Yritä ensin selvittää toiminnon laajuus:

Onnistuitko? Verrataanpa vastauksia:

Selvä? Hyvin tehty!

Yritetään nyt löytää funktion alue:

Löytyikö? Vertailla:

Oliko se samaa mieltä? Hyvin tehty!

Työstetään taas kaavioiden kanssa, mutta nyt on vähän vaikeampaa - löytää sekä funktion alue että funktion alue.

Kuinka löytää sekä verkkotunnus että toiminnon alue (edistynyt)

Tässä on mitä tapahtui:

Luulen, että tajusit sen grafiikan avulla. Yritetään nyt löytää funktion verkkoalue kaavojen mukaisesti (jos et tiedä kuinka tehdä tämä, lue osio aiheesta):

Onnistuitko? Tarkistetaan vastauksia:

1. , koska juurilausekkeen on oltava suurempi tai yhtä suuri kuin nolla.
2. , koska on mahdotonta jakaa nollalla ja radikaalilauseke ei voi olla negatiivinen.
3. , koska vastaavasti kaikille.
4. koska et voi jakaa nollalla.

Meillä on kuitenkin vielä yksi hetki, jota ei ole selvitetty...

Toistan määritelmän ja keskityn siihen:

Huomasitko? Sana "vain" on erittäin, erittäin tärkeä osa määritelmäämme. Yritän selittää sinulle sormilla.

Oletetaan, että meillä on suoralla viivalla annettu funktio. . Kun, korvaamme tämän arvon "sääntöämme" ja saamme sen. Yksi arvo vastaa yhtä arvoa. Voimme jopa tehdä taulukon eri arvoista ja piirtää tietyn funktion varmistaaksemme tämän.

"Katso! - sanot, - "" tapaa kahdesti!" Joten ehkä paraabeli ei ole funktio? Ei se on!

Se, että "" esiintyy kahdesti, ei suinkaan ole syy syyttää paraabelia moniselitteisyydestä!

Tosiasia on, että laskettaessa saimme yhden pelin. Ja kun laskettiin, saimme yhden pelin. Joten se on oikein, paraabeli on funktio. Katso taulukkoa:

Sain sen? Jos ei, tässä on sinulle esimerkki tosielämästä, kaukana matematiikasta!

Oletetaan, että meillä on joukko hakijoita, jotka tapasivat asiakirjoja jättäessään ja joista jokainen kertoi keskustelussa asuinpaikkansa:

Samaa mieltä, on melko realistista, että useat kaverit asuvat samassa kaupungissa, mutta on mahdotonta, että yksi henkilö asuisi useissa kaupungeissa samanaikaisesti. Tämä on ikään kuin looginen esitys "paraabelistamme" - Useat eri x:t vastaavat samaa y:tä.

Keksitään nyt esimerkki, jossa riippuvuus ei ole funktio. Oletetaan, että nämä samat kaverit kertoivat, mihin erikoisuuksiin he hakivat:

Täällä meillä on täysin erilainen tilanne: yksi henkilö voi helposti hakea yhtä tai useampaa reittiä. Tuo on yksi elementti sarjat laitetaan kirjeenvaihtoon useita elementtejä sarjat. Vastaavasti, se ei ole toiminto.

Testataan tietosi käytännössä.

Päätä kuvista mikä on funktio ja mikä ei:

Sain sen? Ja tässä on vastauksia:

• Funktio on - B,E.
• Ei funktio - A, B, D, D.

Kysyt miksi? Kyllä, tässä on syy:

Kaikissa luvuissa paitsi SISÄÄN) Ja E) niitä on useita yhdelle!

Olen varma, että nyt voit helposti erottaa funktion ei-funktiosta, sanoa mikä argumentti on ja mikä riippuva muuttuja sekä määrittää argumentin laajuuden ja funktion laajuuden. Siirrytään seuraavaan osaan - kuinka funktio määritellään?

Tapoja asettaa toiminto

Mitä luulet sanojen tarkoittavan "asettaa toiminto"? Aivan oikein, se tarkoittaa, että selitetään kaikille, mistä toiminnasta tässä tapauksessa puhumme. Lisäksi selitä niin, että kaikki ymmärtävät sinut oikein ja ihmisten piirtämät funktioiden kaaviot selityksesi mukaan olivat samat.

Miten voin tehdä sen? Kuinka asettaa toiminto? Helpoin tapa, jota on jo käytetty useammin kuin kerran tässä artikkelissa - käyttämällä kaavaa. Kirjoitamme kaavan, ja korvaamalla siihen arvon, laskemme arvon. Ja kuten muistatte, kaava on laki, sääntö, jonka mukaan meille ja toiselle ihmiselle tulee selväksi, kuinka X muuttuu Y:ksi.

Yleensä he tekevät juuri näin - tehtävissä näemme valmiita kaavoilla määriteltyjä funktioita, mutta on olemassa muita tapoja asettaa funktio, jonka kaikki unohtavat, ja siksi kysymys "miten muuten voit asettaa funktion?" hämmentää. Katsotaanpa kaikkea järjestyksessä ja aloitetaan analyyttisestä menetelmästä.

Analyyttinen tapa määritellä funktio

Analyyttinen menetelmä on kaavaa käyttävän funktion tehtävä. Tämä on yleisin, kattavin ja yksiselitteisin tapa. Jos sinulla on kaava, tiedät funktiosta aivan kaiken - voit tehdä siihen arvotaulukon, voit rakentaa kaavion, määrittää missä funktio kasvaa ja missä se vähenee, yleensä tutkia sitä kokonaan.

Tarkastellaan funktiota. Mitä väliä sillä on?

"Mitä se tarkoittaa?" - kysyt. Selitän nyt.

Muistutan, että merkinnöissä suluissa olevaa lauseketta kutsutaan argumentiksi. Ja tämä argumentti voi olla mikä tahansa ilmaus, ei välttämättä yksinkertainen. Näin ollen, riippumatta argumentista (lauseke suluissa), kirjoitamme sen sen sijaan lausekkeeseen.

Esimerkissämme se näyttää tältä:

Harkitse toista tehtävää, joka liittyy kokeessa käytettävän funktion määrittämiseen analyyttiseen menetelmään.

Etsi lausekkeen arvo, at.

Olen varma, että aluksi pelkäsit, kun näit sellaisen ilmaisun, mutta siinä ei ole mitään pelottavaa!

Kaikki on sama kuin edellisessä esimerkissä: mikä tahansa argumentti (lauseke suluissa), kirjoitamme sen sijaan lausekkeeseen. Esimerkiksi funktiolle.

Mitä esimerkissämme pitäisi tehdä? Sen sijaan sinun on kirjoitettava, ja sen sijaan -:

lyhennä tuloksena olevaa lauseketta:

Siinä kaikki!

Itsenäinen työ

Yritä nyt löytää itse seuraavien ilmaisujen merkitys:

1. , Jos
2. , Jos

Onnistuitko? Verrataan vastauksiamme: Olemme tottuneet siihen, että funktiolla on muoto

Jopa esimerkeissämme määrittelemme funktion tällä tavalla, mutta analyyttisesti funktio on mahdollista määritellä esimerkiksi implisiittisesti.

Kokeile rakentaa tämä toiminto itse.

Onnistuitko?

Näin rakensin sen.

Mihin yhtälöön päädyimme?

Oikein! Lineaarinen, mikä tarkoittaa, että kuvaaja on suora. Tehdään taulukko määrittääksemme, mitkä pisteet kuuluvat rivillemme:

Juuri siitä puhuimme... Yksi vastaa useita.

Yritetään piirtää mitä tapahtui:

Onko se, mitä meillä on, funktio?

Aivan oikein, ei! Miksi? Yritä vastata tähän kysymykseen kuvan avulla. Mitä sinä sait?

"Koska yksi arvo vastaa useita arvoja!"

Millaisen johtopäätöksen voimme tästä tehdä?

Aivan oikein, funktiota ei aina voida ilmaista eksplisiittisesti, ja se, mikä on "naamioitu" funktioksi, ei aina ole funktio!

Taulukkomuotoinen tapa määritellä funktio

Kuten nimestä voi päätellä, tämä menetelmä on yksinkertainen levy. Kyllä kyllä. Kuten jo tekemämme. Esimerkiksi:

Täällä huomasit heti kuvion - Y on kolme kertaa suurempi kuin X. Ja nyt "erittäin hyvin ajattelun" tehtävä: onko taulukon muodossa annettu funktio mielestäsi sama kuin funktio?

Älkäämme puhuko pitkään, vaan piirretään!

Niin. Piirrämme molemmilla tavoilla annetun funktion:

Näetkö eron? Kyse ei ole merkityistä pisteistä! Katso tarkemmin:

Oletko nähnyt sen nyt? Kun asetamme funktion taulukkomuodossa, heijastamme kuvaajaan vain ne pisteet, jotka meillä on taulukossa ja viiva (kuten meidän tapauksessamme) kulkee vain niiden läpi. Kun määrittelemme funktion analyyttisesti, voimme ottaa minkä tahansa pisteen, eikä funktiomme rajoitu niihin. Tässä on sellainen ominaisuus. Muistaa!

Graafinen tapa rakentaa funktio

Graafinen tapa muodostaa funktio ei ole yhtä kätevä. Piirrämme funktiomme, ja toinen kiinnostunut voi löytää sen, mikä y on yhtä suuri tietyllä x:llä ja niin edelleen. Graafiset ja analyyttiset menetelmät ovat yleisimpiä.

Tässä sinun on kuitenkin muistettava, mistä puhuimme aivan alussa - ei jokainen koordinaattijärjestelmään piirretty "kiire" ole funktio! Muistatko? Varmuuden vuoksi kopioin tänne määritelmän siitä, mikä funktio on:

Yleensä ihmiset nimeävät tarkalleen ne kolme tapaa määrittää funktio, jotka olemme analysoineet - analyyttinen (kaavan avulla), taulukko ja graafinen, unohtaen kokonaan, että funktiota voidaan kuvata sanallisesti. Kuten tämä? Kyllä, erittäin helppoa!

Toiminnon sanallinen kuvaus

Kuinka kuvailla toimintoa suullisesti? Otetaanpa tuore esimerkkimme - . Tämä funktio voidaan kuvata "jokainen x:n todellinen arvo vastaa kolminkertaista arvoaan". Siinä kaikki. Ei mitään monimutkaista. Tietenkin vastustat - "on niin monimutkaisia ​​toimintoja, joita on yksinkertaisesti mahdotonta asettaa sanallisesti!" Kyllä, joitain on, mutta on toimintoja, joita on helpompi kuvata sanallisesti kuin asettaa kaavalla. Esimerkiksi: "jokainen x:n luonnollinen arvo vastaa eroa niiden numeroiden välillä, joista se koostuu, kun taas numerosyötteen suurin numero on minuutti." Mieti nyt, kuinka funktion sanallinen kuvaus toteutetaan käytännössä:

Tietyn luvun suurin numero - vastaavasti - pienennetään, sitten:

Tärkeimmät toimintotyypit

Siirrytään nyt mielenkiintoisimpaan - tarkastelemme tärkeimpiä funktiotyyppejä, joiden kanssa työskentelit / työskentelet ja työskentelet koulun ja instituutin matematiikan aikana, eli opimme tuntemaan ne niin sanotusti ja anna heille lyhyt kuvaus. Lue lisää kustakin toiminnosta vastaavasta osiosta.

Lineaarinen funktio

Muodon funktio, jossa ovat reaalilukuja.

Tämän funktion kuvaaja on suora, joten lineaarifunktion rakentaminen pelkistyy kahden pisteen koordinaattien löytämiseen.

Suoran sijainti koordinaattitasolla riippuu kaltevuuskulmasta.

Funktioalue (alias argumenttialue) - .

Arvoalue on.

neliöfunktio

Lomakkeen funktio, missä

Funktion kuvaaja on paraabeli, kun paraabelin haarat on suunnattu alaspäin, kun - ylöspäin.

Monet neliöfunktion ominaisuudet riippuvat diskriminantin arvosta. Diskriminantti lasketaan kaavalla

Paraabelin sijainti koordinaattitasolla suhteessa arvoon ja kertoimeen on esitetty kuvassa:

Verkkotunnus

Arvoalue riippuu annetun funktion ääripäästä (paraabelin kärjestä) ja kertoimesta (paraabelin haarojen suunnasta)

Käänteinen suhteellisuus

Kaavan antama funktio, jossa

Lukua kutsutaan käänteissuhteellisuustekijäksi. Arvosta riippuen hyperbelin haarat ovat eri neliöissä:

Verkkotunnus - .

Arvoalue on.

YHTEENVETO JA PERUSKAAVA

1. Funktio on sääntö, jonka mukaan jokaiselle joukon elementille määritetään joukon yksilöllinen elementti.

• - tämä on kaava, joka ilmaisee funktiota, eli yhden muuttujan riippuvuutta toisesta;
• - muuttuja tai argumentti;
• - riippuva arvo - muuttuu, kun argumentti muuttuu, eli jonkin tietyn kaavan mukaan, joka heijastaa yhden arvon riippuvuutta toisesta.

2. Kelvolliset argumenttiarvot, tai funktion laajuus, on se, mikä liittyy mahdollisuuteen, jossa funktiolla on järkeä.

3. Funktioarvojen alue- näitä arvoja se vaatii, kelvollisilla arvoilla.

4. On 4 tapaa asettaa toiminto:

• analyyttinen (käyttäen kaavoja);
• taulukkomainen;
• graafinen
• sanallinen kuvaus.

5. Toimintojen päätyypit:

• : , missä ovat reaaliluvut;
• : , Missä;
• : , Missä.

Yksi mahdollisista kaavoista funktion tutkimiseksi ja sen graafin muodostamiseksi on jaettu seuraaviin ongelman ratkaisuvaiheisiin: 1. Funktioalue (O.O.F.). 2. Funktion rajapisteet, niiden luonne. Pystysuorat asymptootit. 3. Parilliset, parittomat, jaksolliset funktiot. 4. Kuvaajan ja koordinaattiakselien leikkauspisteet. 5. Funktion käyttäytyminen äärettömyydessä. Vaakasuuntaiset ja vinot asymptootit. 6. Funktion monotonisuuden intervallit, maksimi- ja minimipisteet. 7. Käyrän kuperuuden suunnat. Käännepisteet. 8. Funktiokaavio. Esimerkki 1. Piirrä funktio y \u003d 1. (Maria Anieein vereiora tai curl). - koko numeerinen akseli. 2. Ei ole taukopisteitä; ei ole vertikaalisia asymptootteja. 3. Funktio on parillinen: siten, että sen kuvaaja on symmetrinen Oy-akselin suhteen \ ei-jaksollinen. Funktion pariteetista seuraa, että sen kuvaaja riittää piirtämään sen puoliviivalle x ^ 0 ja sitten peilaamaan se y-akselille. 4. Kohdassa x = 0 meillä on Yx, jolloin funktion kuvaaja on ylemmän puolitason y > 0. Kaavio funktion graafin muodostamiseksi Ekstreemin funktioiden tutkiminen korkeamman asteen derivaattoja käyttäen. yhtälöiden juuret sointu- ja tangenttimenetelmillä, että graafilla on vaaka-asymptootti y = O, vinoja asymptootteja ei ole. Joten toiminto kasvaa ja vähenee milloin. Piste x = 0 on kriittinen. Kun x kulkee pisteen x \u003d 0 läpi, derivaatta y "(x) muuttaa etumerkin miinuksesta plussiksi. Siksi piste x \u003d 0 on maksimipiste, y (Q) \u003d I. Tämä tulos on melkoinen ilmeinen: / (x) \u003d T ^ IV *. Toinen derivaatta katoaa pisteistä x \u003d. Tutkimme pistettä x \u003d 4- (jatkossa symmetrianäkökohdat). Tällä meillä on. käyrä on kupera alaspäin; saamme (käyrä on kupera ylöspäin). Siksi piste x \u003d \u003d - on funktion käännepistekaavio. Teemme yhteenvedon tutkimuksen tuloksista taulukkoon: Käännepiste max Käännepiste - koko reaaliakseli, poislukien piste 2. Funktion epäjatkuvuuspiste. Joten meillä on suora x = 0 - pystysuora asymptootti 3. Funktio ei ole parillinen eikä pariton [funktio yleisessä asennossa), ei- Olettaen, että funktion kuvaaja leikkaa Ox-akselin pisteessä (-1,0), ei ole vino- ja vaaka-asymptootteja, joten kriittinen piste. Funktion toinen derivaatta on pisteessä, joten x = on minimipiste. Toinen derivaatta muuttuu pisteessä uuliksi ja muuttaa etumerkkiään kulkiessaan tämän pisteen läpi. Siksi piste on käyrän käännepiste. Sillä) meillä on e. käyrän kupera on suunnattu alaspäin; sillä - minulla on. käyrän kupera on suunnattu ylöspäin. Teemme yhteenvedon tutkimuksen tuloksista taulukkoon: Ei ole olemassa Ei ole olemassa Käännekohta Ei ole olemassa. Torusderivaatan pystyasymptootti häviää kohdassa x = e,/2. ja kun x kulkee tämän pisteen läpi, y "muuttaa etumerkkiä Siksi on käyrän käännepisteen abskissa. Teemme yhteenvedon tutkimuksen tuloksista taulukkoon: Käännepiste. Funktion käyrä on esitetty kuvassa 37. Esimerkki 4. Piirrä koko numeerisen akselin funktio, pois lukien pisteen 2. tyypin funktion pisteen epäjatkuvuus.Koska Km on funktion kaavion suora pystyasymptootti.Funktio on yleisasemassa, ei-jaksollinen .Asettamalla y = 0, meillä on, mistä funktion kuvaaja leikkaa x-akselin pisteessä Siksi funktion kuvaajalla on vino asymptootti Ehdosta, jonka saamme - kriittinen piste. funktio y" \u003d D\u003e 0 kaikkialla määritelmäalueella, erityisesti pisteessä - funktion minimipisteessä. 7. Koska kaikkialla funktion määrittelyalueella sen graafin konveksius on suunnattu alaspäin. Teemme yhteenvedon tutkimuksen tuloksista taulukkoon: Ei ole olemassa Ei ole olemassa Ei ole olemassa. x \u003d 0 - pystysuora asymptootti Funktion kaavio on esitetty kuvassa. Esimerkki 5. Piirrä koko lukuakselin funktio. 2. Jatkuva kaikkialla. Ei ole olemassa vertikaalisia asymptootteja. 3. Yleinen asema, ei-jaksollinen. 4. Funktio katoaa kohdassa 5. Siten funktion kuvaajalla on vino asymptootti Derivaata katoaa pisteessä, eikä sitä ole olemassa. Kun x kulkee pisteen läpi) derivaatta ei muuta etumerkkiä, joten pisteessä x = 0 ei ole ääriarvoa. Kun piste x kulkee pisteen läpi, derivaatta) muuttaa etumerkin "+":sta So, funktiolla on maksimi. Kun x kulkee pisteen x \u003d 3 (x\u003e I) läpi, derivaatta y "(x) muuttaa etumerkkiä, eli pisteessä x \u003d 3 funktiolla on minimi. 7. Etsi funktion toinen derivaatta korkeampi kertaluku Yhtälöiden juurien laskeminen sointujen ja tangenttien menetelmillä Toista derivaataa y "(x) ei ole olemassa pisteessä x = 0 ja kun x kulkee pisteen x = 0 läpi y" muuttaa etumerkin +:sta niin että käyrän piste (0,0) on piste, jossa ei ole käännekohtaa, jolla on pystytangentti. Pisteessä x = 3 ei ole käännettä. Kaikkialla puolitasossa x > 0 käyrän kupera on suunnattu ylöspäin kuvassa. 39. §7. Ekstreemin funktioiden tutkiminen käyttämällä korkeamman asteen johdannaisia ​​Taylorin kaavaa voidaan käyttää funktioiden maksimi- ja minimipisteiden löytämiseen. Lause Se. Olkoon funktiolla f(x) jossain pisteen xq ympäristössä n:nnen kertaluvun derivaatta, joka on jatkuva pisteessä xo. Olkoon 0. Jos luku n on pariton, niin funktiolla f(x) pisteessä x0 on ei ääripäätä; kun n on parillinen, niin pisteessä x0 funktiolla f(x) on maksimi, jos f(n)(x0)< 0, и минимум, если /. В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое <5 > 0, joka on välissä, ero - /(x0) säilyttää etumerkkinsä. Taylorin kaavan mukaan ehdon mukaan, niin kohdasta (1) saadaan 1o ehto / (n * (r) on jatkuva pisteessä ja Ф Siksi jatkuvan funktion stabiilisuudesta johtuen on olemassa sellainen, että väli () ei muutu ja osuu yhteen merkin / (n) kanssa ( Tarkastellaan mahdollisia tapauksia: 1) n on parillinen luku ja / Sitten I, siis (2) . Määritelmän mukaan tämä tarkoittaa, että piste o on funktion f(r) minimipiste. 2) n on parillinen ja. Sitten meillä on i yhdessä tämän kanssa ja Siksi piste i on tässä tapauksessa funktion f(r) maksimipiste. 3) n on pariton luku, /- Silloin, kun x > x0, merkki > osuu yhteen /(n)(ro) merkin kanssa ja r:lle se on vastakkainen. Siksi mielivaltaisen pienelle 0:lle eron f(r) - f(r0) etumerkki ei ole sama kaikille x e (r0 - 6, r0 + t). Näin ollen tässä tapauksessa funktiolla f(r) ei ole stremumia pisteessä th. Esimerkki. Tarkastellaan funktioita A. On helppo nähdä, että piste x = 0 on molempien funktioiden kriittinen piste. Funktiolle y = x4 ensimmäinen nollasta poikkeavista derivaatoista pisteessä x = 0 on 4. kertaluvun derivaatta: Siten tässä n = 4 on parillinen u. Siksi pisteessä x = 0 funktiolla y = x4 on minimi. Funktiolle y = x) ensimmäinen nollasta poikkeavista derivaatoista pisteessä x = 0 on kolmannen asteen derivaatta. Joten tässä tapauksessa n = 3 on pariton, ja pisteessä x = 0 funktiolla y = x3 ei ole ääriarvoa. Kommentti. Taylorin kaavalla voidaan todistaa seuraava lause, joka ilmaisee käännepisteen riittävät ehdot. "Lause 12. Olkoon funktiolla /(r) jossain pisteen r0 ympäristössä n:nnen kertaluvun derivaatta, jatkuva pisteessä xq. Mo(x0, f(xo)) on graafin käännepiste funktion y = f(x).Yksinkertaisin esimerkki on funktio §8. Yhtälöiden juurien laskeminen sointujen ja tangenttien menetelmillä Tehtävänä on löytää yhtälön todellinen juuri Oletetaan, että seuraavat ehdot täyttyvät: 1) funktio f(x) on jatkuva janalla [a, 6]; 2) luvut /(a) ja f(b) ovat vastakkaisia ​​etumerkillä: 3) janalla [a, 6] on derivaatat f "(x) ja f "(x), jotka säilyttävät vakiomerkin tässä segmentissä. Ehdoista 1) ja 2) Bolzano-Cauchyn lauseen (s. 220) perusteella seuraa, että funktio f(x) katoaa ainakin yhteen pisteeseen £ € ( a, b), eli yhtälössä (1) on vähintään yksi reaalijuuri £ välillä (a, b). Koska ehdon 3 mukaan derivaatta /"(x) merkissä [a, b\], silloin f(x) on monotoninen [a, b]:ssä ja siksi yhtälöllä (1) on vain yksi reaalijuuri välissä (a, b). I ) millä tahansa tarkkuudella. Neljä tapausta on mahdollista (kuva 40): 1) Kuva. 40 Otetaan tarkkuuden vuoksi tilanne, jossa f \ x) > 0, f "(x) > 0 janalla [a, 6) (kuva 41). Yhdistämme pisteet A (a, / (a) ) ja B (b, f(b)) jänteellä A B. Tämä on pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran jana, jonka yhtälö y \u003d 0, löydämme kuvasta 41 helposti. nähdäksesi, että piste a \ tulee aina olemaan sillä puolella, josta merkit f (x) ja f "(x) ovat vastakkain. Piirretään nyt tangentti pisteen B käyrälle y \u003d f (x) (b, f(b)), eli siinä kaaren ^AB päässä, jossa f(x):llä ja /"(x):llä on sama etumerkki. Tämä on olennainen ehto: ilman sitä leikkauspisteen tangentti x-akseli ei välttämättä anna lainkaan approksimaatiota vaadittavalle juurille. Piste b\, jossa tangentti leikkaa x-akselin, sijaitsee t:n ja b:n välissä samalla puolella kuin 6, ja se on parempi approksimaatio kuin b. Tämä tangentti määräytyy yhtälön avulla. Olettaen, että y = 0 kohdassa (3), löydämme b\: Kaavio funktion kaavion muodostamiseksi Ekstreemin funktioiden tutkiminen käyttämällä korkeamman asteen derivaattoja Yhtälöiden juurten laskeminen sointujen ja tangenttien menetelmät Aj:n ja 6:n likimääräisten arvojen absoluuttiselle virheelle, juurille £, voimme ottaa arvon |6i - ai|. Jos tämä virhe on suurempi kuin sallittu, niin ottamalla segmentin alkuperäiseksi, löydämme seuraavat juuren approksimaatiot missä. Jatkamalla tätä prosessia saadaan kaksi likimääräisten arvojen sekvenssiä: Sekvenssit (an) ja (bn) ovat monotonisia ja rajoitettuja, joten niillä on rajansa. Olkoon Voidaan osoittaa, että jos yllä formuloidut ehdot täyttyvät, 1 on yhtälön ainoa juuri / Esimerkki. Etsi juuri (yhtälöt r2 - 1 = 0 segmentillä . Näin ollen kaikki ehdot, jotka varmistavat yhden juuren olemassaolon täyttyvät (yhtälöt x2 - 1 = 0 segmentillä . ja menetelmän pitäisi toimia. 8 meidän tapauksessamme a = 0, b = 2. Kun n \u003d I kohdista (4) ja (5), löydämme Kun n \u003d 2, saamme sen, mikä antaa approksimation juuren tarkalle arvolle (absoluuttisella virheellä) käyttämällä korkeamman asteen derivaattoja : Vastaukset

Tehtävänä on: suorittaa täydellinen tutkimus funktiosta ja rakentaa sen kaavio.

Jokainen opiskelija on käynyt läpi samanlaisia ​​tehtäviä.

Seuraava edellyttää hyvää tietämystä. Suosittelemme tutustumaan tähän osioon, jos sinulla on kysyttävää.

Funktiotutkimusalgoritmi koostuu seuraavista vaiheista.

Toiminnon laajuuden löytäminen.

Tämä on erittäin tärkeä vaihe funktion tutkimisessa, koska kaikki muut toimet suoritetaan määrittelyalueella.

Esimerkissämme meidän on löydettävä nimittäjän nollat ​​ja jätettävä ne pois reaalilukujen alueelta.



(Muissa esimerkeissä voi olla juuria, logaritmeja jne. Muista, että näissä tapauksissa verkkotunnusta haetaan seuraavasti:
esimerkiksi parillisen asteen juurelle - määritelmäalue löytyy epäyhtälöstä ;
logaritmille - määritelmäalue löytyy epäyhtälöstä ).

Funktion käyttäytymisen tutkiminen määritelmäalueen rajalla, pystyasymptootien löytäminen.

Määritelmäalueen rajoilla funktiolla on vertikaaliset asymptootit, jos näissä rajapisteissä on ääretön.

Esimerkissämme määritelmäalueen rajapisteet ovat .

Tutkimme funktion käyttäytymistä lähestyttäessä näitä pisteitä vasemmalta ja oikealta, joille löydämme yksipuoliset rajat:


Koska yksipuoliset rajat ovat äärettömät, viivat ovat kaavion pystysuorat asymptootit.

Parillisen tai parittoman pariteetin funktion tutkiminen.

Toiminto on jopa, Jos. Funktion pariteetti ilmaisee graafin symmetrian y-akselin suhteen.

Toiminto on outo, Jos . Funktion parittomuus ilmaisee graafin symmetrian origon suhteen.

Jos mikään yhtäläisistä ei täyty, meillä on yleisen muodon funktio.

Esimerkissämme tasa-arvo on totta, joten funktiomme on parillinen. Otamme tämän huomioon piirrettäessä kuvaajaa - se on symmetrinen y-akselin suhteen.

Kasvavien ja laskevien funktioiden välien, ääripisteiden löytäminen.

Kasvu- ja laskuvälit ovat ratkaisuja epäyhtälöille ja vastaavasti.

Pisteitä, joissa derivaatta katoaa kutsutaan paikallaan.

Toiminnon kriittiset kohdat kutsua määritelmäalueen sisäpisteitä, joissa funktion derivaatta on nolla tai sitä ei ole olemassa.

KOMMENTTI(lisätäänkö kriittiset kohdat kasvun ja laskun aikaväleihin).

Sisällytämme kriittiset pisteet nouseviin ja laskeviin intervalleihin, jos ne kuuluvat funktion alueeseen.

Täten, määrittääksesi funktion kasvu- ja laskuvälit

• Ensin löydämme johdannaisen;
• toiseksi löydämme kriittiset kohdat;
• kolmanneksi jaamme kriittisten pisteiden määrittelyalueen intervalleiksi;
• neljänneksi määritämme derivaatan etumerkin kullakin välillä. Plusmerkki vastaa kasvuväliä, miinusmerkki - vähennysväliä.

Mennä!

Löydämme johdannaisen määritelmäalueelta (jos on vaikeuksia, katso kohta).


Löydämme kriittiset kohdat tälle:

Laitamme nämä pisteet numeeriselle akselille ja määritämme derivaatan etumerkin jokaisen tuloksena olevan intervallin sisällä. Vaihtoehtoisesti voit ottaa minkä tahansa pisteen väliltä ja laskea derivaatan arvon kyseisessä pisteessä. Jos arvo on positiivinen, laita plusmerkki tämän välin päälle ja siirry seuraavaan, jos negatiivinen, laita miinus jne. Esim, , siksi laitamme plusmerkin vasemman ensimmäisen välin päälle.


Päättelemme:

Kaavamaisesti plus/miinus merkitsevät välit, joissa derivaatta on positiivinen/negatiivinen. Nousevat / laskevat nuolet osoittavat nousevan / laskevan suunnan.

funktion ääripisteet ovat pisteet, joissa funktio määritellään ja joiden läpi derivaatta muuttaa etumerkkiä.

Esimerkissämme ääripiste on x=0. Funktion arvo tässä vaiheessa on . Koska derivaatan etumerkki muuttuu plussasta miinusmerkkiin kulkiessaan pisteen x=0 läpi, niin (0; 0) on paikallinen maksimipiste. (Jos derivaatta muuttaisi merkin miinuksesta plussaksi, meillä olisi paikallinen minimipiste).

Funktion kuperuuden ja koveruuden välien ja käännepisteiden löytäminen.

Funktion koveruus- ja kuperuusvälit löydetään ratkaisemalla epäyhtälöt ja vastaavasti.

Joskus koveruutta kutsutaan alaspäin kuperaksi ja kuperaksi ylöspäin.

Myös tässä pätevät huomautukset, jotka ovat samankaltaisia ​​kuin lisäys- ja laskuvälejä koskevassa kappaleessa.

Täten, määrittää funktion koveruuden ja kuperuuden jännevälit:

• ensinnäkin löydämme toisen derivaatan;
• toiseksi löydämme toisen derivaatan osoittajan ja nimittäjän nollat;
• kolmanneksi jaamme saatujen pisteiden määrittelyalueen intervalleiksi;
• neljänneksi määritämme toisen derivaatan etumerkin kullakin välillä. Plusmerkki vastaa koveruusväliä, miinusmerkki - kuperaa väliä.

Mennä!

Löydämme toisen derivaatan määritelmäalueelta.


Esimerkissämme ei ole osoittajan nollia, nimittäjän nollia.

Laitamme nämä pisteet reaaliakselille ja määritämme toisen derivaatan etumerkin jokaisen tuloksena olevan intervallin sisällä.



Päättelemme:

Piste on ns käännekohta, jos tietyssä pisteessä funktion kuvaajalla on tangentti ja funktion toinen derivaatta muuttaa etumerkkiä kulkiessaan .

Toisin sanoen käännepisteet voivat olla pisteitä, joiden kautta toinen derivaatta muuttaa etumerkkiä, itse pisteissä joko on nolla tai ei ole olemassa, mutta nämä pisteet sisältyvät funktion alueeseen.

Esimerkissämme ei ole käännepisteitä, koska toinen derivaatta muuttaa etumerkkiä kulkiessaan pisteiden läpi, eivätkä ne sisälly funktion toimialueeseen.

Vaakasuuntaisten ja vinojen asymptootien löytäminen.

Vaaka- tai vinoasymptootteja tulisi etsiä vain, kun funktio on määritelty äärettömässä.

Viistot asymptootit haetaan suorien viivojen muodossa, missä ja .

Jos k=0 ja b ei ole yhtä suuri kuin ääretön, niin vino asymptootti tulee vaakasuoraan.

Keitä nämä asymptootit muuten ovat?

Nämä ovat viivoja, joita funktion kuvaaja lähestyy äärettömässä. Siten ne auttavat paljon funktion piirtämisessä.

Jos vaakasuuntaisia ​​tai vinoja asymptootteja ei ole, mutta funktio on määritelty plus äärettömässä ja/tai miinus äärettömyydessä, niin funktion raja plus äärettömyydessä ja/tai miinus äärettömässä tulee laskea, jotta saadaan käsitys funktion käyttäytymisestä. funktion kuvaaja.

Meidän esimerkkiin

on horisontaalinen asymptootti.

Tämä päättää funktion tutkimuksen, siirrymme piirtämiseen.

Laskemme funktioarvot välipisteissä.

Tarkempaa kuvaajaa varten suosittelemme etsimään useita funktioarvoja välipisteistä (eli mistä tahansa funktion määritelmäalueen pisteestä).

Etsitään esimerkissämme funktion arvot pisteistä x=-2, x=-1, x=-3/4, x=-1/4. Funktion pariteetin vuoksi nämä arvot osuvat kohdissa x=2, x=1, x=3/4, x=1/4 olevien arvojen kanssa.


Kaavion rakentaminen.

Ensin rakennetaan asymptootteja, piirretään funktion paikallisten maksimien ja minimien pisteet, käännepisteet ja välipisteet. Piirtämisen helpottamiseksi voit myös käyttää kaavamaista merkintää kasvun, pienenemisen, kuperuuden ja koveruuden väliltä, ​​ei turhaan tutkinut funktiota =).


On vielä piirrettävä kaavion viivat merkittyjen pisteiden läpi lähestyen asymptootteja ja seuraamalla nuolia.


Tällä kuvataiteen mestariteoksella funktion täydellinen tutkiminen ja piirtäminen on suoritettu.

Joidenkin perusfunktioiden kuvaajia voidaan rakentaa käyttämällä peruselementtifunktioiden kuvaajia.

Kuinka tutkia funktiota ja piirtää sen kuvaaja?

Näyttää siltä, ​​​​että olen alkanut ymmärtää maailman proletariaatin johtajan, 55 osan koottujen teosten kirjoittajan sielukkaita kasvoja .... Pitkä matka alkoi alkeellisilla tiedoilla funktioita ja kaavioita, ja nyt työ raskaan aiheen parissa päättyy luonnolliseen tulokseen - artikkeliin koko toimintotutkimuksesta. Kauan odotettu tehtävä on muotoiltu seuraavasti:

Tutki funktiota differentiaalilaskennan menetelmillä ja rakenna sen kuvaaja tutkimuksen tulosten perusteella

Tai lyhyesti: tutki funktiota ja piirrä se.

Miksi tutkia? Yksinkertaisissa tapauksissa meidän ei ole vaikeaa käsitellä perusfunktioita, piirtää käyttämällä saatua kuvaajaa alkeelliset geometriset muunnokset ja niin edelleen. Monimutkaisempien funktioiden ominaisuudet ja graafiset esitykset eivät kuitenkaan ole läheskään ilmeisiä, minkä vuoksi koko tutkimus tarvitaan.

Ratkaisun päävaiheet on tiivistetty vertailumateriaalissa Toimintotutkimussuunnitelma, tämä on osiooppaasi. Nuket tarvitsevat vaiheittaisen selityksen aiheesta, jotkut lukijat eivät tiedä mistä aloittaa ja miten opiskelu järjestetään, ja edistyneitä opiskelijoita saattaa kiinnostaa vain muutama seikka. Mutta kuka oletkin, rakas vierailija, ehdotettu yhteenveto, jossa on viitteitä erilaisiin oppitunteihin, suuntaa ja ohjaa sinut kiinnostavaan suuntaan mahdollisimman lyhyessä ajassa. Robotit vuodattivat kyyneleen =) Käsikirja tehtiin pdf-tiedostona ja otti sille kuuluvan paikan sivulla Matemaattiset kaavat ja taulukot.

Jakoin funktion tutkimuksen 5-6 kohtaan:

6) Lisäpisteet ja kaavio tutkimuksen tulosten perusteella.

Mitä tulee viimeiseen toimintoon, uskon, että kaikki ymmärtävät kaiken - on suuri pettymys, jos se muutamassa sekunnissa yliviivataan ja tehtävä palautetaan tarkistettavaksi. OIKEA JA TARKKA PIIRUSTUS on ratkaisun tärkein tulos! Se todennäköisesti "peittää" analyyttiset laiminlyönnit, kun taas väärä ja/tai huolimaton aikataulu aiheuttaa ongelmia jopa täydellisesti suoritetussa tutkimuksessa.

On huomioitava, että muissa lähteissä tutkimuskohteiden määrä, toteutusjärjestys ja suunnittelutyyli voivat poiketa huomattavasti ehdottamastani kaavasta, mutta useimmissa tapauksissa se riittää. Ongelman yksinkertaisin versio koostuu vain 2-3 vaiheesta ja se on muotoiltu jotenkin näin: "tutki funktiota derivaatan avulla ja kuvaaja" tai "tutki funktiota käyttämällä 1. ja 2. derivaatta, piirrä".

Luonnollisesti, jos jokin toinen algoritmi analysoidaan yksityiskohtaisesti harjoituskäsikirjassasi tai opettajasi vaatii sinua ehdottomasti noudattamaan hänen luentojaan, sinun on tehtävä joitain muutoksia ratkaisuun. Ei sen vaikeampaa kuin vaihtaa haarukka moottorisahalusikalla.

Tarkastetaan funktio parillisen / parittoman suhteen:

Tätä seuraa tilauksen peruutusmalli:
, joten tämä funktio ei ole parillinen eikä pariton.

Koska funktio on jatkuva päällä, pystysuoraa asymptootteja ei ole.

Ei myöskään ole vinoja asymptootteja.

Huomautus : Muistutan, että korkeampi kasvujärjestys kuin , joten lopullinen raja on täsmälleen " plusäärettömyys."

Selvitetään kuinka funktio käyttäytyy äärettömässä:

Toisin sanoen, jos mennään oikealle, niin kaavio menee äärettömän pitkälle ylös, jos mennään vasemmalle, äärettömän pitkälle alas. Kyllä, yhden merkinnän alla on myös kaksi rajaa. Jos sinulla on vaikeuksia tulkita merkkejä, käy oppitunnilla aiheesta äärettömän pienet funktiot.

Toiminto siis ei ole rajoitettu ylhäältä Ja ei rajoitettu alhaalta. Koska meillä ei ole keskeytyskohtia, käy selväksi ja toimintoalue: on myös mikä tahansa reaaliluku.

HYÖDYLLINEN TEKNIIKKA

Jokainen tehtävävaihe tuo uutta tietoa funktion kaaviosta, joten ratkaisun aikana on kätevää käyttää eräänlaista LAYOUTia. Piirretään luonnokseen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä. Mikä tiedetään varmasti? Ensinnäkin kaaviossa ei ole asymptootteja, joten suoria viivoja ei tarvitse piirtää. Toiseksi tiedämme kuinka funktio käyttäytyy äärettömässä. Analyysin mukaan teemme ensimmäisen likiarvon:

Huomaa, että käytännössä jatkuvuus funktio päällä ja se, että , kaavion on ylitettävä akseli vähintään kerran. Tai ehkä risteyspisteitä on useita?

3) funktion nollat ​​ja vakiomerkin intervallit.

Etsi ensin kaavion leikkauspiste y-akselin kanssa. Se on yksinkertaista. On tarpeen laskea funktion arvo, kun:

Puoliksi merenpinnan yläpuolella.

Löytääksesi leikkauspisteet akselin kanssa (funktion nollat), sinun on ratkaistava yhtälö, ja täällä meitä odottaa epämiellyttävä yllätys:

Lopussa väijyy ilmainen jäsen, mikä vaikeuttaa tehtävää huomattavasti.

Tällaisella yhtälöllä on ainakin yksi todellinen juuri, ja useimmiten tämä juuri on irrationaalinen. Pahimmassa sadussa meitä odottaa kolme pientä porsasta. Yhtälö on ratkaistavissa ns Cardanon kaavat, mutta paperivauriot ovat verrattavissa lähes koko tutkimukseen. Tässä suhteessa on viisaampaa yrittää poimia ainakin yksi suullisesti tai luonnoksessa koko juuri. Katsotaanpa, ovatko nämä numerot:
- ei sovi;
- On!

Täällä on onnea. Epäonnistumisen sattuessa voit myös testata ja, ja jos nämä luvut eivät sovi, niin valitettavasti yhtälön kannattavalle ratkaisulle on hyvin vähän mahdollisuuksia. Silloin on parempi jättää tutkimuskohta kokonaan väliin - ehkä jotain selkenee viimeisessä vaiheessa, kun lisäpisteitä murtautuu läpi. Ja jos juuri (juuret) ovat selvästi "huonoja", niin on parempi olla vaatimattomasti hiljaa merkkien pysyvyysväleistä ja täydentää piirustus tarkemmin.

Meillä on kuitenkin kaunis juuri, joten jaamme polynomin ilman loppua:

Algoritmia polynomin jakamiseksi polynomilla käsitellään yksityiskohtaisesti oppitunnin ensimmäisessä esimerkissä. Monimutkaiset rajat.

Tämän seurauksena alkuperäisen yhtälön vasen puoli laajenee tuotteeksi:

Ja nyt vähän terveellisistä elämäntavoista. Toki ymmärrän sen toisen asteen yhtälöt on ratkaistava joka päivä, mutta tänään teemme poikkeuksen: yhtälön sillä on kaksi todellista juurta.

Numeroviivalle piirrämme löydetyt arvot Ja intervallimenetelmä määrittele funktion merkit:


og Siten intervalleilla kartta sijaitsee
x-akselin alapuolella ja väliajoin - tämän akselin yläpuolella.

Tuloksena saatujen havaintojen avulla voimme tarkentaa asetteluamme, ja kaavion toinen approksimaatio näyttää tältä:

Huomaa, että funktiolla on oltava vähintään yksi maksimi välissä ja vähintään yksi minimi intervalleissa. Mutta emme tiedä kuinka monta kertaa, missä ja milloin aikataulu "kiertyy". Muuten, funktiolla voi olla äärettömän monta ääripäät.

4) Toiminnan lisääminen, vähentäminen ja äärimmäisyys.

Etsitään kriittiset kohdat:

Tällä yhtälöllä on kaksi todellista juuria. Laitetaan ne numeroviivalle ja määritetään derivaatan merkit:


Siksi toiminto kasvaa ja pienenee .
Siinä vaiheessa funktio saavuttaa maksiminsa: .
Siinä vaiheessa, kun funktio saavuttaa miniminsä: .

Vakiintuneet tosiasiat ohjaavat mallimme melko jäykkään kehykseen:

Tarpeetonta sanoa, että differentiaalilaskenta on voimakas asia. Käsitellään lopuksi kaavion muotoa:

5) Kuperuus, koveruus ja käännepisteet.

Etsi toisen derivaatan kriittiset pisteet:

Määrittelemme merkit:


Funktiokaavio on kupera päällä ja kovera päällä . Lasketaan käännepisteen ordinaatit: .

Melkein kaikki selvisi.

6) On vielä löydettävä lisäpisteitä, jotka auttavat rakentamaan kaavion tarkemmin ja suorittamaan itsetestin. Tässä tapauksessa niitä on vähän, mutta emme jätä huomiotta:

Suoritetaan piirustus:

Käännepiste on merkitty vihreällä, lisäpisteet on merkitty ristillä. Kuutiofunktion kuvaaja on symmetrinen sen käännepisteen suhteen, joka sijaitsee aina täsmälleen maksimin ja minimin välissä.

Tehtävän aikana annoin kolme hypoteettista välipiirustusta. Käytännössä riittää, että piirretään koordinaattijärjestelmä, merkitään löydetyt pisteet ja jokaisen tutkimuksen pisteen jälkeen mietitään mielessään, miltä funktion kuvaaja voisi näyttää. Hyvän valmistautumisen omaavien opiskelijoiden ei ole vaikeaa suorittaa tällaista analyysiä vain mielessään ilman luonnosta.

Itsenäinen ratkaisu:

Esimerkki 2

Tutustu funktioon ja rakenna kaavio.

Täällä kaikki on nopeampaa ja hauskempaa, likimääräinen esimerkki oppitunnin päättymisestä.

Paljon salaisuuksia paljastuu tutkimalla murto-rationaalisia funktioita:

Esimerkki 3

Tutki funktiota differentiaalilaskennan menetelmiä käyttäen ja muodosta tutkimuksen tulosten perusteella sen graafi.

Ratkaisu: tutkimuksen ensimmäinen vaihe ei eroa millään merkittävällä, lukuun ottamatta reikää määritelmäalueella:

1) Funktio on määritelty ja jatkuva koko lukuviivalla lukuun ottamatta pistettä, verkkotunnus: .

, joten tämä funktio ei ole parillinen eikä pariton.

Ilmeisesti funktio on ei-jaksollinen.

Funktion kuvaaja koostuu kahdesta jatkuvasta haarasta, jotka sijaitsevat vasemmalla ja oikealla puolitasolla - tämä on ehkä 1. kappaleen tärkein johtopäätös.

2) Asymptootit, funktion käyttäytyminen äärettömässä.

a) Yksipuolisten rajojen avulla tutkimme funktion käyttäytymistä lähellä epäilyttävää pistettä, jossa pystysuoran asymptootin tulee selvästi olla:

Todellakin, toiminnot kestävät loputon väli pisteessä
ja suora (akseli) on vertikaalinen asymptootti graafiset taiteet.

b) Tarkista, onko olemassa vinoja asymptootteja:

Kyllä, linja on vino asymptootti grafiikkaa jos.

Ei ole mitään järkeä analysoida rajoja, koska on jo selvää, että funktio syleilee vino asymptoottineen ei ole rajoitettu ylhäältä Ja ei rajoitettu alhaalta.

Tutkimuksen toinen kohta toi paljon tärkeää tietoa toiminnasta. Tehdään karkea sketsi:

Johtopäätös nro 1 koskee merkkien pysyvyyden välejä. "Miinus äärettömässä" funktion kuvaaja sijaitsee yksiselitteisesti x-akselin alapuolella, ja "plus äärettömyydessä" se on tämän akselin yläpuolella. Lisäksi yksipuoliset rajat kertoivat meille, että sekä pisteen vasemmalla että oikealla puolella funktio on myös suurempi kuin nolla. Huomaa, että vasemmassa puolitasossa kaavion on ylitettävä x-akseli vähintään kerran. Oikeassa puolitasossa funktion nollia ei välttämättä ole.

Johtopäätös nro 2 on, että funktio kasvaa pisteessä ja sen vasemmalla puolella (siirtyy "alhaalta ylös"). Tämän pisteen oikealla puolella toiminto pienenee (siirtyy "ylhäältä alas"). Kaavion oikealla haaralla on varmasti oltava vähintään yksi minimi. Vasemmalla ääripäät eivät ole taattuja.

Johtopäätös nro 3 antaa luotettavaa tietoa graafin koveruudesta pisteen läheisyydessä. Toistaiseksi emme voi sanoa mitään kuperuudesta/koveruudesta äärettömässä, koska viiva voidaan painaa asymptoottiaan vasten sekä ylhäältä että alhaalta. Yleisesti ottaen on olemassa analyyttinen tapa selvittää tämä nyt, mutta kaavion muoto "turhaan" tulee selvemmäksi myöhemmin.

Miksi niin monta sanaa? Hallitse myöhempiä tutkimuspisteitä ja vältä virheitä! Lisälaskelmat eivät saa olla ristiriidassa tehtyjen johtopäätösten kanssa.

3) Kuvaajan leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa, funktion vakiomerkkivälit.

Funktion kuvaaja ei ylitä akselia.

Intervallimenetelmällä määritämme merkit:

, Jos ;
, Jos .

Kappaleen tulokset ovat täysin johdonmukaisia ​​päätelmän nro 1 kanssa. Kunkin vaiheen jälkeen katso luonnosta, katso henkisesti tutkimusta ja lopeta funktion kaavion piirtäminen.

Tässä esimerkissä osoittaja jaetaan termeiltä nimittäjällä, mikä on erittäin hyödyllistä erottamisessa:

Itse asiassa tämä on jo tehty asymptooteja löydettäessä.

- Kriittinen piste.

Määrittelemme merkit:

kasvaa ja pienenee

Siinä vaiheessa, kun funktio saavuttaa miniminsä: .

Myöskään päätelmän nro 2 kanssa ei ollut ristiriitoja, ja mitä todennäköisimmin olemme oikeilla jäljillä.

Tämä tarkoittaa, että funktion kuvaaja on kovera koko määritelmäalueen alueella.

Erinomainen - eikä sinun tarvitse piirtää mitään.

Käännepisteitä ei ole.

Koveruus on johdonmukainen päätelmän nro 3 kanssa, lisäksi se osoittaa, että äärettömyydessä (sekä siellä että siellä) funktion kuvaaja sijaitsee korkeampi sen vino asymptootti.

6) Kiinnitämme tehtävään tunnollisesti lisäpisteillä. Tässä meidän on työskenneltävä kovasti, koska tiedämme tutkimuksesta vain kaksi kohtaa.

Ja kuva, jonka monet ovat luultavasti esittäneet pitkään:

Toimeksiannon aikana on huolehdittava siitä, ettei opiskeluvaiheiden välillä ole ristiriitoja, mutta joskus tilanne on kiireellinen tai jopa epätoivoinen umpikuja. Tässä analytiikka "ei lähenty" - ja siinä se. Tässä tapauksessa suosittelen hätätekniikkaa: etsitään mahdollisimman monta kuvaajaan kuuluvaa pistettä (kuinka paljon kärsivällisyyttä riittää) ja merkitään ne koordinaattitasolle. Löytyneiden arvojen graafinen analyysi useimmissa tapauksissa kertoo, missä on totuus ja missä on valhe. Lisäksi kaavio voidaan rakentaa valmiiksi jollain ohjelmalla, vaikkapa samassa Excelissä (selkeää, että tämä vaatii taitoja).

Esimerkki 4

Tutki funktiota differentiaalilaskennan menetelmillä ja piirrä sen kuvaaja.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Siinä itsehillintää parantaa funktion tasaisuus - kaavio on symmetrinen akselin suhteen, ja jos jokin tutkimuksessasi on ristiriidassa tämän tosiasian kanssa, etsi virhe.

Parillinen tai pariton funktio voidaan tutkia vain funktiolle ja sitten voidaan käyttää graafin symmetriaa. Tämä ratkaisu on optimaalinen, mutta mielestäni se näyttää erittäin epätavalliselta. Henkilökohtaisesti pidän koko numeerista akselia, mutta löydän silti lisäpisteitä vain oikealta:

Esimerkki 5

Suorita täydellinen tutkimus funktiosta ja piirrä sen kaavio.

Ratkaisu: kiirehti kovaa:

1) Funktio on määritelty ja jatkuva koko reaaliviivalla: .

Tämä tarkoittaa, että tämä funktio on pariton, sen graafi on symmetrinen origon suhteen.

Ilmeisesti funktio on ei-jaksollinen.

2) Asymptootit, funktion käyttäytyminen äärettömässä.

Koska funktio on jatkuva päällä, pystysuoraa asymptootteja ei ole

Eksponentin sisältävälle funktiolle tyypillisesti erillinen"plus"- ja "miinusäärettömyyden" tutkimus kuitenkin helpottaa elämäämme vain graafin symmetria - joko on asymptootti vasemmalla ja oikealla tai ei ole. Siksi molemmat äärettömät rajat voidaan järjestää yhden merkinnän alle. Ratkaisun aikana käytämme L'Hopitalin sääntö:

Suora (akseli) on kaavion vaakasuora asymptootti kohdassa .

Kiinnitä huomiota siihen, kuinka taitavasti vältin täyden algoritmin vinon asymptootin löytämiseksi: raja on varsin laillinen ja selventää funktion käyttäytymistä äärettömyydessä, ja horisontaalinen asymptootti löytyi "ikään kuin samaan aikaan".

Jatkuvuudesta ja horisontaalisen asymptootin olemassaolosta seuraa, että funktio rajoitettu ylhäältä Ja rajoitettu alhaalta.

3) Kuvaajan ja koordinaattiakselien leikkauspisteet, vakiovälit.

Tässä myös lyhennetään ratkaisua:
Kaavio kulkee origon läpi.

Muita koordinaattiakseleiden leikkauspisteitä ei ole. Lisäksi vakiovälit ovat ilmeisiä, eikä akselia voida piirtää: , mikä tarkoittaa, että funktion etumerkki riippuu vain "x":stä:
, Jos ;
, Jos.

4) Lisääntyvä, laskeva, funktion äärimmäisyys.


ovat kriittisiä kohtia.

Pisteet ovat symmetrisiä nollan suhteen, kuten pitääkin.

Määritellään derivaatan merkit:


Toiminto kasvaa intervalleilla ja pienenee intervalleilla

Siinä vaiheessa funktio saavuttaa maksiminsa: .

Kiinteistön takia (funktion omituisuus) minimi voidaan jättää pois:

Koska funktio pienenee välillä , kaavio sijaitsee luonnollisesti "miinus äärettömässä" alla sen asymptootin kanssa. Intervallilla funktio myös pienenee, mutta tässä on päinvastoin - maksimipisteen läpi kulkemisen jälkeen viiva lähestyy akselia ylhäältä.

Yllä olevasta seuraa myös, että funktion kuvaaja on konveksi kohdassa "miinus äärettömyys" ja kovera "plus äärettömyydessä".

Tämän tutkimuksen jälkeen piirrettiin myös funktion arvojen alue:

Jos sinulla on jostakin kohdasta väärinymmärrys, kehotan teitä jälleen kerran piirtämään muistivihkoon koordinaattiakselit ja analysoimaan jokaisen tehtävän johtopäätöksen lyijykynä käsissänne.

5) Kuvaajan kupera, koveruus, taivutukset.

ovat kriittisiä kohtia.

Pisteiden symmetria säilyy, ja mitä todennäköisimmin emme erehdy.

Määrittelemme merkit:


Funktion kuvaaja on konveksi ja kovera päälle .

Kuperuus/koveruus äärimmäisin välein vahvistettiin.

Graafissa on kaikissa kriittisissä kohdissa taivutuksia. Etsitään käännepisteiden ordinaatit vähentäen taas laskutoimitusten määrää funktion parittomuuden avulla:

Yksi differentiaalilaskennan tärkeimmistä tehtävistä on yleisten esimerkkien kehittäminen funktioiden käyttäytymisen tutkimuksesta.

Jos funktio y \u003d f (x) on jatkuva välissä ja sen derivaatta on positiivinen tai yhtä suuri kuin 0 välillä (a, b), niin y \u003d f (x) kasvaa (f "(x) 0). Jos funktio y \u003d f (x) on jatkuva janalla ja sen derivaatta on negatiivinen tai yhtä suuri kuin 0 välillä (a,b), niin y=f(x) pienenee (f"( x)0)

Intervalleja, joissa funktio ei pienene tai kasva, kutsutaan funktion monotonisuuden intervalleiksi. Funktion monotonisuuden luonne voi muuttua vain niissä määrittelyalueen kohdissa, joissa ensimmäisen derivaatan etumerkki muuttuu. Pisteitä, joissa funktion ensimmäinen derivaatta katoaa tai katkeaa, kutsutaan kriittisiksi pisteiksi.

Lause 1 (1. riittävä ehto ääripään olemassaololle).

Olkoon funktio y=f(x) määritelty pisteessä x 0 ja olkoon naapuruus δ>0 siten, että funktio on jatkuva janalla , differentioituva välillä (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , ja sen derivaatta säilyttää vakiomerkin jokaisella näistä intervalleista. Sitten jos kohdilla x 0 -δ, x 0) ja (x 0, x 0 + δ) derivaatan etumerkit ovat erilaiset, niin x 0 on ääripiste, ja jos ne täsmäävät, niin x 0 ei ole ääripiste . Lisäksi, jos pisteen x0 läpi kulkiessaan derivaatta vaihtaa etumerkkiä plussasta miinusmerkkiin (x 0:n vasemmalla puolella suoritetaan f "(x)> 0, niin x 0 on maksimipiste; jos derivaatta muuttaa etumerkkiä miinuksesta plussaan (x 0:n oikealla puolella suoritetaan f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Maksimi- ja minimipisteitä kutsutaan funktion ääripisteiksi ja funktion maksimi- ja minimipisteitä sen ääriarvoiksi.

Lause 2 (tarvittava kriteeri paikalliselle ääripäälle).

Jos funktiolla y=f(x) on ääriarvo nykyisellä x=x 0, niin joko f'(x 0)=0 tai f'(x 0) ei ole olemassa.
Differentioituvan funktion ääripisteissä sen graafin tangentti on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa.

Algoritmi funktion tutkimiseksi ääripäälle:

1) Etsi funktion derivaatta.
2) Etsi kriittiset pisteet, ts. pisteet, joissa funktio on jatkuva ja derivaatta on nolla tai ei ole olemassa.
3) Tarkastellaan kunkin pisteen lähialuetta ja tutkitaan derivaatan etumerkkiä tämän pisteen vasemmalla ja oikealla puolella.
4) Määritä ääripisteiden koordinaatit, korvaa tämä kriittisten pisteiden arvo tähän funktioon. Tee tarvittavat johtopäätökset käyttämällä riittäviä ääriolosuhteita.

Esimerkki 18. Tutki funktiota y=x 3 -9x 2 +24x

Ratkaisu.
1) y"=3x2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Kun derivaatta lasketaan nollaan, saadaan x 1 =2, x 2 =4. Tässä tapauksessa johdannainen määritellään kaikkialla; näin ollen kahta löydettyä pistettä lukuun ottamatta ei ole muita kriittisiä pisteitä.
3) Derivaatan etumerkki y "=3(x-2)(x-4) muuttuu intervallin mukaan kuvan 1 mukaisesti. Kun kuljetaan pisteen x=2 läpi, derivaatta muuttaa etumerkkiä plussasta miinusmerkkiin, ja kun kuljetaan pisteen x=4 läpi - miinuksesta plussaan.
4) Pisteessä x=2 funktiolla on maksimi y max =20 ja pisteessä x=4 - minimi y min =16.

Lause 3. (2. riittävä ehto ääripään olemassaololle).

Olkoon f "(x 0) ja f "" (x 0) olemassa pisteessä x 0. Sitten jos f "" (x 0)> 0, niin x 0 on minimipiste, ja jos f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Jaksolla funktio y \u003d f (x) voi saavuttaa pienimmän (vähintään) tai suurimman (korkeintaan) arvon joko funktion kriittisissä pisteissä, jotka sijaitsevat välillä (a; b), tai päissä segmentistä.

Algoritmi jatkuvan funktion y=f(x) suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi segmentiltä:

1) Etsi f "(x).
2) Etsi pisteet, joissa f "(x) = 0 tai f" (x) - ei ole olemassa, ja valitse niistä ne, jotka sijaitsevat janan sisällä.
3) Laske funktion y \u003d f (x) arvo kappaleessa 2 saaduissa pisteissä sekä segmentin päissä ja valitse niistä suurin ja pienin: ne ovat vastaavasti suurimmat ( suurimmalle) ja pienimmille (pienimpien) funktioarvoille segmentissä .

Esimerkki 19. Etsi jatkuvan funktion y=x 3 -3x 2 -45+225 suurin arvo janasta .

1) Meillä on segmentissä y "=3x 2 -6x-45
2) Derivaata y" on olemassa kaikille x:ille. Etsitään pisteet, joissa y"=0; saamme:
3x2 -6x-45 = 0
x 2 -2x-15 = 0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Laske funktion arvo pisteissä x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Vain piste x=5 kuuluu segmenttiin. Suurin funktion löydetyistä arvoista on 225 ja pienin on luku 50. Eli maksimiarvolla = 225, max = 50:llä.

Konveksiteettifunktion tutkiminen

Kuvassa on kahden funktion kaaviot. Ensimmäinen niistä käännetään pullistumalla ylös, toinen - pullistumalla alas.

Funktio y=f(x) on jatkuva janalla ja differentioituva välissä (a;b), sitä kutsutaan konveksiksi ylös (alas) tällä segmentillä, jos axb:n graafi ei ole korkeampi (ei pienempi) kuin tangentti piirretty mihin tahansa pisteeseen M 0 (x 0 ;f(x 0)), missä axb.

Lause 4. Olkoon funktiolla y=f(x) toinen derivaatta missä tahansa janan sisäpisteessä x ja se on jatkuva tämän janan päissä. Sitten jos epäyhtälö f""(x)0 täyttyy välissä (a;b), niin funktio on alaspäin kupera janalla ; jos epäyhtälö f""(x)0 täyttyy välissä (а;b), niin funktio on kupera ylöspäin .

Lause 5. Jos funktiolla y=f(x) on toinen derivaatta välillä (a;b) ja jos se muuttaa etumerkkiä kulkiessaan pisteen x 0 läpi, niin M(x 0 ;f(x 0)) on käännekohta.

Sääntö käännepisteiden löytämiseksi:

1) Etsi pisteet, joissa f""(x) ei ole olemassa tai katoaa.
2) Tarkastele merkkiä f""(x) vasemmalla ja oikealla jokaisesta ensimmäisessä vaiheessa löydetystä pisteestä.
3) Tee johtopäätös lauseen 4 perusteella.

Esimerkki 20. Etsi funktiokaavion y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 ääripisteet ja käännepisteet.

Meillä on f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Ilmeisesti f"(x)=0 kun x 1 =0, x 2 =1. Derivaata vaihtaa etumerkkiä pisteen x=0 läpi kulkiessaan miinus plussaksi, eikä pisteen x=1 läpi kulkiessaan vaihda etumerkkiä. Tämä tarkoittaa, että x=0 on minimipiste (y min =12), eikä pisteessä x=1 ole ääriarvoa. Seuraavaksi löydämme . Toinen derivaatta häviää pisteistä x 1 =1, x 2 =1/3. Toisen derivaatan merkit muuttuvat seuraavasti: Säteellä (-∞;) meillä on f""(x)>0, välillä (;1) meillä on f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Siksi x= on funktiokaavion käännepiste (siirtymä konveksisuudesta alas kuperuuteen ylös) ja x=1 on myös käännepiste (siirtymä konveksisuudesta ylös kuperuudesta alas). Jos x=, niin y= ; jos, niin x=1, y=13.

Algoritmi graafin asymptootin löytämiseksi

I. Jos y=f(x) x → a , niin x=a on pystyasymptootti.
II. Jos y=f(x) x → ∞ tai x → -∞, niin y=A on vaaka-asymptootti.
III. Vinon asymptootin löytämiseksi käytämme seuraavaa algoritmia:
1) Laske. Jos raja on olemassa ja se on yhtä suuri kuin b, niin y=b on vaakasuuntainen asymptootti; jos , siirry toiseen vaiheeseen.
2) Laske. Jos tätä rajaa ei ole olemassa, ei ole asymptoottia; jos se on olemassa ja on yhtä kuin k, siirry kolmanteen vaiheeseen.
3) Laske. Jos tätä rajaa ei ole olemassa, ei ole asymptoottia; jos se on olemassa ja on yhtä suuri kuin b, siirry neljänteen vaiheeseen.
4) Kirjoita vinon asymptootin y=kx+b yhtälö.

Esimerkki 21: Etsi funktiolle asymptootti

1)
2)
3)
4) Vino-asymptoottiyhtälöllä on muoto

Funktion tutkimuksen kaavio ja sen graafin rakentaminen

I. Etsi funktion toimialue.
II. Etsi funktion kuvaajan leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa.
III. Etsi asymptootteja.
IV. Etsi mahdollisen ääripään pisteet.
V. Etsi kriittiset kohdat.
VI. Tutki ensimmäisen ja toisen derivaatan etumerkkiä apupiirroksen avulla. Määritä funktion kasvu- ja laskualueet, selvitä kuvaajan kuperuuden suunta, ääripisteet ja käännepisteet.
VII. Rakenna kaavio ottaen huomioon kohdissa 1-6 tehty tutkimus.

Esimerkki 22: Piirrä funktiokaavio yllä olevan kaavion mukaisesti

Ratkaisu.
I. Toimintoalue on kaikkien reaalilukujen joukko paitsi x=1.
II. Koska yhtälöllä x 2 +1=0 ei ole todellisia juuria, niin funktion kuvaajalla ei ole leikkauspisteitä Ox-akselin kanssa, vaan se leikkaa Oy-akselin pisteessä (0; -1).
III. Selvennetään kysymys asymptoottien olemassaolosta. Tutkimme funktion käyttäytymistä lähellä epäjatkuvuuspistettä x=1. Koska y → ∞ x → -∞, y → +∞ x → 1+, niin suora x=1 on funktion kuvaajan pystysuora asymptootti.
Jos x → +∞(x → -∞), niin y → +∞(y → -∞); siksi kuvaajalla ei ole vaakasuuntaista asymptoottia. Lisäksi rajojen olemassaolosta

Ratkaisemalla yhtälön x 2 -2x-1=0 saadaan mahdollisen ääripään kaksi pistettä:
x 1 =1-√2 ja x 2 =1+√2

V. Kriittisten pisteiden löytämiseksi laskemme toisen derivaatan:

Koska f""(x) ei katoa, kriittisiä pisteitä ei ole.
VI. Tutkimme ensimmäisen ja toisen derivaatan etumerkkiä. Mahdolliset huomioon otettavat ääripisteet: x 1 =1-√2 ja x 2 =1+√2, jaa funktion olemassaoloalue intervalleiksi (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) ja (1+√2;+∞).

Jokaisella näistä intervalleista johdannainen säilyttää merkkinsä: ensimmäisessä - plus, toisessa - miinus, kolmannessa - plus. Ensimmäisen derivaatan merkkijono kirjoitetaan seuraavasti: +, -, +.
Saadaan, että funktio päällä (-∞;1-√2) kasvaa, kohdalla (1-√2;1+√2) pienenee ja kohdalla (1+√2;+∞) taas kasvaa. Ääripisteet: maksimi kohdassa x=1-√2, lisäksi f(1-√2)=2-2√2 minimi kohdassa x=1+√2, lisäksi f(1+√2)=2+2√2. Kohdalla (-∞;1) kuvaaja on kupera ylöspäin ja päällä (1;+∞) - alaspäin.
VII Tehdään taulukko saaduista arvoista

VIII Rakennamme saatujen tietojen perusteella luonnoksen funktion kuvaajasta