solmujen konfiguraatio, ruudukkofunktion arvot, joissa määrittävät eroyhtälöiden muodon sisäisissä (ei-rajaisissa) verkkopisteissä. Yleensä kuvissa, joissa on mallikuvia, derivaattojen laskemiseen osallistuvat pisteet on yhdistetty viivoilla.

Courant-Isakson-Ries -järjestelmä(KIR), joka joskus liittyy myös nimeen S.K. Godunov, käy ilmi, kun . Sen approksimaatiojärjestys on . KIR-järjestelmä on ehdollisesti vakaa, ts. kun Courant-ehto täyttyy . Esitetään Courant-Isakson-Ries-kaavion eroyhtälöt laskennallisen alueen sisäisissä pisteissä:

Nämä kaaviot, joita kutsutaan myös skeemaksi, jolla on eroja vastatuulessa (englanninkielisessä kirjallisuudessa - vastatuulessa), voidaan kirjoittaa muodossa

Niiden etuna on tarkempi selvitys ratkaisun riippuvuusalueesta. Jos otamme käyttöön merkinnän

niin molemmat kaaviot voidaan kirjoittaa seuraavissa muodoissa:

(differentiaaliyhtälön virtausmuoto);

(tässä termi toisella erolla on selvästi korostettu, mikä antaa järjestelmän vakautta);

(yhtälö äärellisin askelin).

Mietitään myös epävarmien kertoimien menetelmä erotuskaavion rakentamiseksi, kuljetusyhtälön ensimmäisen kertaluvun oikea kulma

Kaava voidaan esittää muodossa

Courant-Isakson-Rees-kaavio liittyy läheisesti ominaisuuksien numeerisiin menetelmiin. Annamme lyhyen kuvauksen tällaisten menetelmien ideasta.

Kaksi viimeistä saatua kaaviota (joilla on erilaiset siirtonopeuden merkit) voidaan tulkita seuraavasti. Muodostetaan solmun läpi kulkeva ominaisuus (t n + 1, x m), jonka arvo on määritettävä ja joka leikkaa kerroksen t n pisteessä . Varmuuden vuoksi oletetaan, että siirtonopeus c on positiivinen.

Suorittamalla lineaarinen interpolointi alemman kerroksen solmujen x m - 1 ja x m välillä ajoissa, saadaan

Seuraavaksi siirretään arvo u n (x") ominaisuutta pitkin muuttamatta ylempään kerrokseen t n + 1, eli laitetaan . Viimeistä arvoa on luonnollista pitää likimääräisenä ratkaisuna homogeeninen yhtälö siirtää. Tässä tapauksessa

tai siirtymällä Courant-numerosta uudelleen ruudukkoparametreihin,

nuo. toisella menetelmällä pääsimme jo tunnettuun "vasemman kulman" malliin, joka on vakaa . Kun solmusta lähtevän ominaisuuden (t n + 1, x m, n:nnen kerroksen kanssa ajassa) leikkauspiste sijaitsee solmun vasemmalla puolella (t n, x m - 1). Siten ratkaisun löytämiseksi se ei ole enää interpolointi, vaan ekstrapolointi, joka osoittautuu epävakaaksi .

"Oikean kulman" kaavion epävakaus c > 0:lle on myös ilmeinen. Tämän todistamiseksi voidaan käyttää joko spektriominaisuutta tai Courant-, Friedrichs- ja Levy-ehtoa. Samanlainen päättely voidaan tehdä tapaukseen c< 0 и схемы "правый уголок".

Epävakaa nelipistepiiri käy ilmi milloin , sen likimääräinen järjestys. Erotuskaavion ruudukkoyhtälöillä on seuraava muoto:

Lax-Wendroff-järjestelmä tapahtuu kun . Lax-Wendroff-kaavion approksimaatiojärjestys on . Järjestelmä on vakaa Courant-ehdon mukaan .

Tämä kaavio voidaan saada joko määrittelemättömien kertoimien menetelmällä tai ottamalla tarkemmin huomioon approksimaatiovirheen johtava termi. Tarkastellaan tarkemmin Lax-Wendroff-kaavion johtamisprosessia. Suorittamalla tutkimus edellisestä nelipistekaaviosta approksimaatiota varten (ja tutkimus on varsin alkeellinen ja päättyy projektiofunktion laajentamiseen Taylor-sarjan differentiaaliongelman tarkan ratkaisun ruudukkoon), saamme pääasiallisen virheen aika

Approksimaatiovirheen päätermin lauseketta johdettaessa käytettiin alkuperäisen differentiaalisen kuljetusyhtälön seurausta

Joka saadaan differentoimalla alkuperäinen yhtälö (3.3) ensin ajan t suhteen, sitten x-koordinaatin suhteen ja vähentämällä toinen tuloksena olevista suhteista toisesta.

Seuraavaksi vaihtaminen toinen johdannainen toisessa termissä oikealla tarkkuudella O(h 2) saadaan uusi erokaavio, joka approksimoi alkuperäistä differentiaaliyhtälö tarkkuudella . Lax-Wendroff-kaavion ruudukkoyhtälöt laskennallisten verkkojen sisäisissä solmuissa ovat

Implisiittinen kuuden pisteen järjestelmä tapahtuu q = 0; kun sen likimääräinen järjestys , klo .

Kirjan toinen osa on omistettu tavallisten differentiaaliyhtälöiden erokaavioiden rakentamiselle ja tutkimiselle. Samalla esittelemme erotuskaavioiden teorian konvergenssin, approksimoinnin ja stabiilisuuden peruskäsitteet, jotka ovat yleisluonteisia. Näiden tavallisten differentiaaliyhtälöiden yhteydessä saatujen käsitteiden tuntemus mahdollistaa tulevaisuudessa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden differentiaalikaavioita tutkiessa keskittymisen moniin tälle hyvin monimuotoiselle ongelmaluokalle ominaisiin piirteisiin ja vaikeuksiin.

LUKU 4. ESIMERKKEJÄ EROTUSJÄRJESTELMISSÄ

Tässä luvussa tarkastellaan esimerkkejä erokaavioista, jotka on tarkoitettu vain alustavaksi tutustumiseksi teorian peruskäsitteisiin.

§ 8. Tarkkuus- ja lähentämisjärjestyksen käsite

1. Erotuksen tarkkuusjärjestys.

Tämä osio on omistettu ongelmalle eroyhtälöiden ratkaisujen lähentymisestä, kun verkkoa jalostetaan differentiaaliyhtälöiden ratkaisuiksi, joita ne approksimoivat. Rajoitamme tässä tutkimaan kahta erokaaviota ongelman numeerista ratkaisua varten

Aloitetaan yksinkertaisimmasta erotuskaaviosta, joka perustuu eroyhtälön käyttöön

Jaetaan segmentti pituisiksi h askeliksi. On kätevää valita, missä N on kokonaisluku. Numeroimme jakopisteet vasemmalta oikealle, joten . Erotuskaaviosta jossakin pisteessä saatu arvo ja arvo merkitään Aseta alkuarvo. Laitetaanpa se. Erotusyhtälö (2) merkitsee relaatiota

mistä löydämme ratkaisun yhtälöön (2) alkuehdon mukaisesti:

Tarkka ratkaisu tehtävään (1) on muotoa . Se ottaa arvon

Etsitään nyt arvio likimääräisen ratkaisun (3) virhearvosta. Tämä virhe kohta tulee olemaan

Olemme kiinnostuneita siitä, kuinka se pienenee osiopisteiden määrän kasvaessa tai mikä on sama, kun erotusruudukon askel pienenee. Saadaksemme tämän selville, esittäkäämme se muodossa

Siten tasa-arvo (3) saa muodon

eli virhe (5) pyrkii nollaan ja virheen suuruus on askeleen ensimmäisen potenssin luokkaa.

Tämän perusteella he sanovat, että erotuskaaviolla on ensimmäisen kertaluvun tarkkuus (ei pidä sekoittaa § 1:ssä määriteltyyn erotusyhtälön järjestykseen).

Ratkaistaan ​​nyt tehtävä (1) differentiaaliyhtälön avulla

Tämä ei ole niin yksinkertaista kuin miltä ensi silmäyksellä näyttää. Tosiasia on, että tarkasteltava kaavio on toisen kertaluvun eroyhtälö, eli se edellyttää kahden alkuehdon määrittämistä, kun taas integroitava yhtälö (1) on ensimmäisen kertaluvun yhtälö ja sille määritämme vain . On luonnollista laittaa.

Ei ole selvää, miten heiltä kysytään. Ymmärtääksemme tämän, käytämme yhtälön (7) ratkaisevaa muotoa (katso § 3 kaavat):

Laajennus (9) ominaisyhtälön juurien Taylorin kaavan mukaan antaa meille mahdollisuuden antaa likimääräisiä esityksiä. Suoritetaanpa yksityiskohtaisesti tällaisen esityksen johtaminen -

Siitä lähtien

Emme suorita täysin samanlaista laskelmaa kohteelle , vaan kirjoitamme heti tuloksen:

Korvaamalla likimääräiset lausekkeet kaavaan (8), saadaan

Kaikki lisäjohtopäätökset tehdään tutkimalla tätä kaavaa.

Huomaa, että jos kerroin pyrkii äärelliseen rajaan b, niin yhtälön (12) oikealla puolella oleva ensimmäinen termi pyrkii ongelman (1) haluttuun ratkaisuun.

Osa nro 10. Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaisu

Erotuskaaviot elliptisille yhtälöille
Erilaiset raja-arvoongelmat ja rajaehtojen approksimaatio
Erotuskaavion rakentaminen Dirichlet-ongelman tapauksessa Poissonin yhtälölle
Matriisipyyhkäisymenetelmä
Iteratiivinen menetelmä Dirichlet-ongelman erokaavion ratkaisemiseksi
Parabolinen tyyppiyhtälö. Eksplisiittiset ja implisiittiset äärellisen eron menetelmät
Lakaisumenetelmät parabolisille yhtälöille
Aihehakemisto

Erosuunnitelmat. Peruskonseptit

Olkoon D tietty muutosalue riippumattomissa muuttujissa x, y, jota ääriviiva rajoittaa. He sanovat, että alueella D on toisen asteen lineaarinen differentiaaliyhtälö funktiolle U(x, y), jos jollekin alueen D pisteelle pätee seuraava suhde:

			∂2U				∂2U		∂2U
			∂x2						∂x2
						G(x, y)U = f(x, y),

missä a(x, y), b(x, y), . . . - kertoimet, f(x, y) - yhtälön vapaa termi. Nämä funktiot tunnetaan ja niitä pidetään yleensä määriteltyinä suljetulla alueella D = D +.

Ratkaisugraafi edustaa pintaa Oxyz-avaruudessa.

Takaisin Ensimmäinen Edellinen Seuraava Viimeinen Siirry hakemistoon

Merkitään δ(x, y) = b2 − ac. Yhtälöä L(U) = f kutsutaan elliptiseksi, paraboliseksi tai

hyperbolinen D:ssä, jos ehdot δ(x, y) täyttyvät vastaavasti< 0, δ(x, y) = 0, δ(x, y) >0 puolesta

kaikki (x, y) D.

Differentiaaliyhtälön tyypistä riippuen alkuperäiset raja-arvot asetetaan eri tavalla

(10.1):

Poissonin yhtälö (ellipsityyppinen yhtälö)

∂2 U ∂2 U

∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y)

Takaisin Ensimmäinen Edellinen Seuraava Viimeinen Siirry hakemistoon

Lämpöyhtälö (parabolinen yhtälö)

∂U = ∂ 2 U + f(x, t) ∂t ∂x2

Aaltoyhtälö (hyperbolisen tyyppinen yhtälö)

∂2 U ∂2 U

∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y)

Erotuskaavioiden konvergenssi, approksimaatio ja stabiilisuus

Olkoon U ratkaisu differentiaaliyhtälöön

esitetty kohdassa D. Tarkastellaan tiettyä joukkoa Dh = (Mh), joka koostuu suljetun alueen D = D + eristetyistä pisteistä Mh. Pisteiden lukumäärä Dh:ssa kuvataan arvolla h; mitä pienempi h, sitä suurempi määrä pisteitä Dh:ssa. Joukkoa Dh kutsutaan ruudukoksi ja pisteitä Mh Dh ruudukkosolmuiksi. Solmuissa määriteltyä funktiota kutsutaan ruudukkofunktioksi. Merkitään U:lla D:ssä jatkuvien funktioiden V (x, y) avaruus. Olkoon Uh avaruus, jonka muodostaa Dh:lla määritellyn ruudukkofunktioiden joukko Vh (x, y). Ristikkomenetelmässä avaruus U korvataan avaruudella Uh.

Olkoon U(x, y) yhtälön ((10.2)) tarkka ratkaisu ja U(x, y) kuuluu U:lle. Esitetään Uh:n (x, y) arvojen löytämisen ongelma. Nämä arvot muodostavat yhdessä taulukon, jossa arvojen lukumäärä

Takaisin Ensimmäinen Edellinen Seuraava Viimeinen Siirry hakemistoon

yhtä suuri kuin pisteiden määrä Dh:ssa. On harvinaista, että tarkasti asetettu ongelma voidaan ratkaista. Pääsääntöisesti on mahdollista laskea joitain ruudukkoarvoja U(h), joiden suhteen voidaan olettaa, että

U(h) ≈ Uh (x, y).

Suureita U(h) kutsutaan ratkaisun U(x, y) likimääräisiksi ruudukkoarvoiksi. Niiden laskemiseksi rakennamme numeeristen yhtälöiden järjestelmän, jonka kirjoitamme muodossa

Lh (U(h) ) = fh ,

operaattorilla on ero,

vastaa operaattoria

muodostaa F samalla tavalla kuin U

muodostettiin U:n mukaan. Kutsumme kaavaa (10.3) erotukseksi

järjestelmä. Otetaan normit k · kU h ja k · kF h lineaarisiin tiloihin Uh ja Fh, jotka ovat alkuperäisten avaruuksien normien k · kU ja k · kF ruudukkoanalogeja. Sanotaan, että erokaavio (10.3) on konvergentti, jos ehto täyttyy muodossa h → 0

kUh (x, y) − Uh kU h → 0.

Jos ehto täyttyy

kUh (x, y) − Uh kU h 6 chs ,

missä c on h:sta riippumaton vakio ja s > 0, niin sanotaan, että konvergenssi on luokkaa s olevalla nopeudella suhteessa h:ään.

He sanovat, että erokaavio (10.3) approkimoi tehtävää (10.2) ratkaisussa U(x, y), jos

Lh (Uh (x, y)) = f(h) + δf(h) ja	δf(h) F h → 0 as h → 0.

Takaisin Ensimmäinen Edellinen Seuraava Viimeinen Siirry hakemistoon

Suuruutta δf(h) kutsutaan erotuskaavion approksimaatiovirheeksi tai residuaaliksi. Jos

δf (h) F h 6 Mh σ , jossa M on h:sta riippumaton vakio ja σ > 0, niin sanotaan, että erokaavio ( 10.3 ) ratkaisussa U(x, y), jonka virhe on suuruusluokkaa σ suhteessa h:ään.

Erokaaviota (3) kutsutaan stabiiliksi, jos on olemassa h0 > 0 siten, että kaikille h:ille< h0 и любых f(h) Fh выполняются условия

	Erotuskaaviolla (10.3) on ainutlaatuinen ratkaisu;
	U (h) U h			f(h) F h , jossa M on h:sta ja f(h):sta riippumaton vakio.

Toisin sanoen erokaavio on stabiili, jos sen ratkaisu riippuu jatkuvasti syöttötiedoista. Stabiili luonnehtii kaavion herkkyyttä erityyppisille virheille, se on erotusongelman sisäinen ominaisuus, eikä tämä ominaisuus liity suoraan alkuperäiseen differentiaaliongelmaan, toisin kuin konvergenssi ja approksimaatio. Konvergenssin, approksimoinnin ja stabiilisuuden käsitteiden välillä on yhteys. Se koostuu siitä, että konvergenssi seuraa approksimaatiosta ja stabiilisuudesta.

Lause 1 Olkoon erokaavio L h (U h (x, y)) = f (h) lähentelee ongelmaa L(U) = f ratkaisussa U(x, y), jonka kertaluku s suhteessa h:iin ja kestävää. Silloin tämä kaavio konvergoituu ja sen konvergenssijärjestys osuu yhteen approksimaatiojärjestyksen kanssa, ts. se olisi oikeudenmukainen arvio

Uh (x, y) − Uh Uh 6 khs ,

missä k on h:sta riippumaton vakio.

Todiste . Approksimaation määritelmän mukaan meillä on

(h) F h 6 M(Chs) = Khs,

jossa K = MC. Siten estimaatti (10.4) muodostetaan ja lause todistetaan. Tyypillisesti ruudukkomenetelmän soveltaminen on seuraava:

1. Ensin määritellään ruudukon valintasääntö, ts. menetelmä alueen D ja ääriviivan D korvaamiseksi jollain verkkoalueella. Useimmiten ruudukko valitaan suorakaiteen muotoiseksi ja yhtenäiseksi.

2. Sitten yksi tai useampi erokaavio määritellään ja rakennetaan. Approksimointiehto tarkistetaan ja sen järjestys määritetään.

3. Rakennettujen erokaavioiden stabiilius on todistettu. Tämä on yksi tärkeimmistä ja vaikeimmista asioista. Jos erotuskaaviolla on approksimaatio ja stabiilisuus, niin konvergenssi arvioidaan todistetun lauseen perusteella.

4. Tarkastellaan kysymystä erotuskaavioiden numeerisesta ratkaisusta.

SISÄÄN Lineaaristen erotusmenetelmien tapauksessa tämä on lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä. Tällaisten järjestelmien järjestys voi olla suuri.

Takaisin Ensimmäinen Edellinen Seuraava Viimeinen Siirry hakemistoon

Esimerkki 1. Elliptisen Poisson-yhtälön erotuskaavio.

Tarkastellaan yhtälön ensimmäisen raja-arvotehtävän erotuskaavion rakentamista A u = f(x,y) alueella, joka on suorakulmio, jonka sivut ovat yhdensuuntaiset koordinaattiakselien kanssa. Liitä tämä suorakulmio yhtenäiseen ruudukkoon, jossa on askelmia h x Ja h v .

Raja-arvoongelma

voidaan kirjoittaa operaattorimuodossa:

Huomaa, että tämä merkintä sisältää myös rajaehdot.

Korvaamalla differentiaalioperaattorit differentiaalioperaattoreilla, saadaan yhtälöt

jotka approksimoivat alkuperäistä differentiaaliyhtälöä toisen kertaluvun kanssa 0(t 2 + h 2) tarkkuus ja toiminta alueen kaikissa sisäisissä pisteissä.

Rajaehtojen eroanalogeilla on muoto

Differentiaaliyhtälön differentiaaliapproksimaatio yhdessä rajaehtojen differentiaalianalogien kanssa muodostavat erokaavion Poissonin yhtälölle.

Analogisesti raja-arvoongelman kanssa erotuskaavio voidaan kirjoittaa operaattorimuotoon:

missä L/:ssä sekä differentiaaliyhtälö että erotuksen rajaehto sisältyvät:

Erotusyhtälö yhdistää ruudukkofunktion arvot viidessä muodostumispisteessä ero kuvio tälle yhtälölle. Tässä tapauksessa tätä mallia kutsutaan ylittää. Voidaan kuvitella muita malleja tälle yhtälölle.

Saamme likimääräisen ratkaisun differentiaaliraja-arvoongelmaan, jos määritämme ruudukkofunktion arvot alueen kaikissa sisäisissä solmuissa. Tätä varten on tarpeen ratkaista yhdessä algebrallisten lineaaristen yhtälöiden järjestelmä, jonka ulottuvuus on yhtä suuri kuin alueen sisäisten solmujen lukumäärä. Tässä tapauksessa puhumme implisiittisestä erojärjestelmästä. Mikä tahansa arvo, josta olemme kiinnostuneita Uij voidaan määrittää vain koko erotehtävän ratkaisusta.

Mitä tulee yhtälöjärjestelmään, huomaamme kaksi seikkaa.

• 1. Järjestelmällä on erittäin suuri mitta (M - 1) x (N- 1), ja perinteiset tarkan ratkaisun menetelmät (esim. Gaussin menetelmä) edellyttävät ratkaisuun useita algebrallisia operaatioita, jotka ovat verrannollisia järjestelmän dimension kolmanteen potenssiin.
• 2. Järjestelmämatriisissa on useita nollaelementtejä (löysä matriisi). Tämä seikka mahdollistaa taloudellisten menetelmien kehittämisen likimääräisiin ratkaisuihin.

Tarkasteltu erotehtävän muotoilu on tyypillinen elliptisille yhtälöille. Kaasudynamiikassa tämä on virtafunktion tai nopeuspotentiaalin yhtälön muoto. Muissa osissa tarkastellaan tehokkaita menetelmiä tällaisten erojärjestelmien ratkaisemiseksi.

Riisi. 2.8.

PRI M 2. Erotuskaavio yksinkertaisimmalle paraboliselle yhtälölle (ei-stationaarinen lämmönjohtavuus yksikköpituisessa sauvassa).

Harkitse seuraavaa ongelmaa:

Huomaa, että parabolisen yhtälön tapauksessa meillä on avoin alue. Erotuskaaviota rakennettaessa syntyy useita vaihtoehtoja eroderivaatojen yhteydelle tilassa ja ajassa.

Integroidaan yhtälö yhden aikavaiheen sisällä:

Riippuen siitä, mitä kvadratuurikaavaa käytämme oikean puolen integraalin laskemiseen, saadaan erilaisia ​​erotuskaavioita (kuva 2.9).

Suhteuttaa eron aikaderivaatta määritettyyn paikkaderivaataan P-th time kerros, saamme

selkeä "erojärjestelmä"

Tämä vastaa likimääräistä laskentaa integraalista (2.12) oikealla puolella, mutta käyttämällä vasemmanpuoleisten suorakulmioiden menetelmää.

Riisi. 2.9. Ruudukko ja mallit lämpöyhtälölle: A - alue ja verkko; b- eksplisiittinen skeemamalli; V- implisiittinen skeemamalli; G- malli kuuden pisteen piirien perheestä; d- kaaviomalli

"pukkihyppy"

Yllä oleva kaava sisältää myös menetelmän ruudukkoyhtälöiden ratkaisemiseksi:

Ruudukkofunktion arvo seuraavassa aikakerroksessa

määritetään edellisen gf:n tunnettujen arvojen kautta. Liikkuu peräkkäin kerroksittain alkuperäisestä tilasta heidän, 0) = y(x), ratkaisu löytyy koko laskennan alueelta. Tämän kaavion erokuvio on esitetty kuvassa. 2.9, b.

Integraalin estimoiminen kerroksen integrandin arvon kautta P+ 1, käytämme erotusmallia, kuten kuva. 2.9, b, ja differentiaaliyhtälön differentiaalianalogi saa muodon

Jotta ruudukkofunktion arvot löydettäisiin seuraavalla aikakerroksella, tätä erotuskaaviota käytettäessä on ratkaistava yhdessä niin monta muodon (2.14) yhtälöä kuin on sisäisiä solmuja. P - 1-1 väliaikainen kerros. Ottaen huomioon reunaehdot = / n+1, Mg Г +1 = m n+1, järjestelmä antaa meille mahdollisuuden rakentaa ratkaisu seuraavalle aikakerrokselle, jossa edellisen ruudukon funktion arvot tunnetaan. Siirtymällä alkuarvoista kerroksissa, joista jokaisessa on tarpeen ratkaista yhtälöjärjestelmä, on mahdollista rakentaa likimääräinen ratkaisu koko alueelle.

Tarkasteltu erokaavio on esimerkki implisiittinen erojärjestelmä, sitä kutsutaan ennakointisuunnitelmaksi tai puhtaasti implisiittiseksi suunnitelmaksi.

Kuuden pisteen erokuvio muodostaa perheen erokaavioita, joista kaksi edellistä ovat erikoistapauksia:

klo a = 0 meillä on selkeä suunnitelma, jossa a = I- implisiittinen etukäteen, kanssa A> 0 - implisiittinen. klo A - 0,5 saadaan symmetrinen, joka on laajalti tunnettu laskentakäytännössä Crank Nicholsonin kaavio.

Yllä olevat kaaviot eivät tietenkään tyhjennä differentiaalioperaattoreiden eroapproksimaatioihin perustuvien erokaavioiden koko valikoimaa. Tässä on esimerkki eksplisiittisestä erotusskeemasta, joka perustuu aikaderivaattakeskitykseen, joka käyttää ruudukkotoimintoa kolmella aikakerroksella:

Erotuskuvio kaappaa kolme aikakerrosta. Kaaviolla on toisen kertaluvun approksimaatio sekä ajallisesti että tilamuuttujassa ja se on eksplisiittinen. Tällä järjestelmällä on useita merkittäviä haittoja, joista suurin osa voidaan poistaa vaihtamalla Ja” spatiaalisen derivaatan approksimaatiossa kahden aikakerroksen keskiarvolla:

Näin saatu eksplisiittinen kolmikerroksinen kaavio

nimeltään Dufortpe-Frankelin järjestelmä, ja ruudukon funktion arvon puuttuminen keskussolmussa selittää nimen "hyppyfrog", jota joskus käytetään tällaisissa järjestelmissä.

Esimerkkien avulla osoitettiin, että samalle raja-arvotehtävälle on mahdollista kirjoittaa useita erilaisia ​​erotuskaavioita, ts. Tutkijalla on käytössään melko laaja valikoima. Mitä ehtoja erokaavion tulee täyttää, jotta eroratkaisu vastaa alkuperäisen differentiaalitehtävän ratkaisua? Tätä asiaa käsitellään seuraavassa osiossa.

Lämpöyhtälö approksimoidaan käyttämällä mallia ratkaisualueen jokaiselle sisäiselle solmulle

Täältä löydämme:

Alku- ja reunaehtoja käyttämällä ruudukkofunktion arvot löytyvät kaikista solmuista nollaaikatasolla.

Sitten suhteiden käyttö

näiden funktioiden arvot löytyvät kaikista sisäisistä solmuista ensimmäisellä aikatasolla, jonka jälkeen löydämme arvon rajasolmuista

Tämän seurauksena löydämme ominaisuuksien arvon kaikista solmuista ensimmäisellä aikatasolla. Sen jälkeen näitä suhteita käyttämällä löydämme kaikki muut arvot jne.

Tarkasteltavassa erokaaviossa halutun funktion arvo seuraavalla aikatasolla löydetään suoraan, eksplisiittisesti kaavan avulla

Siksi tätä mallia käyttävää erotuskaaviota kutsutaan selkeä erojärjestelmä . Sen tarkkuus on suuruusluokkaa.

Tämä erotusjärjestelmä on helppokäyttöinen, mutta sillä on merkittävä haittapuoli. Osoittautuu, että nimenomainen ero järjestelmä on vakaa ratkaisu vain siinä tapauksessa, jos ehto täyttyy :

Selkeä erokaavio on ehdollisesti vakaa . Jos ehto ei täyty, niin pienet laskentavirheet, jotka liittyvät esimerkiksi tietokonetietojen pyöristämiseen, johtavat ratkaisun jyrkkään muutokseen. Ratkaisusta tulee käyttökelvoton. Tämä ehto asettaa aikavaiheelle erittäin tiukat rajoitukset, mikä ei ehkä ole hyväksyttävää, koska tämän ongelman ratkaisemiseen tarvittava laskenta-aika on pidentynyt merkittävästi.

Harkitse erokaaviota eri mallilla

Menetelmä 36

Implisiittinen erokaavio lämpöyhtälölle.

Korvataan lämmönjohtavuusyhtälöön:

Tämä relaatio kirjoitetaan kullekin sisäiselle solmulle aikatasolla ja sitä täydentää kaksi relaatiota, jotka määrittävät arvot rajasolmuissa. Tuloksena on yhtälöjärjestelmä funktion tuntemattomien arvojen määrittämiseksi aikatasolla.

Kaava ongelman ratkaisemiseksi on seuraava:

Alku- ja reunaehtoja käyttämällä funktion arvo löydetään nollaaikatasolta. Sitten näitä suhteita ja reunaehtoja käyttäen konstruoidaan lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä funktion arvon löytämiseksi ensimmäisellä aikatasolla, minkä jälkeen järjestelmä rakennetaan uudelleen näitä suhteita käyttäen ja arvot löydetään. toisella aikatasolla jne.

Ero eksplisiittiseen malliin- arvoja seuraavalla aikatasolla ei lasketa suoraan valmiilla kaavalla, vaan ne löydetään ratkaisemalla yhtälöjärjestelmä, ts. tuntemattomien arvot löydetään implisiittisesti ratkaisemalla SLAE. Siksi erotuskaaviota kutsutaan implisiittiseksi. Toisin kuin eksplisiittinen, implisiittinen on ehdottoman vakaa.

Aihe nro 9

Optimointiongelmia.

Nämä ongelmat ovat sovelletun matematiikan tärkeimpiä ongelmia. Optimointi tarkoittaa valita paras vaihtoehto kaikista mahdollisista ratkaisuista tiettyyn ongelmaan. Tätä varten on välttämätöntä muotoilla ratkaistava ongelma matemaattisena, antamalla paremman tai huonomman käsitteille määrällinen merkitys. Tyypillisesti ratkaisuprosessin aikana on tarpeen löytää optimoidut parametriarvot. Näitä parametreja kutsutaan design. Ja suunnitteluparametrien määrä määrittää ongelman ulottuvuus.

Ratkaisun kvantitatiivinen arvio tehdään tietyllä funktiolla suunnitteluparametreista riippuen. Tätä toimintoa kutsutaan kohde . Se on rakennettu siten, että optimaalinen arvo vastaa maksimiarvoa (minimi).

- tavoitefunktio.

Yksinkertaisimmat tapaukset ovat, kun tavoitefunktio riippuu yhdestä parametrista ja se määritellään eksplisiittisellä kaavalla. Kohdetoimintoja voi olla useita.

Esimerkiksi lentokonetta suunniteltaessa on samanaikaisesti varmistettava maksimaalinen luotettavuus, pienin paino ja hinta jne. Tällaisissa tapauksissa syötä prioriteettijärjestelmä . Jokaiselle tavoitefunktiolle on määritetty tietty tavoitekerroin, mikä johtaa yleiseen tavoitefunktioon (vaihtofunktio).

Tyypillisesti optimaalista ratkaisua rajoittavat useat ongelman fyysiseen toimintaan liittyvät olosuhteet. Nämä ehdot voivat olla tasa-arvoisuuden tai eriarvoisuuden muodossa

Teoria ja menetelmät optimointiongelmien ratkaisemiseksi rajoitusten läsnä ollessa ovat tutkimuksen kohteena yhdellä soveltavan matematiikan haarasta - matemaattinen ohjelmointi.

Jos tavoitefunktio on lineaarinen suunnitteluparametrien suhteen ja myös parametreille asetetut rajoitukset ovat lineaarisia, niin lineaarisen ohjelmoinnin ongelma . Tarkastellaan menetelmiä yksiulotteisen optimointitehtävän ratkaisemiseksi.

On löydettävä arvot, joilla tavoitefunktiolla on maksimiarvo. Jos tavoitefunktio määritellään analyyttisesti ja sen derivaateille löytyy lauseke, niin optimaalinen ratkaisu saavutetaan joko segmentin päissä tai kohdissa, joissa derivaatta katoaa. Nämä ovat kriittisiä kohtia ja . On tarpeen löytää tavoitefunktion arvot kaikista kriittisistä pisteistä ja valita suurin.

Yleensä ratkaisun löytämiseen käytetään erilaisia ​​hakumenetelmiä. Tämän seurauksena optimaalisen ratkaisun sisältävä segmentti kapenee.

Katsotaanpa joitain hakumenetelmiä. Oletetaan, että välin tavoitefunktiolla on yksi maksimi. Tässä tapauksessa jakamalla solmupisteillä, joiden lukumäärä on , tavoitefunktio lasketaan näistä solmupisteistä. Oletetaan, että tavoitefunktion maksimiarvo on solmupisteessä, jolloin voidaan olettaa, että optimaalinen ratkaisu sijaitsee välissä. Tämän seurauksena optimaalisen ratkaisun sisältävä segmentti kavensi. Tuloksena oleva uusi segmentti jaetaan jälleen osiin jne. Jokaisella osiolla optimaalisen ratkaisun sisältävä segmentti pienenee kertoimella.

Oletetaan, että kaventamisvaiheet on suoritettu. Sitten alkuperäinen segmentti pienennetään kertoimella.

Eli teemme sen, kun se on käynnissä (*)

Tässä tapauksessa tavoitefunktio lasketaan.

On löydettävä sellainen arvo, että lauseke (*) saadaan pienimmällä

laskelmien määrä.

Menetelmä 37

Puolijakomenetelmä.

Harkitse hakumenetelmää . Sitä kutsutaan puolitusmenetelmäksi, koska jokaisessa vaiheessa optimaalisen ratkaisun sisältävä segmentti puolitetaan.

Haun tehokkuutta voidaan lisätä valitsemalla erityisesti pisteet, joissa tavoitefunktio lasketaan tietyssä kaventamisvaiheessa.

Menetelmä 38

Kultainen leikkausmenetelmä.

Yksi tehokas tapa on kultaisen leikkauksen menetelmä. Janan kultainen leikkaus on piste, jonka ehto täyttyy

Tällaisia ​​pisteitä on kaksi: =0,382 +0,618

0,618 +0,382 .

Jana jaetaan pisteillä ja sitten löydetään piste, jossa tavoitefunktio on maksimi. Tuloksena löytyy muunneltu segmentti, jonka pituus on 0,618( - ).

Yksi kultaleikkauksen arvo kavennetulle segmentille on jo tiedossa, joten jokaisessa seuraavassa vaiheessa on tarpeen laskea tavoitefunktio vain yhdessä pisteessä (kultaisen leikkauksen toinen piste).

Menetelmä 39

Koordinaatti-koordinaattien nousu (lasku) menetelmä.

Siirrytään tarkastelemaan optimointiongelmaa siinä tapauksessa, että tavoitefunktio riippuu useista parametriarvoista. Yksinkertaisin hakumenetelmä on koordinaattikohtaisesti nousu (lasku) -menetelmä.