Aineelliselle pisteelle dynamiikan peruslaki voidaan esittää muodossa

Kertomalla tämän suhteen molemmat puolet vasemmalla vektoriaalisesti sädevektorilla (kuva 3.9), saadaan

(3.32)

Tämän kaavan oikealla puolella on voimamomentti suhteessa pisteeseen O. Muunnamme vasemman puolen soveltamalla vektoritulon derivaatan kaavaa

Mutta rinnakkaisten vektoreiden vektoritulona. Tämän jälkeen saamme

(3.33)

Ensimmäinen derivaatta pisteen liikemäärän ajan suhteen suhteessa mihin tahansa keskustaan ​​on yhtä suuri kuin voimamomentti suhteessa samaan keskustaan.

Esimerkki järjestelmän kulmamomentin laskemisesta. Laske kineettinen momentti suhteessa pisteeseen O systeemille, joka koostuu lieriömäisestä akselista, jonka massa on M = 20 kg ja säde R = 0,5 m ja laskeutuvasta kuormasta, jonka massa on m = 60 kg (kuva 3.12). Akseli pyörii Oz-akselin ympäri kulmanopeudella ω = 10 s -1.

Kuva 3.12

; ;

Annetuille syöttötiedoille järjestelmän kulmamomentti

Lause järjestelmän kulmamomentin muutoksesta. Sovellamme tuloksena olevia ulkoisia ja sisäisiä voimia järjestelmän jokaiseen pisteeseen. Jokaiselle järjestelmän pisteelle voidaan soveltaa kulmamomentin muutosta koskevaa lausetta esimerkiksi muodossa (3.33)

Summaamalla järjestelmän kaikki kohdat ja ottaen huomioon, että johdannaisten summa on yhtä suuri kuin summan derivaatta, saadaan

Määrittämällä järjestelmän kineettinen momentti sekä ulkoisten ja sisäisten voimien ominaisuudet

Siksi tuloksena oleva suhde voidaan esittää muodossa

Järjestelmän kulmamomentin ensimmäinen aikaderivaata minkä tahansa pisteen suhteen on yhtä suuri kuin järjestelmään vaikuttavien ulkoisten voimien päämomentti suhteessa samaan pisteeseen.

3.3.5. Voiman työtä

1) Voiman perustyö on yhtä suuri kuin voiman ja voiman kohdistamispisteen vektorin differentiaalisäteen skalaaritulo (kuva 3.13)

Kuva 3.13

Lauseke (3.36) voidaan kirjoittaa myös seuraavissa vastaavissa muodoissa

missä on voiman projektio voiman kohdistamispisteen nopeuden suuntaan.

2) Voiman käyttö lopullisessa siirtymässä

Integroimalla voiman perustyö saadaan seuraavat lausekkeet voiman vaikutukselle lopullisessa siirtymässä pisteestä A pisteeseen B

3) Vakiovoiman työ

Jos voima on vakio, niin se seuraa (3.38):sta

Vakiovoiman työ ei riipu liikeradan muodosta, vaan riippuu vain voiman kohdistamispisteen siirtymävektorista.

4) Painovoiman työ

Painovoimalle (kuva 3.14) ja arvolle (3.39) saadaan

Kuva 3.14

Jos liike tapahtuu pisteestä B pisteeseen A, niin

Yleisesti

“+”-merkki vastaa voimankäyttöpisteen liikettä alaspäin, “-”-merkki – ylöspäin.

4) Kimmovoiman työ

Olkoon jousen akseli suunnattu x-akselia pitkin (kuva 3.15), ja jousen pää siirtyy pisteestä 1 pisteeseen 2, niin saadaan kohdasta (3.38)

Jos jousen jäykkyys on Kanssa, niin sitten

A (3.41)

Jos jousen pää siirtyy pisteestä 0 pisteeseen 1, niin tässä lausekkeessa korvataan , , jolloin kimmovoiman työ saa muodon

(3.42)

missä on jousen venymä.

Kuva 3.15

5) Pyörivään kappaleeseen kohdistetun voiman työ. Tämän hetken työtä.

Kuvassa Kuvassa 3.16 on esitetty pyörivä kappale, johon kohdistetaan mielivaltainen voima. Pyörimisen aikana tämän voiman kohdistamispiste liikkuu ympyrässä.

Ensimmäisen kerran pisteen kulmamomentin derivaatta suhteessa mihin tahansa keskustaan ​​on yhtä suuri kuin voimamomentti suhteessa samaan keskustaan:

Projisoimalla (171) suorakulmaisille suorakulmaisille koordinaattiakseleille saadaan lauseita pisteen kulmamomentin muutoksesta suhteessa näihin koordinaattiakseleihin:

,
,
. (171")

Lause järjestelmän kulmamomentin muutoksesta

Järjestelmän kulmamomentin ensimmäinen aikaderivaata minkä tahansa pisteen suhteen on yhtä suuri kuin järjestelmään vaikuttavien ulkoisten voimien momenttien vektorisumma suhteessa samaan pisteeseen.

, (172)

Missä
– järjestelmän kaikkien ulkoisten voimien päämomentti.

Projisoimalla (172) suorakulmaisille suorakulmaisille koordinaattiakseleille saadaan lauseita järjestelmän kulmamomentin muutoksesta suhteessa näihin koordinaattiakseleihin, ts.

,
,
. (172")

Kineettisten momenttien säilymisen lait

1. Jos järjestelmän ulkoisten voimien päämomentti suhteessa pisteeseen on yhtä suuri kuin nolla, ts.
, sitten (79) järjestelmän kulmamomentti
suhteessa samaan pisteeseen on suuruudeltaan ja suunnaltaan vakio, ts.

. (173)

Tätä järjestelmän kulmamomentin muutosta koskevan lauseen erikoistapausta kutsutaan liikemäärän säilymislaki. Projektioina suorakaiteen muotoisille suorakulmaisille koordinaattiakseleille tämän lain mukaisesti

,
,
,

Missä ,,– vakioarvot.

2. Jos järjestelmän kaikkien ulkoisten voimien momenttien summa suhteessa akseliin
on yhtä suuri kuin nolla, ts.
, sitten (172"):sta seuraa, että

. (174)

Siten, järjestelmän kulmamomentti minkä tahansa koordinaattiakselin suhteen on vakio, jos ulkoisten voimien momenttien summa suhteessa tähän akseliin on nolla, mikä havaitaan erityisesti silloin, kun ulkoiset voimat ovat yhdensuuntaisia ​​akselin kanssa tai leikkaavat sen. Erityistapauksessa rungosta tai kappalejärjestelmästä, joka voi kaikki pyöriä kiinteän akselin ympäri, ja jos samaan aikaan

,

, tai
, (175)

Missä Ja – kappaleiden järjestelmän hitausmomentti ja niiden kulmanopeus suhteessa pyörimisakseliin mielivaltaisella ajanhetkellä ;Ja – kappaleiden hitausmomentti ja niiden kulmanopeus alkuperäiseksi valitulla ajanhetkellä.

Differentiaaliyhtälö jäykän kappaleen pyörimiselle kiinteän akselin ympäri

Kulmamomentin muutosta (172") koskevasta lauseesta seuraa differentiaaliyhtälö jäykän kappaleen pyörimiselle kiinteän akselin ympäri
:

, (176)

Missä – rungon kiertokulma.

Differentiaaliyhtälö jäykän kappaleen pyörimisliikkeelle yleisessä tapauksessa mahdollistaa kahden pääongelman ratkaisemisen: määritä kappaleen tietystä kierrosta ulkoisten voimien vääntömomentti ja löydä tietystä pyörimismomentista ja alkuolosuhteista. kehon pyöriminen. Kun ratkaistaan ​​toinen ongelma, pyörimiskulman löytämiseksi, on tarpeen integroida pyörivän liikkeen differentiaaliyhtälö. Sen integrointimenetelmät ovat täysin samanlaisia ​​kuin tarkasteltavat menetelmät pisteen suoraviivaisen liikkeen differentiaaliyhtälön integroimiseksi.

Lause suhteellisessa liikkeessä olevan järjestelmän liikemäärän muutoksesta suhteessa massakeskipisteeseen

Anna mekaanisen järjestelmän liikkua suhteessa pääkoordinaattijärjestelmään
. Otetaan liikkuva koordinaattijärjestelmä
jonka alkupiste on järjestelmän massakeskipisteessä , liikkuu translaatiosuunnassa suhteessa pääkoordinaattijärjestelmään. Voit todistaa kaavan oikeellisuuden:

Missä - massakeskuksen absoluuttinen nopeus,
.

Suuruus
on järjestelmän kineettinen momentti suhteessa massakeskipisteeseen suhteellisessa liikkeessä suhteessa koordinaattijärjestelmään, joka liikkuu translaatiosuunnassa massakeskuksen mukana, eli järjestelmään
.

Kaava (176) osoittaa sen järjestelmän absoluuttisen liikkeen kulmamomentti suhteessa kiinteään pisteeseen on yhtä suuri kuin massakeskipisteen kulmaliikemäärän vektorisumma suhteessa samaan pisteeseen, jos järjestelmän koko massa olisi keskittynyt massakeskipisteeseen, ja järjestelmän liikemäärä suhteessa massakeskukseen järjestelmän suhteellinen liike suhteessa liikkuvaan koordinaattijärjestelmään, joka liikkuu translaationaalisesti massakeskuksen kanssa.

Lause järjestelmän kulmamomentin muutoksesta suhteessa massakeskipisteeseen suhteellisessa liikkeessä järjestelmä suhteessa koordinaattijärjestelmään, joka liikkuu translaationaalisesti massakeskuksen kanssa; se on muotoiltu samalla tavalla kuin jos massakeskipiste olisi kiinteä piste:

tai
, (178)

Missä
on kaikkien ulkoisten voimien päämomentti suhteessa massakeskukseen.

Yleisiä lauseita kappalejärjestelmän dynamiikasta. Lauseet massakeskuksen liikkeestä, liikemäärän muutoksesta, pääkulmamomentin muutoksesta, liike-energian muutoksesta. D'Alembertin periaatteet ja mahdolliset liikkeet. Yleinen dynamiikan yhtälö. Lagrangen yhtälöt.

Sisältö

Voiman tekemä työ, on yhtä suuri kuin voimavektorien skalaaritulo ja sen sovelluspisteen äärettömän pieni siirtymä:
,
eli vektorien F ja ds absoluuttisten arvojen tulo niiden välisen kulman kosinilla.

Voiman hetkellä tehty työ, on yhtä suuri kuin vääntömomenttivektorien ja äärettömän pienen pyörimiskulman skalaaritulo:
.

d'Alembertin periaate

D'Alembertin periaatteen ydin on pelkistää dynamiikan ongelmat staattisiksi ongelmiksi. Tätä varten oletetaan (tai tiedetään etukäteen), että järjestelmän kappaleilla on tietyt (kulma)kiihtyvyydet. Seuraavaksi otetaan käyttöön inertiavoimat ja (tai) inertiavoimien momentit, jotka ovat suuruudeltaan samansuuruisia ja suunnaltaan vastakkaisia ​​voimien voimien ja momenttien kanssa, jotka mekaniikan lakien mukaan aiheuttaisivat tietyn kiihtyvyyden tai kulmakiihtyvyyden.

Katsotaanpa esimerkkiä. Keho käy läpi translaatioliikettä ja siihen vaikuttavat ulkoiset voimat. Lisäksi oletetaan, että nämä voimat luovat järjestelmän massakeskuksen kiihtyvyyden. Massakeskuksen liikettä koskevan lauseen mukaan kappaleen massakeskipisteellä olisi sama kiihtyvyys, jos kappaleeseen vaikuttaisi voima. Seuraavaksi esittelemme hitausvoiman:
.
Tämän jälkeen dynamiikkaongelma:
.
;
.

Pyörimisliikkeessä toimi samalla tavalla. Pyöritään kappale z-akselin ympäri ja siihen vaikuttavat ulkoiset voimamomentit M e zk .
.
Oletetaan, että nämä momentit luovat kulmakiihtyvyyden ε z.
;
.

Seuraavaksi esitellään hitausmomentti M И = - J z ε z.

Tämän jälkeen dynamiikkaongelma:

Muuttuu staattiseksi ongelmaksi:.
Mahdollisten liikkeiden periaate

Staattisten ongelmien ratkaisemisessa käytetään mahdollisten siirtymien periaatetta. Joissakin tehtävissä se antaa lyhyemmän ratkaisun kuin tasapainoyhtälöiden muodostaminen. Tämä pätee erityisesti järjestelmiin, joissa on liitännät (esimerkiksi kierteillä ja lohkoilla yhdistetyt runkojärjestelmät), jotka koostuvat useista kappaleista Mahdollisten liikkeiden periaate

Ihanteellisilla kytkennöillä varustetun mekaanisen järjestelmän tasapainoa varten on välttämätöntä ja riittävää, että kaikkien siihen vaikuttavien aktiivisten voimien perustöiden summa järjestelmän mahdolliselle liikkeelle on yhtä suuri kuin nolla. Mahdollinen järjestelmän siirto

- tämä on pieni liike, jossa järjestelmän liitännät eivät katkea.

D'Alembert-Lagrange -periaate on yhdistelmä D'Alembert-periaatetta mahdollisten liikkeiden periaatteeseen. Eli dynaamista ongelmaa ratkaistaessa otamme käyttöön inertiavoimia ja pelkistämme ongelman staattiseksi ongelmaksi, jonka ratkaisemme mahdollisten siirtymien periaatteella.

D'Alembert-Lagrangen periaate.
Kun mekaaninen järjestelmä, jossa on ihanteelliset kytkennät, liikkuu, jokaisena ajanhetkenä kaikkien kohdistettujen aktiivisten voimien ja kaikkien inertiavoimien perustöiden summa järjestelmän mahdolliseen liikkeeseen on nolla:
.
Tätä yhtälöä kutsutaan yleinen dynamiikan yhtälö.

Lagrangen yhtälöt

Yleistetyt q-koordinaatit 1, q 2, ..., q n on joukko n määrää, jotka määrittävät yksiselitteisesti järjestelmän sijainnin.

Yleistettyjen koordinaattien määrä n on sama kuin järjestelmän vapausasteiden lukumäärä.

Yleiset nopeudet ovat yleistettyjen koordinaattien derivaattoja ajan t suhteen.

Yleiset voimat Q 1, Q2, ..., Qn .
Tarkastellaan järjestelmän mahdollista liikettä, jossa koordinaatti q k saa liikkeen δq k.
Loput koordinaatit pysyvät ennallaan. Olkoon δA k ulkoisten voimien tekemä työ tällaisen liikkeen aikana. Sitten
.

δA k = Q k δq k, tai
Jos järjestelmän mahdollisen liikkeen yhteydessä kaikki koordinaatit muuttuvat, ulkoisten voimien tekemä työ tällaisen liikkeen aikana on muotoa: δA = Q.
1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n
.

Tällöin yleistyneet voimat ovat siirtymätyön osittaisia ​​johdannaisia: Mahdollisille voimille
.

potentiaalilla Π, Lagrangen yhtälöt

- nämä ovat mekaanisen järjestelmän liikeyhtälöt yleistetyissä koordinaateissa:
.

Tässä T on liike-energia. Se on yleistettyjen koordinaattien, nopeuksien ja mahdollisesti ajan funktio. Siksi sen osittaisderivaata on myös yleistettyjen koordinaattien, nopeuksien ja ajan funktio. Seuraavaksi sinun on otettava huomioon, että koordinaatit ja nopeudet ovat ajan funktioita. Siksi, jotta voit löytää kokonaisderivaatan ajan suhteen, sinun on sovellettava kompleksisen funktion differentiaatiosääntöä:
Viitteet:

S. M. Targ, teoreettisen mekaniikan lyhyt kurssi, "Higher School", 2010.

Lause järjestelmän liikemäärän muutoksesta

Voimaimpulssin käsite antaa meille mahdollisuuden muotoilla lauseen järjestelmän liikemäärän muutoksesta mielivaltaisille järjestelmille:

Lause materiaalin pisteen liikemäärän (kulmamomentin) muutoksesta

Harkitse materiaalia M massa m , liikkuu voiman vaikutuksen alaisena F (Kuva 3.1). Kirjoitetaan muistiin ja rakennetaan liikemäärän vektori (kineettinen liikemäärä) M 0 materiaalipiste suhteessa keskustaan O :

Kuva 3.1

Erotetaan kulmamomentin (kineettisen momentin) lauseke k 0) ajan mukaan:

Koska DR /dt = V , sitten vektoritulo V ⊗ m⋅V (kollineaariset vektorit V Ja m⋅V ) on yhtä suuri kuin nolla. Samaan aikaan d(m⋅V) /dt = F aineellisen pisteen liikemäärää koskevan lauseen mukaan. Siksi saamme sen

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

Missä r ⊗F = M 0 (F) – vektori-voimamomentti F suhteessa kiinteään keskustaan O . Vektori k 0 ⊥ lentokone ( r,m ⊗V ) ja vektori M 0 (F) ⊥ lentokone ( r ,F ), meillä on vihdoin

dk 0 /dt = M 0 (F) . (3.4)

Yhtälö (3.4) ilmaisee lauseen materiaalin pisteen liikemäärän (kineettisen liikemäärän) muutoksesta keskustaan ​​nähden: aineellisen pisteen liikemäärän (kineettisen momentin) aikaderivaata suhteessa mihin tahansa kiinteään keskustaan ​​on yhtä suuri kuin voimamomentti, joka vaikuttaa pisteeseen suhteessa samaan keskustaan.

Projisoidaan yhtäläisyys (3.4) suorakulmaisten koordinaattien akseleille

dk x /dt = Mx(F); dk y /dt = M v(F); dk z /dt = Mz(F) . (3.5)

Yhtälöt (3.5) ilmaisevat lauseen materiaalipisteen liikemäärän (kineettisen liikemäärän) muutoksesta suhteessa akseliin: aineellisen pisteen liikemäärän (kineettisen momentin) aikaderivaata suhteessa mihin tahansa kiinteään akseliin on yhtä suuri kuin tähän pisteeseen vaikuttavan voiman momentti suhteessa samaan akseliin.

Tarkastellaan lauseiden (3.4) ja (3.5) seurauksia.

Seuraus 1. Harkitse tapausta, kun voima F koko liikkeen aikana piste kulkee paikallaan olevan keskustan läpi O (keskivoiman tapaus), ts. Kun M 0 (F) = 0. Sitten lauseesta (3.4) seuraa, että k 0 = konst ,

nuo. Keskivoiman tapauksessa materiaalipisteen kulmamomentti (kineettinen momentti) suhteessa tämän voiman keskustaan ​​pysyy suuruudeltaan ja suunnaltaan vakiona (kuva 3.2).

Kuva 3.2

Tilanteesta k 0 = konst tästä seuraa, että liikkuvan pisteen liikerata on tasainen käyrä, jonka taso kulkee tämän voiman keskipisteen kautta.

Seuraus 2. Antaa M z(F) = 0, ts. voima ylittää akselin z tai rinnakkain sen kanssa. Tässä tapauksessa, kuten kolmannesta yhtälöstä (3.5) voidaan nähdä, k z = konst ,

nuo. jos pisteeseen vaikuttavan voiman momentti suhteessa mihin tahansa kiinteään akseliin on aina nolla, niin pisteen kulmamomentti (kineettinen momentti) suhteessa tähän akseliin pysyy vakiona.

Harkitse materiaalia M massa m, liikkuu voiman vaikutuksen alaisena F(Kuva 3.1). Kirjoitetaan muistiin ja rakennetaan liikemäärän vektori (kineettinen liikemäärä) M0 aineellinen piste suhteessa keskustaan O:

Kuva 3.1

Erotetaan kulmamomentin (kineettisen momentin) lauseke k 0) ajan kanssa:

Koska dr/dt = V, sitten vektoritulo V × m∙V(kollineaariset vektorit V Ja m∙V) on yhtä suuri kuin nolla. Samaan aikaan d(m∙V)/dt=F aineellisen pisteen liikemäärää koskevan lauseen mukaan. Siksi saamme sen

dk 0/dt = r×F, (3.3)

Missä r × F = M 0 (F)– vektori-voimamomentti F suhteessa kiinteään keskustaan O. Vektori k 0⊥ lentokone ( r, m × V) ja vektori M0(F)⊥ lentokone ( r, F), meillä on vihdoin

dk 0 /dt = M 0 (F). (3.4)

Yhtälö (3.4) ilmaisee lauseen materiaalin pisteen liikemäärän (kulmamomentin) muutoksesta suhteessa keskustaan: aineellisen pisteen liikemäärän (kineettisen momentin) aikaderivaata suhteessa mihin tahansa kiinteään keskustaan ​​on yhtä suuri kuin voimamomentti, joka vaikuttaa pisteeseen suhteessa samaan keskustaan.

Projisoidaan yhtäläisyys (3.4) suorakulmaisten koordinaattien akseleille

dk x /dt = M x (F);

dk y / dt = K v (F);

dk z / dt = M z (F). (3.5)

Yhtälöt (3.5) ilmaisevat lauseen materiaalipisteen liikemäärän (kineettisen liikemäärän) muutoksesta suhteessa akseliin: aineellisen pisteen liikemäärän (kineettisen momentin) aikaderivaata suhteessa mihin tahansa kiinteään akseliin on yhtä suuri kuin tähän pisteeseen vaikuttavan voiman momentti suhteessa samaan akseliin.

Tarkastellaan lauseiden (3.4) ja (3.5) seurauksia.

Seuraus 1

Harkitse tapausta, kun voima F koko liikkeen aikana piste kulkee paikallaan olevan keskustan läpi O(keskivoiman tapaus), ts. Kun M 0 (F) = 0. Sitten Lauseesta (3.4) seuraa, että k 0 = vakio, nuo. Keskivoiman tapauksessa materiaalipisteen kulmamomentti (kineettinen momentti) suhteessa tämän voiman keskustaan ​​pysyy suuruudeltaan ja suunnaltaan vakiona(Kuva 3.2).

Kuva 3.2

Tilanteesta k 0 = vakio tästä seuraa, että liikkuvan pisteen liikerata on tasainen käyrä, jonka taso kulkee tämän voiman keskipisteen kautta.

Seuraus 2

Antaa Mz (F) = 0, eli voima ylittää akselin z tai rinnakkain sen kanssa.

Tässä tapauksessa, kuten kolmannesta yhtälöstä (3.5) voidaan nähdä, k z = vakio, nuo. jos pisteeseen vaikuttava voimamomentti suhteessa mihin tahansa kiinteään akseliin on aina nolla, niin pisteen kulmamomentti (kineettinen momentti) suhteessa tähän akseliin pysyy vakiona.