Tätä yhtälöä varten meillä on:

; (5.22)

. (5.23)

Viimeinen determinantti antaa ehdon a 3 > 0. Ehto Δ 2 > 0, jos arvo on 0 > 0, a 1 > 0 ja a 3 > 0, voi täyttyä vain arvolla 2 > 0.

Näin ollen kolmannen asteen yhtälölle ominaisyhtälön kaikkien kertoimien positiivisuus ei ole enää riittävä. On myös täytettävä tietty suhde kertoimien a 1 a 2 > a 0 a 3 välillä.

4. Neljännen kertaluvun yhtälö

Samalla tavalla kuin edellä tehtiin, voimme saada neljännen kertaluvun yhtälöön kaikkien kertoimien positiivisuuden lisäksi seuraavan ehdon:

Algebrallisten kriteerien, mukaan lukien Hurwitz-kriteerien, merkittävä haittapuoli on myös se, että korkean kertaluvun yhtälöillä voidaan parhaimmillaan saada vastaus siihen, onko automaattinen ohjausjärjestelmä vakaa vai epävakaa. Lisäksi epävakaan järjestelmän tapauksessa kriteeri ei vastaa, kuinka järjestelmän parametreja tulisi muuttaa, jotta se olisi vakaa. Tämä seikka johti muiden kriteerien etsimiseen, jotka olisivat kätevämpiä insinöörikäytännössä.

5.3. Mihailovin vakauskriteeri

Tarkastellaan erikseen ominaisyhtälön (5.7) vasenta puolta, joka on karakteristinen polynomi

Korvataan tähän polynomiin puhtaasti imaginaariarvo p = j, missä  edustaa ominaisratkaisun puhtaasti imaginaarista juuria vastaavan värähtelyn kulmataajuutta. Tässä tapauksessa saamme ominaiskompleksin

jossa reaaliosa sisältää parilliset taajuuden potenssit

ja kuvitteelliset – parittomat taajuuden potenssit

E

Riisi. 5.4. Mihailovin hodografi

Jos kaikki kertoimet ja tietty taajuusarvo on annettu, niin arvo D(j) kuvataan kompleksitasolla pisteenä, jonka koordinaatit on U ja V, tai vektorina, joka yhdistää tämän pisteen origoon. Jos taajuuden arvoa muutetaan jatkuvasti nollasta äärettömyyteen, niin vektori muuttuu suuruuden ja suunnan suhteen, kuvaamalla lopussa tiettyä käyrää (hodografia), jota ns. Mihailovin käyrä (Kuva 5.4).

Käytännössä Mihailov-käyrä muodostetaan pisteeltä, ja taajuuden  eri arvot määritellään ja U() ja V() lasketaan kaavoilla (5.28), (5.29). Laskentatulokset on koottu taulukkoon. 5.1.

Taulukko 5.1

Mihailov-käyrän rakentaminen

Tämän taulukon avulla muodostetaan itse käyrä (kuva 5.4).

Määritetään mikä vektorin D(j) kiertokulman  tulee olla yhtä suuri, kun taajuus  muuttuu nollasta äärettömään. Tätä varten kirjoitamme ominaispolynomin tekijöiden tulona

missä  1 –  n ovat ominaisyhtälön juuret.

Ominaisuusvektori voidaan sitten esittää seuraavasti:

Jokainen hakasulke edustaa kompleksilukua. Siksi D(j) on n kompleksiluvun tulo. Kerrottaessa kompleksilukujen argumentit lasketaan yhteen. Siksi tuloksena oleva vektorin D(j) kiertokulma on yhtä suuri kuin yksittäisten tekijöiden kiertokulmien summa (5.31), kun taajuus muuttuu nollasta äärettömään

Määritellään jokainen termi kohdassa (5.31) erikseen. Yleistääksesi ongelman, harkitse erityyppisiä juuria.

1. Olkoon jokin juuri, esimerkiksi  1 todellinen ja negatiivinen , eli 1 = – 1 . Tämän juuren määrittämä lausekkeen tekijä (5.31) on muotoa ( 1 + j). Tehdään tästä vektorista hodografi kompleksitasolla taajuuden muuttuessa nollasta äärettömään (Kuva 5.5, A). Kun= 0, reaaliosa on U= 1 ja imaginaariosa on V= 0. Tämä vastaa pistettä A, joka sijaitsee reaaliakselilla. Kohdassa0 vektori muuttuu siten, että sen reaaliosa on edelleen yhtä suuri kuin ja imaginaariosa V = (kaavion piste B). Taajuuden kasvaessa äärettömyyteen vektori menee äärettömään, ja vektorin pää pysyy aina pisteen A kautta kulkevalla pystysuoralla suoralla ja vektori pyörii vastapäivään.

Riisi. 5.5. Todelliset juuret

Tuloksena oleva vektorin kiertokulma  1 = +( / 2).

2. Olkoon nyt juuri  1 todellista ja positiivista , eli  1 = + 1. Silloin tämän juuren määrittämä tekijä (5.31):ssä on muotoa (– 1 + j). Samanlaiset rakenteet (kuva 5.5, b) osoittavat, että tuloksena oleva kiertokulma on 1 = –( / 2). Miinusmerkki osoittaa, että vektori pyörii myötäpäivään.

3. Olkoon kaksi konjugaattijuurta, esimerkiksi  2 ja  3 kompleksi negatiivisen reaaliosan kanssa , eli 2;3 = –±j. Vastaavasti näiden juurien määrittämät lausekkeen (5.31) tekijät ovat muodossa (–j + j)( + j + j).

Kun = 0, kahden vektorin alkupaikat määritetään pisteillä A 1 ja A 2 (kuva 5.6, A). Ensimmäistä vektoria kierretään myötäpäivään suhteessa todelliseen akseliin kulmalla, joka on yhtä suuri kuin arctg( / ), ja toista vektoria kierretään samalla kulmalla vastapäivään. Kun  kasvaa asteittain nollasta äärettömään, molempien vektorien päät nousevat äärettömään ja molemmat vektorit sulautuvat lopulta imaginaariseen akseliin.

Tuloksena ensimmäisen vektorin kiertokulma on  2 = ( / 2) + . Tuloksena oleva toisen vektorin kiertokulma 3 = ( / 2) –. Tuloa (–j + j)( + j + j) vastaava vektori pyörii kulman 2 +  3 = 2 / 2 = läpi.

Riisi. 5.6. Monimutkaiset juuret

4. Anna niiden olla samat monimutkaisilla juurilla on positiivinen reaaliosa , eli  2;3 = +±j.

Rakentamisen suorittaminen samalla tavalla kuin aiemmin tarkasteltu tapaus (kuva 5.6, b), saadaan tulokseksi saatu kiertokulma 2 +  3 = –2 / 2 = –.

Siten, jos ominaisyhtälössä on f juuria, joilla on positiivinen reaaliosa, niin mitä tahansa nämä juuret ovat (todellisia tai kompleksisia), ne vastaavat pyörimiskulmien summaa, joka on yhtä suuri kuin –f ( / 2). Kaikki muut ominaisyhtälön (n – f) juuret, joilla on negatiiviset reaaliosat, vastaavat kiertokulmien summaa, joka on yhtä suuri kuin +(n – f)( / 2). Tämän seurauksena vektorin D(j) kokonaiskiertokulma, kun taajuus muuttuu nollasta äärettömään kaavan (5.32) mukaisesti

 = (n – f)( / 2) –f( / 2) = n ( / 2) –f .

(5.33)

Tämä lauseke määrittää halutun yhteyden Mihailov-käyrän muodon ja ominaisyhtälön juurien reaaliosien merkkien välillä. Vuonna 1936 A.V. Mikhailov muotoili seuraavan vakauskriteerin minkä tahansa luokan lineaarisille järjestelmille.  N:nnen kertaluvun järjestelmän stabiilisuuden kannalta on välttämätöntä ja riittävää, että vektori D(j  ), joka kuvaa Mihailov-käyrää muuttuessaan  = oli kiertokulma nollasta äärettömään (  / 2).

n Tämä muotoilu seuraa suoraan kohdasta (5.33). Jotta järjestelmä olisi vakaa, on välttämätöntä, että kaikki juuret sijaitsevat vasemmassa puolitasossa.

Tästä määritetään vaadittu tuloksena oleva vektorin kiertokulma. Mihailovin vakauskriteeri on muotoiltu seuraavasti:

lineaarisen ACS:n stabiilisuuden kannalta on välttämätöntä ja riittävää, että Mikhailov-hodografi leikkaa peräkkäin niin monta kvadranttia kompleksista, kun taajuus muuttuu nollasta äärettömään, alkaen positiivisesta puolitasosta ja ylittämättä koordinaattien origoa. taso järjestelmän ominaisyhtälön polynomin järjestyksenä.

NOIN

näyttää siltä, ​​että stabiilien järjestelmien Mikhailov-käyrä on aina tasaisen spiraalin muotoinen ja sen pää menee äärettömyyteen siinä kompleksitason neljänneksessä, jonka lukumäärä on yhtä suuri kuin ominaisyhtälön aste (kuva 5.7). Mihailov-käyrä ei voi kulkea enempää kuin n kvadranttien lukumäärän läpi. Siksi järjestelmän epävakaus liittyy aina siihen tosiasiaan, että Mihailov-käyrässä kvadranttien kulkusekvenssi katkeaa, minkä seurauksena vektorin D(j) kiertokulma osoittautuu pienemmäksi. kuin n ( / 2) (kuva 5.8).

Vakaassa järjestelmässä Mihailov-käyrä kulkee peräkkäin kompleksisen tason n kvadrantin läpi.

Kaikkien kolmen tyypin vakausrajojen olemassaolo voidaan määrittää Mikhailov-käyrästä seuraavasti.

Vakausrajan läsnäollessa ensimmäinen tyyppi (nollajuuri) ominaispolynomilla n = 0 ei ole vapaata termiä ja Mikhailov-käyrä lähtee origosta (kuva 5.9, käyrä 1)

Riisi. 5.8. Epävakaa ATS

Riisi. 5.9. Vakauden rajat

Vakauden rajalla toinen tyyppi (värähtelystabiilisuuden raja) ominaisyhtälön vasen puoli eli karakteristinen polynomi muuttuu nollaksi, kun p = j 0 korvataan

D(j 0) = X( 0) + Y( 0) = 0. (5.34)

Tämä tarkoittaa kahta yhtälöä: X( 0) = 0; Y( 0) = 0. Tämä tarkoittaa, että Mihailov-käyrän piste  =  0 osuu koordinaattien alkupisteeseen (kuva 5.9, käyrä 2). Tässä tapauksessa arvo  0 on järjestelmän vaimentamattomien värähtelyjen taajuus.

Vakauden rajalle kolmas tyyppi (ääretön juuri) Mikhailov-käyrän pää heitetään (kuva 5.9, käyrä 3) kvadrantista toiseen äärettömän läpi. Tässä tapauksessa ominaispolynomin (5.7) kerroin a 0 kulkee nolla-arvon läpi, jolloin etumerkki muuttuu plussasta miinukseen.

On lueteltu päätyypit tavallisia korkeamman asteen differentiaaliyhtälöitä (DE:t), jotka voidaan ratkaista. Menetelmät niiden ratkaisemiseksi esitetään lyhyesti. Tarjolla on linkkejä sivuille, joilla on yksityiskohtaiset kuvaukset ratkaisumenetelmistä ja esimerkkejä.

Sisältö

Katso myös: Ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöt
Ensimmäisen asteen lineaariset osittaisdifferentiaaliyhtälöt

Korkeampien kertalukujen differentiaaliyhtälöt, jotka mahdollistavat kertaluvun pienentämisen

Suoralla integroinnilla ratkaistu yhtälöt

Harkitse seuraavaa differentiaaliyhtälöä:
.
Integroimme n kertaa.
;
;
ja niin edelleen. Voit myös käyttää kaavaa:
.
Katso Differentiaaliyhtälöt, jotka voidaan ratkaista suoraan integraatio >>>

Yhtälöt, jotka eivät eksplisiittisesti sisällä riippuvaa muuttujaa y

Korvaus johtaa yhtälön järjestyksen pienenemiseen yhdellä. Tässä on funktio kohteesta.
Katso Differentiaaliyhtälöt korkeammista asteikoista, jotka eivät sisällä funktiota nimenomaisesti > > >

Yhtälöt, jotka eivät eksplisiittisesti sisällä riippumatonta muuttujaa x

.
Mielestämme se on funktio .
.
Sitten
Sama koskee muita johdannaisia. Tämän seurauksena yhtälön järjestys pienenee yhdellä.

Katso Differentiaaliyhtälöt korkeammista asteikoista, jotka eivät sisällä eksplisiittistä muuttujaa > > >

Yhtälöt homogeeniset suhteessa y, y', y', ...
,
Tämän yhtälön ratkaisemiseksi teemme korvauksen
.
missä on funktio .
Sitten

Muunnamme samalla tavalla johdannaisia ​​jne. Tämän seurauksena yhtälön järjestys pienenee yhdellä.

Katso korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt, jotka ovat homogeenisia funktion ja sen derivaattojen suhteen >>> Korkeamman asteen lineaariset differentiaaliyhtälöt:
(1) ,
Harkitsemme
(2) ,
n:nnen kertaluvun lineaarinen homogeeninen differentiaaliyhtälö
missä ovat riippumattoman muuttujan funktiot. Olkoon tälle yhtälölle n lineaarisesti riippumatonta ratkaisua. Sitten yhtälön (1) yleinen ratkaisu on muotoa:

Katso korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt, jotka ovat homogeenisia funktion ja sen derivaattojen suhteen >>> missä ovat mielivaltaiset vakiot. Toiminnot itse muodostavat perustavanlaatuisen ratkaisujärjestelmän.:
.
Perusratkaisujärjestelmä
,
n:nnen kertaluvun lineaarisesta homogeenisesta yhtälöstä on n lineaarisesti riippumatonta ratkaisua tälle yhtälölle.

n:nnen kertaluvun lineaarinen epähomogeeninen differentiaaliyhtälö

Olkoon tälle yhtälölle jokin tietty (mikä tahansa) ratkaisu. Sitten yleisratkaisulla on muoto:

missä on homogeenisen yhtälön (1) yleinen ratkaisu.
(3) .
Lineaariset differentiaaliyhtälöt vakiokertoimilla ja niihin pelkistettävissä
(2) .

Lineaariset homogeeniset yhtälöt vakiokertoimilla Nämä ovat yhtälöitä muodossa::
(4) .

Tässä on todellisia lukuja. Löytääksemme yleisen ratkaisun tähän yhtälöön meidän on löydettävä n lineaarisesti riippumatonta ratkaisua, jotka muodostavat perustavanlaatuisen ratkaisujärjestelmän. Sitten yleinen ratkaisu määritetään kaavalla (2): Etsimme ratkaisua muodossa. Saamme
.

ominaisyhtälö Jos tämä yhtälö on
,
erilaisia ​​juuria

, niin perusratkaisujärjestelmällä on muoto: Jos saatavilla

monimutkainen juuri silloin on myös monimutkainen konjugaattijuuri.
.

Lineaariset epähomogeeniset yhtälöt, joissa on erityinen epähomogeeninen osa

Harkitse muodon yhtälöä
,
missä ovat s-asteiden polynomit 1 ja s 2 ;

- pysyvä. Ensin etsitään yleinen ratkaisu homogeeniselle yhtälölle (3). Jos ominaisyhtälö (4) ei sisällä juuria
,
, etsimme sitten tiettyä ratkaisua muodossa:
;
;
Missä 1 ja s 2 .

s - suurin s Jos ominaisyhtälö (4) on juuri
.

moninkertaisuus, niin etsimme tiettyä ratkaisua muodossa:
.

Tämän jälkeen saamme yleisen ratkaisun:

Lineaariset epähomogeeniset yhtälöt vakiokertoimilla

1) Tässä on kolme mahdollista ratkaisua..
Bernoullin menetelmä
.
Ensin löydämme minkä tahansa nollasta poikkeavan ratkaisun homogeeniseen yhtälöön
,
Sitten teemme vaihdon - 1 missä on muuttujan x funktio.

2) Saat u:lle differentiaaliyhtälön, joka sisältää vain u:n derivaatat x:n suhteen..
Suorittamalla substituution saamme yhtälön n
,
- järjestys.

3) Lineaarinen korvausmenetelmä.
Tehdään vaihto
(2) .
jossa on yksi ominaisyhtälön (4) juurista. Tuloksena saadaan lineaarinen epähomogeeninen yhtälö, jolla on vakiokertoimet .
,
Johdonmukaisesti soveltamalla tätä substituutiota, pelkistämme alkuperäisen yhtälön ensimmäisen asteen yhtälöksi.

Lagrangen vakioiden vaihtelumenetelmä

Tässä menetelmässä ratkaisemme ensin homogeenisen yhtälön (3). Hänen ratkaisunsa näyttää tältä:
.
Lisäksi oletetaan, että vakiot ovat muuttujan x funktioita.
.
Sitten alkuperäisen yhtälön ratkaisulla on muoto:

missä ovat tuntemattomat funktiot. Korvaamalla alkuperäisen yhtälön ja asettamalla joitain rajoituksia, saamme yhtälöitä, joista voimme löytää funktioiden tyypin.
Eulerin yhtälö
Se pelkistyy lineaariseksi yhtälöksi vakiokertoimilla korvaamalla:

Eulerin yhtälön ratkaisemiseksi ei kuitenkaan ole tarvetta tehdä tällaista korvausta. Voit heti etsiä ratkaisua homogeeniseen yhtälöön muodossa

Tuloksena saadaan samat säännöt kuin yhtälölle vakiokertoimella, jossa muuttujan sijasta täytyy korvata . Viitteet:

V.V. Stepanov, Differentiaaliyhtälöiden kurssi, "LKI", 2015. N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Kokoelma korkeamman matematiikan ongelmia, "Lan", 2003.

Tavallisten yhtälöiden lisäksi tutkitaan myös osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Nämä ovat riippumattomiin muuttujiin liittyviä yhtälöitä, näiden muuttujien tuntematon funktio ja sen osittaiset derivaatat samoihin muuttujiin nähden. Mutta harkitsemme vain tavallisia differentiaaliyhtälöitä ja siksi lyhennyksen vuoksi jätämme pois sanan "tavallinen".

Esimerkkejä differentiaaliyhtälöistä:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Yhtälö (1) on neljännen kertaluvun, yhtälö (2) on kolmannen kertaluvun, yhtälöt (3) ja (4) ovat toisen kertaluvun, yhtälö (5) on ensimmäistä kertaluokkaa.

Differentiaaliyhtälö oli kiertokulma nollasta äärettömään järjestyksessä ei välttämättä tarvitse sisältää eksplisiittistä funktiota, kaikki sen johdannaiset ensimmäisestä oli kiertokulma nollasta äärettömään-th kertaluku ja riippumaton muuttuja. Se ei saa nimenomaisesti sisältää tiettyjen järjestysten johdannaisia, funktiota tai riippumatonta muuttujaa.

Esimerkiksi yhtälössä (1) ei selvästikään ole kolmannen ja toisen kertaluvun derivaattoja eikä funktiota; yhtälössä (2) - toisen kertaluvun derivaatta ja funktio; yhtälössä (4) - riippumaton muuttuja; yhtälössä (5) - funktiot. Vain yhtälö (3) sisältää eksplisiittisesti kaikki derivaatat, funktion ja riippumattoman muuttujan.

Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen jokaista funktiota kutsutaan y = f(x), kun se korvataan yhtälöllä, se muuttuu identiteetiksi.

Differentiaaliyhtälön ratkaisun löytämisprosessia kutsutaan sen prosessiksi liittäminen.

Esimerkki 1. Etsi ratkaisu differentiaaliyhtälöön.

Ratkaisu. Kirjoitetaan tämä yhtälö muotoon . Ratkaisu on löytää funktio sen derivaatasta. Alkuperäinen funktio, kuten integraalilaskennasta tiedetään, on antiderivaata ts.

Sitä se on ratkaisu tähän differentiaaliyhtälöön . Muuttumassa siinä C, saamme erilaisia ​​ratkaisuja. Huomasimme, että ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöön on ääretön määrä ratkaisuja.

Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu oli kiertokulma nollasta äärettömään kertaluku on sen ratkaisu, joka ilmaistaan ​​eksplisiittisesti tuntemattoman funktion suhteen ja sisältää oli kiertokulma nollasta äärettömään riippumattomia mielivaltaisia ​​vakioita, ts.

Esimerkin 1 differentiaaliyhtälön ratkaisu on yleinen.

Differentiaaliyhtälön osaratkaisu kutsutaan ratkaisua, jossa mielivaltaisille vakioille annetaan tietyt numeeriset arvot.

Esimerkki 2. Etsi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu ja erityinen ratkaisu .

Ratkaisu. Integroidaan yhtälön molemmat puolet differentiaaliyhtälön järjestystä vastaava määrä kertoja.

,

.

Tuloksena saimme yleisen ratkaisun -

tietyn kolmannen asteen differentiaaliyhtälön.

Etsitään nyt erityinen ratkaisu määritetyissä olosuhteissa. Voit tehdä tämän korvaamalla niiden arvot mielivaltaisten kertoimien sijaan ja saamalla

.

Jos differentiaaliyhtälön lisäksi alkuehto annetaan muodossa , niin tällainen ongelma on ns. Cauchy ongelma . Korvaa arvot ja yhtälön yleiseen ratkaisuun ja löydä mielivaltaisen vakion arvo C, ja sitten erityinen yhtälön ratkaisu löydetylle arvolle C. Tämä on ratkaisu Cauchyn ongelmaan.

Esimerkki 3. Ratkaise Cauchyn tehtävä differentiaaliyhtälölle esimerkistä 1 kohteena .

Ratkaisu. Korvataan alkuehdon arvot yleiseen ratkaisuun y = 3, x= 1. Saamme

Kirjoitamme Cauchyn ongelman ratkaisun tälle ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälölle:

Differentiaaliyhtälöiden, jopa yksinkertaisimpien, ratkaiseminen vaatii hyviä integrointi- ja derivointitaitoja, mukaan lukien monimutkaiset funktiot. Tämä voidaan nähdä seuraavassa esimerkissä.

Esimerkki 4. Etsi differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu.

Ratkaisu. Yhtälö on kirjoitettu sellaiseen muotoon, että voit välittömästi integroida molemmat puolet.

.

Käytämme integrointimenetelmää muuttujan muutoksella (substituutio). Olkoon sitten.

Pakollinen ottamaan dx ja nyt - huomio - teemme tämän monimutkaisen funktion eriyttämissääntöjen mukaisesti, koska x ja siinä on monimutkainen funktio ("omena" on neliöjuuren erottaminen tai, mikä on sama asia, nostaminen "puoleen", ja "jauheliha" on juuri juuren alla oleva ilmaus):

Löydämme integraalin:

Palataan muuttujaan x, saamme:

.

Tämä on tämän ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu.

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa ei vaadita vain korkeamman matematiikan aiempien osien taitoja, vaan myös perus- eli koulumatematiikan taitoja. Kuten jo mainittiin, minkä tahansa asteen differentiaaliyhtälössä ei välttämättä ole riippumatonta muuttujaa, eli muuttujaa x. Koulusta saamat tiedot mittasuhteista, joita ei ole unohdettu (mutta riippuen siitä, kuka) koulusta auttavat ratkaisemaan tämän ongelman. Tämä on seuraava esimerkki.

Voit lukea tämän artikkelin tapahtumista syvemmälle.

Tarkastellaan homogeenista kolmannen asteen differentiaaliyhtälöiden järjestelmää

Tässä x(t), y(t), z(t) ovat vaadittuja funktioita välillä (a, b) ja ij (i, j =1, 2, 3) ovat reaalilukuja.

Kirjoitetaan alkuperäinen järjestelmä matriisimuotoon
,
Missä

Etsimme ratkaisua alkuperäiseen järjestelmään muodossa
,
Missä , C1, C2, C3 ovat mielivaltaisia ​​vakioita.

Perusratkaisujärjestelmän löytämiseksi sinun on ratkaistava ns. ominaisyhtälö

Tämä yhtälö on kolmannen asteen algebrallinen yhtälö, joten sillä on 3 juuria. Seuraavat tapaukset ovat mahdollisia:

1. Juuret (ominaisarvot) ovat todellisia ja erillisiä.

2. Juurien (ominaisarvojen) joukossa on monimutkaisia ​​konjugoituja, olkoon
- todellinen juuri
=

3. Juuret (ominaisarvot) ovat todellisia. Yksi juurista on monikerta.

Jotta voimme selvittää, kuinka toimia kussakin näistä tapauksista, tarvitsemme:
Lause 1.
Olkoon matriisin A pareittain erilliset ominaisarvot ja olkoon niitä vastaavat ominaisvektorit. Sitten

muodostavat perustavanlaatuisen ratkaisujärjestelmän alkuperäiseen järjestelmään.

Kommentti .
Olkoon matriisin A todellinen ominaisarvo (ominaisuusyhtälön todellinen juuri) ja olkoon vastaava ominaisvektori.
= - matriisin A kompleksiset ominaisarvot, - vastaava - ominaisvektori. Sitten

(Re - todellinen osa, im - kuvitteellinen osa)
muodostavat perustavanlaatuisen ratkaisujärjestelmän alkuperäiseen järjestelmään. (eli ja = yhdessä)

Lause 3.
Olkoon monikertaisuuden 2 ominaisyhtälön juuri. Tällöin alkuperäisessä järjestelmässä on 2 lineaarisesti riippumatonta muotoa
,
missä , ovat vektorivakiot. Jos monikertaisuus on 3, niin muotoa on 3 lineaarisesti riippumatonta ratkaisua
.
Vektorit löydetään korvaamalla ratkaisut (*) ja (**) alkuperäiseen järjestelmään.
Ymmärtääksesi paremmin muotoa (*) ja (**) olevien ratkaisujen etsimismenetelmän, katso alla olevat tyypilliset esimerkit.

Tarkastellaan nyt jokaista yllä olevaa tapausta yksityiskohtaisemmin.

1. Algoritmi kolmannen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden homogeenisten järjestelmien ratkaisemiseksi ominaisyhtälön eri reaalijuurilla.
Kun otetaan huomioon järjestelmä

1) Muodostamme ominaisyhtälön

- tämän yhtälön 9juuren todelliset ja erilliset ominaisarvot).
2) Rakennamme minne

3) Rakennamme minne
- matriisin A ominaisvektori, joka vastaa , so. - mikä tahansa järjestelmäratkaisu

4) Rakennamme minne
- matriisin A ominaisvektori, joka vastaa , so. - mikä tahansa järjestelmäratkaisu

5)

muodostavat perustavanlaatuisen ratkaisujärjestelmän. Seuraavaksi kirjoitetaan muotoon alkuperäisen järjestelmän yleinen ratkaisu
,
tässä C 1, C 2, C 3 ovat mielivaltaisia ​​vakioita,
,
tai koordinaattimuodossa

Katsotaanpa muutamia esimerkkejä:
Esimerkki 1.




2) Etsi


3) Etsi


4) Vektorifunktiot



tai koordinaattimerkinnällä

Esimerkki 2.

1) Laadimme ja ratkaisemme ominaisyhtälön:

2) Etsi


3) Etsi


4) Etsi


5) Vektorifunktiot

muodostavat perusjärjestelmän. Yleisellä ratkaisulla on muoto

tai koordinaattimerkinnällä

2. Algoritmi kolmannen asteen differentiaaliyhtälöiden homogeenisten järjestelmien ratkaisemiseksi ominaisyhtälön kompleksisten konjugaattijuurien tapauksessa.


- todellinen juuri,

2) Rakennamme minne

3) Rakennamme

- matriisin A ominaisvektori, joka vastaa , so. tyydyttää järjestelmää

Tässä Re on todellinen osa
Im - kuvitteellinen osa
4) muodostavat perustavanlaatuisen ratkaisujärjestelmän. Seuraavaksi kirjoitamme ylös alkuperäisen järjestelmän yleisen ratkaisun:
, Missä
C1, C2, C3 ovat mielivaltaisia ​​vakioita.

Esimerkki 1.

1) Laadi ja ratkaise ominaisyhtälö

2) Rakennamme

3) Rakennamme
, Missä

Pienennetään ensimmäistä yhtälöä kahdella. Lisätään sitten ensimmäinen yhtälö kerrottuna 2i:llä toiseen yhtälöön ja vähennetään ensimmäinen kahdella kerrottuna kolmannesta yhtälöstä.

Edelleen

Siten,

4) - perusratkaisujen järjestelmä. Kirjataan ylös alkuperäisen järjestelmän yleinen ratkaisu:

Esimerkki 2.

1) Muodostamme ja ratkaisemme ominaisyhtälön


2) Rakennamme

(eli ja tarkastellaan yhdessä), missä

Kerro toinen yhtälö luvulla (1-i) ja vähennä kahdella.


Siten,

3)
Alkuperäisen järjestelmän yleinen ratkaisu

tai

2. Algoritmi kolmannen asteen differentiaaliyhtälöiden homogeenisten järjestelmien ratkaisemiseksi ominaisyhtälön useiden juurien tapauksessa.
Muodostamme ja ratkaisemme ominaisyhtälön

On kaksi mahdollista tapausta:

Harkitse tapausta a) 1), jossa

- matriisin A ominaisvektori, joka vastaa , eli täyttää järjestelmän

2) Viitataan lauseeseen 3, josta seuraa, että muotoa on kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua
,
missä , ovat vakiovektoreita. Otetaan ne.
3) - perusratkaisujen järjestelmä. Seuraavaksi kirjoitamme ylös alkuperäisen järjestelmän yleisen ratkaisun:

Harkitse tapausta b):
1) Viitataan lauseeseen 3, josta seuraa, että muotoa on kolme lineaarisesti riippumatonta ratkaisua
,
jossa , , ovat vakiovektoreita. Otetaan ne.
2) - perusratkaisujen järjestelmä. Seuraavaksi kirjoitetaan ylös alkuperäisen järjestelmän yleinen ratkaisu.

Ymmärtääksesi paremmin, kuinka löytää muotoa (*) olevia ratkaisuja, harkitse useita tyypillisiä esimerkkejä.

Esimerkki 1.

Laadimme ja ratkaisemme ominaisyhtälön:

Meillä on tapaus a)
1) Rakennamme
, Missä

Toisesta yhtälöstä vähennetään ensimmäinen:

? Kolmas rivi on samanlainen kuin toinen, ylitämme sen. Vähennä toinen ensimmäisestä yhtälöstä:

2) = 1 (2:n kerrannaiset)
T.3:n mukaan tämän juuren tulee vastata kahta lineaarisesti riippumatonta muodon ratkaisua.
Yritetään löytää kaikki lineaarisesti riippumattomat ratkaisut, joille ts. muotoisia ratkaisuja
.
Tällainen vektori on ratkaisu, jos ja vain jos on =1:tä vastaava ominaisvektori, ts.
, tai
, toinen ja kolmas rivi ovat samanlaisia ​​kuin ensimmäinen, heitä ne pois.

Järjestelmä on pelkistetty yhteen yhtälöön. Näin ollen on olemassa kaksi vapaata tuntematonta, esimerkiksi ja . Annetaan heille ensin arvot 1, 0; sitten arvot 0, 1. Saamme seuraavat ratkaisut:
.
Siten, .
3) - perusratkaisujen järjestelmä. Jäljelle jää kirjoittaa alkuperäisen järjestelmän yleinen ratkaisu:
.
tai