmassa seisovan aallon menetelmällä;

määrittää isobarisen lämpökapasiteetin suhde isokoriseen ilmaan.

Aaltojen käsite.

Mekaanista tärinää suorittava kappale siirtää lämpöä ympäristöön kitka- tai vastusvoimien vaikutuksesta, mikä tehostaa väliaineen hiukkasten satunnaista liikettä. Kuitenkin monissa tapauksissa syntyy värähtelyjärjestelmän energian vuoksi ympäristön naapurihiukkasten järjestetty liike - ne alkavat suorittaa pakotettuja värähtelyjä suhteessa alkuperäiseen asemaansa hiukkaset toisiinsa yhdistävien elastisten voimien vaikutuksesta. Avaruuden tilavuus, jossa nämä värähtelyt tapahtuvat, kasvaa ajan myötä. Sellainen värähtelyjen etenemisprosessia väliaineessa kutsutaan aaltoliikkeeksi tai yksinkertaisesti aaltoliikkeeksi.
Yleisessä tapauksessa elastisten ominaisuuksien läsnäolo väliaineessa ei ole välttämätöntä aaltojen leviämiseksi siinä. Esimerkiksi sähkömagneettiset ja gravitaatioaallot etenevät myös tyhjiössä. Siksi fysiikassa aallot ovat mitä tahansa avaruudessa eteneviä aineen tilan tai kentän häiriöitä. Häiriö ymmärretään fysikaalisten suureiden poikkeamaksi niiden tasapainotiloista.

Kiinteissä aineissa häiriö ymmärretään jaksoittaisesti muuttuvaksi muodonmuutokseksi, joka syntyy jaksollisen voiman vaikutuksesta ja joka saa väliaineen hiukkaset poikkeamaan tasapainoasennosta - niiden pakotetusta värähtelystä. Kun tarkastellaan aallon etenemisprosesseja kappaleissa, yleensä jätetään huomiotta näiden kappaleiden molekyylirakenne ja pidetään kappaleita jatkuvana väliaineena, joka on jatkuvasti jakautunut avaruuteen. Pakotettuja värähtelyjä suorittava väliaineen hiukkanen ymmärretään väliaineen tilavuuden pienenä elementtinä, jonka mitat ovat samanaikaisesti monta kertaa suuremmat kuin molekyylien väliset etäisyydet. Elastisten voimien vaikutuksesta muodonmuutos etenee väliaineessa tietyllä nopeudella, jota kutsutaan aaltonopeudeksi.

On tärkeää huomata, että väliaineen hiukkaset eivät kulje liikkuvan aallon mukana. Niiden värähtelevän liikkeen nopeus eroaa aallon nopeudesta. Hiukkasten liikerata on suljettu käyrä, ja niiden kokonaispoikkeama ajanjaksolla on nolla. Siksi aaltojen eteneminen ei aiheuta aineen siirtymistä, vaikka energiaa siirtyy värähtelyn lähteestä ympäröivään tilaan.

Riippuen suunnasta, jossa hiukkasten värähtelyt tapahtuvat, puhutaan pitkittäis- tai poikittaispolarisaation aalloista.

Aaltoja kutsutaan pitkittäisiksi, jos väliaineen hiukkasten siirtyminen tapahtuu aallon etenemissuunnassa (esimerkiksi ohuen sauvan jaksollisen elastisen puristuksen tai jännityksen aikana sen akselia pitkin). Pituusaallot etenevät väliaineissa, joissa puristuksen tai jännityksen aikana syntyy elastisia voimia (eli kiinteässä, nestemäisessä ja kaasumaisessa).

Jos hiukkaset värähtelevät aallon etenemissuuntaan nähden kohtisuorassa suunnassa, aaltoja kutsutaan poikittaissuuntaisiksi. Ne leviävät vain väliaineissa, joissa leikkausmuodonmuutos on mahdollinen (vain kiinteissä aineissa). Lisäksi leikkausaallot etenevät nesteen vapaalla pinnalla (esimerkiksi aallot veden pinnalla) tai kahden sekoittumattoman nesteen rajapinnalla (esimerkiksi makean ja suolaisen veden rajalla).

Kaasumaisessa väliaineessa aallot ovat vuorottelevia alueita, joilla on korkeampi ja pienempi paine ja tiheys. Ne syntyvät kaasuhiukkasten pakotettujen värähtelyjen seurauksena, joita esiintyy eri vaiheissa eri kohdissa. Vaihtuvan paineen vaikutuksesta korvan tärykalvo suorittaa pakotettuja värähtelyjä, jotka kuulokojeen ainutlaatuisen monimutkaisen järjestelmän kautta aiheuttavat biovirtoja aivoihin.

Tasoaallon yhtälö. Vaiheen nopeus

aallon pintaa kutsutaan samassa vaiheessa värähtelevien pisteiden paikaksi. Yksinkertaisimmissa tapauksissa ne ovat tason tai pallon muotoisia, ja vastaavaa aaltoa kutsutaan taso- tai palloaaltoksi. aallonrintama on pisteiden paikka, joihin värähtelyt saavuttavat tietyllä hetkellä. Aaltorintama erottaa avaruuden alueet, jotka ovat jo mukana aaltoprosessissa ja jotka eivät ole vielä mukana. Aaltopintoja on ääretön määrä ja ne ovat liikkumattomia, ja aaltorintama on yksi ja se liikkuu ajan myötä.

Tarkastellaan x-akselia pitkin etenevää tasoaaltoa. Anna väliaineen hiukkasten olla tasossa x= 0, alkaa tällä hetkellä t=0 värähtelemään harmonisen lain mukaan suhteessa alkutasapainoasemaan. Tämä tarkoittaa, että hiukkasten siirtyminen alkuperäisestä asennostaan f muutokset ajassa sinin tai kosinin lain mukaan, esim.

Missä f on näiden hiukkasten siirtymä niiden alkuperäisestä tasapainoasennosta ajanhetkellä t, A- suurin offset-arvo (amplitudi); ω - syklinen taajuus.

Väliaineen vaimennus huomioimatta, saadaan yhtälö mielivaltaista arvoa vastaavassa tasossa sijaitsevien hiukkasten värähtelylle x>0). Anna aallon edetä kasvavan koordinaatin suuntaan X. Menemään kauas lentokoneesta x=0 määritettyyn tasoon, aalto tarvitsee aikaa

Missä v- vakiovaiheen pinnan liikenopeus (vaihenopeus).

Siksi tasossa olevien hiukkasten värähtelyt X, alkaa tällä hetkellä t = τ ja tapahtuu saman lain mukaan kuin tasossa x=0, mutta aikaviiveellä τ , nimittäin:

(3)

Toisin sanoen tällä hetkellä olleiden hiukkasten siirtyminen t\u003d 0 x-tasossa tällä hetkellä t tulee olemaan sama kuin lentokoneessa X=0, mutta aikaisemmin

t1= (4)

Ottaen huomioon (4) lauseke (3) muunnetaan:

(5)

Yhtälö (5) on tasossa kulkevan aallon yhtälö, joka etenee akselin positiivista suuntaa pitkin X. Siitä voidaan määrittää väliaineen hiukkasten poikkeama tasapainosta missä tahansa avaruuden pisteessä koordinaatilla X ja milloin tahansa t tämän aallon leviämisen aikana. Yhtälö (5) vastaa tapausta, jossa hiukkasille annettiin alkunopeus alkuhetkellä. Jos alkuhetkellä hiukkasille ilmoitetaan poikkeamasta tasapainoasennosta ilman nopeusviestiä, kohdassa (5) sinin sijaan, on asetettava kosini. Kosinin tai sinin argumenttia kutsutaan värähtelyn vaiheeksi. Vaihe määrittää värähtelyprosessin tilan tietyllä ajanhetkellä (hiukkasten suhteellisen poikkeaman etumerkki ja absoluuttinen arvo niiden tasapainoasemasta). Kohdasta (5) voidaan nähdä, että tasossa sijaitsevien hiukkasten värähtelyn vaihe X, pienempi kuin vastaava arvo tasossa sijaitseville hiukkasille X=0, arvolla, joka on yhtä suuri kuin .

Jos tasoaalto etenee laskevaan suuntaan X(vasemmalla), yhtälö (5) muunnetaan muotoon:

(6)

Olettaen että

kirjoitamme (6) muodossa:

(8)

Missä T- värähtelyjakso, ν -taajuus.

Etäisyys λ, jonka yli aalto etenee jaksossa T, kutsutaan aallonpituudeksi.

Voit myös määritellä aallonpituuden ja etäisyydeksi kahden lähimmän pisteen välillä, joiden värähtelyvaiheet eroavat 2π (kuva 1).

Kuten edellä todettiin, kaasujen elastiset aallot ovat vuorottelevia alueita, joilla on korkeampi ja pienempi paine ja tiheys. Tätä havainnollistaa kuva 1, joka esittää tietyn ajan kuluessa hiukkasten siirtymistä (a), niiden nopeutta (b), painetta tai tiheyttä (c) avaruuden eri kohdissa. Väliaineen hiukkaset liikkuvat nopeudella (ei pidä sekoittaa vaihenopeuteen v). Pisteiden vasen ja oikea A 1, A 3, A5 ja muut hiukkasten nopeudet suunnataan näihin pisteisiin. Siksi näihin pisteisiin muodostuu tiheys- (paine)maksimit. Pisteiden oikea ja vasen A2, A4, A6 ja muut hiukkasten nopeudet suunnataan poispäin näistä pisteistä ja niihin muodostuu tiheys(paine)minimit.

Väliaineen hiukkasten siirtyminen liikkuvan aallon etenemisen aikana siinä eri ajanhetkillä on esitetty kuvioissa 1 ja 2. 2. Kuten voidaan nähdä, on olemassa analogia aaltojen kanssa nesteen pinnalla. Tasapainoasennosta poikkeamien maksimit ja minimit liikkuvat avaruudessa ajan myötä vaihenopeudella v. Tiheyden (paineen) maksimi ja minimi liikkuvat samalla nopeudella.

Aallon vaihenopeus riippuu väliaineen elastisista ominaisuuksista ja tiheydestä. Oletetaan, että on olemassa pitkä elastinen tanko (kuva 3), jonka poikkipinta-ala on yhtä suuri kuin S, jossa pituussuuntainen häiriö etenee pitkin akselia X tasaisella aaltorintamalla Annetaan aikaväli alkaen t0 ennen t0+Δt etuosa siirtyy pisteestä A asiaan SISÄÄN matkan päästä AB = v Δt, Missä v on elastisen aallon vaihenopeus. Välin kesto Δt otamme sen niin pieneksi, että hiukkasten nopeus koko tilavuudessa (eli akseliin nähden kohtisuorassa kulkevien osien välissä X pisteiden kautta A Ja SISÄÄN) on sama ja samanarvoinen u. Hiukkaset pisteestä A siirtää etäisyyttä tietyllä aikavälillä u Δt. Pisteessä sijaitsevat hiukkaset SISÄÄN, hetkessä t0+Δt vain alkaa liikkua ja niiden siirtymä tähän ajankohtaan mennessä on yhtä suuri kuin nolla. Anna osan alkuperäinen pituus AB on yhtä suuri kuin l. Tähän hetkeen t0+Δt se muuttuu muotoon u Δt, joka on muodonmuutoksen arvo Δl. Pisteiden välisen tangon osan massa A Ja SISÄÄN on yhtä suuri kuin ∆m =ρSvΔt. Tämän massan liikemäärän muutos tietyn ajanjakson aikana alkaen t0 ennen t0+Δt on yhtä suuri

Δр = ρSvuΔt(10).

Massaan vaikuttava voima ∆m, voidaan määrittää Hooken laista:

Newtonin toisen lain mukaan tai. rinnastaa

viimeisen lausekkeen ja lausekkeen (10) oikealla puolella saadaan:

mistä seuraa:

Leikkausaallon nopeus

Missä G- leikkausmoduuli.

Ilmassa olevat ääniaallot ovat pitkittäisiä. Nesteiden ja kaasujen kohdalla kaava (1) sisältää Youngin moduulin sijaan painepoikkeaman suhteen ΔΡ suhteelliseen tilavuuden muutokseen

(13)

Miinusmerkki tarkoittaa, että paineen nousu (väliaineen puristusprosessi) vastaa tilavuuden laskua ja päinvastoin. Jos oletetaan, että tilavuuden ja paineen muutokset ovat äärettömän pieniä, voimme kirjoittaa

(14)

Kun aallot etenevät kaasuissa, paine ja tiheys kasvavat ja laskevat ajoittain (vastaavasti puristuksen ja harventumisen aikana), minkä seurauksena väliaineen eri osien lämpötila muuttuu. Puristuminen ja harventaminen tapahtuvat niin nopeasti, että vierekkäisillä osilla ei ole aikaa vaihtaa energiaa. Prosesseja, jotka tapahtuvat järjestelmässä ilman lämmönvaihtoa ympäristön kanssa, kutsutaan adiabaattisiksi. Adiabaattisessa prosessissa kaasun tilan muutosta kuvaa Poissonin yhtälö

(15)

Parametria γ kutsutaan adiabaattiseksi eksponenttiksi. Se on yhtä suuri kuin kaasun molaaristen lämpökapasiteettien suhde vakiopaineessa C p ja vakiotilavuudessa C v:

Kun otetaan tasa-arvon molempien puolten differentiaali (15), saadaan

mistä seuraa:

Korvaamalla (6) luvulla (4) saadaan kaasun kimmomoduuli

Korvaamalla (7) luvulla (1), löydämme elastisten aaltojen nopeuden kaasuissa:

Mendeleev-Clapeyron yhtälöstä voi ilmaista kaasun tiheyden

, (19)

Missä - moolimassa.

Korvaamalla (9) arvolla (8) saadaan lopullinen kaava äänen nopeuden löytämiseksi kaasussa:

Missä R on yleinen kaasuvakio, T- kaasun lämpötila.

Äänennopeuden mittaus on yksi tarkimmista menetelmistä adiabaattisen eksponentin määrittämiseen.

Muuntamalla kaavaa (10) saamme:

Siten adiabaattisen eksponentin määrittämiseksi riittää mittaamaan kaasun lämpötila ja äänen etenemisnopeus.

Seuraavassa on kätevämpää käyttää kosinia aaltoyhtälössä. Ottaen huomioon (19 ja 20), liikkuvan aallon yhtälö voidaan esittää seuraavasti:

(22)

missä on aaltoluku, joka osoittaa kuinka monta aallonpituutta mahtuu 2π metrin etäisyydelle.

Liikkuvalle aallolle, joka etenee x-akselin positiivista suuntaa vastaan, saamme:

(23)

Erityinen rooli on harmonisilla aalloilla (katso esimerkiksi yhtälöt (5, 6, 22, 23)). Tämä johtuu siitä, että mikä tahansa etenevä värähtely, olipa sen muoto mikä tahansa, voidaan aina pitää harmonisten aaltojen superpositiota (lisäystä) tuloksena vastaavasti valituilla taajuuksilla, amplitudeilla ja vaiheilla.

seisovat aallot.

Erityisen kiinnostava on kahden toisiaan kohti etenevän aallon, joilla on sama amplitudi ja taajuus, interferenssi. Kokeellisesti tämä voidaan tehdä, jos etenemissuuntaan nähden kohtisuoraan kulkevan aallon tielle asetetaan hyvin heijastava este. Tulevien ja heijastuneiden aaltojen lisäyksen (häiriön) seurauksena syntyy ns. seisova aalto.

Kuvataan tuleva aalto yhtälöllä (22) ja heijastunut aalto yhtälöllä (23). Superpositioperiaatteen mukaan kokonaissiirtymä on yhtä suuri kuin molempien aaltojen synnyttämien siirtymien summa. Lausekkeiden (22) ja (23) lisääminen antaa

Tämä yhtälö, jota kutsutaan seisovan aallon yhtälöksi, voidaan kätevästi analysoida seuraavassa muodossa:

, (25)

missä on kerroin

(26)

on seisovan aallon amplitudi. Kuten lausekkeesta (26) voidaan nähdä, seisovan aallon amplitudi riippuu pisteen koordinaatista, mutta ei riipu ajasta. Liikkuvan tasoaallon amplitudi ei riipu koordinaatista eikä ajasta (vaimennuksen puuttuessa).

Kohdista (27) ja (28) seuraa, että naapurisolmujen välinen etäisyys sekä naapurisolmujen välinen etäisyys on yhtä suuri kuin , ja naapurisolmujen ja antisolmujen välinen etäisyys on yhtä suuri kuin .

Yhtälöstä (25) seuraa, että kaikki kahden vierekkäisen solmun välissä sijaitsevat pisteet värähtelevät samassa vaiheessa ja vaihearvo määräytyy vain ajan mukaan. Erityisesti ne saavuttavat maksimipoikkeamansa samanaikaisesti. Liikkuvalle aallolle, kuten (16) seuraa, vaihe määräytyy sekä ajan että spatiaalisen koordinaatin mukaan. Tämä on toinen ero seisovien ja liikkuvien aaltojen välillä. Kulkiessaan solmun läpi seisovan aallon vaihe muuttuu äkillisesti 180 o.

Poikkeama tasapainoasennosta eri ajankohtina seisovassa aallossa on esitetty kuvassa. 4. Alkuajanhetkeksi (käyrä 1) otetaan hetki, jolloin väliaineen hiukkaset poikkeavat maksimaalisesti alkutasapainoasennosta.

Ja , jota edustavat käyrät 6, 7, 8 ja 9, osuvat yhteen ensimmäisen puolijakson vastaavien hetkien poikkeamien kanssa (eli käyrä 6 osuu yhteen käyrän 4 kanssa jne.). Kuten voidaan nähdä, siitä hetkestä lähtien, kun hiukkasten siirtymä muuttaa merkkiä uudelleen.

Kun aallot heijastuvat kahden väliaineen rajalla, syntyy joko solmu tai antisolmu (riippuen väliaineen ns. akustisesta impedanssista). Väliaineen akustista vastusta kutsutaan arvoksi , jossa . on väliaineen tiheys, on elastisten aaltojen nopeus väliaineessa. Jos väliaineella, josta aalto heijastuu, on suurempi akustinen vastus kuin sillä, jossa tämä aalto viritetään, muodostuu solmu rajapinnalle (kuvio 5). Tässä tapauksessa aallon vaihe heijastuessaan muuttuu päinvastaiseksi (180°). Kun aalto heijastuu väliaineesta, jonka akustinen vastus on pienempi, värähtelyvaihe ei muutu.

Toisin kuin liikkuva aalto, joka kuljettaa energiaa, seisovassa aallossa ei tapahdu energiansiirtoa. Liikkuva aalto voi liikkua oikealle tai vasemmalle, mutta seisovalla aallolla ei ole etenemissuuntaa. Termi "pysyvä aalto" tulee ymmärtää väliaineen erityisenä värähtelevänä tilana, jonka muodostavat häiritsevät aallot.

Sillä hetkellä, kun väliaineen hiukkaset ohittavat tasapainoasennon, värähtelyn vangitsemien hiukkasten kokonaisenergia on yhtä suuri kuin kineettinen energia. Se on keskittynyt antisolmujen läheisyyteen. Päinvastoin, sillä hetkellä, kun hiukkasten poikkeama tasapainoasennosta on suurin, niiden kokonaisenergia on jo potentiaalinen. Se on keskittynyt lähelle solmuja. Näin ollen kahdesti jakson aikana tapahtuu energian siirtoa antisolmuista viereisiin solmuihin ja päinvastoin. Tämän seurauksena aikakeskiarvoinen energiavirta missä tahansa seisovan aallon osassa on nolla.

Käsikirjoituksena

Fysiikka

Luentomuistiinpanot

(Osa 5. Aallot, aaltooptiikka)

Suunnan 230400 opiskelijoille

"Tietojärjestelmät ja -teknologiat"

Sähköinen koulutusresurssi

Kokoonpano: fysiikan ja matemaattisten tieteiden kandidaatti, apulaisprofessori V.V. Konovalenko

Pöytäkirja nro 1, 04.09.2013

Aaltoprosessit

Peruskäsitteet ja määritelmät

Harkitse jotain elastista väliainetta - kiinteää, nestemäistä tai kaasumaista. Jos sen hiukkasten värähtelyjä viritetään missä tahansa tämän väliaineen kohdassa, hiukkasten välisen vuorovaikutuksen vuoksi värähtelyt välittyvät väliaineen hiukkasesta toiseen väliaineessa tietyllä nopeudella. Käsitellä asiaa värähtelyjen leviämistä avaruudessa kutsutaan Aalto .

Jos väliaineen hiukkaset värähtelevät aallon etenemisen suuntaan, sitä kutsutaan pituussuuntainen. Jos hiukkasten värähtelyt tapahtuvat tasossa, joka on kohtisuorassa aallon etenemissuuntaa vastaan, niin aalto on ns. poikittainen . Poikittaiset mekaaniset aallot voivat syntyä vain väliaineessa, jonka leikkausmoduuli ei ole nolla. Siksi nestemäisissä ja kaasumaisissa väliaineissa vain pitkittäiset aallot . Ero pituus- ja poikittaisaaltojen välillä näkyy selvimmin esimerkissä värähtelyjen etenemisestä jousessa - katso kuva.

Poikittaisvärähtelyjen karakterisoimiseksi on tarpeen asettaa sijainti avaruudessa taso, joka kulkee värähtelysuunnan ja aallon etenemissuunnan kautta - polarisaation tasot .

Avaruuden aluetta, jossa kaikki väliaineen hiukkaset värähtelevät, kutsutaan aaltokenttä . Aaltokentän ja muun väliaineen välistä rajaa kutsutaan aallonrintama . Toisin sanoen, aaltorintama - niiden pisteiden paikka, joihin värähtelyt ovat saavuttaneet tietyn ajankohdan. Homogeenisessa ja isotrooppisessa väliaineessa aallon etenemissuunta kohtisuorassa aallon etupuolelle.

Niin kauan kuin väliaineessa on aalto, väliaineen hiukkaset värähtelevät tasapainoasemiensa ympärillä. Olkoot nämä värähtelyt harmonisia, ja näiden värähtelyjen jakso on yhtä suuri T. Hiukkaset erotetaan toisistaan etäisyyden verran

aallon etenemissuuntaa pitkin värähtelevät samalla tavalla, ts. millä tahansa ajanhetkellä niiden siirtymät ovat samat. Etäisyyttä kutsutaan aallonpituus . Toisin sanoen, aallonpituus on aallon yhden värähtelyjakson aikana kulkema matka .

Yhdessä vaiheessa värähtelevien pisteiden paikkaa kutsutaan aallon pintaa . Aaltorintama on aallonpinnan erikoistapaus. Aallonpituus -minimi kahden aaltopinnan välinen etäisyys, jossa pisteet värähtelevät samalla tavalla, tai voidaan sanoa niin niiden värähtelyjen vaiheet eroavat toisistaan .

Jos aallon pinnat ovat tasoja, niin aaltoa kutsutaan tasainen , ja jos palloittain, niin sitten pallomainen. Tasoaalto viritetään jatkuvassa homogeenisessa ja isotrooppisessa väliaineessa äärettömän tason värähtelyjen aikana. Pallopinnan viritys voidaan esittää pallomaisen pinnan säteittäisten pulsaatioiden seurauksena ja myös toiminnan seurauksena pistelähde, jonka mitat verrattuna etäisyyteen havaintopisteeseen voidaan jättää huomiotta. Koska millä tahansa todellisella lähteellä on äärelliset mitat, riittävän suurella etäisyydellä siitä aalto on lähellä pallomaista. Samanaikaisesti pallomaisen aallon aallonpinnan leikkaus tulee sen koon pienentyessä mielivaltaisen lähelle tasoaallon aaltopinnan leikkausta.

Tasoaallon etenemisen yhtälö

Mihin tahansa suuntaan

Me saamme. Olkoot värähtelyt tasossa, joka on yhdensuuntainen aallon pintojen kanssa ja kulkevat koordinaattien origon läpi, muotoa:

Tasossa, joka on etäisyyden päässä origosta l, värähtelyt jäävät ajassa jäljessä . Siksi tässä tasossa oleva värähtelyyhtälö on muotoa:

Analyyttisesta geometriasta tiedetään, että etäisyys koordinaattien origosta tiettyyn tasoon on yhtä suuri kuin tason tietyn pisteen sädevektorin ja tason normaalin yksikkövektorin skalaaritulo: . Kuva havainnollistaa tätä tilannetta kaksiulotteisessa tapauksessa. Korvaa arvo l yhtälöön (22.13):

(22.14)

Vektoria, joka on absoluuttisesti yhtä suuri kuin aaltoluku ja joka on suunnattu pitkin normaalia aallon pintaan, kutsutaan aaltovektori . Tasoaaltoyhtälö voidaan nyt kirjoittaa seuraavasti:

Funktio (22.15) antaa sädevektorin pisteen poikkeaman tasapainopaikasta ajanhetkellä t. Jotta riippuvuus koordinaateista ja ajasta voidaan esittää eksplisiittisessä muodossa, on se otettava huomioon

. (22.16)

Nyt tasoaaltoyhtälö saa muodon:

Usein hyödyllinen edustavat aaltoyhtälöä eksponentiaalisessa muodossa . Tätä varten käytämme Eulerin kaavaa:

jossa , kirjoitamme yhtälön (22.15) muodossa:

. (22.19)

aaltoyhtälö

Minkä tahansa aallon yhtälö on ratkaisu toisen asteen differentiaaliyhtälöön nimeltä Aalto . Tämän yhtälön muodon määrittämiseksi löydämme toiset derivaatat tasoaaltoyhtälön (22.17) kunkin argumentin suhteen:

, (22.20)

, (22.21)

, (22.22)

Lisäämme kolme ensimmäistä yhtälöä, joissa on derivaatat koordinaattien suhteen:

. (22.24)

Ilmaisemme yhtälöstä (22.23): ja ota huomioon, että:

(22.25)

Esitämme (22.25):n vasemmalla puolella olevien toisten derivaattojen summan Laplace-operaattorin toiminnan tuloksena ja lopullisessa muodossa. aaltoyhtälö kuten:

(22.26)

On huomionarvoista, että aaltoyhtälössä aikaderivaatan kertoimen käänteisen neliöjuuri antaa aallon etenemisnopeuden.

Voidaan osoittaa, että aaltoyhtälö (22.26) täyttyy millä tahansa muotoa olevalla funktiolla:

Ja jokainen niistä on aaltoyhtälö ja kuvaa jotain aaltoa.

Elastinen aaltoenergia

Otetaan huomioon, että väliaineessa, jossa elastinen aalto (22.10) etenee, alkuainetilavuus on tarpeeksi pieni, jotta siinä olevien hiukkasten muodonmuutosta ja nopeutta voidaan pitää vakiona ja yhtä suurena:

Väliaineessa tapahtuvasta aallon etenemisestä johtuen tilavuudella on elastinen muodonmuutosenergia

(22.38)

Kohdan (22.35) mukaisesti Youngin moduuli voidaan esittää muodossa . Siksi:

. (22.39)

Tarkasteltavalla tilavuudella on myös kineettistä energiaa:

. (22.40)

Kokonaistilavuusenergia:

Ja energiatiheys:

, A (22.43)

Korvaa nämä lausekkeet lausekkeessa (22.42) ja ota huomioon, että:

Täten, energiatiheys on erilainen avaruuden eri pisteissä ja vaihtelee ajan myötä neliösinilain mukaan.

Sinin neliön keskiarvo on 1/2, mikä tarkoittaa keskiverto ajallisesti energiatiheyden arvo väliaineen kussakin pisteessä , jossa aalto etenee:

. (22.45)

Lauseke (22.45) on voimassa kaikentyyppisille aaltoille.

Niin, väliaineella, jossa aalto etenee, on lisäenergiaa. Siten, aalto kuljettaa energiaa .

X.6 Dipoliemissio

Värähtelevä sähködipoli, eli dipoli, jonka sähkömomentti muuttuu jaksottaisesti esimerkiksi harmonisen lain mukaan, on yksinkertaisin sähkömagneettisia aaltoja lähettävä järjestelmä. Yksi tärkeä esimerkki värähtelevästä dipolista on järjestelmä, joka koostuu negatiivisesta varauksesta, joka värähtelee positiivisen varauksen ympärillä. Juuri tämä tilanne toteutuu, kun sähkömagneettinen aalto vaikuttaa aineen atomiin, kun aaltokentän vaikutuksesta elektronit värähtelevät atomiytimen läheisyydessä.

Oletetaan, että dipolimomentti muuttuu harmonisen lain mukaan:

missä on negatiivisen varauksen sädevektori, l- värähtelyamplitudi, - dipoliakselia pitkin suunnattu yksikkövektori.

Rajaudumme pohtimiseen alkeisdipoli , jonka mitat ovat pienet verrattuna emittoituun aallonpituuteen ja harkita aaltoalue dipoli, ts. avaruuden alue, jonka pisteen sädevektorin moduuli on . Homogeenisen ja isotrooppisen väliaineen aaltoalueella aaltorintama on pallomainen - Kuva 22.4.

Elektrodynaaminen laskelma osoittaa, että aaltovektori sijaitsee tasossa, joka kulkee tarkasteltavan pisteen dipoliakselin ja sädevektorin kautta. Amplitudit ja riippuvat etäisyydestä r ja dipoliakselin välinen kulma. tyhjiössä

Poynting-vektorista lähtien

, (22.33)

ja voidaan väittää, että dipoli säteilee eniten suuntiin, jotka vastaavat , ja säteilykuvio dipolin muoto on kuvan 22.5 mukainen. säteilykuvio Tätä kutsutaan graafiseksi esitykseksi säteilyn intensiteetin jakautumisesta eri suuntiin käyrän muodossa, joka on muodostettu siten, että dipolista tiettyyn suuntaan piirretyn säteen segmentin pituus käyrän pisteeseen on verrannollinen säteilyn intensiteettiin.

Sen osoittavat myös laskelmat tehoa R dipolisäteily on verrannollinen dipolimomentin toisen aikaderivaatan neliöön :

Koska

, (22.35)

Että keskimääräinen teho

osoittautuu verrannollinen dipolimomentin amplitudin neliöön ja neljäs tehotaajuus.

Toisaalta, kun otetaan huomioon, että ja , ymmärrämme sen säteilyteho on verrannollinen kiihtyvyyden neliöön:

Tämä väite pätee paitsi varausvärähtelyjen, myös mielivaltaisen varausliikkeen osalta.

aaltooptiikka

Tässä osiossa tarkastellaan sellaisia valoilmiöitä, joissa valon aaltoluonne ilmenee. Muista, että valolle on ominaista korpuskulaarinen-aaltodualismi ja on ilmiöitä, jotka voidaan selittää vain käsitteen valosta hiukkasvirtana. Mutta tarkastelemme näitä ilmiöitä kvanttioptiikassa.

Yleistä tietoa valosta

Joten ajattelemme valoa sähkömagneettisena aaltona. Sähkömagneettisessa aallossa ja värähtelee. Kokeellisesti on todettu, että valon fysiologiset, fotokemialliset, valosähköiset ja muut vaikutukset määräytyvät valoaaltovektorin mukaan, joten sitä kutsutaan valoksi. Vastaavasti oletetaan, että valoaalto kuvataan yhtälöllä:

missä on amplitudi,

- aaltonumero (aaltovektori),

Etäisyys etenemissuunnassa.

Tasoa, jossa se värähtelee, kutsutaan värähtelytaso. Valoaalto kulkee nopeudella

, (2)

nimeltään taitekerroin ja kuvaa valon nopeuden eroa tietyssä väliaineessa ja valon nopeuden välillä tyhjiössä (tyhjyydessä).

Useimmissa tapauksissa läpinäkyvillä aineilla on magneettinen läpäisevyys, ja melkein aina voidaan olettaa, että taitekerroin määräytyy väliaineen dielektrisyysvakion mukaan:

Merkitys n käytetään luonnehtimiseen väliaineen optinen tiheys: mitä suurempi n, sitä optisesti tiheämmäksi väliainetta kutsutaan .

Näkyvän valon aallonpituudet tyhjiössä ovat alueella ja taajuus

Oikeat valovastaanottimet eivät pysty seuraamaan tällaisia ohikiitäviä prosesseja ja rekisteröitymään aikakeskiarvoinen energiavirta . A-priory , valon intensiteetti kutsutaan valoaallon kuljettaman energiavuon tiheyden aikakeskiarvon moduuliksi :

(4)

Koska sähkömagneettisessa aallossa

, (6)

Ι ~ ~ ~ (7)

I~A2(8)

Säteet kutsumme linjoja, joita pitkin valoenergia etenee.

Keskimääräisen energiavuon vektori on aina suunnattu tangentiaalisesti säteeseen. Isotrooppisissa väliaineissa on suunnassa yhteneväinen aallon pintojen normaalin kanssa.

Luonnonvalossa on aaltoja, joiden värähtelytaso on hyvin erilainen. Siksi tavallisten valonlähteiden säteily ei valoaaltojen poikittaisuudesta huolimatta paljasta epäsymmetriaa etenemissuunnan suhteen. Tämä valon ominaisuus (luonnollinen) selittyy seuraavalla: tuloksena oleva lähteen valoaalto koostuu eri atomien lähettämistä aalloista. Jokainen atomi lähettää aallon sekunneissa. Tänä aikana muodostuu tilaa aaltojuna ("kumppien ja laaksojen" sarja) noin 3 metriä pitkä.

Jokaisen junan värähtelytaso on melko selvä. Mutta samaan aikaan valtava määrä atomeja säteilee jonojaan, ja jokaisen junan värähtelytaso on suunnattu muista riippumatta, satunnaisella tavalla. Siksi tuloksena olevassa aallossa kehosta eri suuntien värähtelyt esitetään yhtä suurella todennäköisyydellä. Se tarkoittaa sitä, jos jollain laitteella tutkitaan valon voimakkuutta vektorin eri orientaatioilla, niin luonnonvalossa intensiteetti ei riipu suunnasta .

Voimakkuuden mittaaminen on aaltojaksoon verrattuna pitkä prosessi ja pohditut käsitykset luonnonvalon luonteesta sopivat kuvaamaan riittävän pitkiä prosesseja.

Tietyllä ajanhetkellä, tietyssä pisteessä avaruudessa yksittäisten junien vektorien summauksen seurauksena muodostuu kuitenkin jokin spesifinen. Johtuen satunnaisista "päällä" ja "pois" yksittäisistä atomeista valoaalto herättää tietyssä pisteessä värähtelyn, joka on lähellä harmonista, mutta värähtelyjen amplitudi, taajuus ja vaihe riippuvat ajasta ja muuttuvat satunnaisesti. Myös värähtelytason suunta muuttuu satunnaisesti. uy. Näin ollen valovektorin värähtelyt väliaineen tietyssä pisteessä voidaan kuvata yhtälöllä:

(9)

Lisäksi ja on kaoottisesti ajallisesti vaihtelevia toimintoja ii. Tällainen luonnonvalon käsitys on kätevä, jos otetaan huomioon valoaallon jaksoon verrattavat aikavälit.

Valoa, jossa vektorin värähtelyjen suunnat ovat jollain tavalla järjestetty, kutsutaan polarisoitunut.

Jos valovektorin värähtelyjä tapahtuu vain yhdessä koneessa kulkee säteen läpi, niin valoa kutsutaan tasainen - tai lineaarisesti polarisoitunut. Toisin sanoen tasopolarisoidussa valossa värähtelytasolla on tiukasti kiinteä asema. Myös muut järjestystyypit, eli valon polarisaatiotyypit, ovat mahdollisia.

Huygensin periaate

Geometrisen optiikan approksimaatiossa valo ei saa tunkeutua geometrisen varjon alueelle. Todellisuudessa valo tunkeutuu tälle alueelle, ja tämä ilmiö tulee sitä merkittävämmäksi, mitä pienempi on esteiden koko. Jos reikien tai rakojen mitat ovat verrattavissa pitkälle aallonpituudelle, geometrinen optiikka ei ole käytettävissä.

Laadullisesti valon käyttäytyminen esteen takana selittyy Huygensin periaatteella, joka mahdollistaa aaltorintaman rakentamisen tällä hetkellä tunnetusta paikasta tällä hetkellä.

Huygensin periaatteen mukaan jokaisesta aallon liikkeen saavuttamasta pisteestä tulee toisioaaltojen pistelähde. Verhokäyrä toisioaaltojen rintamilla antaa aaltorintaman sijainnin.

Valon häiriö

Olkoon jossain väliaineen kohdassa kaksi aaltoa (tasopolarisoitua) herättää kaksi värähtelyä sama taajuus ja sama suunta:

Ja . (24.14)

Tuloksena olevan värähtelyn amplitudi määritetään lausekkeella:

Epäkoherenttien aaltojen kohdalla se muuttuu satunnaisesti ja kaikki arvot ovat yhtä todennäköisiä. Siksi kohdasta (24.15) seuraa:

6 Jos aallot ovat koherentteja ja , Sitten

Mutta riippuu , Ovatko polkujen pituudet aaltolähteistä tiettyyn pisteeseen ja erilaisia ympäristön eri kohdissa. Siten, kun koherentit aallot asetetaan päällekkäin, valovirta jakautuu uudelleen avaruudessa, minkä seurauksena valon intensiteetti kasvaa joissakin väliaineen pisteissä ja laskee toisissa -. Tätä ilmiötä kutsutaan häiriötä.

Häiriöiden puuttuminen jokapäiväisessä elämässä, kun käytetään useita valonlähteitä, selittyy niillä epäjohdonmukaisuus. Yksittäiset atomit lähettävät pulsseja c:lle ja junan pituus on ≈ 3 metriä. Uudelle junalle ei vain polarisaatiotason suunta ole satunnainen, vaan myös vaihe on arvaamaton.

Todella koherentit aallot saadaan jakamalla yhden lähteen säteily kahteen osaan. Kun osat menevät päällekkäin, voidaan havaita häiriöitä. Mutta samaan aikaan optisten pituuksien erottelu ei saisi olla junan pituuden suuruusluokkaa. Muuten ei ole häiriöitä, koska erilaisia junia päällekkäin.

Tapahtukoon erottuminen pisteessä O ja päällekkäisyys pisteessä P. Värähtelyt viritetään P:ssä.

Ja (24.17)

Aallon etenemisnopeudet vastaavissa väliaineissa.

Levitä vaiheita johonkin pisteeseen R:

missä on valon aallonpituus tyhjiössä.

Arvo , ts. kutsutaan optisten reittien pituuksien eroa tarkasteltavien pisteiden välillä optisen polun ero.

sitten , in (24.16) on yhtä suuri kuin yksi, ja valon intensiteetti in on suurin.

(24.20)

Että , värähtelyt jossain pisteessä tapahtuvat vastavaiheessa, mikä tarkoittaa, että valon intensiteetti on minimaalinen.

JOHDONMUKAINEN

Johdonmukaisuus - kahden tai useamman aaltoprosessin koordinoitu virtaus. Absoluuttista johdonmukaisuutta ei koskaan tapahdu, joten voimme puhua eriasteisista johdonmukaisuudesta.

Erota ajallinen ja spatiaalinen koherenssi.

Ajallinen johdonmukaisuus

Reaaliaaltoyhtälö

Olemme tarkastelleet aaltojen interferenssiä, jotka kuvataan muotoa olevilla yhtälöillä:

(1)

Tällaiset aallot ovat kuitenkin matemaattinen abstraktio, koska (1):n kuvaaman aallon on oltava ajallisesti ja avaruudessa ääretön. Vain silloin suuret voivat olla määrättyjä vakioita.

Reaaliaalto, joka muodostuu eri atomien junien superpositiosta, sisältää komponentteja, joiden taajuudet ovat äärellisellä taajuusalueella (vastaavasti aaltovektorit :ssä) ja A:n ja kokevat jatkuvia kaoottisia muutoksia. Värähtelyt kiihtyvät jossain vaiheessa päällekkäin todellinen aallot voidaan kuvata lausekkeella:

Ja (2)

Lisäksi funktioiden kaoottiset muutokset ajan myötä kohdassa (2) ovat riippumattomia.

Analyysin helpottamiseksi oletetaan, että aallon amplitudit ovat vakioita ja identtisiä (kokeellisesti tämä ehto toteutetaan yksinkertaisesti):

Taajuus- ja vaihemuutokset voidaan vähentää vain taajuuteen tai vain vaiheen muutoksiin. Oletetaan todellakin, että funktioiden (2) epäharmonisuus johtuu vaihehypyistä. Mutta sen mukaan, mitä matematiikassa on todistettu Fourier-lause, mikä tahansa ei-harmoninen funktio voidaan esittää harmonisten komponenttien summana, joiden taajuudet ovat joidenkin . Rajatavassa tapauksessa summa menee integraaliksi: mikä tahansa äärellinen ja integroitava funktio voidaan esittää Fourier-integraalilla:

, (3)

Missä on harmonisen taajuuskomponentin amplitudi, analyyttisesti määritetään suhteella:

(4)

Joten vaihemuutoksesta johtuva ei-harmoninen funktio voidaan esittää harmonisten komponenttien superpositiona, joiden taajuudet ovat joissakin .

Toisaalta funktio, jolla on muuttuva taajuus ja vaihe, voidaan pelkistää funktioksi, jossa on vain muuttuva vaihe:

Siksi oletamme lisäanalyysin kesyttämiseksi:

eli toteutamme vaiheinen lähestymistapa"ajallisen koherenssin" käsitteeseen.

Samankaltaiset raidat

Olkoon ohut taso-rinnakkaislevy valaistu diffuusilla yksivärinen valoa. Laitetaan suppeneva linssi yhdensuuntaiseksi levyn kanssa, sen polttotasossa - näyttö. Hajavalo sisältää erisuuntaisia säteitä. Kulmassa tulevat säteet antavat 2 heijastunutta sädettä, jotka suppenevat jossain pisteessä. Tämä koskee kaikkia säteitä, jotka osuvat levyn pintaan tietyssä kulmassa, kaikissa levyn kohdissa. Linssi varmistaa, että kaikki tällaiset säteet konvergoivat yhteen pisteeseen, koska linssille tietyssä kulmassa putoavat yhdensuuntaiset säteet kerääntyy yhteen polttotason pisteeseen, ts. näytöllä. Pisteessä O linssin optinen akseli leikkaa näytön. Tässä vaiheessa kerätään säteitä, jotka kulkevat yhdensuuntaisesti optisen akselin kanssa.

Säteet, jotka tulevat kulmassa, mutta eivät kuvion tasossa, vaan muilla tasoilla, kerääntyvät pisteisiin, jotka sijaitsevat samalla etäisyydellä pisteestä kuin piste. Näiden säteiden interferenssin seurauksena tietyllä etäisyydellä pisteestä muodostuu ympyrä, jolla on tietty tulevan valon intensiteetti. Eri kulmassa tulevat säteet muodostavat näytölle ympyrän, jolla on erilainen valaistus, mikä riippuu niiden optisen polun erosta. Tämän seurauksena näytölle muodostuu vuorotellen tummia ja vaaleita ympyrän muotoisia raitoja. Jokainen ympyrä muodostuu tietyssä kulmassa putoavista säteistä, ja niitä kutsutaan samankaltaiset raidat. Nämä kaistat on lokalisoitu äärettömyyteen.

Linssin roolia voi pelata linssi ja näyttöä verkkokalvolla. Tässä tapauksessa silmä on mukautettava äärettömyyteen. Valkoisessa valossa saadaan monivärisiä raitoja.

Saman paksuiset raidat

Otetaan lautanen kiilan muodossa. Anna hänen pudota yhdensuuntainen valonsäde. Harkitse levyn ylä- ja alapinnasta heijastuneita säteitä. Jos linssi kokoaa nämä säteet yhteen pisteeseen, ne häiritsevät. Pienellä levyn pintojen välisellä kulmalla voidaan säteiden reitin ero laskea muodosta
le tasasuuntaiselle levylle. Säteen putoamisesta johonkin muuhun levyn pisteeseen muodostuvat säteet kerätään linssiin pisteessä. Niiden kulmien ero määräytyy levyn paksuuden mukaan vastaavassa paikassa. Voidaan osoittaa, että kaikki P-tyypin pisteet sijaitsevat samassa tasossa, joka kulkee kiilan kärjen kautta.

Jos näyttö on sijoitettu niin, että se on konjugoitu pintaan, jossa pisteet P, P 1 P 2 sijaitsevat, siihen ilmestyy vaaleiden ja tummien raitojen järjestelmä, joista kukin muodostuu heijastusten seurauksena levystä. tietyn paksuiset paikat. Siksi tässä tapauksessa raitoja kutsutaan saman paksuiset raidat.

Valkoisessa valossa nauhat ovat värillisiä. Saman paksuiset raidat sijaitsevat lähellä levyn pintaa. Normaalissa valossa - pinnalla.

Todellisissa olosuhteissa saippua- ja öljykalvojen värjäytymistä havainnoitaessa havaitaan sekatyyppisiä juovia.

Valon diffraktio.

27.1. Valon diffraktio

Diffraktionimeltään joukko ilmiöitä, joita havaitaan väliaineessa, jossa on teräviä optisia epähomogeenisuuksia ja jotka liittyvät valon etenemiseen liittyviin poikkeamiin geometrisen optiikan laeista .

Diffraktion tarkkailemiseksi asetetaan tietystä lähteestä tulevan valoaallon tielle läpinäkymätön este, joka peittää osan lähteen lähettämän aallon aallon pinnasta. Syntyvä diffraktiokuvio havaitaan näytöllä, joka sijaitsee säteiden jatkossa.

Diffraktiota on kahta tyyppiä. Jos lähteestä ja esteestä havaintopisteeseen tulevia säteitä voidaan pitää lähes samansuuntaisina, he sanovat, ettäFraunhofer-diffraktio tai diffraktio rinnakkaisissa säteissä. Jos Fraunhoferin diffraktioehdot eivät täyty,puhutaan Fresnel-diffraktiosta.

On ymmärrettävä selvästi, että häiriön ja diffraktion välillä ei ole perustavanlaatuista fyysistä eroa. Molemmat ilmiöt johtuvat päällekkäisten koherenttien valoaaltojen energian uudelleenjakaumasta. Yleensä kun otetaan huomioon äärellinen luku erillisistä lähteistä valoa, he puhuvat häiriötä . Jos tarkastellaan aaltojen superpositiota koherentit lähteet jatkuvasti hajallaan avaruudessa , sitten he puhuvat diffraktio .

27.2. Huygens–Fresnel-periaate

Huygensin periaate mahdollistaa periaatteessa valon tunkeutumisen selittämisen geometrisen varjon alueelle, mutta ei kerro mitään eri suuntiin etenevien aaltojen intensiteetistä. Fresnel täydensi Huygensin periaatetta osoituksella kuinka laskea säteilyn intensiteetti aallon pinnan elementistä eri suuntiin, sekä osoituksella, että toisioaallot ovat koherentteja, ja kun lasketaan valon intensiteetti tietyssä pisteessä, on tarpeen ottaa huomioon toisioaaltojen häiriöt. .

Aaltoprosessit

Peruskäsitteet ja määritelmät

Poikittaisvärähtelyjen karakterisoimiseksi on tarpeen asettaa sijainti avaruudessa taso, joka kulkee värähtelysuunnan ja aallon etenemissuunnan kautta - polarisaation tasot .

Taso- ja palloaaltoyhtälöt

aaltoyhtälö on lauseke, joka määrittää värähtelevän pisteen siirtymän pisteen ja ajan tasapainopaikan koordinaattien funktiona:

Jos lähde tekee kausijulkaisu funktion (22.2) on oltava sekä koordinaattien että ajan jaksollinen funktio. Jaksoisuus ajassa seuraa siitä tosiasiasta, että funktio kuvaa pisteen jaksollisia värähtelyjä koordinaatteineen; jaksollisuus koordinaateissa - siitä tosiasiasta, että etäisyyden päässä aallon etenemissuunnassa sijaitsevat pisteet vaihtelevat samalla tavalla

Rajoittukaamme tarkastelemaan harmonisia aaltoja, kun väliaineen pisteet suorittavat harmonisia värähtelyjä. On huomattava, että mikä tahansa ei-harmoninen funktio voidaan esittää harmonisten aaltojen superponoinnin tuloksena. Siksi vain harmonisten aaltojen huomioon ottaminen ei johda saatujen tulosten yleisyyden perustavanlaatuiseen huononemiseen.

Harkitse tasoaaltoa. Valitsemme koordinaattijärjestelmän niin, että akseli vai niin osuu yhteen aallon etenemissuunnan kanssa. Tällöin aaltopinnat ovat kohtisuorassa akseliin nähden vai niin ja koska aallon pinnan kaikki pisteet värähtelevät samalla tavalla, väliaineen pisteiden siirtyminen tasapainoasennoista riippuu vain x ja t:

Olkoon tasossa olevien pisteiden värähtelyt muodossa:

(22.4)

Värähtelyt tasossa etäisyyden päässä X koordinaattien origosta jäljessä ajan heilahteluista aikavälillä, joka tarvitaan aallon ylittämiseen etäisyyden X, ja niitä kuvaa yhtälö

mikä on Tasoaallon yhtälö, joka etenee Ox-akselin suunnassa.

Yhtälöä (22.5) johdettaessa oletimme värähtelyjen amplitudin olevan sama kaikissa pisteissä. Tasoaallon tapauksessa tämä pitää paikkansa, jos väliaine ei absorboi aallon energiaa.

Tarkastellaan jotakin yhtälön (22.5) vaiheen arvoa:

(22.6)

Yhtälö (22.6) antaa ajan suhteen t ja paikka - X, jossa määritetty vaihearvo on tällä hetkellä toteutettu. Määrittämällä yhtälöstä (22.6) saadaan nopeus, jolla annettu vaihearvo liikkuu. Erottelemalla (22.6) saamme:

Mistä seuraa (22.7)

aaltoyhtälö on yhtälö, joka ilmaisee aaltoprosessiin osallistuvan värähtelevän hiukkasen siirtymän riippuvuuden sen tasapainoaseman ja ajan koordinaatista:

Tämän funktion on oltava jaksollinen sekä ajan että koordinaattien suhteen. Lisäksi pisteet, jotka ovat etäisyyden päässä l toisistaan, vaihtelevat samalla tavalla.

Etsitään funktion tyyppi x tasoaallon tapauksessa.

Tarkastellaan tasaista harmonista aaltoa, joka etenee akselin positiivista suuntaa pitkin väliaineessa, joka ei absorboi energiaa. Tässä tapauksessa aaltopinnat ovat kohtisuorassa akseliin nähden. Kaikki väliaineen hiukkasten värähtelevää liikettä kuvaavat suureet riippuvat vain ajasta ja koordinaatista. Poikkeama riippuu vain ja: . Olkoon funktiolla pisteen värähtely koordinaatilla (värähtelyjen lähde). Tehtävä: etsi mielivaltaista arvoa vastaavan tason pisteiden vaihtelun tyyppi. Kestää aikaa ennen kuin aalto etenee koneesta kyseiselle tasolle. Tästä johtuen tasossa olevien hiukkasten värähtelyt jäävät vaiheessa jäljessä tasossa olevien hiukkasten värähtelyistä. Sitten tasossa olevien hiukkasten värähtelyjen yhtälö näyttää tältä:

Tuloksena saimme tasoaallon yhtälön, joka etenee kasvusuunnassa:

. (3)

Tässä yhtälössä on aallon amplitudi; – syklinen taajuus; on alkuvaihe, joka määräytyy vertailupisteen valinnalla ja ; on tasoaallon vaihe.

Olkoon aaltovaihe vakioarvo (kiinnitämme vaihearvon aaltoyhtälöön):

Vähennetään tämä lauseke ja erotetaan. Tuloksena saamme:

tai .

Siten aallon etenemisnopeus tasoaaltoyhtälössä ei ole mitään muuta kuin aallon kiinteän vaiheen etenemisnopeus. Tätä nopeutta kutsutaan vaihenopeus .

Siniaallon energiansiirtonopeus on yhtä suuri kuin vaihenopeus. Mutta siniaalto ei kuljeta mitään informaatiota, ja mikä tahansa signaali on moduloitu aalto, ts. ei sinimuotoinen (ei harmoninen). Joitakin ongelmia ratkaistaessa käy ilmi, että vaihenopeus on suurempi kuin valon nopeus. Tässä ei ole paradoksia, koska vaiheliikkeen nopeus ei ole energian siirtymisen (etenemisen) nopeus. Energia, massa ei voi liikkua valonnopeutta nopeammin c .

Yleensä tasoaaltoyhtälölle annetaan muoto, joka on symmetrinen suhteessa ja. Voit tehdä tämän kirjoittamalla arvon , jota kutsutaan aaltonumero . Muunnetaan aaltoluvun lauseke. Kirjoitamme sen lomakkeeseen (). Korvaa tämä lauseke tasoaaltoyhtälöön:

Lopulta saamme

Tämä on tasoaallon yhtälö, joka etenee kasvusuunnassa. Aallon etenemisen vastakkaiselle suunnalle on ominaista yhtälö, jossa termin edessä oleva etumerkki muuttuu.

Tasoaaltoyhtälö on kätevä kirjoittaa seuraavassa muodossa.

Yleensä allekirjoittaa Re jätetään pois, mikä tarkoittaa, että vain vastaavan lausekkeen reaaliosa otetaan. Lisäksi otetaan käyttöön kompleksiluku.

Tätä lukua kutsutaan kompleksiamplitudiksi. Tämän luvun moduuli antaa amplitudin ja argumentti aallon alkuvaiheen.

Siten tasaisen vaimentamattoman aallon yhtälö voidaan esittää seuraavassa muodossa.

Kaikki edellä käsitelty viittasi väliaineeseen, jossa ei ollut aallonvaimennusta. Aallon vaimennuksen tapauksessa Bouguerin lain mukaisesti (Pierre Bouguer, ranskalainen tiedemies (1698 - 1758)) aallon amplitudi pienenee sen edetessä. Sitten tasoaaltoyhtälöllä on seuraava muoto.

a on aallon vaimennuskerroin. A0 on värähtelyn amplitudi pisteessä, jossa on koordinaatit . Tämä on käänteisluku etäisyydelle, jolla aallon amplitudi pienenee e kerran.

Etsitään palloaallon yhtälö. Pidämme värähtelyjen lähdettä pistelähteenä. Tämä on mahdollista, jos rajoitamme tarkastelemaan aaltoa paljon suuremmalla etäisyydellä kuin lähteen koko. Aalto sellaisesta lähteestä isotrooppisessa ja homogeenisessa väliaineessa on pallomainen . Pisteet, jotka sijaitsevat säteen aallonpinnalla, värähtelevät vaiheen mukana

Värähtelyamplitudi ei tässä tapauksessa pysy vakiona, vaikka aaltoenergia ei absorboituisi väliaineeseen. Se pienenee etäisyyden mukaan lähteestä lain mukaan. Siksi palloaaltoyhtälöllä on muoto:

tai

Tehtyjen oletusten perusteella yhtälö pätee vain , ylittäen merkittävästi aaltolähteen mitat. Yhtälö (6) ei sovellu pienille arvoille, koska amplitudi pyrkii äärettömään, mikä on absurdia.

Jos väliaineessa on vaimennusta, pallomaisen aallon yhtälö kirjoitetaan seuraavasti.

ryhmän nopeus

Täysin monokromaattinen aalto on loputon sarja ajassa ja tilassa olevia "kuhmuja" ja "kaukaloita".

Tämän aallon vaihenopeus tai (2)

Tällaisen aallon avulla on mahdotonta lähettää signaalia, koska. missä tahansa aallon kohdassa kaikki "kyhmyt" ovat samoja. Signaalin on oltava erilainen. Ole merkki (etiketti) aallolla. Mutta silloin aalto ei ole enää harmoninen, eikä sitä kuvata yhtälöllä (1). Signaali (impulssi) voidaan esittää Fourier-lauseen mukaan harmonisten aaltojen superpositioina, joiden taajuudet ovat tietyllä aikavälillä Dw . Aaltojen superpositio, jotka eroavat taajuudeltaan vähän toisistaan

nimeltään aaltopaketti tai aaltoryhmä .

Aaltoryhmän lauseke voidaan kirjoittaa seuraavasti.

(3)

Kuvake w korostaa, että nämä määrät riippuvat taajuudesta.

Tämä aaltopaketti voi olla aaltojen summa, joilla on hieman erilaiset taajuudet. Kun aaltojen vaiheet ovat yhteneväisiä, amplitudi kasvaa, ja missä vaiheet ovat vastakkaisia, tapahtuu amplitudin vaimennus (häiriön tulos). Tällainen kuva on esitetty kuvassa. Jotta aaltojen superpositiota voitaisiin pitää aaltoryhmänä, seuraavan ehdon on täytyttävä Dw<< w 0 .

Ei-dispersiivisessä väliaineessa kaikki aaltopaketin muodostavat tasoaallot etenevät samalla vaihenopeudella v . Dispersio on väliaineessa olevan siniaallon vaihenopeuden riippuvuus taajuudesta. Tarkastellaan dispersion ilmiötä myöhemmin Wave Optics -osiossa. Dispersion puuttuessa aaltopaketin kulkunopeus on sama kuin vaihenopeus v . Dispergoivassa väliaineessa jokainen aalto hajoaa omalla nopeudellaan. Siksi aaltopaketti leviää ajan myötä, sen leveys kasvaa.

Jos dispersio on pieni, niin aaltopaketin leviäminen ei tapahdu liian nopeasti. Siksi koko paketin liikkeelle voidaan määrittää tietty nopeus U .

Nopeutta, jolla aaltopaketin keskipiste (piste, jolla on suurin amplitudiarvo) liikkuu, kutsutaan ryhmänopeudeksi.

Dispergoivassa väliaineessa v¹ U . Yhdessä itse aaltopaketin liikkeen kanssa, itse paketin sisällä tapahtuu "köyhtymien" liikettä. "Kyhmyt" liikkuvat avaruudessa nopeudella v , ja paketti kokonaisuutena nopeudella U .

Tarkastellaanpa tarkemmin aaltopaketin liikettä käyttämällä esimerkkiä kahden aallon superpositiosta, joilla on sama amplitudi ja eri taajuudet w (eri aallonpituudet l ).

Kirjoitetaan kahden aallon yhtälöt. Otetaan yksinkertaisuuden vuoksi alkuvaiheet j0 = 0.

Tässä

Antaa Dw<< w , vastaavasti Dk<< k .

Lisäämme vaihtelut ja suoritamme muunnokset kosinien summan trigonometrisellä kaavalla:

Ensimmäisessä kosinissa jätämme huomiotta Dwt Ja Dkx , jotka ovat paljon pienempiä kuin muut määrät. Opimme sen cos(–a) = cosa . Kirjoitetaan se vihdoin ylös.

(4)

Hakasulkeissa oleva tekijä muuttuu ajan myötä ja koordinoi paljon hitaammin kuin toinen tekijä. Siksi lauseketta (4) voidaan pitää tasoaaltoyhtälönä, jonka amplitudi kuvaa ensimmäinen tekijä. Graafisesti lausekkeen (4) kuvaama aalto on esitetty yllä olevassa kuvassa.

Tuloksena oleva amplitudi saadaan aaltojen lisäämisen tuloksena, joten amplitudin maksimit ja minimit huomioidaan.

Suurin amplitudi määräytyy seuraavan ehdon mukaan.

(5)

m = 0, 1, 2…

xmax on suurimman amplitudin koordinaatti.

Kosini vie maksimiarvon modulo läpi s .

Kutakin näistä maksimista voidaan pitää vastaavan aaltoryhmän keskipisteenä.

Ratkaisu (5) suhteessa xmax saada.

Vaihenopeudesta lähtien kutsutaan ryhmänopeudeksi. Aaltopaketin maksimiamplitudi liikkuu tällä nopeudella. Rajassa ryhmänopeuden lausekkeella on seuraava muoto.

(6)

Tämä lauseke pätee mielivaltaisen aaltomäärän ryhmän keskustaan.

On huomattava, että kun kaikki laajennuksen ehdot otetaan tarkasti huomioon (mielivaltaiselle määrälle aaltoja), saadaan amplitudin lauseke siten, että siitä seuraa, että aaltopaketti leviää ajan myötä.
Ryhmänopeuden lauseke voidaan antaa eri muodossa.

Dispersion puuttuessa

Intensiteettimaksimi osuu aaltoryhmän keskelle. Siksi energiansiirtonopeus on yhtä suuri kuin ryhmän nopeus.

Ryhmänopeuden käsite on sovellettavissa vain sillä ehdolla, että aallon absorptio väliaineessa on pieni. Kun aallot vaimenevat merkittävästi, ryhmänopeuden käsite menettää merkityksensä. Tämä tapaus havaitaan epänormaalin leviämisen alueella. Käsittelemme tätä Wave Optics -osiossa.

Portaali opiskelijalle. Itseharjoittelu

AIHEESEEN LIITTYVÄT ARTIKKELIT