Kaavat pisteen nopeuden, kiihtyvyyden, liikeradan kaarevuussäteen, tangentin, normaalin ja binormaalin laskemiseen annetuista koordinaateista ajan funktiona. Esimerkki ongelman ratkaisusta, jossa annettuja liikeyhtälöitä käyttäen on tarpeen määrittää pisteen nopeus ja kiihtyvyys. Myös lentoradan, tangentin, normaalin ja binormaalin kaarevuussäde määritetään.
SisältöJohdanto
Alla olevien kaavojen johtopäätökset ja teorian esitys on esitetty sivulla ”Aineellisen pisteen kinematiikka”. Tässä soveltamme tämän teorian päätuloksia materiaalipisteen liikkeen määrittämiseen koordinaattimenetelmään.
Otetaan kiinteä suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä, jonka keskipiste on kiinteässä pisteessä. Tässä tapauksessa pisteen M sijainti määräytyy yksiselitteisesti sen koordinaattien (x, y, z) perusteella. Koordinaattimenetelmä pisteen liikkeen määrittämiseksi- tämä on menetelmä, jossa määritellään koordinaattien riippuvuus ajasta. Eli kolme ajan funktiota on määritelty (kolmiulotteiselle liikkeelle):
Kinemaattisten suureiden määritys
Kun tiedämme koordinaattien riippuvuuden ajasta, määritämme automaattisesti materiaalipisteen M sädevektorin kaavalla:
,
missä ovat yksikkövektorit (orts) x-, y-, z-akselien suunnassa.
Ajan suhteen erotettaessa löydämme koordinaattiakseleiden nopeuden ja kiihtyvyyden projektiot:
;
;
Nopeus- ja kiihtyvyysmoduulit:
;
.
.
Tangentiaalinen (tangentiaalinen) kiihtyvyys on kokonaiskiihtyvyyden projektio nopeuden suuntaan:
.
Tangentiaalinen (tangentiaalinen) kiihtyvyysvektori:
Normaali kiihtyvyys:
.
;
.
Yksikkövektori liikeradan päänormaalin suunnassa:
.
Liikeradan kaarevuussäde:
.
Liikeradan kaarevuuskeskus:
.
.
Esimerkki ongelman ratkaisusta
Pisteen nopeuden ja kiihtyvyyden määrittäminen sen liikkeen annettujen yhtälöiden avulla
Määritä annettujen pisteen liikeyhtälöiden avulla sen liikeradan tyyppi ja hetkeksi pisteen sijainti liikeradalla, sen nopeus, kokonais-, tangentiaali- ja normaalikiihtyvyys sekä pisteen säde. liikeradan kaarevuus.
Pisteen liikeyhtälöt:
, cm;
, cm.
Ratkaisu
Liikeradan tyypin määrittäminen
Jätämme ajan pois liikeyhtälöistä. Tätä varten kirjoitamme ne uudelleen muotoon:
;
.
Sovelletaan kaavaa:
.
;
;
;
.
Joten saimme lentoratayhtälön:
.
Tämä on paraabelin yhtälö, jonka kärkipiste on pisteessä ja symmetria-akseli.
Koska
, Tuo
; tai
.
Samalla tavalla saadaan rajoitus koordinaatille:
;
;
Siten pisteen liikerata on paraabelin kaari
,
sijaitsee
Ja .
Rakennamme pisteistä paraabelin.
| 0 | 6 |
| 3 | 5,625 |
| 6 | 4,5 |
| 9 | 2,625 |
| 12 | 0 |
Määritämme pisteen sijainnin ajanhetkellä.
;
.
Pisteen nopeuden määrittäminen
Erottelemalla koordinaatit ja ajan suhteen löydämme nopeuskomponentit.
.
Erottaaksesi on kätevää käyttää trigonometriakaavaa:
. Sitten
;
.
Laskemme nopeuskomponenttien arvot ajanhetkellä:
;
.
Nopeusmoduuli:
.
Pisteen kiihtyvyyden määrittäminen
Erottelemalla nopeuden ja ajan komponentit löydämme pisteen kiihtyvyyden komponentit.
;
.
Laskemme kiihtyvyyskomponenttien arvot ajanhetkellä:
;
.
Kiihtyvyysmoduuli:
.
Tangentiaalinen kiihtyvyys on kokonaiskiihtyvyyden projektio nopeuden suuntaan:
.
Koska tangentiaalinen kiihtyvyysvektori on suunnattu vastakkain nopeuden suhteen.
Normaali kiihtyvyys:
.
Vektori ja on suunnattu kohti liikeradan kaarevuuskeskusta.
Liikeradan kaarevuussäde:
.
Pisteen liikerata on paraabelin kaari
;
.
Pistenopeus: .
Pistekiihtyvyys: ; ; .
Liikeradan kaarevuussäde: .
Muiden määrien määrittäminen
Kun ratkaisimme ongelman, löysimme:
vektori- ja nopeusmoduuli:
;
;
kokonaiskiihtyvyyden vektori ja moduuli:
;
;
tangentiaalinen ja normaali kiihtyvyys:
;
;
liikeradan kaarevuussäde: .
Määritetään loput määrät.
Yksikkövektori polun tangentin suunnassa:
.
Tangentiaalinen kiihtyvyysvektori:
.
Normaali kiihtyvyysvektori:
.
Yksikkövektori päänormaalin suunnassa:
.
Liikeradan kaarevuuskeskipisteen koordinaatit:
.
Esitetään koordinaattijärjestelmän kolmas akseli, joka on kohtisuorassa akseleita ja vastaan. Kolmiulotteisessa järjestelmässä
;
.
Yksikkövektori binormaalisuunnassa:
.
Pisteen liikettä avaruudessa voidaan pitää annettuna, jos sen kolmen suorakulmaisen koordinaatin x, y, z muutoslait ajan funktiona tunnetaan. Kuitenkin joissakin ainepisteiden avaruudellisen liikkeen tapauksissa (esimerkiksi erimuotoisten pintojen rajoittamilla alueilla) liikeyhtälöiden käyttö karteesisissa koordinaateissa on hankalaa, koska niistä tulee liian hankalia. Tällaisissa tapauksissa voit valita kolme muuta riippumatonta skalaariparametria $q_1,(\q)_2,\\q_3$, joita kutsutaan kaareviksi tai yleisiksi koordinaateiksi, jotka myös määrittävät yksiselitteisesti pisteen sijainnin avaruudessa.
Pisteen M nopeus määritettäessä sen liike kaarevina koordinaatteina määritetään koordinaattiakselien suuntaisten nopeuskomponenttien vektorisummana:
\[\overrightarrow(v)=\frac(d\overrightarrow(r))(dt)=\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_1)\dot(q_1)+\frac(\partial \ overrightarrow(r))(\partial q_2)\dot(q_2)+\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_3)\dot(q_3)=v_(q_1)\overline(e_1)+v_( q_2)\overline(e_2)\ +v_(q_3)\overline(e_3)\]
Nopeusvektorin projektiot vastaaville koordinaattiakseleille ovat yhtä suuria kuin: $v_(q_i)=\overline(v\ )\cdot \overline(e_i)=H_i\piste(q_i)\ \ ,\ \ i=\overline (1,3) $
Tässä $H_i=\left|(\left(\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_i)\right))_M\right|$ on parametri, jota kutsutaan i:nneksi Lame-kertoimeksi ja joka on yhtä suuri kuin moduuliarvon osaderivaata pisteen sädevektorista pitkin i:ttä kaarevaa koordinaattia, joka on laskettu tietyssä pisteessä M. Jokaisella vektorilla $\overline(e_i)$ on suunta, joka vastaa pisteen loppupisteen liikesuuntaa sädevektori $r_i$ i:nnenä yleistettynä koordinaatteina. Nopeusmoduuli ortogonaalisessa käyräviivaisessa koordinaattijärjestelmässä voidaan laskea riippuvuudesta:
Yllä olevissa kaavoissa derivaattojen ja Lamé-kertoimien arvot lasketaan pisteen M nykyiselle sijainnille avaruudessa.
Pisteen koordinaatit pallomaisessa koordinaatistossa ovat skalaariparametrit r, $(\mathbf \varphi ),\ (\mathbf \theta )$, mitattuna kuvan 1 mukaisesti. 1.
Kuva 1. Nopeusvektori pallomaisessa koordinaattijärjestelmässä
Pisteen liikeyhtälöjärjestelmällä on tässä tapauksessa muoto:
\[\left\( \begin(array)(c) r=r(t) \\ \varphi =\varphi (t \\ \theta =\theta (t \end(array) \right.\])
Kuvassa Kuvassa 1 on origosta piirretty sädevektori r, kulmat $(\mathbf \varphi )$ ja $(\mathbf \theta )$ sekä tarkasteltavan järjestelmän koordinaattiviivat ja akselit mielivaltaisessa pisteessä M. lentorata. Voidaan nähdä, että koordinaattiviivat $((\mathbf \varphi ))$ ja $((\mathbf \theta ))$ sijaitsevat pallon pinnalla, jonka säde on r. Tämä käyräviivainen koordinaattijärjestelmä on myös ortogonaalinen. Suorakulmaiset koordinaatit voidaan ilmaista pallokoordinaateina seuraavasti:
Sitten Lame-kertoimet: $H_r=1;\ \ H_(\varphi )=rsin\varphi ;\ \ H_0=r$ ; pisteen nopeuden projektiot pallomaisen koordinaattijärjestelmän akselille $v_r=\dot(r\ \ );$ $v_(\theta )=r\piste(\theta )$; $\ v_(\varphi )=r\dot(\varphi )sin\theta $ ja nopeusvektorin suuruus
Pisteen kiihtyvyys pallomaisessa koordinaattijärjestelmässä
\[\overrightarrow(a)=a_r(\overrightarrow(e))_r+a_(\varphi )(\overrightarrow(e))_(\varphi )+a_(\theta )(\overrightarrow(e))_( \theta ),\]
pisteen kiihtyvyyden projektiot pallomaisen koordinaattijärjestelmän akselilla
\ \
Kiihtyvyysmoduuli $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))$
Ongelma 1
Piste liikkuu pallon ja sylinterin leikkausviivaa pitkin yhtälöiden mukaan: r = R, $\varphi $ = kt/2, $\theta $ = kt/2 , (r, $\varphi $, $ \theta $ --- pallokoordinaatit ). Etsi pisteen nopeuden moduuli ja projektiot pallomaisen koordinaattijärjestelmän akselilla.
Etsitään nopeusvektorin projektiot pallomaisille koordinaattiakseleille:
Nopeusmoduuli $v=\sqrt(v^2_r+v^2_(\varphi )+v^2_(\theta ))=R\frac(k)(2)\sqrt((sin)^2\frac(kt )(2)+1)$
Ongelma 2
Määritä pisteen kiihtyvyysmoduuli käyttämällä tehtävän 1 ehtoa.
Etsitään kiihtyvyysvektorin projektiot pallomaisille koordinaattiakseleille:
\ \ \
Kiihtyvyysmoduuli $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))=R\frac(k^2)(4)\sqrt(4+(sin)^2 \frac(kt)(2))$
liiketehtävät
Käytetään yhtälöä (4) ja otetaan sen derivaatta ajan suhteen
Kohdassa (8) yksikkövektoreille on nopeusvektorin projektiot koordinaattiakseleille
Nopeuden projektiot koordinaattiakseleille määritellään vastaavien koordinaattien ensimmäisiksi derivaatoiksi.
Kun tiedät projektiot, voit löytää vektorin suuruuden ja sen suunnan
,
(10)
Nopeuden määrittäminen luonnollisella menetelmällä
liiketehtävät
Olkoon aineellisen pisteen liikerata ja kaarevan koordinaatin muutoslaki annettu. Oletetaan, klo t 1 piste oli 
ja koordinaatti s 1 ja klo t 2 – koordinaatti s 2. Aikana
koordinaattia on lisätty 
, sitten pisteen keskinopeus
.
Tietyn ajan nopeuden selvittämiseksi mennään rajaan
,
.
(12)
Pisteen nopeusvektori luonnollisella tavalla määrittää liikettä on määritelty kaarevan koordinaatin ensimmäiseksi aikaderivaataksi.
Pistekiihtyvyys
Aineellisen pisteen kiihtyvyyden alla ymmärtää vektorisuureen, joka luonnehtii pisteen nopeusvektorin muutosnopeutta suuruuden ja suunnan suhteen ajan kuluessa.
Pisteen kiihtyvyys liikkeen määrittämisen vektorimenetelmällä
Tarkastellaan pistettä kahdessa ajassa t 1
(
) Ja t 2
(
), Sitten 
- ajan lisäys, 
- nopeuden lisäys.
Vektori 
sijaitsee aina liiketasossa ja on suunnattu lentoradan koveruutta kohti.
P 
od pisteen keskikiihtyvyys aikana
t
ymmärtää suuruuden
.
(13)
Jos haluat löytää kiihtyvyyden tietyllä hetkellä, mennään rajaan
,
.
(14)
Pisteen kiihtyvyys tietyllä hetkellä määritellään pisteen sädevektorin toisena derivaatana ajan suhteen tai nopeusvektorin ensimmäisenä derivaatana ajan suhteen.
Kiihtyvyysvektori sijaitsee kosketustasossa ja on suunnattu lentoradan koveruutta kohti.
Pisteen kiihtyvyys liikkeen määrittämisen koordinaattimenetelmällä
Käytetään yhtälöä vektori- ja koordinaattimenetelmien yhteyteen liikkeen määrittämiseksi
Ja otetaan siitä toinen johdannainen
,
.
(15)
Yhtälössä (15) yksikkövektoreille on kiihtyvyysvektorin projektiot koordinaattiakseleille
.
(16)
Kiihtyvyysprojektiot koordinaattiakseleille määritellään ensimmäisiksi derivaatoiksi ajan suhteen nopeusprojektioista tai vastaavien koordinaattien toisiksi derivaatoiksi ajan suhteen.
Kiihtyvyysvektorin suuruus ja suunta voidaan selvittää käyttämällä seuraavia lausekkeita
,
(17)
,
,
.
(18)
Pisteen kiihtyvyys käyttämällä luonnollista liikkeen määrittämismenetelmää
P 
Anna pisteen liikkua kaarevaa polkua pitkin. Tarkastellaanpa sen kahta sijaintia ajanhetkellä t
(s, M, v) Ja t 1
(s 1, M 1, v 1).
Tässä tapauksessa kiihtyvyys määräytyy sen projektioiden kautta luonnollisen koordinaattijärjestelmän akseleille, jotka liikkuvat yhdessä pisteen M kanssa. Akselit suunnataan seuraavasti:
M - tangentti, joka on suunnattu lentoradan tangenttia pitkin kohti positiivista etäisyysviittausta,
M n- päänormaali, joka on suunnattu kosketustasossa olevaa normaalia pitkin ja suunnattu lentoradan koveruuteen,
M b– binormaali, kohtisuorassa tasoon M nähden n ja muodostaa oikeanpuoleisen kolmion ensimmäisten akselien kanssa.
Koska kiihtyvyysvektori on kosketustasossa, niin a b = 0. Etsitään kiihtyvyyden projektiot muille akseleille.
.
(19)
Projisoidaan (19) koordinaattiakseleille
,
(20)
.
(21)
Piirretään pisteen M 1 läpi akseleita, jotka ovat samansuuntaisia pisteen M akselien kanssa ja etsitään nopeusprojektiot:
Missä - ns. vierekkäisyyskulma.
Korvaa (22) osaksi (20)
.
klo t 0 0, cos 1 sitten
.
(23)
Pisteen tangentiaalinen kiihtyvyys määräytyy nopeuden ensimmäisen aikaderivaatan tai kaarevan koordinaatin toisen aikaderivaatan perusteella.
Tangentiaalinen kiihtyvyys kuvaa nopeusvektorin suuruusmuutosta.
Korvataan (22) arvolla (21)
.
Kerro osoittaja ja nimittäjä luvulla s saadakseen tunnetut rajat
Missä 
(ensimmäinen upea raja),
,
,
, Missä
- liikeradan kaarevuussäde.
Korvaamalla lasketut rajat arvolla (24) saadaan
.
(25)
Pisteen normaalikiihtyvyys määräytyy nopeuden neliön suhteesta liikeradan kaarevuussäteeseen tietyssä pisteessä.
Normaalikiihtyvyys luonnehtii nopeusvektorin muutosta suunnassa ja on aina suunnattu liikeradan koveruuteen.
Lopuksi saadaan projektiot materiaalipisteen kiihtyvyydestä luonnollisen koordinaattijärjestelmän akselilla ja vektorin suuruudesta
,
(26)
.
(27)
