Lämmön eteneminen lämmönjohtavuudella litteissä ja sylinterimäisissä seinissä paikallaan (ensimmäisen tyypin reunaehdot)

Homogeeninen yksikerroksinen tasainen seinä. Tarkastellaan lämmön etenemistä lämmönjohtavuudella homogeenisessa yksikerroksisessa litteässä seinässä, jonka paksuus on 8 ja jonka leveys ja pituus on rajoittamaton.

Akseli X suuntaa se kohtisuoraan seinään nähden (kuva 7.4). Molempia seinäpintoja pitkin kuten akselin suunnassa y, ja akselin suunnassa G Tasaisen lämmönsyötön ja -poiston ansiosta lämpötilat jakautuvat tasaisesti.

Koska seinällä näiden akselien suunnassa on äärettömän suuret mitat, vastaavat lämpötilagradientit F/yu = (k/(k= = 0, joten se ei vaikuta seinän päätypintojen lämmönjohtavuusprosessiin. Näissä olosuhteissa, mikä yksinkertaistaa ongelmaa, kiinteä lämpötilakenttä on vain koordinaatin funktio X, nuo. tarkastellaan yksiulotteista ongelmaa. Tässä tapauksessa lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälö saa muodon (at d^dh = 0)

Ensimmäisen tyypin rajaehdot annetaan:

Riisi. 7.4

Etsitään lämpötilan nollayhtälö ja määritetään lämpövirta Ф, joka kulkee seinän alueen läpi A(kuvassa 1L seinää ei ole merkitty, koska se sijaitsee tasossa, joka on kohtisuorassa piirustuksen tasoon nähden). Ensimmäinen integraatio antaa

nuo. lämpötilagradientti on vakio koko seinämän paksuudella.

Toisen integroinnin jälkeen saadaan vaadittu lämpötilakenttäyhtälö

Missä A Ja b - jatkuvat integraatiot.

Siten lämpötilan muutos seinämän paksuudella noudattaa lineaarista lakia, ja isotermiset pinnat ovat tasoja, jotka ovat samansuuntaisia ​​seinäpintojen kanssa.

Määrittääksemme mielivaltaiset integrointivakiot, käytämme reunaehtoja:

Koska? > ? ST2, sitten gradientin projektio akselille X negatiivinen as

tämä oli odotettavissa valitulle akselisuunnalle, joka on sama kuin pintalämpövuon tiheysvektorin suunta.

Korvaamalla vakioiden arvot arvolla (7.24), saadaan lopullinen lauseke lämpötilan nollalle

Linja a-b kuvassa 7.4, ns lämpötilakäyrä, näyttää lämpötilan muutoksen seinämän paksuudesta riippuen.

Lämpötilagradientin tuntemalla on mahdollista Fourier-yhtälön (7.10) avulla löytää lämpömäärä 8(), joka kulkee ajan t aikana akseliin nähden kohtisuorassa pinta-alaltaan??4 elementin läpi. T.

ja pinta-alalle A

Kaava (7.28) lämpövirtaukselle ja pintalämpövirtauksen tiheydelle saa muodon

Tarkastellaan lämmön etenemistä lämmönjohtavuudella monikerroksisessa tasaisessa seinässä, joka koostuu useista (esimerkiksi kolmesta) tiiviisti vierekkäisistä kerroksista (ks. kuva 7.5).

Riisi. 7.5

On selvää, että kiinteän lämpötilakentän tapauksessa lämpövirta kulkee saman alueen pintojen läpi A, on sama kaikille kerroksille. Siksi yhtälöä (7.29) voidaan käyttää jokaiselle kerrokselle.

Ensimmäiselle kerrokselle

toiselle ja kolmannelle kerrokselle

Missä X 2, A 3 - kerrosten lämmönjohtavuus; 8 1? 8 2, 8 3 - kerrospaksuus.

Katsotaanko kolmikerrosseinän ulkorajojen lämpötiloja tunnetuiksi? St1 ja? ST4. Ovatko lämpötilat muodostettu kerrosten välisiä erotustasoja pitkin? ST2 Ja? ST:t, joita pidetään tuntemattomina. Ratkaisemme lämpötilaeroihin liittyvät yhtälöt (7.31)-(7.33):

ja laske ne sitten yhteen termiltä ja eliminoi siten tuntemattomat välilämpötilat:

Yleistämällä (7.36) y-kerroksen seinälle saadaan

Välilämpötilojen määrittämiseksi? ST2, ? STZ kerrosten osien tasoissa käytämme kaavoja (7.34):

Lopuksi yleistämällä johtaminen i-kerroksen seinämään, saadaan kaava lämpötilalle i:nnen ja (r + 1) kerroksen rajalla:

Joskus käytetään käsitettä ekvivalenttinen lämmönjohtavuus R eq. Tasaisen monikerroksisen seinän läpi kulkevalle pintalämpövuon tiheydelle,

missä on monikerroksisen seinän kaikkien kerrosten kokonaispaksuus. Vertaamalla lausekkeita (7.37) ja (7.40) päättelemme, että

Kuvassa Kuvassa 7.5 on kaavio lämpötilan muutoksista monikerroksisen seinän paksuuden mukaan katkoviivan muodossa. Kerroksen sisällä, kuten edellä osoitettiin, lämpötilan muutos noudattaa lineaarista lakia. Kallistuskulman tangentti cp, lämpötilasuora vaakasuuntaan

nuo. yhtä suuri kuin lämpötilagradientin ^1"ac1 itseisarvo, siis suorien viivojen kaltevuuden mukaan ab, bc ja kanssa

Siten,

nuo. monikerroksisen tasaisen seinän yksittäisten kerrosten lämpötilagradientit ovat kääntäen verrannollisia näiden kerrosten lämmönjohtavuuteen.

Tämä tarkoittaa, että suurten lämpötilagradienttien saamiseksi (joita tarvitaan esimerkiksi höyryputkien eristämiseen jne.) tarvitaan materiaaleja, joilla on alhaiset lämmönjohtavuusarvot.

Homogeeninen yksikerroksinen sylinterimäinen seinä. Etsitään lämmönjohtavuuden stationääriselle moodille lämpötilakenttä ja pintalämpövuon tiheys homogeeniselle yksikerroksiselle lieriömäiselle seinälle (kuva 7.6). Ongelman ratkaisemiseksi käytämme lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälöä lieriömäisissä koordinaateissa.

Akseli 2 suunnataan pitkin putken akselia. Oletetaan, että putken pituus halkaisijaan verrattuna on äärettömän suuri. Tässä tapauksessa voidaan jättää huomioimatta putken päiden vaikutus lämpötilan jakautumiseen akselilla 2. Oletetaan, että tasaisen lämmönsyötön ja -poiston ansiosta lämpötila sisäpinnalla on kaikkialla sama? ST1, ja ulkopinnalla - ? ST2 (ensimmäisen tyypin rajaehdot). Näillä yksinkertaistuksilla (k/ = 0, ja johtuen lämpötilakentän symmetriasta mihin tahansa halkaisijaan?/?/?Ар = 0. Isotermiset pinnat ovat tässä tapauksessa sylinterien pintoja, koaksiaalisesti putken akselin kanssa. , ongelma rajoittuu yksiulotteisen lämpötilakentän määrittämiseen = / (d), missä? G- sylinterimäisen seinän virran säde.

Riisi. 7.6

Differentiaalilämpöyhtälö (7.19) ehdolla dt/d t = 0 saa muodon

Otetaan käyttöön uusi muuttuja

mikä on lämpötilagradientti (grad?).

Muuttujan korvaaminen Ja kohdassa (7.43) saadaan ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, jossa on erotettavissa olevat muuttujat

tai

Integroimalla saamme

Sylinterimäiselle seinälle lämpötilagradientti on muuttuva arvo, joka kasvaa säteen pienentyessä G. Tämän seurauksena lämpötilagradientti sisäpinnalla on suurempi kuin ulkopinnalla.

Korvaa arvon Ja(7.44) - (7.45), saamme Ja

Missä an b- jatkuvat integraatiot.

Näin ollen lämpötilan jakautumiskäyrä seinämän paksuuden yli on logaritminen käyrä (käyrä a-b kuvassa 7.6).

Määritellään vakiot A Ja b, sisällytetään lämpötilakentän yhtälöön ensimmäisen tyypin reunaehtojen perusteella. Merkitään pinnan sisäinen säde g x, ulkoinen - g 2. Merkitsemme vastaavat halkaisijat (1 l Ja (1 2 . Sitten meillä on yhtälöjärjestelmä

Ratkaisemalla tämän yhtälöjärjestelmän saamme

Lämpötilan nollayhtälö saa muodon Lämpötilagradientti määritetään kaavalla (7.45):

Koska? ST1 > ? ST2, ja r, r 2, sitten projektio grad? sädevektorilla on negatiivinen arvo.

Jälkimmäinen osoittaa, että tässä tapauksessa lämpövirta on suunnattu keskustasta kehälle.

Määrittää lämpövuon, joka kulkee sylinterimäisen pinnan osan läpi, jonka pituus on b, käytetään yhtälöä

Kohdasta (7.46) seuraa, että lieriömäisen pinnan läpi kulkeva lämpövirta riippuu ulko- ja sisäsäteiden suhteesta r 2 / g x(tai halkaisijat s1 2 / (1 {), eikä seinän paksuuden perusteella.

Pintalämpövuon tiheys lieriömäiselle pinnalle saadaan vertaamalla lämpövuo Ф sisäpinnan pinta-alaan VP tai ulkopinnalle A np. Laskelmissa käytetään joskus lineaarista lämpövuon tiheyttä:

Kohdasta (7.47)-(7.49) se seuraa

Monikerroksinen sylinterimäinen seinä. Tarkastellaan lämmön jakautumista lämmönjohtavuudella kolmikerroksisessa sylinterimäisessä seinässä (putkessa), jonka pituus on A (kuva 7.7), jonka sisähalkaisija on c1 x ja ulkohalkaisija (1 l. Yksittäisten kerrosten välihalkaisijat - s1 2 ja X 2, X 3.

Riisi. 7.7.

Ovatko lämpötilat tiedossa? ST) sisäinen ja lämpötila? ST4 ulkopinta. Onko lämpövirta F ja lämpötila määritettävä? ST2 Ja? STz kerrosten rajoilla. Muodostetaan jokaiselle kerrokselle yhtälö muotoa (7.46):

Ratkaisemalla (7.51)-(7.53) lämpötilaerot ja lisäämällä termi kerrallaan saamme

Kohdasta (7.54) meillä on laskettu lauseke lämpövirran määrittämiseksi kolmikerroksiselle seinälle:

Yleistetään kaava (7.55) u-kerroksen putken seinämään:
Missä i- kerroksen sarjanumero.

Kohdasta (7.51)-(7.53) löydämme lausekkeen lämpötilan määrittämiseksi välikerrosten rajoilla:

Lämpötila? Taide. +) rajalla? (G+ 1) kerros voidaan määrittää vastaavalla kaavalla

Kirjallisuus tarjoaa ratkaisuja onton pallon differentiaalilämpöyhtälölle ensimmäisen tyypin reunaolosuhteissa sekä ratkaisuja kaikille tarkasteltaville kappaleille kolmannen tyypin reunaolosuhteissa. Emme ota näitä ongelmia huomioon. Myös kiinteän ja muuttuvan poikkileikkauksen omaavien tankojen (ripojen) sekä ei-stationaarisen lämmönjohtavuuden ongelmat jäivät kurssimme ulkopuolelle.

Minkä tahansa fysikaalisen prosessin tutkiminen liittyy suhteiden luomiseen tätä prosessia kuvaavien määrien välillä. Monimutkaisissa prosesseissa, joihin sisältyy lämmönsiirto lämmönjohtavuudella, määritettäessä suhdetta suureiden välillä on kätevää käyttää matemaattisen fysiikan menetelmiä, jotka eivät ota huomioon prosessin kulkua koko tutkittavassa tilassa, vaan alkuainetilavuudessa äärettömän pienen ajanjakson aikana. Lämmönjohtavuuden kautta tapahtuvaan lämmönsiirtoon osallistuvien suureiden välinen yhteys muodostetaan tässä tapauksessa ns lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälö. Valitun alkeistilavuuden ja äärettömän pienen ajanjakson rajoissa on mahdollista jättää huomiotta joidenkin prosessia kuvaavien määrien muutos.

Lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälöä johdettaessa tehdään seuraavat oletukset: fysikaaliset suureet λ, jossa p Ja ρ pysyvä; sisäisiä lämmönlähteitä ei ole; runko on homogeeninen ja isotrooppinen; käytetään energian säilymisen lakia, joka on tässä tapauksessa muotoiltu seuraavasti: lämmönjohtavuudesta johtuen elementaariseen suuntaissärmiöön tulevan lämpömäärän erotus ajan kuluessa dτ ja jätetään se samaksi ajaksi, kuluu tarkasteltavana olevan alkuainetilavuuden sisäisen energian muuttamiseen. Tuloksena päästään yhtälöön:

Määrää kutsutaan Laplacen operaattori ja se on yleensä lyhennetty 2 t(kyltti lukee "nabla"); koko λ /cρ nimeltään lämpödiffuusiokerroin ja merkitty kirjaimella A. Esitetyllä merkinnällä differentiaalilämpöyhtälö saa muodon

Yhtälöä (1-10) kutsutaan lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälö, tai Fourier-yhtälö kolmiulotteiselle epävakaalle lämpötilakentälle sisäisten lämmönlähteiden puuttuessa. Se on pääyhtälö tutkimuksessa kappaleiden lämmittämisestä ja jäähdytyksestä lämmönsiirtoprosessissa lämmönjohtavuudella, ja se muodostaa yhteyden lämpötilan ajallisten ja alueellisten muutosten välillä missä tahansa kentän kohdassa.

Terminen diffuusiokerroin A= λ/cρ on aineen fysikaalinen parametri ja sen mittayksikkö m 2 / s. Ei-stationaarisissa lämpöprosesseissa arvo A luonnehtii lämpötilan muutoksen nopeutta. Jos lämmönjohtavuuskerroin kuvaa kappaleiden kykyä johtaa lämpöä, niin lämpödiffuusiokerroin A on kappaleiden lämpöinertiaominaisuuksien mitta. Yhtälöstä (1-10) seuraa, että lämpötilan muutos ajan myötä ∂t / ∂τ mikä tahansa kehon kohta on verrannollinen arvoon A Siksi samoissa olosuhteissa rungon lämpötila, jolla on korkeampi lämpödiffuusio, nousee nopeammin. Kaasuilla on pienet ja metalleilla suuret lämpödiffuusiokertoimet.

Lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälö kehon sisällä olevien lämmönlähteiden kanssa saa muotonsa

Missä qv- vapautuvan lämmön määrä aineen tilavuusyksikköä kohti aikayksikköä kohti, Kanssa- kehon massalämpökapasiteetti, ρ - kehon tiheys .

Lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälö sylinterimäisissä koordinaateissa sisäisen lämmönlähteen kanssa on muotoa

Missä r- sädevektori sylinterimäisessä koordinaattijärjestelmässä; φ - kulma.

z
x
LUENTO 4
Lämmönjohtavuusongelmia erilaisissa koordinaattijärjestelmissä.
Suorakulmainen koordinaattijärjestelmä
T
T
T
q
i
j
k
TT x, y, z, t
y
x
x
y
T
T T T
c
qV
t x x y y z z
c
T T
qV
t x x
(1)
(2)
(3)
Käytännössä kohdataan usein ehtoja, jotka johtavat tarpeeseen kirjoittaa yhtälö
lämmönjohtavuus eri muodossa, kätevämpi edustamaan ratkaisua ja sen fysikaalista
tulkintoja.
Yhtälön tyypin riippuvuus
riippuen käytetystä järjestelmästä
koordinaatit voidaan jättää pois,
käyttämällä operaattorimerkintää
1 T
q
T V
a t
2
x
2
2
y
2
2
z 2
a c
T
c
div gradT qV
t
tai
c
T
T qV
t
(4)
Lämmön vapautumista ja energian kertymistä ilmaisevat termit ovat muuttumattomia suhteessa
koordinaattijärjestelmät (eli muuttumattomina); vaan termit, jotka ilmaisevat tuloksena olevaa johtavaa
lämpövirta riippuu geometriasta ja siten koordinaattijärjestelmästä.

Sylinterimäinen koordinaattijärjestelmä
z
c
DR
r
dz
r, z
z
x
T
div q q
t
q T
xrcos
y
r, z
(5)
y r synti
(6)
1 1 2
2
r 2 2 2
r r r r
z
d
y
DR
d
dy
dx
z
qr
(7)
1 T 1 T 1 2T 2 T qV
r 2 2 2
a t r r r
z
x
1 T 1 T
r
qV
a t r r r
T
1 T
T
; q
; qz
r
r
z
a
(9)
T Ts
c
(8)

r,
Pallomainen koordinaattijärjestelmä
z
DR
r,
r
d
x
1 T
div q q
a t
q T
y
1 2
1
1
2
2 r
2
synti
2
r synti 2
r r r r synti
T
1 T
1 T
; q
; q
r
r
r syntiä
(10)
1 T 1 2 T
1
T
1
2TqV
2 r
2
synti 2
2
a t r r r synti
r syntiä
(11)
d
qr
1 T 1 2 T qV
2 r
a t r r r
x r sincos
y r synti synti
z
(12)
z r cos
y
x

Lämpöyhtälöt kanonisen muotoisille kappaleille
Yhtälöiden kirjoittaminen eri koordinaattijärjestelmiin on erityisen kätevää,
kun sinun täytyy löytää lämpötilajakauma kanonisen kappaleissa
muoto - sylinterissä tai pallossa. Näissä tapauksissa yhtälöt ovat pohjimmiltaan
yksinkertaistetaan määritettäessä erityisolosuhteita, kun lämpötilakenttä
riippuu vain yhdestä koordinaatista.
suuntaissärmiö
lautanen
sylinteri
pallo
c
T T T T
qV
t x x y y z z
1T 2TqV
2
a t x
qe
1 T 1 T qV
r
a t r r r
1 T 1 2 T qV
r
2
a t r r r
T Ts
z
y
x

1 T 1 n T qV
r
n
a t r r r
Kolme viimeistä
yhtälöt yhdessä:
n 0
n 2
n 1 sylinteri
kone
T T0
T* T0
t
t*
(13)
pallo
r
r*
1 1 n
qV
n
Fo
Pöydällä
Fourier-luku
klo*
Fo 2
r*
qV 1:
klo*
klo
1: 2
2
r*
r*
(14)
qV r*2
qV
T* T0
q
T* T0 V r*2
1n
1
n
Fo

Lämmönjohtavuuden kiinteät ongelmat erilaisissa koordinaattijärjestelmissä
Sylinterimäinen seinä: kiinteä lämmönjohtamisprosessi sisään
sylinterimäinen seinä (putki), jonka sisäsäde r1;
d 1 2r1
r1
1 T 1 T 1 2T 2 T qV
r
a t r r r r 2 2 z 2
r2
Te1
2
1
T1
d1
T2
Te 2
dT
u
DR
du 1
u 0
tohtori r
T C1 ln r C2
q
d2
(17)
dT
C
1 (18)
DR
r
d 2T
1 dT
0
2 r dr
DR
(15)
ln u ln r ln C1
(16)
Ominaislämpövuo ei ole
on paksuudeltaan vakio ja pienenee
kohti ulkopintaa
Kiinteissä olosuhteissa kokonaislämpövirta, joka kulkee läpi
sylinterimäisen putken poikkileikkaus, jonka pituus on l ja yhtä suuri
Q q F q 2 rl
Ominaislämpövuo
pienenee säteen myötä
!!!
(19)
Pinta-ala
kasvaa säteen mukana
Lämpötila putken paksuuden poikki vaihtelee epälineaarisesti jopa vakiona
lämmönjohtavuuskerroin
Integrointivakiot löytyvät reunaehdoista.

r r1: T T1; r r2: T T2
T1 C1 ln r1 C2 ,
Lineaarinen järjestelmä
yhtälöt
T2 C1 ln r2 C2 ,
T ln r2 r T2 ln r r1
T 1
;
r2 r1:ssä
q
K
Lämmön virtaus pituusyksikköä kohti
qп
(20)
dT
C
1
DR
r
dT
T
l 2 r
2 l,
DR
r2 r1:ssä
W
K
2
T, T T1 T2
ln r2 r1
(21)
(22)

(seinien lämpötiloja ei tiedetä)
T C1 ln r C2
Voimme tehdä saman:
r r1:
Tehdään toisin:
(23)
T
T
1eT Te1; r r2:
2e Te2 T
r
r
Konvektiivinen lämpövirta pituusyksikköä kohti
putkien tulee olla yhtä suuria kuin lineaarinen lämpövirta
lämmönjohtavuudesta johtuen:
qп 1e Te1 T1 2 r1
2
T1 T2
qп
r2 r1:ssä
qп Kc Te1 Te2
1
Kc
, W/(MK)
1
1 r
1
2
2 1e r1 2 r1 2 2e r2
qп 2e T2 Te2 2 r2
Lämmönsiirtokerroin for
sylinterimäinen seinä
Rc
1
1
1 r
1
2
Kc 2 1er1 2 r1 2 2er2
tasainen seinä
R
1 l 1
1 2
1 l 1
K
1
2
1
W/(M2 K)
Yhtälöjärjestelmästä (23) voimme löytää
ja seinän lämpötilat ja korvaa ne (20)
Täysi lämpö
putken vastus
(24)
(25)
(26)
Ulottuvuus
eroaa
mitta K varten
tasainen seinä!
T ln r2 r T2 ln r r1
T 1
;
r2 r1:ssä
Voi
Pöydällä

Dimensiottomissa muuttujissa
r1
d 2
d
r2
2
1 d
0
d
(27)
d
Bi
d
(28)
r1 r2:
Te1
2
1
d1
d2
Harjoittele
talossa:
1:
T Te 2
r
; r*r2
Te1 Te 2
r2
d
Bi 1
d
(29)
2er2 1e
Bi
2e
C1 ja C2
Te 2
C1
Bi C1 ln C2
C1 Bi C2 1
(30)
A) Siirry varovasti ulottumattomiin muuttujiin
B) Etsi integroinnin vakiot järjestelmästä (30)
C) Rakenna eri parametriarvoille

10.

periaatteet
johdonmukainen
Ja
rinnakkain
lämpöresistanssien liitännät piirissä,
pätee suorakaiteen muotoiseen tasaiseen seinään
koordinaattijärjestelmä, voidaan soveltaa myös ongelmaan
lämmönjohtavuus ontossa sylinterissä.
Sähköinen analogia
2
K
1
K
T0
r3
r2
r1
T1
T2
Ts
RT
r2 r1:ssä
2 l
Neste virtaa putkessa, R 1 1
0
F 2 r1l
peitetty eristeellä
materiaalia
dT
T
l 2 r
2 l,
DR
r2 r1:ssä
T
K
,
r2 r1 2 l
Muodossa
Ohmin laki
Lämpövastus
ontto sylinteri
Konvektiivinen lämpö
nesteen vastustuskyky
Meillä on nesteen konvektiivisen vastuksen sarjakytkentä kahdella
johtavat lämpövastukset. Jos nesteen lämpötila ja lämpötila on asetettu
ulkopinta:
T0 Ts
T
K
A)
R
koko
r
r
1
1
1
2
3
2 1r1l 2l 1r1 2l 2r2
(31)
Resistanssi
eristäytyminen
Jos sisä- ja ulkopintojen lämpötilat on määritelty
B)
T
K
R täynnä
T1 Ts
r
r
1
1
2
3
2 l 1 r1 2 l 2 r2
(32)

11.

Esimerkki
1 185
Alumiiniputkessa, jolla on lämmönjohtavuus
W/(m K), vesihöyry virtaa
◦
110 C:n lämpötilassa. Putken sisähalkaisija on 10 cm, ulkohalkaisija 12
Te
cm Putki sijaitsee huoneessa, jossa on lämpötila
30◦C; kerroin
e
konvektiivinen lämmönsiirto putkesta
ilmaan
yhtä suuri kuin 15 W/(m2K). 1) Pakollinen
selvitä lämpövirta putken pituusyksikköä kohti, jos putki ei ole lämpöeristetty.
2) Putken lämpöhäviön vähentämiseksi se peitettiin lämpöeristekerroksella
(2 0 .2 W/(m K)) 5 cm paksuus
lämpöeristetty putki. Oletetaan, että konvektiivinen lämpö
höyrynkesto on mitätön.
Ratkaisu. Putkelle ilman lämpöeristystä tärkeimmät ovat
itse putken johtava lämpövastus ja konvektiivinen lämpö
huoneen ilmanvastus. Koska konvektiivinen lämpö
Höyrynkestävyys voidaan jättää huomiotta, sisäpinnan lämpötila
putki on yhtä suuri kuin höyryn lämpötila. Lämpövirta putken pituusyksikköä kohti seuraa
suhteet T T
110 30
80
q
0
e
r2 r1:ssä
1
2 1
2 r2 e
65
1
2 185 2 0 ,06 15
1,57 10
4
0 ,177
452 W/m.
Lämpöeristetylle putkelle sinun on lisättävä lämpövastus
lämmöneristys, ja lämmönvirtaussuhde saa muodon
q
T0 Te
80
138
r3 r2:ssa 1,57 10 4 0 ,096 0 ,482
r2 r1:ssä
1
2 1
2 r3 e
2 2
W/m.

12.

Monikerroksinen sylinterimäinen seinä
qc
Tn T1 1
n
d
1
Minä 1
2 i
di
, d i 2r1
qc
minä 1
Konsepti pysyy voimassa
vastaava kerroin
lämmönjohtokyky
ekv
dn 1 d1
n
minä 1
T1
T2
1
(33)
T3
2
(34)
1 d i 1
ln
minä di
r1 d1 2
... ...
Tn 1
n 1
Tn
n
Tn 1
r2 d2 2
Lämpötila Ti 1
Ti 1 Ti
2 ekv T1 Tn 1
dn 1 d1
i:nnen ja i+1-kerroksen välisellä rajalla
qc 1 d 2 1 d3
1 d
ln... ln i 1
2 1 pv 1 2 d 2
i
di
(35)
Lämmönsiirtokerroin:
Kc
1
1
1d1
n
minä 1
1 di 1
1
ln
2 i di 2 d 2
(36)

13.

r1
Säteittäinen lämpövirta putkessa on kääntäen verrannollinen logaritmiin
ulkosäde (säteittäinen johtavuusvastus kasvaa);
r2
Lämmön poistuminen ulkopinnasta on suoraan verrannollinen tähän
säde (lisää jäähdytyspinta-alaa)
qc K c Te1 Te 2
Kc
1
,
1
1 r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
Siksi on tietty säde
missä lämpöhäviö on suurin!
Jos kiinteällä (pienellä) sisäisellä säteellä lisäämme
putken seinämän paksuus (eli suurenna ulkosädettä r2), sitten toimenpide
lämpövastuksen kaavan logaritmi on suurempi
vahvempi kuin suuremmalla sisäsäteellä

14.

Lämmöneristyksen kriittinen halkaisija
qc Kc Te1 Te2
Kc
1
,
1
1 r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
dqc
0
dr2
Äärimmäinen kunto:
antaa
r2*1
2
Kriittinen säde
Erikoistapaus, jossa sisäinen vastus on nolla, 1 1 0
y
q
2 Te1 Te 2
1
r
, x 2,
ln x x
r1
2r1
(38)
0 Ulkoinen vastus on myös nolla
r1 r2
Seinän paksuus on 0
1: x 2r2
Tietylle sisäiselle säteelle kriittinen arvo
ulkosäde kasvaa, jos se kasvaa
putken lämmönjohtavuus tai jos kerroin pienenee
lämmönsiirto ulkopinnalla
(37)
Bi 1

15.

eristys
Kriittisen ulkosäteen olemassaolo johtaa siihen, että milloin
joitain todellisia olosuhteita vastoin perinteisiä ajatuksia,
Eristetyn putken lämpöhäviöitä voidaan itse asiassa vähentää
pienentämällä eristeen paksuutta
d1
d2
Kokonaislämpövastus kaksikerroksiselle putkelle, jonka poikkileikkaus on
näkyy kuvassa kaavan mukaan määritettynä
d3
Rc
1 2
putki
Kunto
ääripää:
d2 d3 *
d3 d2
(39)
- eristyksen paksuus
Eristeen lämmönjohtavuuden (I) lämmönvastus kasvaa kasvaessa
eristävän pinnoitteen paksuus; eristyksen lämmönsiirron lämpövastus
(II) – pienenee (kun lämmönsiirtopinta kasvaa)
dRc
1
1
0
dd3 2 2 d3 2 d 32
Rc
d2 d3 *
1
1
1 d2
1 d3
1
ln
ln
K c 1 d 1 2 1 d 1 2 2 d 2 2 d3
II
(minä)
d 3*
22
8 32
0
d3 * 2 2
2
ei riipu
d2
(40)
(eli ei riipu itse putkilinjan halkaisijasta)
Kriittisessä pisteessä täydellinen lämpö
vastus on minimaalinen!
eristeen paksuuden lisääminen vähentää lämmönsiirtoa
valitun pinnoitteen levitys johtaa aluksi kasvuun
lämmönsiirto, ja vasta kun kriittinen halkaisija saavutetaan, lämpövirtaus on
vähentää; silloin se saavuttaa arvon, joka oli ilman eristystä ja vasta sitten
johtaa haluttuun vaikutukseen

16.

Ongelma ontolla pallolla
(palloseinä)
d 2T
DR
2
2 dT
0
r dr
(41)
Käsittelemme spatiaalisesti yksiulotteista stationaarista
Lämmönjohtavuusongelma pallomaisessa seinässä annetulla
sisä- ja ulkopinnan säteet. Yksiulotteisuus
ongelma tarkoittaa lämpötilan jakautumista seinässä
riippuu vain säteestä
Korvaavan käyttö
muuttujia
r1
dT
u
DR
du
2u
Yhteinen päätös
DR
r
C
C
dT C1
ln u 2 ln r ln C1; u 21; Tr1C2;
2
r
tohtori r
r
r2
Ensimmäisen tyyppiset rajaehdot
r r1: T T1
C1
C2
r1
T 1 r 1 r2 T2 1 r1 1 r
T r 1
1 r1 1 r2
r r2: T T2
(42)
Lämpövuon tiheys
Kokonaislämpövirta
K
T1
T2
C1
C2
r2
(43)
(44)
dT
r2
T1 T2
q
2 C1
DR
1 r1 1 r2
r
(45)
dT
4
T1 T2
4 r 2 4 C1
DR
1 r1 1 r2
(46)

17.

Kolmannen tyypin rajaehdot
T r
Yhteinen päätös
ei muutu
C1
C2
r
T
r r1: -
1 T Te1
r
T
r r2: -
2 Te2 T
r
(47)
2r2 C1 2r22C2 2r22Te2
C1
1r1
1r12
2 r22
2 r2
r1
r2
1r1 C1 1r12C2 1r12Te1
1r12 Te 2 Te1
dT C1
2
tohtori r
C2
(48)
Kokonaislämpövirta Q ei ole
riippuu nykyisestä säteestä
1r1 T 1r12 t
2 r2 e 2 2 r22 e1
1r1 1r12
2 r2 2 r22
(49)
Rajassa, ihanteellisella lämmönvaihdolla väliaineiden välillä tietyillä lämpötiloilla ja
pallomainen seinä (eli äärettömälle lämmönsiirtokertoimelle), joka ratkaisee ongelman
Kolmannen tyyppiset reunaehdot liittyvät reunaehtojen ongelman ratkaisemiseen
ensimmäisen tyyppiset olosuhteet.
4
K
T T
1 1 1 2
r1 r 2
=
lämpövirta,
4 r1 2 1 Te1 T
tulossa
sisäseinä
=
lämpövirta,
4 r 2 2 2 T Te 2
lähteminen
ulkoseinä

18.

Lämpötilan jakautuminen pallomaisessa seinässä
kolmannen tyyppisten rajaehtojen osalta
Kotona:
pelaa kaikki
ratkaisu
1 1
1 1
T1 T 2
r r
r1 r
2
T r
1 1
r1 r 2
Seinien lämpötilat:
T1
r12 1Te1 s Te 2
2 Te1
r2 2
r12 1
s 1 2 r12 1
r
2 2
r12 1
r12 1
s Te 2 2 Te1
r2 2
2
r1 12
s 1 2 r1 1
r
2 2
r12 1te 2
T2
Pallon seinämän johtavuus:
s
1 1
r1 r 2
r1r 2
r 2 r1

19.

Ratkaisuja yksinkertaisimpiin ongelmiin dimensiottomassa muodossa
Kootaan ratkaisuja kanonisen muodon kappaleiden stationaarisiin ongelmiin
ensimmäisen tyyppiset rajaehdot yhdessä
T p T1 T1 T 2
r
r2
Kotona: pelaa!
Tc
1 1
1 1
T1 T 2
r r
r1 r
2
Ts
1 1
r1 r 2
T1 ln r 2 r T 2 ln r r1
l n r 2 r1
T T2
T1 T 2
r
r2
0,8
p 1
ln
ln
1 1
1
1
1 1
c
s
0 1
0,6
r2
1
r1
2
0,2
0,0
0,0
Tasaisessa seinässä, laadukas jakelu
lämpötila (lineaarinen) ei riipu siitä
paksuus. Mutta sylinterimäisenä ja pallomaisena -
vaihtelee epälineaarisesti säteen mukaan;
merkki
jakauma (käyrän kaarevuus) riippuu
ulko- ja sisäsäteiden suhde.
1
3
0,4
0,2
0,4
0,6
0,8
Tasainen lämpötilan jakautuminen
(1), sylinterimäinen (2) ja pallomainen (3)
seinään Kiinteitä viivoja
;
10
katkoviivat - . 5

20.

Kolmannen tyyppisten rajaehtojen tapauksessa ratkaisut yksinkertaisimpiin ongelmiin
riippuvat lämmönsiirtoa kuvaavista parametreista.
Samoilla lämmönsiirtokertoimilla.
T Te 2
Te1 Te 2
r
r2
1 2
0,8
lautaselle
1
p 1 1 2
1 1
2 Bi
2
1
2 Bi
sylinterille:
0,6
3
0,4
3
1
2
0,2
1 2 ln 2 ln
ln
1 1
2
1 Bi ln
1 Bi ln
c
palloa varten:
s
1
1 1 1 2
1
1 bi 1
1 1 Bi
2
Bi
r1
1
1 1 Bi
0,0
0,2
0,4
0,6
1
0,8
2
Lämpötilan jakautuminen
tasokoordinaattia (1) pitkin,
sylinterimäinen (2) ja pallomainen
(3) seinät olosuhteissa
konvektiivinen lämmönsiirto.
Kiinteät viivat - Bi 2 ;
katkoviiva - Bi 1 0

21.

Esimerkkejä: Dewar-pullo
Oksidikalvolla päällystetty metallihiukkanen
Kotitehtävät:
1.Muotoile kaksikerroksisen lämpötilan jakautumisen ongelma
pallomainen kuori sen konvektiivisen jäähdytyksen aikana materiaalia käyttämällä
luentoja. Kerrosten välistä lämpökontaktia pidetään ihanteellisena. Johtaa
ongelman ulottumattomaan muotoon. Rakenna tarkka analyyttinen ratkaisu
tämä tehtävä.
2.*Laske pallon sisä- ja ulkopintojen lämpötilat
kuoret ongelmassa 1 sekä koskettimen lämpötila; määritellä täydellinen
pallon pinnasta lähtevä lämpövirta olettaen, että lämpötila
ympäristö kuoren sisällä – 175 C, ympäristön lämpötila – 25 C;
lämmönsiirtokertoimet ovat samat ja yhtä suuret – 28,8 kcal/(m2·tunti·deg);
vaipan sisä- ja ulkosäteet – 3 cm ja 5 cm, paksuus
sisäkuori - 25 mm. Sisäkuori on valmistettu
materiaali, jonka lämmönjohtavuus on 1,45 kcal/(m tunti astetta); ulompi
materiaalia, jonka lämmönjohtavuuskerroin on 0,137 kcal/(m tunti astetta). Miten
lämpövirta muuttuu, kun ulkopinnan paksuus
kuoret vaihtelevat 25 mm - 300 mm?

22.

d 2T
Te 2
2
T1
Te1
T2
1
xmax
qV
0;
2
dx
G.u. ensimmäinen tyyppi: r r1:
qV vakio
T T1;
(1)
r r2:
T T2 (2)
G.u. kolmas laji:
r r1:
-
T
1 T Te1;
r
r r2:
-
T
2 Te2 T
r
Ensimmäinen "tapa" ratkaisuun:
Ongelma ratkaistaan ​​elementaarisella integroinnilla:
qV x 2
Tx
C1x C2
2
dT
q
V x C1;
dx
(4)
Korvaamalla yleisratkaisun g.e:ksi löydämme integroinnin vakiot.
Maksimi sijaitsee jollain etäisyydellä pinnoista.
Maksimin sijainti löytyy ehdosta (äärimmäinen ehto)
dT
q x
V C1 0
dx
(5)
dT
0
dx
(3)

23.

Tehtävät sisäisten lämmönlähteiden kanssa
LÄMPÖÄ JOHTAVA LÄMPÖSEINÄ VOLUMETRISELLÄ LÄMMÖNTUOTTAMISELLA
Te 2
2
T1
Te1
1
2
1
Tehdään asiat vähän eri tavalla. (toinen "tapa"
ratkaisut)
qV x 2
Tx
C1x C2
yleistä
ratkaisu
2
(4)
Laitetaan koordinaattien origo pisteeseen, jossa
maksimi lämpötila
T2
1; 2
- etäisyydet maksimista levyn reunoihin
0
C1 0
Kirjoitamme oikeanpuoleisen rajaehdon uudelleen seuraavasti:
x2:
dT
dx
2
2 T Te 2
2
2
q
V
2
2 C2
Te 2 qV 2
2
(6)
Koska x=0 tasoa voidaan pitää lämpöeristettynä, kaikki lämpö vapautuu sisään
oikealla oleva levy aikayksikköä kohti, on päästävä ympäristöön
lämmönsiirron kautta oikeasta seinästä. Muuten ehtoa rikotaan
stationaarisuus
qV 2 - levyn tilavuudessa vapautuva lämpömäärä, jonka paksuus = 1 per aikayksikkö
Vasemmalla on ilmaisu lämmönsiirtovuolle levyn pinta-alayksikköä kohti

24.

Samanlainen perustelu levyn vasemmalle kerrokselle paksuudella
1 2
johtaa ilmaisuun
2
q
V
2
1 C2
Te1 qV 2
2
(7)
Yhtälöiden (6), (7) avulla löydämme aseman
enimmäismäärä
2
2 1 2 Te1 Te 2 qV 2 1 2
2qV 1 2 1 2
(8)
Määrittämällä vakio C2, (mikä tahansa yhtälöistä sopii), löydämme yleisen ratkaisun.
Se ottaa yksinkertaisimman muodon jos
1 2 ;Te1 Te2 Te
1 2 2
Sitten
qV qV 2
C2
Te
2
8
Ja
2
q
qV
2
Tx
x V Te
2 2
2
(9)
(10)
qV 2 qV
Mitä pienempi, sitä korkeampi on levyn lämmönjohtavuus
Tmax T x 0
Te
8
2
q
Seinän lämpötila Ts T1 T2 V Te nousee lämmönsiirron heikkeneessä
2

25.

Ensimmäisen tyyppiset rajaehdot
T1
2
1
T2
0
qV 22
C2 T2
2
dT
dx
2 T1 T2
2 1
2
qV 2
(11)
qV 2 2
C2 T1
2
2
qV 2 T1 T2
2
TxT2
x
1
2
2 2
qV
Erittäin suurille arvoille
x2:
qV x 2
Tx
C1x C , C1 0 (4)
2
2
Kolmannen lajin rajaehdot muuttuvat rajaehdoksi
ensimmäisen tyyppiset olosuhteet. Siksi teimme saman päätöksen
käytämme edellistä ratkaisua
2 T Te 2
2
(12)
T x T2 T2e
2
(13)
Näin ollen kolmannen tyyppisten rajaehtojen (10) symmetrisestä ongelmasta löydämme
2
qV
2
Tx
x Ts
2 2
Tmax T x 0
q
V Ts
8
2
Lämpötila
seinät
(14)
Sama yhtäläisyys seuraa edellisestä ratkaisusta edellyttäen, että seinän lämpötilat ovat samat

26.

Tarkastellaan ääretöntä kiinteää sylinteriä, joka on tasaisesti lämmitetty (tai
jäähdytetty) sivupinnalta. Sylinterin tilavuus sisältää lämmönlähteen
jatkuva intensiteetti. On löydettävä lämpötilajakauma
vakaa tila.
d 2T 1 dT q
DR
u dT dr
2
r dr
q r
du
r
u V 0
DR
V
tai
0
(1)
d ru qV r
0
DR
qV r 2
ru
C1
2
q r C
dT
V 1
DR
2
r
Yhteinen päätös
Ensimmäinen
kiinteä
(3)
qV r 2
T
C1 ln r C2
4
Kunto keskustassa
kiinteä sylinteri
dT dr 0; r 0
(2)
(4)
C1 0

27.

Volumetrinen lämmönpoistosylinteri
dT
T Te
r R
DR
qV 2
qV R
2
qV R qV R 2
T
R
r
Te
C2
Te
4
2
2
4
q
q R
q R
Tmax V R 2 V Te
Ts V Te
4
2
2
Ulkoinen kunto:
lämpövuon tiheys sylinterin pinnalla:
kokonaislämpövirta sylinterin pinnasta:
q Ts Te
Q qF
(5)
(6)
(7)
qV R
2
qV R
2 Rl qV R 2l
2
Tilavuuslämmönvapautuksella varustetun sylinterin jäähdytyksen ongelma on, in
erityisesti kiinnostus katodien lämpötilajakauman löytämiseen,
käytetään plasmatroneissa ionivirtojen synnyttämiseen. Käytännössä
sovellus, tämä ongelma voidaan muotoilla uudelleen seuraavasti: löydä teho
lähde, joka riittää sputteroimaan katodin, mikäli tämä vaatii
saavuttaa katodimateriaalin sulamispisteen
Yleisen ratkaisun (4) avulla voimme löytää lämpötilajakauman paksuuteen
onton sylinterin seinät tai suojakerroksella päällystetyn sylinterin paksuus
(pohdimme lisää). Ensimmäisessä tapauksessa sinun on asetettava olosuhteet sisäpinnalle
sylinteri. Toisessa tapauksessa käyttöliittymässä vaaditaan lisäehto
kaksi materiaalia, joilla on erilaiset ominaisuudet, ts. neljännen lajin rajaehto.

28.

Pallo tilavuuslämmönvapautuksella
qV r 2 C1
Kotona: näytä minulle
T
C2 (2)
(1)
mikä on yleinen ratkaisu
6
r1
tohtori 2
(1) on muotoa (2)
dT
Ehdot:
dT dr 0; r 0 ja dr T Te; r R
q
q
anna C1 0 ja
C2 Te V R V R 2
3
6
2
qV
qV 2 r (3)
T Te
R
R 1
3
6
R
q
q
Tmax Te V R V R 2 (4)
Maksimilämpötila
3
6
q
q
Pintalämpötila
Ts Te V R V R 2 (5)
3
6
R 2 dT
1
Kokonaislämpövirta pinnan läpi
K
R 3qV
4 tohtori R 3
pallo
qV R
qV 2 qV R
T
Te
Tmax
R
Te
sylinteri
s
2
4
2
Vertailla
d 2T
2 dT qV
0
r dr
Tasainen kerros Tmax
qV qV 2
Te
2
8
q
T s V Te
2
kanssa (4), (5)

29.

Esimerkki 1. Etsi suurin virta, joka voidaan kuljettaa läpi
alumiinilanka (λ=204 W/(m K)), jonka halkaisija on 1 mm, niin että se
lämpötila ei ylittänyt 200 C. Lanka ripustettiin ilmaan
lämpötila 25 C. Konvektiivisen lämmönsiirtokerroin langalta langalle
ilma on 10 W/(m2 K). Sähkövastus Re/l yksikköä kohti
langan pituus on 0,037 ohm/m.
Ratkaisu. Käytetään kaavaa (66), josta se seuraa
qV
Re I 2
R2l
Tm ax
qV R R
I 2 Re
Te
1
Te
2
2
2 R l
R
1 2
Korvaamme annetut fysikaalisten määrien arvot:
200 25
minä
2
2 1 0 3
Täältä löydämme nykyisen vahvuuden:
1 0 3 2 1 0
0,0 3 7 1
2 204
2 10
I 12,2 A

30.

Eristetty johto
Ongelman tiukka matemaattinen muotoilu:
d 2T1
DR
2
d 2T2
Ensimmäinen ehto on symmetrian ehto;
toinen viittaa siihen, että lämpö
kosketus johdon ja eristeen välillä -
ihanteellinen, ja kolmas vastaa
langan konvektiivinen lämmönvaihto
eristäytyminen ympäristöstä.
DR
2
1 dT2
0
r dr
r 0: dT dr 0
r R: 1
r R
(1)
R r R
(2)
(3)
dT1
dT
2 2; T1 T 2
DR
DR
r R: 2
Yleinen ratkaisu ongelmaan:
1 dT1 qV
0
r dr
1
dT2
T2 Te
DR
qV r 2
T1
C1 l n r C 2
4 1
T2 C3 l n r C 4
(4)
(5)
Kotona: näytä minulle
oikeudenmukaisuutta

31.

Eristetty johto
qV r 2
T1
C1 l n r C 2
4 1
Yleinen ratkaisu ongelmaan:
T2 C3 l n r C 4
Ehdosta (3) meillä on:
C1 0
q R
C
1 V 2 3
R
2 1
Ehdot (4) antavat:
qV R 2
C3
2 2
qV R 2
qV R 2
C2
l nR C 4
4 1
2 2
Ehdosta (5) seuraa:
qV R 2
C3 2 qV R 2
2
R C 4 Te
R
R 2 2
2 2
Löydämme:
qV R 2
q R
C4Te
l n R V
2 2
2
qV R 2 2 1 qV R 2 R
C2Te
ln
1
4 1 R 2 2
R

32.

Siksi lämpötilan jakautuminen eristetyssä johdossa
kuvataan kaavoilla
qV R 2 2 1 qV R 2 R qV r 2
T1 Te
ln
1
4 1 R 2 2
R 4 1
Ja
qV R 2 2 qV R 2 R
T2Te
ln
2 2 R
2 2
r
Esittelemme lopullisen ratkaisun seuraavasti:
T Te
minä minä
T Te
qV R 2
T Te
1
r
R
1
Bi K
2
1 1 2
1
4
K2
4
2
K K 1
ln
2Bi
2
Määritetään lämpövirta pinnasta
kapellimestari
q T2 R Te
Q R2l T2 R2 Te
K Bi 1
K Bi 1
Mene kotiin
ulottumattomia muuttujia
0 1
Bi
1 1
K
K
R2 2 l T* Te
1
2
R
2
K
Bi
- eristys ei poista lämpöä virtaa johtavasta johtimesta
- johtimen jäähtyminen on mahdollista sisään tulevan lämpöhäviön vuoksi
ympäristöön
R

33.

Esimerkki 2. Laske pitkä alumiinilanka, jonka halkaisija on 1 cm
sähkövirta kulkee virran voimakkuudella 1000 A. Lanka on peitetty kerroksella
kumieriste 3 mm paksu (λ2=0,15 W/(m K)). Lämpötila
eristeen ulkopinta on 30 C. Selvitä sisälämpötila
eristyspinnat. Johdon ohminen vastus yksikköä kohti
pituus 3,7·10-4 ohm/m.
Ratkaisu. Tämän ongelman ratkaisemiseksi käytämme toista kaavaa T2:lle
pidetään konjugaattiongelmana. Koska lämpötila on asetettu
2
eristeen ulkopinta, ts.
Re I 2
Re I 2
R
T2 r R Te
ln
qV
2
l
2
R
R l
2
2
1000
0 . 005 0 . 003
273 30 3 . 7 10 4
ln
477 . 6
2 3 . 14 0 . 15
0 . 005
Käyttämällä alumiinilangan lämmönjohtavuusarvoa
1 232 W/(m K) ja T:n kaava, voimme laskea lämpötilan keskellä
1
johdot. Harkittavissa olevissa olosuhteissa meillä on
2
Re I 2
Re I 2
R Re I
T1 r R Te
ln
T2 r R
l 2 2 R l 4 1
l 4 1
3 . 7 10 4 1000
477 . 6
477 . 7
4 3 . 14 232
2

34.

Kotitehtävä.
1.Voimavirta I=200A johdetaan ruostumattoman teräslangan läpi
jonka halkaisija on 2 mm ja pituus 1 m. Johdon sähkövastus on
0,125 ohmia, lämmönjohtavuuskerroin 17 W/(m K). Lämpötila
langan pinta 150 C. On tarpeen laskea lämpötila akselilla
lanka.
2. Oletetaan samassa ongelmassa, että johto on peitetty eristekerroksella
(eristyksen lämmönjohtavuuskerroin 0,15 W/(m K)), ja kerroin
lämmönsiirto eristepinnalla on 60 W/(m2K). Tarvittaessa
muuta virtaa (lisää tai vähennä) niin, että lämpötila
langan pinta pysyi 150 C:ssa.

35.

Tehokkaat (vastaavat) termofysikaaliset ominaisuudet
Materiaalit, joita todella käytetään koneenrakennuksessa ja ympärillämme olevissa
ovat monikomponenttisia ja monivaiheisia. Tämä koskee teräksiä
metalliseokset, metallien väliset komposiitit, sintratut materiaalit,
kuitukomposiitit, polymeeripohjaiset komposiitit, seokset,
ratkaisuja jne.
Jos lähtökomponenteille (joista komposiitit syntetisoidaan
eri teknologiat) tai käytetyt materiaalit kaikilla ominaisuuksilla
enemmän tai vähemmän selkeä, sitten äskettäin kehitetyille materiaaleille
ominaisuuksien määrittely on suuri haaste.
Tavalliset kokeelliset menetelmät eivät välttämättä toimi tai niistä tulee
kallista tai aikaa vievää
Laskea varten sinun on tiedettävä komponenttien ominaisuudet, rakenne ja keskinäinen
fyysisten ilmiöiden vaikutus toisiinsa.
Tieteellinen tutkimus ei ole mahdollista ilman fysikaalisia ominaisuuksia koskevia tietoja.
tai tekninen laskelma
Dulnev G.N., Zarinchak Yu.P. Seosten ja komposiittien lämmönjohtavuus
materiaaleja

36.

Mallit ominaisuuksien laskemiseen:
korpuskulaarinen (molekyyli), jatkumo ja yhdistetty
Korpuskulaarisissa malleissa ominaisuuksia tutkitaan luonnontiedon perusteella,
hiukkasten vuorovaikutuksen rakenne ja luonne. Fysikaalisten ominaisuuksien laskeminen
Tässä tapauksessa on mahdollista käyttää vain muiden kiinteistöjen tietoja.
Heterogeenisten rakenteiden luokitus:
Dulnev, s. 10-52 (avoin)
Komposiitit: s. 106-130

37.

Tehollisten kertoimien laskemiseen on useita menetelmiä
heterogeenisten ja huokoisten materiaalien lämmönjohtavuus
Yksinkertaisimmassa arviossa lämmönjohtamisprosessista erillisessä
mikroalue (jota pidetään edustavana tilavuutena)
fyysiset yhtälöt ovat voimassa
JT ,k k grad Tk , div JT ,k 0
Rajaehdot alueiden rajapinnoilla, joilla on ihanteellinen
lämpökontakti on muodossa:
T
T
k k k 1 k 1; Tk Tk 1
n
n
Määrittää materiaalin tehokkaan lämmönjohtavuuden (joka koostuu
eri vaiheet) on tarpeen määrittää fyysisten kenttien jakautuminen aikana
kaikki mikroalueet, ja sitten siirrytään lähes homogeeniseen ympäristöön
joka pitää suhteet
JT*T
1
J k dV;
V
1
Tk d
T
V
V
Tämän tyypin määrittäminen
Tehokas kerroin: f k, k;
riippuvuus ja on
päätehtävä
- faasifraktiot
erilaisia ​​teorioita.
JT
T

38.

Kaksivaiheinen järjestelmä
1
J
J1dV1 J 2dV2 1 1 T1 2 2 T2
V
V2
V1
1 V1 V, 2 V2 V
(1)
1 1 1 2 2 2 ;
k
T1 T1
2 T2
Tk T
T
2
1 1 2 2 1
Seuraa kohteesta
Edellinen
, k 1.2
- keskimääräinen äänenvoimakkuuden gradientti
Kahden yhtälön järjestelmä (1) sisältää kolme tuntematonta. Sähköiseen sulkemiseen
tarvitaan lisätietoja, esimerkiksi tietoa rakenteesta
heterogeeninen järjestelmä, tiedot erityisesti suunnitellusta kokeesta.
Ratkaisu tällaisten järjestelmien sulkemisen ongelmaan johti kaiken syntymiseen
erilaisia ​​menetelmiä siirtokertoimien määrittämiseen (ei vain
lämmönjohtavuuskerroin), joka tunnetaan kirjallisuudessa

39.

1. Yksinkertaisimman rakenteen tapauksessa, joka on järjestelmä
rajoittamaton määrä levyjä yhdensuuntaisesti virtauksen J kanssa
1 2 1
Ja
1 1 2 2
2. Jos kerrokset ovat kohtisuorassa virtaukseen nähden
1 T1 2 T2;
1 2 2 1
1 2
1 2
1
Epähomogeenisten väliaineiden rakennetyypit ovat hyvin erilaisia. Eli siinä tapauksessa
kaksivaiheinen väliaine, johon faasit (mikroalueet, jotka sisältävät eri faaseja)
voidaan jakaa avaruudessa sekä kaoottisesti että järjestyksessä,
on mahdollista erottaa rakenteita, jotka sisältävät yhden faasin eristettyjen muodossa
isomeeriset (1) tai anisotrooppisesti orientoidut (2) sulkeumat
jatkuva muu vaihe, rakeiset järjestelmät jatkuvalla rungolla (3) ja
huokoset (4), kuitujärjestelmät (5) ja huokoset (6), tilastollisesti
samankokoiset epähomogeeniset (mikroheterogeeniset) järjestelmät
komponentit (7), kerrostetut järjestelmät yhdensuuntaiset (8) ja kohtisuorat
(9) kerrosvirtaus. Voidaan kuvitella järjestelmiä koostuvan yksilöistä
alijärjestelmät, joissa on erilaisia ​​kuvatun tyyppisiä rakenteita. Lisäksi
kukin rakenteeseen sisältyvistä vaiheista voi olla joko monikomponenttinen tai
ja yksikomponenttinen. Joka tapauksessa on tarpeen laskea kunkin vaiheen ominaisuudet
tai niiden kokeellinen määritys.

40.

Kondorskyn yhtälö
3 1 1 3 2 1 2
3 1 1 3 2 1
Odelevsky (menetelmä
1
tehokas ympäristö)
4
16
2
2 1
1 V1 V, 2 V2 V
13
2 1
1 2
Integraalinen menetelmä
Kaksipuoliset arviot (arviot
Khashin-Shtrikhman)
Schermergaard:
1 2
1
2
1
1
2 1
1
1
1 3
1 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1
1 1 2
Indeksi 1 viittaa matriisiin ja "2" inkluusioihin
Yksinkertaistetuista mediamalleista huolimatta jotkut tunnetuista kaavoista
antaa meille mahdollisuuden tehdä melko luotettavia arvioita, vaikka kaavojen määrä on
erilaisten median erikoistapausten määrä lisääntyy nopeasti vaiheiden lisääntyessä.

41.

Kotona:
Komposiitti saatavilla. Matriisi on volframipohjainen seos (pidämme sitä
lämmönjohtavuuskerroin, joka on yhtä suuri kuin volframin lämmönjohtavuus).
Titaanikarbidin hiukkaset (sulkeumat).
Laske riippuvuudet yllä kirjoitettujen kaavojen avulla
komposiitin tehokkaat lämmönjohtavuuskertoimet fraktiosta
inkluusiot (ξ = 0 - 0,75). Piirrä yhdellä kaaviolla.
Mitä johtopäätöstä voidaan vetää?

42.

Rakeisten ja huokoisten materiaalien ominaisuudet
Huokoisten materiaalien tehokkaasta lämmönjohtavuudesta, kun kaikki muut asiat ovat samat
olosuhteisiin vaikuttaa kiinteän faasin lämmönjohtavuus. Lisäksi varten
joidenkin huokoisten materiaalien (perustuu Al2O3, BeO, MgO jne.) kerroin
lämmönjohtavuus laskee lämpötilan noustessa, kun taas
muut SiO2:n, ZrO2:n perusteella tehdyt - lisää. Ratkaiseva
huokoisuus vaikuttaa tehokkaaseen lämmönjohtavuuteen, koska
Itse huokoset ovat tehokkaita kaasun alhaisen johtavuuden vuoksi
este lämmön leviämiselle. On kuitenkin muitakin
lämmönsiirtomekanismit (konvektio, säteily).
Yksinkertaisimmat mallit perustuvat huokoisten tai
dispergoitu materiaali tasaisten vuorottelevien kerrosten muodossa, jotka koostuvat ja
kiinteä runko (runko) ja ilma.
1
1
2
2
1
1 1 2
- huokosten osuus; huokoisuus
- ilman tai muun aineen täytteen lämmönjohtavuus
huokoinen tila

43.

Keskellä olevassa kuvassa esitetyt mallit liittyvät nimiin
Maxwell-Eucken. Tulos näyttää
1
2
2 1 2 2 1 2
2 1 2 2 1 2
2 2 1 2 2 1 1
2 2 1 2 2 1 1
1 1
2
0
1 2
2 2
kiinteä kehys on jatkuva
jatkuva on huokoista
tilaa
tehokas ympäristöteoriamalli

TMO-tavoitteiden asettaminen

Meillä on tilavuus, johon lämpökuormat vaikuttavat, on tarpeen määrittää numeerinen arvo q V ja sen jakautuminen tilavuuden mukaan.

Kuva 2 - Ulkoiset ja sisäiset kitkan lähteet

1. Määritä tutkittavan tilavuuden geometria missä tahansa valitussa koordinaattijärjestelmässä.

2. Määritä tutkittavan tilavuuden fyysiset ominaisuudet.

3. Määritä ehdot, jotka käynnistävät TMT-prosessin.

4. Selvitä lait, jotka määräävät lämmönsiirron tutkittavassa tilavuudessa.

5. Määritä tutkittavan tilavuuden alkuperäinen lämpötila.

Kiinteää jätettä analysoitaessa ratkaistuja ongelmia:

1. TMO:n "suorat" tehtävät

Annettu: 1,2,3,4,5

Määritä: lämpötilajakauma tilassa ja ajassa (jatkoa 6).

2. "Käänteiset" TMT-ongelmat (käänteiset):

a) käänteinen rajaa tehtäviä

Annettu: 1,2,4,5,6

Määrittele: 3;

b) käänteinen kertoimet tehtäviä

Annettu: 1,3,4,5,6

Määrittele: 2;

c) päinvastoin retrospektiivinen tehtävä

Annettu: 1,2,3,4,6

Määrittele: 5.

3. TMO:n "induktiiviset" tehtävät

Annettu: 1,2,3,5,6

Määrittele: 4.

LÄMMÖNSIIRTOMUODOT JA LÄMPÖPROSESSIT

Lämmönsiirtoa on kolmea eri muotoa:

1) lämmönjohtavuus kiinteissä aineissa (määritetty mikrohiukkasten ja metallien vapaiden elektronien avulla);

2) konvektio (määritetty liikkuvan väliaineen makrohiukkasten perusteella);

3) lämpösäteily (määritetty sähkömagneettisten aaltojen avulla).

Kiinteiden aineiden lämmönjohtavuus

Yleisiä käsitteitä

Lämpötilakenttä on joukko lämpötila-arvoja tutkittavassa tilavuudessa, otettuna tietyllä hetkellä.

t(x, y, z, τ)- toiminto, joka määrittää lämpötilakentän.

On olemassa kiinteitä ja ei-kiinteitä lämpötilakenttiä:

paikallaan - t(x,y,z);

ei-kiinteä - t(x, y, z, τ).

Kiinteyden ehto on:

Otetaan tietty kappale ja yhdistetään pisteet, joilla on sama lämpötila

Kuva 3 - Lämpötilagradientti ja lämpövirta

grad t- lämpötilagradientti;

toisella puolella: .

Fourier'n laki - lämmön virtaus kiintoaineissa on verrannollinen lämpötilagradienttiin, pintaan, jonka läpi se kulkee, ja tarkasteltavaan aikaväliin.

Suhteellisuuskerrointa kutsutaan lämmönjohtavuuskertoimeksi λ , W/m·K.

osoittaa, että lämpö leviää lämpötilagradienttivektoriin nähden vastakkaiseen suuntaan.

;

Äärettömän pienelle pinnalle ja aikavälille:

Lämpöyhtälö (Fourier-yhtälö)

Harkitse äärettömän pientä tilavuutta: dv = dx dy dz

Kuva 4 - Äärettömän pienen tilavuuden lämpötila

Meillä on Taylor-sarja:

Samoin:

; ; .

Yleisessä tapauksessa meillä on kuutio q V. Johtopäätös perustuu yleiseen energian säilymisen lakiin:

.

Fourierin lain mukaan:

; ; .

Muutosten jälkeen meillä on:

.

Kiinteälle prosessille:

Ongelmien spatiaalinen ulottuvuus määräytyy sen mukaan, kuinka monessa suunnassa lämmönsiirto tapahtuu.

Yksiulotteinen ongelma: ;

kiinteässä prosessissa: ;

Kohde:

Kohde: ;

a- lämpödiffuusiokerroin, .Karteesinen järjestelmä;

k = 1, ξ = x - sylinterimäinen järjestelmä;

k = 2, ξ = x - pallomainen järjestelmä.

Ainutlaatuisuusehdot

Ainutlaatuisuus kunto – Nämä ovat ehtoja, joiden avulla on mahdollista valita toteutettavissa olevien ratkaisujen joukosta yksi, joka vastaa käsillä olevaa tehtävää.

1. Lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälö ilman sisäisiä lämmönlähteitä ( = 0) :

2. Lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälö ilman sisäisiä lämmönlähteitä lieriömäisissä koordinaateissa.

Sylinterimäisinä koordinaatteina, missä missä r– sädevektori, – napakulma, yhtälö näyttää tältä

Lämmönjohtavuusprosessien ainutlaatuisuus. Lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälö ei kuvaa yhtä, vaan kokonaista lämmönjohtavuusilmiöiden luokkaa. Tietyn prosessin analyyttisen kuvauksen saamiseksi on tarpeen osoittaa sen erityispiirteet, jotka yhdessä differentiaaliyhtälön kanssa tarjoavat täydellisen matemaattisen kuvauksen tietystä lämmönjohtamisprosessista ja joita kutsutaan ainutlaatuisuusehdoksi tai reunaehdoksi.

Ainutlaatuisuusehdot sisältävät:

Geometriset olosuhteet, jotka kuvaavat sen kappaleen muotoa ja kokoa, jossa prosessi tapahtuu;

Fyysiset olosuhteet, jotka kuvaavat ympäristön ja kehon fysikaalisia ominaisuuksia;

Tilapäiset tai alkuolosuhteet, jotka kuvaavat lämpötilan jakautumista kehossa alkuhetkellä;

Rajaehdot, jotka kuvaavat tarkasteltavan kehon ja ympäristön vuorovaikutuksen olosuhteita.

Rajaehdot voidaan määrittää useilla tavoilla.

Ensimmäisen tyyppiset rajaolosuhteet määrittelevät lämpötilajakauman kehon pinnalla kullekin ajanhetkelle:

Toisen tyyppiset rajaolosuhteet määrittelevät lämpövirtausarvot jokaiselle kehon pinnan pisteelle ja milloin tahansa:

Kolmannen tyypin rajaolosuhteet määrittävät ympäristön lämpötila sekä kehon ja ympäristön välisen lämmönvaihdon laki, jota käytetään lämmönsiirron lakina (Newton-Richmann-yhtälö):

Tämän lain mukaan lämpövuon tiheys pinnalla

runko on verrannollinen seinän pinnan ja ympäristön lämpötilaeroon. Suhteellisuuskerrointa tässä yhtälössä kutsutaan lämmönsiirtokertoimeksi ja sitä merkitään a, [W/(m 2 ×K)]. Se luonnehtii lämmönvaihdon voimakkuutta kehon pinnan ja ympäristön välillä.

Toisaalta sama lämpövuon tiheys voidaan löytää yhtälöstä:

jossa alaindeksi "c" osoittaa, että lämpötilagradientti lasketaan kehon pinnalta. Saamme analyyttisen lausekkeen kolmannen tyyppisille reunaehtoille:

Neljännen tyypin rajaehdoissa otetaan huomioon tapaus, jossa kaksi tai useampi kappale on läheisessä kosketuksessa toistensa kanssa. Tässä tapauksessa yhden kappaleen pinnan läpi kulkeva lämpövirta kulkee myös toisen kappaleen pinnan läpi (kosketuskohdassa ei ole lämpöhäviöitä).

Luento 2. Osa 2. Lämmönjohtavuus stationaaritilassa