Absoluuttinen ja suhteellinen virhe

Virheteorian elementit

Tarkat ja likimääräiset luvut

Numeron tarkkuus ei yleensä ole epäselvä, kun on kyse kokonaisista data-arvoista (2 kynää, 100 puuta). Kuitenkin useimmissa tapauksissa, kun on mahdotonta ilmoittaa luvun tarkkaa arvoa (esimerkiksi mitatessa objektia viivaimella, otettaessa tuloksia laitteesta jne.), kyseessä on likimääräinen data.

Likimääräinen arvo on luku, joka poikkeaa hieman tarkasta arvosta ja korvaa sen laskelmissa. Se, missä määrin luvun likimääräinen arvo eroaa sen tarkasta arvosta, on tunnusomaista virhe .

Seuraavat pääasialliset virhelähteet erotetaan toisistaan:

1. Virheet ongelman muotoilussa, joka syntyy todellisen ilmiön likimääräisen kuvauksen seurauksena matemaattisesti.

2. Menetelmävirheet, joka liittyy tietyn ongelman ratkaisemisen ja sen korvaamisen samankaltaisella vaikeudella tai mahdottomuudella siten, että on mahdollista soveltaa tunnettua ja saavutettavissa olevaa ratkaisumenetelmää ja saada lopputulos, joka on lähellä haluttua.

3. kohtalokkaat virheet, joka liittyy alkuperäisten tietojen likimääräisiin arvoihin ja johtuu laskelmien suorittamisesta likimääräisillä luvuilla.

4. Pyöristysvirheet liittyy laskennallisilla työkaluilla saatujen lähtötietojen, väli- ja lopputulosten arvojen pyöristämiseen.

Absoluuttinen ja suhteellinen virhe

Virheiden huomioiminen on tärkeä näkökohta numeeristen menetelmien soveltamisessa, koska koko ongelman ratkaisun lopputuloksessa oleva virhe on kaikenlaisten virheiden vuorovaikutuksen tulos. Siksi yksi virheteorian päätehtävistä on arvioida tuloksen tarkkuutta lähdetietojen tarkkuuden perusteella.

Jos on tarkka luku ja sen likimääräinen arvo, niin likimääräisen arvon virhe (virhe) on sen arvon läheisyysaste sen tarkkaan arvoon.

Yksinkertaisin kvantitatiivinen virheen mitta on absoluuttinen virhe, joka määritellään seuraavasti

(1.1.2-1)

Kuten kaavasta 1.1.2-1 voidaan nähdä, absoluuttisella virheellä on samat mittayksiköt kuin arvolla. Siksi absoluuttisen virheen suuruuden perusteella ei aina voida tehdä oikeaa johtopäätöstä approksimoinnin laadusta. Esimerkiksi jos , ja puhumme koneen osasta, niin mittaukset ovat erittäin karkeita, ja jos puhumme aluksen koosta, niin ne ovat erittäin tarkkoja. Tässä yhteydessä otettiin käyttöön suhteellisen virheen käsite, jossa absoluuttisen virheen arvo liittyy likimääräisen arvon moduuliin ( ).

(1.1.2-2)

Suhteellisten virheiden käyttö on kätevää erityisesti siksi, että ne eivät riipu suureiden ja mittausyksiköiden mittakaavasta. Suhteellinen virhe mitataan murto- tai prosentteina. Eli esimerkiksi jos

,A , Tuo , ja jos Ja ,

niin sitten .

Funktion virheen numeeriseksi arvioimiseksi sinun on tiedettävä toimintojen virheen laskemisen perussäännöt:

· kun lisäät ja vähennät lukuja lukujen absoluuttiset virheet lasketaan yhteen

· kerrottaessa ja jaettaessa lukuja niiden suhteelliset virheet summautuvat toisiinsa

· kun nostetaan likimääräinen luku potenssiin sen suhteellinen virhe kerrotaan eksponentilla

Esimerkki 1.1.2-1. Annettu toiminto: . Etsi arvon absoluuttiset ja suhteelliset virheet (aritmeettisten toimintojen tuloksen virhe), jos arvot tunnetaan, ja 1 on tarkka luku ja sen virhe on nolla.

Kun näin on määritetty suhteellisen virheen arvo, voimme löytää absoluuttisen virheen arvon as , jossa arvo lasketaan käyttämällä likimääräisten arvojen kaavaa

Koska määrän tarkka arvo on yleensä tuntematon, laskelma Ja yllä olevien kaavojen mukaan se on mahdotonta. Siksi käytännössä lomakkeen maksimivirheet arvioidaan:

(1.1.2-3)

Missä Ja - tunnetut suureet, jotka ovat absoluuttisten ja suhteellisten virheiden ylärajoja, muuten niitä kutsutaan - maksimi absoluuttinen ja suurin suhteellinen virhe. Tarkka arvo on siis:

Jos arvo siis tiedossa , ja jos määrä on tiedossa , Tuo

Olkoon joku satunnaismuuttuja a mitattu n kertaa samoissa olosuhteissa. Mittaustulokset antoivat sarjan n eri numerot

Absoluuttinen virhe- mitta-arvo. Joukossa n Absoluuttiset virhearvot ovat välttämättä sekä positiivisia että negatiivisia.

Määrän todennäköisin arvo A yleensä otettu keskiverto mittaustulosten arvo

.

Mitä enemmän mittauksia on, sitä lähempänä keskiarvo on todellista arvoa.

Absoluuttinen virhei

.

Suhteellinen virhei- Mittausta kutsutaan määräksi

Suhteellinen virhe on mittaton suure. Yleensä suhteellinen virhe ilmaistaan ​​prosentteina e i kerrotaan 100 %:lla. Suhteellisen virheen suuruus luonnehtii mittauksen tarkkuutta.

Keskimääräinen absoluuttinen virhe määritellään näin:

.

Korostamme tarvetta summata suureiden D absoluuttiset arvot (moduulit). ja minä. Muuten tulos on identtinen nolla.

Keskimääräinen suhteellinen virhe kutsutaan määräksi

.

Suuri määrä mittauksia.

Suhteellista virhettä voidaan pitää virhearvona mitatun arvon yksikköä kohden.

Mittausten tarkkuus arvioidaan vertaamalla mittaustulosten virheitä. Siksi mittausvirheet ilmaistaan ​​sellaisessa muodossa, että tarkkuuden arvioimiseksi riittää vain tulosten virheiden vertailu vertaamatta mitattavien kohteiden kokoja tai tuntematta näitä kokoja hyvin likimääräisesti. Käytännöstä tiedetään, että absoluuttinen virhe kulman mittauksessa ei riipu kulman arvosta, ja absoluuttinen virhe pituuden mittauksessa riippuu pituuden arvosta. Mitä suurempi pituus, sitä suurempi absoluuttinen virhe tietylle menetelmälle ja mittausolosuhteille. Näin ollen tuloksen absoluuttista virhettä voidaan käyttää arvioimaan kulmamittauksen tarkkuutta, mutta pituusmittauksen tarkkuutta ei voida arvioida. Virheen ilmaiseminen suhteellisessa muodossa mahdollistaa kulma- ja lineaarimittausten tarkkuuden vertaamisen tunnetuissa tapauksissa.

Todennäköisyysteorian peruskäsitteet. Satunnainen virhe.

Satunnainen virhe kutsutaan mittausvirheen komponentiksi, joka muuttuu satunnaisesti saman suuren toistuvien mittausten aikana.

Kun saman vakion, muuttumattoman suuren toistuvia mittauksia suoritetaan samalla huolella ja samoissa olosuhteissa, saadaan mittaustuloksia - osa niistä eroaa toisistaan ​​ja osa osuu yhteen. Tällaiset erot mittaustuloksissa viittaavat satunnaisvirhekomponenttien esiintymiseen niissä.

Satunnaisvirhe syntyy useiden lähteiden samanaikaisesta vaikutuksesta, joista jokaisella on itsessään huomaamaton vaikutus mittaustulokseen, mutta kaikkien lähteiden kokonaisvaikutus voi olla melko voimakas.

Satunnaiset virheet ovat väistämätön seuraus kaikista mittauksista, ja ne johtuvat:

a) mittareiden ja instrumenttien asteikon lukemien epätarkkuudet;

b) toistuvien mittausten olosuhteiden epäidenttisyys;

c) satunnaiset muutokset ulkoisissa olosuhteissa (lämpötila, paine, voimakenttä jne.), joita ei voida hallita;

d) kaikki muut mittauksiin vaikuttavat vaikutukset, joiden syitä emme tiedä. Satunnaisvirheen suuruus voidaan minimoida toistamalla koe monta kertaa ja vastaavalla saatujen tulosten matemaattisella käsittelyllä.

Satunnaisvirhe voi saada erilaisia ​​absoluuttisia arvoja, joita on mahdotonta ennustaa tietylle mittaukselle. Tämä virhe voi olla yhtä positiivinen tai negatiivinen. Kokeessa esiintyy aina satunnaisia ​​virheitä. Jos järjestelmällisiä virheitä ei ole, ne aiheuttavat toistuvien mittausten hajaantumista suhteessa todelliseen arvoon.

Oletetaan, että heilurin värähtelyjakso mitataan sekuntikellolla ja mittaus toistetaan monta kertaa. Virheet sekuntikellon käynnistyksessä ja pysäytyksessä, virhe lukuarvossa, lievä epätasaisuus heilurin liikkeessä - kaikki tämä aiheuttaa toistuvien mittausten tulosten hajoamista ja voidaan siksi luokitella satunnaisiksi virheiksi.

Jos muita virheitä ei ole, jotkut tulokset ovat jonkin verran yliarvioituja, kun taas toiset ovat jonkin verran aliarvioituja. Mutta jos tämän lisäksi kello on myös jäljessä, kaikki tulokset aliarvioidaan. Tämä on jo systemaattinen virhe.

Jotkut tekijät voivat aiheuttaa sekä systemaattisia että satunnaisia ​​virheitä samanaikaisesti. Joten kääntämällä sekuntikelloa päälle ja pois, voimme luoda pienen epäsäännöllisen eron kellon alkamis- ja pysäytysaikoihin suhteessa heilurin liikkeeseen ja siten aiheuttaa satunnaisen virheen. Mutta jos lisäksi meillä on kiire käynnistää sekuntikello joka kerta ja olla jonkin verran myöhässä sammuttaaksemme sen, tämä johtaa systemaattiseen virheeseen.

Satunnaiset virheet johtuvat parallaksivirheestä laskettaessa instrumenttiasteikon jakoja, rakennuksen perustuksen tärinää, vähäisen ilmanliikkeen vaikutusta jne.

Vaikka yksittäisten mittausten satunnaisia ​​virheitä on mahdotonta eliminoida, satunnaisilmiöiden matemaattinen teoria antaa mahdollisuuden vähentää näiden virheiden vaikutusta lopulliseen mittaustulokseen. Alla osoitetaan, että tätä varten ei tarvitse tehdä yhtä, vaan useita mittauksia, ja mitä pienemmän virhearvon haluamme saada, sitä enemmän mittauksia on tehtävä.

Koska satunnaisten virheiden esiintyminen on väistämätöntä ja väistämätöntä, minkä tahansa mittausprosessin päätehtävänä on vähentää virheet minimiin.

Virheteoria perustuu kahteen kokemuksen vahvistamaan pääoletukseen:

1. Suurilla mittausmäärillä sattuu melko usein samansuuruisia, mutta eri etumerkillisiä satunnaisia ​​virheitä, eli virheitä tuloksen kasvun ja laskun suunnassa.

2. Absoluuttisesti suuret virheet ovat vähemmän yleisiä kuin pienet, joten virheen esiintymistodennäköisyys pienenee sen suuruuden kasvaessa.

Satunnaismuuttujien käyttäytymistä kuvataan tilastollisilla kuvioilla, jotka ovat todennäköisyysteorian aiheita. Todennäköisyyden tilastollinen määritelmä w i Tapahtumat i on suhde

Missä n- kokeiden kokonaismäärä, n i- niiden kokeiden lukumäärä, joissa tapahtuma i tapahtui. Tässä tapauksessa kokeiden kokonaismäärän tulisi olla erittäin suuri ( n®¥). Suurella määrällä mittauksia satunnaiset virheet noudattavat normaalijakaumaa (Gaussin jakauma), jonka pääpiirteet ovat seuraavat:

1. Mitä suurempi mitatun arvon poikkeama todellisesta arvosta on, sitä epätodennäköisemmin tällainen tulos on.

2. Poikkeamat todellisesta arvosta molempiin suuntiin ovat yhtä todennäköisiä.

Edellä olevista oletuksista seuraa, että satunnaisvirheiden vaikutuksen vähentämiseksi tämä arvo on mitattava useita kertoja. Oletetaan, että mittaamme jonkin suuren x. Anna sen tuottaa n mitat: x 1 , x 2 , ... x n- käyttäen samaa menetelmää ja samalla huolella. Voidaan olettaa, että määrä dn saadut tulokset, jotka ovat melko kapealla aikavälillä x ennen x + dx, on oltava suhteellinen:

Otetun intervallin koko dx;

Mittausten kokonaismäärä n.

Todennäköisyys dw(x) että jokin arvo x sijaitsee alueella x ennen x + dx, määritellään seuraavasti :

(mittausten lukumäärän kanssa n ®¥).

Toiminto f(X) kutsutaan jakaumafunktioksi tai todennäköisyystiheydeksi.

Virheteorian postulaattina hyväksytään, että suorien mittausten tulokset ja niiden satunnaisvirheet, kun niitä on suuri määrä, noudattavat normaalijakauman lakia.

Gaussin löytämän jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumafunktio x on seuraavanlainen muoto:

, missä mis - jakeluparametreja .

Normaalijakauman parametri m on yhtä suuri kuin keskiarvo b xñ satunnaismuuttuja, joka mielivaltaiselle tunnetulle jakaumafunktiolle määräytyy integraalin avulla

.

Täten, arvo m on mitatun suuren x todennäköisin arvo, ts. hänen paras arvionsa.

Normaalijakauman parametri s 2 on yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan varianssi D, joka yleensä määräytyy seuraavalla integraalilla

.

Varianssin neliöjuurta kutsutaan satunnaismuuttujan keskihajonnaksi.

Satunnaismuuttujan ásñ keskimääräinen poikkeama (virhe) määritetään jakaumafunktiolla seuraavasti

Gaussin jakaumafunktiosta laskettu keskimääräinen mittausvirhe ásñ on suhteessa keskihajonnan s arvoon seuraavasti:

< s > = 0,8 s.

Parametrit s ja m liittyvät toisiinsa seuraavasti:

.

Tämän lausekkeen avulla voit löytää keskihajonnan s, jos normaalijakaumakäyrä on olemassa.

Gaussin funktion kuvaaja on esitetty kuvissa. Toiminto f(x) on symmetrinen pisteeseen piirretyn ordinaatin suhteen x = m; kulkee maksimipisteen läpi x = m ja sen taivutus pisteissä m ±s. Varianssi siis luonnehtii jakaumafunktion leveyttä tai osoittaa kuinka laajalle satunnaismuuttujan arvot ovat hajallaan suhteessa sen todelliseen arvoon. Mitä tarkemmat mittaukset, sitä lähempänä todellista arvoa yksittäisten mittausten tulokset, ts. arvo s on pienempi. Kuvassa A näkyy toiminto f(x) kolmelle s:n arvolle .

Käyrän ympäröimä hahmon pinta-ala f(x) ja pisteistä vedetyt pystysuorat viivat x 1 ja x 2 (kuva B) , numeerisesti yhtä suuri kuin todennäköisyys, että mittaustulos putoaa väliin D x = x 1 - x 2, jota kutsutaan luottamustodennäköisyydeksi. Koko käyrän alla oleva alue f(x) on yhtä suuri kuin todennäköisyys sille, että satunnaismuuttuja putoaa väliin 0 - ¥, ts.

,

koska luotettavan tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin yksi.

Normaalijakaumaa käyttämällä virheteoria asettaa ja ratkaisee kaksi pääongelmaa. Ensimmäinen on tehtyjen mittausten tarkkuuden arviointi. Toinen on mittaustulosten aritmeettisen keskiarvon tarkkuuden arviointi.5. Luottamusväli. Opiskelijan kerroin.

Todennäköisyysteorian avulla voimme määrittää sen intervallin koon, jossa tunnetulla todennäköisyydellä w yksittäisten mittausten tulokset löytyvät. Tätä todennäköisyyttä kutsutaan luottamustodennäköisyys, ja vastaava väli (<x>±D x)w nimeltään luottamusväli. Luottamustodennäköisyys on myös yhtä suuri kuin luottamusvälille osuvien tulosten suhteellinen osuus.

Jos mittausten määrä n on riittävän suuri, silloin luottamustodennäköisyys ilmaisee osuuden kokonaisluvusta n ne mittaukset, joissa mitattu arvo oli luottamusvälin sisällä. Jokainen luottamustodennäköisyys w vastaa sen luottamusväliä w 2 80 %. Mitä leveämpi luottamusväli, sitä suurempi on todennäköisyys saada tulos kyseisellä aikavälillä. Todennäköisyysteoriassa määritetään kvantitatiivinen suhde luottamusvälin arvon, luottamustodennäköisyyden ja mittausten lukumäärän välille.

Jos valitsemme luottamusväliksi keskimääräistä virhettä vastaavan välin eli D a = ilmoitus Añ, niin riittävän suurelle määrälle mittauksia se vastaa luottamustodennäköisyyttä w 60 %. Mittausten määrän pienentyessä tällaista luottamusväliä vastaava luottamustodennäköisyys (á Añ ± ilmoitus Añ), pienenee.

Näin ollen satunnaismuuttujan luottamusvälin arvioimiseen voidaan käyttää keskimääräisen virheen áD arvoa Añ .

Satunnaisvirheen suuruuden karakterisoimiseksi on tarpeen määrittää kaksi numeroa, nimittäin luottamusvälin arvo ja luottamustodennäköisyyden arvo . Vain virheen suuruuden ilmoittaminen ilman vastaavaa luottamustodennäköisyyttä on suurelta osin merkityksetöntä.

Jos keskimääräinen mittausvirhe ásñ tunnetaan, luottamusväli kirjoitetaan muodossa (<x> ± ásñ) w, määritetty todennäköisyydellä w= 0,57.

Jos keskihajonta s tunnetaan mittaustulosten jakauma, määritetty aikaväli on muotoa (<x>± t w s) w, Missä t w- kerroin, joka riippuu luottamustodennäköisyysarvosta ja lasketaan Gaussin jakauman avulla.

Yleisimmin käytetyt määrät D x on annettu taulukossa 1.

FYSIKAALLISTEN MÄÄRIEN MITTAUS.

JOHDANTO

K-402.1-kompleksi edustaa tarvittavaa luetteloa laboratoriotöistä, jotka on säädetty koulutusstandardissa ja työohjelmassa tieteenalan "Fysiikka" -osion "Kiinteän kehon dynamiikka". Se sisältää kuvauksen laboratoriolaitteistoista, mittausmenettelystä ja algoritmin tiettyjen fyysisten suureiden laskemiseksi.

Jos opiskelija alkaa tutustua tiettyyn työhön luokkahuoneessa oppitunnin aikana, yhden laboratoriotyön tekemiseen varatut kaksi tuntia eivät riitä hänelle ja hän alkaa jäädä lukukauden aikataulusta työn suorittamiseen. Tämän poistamiseksi toisen sukupolven koulutusstandardi edellyttää, että 50 % alan opiskeluun osoitetuista tunneista käytetään itsenäiseen työhön, joka on välttämätön osa oppimisprosessia. Itsenäisen työskentelyn tarkoituksena on lujittaa ja syventää tietoja ja taitoja, valmistautua luennoille, käytännön ja laboratoriotunneille sekä kehittää opiskelijoiden itsenäisyyttä uuden tiedon ja taitojen hankkimisessa.

Eri erikoisalojen opetussuunnitelmat edellyttävät tieteenalan "Fysiikka" itsenäistä opiskelua lukukauden aikana 60 - 120 tuntia. Näistä laboratoriotunteja on 20–40 tuntia eli 2–4 tuntia per työ. Tänä aikana opiskelijan tulee: lukea asiaankuuluvat kappaleet oppikirjoista; oppia peruskaavoja ja lakeja; tutustu asennus- ja mittausmenettelyyn. Asennustyötä varten opiskelijan tulee tuntea laitteiston laite, osata määrittää mittauslaitteen jakoarvo, tuntea mittausjärjestys, osata käsitellä mittaustuloksia ja arvioida virhe.

Kaikkien laskelmien ja raportin laatimisen jälkeen opiskelijan on tehtävä johtopäätös, joka osoittaa erityisesti ne fysikaaliset lait, jotka testattiin työn aikana.

Mittauksia on kahdenlaisia: suoria ja epäsuoria.

Suorat mittaukset ovat mittauksia, joissa tehdään mittaa ja kohdetta vertailu. Mittaa esimerkiksi sylinterin korkeus ja halkaisija jarrusatulalla.

Epäsuorassa mittauksessa fysikaalinen suure määritetään kaavan perusteella, joka määrittää sen suhteen suorilla mittauksilla saatuihin suureisiin.

Mittausta ei voi tehdä täysin tarkasti. Sen tulos sisältää aina jonkin virheen.

Mittausvirheet jaetaan yleensä systemaattisiin ja satunnaisiin.

Systemaattiset virheet johtuvat tekijöistä, jotka toimivat samalla tavalla, kun samat mittaukset toistetaan monta kertaa.

Osuus systemaattisiin virheisiin tulee instrumentaalista tai instrumentin virhe, joka määräytyy laitteen herkkyyden mukaan. Tällaisten tietojen puuttuessa instrumentista instrumentin virheeksi katsotaan hinta tai puolet instrumentin pienimmän mittakaavan jaon hinnasta.

Satunnaisia ​​virheitä johtuu useiden tekijöiden samanaikaisesta vaikutuksesta, joita ei voida ottaa huomioon. Useimpiin mittauksiin liittyy satunnaisia ​​virheitä, joille on tunnusomaista, että jokaisella toistetulla mittauksella ne saavat erilaisen, arvaamattoman arvon.

Absoluuttinen virhe sisältää systemaattisia ja satunnaisia ​​virheitä:

. (1.1)

Mitatun arvon todellinen arvo on alueella:

jota kutsutaan luottamusväliksi.

Satunnaisvirheen määrittämiseksi laske ensin kaikkien mittauksen aikana saatujen arvojen keskiarvo:

, (1.2)

missä on tulos i-th mitta, - mittojen lukumäärä.

Sitten löydetään yksittäisten mittausten virheet

, , …, .

. (1.3)

Mittaustulosten käsittelyssä käytetään Student-jakaumaa. Ottaen huomioon Student-kertoimen, satunnaisvirhe

.

Taulukko 1.1

Opiskelijan kerrointaulukko

n
0,6	0,7	0,9	0,95	0,99
	1,36	2,0	6,3	12,7	636,6
	1,06	1,3	2,9	4,3	31,6
	0,98	1,3	2,4	3,2	12,9
	0,94	1,2	2,1	2,8	8,7
…	…	…	…	…	…
	0,85	1,0	1,7	2,0	3,5
	0,84	1,0	1,7	2,0	3,4

Studentin kerroin näyttää aritmeettisen keskiarvon poikkeaman todellisesta arvosta, ilmaistuna murto-osana keskineliövirheestä. Opiskelijan kerroin riippuu mittausten määrästä n ja luotettavuudesta ja on ilmoitettu taulukossa. 1.1.

Absoluuttinen virhe lasketaan kaavalla

.

Useimmissa tapauksissa se ei ole absoluuttinen, vaan suhteellinen virhe, joka on tärkeämpi rooli

Tai . (1.4)

Kaikki laskennan tulokset syötetään taulukkoon. 1.2.

Taulukko 1.2

Mittausvirheen laskennan tulos

Ei.
	mm	mm	mm	mm 2	mm 2	mm	mm	mm	mm	mm	%

Epäsuorien mittausten virheiden laskenta

Mitat ovat ns suoraan, jos suureiden arvot määritetään suoraan instrumenteilla (esimerkiksi pituuden mittaaminen viivaimella, ajan määrittäminen sekuntikellolla jne.). Mitat ovat ns epäsuora, jos mitatun suuren arvo määritetään suorilla mittauksilla muista suureista, jotka liittyvät tiettyyn mitattavaan suhteeseen.

Satunnaiset virheet suorissa mittauksissa

Absoluuttinen ja suhteellinen virhe. Anna sen toteuttaa N saman suuren mittaukset x järjestelmällisen virheen puuttuessa. Yksittäiset mittaustulokset ovat seuraavat: x 1 ,x 2 , …,x N. Mitatun arvon keskiarvo valitaan parhaaksi:

Absoluuttinen virhe Yksittäistä mittausta kutsutaan muodon eroksi:

.

Keskimääräinen absoluuttinen virhe N yksikön mitat:

(2)

nimeltään keskimääräinen absoluuttinen virhe.

Suhteellinen virhe Keskimääräisen absoluuttisen virheen suhdetta mitatun suuren keskiarvoon kutsutaan:

. (3)

Laitevirheet suorissa mittauksissa

Jos erityisiä ohjeita ei ole, instrumenttivirhe on puolet sen jakoarvosta (viivain, dekantterilasi).

Nonierilla varustettujen instrumenttien virhe on yhtä suuri kuin nousijaon arvo (mikrometri - 0,01 mm, paksuus - 0,1 mm).

Taulukon arvojen virhe on yhtä suuri kuin puoli yksikköä viimeisestä numerosta (viisi yksikköä seuraavasta järjestyksestä viimeisen merkitsevän numeron jälkeen).

Sähköisten mittauslaitteiden virhe lasketaan tarkkuusluokan mukaan KANSSA merkitty instrumenttiasteikkoon:

Esimerkiksi:
Ja
,

Missä U max Ja minä max– laitteen mittausraja.

Digitaalisella näytöllä varustettujen laitteiden virhe on yhtä suuri kuin yksi näytön viimeisistä numeroista.

Satunnais- ja instrumentaalivirheiden arvioinnin jälkeen otetaan huomioon se, jonka arvo on suurempi.

Epäsuorien mittausten virheiden laskeminen

Suurin osa mittauksista on epäsuoria. Tässä tapauksessa haluttu arvo X on useiden muuttujien funktio A,b, c… , jonka arvot löytyvät suorilla mittauksilla: X = f( a, b, c…).

Epäsuorien mittausten tuloksen aritmeettinen keskiarvo on yhtä suuri:

X = f( a, b, c…).

Yksi tapa laskea virhe on erottaa funktion luonnollinen logaritmi X = f( a, b, c...). Jos esimerkiksi haluttu arvo X määräytyy suhteella X = , niin logaritmin jälkeen saadaan: lnX = ln a+ln b+ln( c+ d).

Tämän lausekkeen differentiaalilla on muoto:

.

Suhteessa likimääräisten arvojen laskemiseen se voidaan kirjoittaa suhteelliselle virheelle muodossa:

 =
. (4)

Absoluuttinen virhe lasketaan kaavalla:

Х = Х(5)

Siten virheiden laskenta ja epäsuorien mittausten tuloksen laskeminen suoritetaan seuraavassa järjestyksessä:

1) Mittaa kaikki alkuperäiseen kaavaan sisältyvät suuret lopullisen tuloksen laskemiseksi.

2) Laske kunkin mitatun arvon aritmeettiset keskiarvot ja niiden absoluuttiset virheet.

3) Korvaa kaikkien mitattujen arvojen keskiarvot alkuperäiseen kaavaan ja laske halutun arvon keskiarvo:

X = f( a, b, c…).

4) Logaritme alkuperäinen kaava X = f( a, b, c...) ja kirjoita suhteellisen virheen lauseke kaavan (4) muodossa.

5) Laske suhteellinen virhe  = .

6) Laske tuloksen absoluuttinen virhe kaavan (5) avulla.

7) Lopputulos kirjoitetaan seuraavasti:

X = X keskim. X

Yksinkertaisimpien funktioiden absoluuttiset ja suhteelliset virheet on annettu taulukossa:

	Ehdoton virhe	Suhteellinen virhe
	a+ b
	a+ b
Absoluuttisia ja suhteellisia virheitä käytetään arvioimaan epätarkkuutta erittäin monimutkaisissa laskelmissa. Niitä käytetään myös erilaisissa mittauksissa ja laskentatulosten pyöristämisessä. Katsotaanpa kuinka määrittää absoluuttinen ja suhteellinen virhe. Absoluuttinen virhe Numeron ehdoton virhe soita tämän numeron ja sen tarkan arvon erotusta. Katsotaanpa esimerkkiä : Koulussa on 374 oppilasta. Jos pyöristetään tämä luku 400:aan, niin absoluuttinen mittausvirhe on 400-374=26. Absoluuttisen virheen laskemiseksi sinun on vähennettävä pienempi luku suuremmasta. Absoluuttiselle virheelle on kaava. Merkitään tarkkaa lukua kirjaimella A ja kirjaimella a - likimäärää tarkkaan numeroon. Likimääräinen luku on luku, joka eroaa hieman tarkasta ja yleensä korvaa sen laskelmissa. Sitten kaava näyttää tältä: Δa = A-a. Keskustelimme edellä kuinka löytää absoluuttinen virhe kaavan avulla. Käytännössä absoluuttinen virhe ei riitä mittauksen tarkkaan arvioimiseen. Harvoin on mahdollista tietää mitatun suuren tarkka arvo absoluuttisen virheen laskemiseksi. Mittaamalla 20 cm pitkää kirjaa ja sallien 1 cm:n virheen, mittausta voidaan pitää suurella virheellä. Mutta jos 20 metrin seinää mitatessa tehtiin 1 cm virhe, tätä mittausta voidaan pitää mahdollisimman tarkana. Siksi käytännössä suhteellisen mittausvirheen määrittäminen on tärkeämpää. Kirjaa luvun absoluuttinen virhe ±-merkillä. Esimerkiksi , tapettirullan pituus on 30 m ± 3 cm. Absoluuttinen virheraja on suurin absoluuttinen virhe. Suhteellinen virhe Suhteellinen virhe He kutsuvat luvun absoluuttisen virheen suhdetta itse numeroon. Laskeaksemme esimerkin suhteellisen virheen opiskelijoilla jaamme 26:lla 374. Saamme luvun 0,0695, muunnetaan se prosentiksi ja saadaan 6%. Suhteellinen virhe ilmoitetaan prosentteina, koska se on dimensioton suure. Suhteellinen virhe on tarkka arvio mittausvirheestä. Jos otamme 1 cm:n absoluuttisen virheen mitattaessa 10 cm:n ja 10 m:n segmenttien pituutta, suhteelliset virheet ovat vastaavasti 10% ja 0,1%. 10 cm pituisella segmentillä 1 cm:n virhe on erittäin suuri, tämä on 10 %:n virhe. Mutta kymmenen metrin segmentillä 1 cm:llä ei ole väliä, vain 0,1%. On systemaattisia ja satunnaisia ​​virheitä. Systemaattinen on virhe, joka pysyy muuttumattomana toistuvien mittausten aikana. Satunnaisvirhe syntyy ulkoisten tekijöiden vaikutuksesta mittausprosessiin ja voi muuttaa sen arvoa. Virheiden laskentasäännöt Virheiden nimellisarvioinnissa on useita sääntöjä: kun lukuja lisätään ja vähennetään, on tarpeen laskea yhteen niiden absoluuttiset virheet; kun jaetaan ja kerrotaan lukuja, on tarpeen lisätä suhteelliset virheet; Kun se nostetaan potenssiin, suhteellinen virhe kerrotaan eksponentilla. Likimääräiset ja tarkat luvut kirjoitetaan käyttämällä desimaalilukuja. Vain keskiarvo otetaan, koska tarkka arvo voi olla äärettömän pitkä. Ymmärtääksesi kuinka kirjoittaa nämä numerot, sinun on opittava todellisista ja kyseenalaisista numeroista. Tosiluvut ovat niitä lukuja, joiden järjestys ylittää luvun absoluuttisen virheen. Jos luvun numero on pienempi kuin absoluuttinen virhe, sitä kutsutaan epäilyttäväksi. Esimerkiksi , murtoluvulle 3,6714, jonka virhe on 0,002, oikeat luvut ovat 3,6,7 ja epäilyttävät 1 ja 4. Likimääräisen luvun tallenteeseen jää vain oikeat luvut. Murto-osa näyttää tässä tapauksessa tältä - 3,67. Mitä olemme oppineet? Mittausten tarkkuuden arvioinnissa käytetään absoluuttisia ja suhteellisia virheitä. Absoluuttinen virhe on ero tarkan ja likimääräisen luvun välillä. Suhteellinen virhe on luvun absoluuttisen virheen suhde itse numeroon. Käytännössä käytetään suhteellista virhettä, koska se on tarkempi. AIHEESEEN LIITTYVÄT ARTIKKELIT Palaute Sivustokartta Tietoja sivustosta