Jotkut ongelmat voidaan ratkaista kätevästi ja selkeästi Euler-Venn-kaavioiden avulla. Esimerkiksi sarjoihin liittyvät ongelmat. Jos et tiedä, mitä Euler-Venn-kaaviot ovat ja miten ne rakennetaan, lue ensin.

Katsotaan nyt tyypillisiä sarjoihin liittyviä ongelmia.

Tehtävä 1.

Tutkimus tehtiin 100 vieraiden kielten syvällistä opiskelua harjoittavan koulun opiskelijalle. Opiskelijoilta kysyttiin: Mitä vieraita kieliä opiskelet? Kävi ilmi, että 48 opiskelijaa opiskelee englantia, 26 - ranskaa, 28 - saksaa. 8 koululaista opiskelee englantia ja saksaa, 8 - englantia ja ranskaa, 13 - ranskaa ja saksaa. 24 koululaista ei opiskele englantia, ranskaa tai saksaa. Kuinka moni kyselyn suorittanut koululainen opiskelee kolmea kieltä samanaikaisesti: englantia, ranskaa ja saksaa?

Vastaus: 3.

Ratkaisu:

• monet koululaiset oppivat englantia ("A");
• monet ranskaa opiskelevat koululaiset ("F");
• monet saksaa opiskelevat koululaiset ("N").

Kuvataan Euler-Venn-kaavion avulla, mitä meille annetaan ehdon mukaan.

Merkitään haluttu alue A=1, Ф=1, Н=1 merkillä ”x” (alla olevassa taulukossa alue nro 7). Ilmaistaan ​​loput alueet x:llä.

0) Alue A=0, Ф=0, Н=0: 24 koululaista - annettu tehtävän ehtojen mukaan.

1) Alue A=0, F=0, H=1: 28-(8-x+x+13-x)=7+x koululaista.

2) Alue A=0, F=1, H=0: 26-(8-x+x+13-x)=5+x koululaista.

3) Alue A=0, F=1, N=1: 13 koululaista.

4) Alue A=1, F=0, H=0: 48-(8-x+x+8-x)=32+x koululaista.

5) Alue A=1, F=0, H=1: 8 koululaista.

6) Alue A=1, F=1, H=0: 8 koululaista.

№ alueella	A	F	N	Määrä koulu lapset
0	0	0	0	24
1	0	0	1	7+x
2	0	1	0	5+x
3	0	1	1	13
4	1	0	0	32+x
5	1	0	1	8
6	1	1	0	8
7	1	1	1	X

Määritellään x:

24+7+(x+5)+x+(13-x)+(32+x)+(8-x)+(8-x)+x=100.

x=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.

Havaitsimme, että kolme koululaista opiskeli samanaikaisesti kolmea kieltä: englantia, ranskaa ja saksaa.

Tältä Euler-Venn-kaavio näyttää tunnetulle x:lle:

Tehtävä 2.

Matematiikan olympialaisissa koululaisia ​​pyydettiin ratkaisemaan kolme tehtävää: yksi algebrassa, yksi geometriassa ja yksi trigonometriassa. Olympialaisiin osallistui 1000 koululaista. Olympian tulokset olivat seuraavat: 800 osallistujaa ratkaisi tehtävän algebrassa, 700 geometriassa, 600 koululaista algebrassa ja geometriassa, 500 algebrassa ja trigonometriassa, 400 geometriassa ja trigonometriassa. 300 ihmistä ratkaisi algebran, geometrian ja trigonometrian tehtäviä. Kuinka moni koululainen ei ratkaissut yhtäkään ongelmaa?

Vastaus: 100.

Ratkaisu:

Ensin määrittelemme joukot ja otamme käyttöön merkinnät. Niitä on kolme:

• monet algebraongelmat ("A");
• monia geometrian ongelmia ("G");
• monia ongelmia trigonometriassa ("T").

Kuvataan, mitä meidän on löydettävä:

Määritetään koululaisten määrä kaikille mahdollisille alueille.

Merkitään haluttu alue A=0, G=0, T=0 merkillä “x” (alla taulukossa alue nro 0).

Etsitään loput alueet:

1) Alue A=0, G=0, T=1: ei koululaisia.

2) Alue A=0, G=1, T=0: ei koululaisia.

3) Alue A=0, G=1, T=1: 100 koululaista.

4) Alue A=1, G=0, T=0: ei koululaisia.

5) Alue A=1, G=0, T=1: 200 koululaista.

6) Alue A=1, G=1, T=0: 300 koululaista.

7) Alue A=1, G=1, T=1: 300 koululaista.

Kirjoitetaan alueiden arvot taulukkoon:

№ alueella	A	G	T	Määrä koulu lapset
0	0	0	0	X
1	0	0	1	0
2	0	1	0	0
3	0	1	1	100
4	1	0	0	0
5	1	0	1	200
6	1	1	0	300
7	1	1	1	300

Näytämme kaikkien alueiden arvot kaavion avulla:

Määritellään x:

x=U-(A V Г V Т), missä U on maailmankaikkeus.

A V G V T=0+0+0+300+300+200+100=900.

Huomasimme, että 100 koululaista ei ratkaissut yhtäkään ongelmaa.

Tehtävä 3.

Fysiikan olympialaisissa koululaisia ​​pyydettiin ratkaisemaan kolme tehtävää: yksi kinematiikka, yksi termodynamiikka ja yksi optiikka. Olympian tulokset olivat seuraavat: 400 osallistujaa ratkaisi tehtävän kinematiikassa, 350 termodynamiikassa ja 300 koululaista ratkaisi kinematiikassa ja termodynamiikassa, 200 kinematiikassa ja optiikassa, 150 termodynamiikassa ja optiikassa. 100 henkilöä ratkaisi kinematiikan, termodynamiikan ja optiikan ongelmia. Kuinka moni koululainen ratkaisi kaksi ongelmaa?

Vastaus: 350.

Ratkaisu:

Ensin määrittelemme joukot ja otamme käyttöön merkinnät. Niitä on kolme:

• monia ongelmia kinematiikassa ("K");
• monet termodynamiikan ongelmat ("T");
• monia ongelmia optiikassa ("O").

Kuvataan Euler-Venn-kaavion avulla, mitä meille annetaan ehdon mukaan:

Kuvataan, mitä meidän on löydettävä:

Määritetään koululaisten lukumäärä kaikille mahdollisille alueille:

0) Alue K=0, T=0, O=0: ei määritelty.

1) Alue K=0, T=0, O=1: 50 koululaista.

2) Alue K=0, T=1, O=0: ei koululaisia.

3) Alue K=0, T=1, O=1: 50 koululaista.

4) Alue K=1, T=0, O=0: ei koululaisia.

5) Alue K=1, T=0, O=1: 100 koululaista.

6) Alue K=1, T=1, O=0: 200 koululaista.

7) Alue K=1, T=1, O=1: 100 koululaista.

Kirjoitetaan alueiden arvot taulukkoon:

№ alueella	TO	T	NOIN	Määrä koulu lapset
0	0	0	0	-
1	0	0	1	50
2	0	1	0	0
3	0	1	1	50
4	1	0	0	0
5	1	0	1	100
6	1	1	0	200
7	1	1	1	100

Näytämme kaikkien alueiden arvot kaavion avulla:

Määritellään x.

x=200+100+50=350.

Saimme sen, 350 koululaista ratkaisi kaksi ongelmaa.

Tehtävä 4.

Ohikulkijoiden keskuudessa tehtiin kysely. Kysyttiin: "Mikä lemmikki sinulla on?" Tutkimustulosten mukaan 150 ihmisellä on kissa, 130:llä koira ja 50:llä lintu. 60 ihmisellä on kissa ja koira, 20:llä kissa ja lintu, 30:llä koira ja lintu. 70 ihmisellä ei ole lemmikkiä ollenkaan. Kymmenellä ihmisellä on kissa, koira ja lintu. Kuinka monta ohikulkijaa osallistui kyselyyn?

Vastaus: 300.

Ratkaisu:

Ensin määrittelemme joukot ja otamme käyttöön merkinnät. Niitä on kolme:

• monet ihmiset, joilla on kissa ("K");
• monet ihmiset, joilla on koira ("C");
• monet ihmiset, joilla on lintu ("P").

Kuvataan Euler-Venn-kaavion avulla, mitä meille annetaan ehdon mukaan:

Kuvataan, mitä meidän on löydettävä:

Määritetään ihmisten lukumäärä kaikille mahdollisille alueille:

0) Alue K=0, S=0, P=0: 70 henkilöä.

1) Alue K=0, S=0, P=1: 10 henkilöä.

2) Alue K=0, S=1, P=0: 50 henkilöä.

3) Alue K=0, S=1, P=1: 20 henkilöä.

4) Alue K=1, S=0, P=0: 80 henkilöä.

5) Alue K=1, T=0, O=1: 10 henkilöä.

6) Alue K=1, T=1, O=0: 50 henkilöä.

7) Alue K=1, T=1, O=1: 10 henkilöä.

Kirjoitetaan alueiden arvot taulukkoon:

№ alueella	TO	C	P	Määrä Ihmisen
0	0	0	0	70
1	0	0	1	10
2	0	1	0	50
3	0	1	1	20
4	1	0	0	80
5	1	0	1	10
6	1	1	0	50
7	1	1	1	10

Näytämme kaikkien alueiden arvot kaavion avulla:

Määritellään x:

x=U (universumi)

U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.

Havaitsimme, että kyselyyn osallistui 300 henkilöä.

Tehtävä 5.

Yhdelle yliopistolle erikoistui 120 henkilöä. Hakijat suorittivat kolme koetta: matematiikan, tietojenkäsittelytieteen ja venäjän kielen. Matematiikan suoritti 60, tietojenkäsittelytieteen 30, matematiikan ja venäjän kielen 30, tietojenkäsittelytieteen ja venäjän kielen. 20 ihmistä läpäisi kaikki kolme koetta ja 50 ihmistä epäonnistui. Kuinka moni hakija läpäisi venäjän kielen kokeen?

Euler-Venn-kaaviot ovat joukkojen geometrisia esityksiä. Kaavion rakentaminen koostuu siitä, että piirretään suuri suorakulmio, joka edustaa universaalia joukkoa U, ja sen sisällä - ympyröitä (tai muita suljettuja kuvioita), jotka edustavat joukkoja.

Muotojen on leikattava yleisimmällä tavalla tehtävän edellyttämällä tavalla ja ne on merkittävä vastaavasti. Kaavion eri alueiden sisällä olevia pisteitä voidaan pitää vastaavien joukkojen elementteinä. Kun kaavio on muodostettu, voit varjostaa tietyt alueet osoittamaan äskettäin muodostettuja joukkoja.

Joukkooperaatioiden katsotaan hankkivan uusia joukkoja olemassa olevista.

Määritelmä. Joukkojen A ja B liitto on joukko, joka koostuu kaikista niistä alkioista, jotka kuuluvat ainakin yhteen joukoista A, B (kuva 1):

Määritelmä. Joukkojen A ja B leikkauspiste on joukko, joka koostuu kaikista niistä ja vain niistä alkioista, jotka kuuluvat samanaikaisesti sekä joukkoon A että joukkoon B (kuva 2):

Määritelmä. Ero joukkojen A ja B välillä on kaikkien niiden ja vain niiden A:n elementtien joukko, jotka eivät sisälly B:hen (kuva 3):

Määritelmä. Joukkojen A ja B symmetrinen ero on joukko näiden joukkojen alkioita, jotka kuuluvat joko vain joukkoon A tai vain joukkoon B (kuva 4):

Määritelmä. Joukon A absoluuttinen komplementti on kaikkien niiden alkioiden joukko, jotka eivät kuulu joukkoon A (kuva 5):

Riisi. 6.

Varmistimme, että molemmissa tapauksissa saamme yhtä suuret joukot. Siksi alkuperäinen suhde on voimassa.

VENN DIAGRAMS on graafinen tapa määritellä ja analysoida loogis-matemaattisia teorioita ja niiden kaavoja. Ne rakennetaan jakamalla osa tasosta soluihin (osajoukkoja), joilla on suljetut ääriviivat (Jordan käyrät). Solut esittävät tarkasteltavana olevaa teoriaa tai kaavaa kuvaavaa tietoa. Kaavioiden rakentamisen tarkoitus ei ole vain havainnollistava, vaan myös toiminnallinen - algoritminen tietojenkäsittely. Venn-diagrammilaitteistoa käytetään yleensä analyyttisen laitteiston yhteydessä.

Osiointimenetelmä, solujen lukumäärä sekä niihin liittyvän tiedon tallentamisen ongelmat riippuvat tarkasteltavasta teoriasta, joka voidaan esitellä (kuvailla) myös graafisesti - joillakin alun perin määritellyillä Venn-kaavioilla, erityisesti yhdessä algoritmeja niiden muunnoksille, kun jotkin kaaviot voivat toimia operaattoreina, jotka vaikuttavat muihin kaavioihin. Esimerkiksi klassisen kohdalla propositionaalinen logiikka kaavoille, jotka koostuvat n:stä erilaisesta lausemuuttujasta, osa tasosta (universumi) on jaettu 2":n soluihin, jotka vastaavat aineosia (konjunktiivi- tai disjunktiivimuodossa). Kunkin kaavan Venn-kaavion katsotaan olevan tällainen taso solut, joista tähti on sijoitettu (tai ei) * Joten, kaava

(¬ a& ¬ b&c) V (a&¬ b&c) V (¬ a&b&¬ c)

Kolmella lausemuuttujalla a, b ja c määritetään kuvassa esitetyllä kaaviolla, jossa solujen tähdet vastaavat tämän täydellisen normaalin disjunktiivikaavan konjunktiivikomponentteja. Jos tähdellä merkittyjä soluja ei ole, niin Venn-kaavio liittyy esimerkiksi identtiseen väärään kaavaan, esimerkiksi (a&¬a).

Induktiivinen menetelmä tason jakamiseksi 2" soluihin juontaa juurensa englantilaisen loogikon J. Vennin teoksiin, ja sitä kutsutaan Venn-menetelmäksi ja se koostuu seuraavista:

1. Kun n = 1, 2, 3, ympyröitä käytetään ilmeisellä tavalla. (Näytetyssä kuvassa n = 3.)

2. Oletetaan, että kun n = k (k ≥ 3), k hahmon järjestely määritellään siten, että taso on jaettu 2k soluun.

Sitten k+1 kuvion paikantamiseksi tälle tasolle riittää, että valitaan ensin avoin käyrä (vrt. ilman itseleikkauspisteitä, eli avoin Jordan-käyrä, joka kuuluu kaikkien 2k-solujen rajoihin ja jolla on vain yksi yhteinen pala jokaisella näistä rajoista Toiseksi, ympyrä φ suljettu Jordanin käyrä Ψ k+1 niin, että käyrä Ψ k+1 kulki kaikkien 2k solujen läpi ja ylitti kunkin solun rajan vain kahdesti. Tämä johtaa n= k+1 numeron järjestelyyn siten, että taso on jaettu 2k+1 soluun.

Venn-kaaviomenetelmää laajennetaan edustamaan muita loogis-matemaattisia teorioita. Itse teoria on kirjoitettu siten, että se korostaa kielensä elementtejä graafiseen esitykseen sopivassa muodossa. Esimerkiksi klassisen predikaattilogiikan atomikaavat kirjoitetaan muotoa P(Y1..Yr) olevina sanoina, joissa P on predikaatti ja Y1,..., Yr ovat subjektimuuttujia, eivät välttämättä erilaisia; sana Y1,..., Yr on alaliite. Venn-kaavioiden ilmeinen joukkoteoreettinen luonne mahdollistaa erityisesti joukkoteoreettisten laskelmien esittämisen ja tutkimisen niiden avulla, esimerkiksi Zermelo-Fraenkelin joukkoteorian ZF-laskentaa. Graafisia menetelmiä logiikassa ja matematiikassa on kehitetty jo pitkään. Näitä ovat erityisesti looginen neliö, Eulerin ympyrät ja L. Carrollin alkuperäiset kaaviot. Venn-diagrammimenetelmä eroaa kuitenkin merkittävästi perinteisessä syllogistiikassa käytetystä Eulerin ympyrämenetelmästä. Venn-kaaviot perustuvat ajatukseen Boolen funktion hajottamisesta aineosiksi - keskeisiksi logiikan algebralle, joka määrittää niiden toiminnallisen luonteen. Venn käytti kaavioita ensisijaisesti luokkalogiikan ongelmien ratkaisemiseen. Sen kaavioita voidaan käyttää tehokkaasti myös propositio- ja predikaattilogiikan ongelmien ratkaisemiseen, premissien seurausten tarkastelemiseen, loogisten yhtälöiden ratkaisemiseen sekä muihin kysymyksiin ratkaistavuusongelmaan asti. Venn-kaaviolaitteistoa käytetään matemaattisen logiikan ja automaatioteorian sovelluksissa, erityisesti hermopiireihin liittyvien ongelmien ratkaisemisessa ja luotettavien piirien syntetisoinnissa suhteellisen heikosti luotettavista elementeistä.

A.S. Kuzichev

Uusi filosofinen tietosanakirja. Neljässä osassa. / Filosofian instituutti RAS. Tieteellinen toim. neuvoja: V.S. Stepin, A.A. Guseinov, G. Yu. Semigin. M., Mysl, 2010, osa I, A - D, s. 645.

Kirjallisuus:

Venn J. Symbolinen logiikka. L., 1881. Toim. 2, rev. L., 1894;

Kuzichev A. S. Venn kaaviot. Historia ja sovellukset. M., 1968;

Se on hän. Matemaattisten logiikkaongelmien ratkaiseminen Venn-kaavioiden avulla. - Kirjassa: Loogisten järjestelmien tutkimus. M., 1970.

Jos luulet ettet tiedä mitään Eulerin piireistä, olet väärässä. Itse asiassa olet luultavasti törmännyt niihin useammin kuin kerran, et vain tiennyt, mikä sen nimi oli. Missä tarkalleen? Euler-piirien muodossa olevat järjestelmät muodostivat perustan monille suosituille Internet-meemeille (tietystä aiheesta levitetyt kuvat verkossa).

Selvitetään yhdessä, millaisia ​​piirejä nämä ovat, miksi niitä kutsutaan sellaisiksi ja miksi niitä on niin kätevä käyttää monien ongelmien ratkaisemiseen.

Termin alkuperä

on geometrinen kaavio, joka auttaa löytämään ja/tai selventämään ilmiöiden ja käsitteiden välisiä loogisia yhteyksiä. Se auttaa myös kuvaamaan joukon ja sen osan välistä suhdetta.

Se ei ole vielä kovin selvää, eikö? Katso tätä kuvaa:

Kuvassa on kaikki mahdolliset lelut. Jotkut leluista ovat rakennussarjoja - ne on korostettu erillisessä soikeassa. Tämä on osa suurta "lelusarjaa" ja samalla erillinen sarja (rakennussarja voi loppujen lopuksi olla "Lego" tai primitiivisiä rakennussarjoja, jotka on valmistettu lohkoista lapsille). Osa laajasta "lelujen" valikoimasta voi olla kelattavia leluja. He eivät ole rakentajia, joten piirrämme heille erillisen soikean. Keltainen soikea "wind-up car" viittaa sekä sarjaan "lelu" ja on osa pienempää sarjaa "wind-up lelu". Siksi se on kuvattu molempien soikeiden sisällä kerralla.

No, onko tullut selvemmäksi? Siksi Euler-ympyrät ovat menetelmä, joka osoittaa selvästi: on parempi nähdä kerran kuin kuulla sata kertaa. Sen etu on, että selkeys yksinkertaistaa päättelyä ja auttaa saamaan vastauksen nopeammin ja helpommin.

Menetelmän kirjoittaja on tiedemies Leonhard Euler (1707-1783). Hän sanoi hänen mukaansa nimetyistä kaavioista näin: "Ympyrät sopivat helpottamaan ajatteluamme." Euleria pidetään saksalaisena, sveitsiläisenä ja jopa venäläisenä matemaatikkona, mekaanikkona ja fyysikona. Tosiasia on, että hän työskenteli monta vuotta Pietarin tiedeakatemiassa ja antoi merkittävän panoksen Venäjän tieteen kehitykseen.

Ennen häntä saksalainen matemaatikko ja filosofi Gottfried Leibniz ohjasi samanlaisen periaatteen tehdessään johtopäätöksiään.

Eulerin menetelmä on saanut ansaittua tunnustusta ja suosiota. Ja hänen jälkeensä monet tutkijat käyttivät sitä työssään ja myös muokkasivat sitä omalla tavallaan. Esimerkiksi tšekkiläinen matemaatikko Bernard Bolzano käytti samaa menetelmää, mutta suorakaiteen muotoisilla piireillä.

Myös saksalainen matemaatikko Ernest Schroeder teki oman panoksensa. Mutta suurimmat ansiot kuuluvat englantilaiselle John Vennille. Hän oli logiikan asiantuntija ja julkaisi kirjan "Symbolic Logic", jossa hän hahmotteli yksityiskohtaisesti oman versionsa menetelmästä (hän ​​käytti pääasiassa kuvia joukkojen leikkauspisteistä).

Vennin panoksen ansiosta menetelmää kutsutaan jopa Venn-diagrammeiksi tai Euler-Venn-kaavioiksi.

Miksi Eulerin ympyröitä tarvitaan?

Euler-ympyröillä on sovellettu tarkoitus, eli niiden avulla ratkaistaan ​​käytännössä ongelmia, jotka liittyvät joukkojen liittoon tai leikkauspisteeseen matematiikassa, logiikassa, hallinnassa ja muissa asioissa.

Jos puhumme Euler-ympyröiden tyypeistä, voimme jakaa ne sellaisiin, jotka kuvaavat joidenkin käsitteiden yhdistämistä (esimerkiksi suvun ja lajin välinen suhde) - tarkastelimme niitä artikkelin alussa olevan esimerkin avulla.

Ja myös ne, jotka kuvaavat joukkojen leikkauskohtaa jonkin ominaisuuden mukaan. John Venn ohjasi tätä periaatetta suunnitelmissaan. Ja juuri tämä on monien suosittujen meemien taustalla Internetissä. Tässä on yksi esimerkki sellaisista Eulerin ympyröistä:

Se on hauskaa, eikö? Ja mikä tärkeintä, kaikki tulee heti selväksi. Voit käyttää paljon sanoja selittämään näkökulmaasi tai voit piirtää yksinkertaisen kaavion, joka asettaa kaiken välittömästi paikoilleen.

Muuten, jos et voi päättää, minkä ammatin valitset, kokeile piirtää kaavio Euler-ympyröiden muodossa. Ehkä tällainen piirros auttaa sinua tekemään valinnan:

Ne vaihtoehdot, jotka ovat kaikkien kolmen ympyrän risteyksessä, ovat ammatti, joka ei vain voi ruokkia sinua, vaan myös miellyttää sinua.

Ongelmien ratkaiseminen Eulerin ympyröiden avulla

Katsotaanpa joitain esimerkkejä ongelmista, jotka voidaan ratkaista käyttämällä Eulerin ympyröitä.

Täällä tällä sivustolla - http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html Elena Sergeevna Sazhenina tarjoaa mielenkiintoisia ja yksinkertaisia ​​ongelmia, joiden ratkaiseminen vaatii Euler-menetelmän. Analysoimme yhtä niistä logiikan ja matematiikan avulla.

Ongelma suosikkisarjakuvista

Kuudesluokkalaiset täyttivät kyselyn heidän suosikkisarjakuvistaan. Kävi ilmi, että useimmat heistä pitivät Lumikki ja seitsemän kääpiötä, Paavo Pesusieni ja Susi ja vasikka. Luokassa on 38 oppilasta. 21 opiskelijaa pitävät Lumikki ja seitsemän kääpiötä. Lisäksi kolme heistä pitää myös "The Wolf and the Calf", kuusi "Paavo Pesusieni" ja yksi lapsi yhtä paljon kaikista kolmesta sarjakuvasta. "Susi ja vasikka" on saanut 13 fania, joista viisi nimesi kyselyssä kaksi sarjakuvaa. Meidän on määritettävä, kuinka moni kuudesluokkalainen pitää Paavo Pesusieni.

Ratkaisu:

Koska meille annetaan tehtävän ehtojen mukaan kolme joukkoa, piirrämme kolme ympyrää. Ja koska kaverien vastaukset osoittavat, että joukot leikkaavat toisiaan, piirustus näyttää tältä:

Muistamme, että tehtävän ehtojen mukaan "Susi ja vasikka" -sarjakuvan fanien joukossa viisi kaveria valitsi kaksi sarjakuvaa kerralla:

Osoittautuu, että:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – kaverit valitsivat vain "Lumikki ja seitsemän kääpiötä".

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – kaverit katsovat vain "Susi ja vasikka".

Jää vain selvittää, kuinka monet kuudesluokkalaiset pitävät sarjakuvasta "Paavo Pesusieni" kahdesta muusta vaihtoehdosta. Opiskelijoiden kokonaismäärästä vähennetään kaikki ne, jotka rakastavat kahta muuta sarjakuvaa tai valitsivat useita vaihtoehtoja:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – ihmiset katsovat vain Paavo Pesusieni -elokuvaa.

Nyt voimme turvallisesti laskea yhteen kaikki saadut luvut ja selvittää, että:

sarjakuvan "SpongeBob SquarePants" valitsi 8 + 2 + 1 + 6 = 17 henkilöä. Tämä on vastaus ongelmassa esitettyyn kysymykseen.

Katsotaanpa myös tehtävä, joka vuonna 2011 lähetettiin Unified State Examination demonstraatiokokeeseen tietojenkäsittelytieteen ja ICT:n alalla (lähde - http://eileracrugi.narod.ru/index/0-6).

Ongelman olosuhteet:

Hakukoneen kyselykielessä symbolia "|" käytetään osoittamaan loogista "OR"-toimintoa ja symbolia "&" käytetään loogista "AND"-toimintoa.

Taulukko näyttää kyselyt ja löydettyjen sivujen lukumäärän tietylle Internet-segmentille.

Pyyntö	Sivuja löydetty (tuhansina)
Risteilijä | Taistelulaiva	7000
Risteilijä	4800
Taistelulaiva	4500

Kuinka monta sivua (tuhansina) kyselylle löytyy? Risteilijä ja taistelulaiva?

Oletuksena on, että kaikki kysymykset suoritetaan lähes samanaikaisesti, joten sivujoukko, joka sisältää kaikki haetut sanat, ei muutu kyselyjen suorittamisen aikana.

Ratkaisu:

Eulerin ympyröiden avulla kuvaamme ongelman ehdot. Tässä tapauksessa käytämme numeroita 1, 2 ja 3 osoittamaan tuloksena olevat alueet.

Tehtävän ehtojen perusteella luomme yhtälöt:

1. Risteilijä | Taistelulaiva: 1 + 2 + 3 = 7000
2. Cruiser: 1 + 2 = 4800
3. Taistelulaiva: 2 + 3 = 4500

Löytää Risteilijä ja taistelulaiva(merkitty piirustuksessa alueeksi 2), korvaa yhtälö (2) yhtälöllä (1) ja selvitä, että:

4800 + 3 = 7000, josta saamme 3 = 2200.

Nyt voimme korvata tämän tuloksen yhtälöllä (3) ja selvittää, että:

2 + 2 200 = 4 500, josta 2 = 2 300.

Vastaus: 2300 - pyynnöstä löydetty sivumäärä Risteilijä ja taistelulaiva.

Kuten näet, Eulerin ympyrät auttavat ratkaisemaan nopeasti ja helposti jopa melko monimutkaisia ​​tai yksinkertaisesti hämmentäviä ensi silmäyksellä.

Johtopäätös

Luulen, että olemme onnistuneet vakuuttamaan sinut siitä, että Euler-ympyrät eivät ole vain hauska ja mielenkiintoinen asia, vaan myös erittäin hyödyllinen tapa ratkaista ongelmia. Eikä vain abstrakteja ongelmia koulutunneilla, vaan myös melko jokapäiväisiä ongelmia. Esimerkiksi tulevaisuuden ammatin valinta.

Olet luultavasti myös utelias tietämään, että modernissa populaarikulttuurissa Eulerin piirit heijastuvat meemien lisäksi myös suosittuihin tv-sarjoihin. Kuten "The Big Bang Theory" ja "4Isla".

Käytä tätä hyödyllistä ja visuaalista menetelmää ongelmien ratkaisemiseen. Ja muista kertoa siitä ystävillesi ja luokkatovereillesi. Artikkelin alla on erityisiä painikkeita tätä tarkoitusta varten.

verkkosivuilla, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Osat: Tietokone Tiede

1. Esittely

Perus- ja yläkoulun tietojenkäsittelytieteen ja ICT:n kursseilla käsitellään sellaisia ​​tärkeitä aiheita kuin "Logiikan perusteet" ja "Tiedon etsiminen Internetistä". Tietyntyyppistä ongelmaa ratkaistaessa on kätevää käyttää Euler-ympyröitä (Euler-Venn-kaavioita).

Matemaattinen viittaus. Euler-Venn-kaavioita käytetään ensisijaisesti joukkoteoriassa useiden joukkojen kaikkien mahdollisten leikkauspisteiden kaaviokuvana. Yleensä ne edustavat kaikkia n ominaisuuden 2 n yhdistelmää. Esimerkiksi, kun n=3, Euler-Venn-kaavio kuvataan yleensä kolmena ympyränä, joiden keskipisteet ovat tasasivuisen kolmion kärjessä ja joiden säde on sama, joka on suunnilleen yhtä suuri kuin kolmion sivun pituus.

2. Loogisten konnektiivien esitys hakukyselyissä

Kun tutkitaan aihetta "Tiedon etsiminen Internetistä", tarkastellaan esimerkkejä hakukyselyistä, jotka käyttävät loogisia konnektiiveja, jotka ovat merkitykseltään samanlaisia ​​​​kuin venäjän kielen konjunktiot "ja", "tai". Loogisten konnektiivien merkitys tulee selvemmäksi, jos havainnollistat niitä graafisella kaaviolla - Euler-ympyrät (Euler-Venn-kaaviot).

3. Loogisten operaatioiden yhteys joukkoteoriaan

Euler-Venn-kaavioiden avulla voidaan visualisoida loogisten operaatioiden ja joukkoteorian välistä yhteyttä. Esittelyyn voit käyttää dioja Liite 1.

Loogiset operaatiot määritellään niiden totuustaulukoilla. SISÄÄN Liite 2 Loogisten operaatioiden graafiset kuvat ja niiden totuustaulukot käsitellään yksityiskohtaisesti. Selvitetään kaavion muodostamisen periaate yleisessä tapauksessa. Kaaviossa A-nimisen ympyrän alue näyttää lauseen A totuuden (joukkoteoriassa ympyrä A on kaikkien tiettyyn joukkoon sisältyvien elementtien nimitys). Vastaavasti ympyrän ulkopuolella oleva alue näyttää vastaavan lauseen "false" arvon. Ymmärtääksesi, mikä kaavion alue näyttää loogisen toiminnon, sinun on varjostettava vain ne alueet, joissa loogisen operaation arvot joukoissa A ja B ovat yhtä suuria kuin "tosi".

Esimerkiksi implikaatioarvo on tosi kolmessa tapauksessa (00, 01 ja 11). Varjostetaan peräkkäin: 1) kahden leikkaavan ympyrän ulkopuolella oleva alue, joka vastaa arvoja A=0, B=0; 2) vain ympyrään B (puolikuu) liittyvä alue, joka vastaa arvoja A=0, B=1; 3) sekä ympyrään A että ympyrään B liittyvä alue (leikkaus) - vastaa arvoja A=1, B=1. Näiden kolmen alueen yhdistelmä on graafinen esitys implikaatioiden loogisesta toiminnasta.

4. Eulerin ympyröiden käyttö loogisten yhtälöiden (lait) todistamisessa

Loogisten yhtäläisyyksien todistamiseksi voit käyttää Euler-Venn-kaaviomenetelmää. Todistetaan seuraava yhtälö ¬(АvВ) = ¬А&¬В (de Morganin laki).

Esittääksesi visuaalisesti yhtälön vasenta puolta, tehdään se peräkkäin: varjostetaan molemmat ympyrät (käytä disjunktiota) harmaalla värillä, sitten näyttääksesi inversion varjostaa ympyröiden ulkopuolella oleva alue mustalla:

Kuva 3 Kuva 4

Esittääksesi visuaalisesti yhtälön oikean puolen, tehdään se peräkkäin: varjostetaan inversion näyttämisalue (¬A) harmaalla ja vastaavasti alue ¬B myös harmaalla; sitten konjunktion näyttämiseksi sinun on otettava näiden harmaiden alueiden leikkauspiste (peittokuvan tulos esitetään mustalla):

Kuva 5 Kuva 6 Kuva 7

Näemme, että vasemman ja oikean osan näyttöalueet ovat yhtä suuret. Q.E.D.

5. Ongelmia valtiontutkinnon ja yhtenäisen valtiontutkinnon muodossa aiheesta: "Tiedon etsiminen Internetistä"

Ongelma nro 18 GIA 2013:n demoversiosta.

Taulukko näyttää kyselyt hakupalvelimelle. Jokaiselle pyynnölle ilmoitetaan sen koodi - vastaava kirjain A:sta G:hen. Järjestä pyyntökoodit vasemmalta oikealle laskeva kuinka monta sivua hakukone löytää kustakin pyynnöstä.

Koodi	Pyyntö
A	(Fly & Money) | Samovar
B	Fly & Money & Bazaar & Samovar
SISÄÄN	Lentää | Rahaa | Samovar
G	Fly & Money & Samovar

Jokaiselle kyselylle rakennamme Euler-Venn-kaavion:

Pyydä A

Pyyntö B

Pyyntö B

Pyydä G

Vastaus: VAGB.

Tehtävä B12 Unified State Exam 2013:n demoversiosta.

Taulukko näyttää kyselyt ja löydettyjen sivujen lukumäärän tietylle Internet-segmentille.

Pyyntö	Sivuja löydetty (tuhansina)
Fregatti | Hävittäjä	3400
Fregatti ja tuhoaja	900
Fregatti	2100

Kuinka monta sivua (tuhansina) kyselylle löytyy? Hävittäjä?

Uskotaan, että kaikki kyselyt suoritettiin lähes samanaikaisesti, joten kaikki haetut sanat sisältävät sivut eivät muuttuneet kyselyjen suorittamisen aikana.

Ф – sivumäärä (tuhansina) pyynnöstä Fregatti;

E – sivumäärä (tuhansia) pyynnöstä Hävittäjä;

X – sivujen määrä (tuhansina) kyselylle, jossa mainitaan Fregatti Ja Ei mainitsi Hävittäjä;

Y – sivujen määrä (tuhansina) kyselylle, jossa mainitaan Hävittäjä Ja Ei mainitsi Fregatti.

Rakennetaan Euler-Venn-kaaviot jokaiselle kyselylle:

Pyyntö	Euler-Venn kaavio	Sivujen määrä
Fregatti | Hävittäjä	Kuva 12	3400
Fregatti ja tuhoaja	Kuva 13	900
Fregatti	Kuva 14	2100
Hävittäjä	Kuva 15	?

Kaavioiden mukaan meillä on:

1. X + 900 + Y = F + Y = 2100 + Y = 3400. Tästä löydämme Y = 3400-2100 = 1300.
2. E = 900 + U = 900 + 1 300 = 2 200.

Vastaus: 2200.

6. Loogisten merkityksellisten ongelmien ratkaiseminen Euler-Venn-kaaviomenetelmällä

Luokassa on 36 henkilöä. Tämän luokan oppilaat käyvät matematiikan, fysiikan ja kemian piireissä, joista 18 henkilöä matematiikan piirissä, 14 henkilöä fysikaalisessa piirissä, 10 henkilöä. Lisäksi tiedetään, että kaikilla kolmella piirillä on 2 henkilöä, 8 henkilöä osallistua sekä matemaattiseen että fyysiseen, 5 ja matemaattiseen ja kemialliseen, 3 - sekä fysikaaliseen että kemialliseen.

Kuinka monta oppilasta luokassa ei käy kerhoissa?

Tämän ongelman ratkaisemiseksi on erittäin kätevää ja intuitiivista käyttää Eulerin ympyröitä.

Suurin ympyrä on kaikkien luokan oppilaiden joukko. Ympyrän sisällä on kolme leikkaavaa joukkoa: matemaattisen ( M), fyysinen ( F), kemiallinen ( X) ympyrät.

Antaa MFC- paljon kavereita, joista jokainen käy kaikissa kolmessa kerhossa. MF¬X- paljon lapsia, joista jokainen käy matematiikan ja fysiikan kerhoissa ja Ei käy kemian puolella. ¬M¬FH- paljon tyyppejä, joista jokainen käy kemian kerhossa eivätkä käy fysiikan ja matematiikan kerhoissa.

Esittelemme sarjat samalla tavalla: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.

Tiedetään, että kaikkiin kolmeen piiriin osallistuu 2 henkilöä, joten alueella MFC Syötetään numero 2. Koska 8 henkilöä osallistuu sekä matemaattisiin että fyysisiin piireihin, ja heidän joukossaan on jo 2 henkilöä kaikilla kolmella piirillä, sitten alueella MF¬X laitetaan sisään 6 henkilöä (8-2). Määritetään samalla tavalla opiskelijoiden määrä jäljellä olevissa sarjoissa:

Lasketaan yhteen ihmisten määrä kaikilla alueilla: 7+6+3+2+4+1+5=28. Näin ollen 28 henkilöä luokasta käy kerhoissa.

Tämä tarkoittaa, että 36-28 = 8 opiskelijaa ei käy kerhoissa.

Talviloman jälkeen luokanopettaja kysyi, kumpi lapsista meni teatteriin, elokuvateatteriin tai sirkukseen. Kävi ilmi, että luokan 36 oppilaista kaksi ei ollut koskaan käynyt elokuvissa. ei teatterissa eikä sirkuksessa. 25 henkilöä kävi elokuvissa, 11 teatterissa, 17 sirkuksessa; sekä elokuvassa että teatterissa - 6; sekä elokuvateatterissa että sirkuksessa - 10; ja teatterissa ja sirkuksessa - 4.

Kuinka moni on käynyt elokuvissa, teatterissa ja sirkuksessa?

Olkoon x niiden lasten lukumäärä, jotka ovat olleet elokuvissa, teatterissa ja sirkuksessa.

Sitten voit rakentaa seuraavan kaavion ja laskea kavereiden lukumäärän kullakin alueella:

Elokuvateatterissa ja teatterissa vieraili 6 henkilöä, mikä tarkoittaa, että elokuvissa ja teatterissa vieraili vain 6 henkilöä. Vastaavasti vain elokuvissa ja sirkuksessa (10.) ihmiset. Vain teatterissa ja sirkuksessa (4) henkilöä. 25 henkilöä kävi elokuvissa, mikä tarkoittaa, että heistä 25 kävi vain elokuvateatterissa - (10s) - (6s) - x = (9+x). Vastaavasti vain teatterissa oli (1+x) henkilöä. Sirkuksessa oli vain (3+x) henkilöä. En ole käynyt teatterissa, elokuvissa tai sirkuksessa – 2 henkilöä. Tämä tarkoittaa 36-2=34 henkilöä. osallistui tapahtumiin. Toisaalta voimme laskea yhteen teatterissa, elokuvateatterissa ja sirkuksessa olleiden ihmisten lukumäärän: (9+x)+(1+x)+(3+x)+(10s)+(6s)+(4s)+x = 34 Tästä seuraa, että vain yksi henkilö osallistui kaikkiin kolmeen tapahtumaan.

Siten Euler-ympyrät (Euler-Venn-kaaviot) löytävät käytännön sovelluksen Unified State Examination ja State Examination -muodon tehtävien ratkaisemisessa sekä merkityksellisten loogisten ongelmien ratkaisemisessa.

Kirjallisuus

1. V.Yu. Lyskova, E.A. Rakitina. Logiikka tietojenkäsittelytieteessä. M.: Informatiikka ja koulutus, 2006. 155 s.
2. L.L. Bosova. Tietokoneiden aritmeettiset ja loogiset perusteet. M.: Informatiikka ja koulutus, 2000. 207 s.
3. L.L. Bosova, A. Yu. Bosova. Oppikirja. Tietojenkäsittelytiede ja ICT luokalle 8: BINOM. Knowledge Laboratory, 2012. 220 s.
4. L.L. Bosova, A. Yu. Bosova. Oppikirja. Tietojenkäsittelytiede ja ICT luokalle 9: BINOM. Knowledge Laboratory, 2012. 244 s.
5. FIPI:n verkkosivusto: http://www.fipi.ru/