Yksityisyytesi säilyttäminen on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Tutustu tietosuojakäytäntöihimme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.
Henkilötietojen kerääminen ja käyttö
Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.
Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.
Alla on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisistä henkilötiedoista saatamme kerätä ja kuinka voimme käyttää tällaisia tietoja.
Mitä henkilötietoja keräämme:
- Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.
Kuinka käytämme henkilötietojasi:
- Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ainutlaatuisten tarjousten, kampanjoiden ja muiden tapahtumien ja tulevien tapahtumien yhteydessä.
- Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
- Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
- Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootioon, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.
Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille
Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.
Poikkeukset:
- Tarvittaessa - lain, oikeudellisen menettelyn, oikeudellisen menettelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai viranomaisten pyyntöjen perusteella - paljastaa henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisiin tarkoituksiin liittyvistä syistä.
- Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot sovellettavalle seuraajalle kolmannelle osapuolelle.
Henkilötietojen suojaaminen
Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.
Yksityisyytesi kunnioittaminen yritystasolla
Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, välitämme tietosuoja- ja turvallisuusstandardit työntekijöillemme ja noudatamme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.
Päivämäärä: 5.10.2015
Kuinka löytää johdannainen?
Erottamisen säännöt.
Löytääksesi minkä tahansa funktion johdannaisen sinun on hallittava vain kolme käsitettä:
2. Erottelusäännöt.
3. Monimutkaisen funktion derivaatta.
Juuri tuossa järjestyksessä. Se on vihje.)
Tietenkin olisi mukavaa saada käsitys johdannaisista yleensä). Mikä derivaatta on ja kuinka työskennellä johdannaistaulukon kanssa, selitetään selvästi edellisellä oppitunnilla. Tässä käsitellään erottelun sääntöjä.
Differentiointi on operaatio derivaatan löytämiseksi. Tämän termin takana ei ole mitään sen kummempaa piilotettua. Nuo. ilmaisuja "löydä funktion derivaatta" Ja "erottaa funktio"- Se on sama.
Ilmaisu "erottamisen säännöt" viittaa johdannaisen löytämiseen aritmeettisista operaatioista. Tämä ymmärrys auttaa suuresti välttämään hämmennystä päässäsi.
Keskitytään ja muistetaan kaikki, kaikki, kaikki aritmeettiset operaatiot. Niitä on neljä). Yhteenlasku (summa), vähennys (erotus), kertolasku (tulo) ja jako (osamäärä). Tässä ne ovat, erottelusäännöt:
Levy näyttää viisi säännöt päälle neljä aritmeettiset operaatiot. Minua ei lyhennetty.) Sääntö 4 on vain alkeellinen seuraus säännöstä 3. Mutta se on niin suosittu, että on järkevää kirjoittaa (ja muistaa!) se itsenäisenä kaavana.
Nimikkeiden alla U Ja V jotkin (ehdottomasti kaikki!) funktiot ovat implisiittisiä U(x) Ja V(x).
Katsotaanpa muutamia esimerkkejä. Ensinnäkin - yksinkertaisimmat.
Etsi funktion y=sinx - x 2 derivaatta
Tässä meillä on ero kaksi perusfunktiota. Sovellamme sääntöä 2. Oletetaan, että sinx on funktio U, ja x 2 on funktio V. Meillä on täysi oikeus kirjoittaa:
y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"
Se on parempi, eikö?) Jäljelle jää vain x:n sinin ja neliön derivaatat. Tätä tarkoitusta varten on olemassa johdannaistaulukko. Etsimme vain tarvitsemamme funktiot taulukosta ( sinx Ja x 2), katso mitä johdannaisia heillä on ja kirjoita vastaus ylös:
y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x
Se siitä. Summaerotuksen sääntö 1 toimii täsmälleen samoin.
Entä jos meillä on useita termejä? Ei iso juttu.) Jaotamme funktion termeiksi ja etsimme kunkin termin johdannaista muista riippumatta. Esimerkiksi:
Etsi funktion y=sinx - x 2 +cosx - x +3 derivaatta
Kirjoitamme rohkeasti:
y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"
Oppitunnin lopussa annan vinkkejä elämän helpottamiseksi erottelussa.)
Käytännön vinkkejä:
1. Ennen erottamista katso, onko mahdollista yksinkertaistaa alkuperäistä funktiota.
2. Monimutkaisissa esimerkeissä kuvataan ratkaisu yksityiskohtaisesti, kaikki sulkeet ja väliviivat.
3. Erotettaessa murtolukuja, joiden nimittäjässä on vakioluku, muutetaan jako kertolaskuksi ja käytetään sääntöä 4.
Fysikaalisten ongelmien tai esimerkkien ratkaiseminen matematiikassa on täysin mahdotonta ilman derivaatan ja sen laskentamenetelmien tuntemusta. Derivaata on yksi matemaattisen analyysin tärkeimmistä käsitteistä. Päätimme omistaa tämän päivän artikkelin tälle perusaiheelle. Mikä on derivaatta, mikä on sen fysikaalinen ja geometrinen merkitys, miten lasketaan funktion derivaatta? Kaikki nämä kysymykset voidaan yhdistää yhdeksi: kuinka ymmärtää johdannainen?
Johdannan geometrinen ja fyysinen merkitys
Olkoon toiminto f(x) , määritetty tietyllä aikavälillä (a, b) . Pisteet x ja x0 kuuluvat tähän väliin. Kun x muuttuu, itse funktio muuttuu. Argumentin muuttaminen - ero sen arvoissa x-x0 . Tämä ero on kirjoitettu muodossa delta x ja sitä kutsutaan argumenttilisäykseksi. Funktion muutos tai lisäys on funktion arvojen välinen ero kahdessa pisteessä. Johdannaisen määritelmä:
Funktion derivaatta pisteessä on raja funktion inkrementin tietyssä pisteessä suhteessa argumentin lisäykseen, kun jälkimmäinen pyrkii nollaan.
Muuten se voidaan kirjoittaa näin:
Mitä järkeä on löytää tällainen raja? Ja tässä on mitä se on:
funktion derivaatta pisteessä on yhtä suuri kuin OX-akselin välisen kulman tangentti ja funktion kaavion tangentti tietyssä pisteessä.
Johdannan fyysinen merkitys: reitin derivaatta ajan suhteen on yhtä suuri kuin suoraviivaisen liikkeen nopeus.
Todellakin, kouluajoista lähtien kaikki tietävät, että nopeus on tietty tie x=f(t) ja aikaa t . Keskinopeus tietyn ajanjakson aikana:
Selvittääksesi liikkeen nopeuden tietyllä hetkellä t0 sinun on laskettava raja:
Sääntö yksi: aseta vakio
Vakio voidaan ottaa pois derivaattamerkistä. Lisäksi tämä on tehtävä. Kun ratkaiset matematiikan esimerkkejä, ota se sääntönä - Jos voit yksinkertaistaa lauseketta, muista yksinkertaistaa se .
Esimerkki. Lasketaan derivaatta:
Sääntö kaksi: funktioiden summan derivaatta
Kahden funktion summan derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden derivaattojen summa. Sama pätee funktioiden eron johdannaiseen.
Emme todista tätä lausetta, vaan harkitsemme käytännön esimerkkiä.
Etsi funktion derivaatta:
Kolmas sääntö: funktioiden tulon derivaatta
Kahden differentioituvan funktion tulon derivaatta lasketaan kaavalla:
Esimerkki: etsi funktion derivaatta:
Ratkaisu: 
Tässä on tärkeää puhua monimutkaisten funktioiden derivaattojen laskemisesta. Kompleksisen funktion derivaatta on yhtä suuri kuin tämän funktion derivaatan tulo väliargumentin suhteen ja väliargumentin derivaatta riippumattoman muuttujan suhteen.
Yllä olevassa esimerkissä kohtaamme lausekkeen:
Tässä tapauksessa väliargumentti on 8x viidenteen potenssiin nähden. Laskeaksemme tällaisen lausekkeen derivaatan laskemme ensin ulkoisen funktion derivaatan väliargumentin suhteen ja kerromme sitten itse väliargumentin derivaatalla riippumattoman muuttujan suhteen.
Neljäs sääntö: kahden funktion osamäärän derivaatta
Kaava kahden funktion osamäärän derivaatan määrittämiseksi:
Yritimme puhua nukkejen johdannaisista tyhjästä. Tämä aihe ei ole niin yksinkertainen kuin miltä näyttää, joten varoita: esimerkeissä on usein sudenkuoppia, joten ole varovainen laskeessasi johdannaisia.
Jos sinulla on kysyttävää tästä ja muista aiheista, voit ottaa yhteyttä opiskelijapalveluun. Lyhyessä ajassa autamme sinua ratkaisemaan vaikeimman testin ja ymmärtämään tehtävät, vaikka et olisi koskaan aiemmin tehnyt johdannaislaskelmia.
Tällä oppitunnilla opimme soveltamaan kaavoja ja erottelusääntöjä.
Esimerkkejä. Etsi funktioiden derivaatat.
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Säännön soveltaminen minä, kaavat 4, 2 ja 1. Saamme:
y’ = 7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. y = 3x6 -2x+5. Ratkaisemme samalla tavalla käyttämällä samoja kaavoja ja kaavaa 3.
y’=3∙6x5-2=18x5-2.
Säännön soveltaminen minä, kaavat 3, 5
Ja 6
Ja 1.
Säännön soveltaminen IV, kaavat 5
Ja 1
.
Viidennessä esimerkissä säännön mukaan minä summan derivaatta on yhtä suuri kuin johdannaisten summa, ja löysimme juuri ensimmäisen termin derivaatan (esimerkki 4 ), siksi löydämme johdannaisia 2 Ja 3 ehdot ja 1:lle summad voimme heti kirjoittaa tuloksen.
Erotetaan 2 Ja 3 termejä kaavan mukaan 4
. Tätä varten muunnamme kolmannen ja neljännen potenssin juuret nimittäjissä negatiivisilla eksponenteilla varustetuiksi potenssiiksi ja sitten 4
kaava, löydämme potenssien johdannaisia.
Katso tämä esimerkki ja tulos. Saitko kuvion kiinni? Hieno. Tämä tarkoittaa, että meillä on uusi kaava ja voimme lisätä sen johdannaistaulukkoomme.
Ratkaistaan kuudes esimerkki ja johdetaan toinen kaava.
Käytetään sääntöä IV ja kaava 4
. Pienennetään saatuja murtolukuja.
Katsotaanpa tätä funktiota ja sen johdannaista. Tietenkin ymmärrät kuvion ja olet valmis nimeämään kaavan:
Opi uusia kaavoja!
Esimerkkejä.
1. Laske argumentin inkrementti ja funktion y= inkrementti x 2, jos argumentin alkuarvo oli yhtä suuri kuin 4 ja uusi - 4,01 .
Ratkaisu.
Uusi argumentin arvo x=x 0 +Δx. Korvataan data: 4.01=4+Δх, joten argumentin lisäys Δх=4,01-4 = 0,01. Funktion inkrementti on määritelmän mukaan yhtä suuri kuin funktion uusien ja aiempien arvojen erotus, ts. Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Koska meillä on toiminto y=x2, Tuo Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 = (x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 = 2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
Vastaus: argumentin lisäys Δх= 0,01; funktion lisäys Δу=0,0801.
Toiminnon lisäys voidaan löytää eri tavalla: Δy=y (x 0 + Δx) -y (x 0) = y (4,01) -y (4) = 4,01 2 - 4 2 = 16,0801-16 = 0,0801.
2. Etsi funktion kuvaajan tangentin kaltevuuskulma y=f(x) pisteessä x 0, Jos f "(x 0) = 1.
Ratkaisu.
Johdannan arvo tangenttipisteessä x 0 ja on tangenttikulman tangentin arvo (derivaatan geometrinen merkitys). Meillä on: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, koska tg45° = 1.
Vastaus: tämän funktion kaavion tangentti muodostaa kulman Ox-akselin positiivisen suunnan kanssa 45°.
3. Johda funktion derivaatan kaava y=x n.
Erilaistuminen on funktion derivaatan löytäminen.
Käytä derivaattoja etsiessäsi kaavoja, jotka on johdettu derivaatan määritelmän perusteella, samalla tavalla kuin johdimme derivaatan asteen kaavan: (x n)" = nx n-1.
Nämä ovat kaavat.
Johdannaisten taulukko Se on helpompi muistaa lausumalla sanalliset sanamuodot:
1. Vakiosuureen derivaatta on nolla.
2. X alkuluku on yhtä suuri kuin yksi.
3. Vakiotekijä voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä.
4. Asteen derivaatta on yhtä suuri kuin tämän asteen eksponentin tulo asteella, jolla on sama kanta, mutta eksponentti on yksi vähemmän.
5. Juuren derivaatta on yhtä kuin yksi jaettuna kahdella yhtä suurella juurella.
6. Yhden jaettuna x:llä derivaatta on yhtä kuin miinus yksi jaettuna x:llä neliöitynä.
7. Sinin derivaatta on yhtä suuri kuin kosini.
8. Kosinin derivaatta on yhtä suuri kuin miinussini.
9. Tangentin derivaatta on yhtä suuri kuin yksi jaettuna kosinin neliöllä.
10. Kotangentin derivaatta on yhtä kuin miinus yksi jaettuna sinin neliöllä.
Me opetamme eriyttämissäännöt.
1. Algebrallisen summan derivaatta on yhtä suuri kuin termien derivaattojen algebrallinen summa.
2. Tuotteen derivaatta on yhtä suuri kuin ensimmäisen ja toisen tekijän derivaatan tulo plus ensimmäisen tekijän ja toisen derivaatan tulo.
3. "Y":n derivaatta jaettuna "ve":llä on yhtä suuri kuin murtoluku, jossa osoittaja on "y alkuluku kerrottuna "ve" miinus "y kerrottuna ve:llä" ja nimittäjä on "ve neliö".
4. Kaavan erikoistapaus 3.
Opitaan yhdessä!
Sivu 1/1 1
Johdannainen laskelma- yksi tärkeimmistä differentiaalilaskennan operaatioista. Alla on taulukko yksinkertaisten funktioiden johdannaisten löytämiseksi. Katso monimutkaisemmat erottelusäännöt muista oppitunneista:- Taulukko eksponentiaalisten ja logaritmisten funktioiden derivaatoista
Yksinkertaisten funktioiden johdannaiset
1. Luvun derivaatta on nollaс´ = 0
Esimerkki:
5´ = 0
Selitys:
Derivaata näyttää nopeuden, jolla funktion arvo muuttuu, kun sen argumentti muuttuu. Koska luku ei muutu millään tavalla missään olosuhteissa, sen muutosnopeus on aina nolla.
2. Muuttujan johdannainen yhtä suuri kuin yksi
x = 1
Selitys:
Jokaisella argumentin (x) yhden lisäyksellä funktion arvo (laskennan tulos) kasvaa saman verran. Siten funktion y = x arvon muutosnopeus on täsmälleen sama kuin argumentin arvon muutosnopeus.
3. Muuttujan ja tekijän derivaatta on yhtä suuri kuin tämä tekijä
сx´ = с
Esimerkki:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Selitys:
Tässä tapauksessa joka kerta kun funktion argumentti muuttuu ( X) sen arvo (y) kasvaa Kanssa kerran. Siten funktion arvon muutosnopeus suhteessa argumentin muutosnopeuteen on täsmälleen sama kuin arvo Kanssa.
Mistä se seuraa
(cx + b)" = c
eli lineaarifunktion y=kx+b differentiaali on yhtä suuri kuin suoran (k) kaltevuus.
4. Muuttujan modulojohdannainen yhtä suuri kuin tämän muuttujan ja sen moduulin osamäärä
|x|"= x / |x| edellyttäen, että x ≠ 0
Selitys:
Koska muuttujan derivaatta (katso kaava 2) on yhtä suuri kuin yksikkö, moduulin derivaatta eroaa vain siinä, että funktion muutosnopeuden arvo muuttuu päinvastaiseksi alkupisteen ylittäessä (kokeile piirtää kuvaaja funktion y = |x|< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - yksi. Toisin sanoen muuttujan x negatiivisille arvoille jokaisella argumentin lisäyksellä funktion arvo pienenee täsmälleen samalla arvolla ja positiivisilla arvoilla se päinvastoin kasvaa, mutta täsmälleen samalla arvolla. .
5. Muuttujan johdannainen potenssiin yhtä suuri kuin tämän tehon luvun ja muuttujan tulo yhdellä teholla
(x c)" = cx c-1, edellyttäen, että x c ja cx c-1 on määritelty ja c ≠ 0
Esimerkki:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Muistaakseni kaava:
Siirrä muuttujan aste alas tekijänä ja pienennä sitten itse asteta yhdellä. Esimerkiksi x 2:lle - nämä kaksi olivat x:n edellä, ja sitten vähennetty teho (2-1 = 1) antoi meille yksinkertaisesti 2x. Sama tapahtui x 3:lle - "siirrämme" kolminkertaista alas, pienennämme sitä yhdellä ja kuution sijaan meillä on neliö, eli 3x 2. Hieman "epätieteellistä", mutta erittäin helppo muistaa.
6.Murtoluvun johdannainen 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Esimerkki:
Koska murto-osa voidaan esittää nostavana negatiiviseen potenssiin
(1/x)" = (x -1)", voit soveltaa kaavaa johdannaistaulukon säännöstä 5
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. Murtoluvun johdannainen mielivaltaisen asteen muuttujalla nimittäjässä
(1/x c)" = - c/x c+1
Esimerkki:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. Juuren johdannainen(neliöjuuren alaisen muuttujan johdannainen)
(√x)" = 1 / (2√x) tai 1/2 x -1/2
Esimerkki:
(√x)" = (x 1/2)" tarkoittaa, että voit käyttää kaavaa säännöstä 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)
9. Johdannainen mielivaltaisen asteen juuren alla olevasta muuttujasta
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)
