Sillä erolla, että "tasaisten" kaavioiden sijaan tarkastelemme yleisimpiä tilapintoja ja opimme myös rakentamaan ne pätevästi käsin. Käytin melko pitkään valittaessa ohjelmistotyökaluja kolmiulotteisten piirustusten luomiseen ja löysin pari hyvää sovellusta, mutta kaikesta helppokäyttöisyydestä huolimatta nämä ohjelmat eivät ratkaise hyvin tärkeää käytännön asiaa. Tosiasia on, että ennakoitavissa olevassa historiallisessa tulevaisuudessa opiskelijat ovat edelleen aseistettuja viivaimella ja lyijykynällä, ja vaikka heillä olisi korkealaatuinen "konepiirustus", monet eivät pysty siirtämään sitä oikein ruudulliselle paperille. Siksi käsikirjassa kiinnitetään erityistä huomiota manuaalisen rakentamisen tekniikkaan ja merkittävä osa sivukuvista on käsintehty tuote.

Miten tämä vertailumateriaali eroaa analogeista?

Koska minulla on kunnollinen käytännön kokemus, tiedän erittäin hyvin, mitä pintoja joudumme useimmiten käsittelemään korkeamman matematiikan todellisissa ongelmissa, ja toivon, että tämä artikkeli auttaa sinua nopeasti täydentämään matkatavaroitasi asiaankuuluvilla tiedoilla ja sovellettavilla taidoilla, joiden osuus on 90 -95% tapauksia pitäisi olla tarpeeksi.

Mitä sinun täytyy pystyä tekemään tällä hetkellä?

Kaikkein perus:

Ensinnäkin sinun on kyettävä rakentaa oikein spatiaalinen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä (katso artikkelin alku Kuvaajat ja funktioiden ominaisuudet) .

Mitä saat tämän artikkelin lukemisen jälkeen?

Pullo Oppitunnin materiaalien hallitsemisen jälkeen opit nopeasti määrittämään pinnan tyypin sen funktion ja/tai yhtälön perusteella, kuvittelemaan kuinka se sijoittuu avaruudessa ja tietysti piirtämään. Ei haittaa, jos et saa kaikkea mieleesi ensimmäisen lukemisen jälkeen – voit aina palata mihin tahansa kappaleeseen myöhemmin tarvittaessa.

Tieto on jokaisen vallassa - sen hallitsemiseen ei tarvita supertietoa, erityistä taiteellista lahjakkuutta tai tilanäköä.

Alkaa!

Käytännössä tilapinta on yleensä annettu kahden muuttujan funktio tai muodon yhtälö (oikealla oleva vakio on useimmiten nolla tai yksi). Ensimmäinen nimitys on tyypillisempi matemaattiselle analyysille, toinen - varten analyyttinen geometria. Yhtälö on pohjimmiltaan implisiittisesti annettu 2 muuttujan funktio, joka tyypillisissä tapauksissa voidaan helposti pelkistää muotoon . Haluan muistuttaa sinua yksinkertaisimmasta esimerkistä c:

–tasoyhtälö kiltti .

– tasotoiminto sisään nimenomaisesti .

Aloitetaan siitä:

Tasojen yhteiset yhtälöt

Tyypillisiä vaihtoehtoja tasojen järjestämiseksi suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään käsitellään yksityiskohtaisesti artikkelin alussa. Tasoyhtälö. Pysähdytään kuitenkin vielä kerran yhtälöihin, joilla on suuri merkitys käytännön kannalta.

Ensinnäkin sinun on tunnistettava täysin automaattisesti tasojen yhtälöt, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​koordinaattitasojen kanssa. Tasojen fragmentit kuvataan tavallisesti suorakulmioina, jotka kahdessa viimeisessä tapauksessa näyttävät suunnikkaalta. Oletuksena voit valita mitkä tahansa mitat (tietysti kohtuullisissa rajoissa), mutta on toivottavaa, että piste, jossa koordinaattiakseli "lävistää" tason, on symmetrian keskipiste:


Tarkkaan ottaen koordinaattiakselit tulisi kuvata paikoin katkoviivoilla, mutta hämmennyksen välttämiseksi jätämme tämän vivahteen huomioimatta.

– (vasen piirros) epäyhtälö määrittelee meistä kauimpana olevan puoliavaruuden, itse taso pois lukien;

– (keskimmäinen piirros) epäyhtälö määrittää oikean puoliavaruuden, tason mukaan lukien;

– (oikea piirros) kaksois-epäyhtälö määrittelee "kerroksen", joka sijaitsee tasojen välissä, mukaan lukien molemmat tasot.

Itselämmittelyyn:

Esimerkki 1

Piirrä tasojen rajaama kappale
Luo epätasa-arvojärjestelmä, joka määrittelee tietyn kappaleen.

Vanhan tutun pitäisi nousta kynäsi johdosta. kuutiomainen. Älä unohda, että näkymättömät reunat ja kasvot on piirrettävä katkoviivalla. Valmistunut piirtäminen oppitunnin lopussa.

Ole kiltti, ÄLÄ LAITTAA oppimistehtäviä, vaikka ne tuntuvat liian yksinkertaisilta. Muuten voi käydä niin, että unohdit sen kerran, missasit sen kahdesti ja vietit sitten reilun tunnin yrittääksesi selvittää kolmiulotteisen piirustuksen jossain todellisessa esimerkissä. Lisäksi mekaaninen työ auttaa sinua oppimaan materiaalia paljon tehokkaammin ja kehittämään älykkyyttäsi! Ei ole sattumaa, että päiväkodissa ja ala-asteella lapsia kuormitetaan piirtämis-, mallinnus-, rakennusleluilla ja muilla sormien hienomotoriikkatehtävillä. Anteeksi poikkeama, mutta kahta kehityspsykologian muistikirjaani ei pitäisi kadota =)

Kutsumme ehdollisesti seuraavaa tasoryhmää "suoraan suhteellisuuteen" - nämä ovat koordinaattiakselien läpi kulkevia tasoja:

2) muotoinen yhtälö määrittelee akselin läpi kulkevan tason;

3) muotoinen yhtälö määrittelee akselin läpi kulkevan tason.

Vaikka muodollinen merkki on ilmeinen (mikä muuttuja puuttuu yhtälöstä – taso kulkee kyseisen akselin läpi), on aina hyödyllistä ymmärtää tapahtumien ydin:

Esimerkki 2

Rakenna lentokone

Mikä on paras tapa rakentaa? Ehdotan seuraavaa algoritmia:

Ensin kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon , josta näkyy selvästi, että "y" voi olla minkä tahansa merkityksiä. Kiinnitetään arvo, eli otetaan huomioon koordinaattitaso. Yhtälöt asetettu avaruusviiva, joka sijaitsee tietyssä koordinaattitasossa. Kuvataan tämä viiva piirustuksessa. Suora kulkee koordinaattien origon kautta, joten sen rakentamiseen riittää, että löytää yksi piste. Antaa . Aseta piste sivuun ja piirrä suora viiva.

Nyt palataan tason yhtälöön. Koska "Y" hyväksyy minkä tahansa arvot, sitten tasoon rakennettu suora "toistetaan" jatkuvasti vasemmalle ja oikealle. Juuri näin tasomme muodostuu, kulkee akselin läpi. Piirustuksen viimeistelemiseksi asetamme kaksi yhdensuuntaista viivaa suoran vasemmalle ja oikealle puolelle ja "suljemme" symbolisen suunnikkaan poikittaisilla vaakasuuntaisilla segmenteillä:

Koska ehto ei asettanut lisärajoituksia, koneen fragmentti voitiin kuvata hieman pienemmässä tai hieman suuremmassa koossa.

Toistetaanpa vielä kerran spatiaalisen lineaarisen epätasa-arvon merkitys esimerkin avulla. Kuinka määrittää sen määrittelemä puoliavaruus? Otetaan joku kohta ei kuulu taso, esimerkiksi piste meitä lähimmästä puoliavaruudesta ja korvaa sen koordinaatit epäyhtälöksi:

Otettu vastaan todellista eriarvoisuutta, mikä tarkoittaa, että epäyhtälö määrittelee alemman (tasoon nähden) puoliavaruuden, kun taas itse taso ei sisälly ratkaisuun.

Esimerkki 3

Rakenna lentokoneita
A) ;
b) .

Nämä ovat itserakentamisen tehtäviä, jos sinulla on vaikeuksia, käytä samanlaista päättelyä. Lyhyet ohjeet ja piirustukset oppitunnin lopussa.

Käytännössä akselin suuntaiset tasot ovat erityisen yleisiä. Erikoistapausta, jossa taso kulkee akselin läpi, käsiteltiin juuri kappaleessa "olla", ja nyt analysoimme yleisemmän ongelman:

Esimerkki 4

Rakenna lentokone

Ratkaisu: muuttuja "z" ei ole eksplisiittisesti sisällytetty yhtälöön, mikä tarkoittaa, että taso on yhdensuuntainen sovellusakselin kanssa. Käytetään samaa tekniikkaa kuin edellisissä esimerkeissä.

Kirjoitetaan tason yhtälö uudelleen muotoon josta on selvää, että "zet" voi ottaa minkä tahansa merkityksiä. Korjataan se ja piirretään tavallinen "tasainen" suora "alkuperäiseen" tasoon. Sen rakentamiseksi on kätevää ottaa referenssipisteet.

Koska "Z" hyväksyy Kaikki arvot, sitten muodostettu suora "kertoilee" jatkuvasti ylös ja alas muodostaen siten halutun tason . Piirrämme huolellisesti kohtuullisen kokoisen suunnikkaan:

Valmis.

Tason yhtälö segmenteissä

Tärkein sovellettu lajike. Jos Kaikki kertoimet tason yleinen yhtälö ei-nolla, niin se voidaan esittää muodossa jota kutsutaan tason yhtälö segmenteissä. On selvää, että taso leikkaa koordinaattiakselit pisteissä , ja tällaisen yhtälön suuri etu on piirustuksen rakentamisen helppous:

Esimerkki 5

Rakenna lentokone

Ratkaisu: Luodaan ensin tason yhtälö segmenteissä. Heitetään vapaa termi oikealle ja jaetaan molemmat puolet 12:lla:

Ei, tässä ei ole kirjoitusvirheitä ja kaikki tapahtuu avaruudessa! Tarkastelemme ehdotettua pintaa samalla menetelmällä, jota käytettiin äskettäin koneissa. Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon , josta seuraa, että "zet" ottaa minkä tahansa merkityksiä. Kiinnitetään ja rakennetaan ellipsi tasoon. Koska "zet" hyväksyy Kaikki arvot, niin rakennettua ellipsiä "toistetaan" jatkuvasti ylös ja alas. On helppo ymmärtää, että pinta ääretön:

Tätä pintaa kutsutaan elliptinen sylinteri. Ellipsiä (millä tahansa korkeudella) kutsutaan opas sylinteri, ja ellipsin kunkin pisteen läpi kulkevia yhdensuuntaisia ​​viivoja kutsutaan muodostumista sylinteri (joka kirjaimellisesti muodostaa sen). Akseli on symmetria-akseli pinta (mutta ei osa sitä!).

Minkä tahansa tiettyyn pintaan kuuluvan pisteen koordinaatit täyttävät yhtälön .

Tila epäyhtälö määrittelee äärettömän "putken" "sisäosan", mukaan lukien itse lieriömäisen pinnan, ja vastaavasti päinvastainen epäyhtälö määrittelee joukon pisteitä sylinterin ulkopuolella.

Käytännön ongelmissa suosituin erikoistapaus on milloin opas sylinteri on ympyrä:

Esimerkki 8

Muodosta yhtälön antama pinta

On mahdotonta kuvata loputonta "putkea", joten taide rajoittuu yleensä "leikkaukseen".

Ensin on kätevää rakentaa tasoon sädeympyrä ja sitten vielä pari ympyrää ylä- ja alapuolelle. Tuloksena olevat ympyrät ( oppaita sylinteri) yhdistä varovasti neljällä yhdensuuntaisella suoralla ( muodostumista sylinteri):

Älä unohda käyttää katkoviivoja viivoille, jotka ovat meille näkymättömiä.

Minkä tahansa tiettyyn sylinteriin kuuluvan pisteen koordinaatit täyttävät yhtälön . Minkä tahansa tiukasti "putken" sisällä olevan pisteen koordinaatit tyydyttävät epäyhtälön ja eriarvoisuutta määrittää joukon ulkoisen osan pisteitä. Paremman ymmärryksen saamiseksi suosittelen harkitsemaan useita tiettyjä kohtia avaruudessa ja katsomaan itse.

Esimerkki 9

Rakenna pinta ja etsi sen projektio tasoon

Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon josta seuraa, että "x" ottaa minkä tahansa merkityksiä. Korjataan ja kuvataan tasossa ympyrä– keskipiste origossa, yksikön säde. Koska "x" hyväksyy jatkuvasti Kaikki arvot, niin rakennettu ympyrä muodostaa pyöreän sylinterin, jolla on symmetria-akseli. Piirrä toinen ympyrä ( opas sylinteri) ja yhdistä ne varovasti suorilla viivoilla ( muodostumista sylinteri). Joissain paikoissa oli päällekkäisyyksiä, mutta mitä tehdä, tällainen kaltevuus:

Tällä kertaa rajoittuin sylinterin palaan rakossa, eikä tämä ole sattumaa. Käytännössä on usein tarpeen kuvata vain pieni osa pinnasta.

Täällä on muuten 6 generatricia - kaksi ylimääräistä suoraa "peittää" pinnan vasemmasta yläkulmasta ja oikeasta alakulmasta.

Katsotaan nyt sylinterin projektiota tasoon. Monet lukijat ymmärtävät, mitä projektio on, mutta tehdään kuitenkin vielä viiden minuutin fyysinen harjoitus. Seiso ja kallista päätäsi piirustuksen päälle niin, että akselin piste osoittaa kohtisuorassa otsaasi nähden. Miltä sylinteri näyttää tästä kulmasta, on sen projektio tasoon. Mutta se näyttää olevan loputon nauha, joka on suljettu suorien viivojen väliin, mukaan lukien itse suorat viivat. Tämä projektio on täsmälleen verkkotunnus toiminnot (sylinterin ylempi "kouru"), (alempi "kouru").

Muuten, selvennetään tilannetta projektioilla muille koordinaattitasoille. Anna auringonsäteiden loistaa sylinterin kärjestä ja akselia pitkin. Sylinterin varjo (projektio) tasolle on samanlainen ääretön nauha - osa tasosta, jota rajoittavat suorit viivat (- mikä tahansa), mukaan lukien itse suorat viivat.

Mutta projektio koneeseen on hieman erilainen. Jos katsot sylinteriä akselin kärjestä, se heijastuu yksikkösäteen ympyrään , jolla aloitimme rakentamisen.

Esimerkki 10

Rakenna pinta ja etsi sen projektiot koordinaattitasoille

Tämä on tehtävä, joka sinun on ratkaistava itse. Jos ehto ei ole kovin selkeä, neliöi molemmat puolet ja analysoi tulos; selvittää, mikä sylinterin osa on funktion määrittelemä. Käytä edellä toistuvasti käytettyä rakennustekniikkaa. Lyhyt ratkaisu, piirustus ja kommentit oppitunnin lopussa.

Elliptisiä ja muita sylinterimäisiä pintoja voidaan siirtää suhteessa koordinaattiakseleihin, esimerkiksi:

(perustuu artikkelin tuttuihin motiiveihin 2. järjestyksen rivit) – yksikkösäteen sylinteri, jonka symmetriaviiva kulkee akselin suuntaisen pisteen kautta. Käytännössä tällaisia ​​sylintereitä kohdataan kuitenkin melko harvoin, ja on aivan uskomatonta kohdata sylinterimäinen pinta, joka on "viisto" suhteessa koordinaattiakseleihin.

Paraboliset sylinterit

Kuten nimestä voi päätellä, opas sellainen sylinteri on paraabeli.

Esimerkki 11

Rakenna pinta ja etsi sen projektiot koordinaattitasoille.

En voinut vastustaa tätä esimerkkiä =)

Ratkaisu: Mennään polkua pitkin. Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon, josta seuraa, että "zet" voi saada minkä tahansa arvon. Kiinnitetään ja rakennetaan tavallinen paraabeli tasoon, kun on aiemmin merkitty triviaaliset referenssipisteet. Koska "Z" hyväksyy Kaikki arvot, niin rakennettua paraabelia "toistetaan" jatkuvasti ylös ja alas äärettömään. Asetamme saman paraabelin esimerkiksi korkeuteen (tasoon) ja yhdistämme ne varovasti yhdensuuntaisilla suorilla viivoilla ( muodostaen sylinterin):

Minä muistutan sinua hyödyllinen tekniikka: jos olet aluksi epävarma piirustuksen laadusta, on parempi ensin piirtää viivat hyvin ohuiksi lyijykynällä. Sitten arvioimme luonnoksen laadun, selvitämme alueet, joissa pinta on piilossa silmiltämme, ja vasta sitten painamme kynää.

Ennusteet.

1) Sylinterin projektio tasoon on paraabeli. On huomattava, että tässä tapauksessa on mahdotonta puhua kahden muuttujan funktion määritelmäalue– siitä syystä, että sylinteriyhtälö ei ole pelkistävissä toiminnalliseen muotoon.

2) Sylinterin projektio tasolle on puolitaso, mukaan lukien akseli

3) Ja lopuksi, sylinterin projektio tasoon on koko taso.

Esimerkki 12

Rakenna paraboliset sylinterit:

a) rajoita itsesi pinnan osaan lähellä puoliavaruutta;

b) välissä

Vaikeuksien sattuessa emme kiirehdi ja perustelemme analogisesti aikaisempien esimerkkien kanssa, onneksi tekniikkaa on kehitetty perusteellisesti. Ei ole kriittinen, jos pinnat muuttuvat hieman kömpelöiksi - on tärkeää näyttää peruskuva oikein. Itse en todellakaan välitä viivojen kauneudesta, jos saan kelvollisen piirustuksen C-arvosanalla, en yleensä tee sitä uudelleen. Muuten, näyteratkaisussa käytetään toista tekniikkaa piirustuksen laadun parantamiseksi ;-)

Hyperboliset sylinterit

Oppaat tällaiset sylinterit ovat hyperboleja. Tämän tyyppinen pinta on havaintojeni mukaan paljon vähemmän yleinen kuin aikaisemmat tyypit, joten rajoitan yhteen kaaviolliseen piirustukseen hyperbolisesta sylinteristä:

Päättelyn periaate on tässä täsmälleen sama - tavallinen koulun hyperbolia tasosta jatkuvasti "kertoutuu" ylös ja alas äärettömään.

Tarkasteltavat sylinterit kuuluvat ns 2. asteen pinnat, ja nyt jatkamme tutustumista tämän ryhmän muihin edustajiin:

Ellipsoidi. Pallo ja pallo

Ellipsoidin kanonisella yhtälöllä suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä on muoto , missä ovat positiiviset luvut ( akselin akselit ellipsoidi), joka yleisessä tapauksessa eri. Ellipsoidiksi kutsutaan pinta, niin kehon, rajoitettu tietyllä pinnalla. Kehon, kuten monet ovat arvaanneet, määrää eriarvoisuus ja minkä tahansa sisäpisteen (samoin kuin minkä tahansa pintapisteen) koordinaatit täyttävät tämän epäyhtälön. Suunnittelu on symmetrinen koordinaattiakseleiden ja koordinaattitasojen suhteen:

Termin "ellipsoidi" alkuperä on myös ilmeinen: jos pinta "leikataan" koordinaattitasoilla, niin leikkaukset johtavat kolmeen erilliseen (yleisessä tapauksessa)

1.7.1. Lentokone.

Tarkastellaan karteesisessa pohjassa mielivaltaista tasoa P ja normaalivektoria (suoraan) siihen nähden `n (A, B, C). Otetaan tässä tasossa mielivaltainen kiinteä piste M0(x0, y0, z0) ja nykyinen piste M(x, y, z).

On selvää, että ?`n = 0 (1,53)

(katso (1.20), jos j = p/2). Tämä on tason yhtälö vektorimuodossa. Siirryttäessä koordinaatteihin saadaan tason yleinen yhtälö

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Ах + Ву + Сz + D = 0 (1,54).

(D = –Ах0– Ву0 – Сz0; А2 + В2 + С2 ? 0).

Voidaan osoittaa, että karteesisissa koordinaateissa jokainen taso määräytyy ensimmäisen asteen yhtälöllä ja päinvastoin jokainen ensimmäisen asteen yhtälö määrittää tason (eli taso on ensimmäisen asteen pinta ja ensimmäinen tilaus on lentokone).

Tarkastellaan joitain erikoistapauksia yleisen yhtälön määrittämän tason sijainnista:

A = 0 – yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa; B = 0 – yhdensuuntainen Oy-akselin kanssa; C = 0 – yhdensuuntainen Oz-akselin kanssa. (Tällaisia ​​tasoja, jotka ovat kohtisuorassa yhteen koordinaattitasoista, kutsutaan projisoiviksi tasoiksi); D = 0 – kulkee origon läpi; A = B = 0 – kohtisuorassa Oz-akselia vastaan ​​(samansuuntainen xOy-tason kanssa); A = B = D = 0 – osuu yhteen xOy-tason kanssa (z = 0). Kaikki muut tapaukset analysoidaan samalla tavalla.

Jos D? 0, niin jakamalla (1.54):n molemmat puolet -D:llä, saadaan tason yhtälö muotoon: (1.55),

a = – D /A, b = –D/ B, c = –D /C. Relaatiota (1.55) kutsutaan segmenttien tason yhtälöksi; a, b, c – tason leikkauspisteiden abskissa, ordinaatta ja applikaatti Ox-, Oy-, Oz-akseleiden ja |a|, |b|, |c| – koordinaattien origosta vastaavilla akseleilla olevan tason leikkaamien segmenttien pituudet.

Kerrotaan molemmat puolet (1,54) normalisointikertoimella (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1,56)

missä cosa = Am, cosb = Bm, cosg = Cm ovat normaalin suuntakosinit tasoon, p on etäisyys tasoon origosta.

Tarkastellaan laskelmissa käytettyjä perussuhteita. Tasojen A1x + B1y + C1z + D1 = 0 ja A2x + B2y + C2z + D2 = 0 välinen kulma voidaan helposti määritellä näiden tasojen `n1 (A1, B1, C1) ja normaalien väliseksi kulmaksi.

`n2 (A2, B2, C2): (1.57)

Kohdasta (1.57) on helppo saada kohtisuora ehto

A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1,58)

ja rinnakkaisuus (1.59) tasot ja niiden normaalit.

Etäisyys mielivaltaisesta pisteestä M0(x0, y0, z0) tasoon (1.54)

määräytyy lausekkeella: (1.60)

Kolmen tietyn pisteen M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) läpi kulkevan tason yhtälö kirjoitetaan kätevimmin käyttämällä vektorien koplanaarisuusehtoa (1.25). missä M(x, y , z) – tason nykyinen piste.

(1.61)

Esitetään tasokimpun yhtälö (ts.

Tasosarjat, jotka kulkevat yhden suoran linjan läpi) - on kätevää käyttää useissa ongelmissa.

(A1x + B1y + C1z + D1) + l (A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1,62)

Missä l О R, ja suluissa ovat säteen minkä tahansa kahden tason yhtälöt.

Kontrollikysymykset.

1) Kuinka tarkistaa, että tietty piste sijaitsee tämän yhtälön määrittelemällä pinnalla?

2) Mikä on se tunnusomainen piirre, joka erottaa karteesisen koordinaatiston tason yhtälön muiden pintojen yhtälöstä?

3) Kuinka taso sijaitsee suhteessa koordinaattijärjestelmään, jos sen yhtälö ei sisällä: a) vapaata termiä; b) yksi koordinaateista; c) kaksi koordinaattia; d) yksi koordinaateista ja vapaa termi; e) kaksi koordinaattia ja vapaa termi?

1) Annetut pisteet M1(0,-1,3) ja M2(1,3,5). Kirjoita pisteen M1 kautta kulkevan tason yhtälö, joka on kohtisuorassa vektoria vastaan Valitse oikea vastaus:

A) ; b) .

2) Etsi välinen kulma lentokoneiden ja . Valitse oikea vastaus:

a) 135o, b) 45o

1.7.2. Suoraan. Lentokoneet, joiden normaaliarvot eivät ole kollineaarisia tai leikkaavat, määrittämällä yksiselitteisesti suoran niiden leikkausviivaksi, joka kirjoitetaan seuraavasti:

Tämän viivan (tasokimppu (1.62)) läpi voidaan piirtää ääretön määrä tasoja, mukaan lukien ne, jotka projisoivat sen koordinaattitasoille. Niiden yhtälöiden saamiseksi riittää muunnos (1.63) poistamalla jokaisesta yhtälöstä yksi tuntematon ja pelkistämällä ne esimerkiksi muotoon (1.63`).

Asetetaan tehtävä - piirretään pisteen M0(x0,y0,z0) läpi vektorin `S (l, m, n) kanssa yhdensuuntainen suora (tätä kutsutaan suuntaviivaksi). Otetaan mielivaltainen piste M(x,y,z) halutulle suoralle. Vektorit ja on oltava kollineaarinen, josta saamme suoran kanoniset yhtälöt.

(1,64) tai (1.64`)

missä cosa, cosb, cosg ovat vektorin `S suuntakosinit. Kohdasta (1.64) on helppo saada yhtälö tiettyjen pisteiden M1(x1, y1, z1) ja M2(x2, y2, z2) kautta kulkevasta suorasta (se on yhdensuuntainen )

Tai (1,64")

((1.64):n murtolukujen arvot ovat yhtä suuret jokaisessa suoran pisteessä ja niitä voidaan merkitä t:llä, missä t R. Tämän avulla voit syöttää suoran parametriset yhtälöt

Jokainen parametrin t arvo vastaa rivin pisteen koordinaattien x, y, z joukkoa tai (muuten) - tuntemattomien arvoja, jotka täyttävät suoran yhtälöt).

Käyttämällä vektorien ja niiden operaatioiden jo tunnettuja ominaisuuksia ja suoran kanonisia yhtälöitä on helppo saada seuraavat kaavat:

Kulma suorien viivojen välillä: (1.65)

Rinnakkaisuusehto (1,66).

kohtisuora l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1,67) suoraa.

Suoran ja tason välinen kulma (helposti saadaan etsimällä suoran ja tason normaalin välinen kulma, joka laskee yhteen halutun p/2:n)

(1.68)

Kohdasta (1.66) saadaan rinnakkaisuusehto Al + Bm + Cn = 0 (1.69)

ja suoran ja tason kohtisuora (1.70). Tarvittava ja riittävä ehto kahden suoran olemiselle samassa tasossa saadaan helposti koplanaarisuusehdosta (1.25).

(1.71)

Kontrollikysymykset.

1) Millä tavoilla voidaan määrittää suora avaruudessa?

1) Kirjoita pisteen A(4,3,0) kautta kulkevan ja vektorin suuntaisen suoran yhtälöt Ilmoita oikea vastaus:

A) ; b) .

2) Kirjoita yhtälöt pisteiden A(2,-1,3) ja B(2,3,3) kautta kulkevalle suoralle. Ilmoita oikea vastaus.

A) ; b) .

3) Etsi suoran ja tason leikkauspiste: , . Ilmoita oikea vastaus:

a) (6,4,5); b) (6,-4,5).

1.7.3. Toisen luokan pinnat. Jos lineaarinen yhtälö kolmiulotteisessa karteesisessa perustassa määrittelee yksiselitteisesti tason, mikä tahansa epälineaarinen yhtälö, joka sisältää x, y, z, kuvaa jotain muuta pintaa. Jos yhtälö on muotoa

Ax2 + Ву2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, niin se kuvaa toisen kertaluvun pintaa (toisen kertaluvun pinnan yleinen yhtälö). Valitsemalla tai muuntamalla suorakulmaiset koordinaatit yhtälöä voidaan yksinkertaistaa niin paljon kuin mahdollista, jolloin saadaan jokin seuraavista vastaavaa pintaa kuvaavista muodoista.

1. Ohjeina toimivat kanoniset yhtälöt toisen asteen sylintereistä, joiden generaattorit ovat yhdensuuntaiset Oz-akselin kanssa, ja vastaavat xOy-tasossa olevat toisen kertaluvun käyrät:

(1.72), (1,73), y2 = 2px (1,74)

elliptiset, hyperboliset ja paraboliset sylinterit.

(Muista, että lieriömäinen pinta on pinta, joka saadaan siirtämällä suoraa linjaa, jota kutsutaan generatrixiksi, yhdensuuntaisesti itsensä kanssa. Tämän pinnan leikkausviivaa generatriisia vastaan ​​kohtisuoraan tason kanssa kutsutaan ohjaimeksi - se määrittää muodon. pinta).

Analogisesti voidaan kirjoittaa samojen sylinteripintojen yhtälöt generatriiseilla, jotka ovat samansuuntaisia ​​Oy-akselin ja Ox-akselin kanssa. Ohjain voidaan määritellä sylinterin pinnan ja vastaavan koordinaattitason leikkausviivaksi, ts. muotoinen yhtälöjärjestelmä:

2. Toisen asteen kartion yhtälöt, jonka kärki on origossa:

(1.75)

(kartion akselit ovat Oz-, Oy- ja Ox-akselit, vastaavasti)

3. Ellipsoidin kanoninen yhtälö: (1.76);

Erikoistapauksia ovat esimerkiksi vallankumouksen ellipsoidit – pinta, joka saadaan pyörittämällä ellipsiä Oz-akselin ympäri (At

a > c ellipsoidi on puristettu, jossa x2 + y2+ z2 + = r2 – yhtälö pallosta, jonka säde on r ja jonka keskipiste on origossa).

4. Yksiarkin hyperboloidin kanoninen yhtälö

("–"-merkki voi näkyä minkä tahansa vasemman puolen kolmen termin edessä - tämä muuttaa vain pinnan sijaintia avaruudessa). Erityistapauksia ovat esimerkiksi yksiarkkiset vallankumouksen hyperboloidit – hyperbolia kiertämällä saatu pinta Oz-akselin (hyperbolan kuvitteellinen akseli) ympärillä.

5. Kaksiarkkisen hyperboloidin kanoninen yhtälö

("–"-merkki voi näkyä minkä tahansa vasemmalla puolella olevan kolmen termin edessä).

Erikoistapauksia ovat kaksiarkkiset kierroshyperboloidit, esimerkiksi pinta, joka saadaan kiertämällä hyperbolia Oz-akselin (hyperbolan todellinen akseli) ympäri.

6. Elliptisen paraboloidin kanoninen yhtälö

(p > 0, q > 0) (1,79)

7. Hyperbolisen paraboloidin kanoninen yhtälö

(p > 0, q > 0) (1,80)

(muuttuja z voi vaihtaa paikkaa millä tahansa muuttujilla x ja y - pinnan sijainti avaruudessa muuttuu).

Huomaa, että käsitys näiden pintojen ominaisuuksista (muodosta) saadaan helposti tarkastelemalla näiden pintojen osia koordinaattiakseleita vastaan ​​kohtisuorassa olevissa tasoissa.

Kontrollikysymykset.

1) Mikä pistejoukko avaruudessa määrittää yhtälön?

2) Mitkä ovat toisen kertaluvun sylinterien kanoniset yhtälöt; toisen asteen kartio; ellipsoidi; yhden arkin hyperboloidi; kaksiarkkinen hyperboloidi; elliptinen paraboloidi; hyperbolinen paraboloidi?

1) Etsi pallon keskipiste ja säde ja osoita oikea vastaus:

a) C(1,5; -2,5; 2), ; b) C(1,5; 2,5; 2), ;

2) Määritä yhtälöiden antama pinnan tyyppi: . Ilmoita oikea vastaus:

a) yksiarkkinen hyperboloidi; hyperbolinen paraboloidi; elliptinen paraboloidi; kartio.

b) kaksiarkkinen hyperboloidi; hyperbolinen paraboloidi; elliptinen paraboloidi; kartio.

Avaruudessa analyyttinen geometria tutkii pintoja, jotka määritetään suorakaiteen muotoisina karteesisina koordinaatteina algebrallisilla yhtälöillä ensin, toiseksi jne. asteet suhteessa X,Y,Z:

Ax+By+Cz+D=0 (1)

Ax²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0 (2)

ja niin edelleen. Yhtälön järjestystä kutsutaan sen määrittelemän pinnan järjestykseksi. Olemme jo nähneet, että yhtälö ensimmäinen tilaus(lineaarinen) (1) määrittää aina kone on ainoa ensimmäisen kertaluvun pinta. Toisen asteen pintoja on jo paljon. Katsotaanpa niistä tärkeimpiä.

§2. Sylinterimäiset pinnat, joiden generatriisit ovat yhden koordinaattiakselin suuntaisia.

Olkoon esimerkiksi XОY-tasossa tietty suora L, jonka yhtälö on F(x,y)=0 (1) . Sitten joukko oz-akselin suuntaisia ​​suoria viivoja (generaattorit) ja kulkee L:n pisteiden läpi muodostavat pinnan S ns. sylinterimäinen pinta.

Osoitetaan, että yhtälö (1), joka ei sisällä muuttujaa z, on tämän lieriömäisen pinnan S yhtälö. Otetaan mielivaltainen pisteeseen S kuuluva piste M(x,y,z). Olkoon M:n läpi kulkeva generatriisi leikkaa L:n pisteessä N. Pisteellä N on koordinaatit N(x,y,0), ne täyttävät yhtälön (1), koska (·)N kuuluu L:lle. Mutta silloin koordinaatit (x,y,z,) täyttävät myös (1), koska se ei sisällä z:tä. Tämä tarkoittaa, että lieriömäisen pinnan S minkä tahansa pisteen koordinaatit täyttävät yhtälön (1). Tämä tarkoittaa, että F(x,y)=0 on tämän lieriömäisen pinnan yhtälö. Käyrää L kutsutaan opas (käyrä) sylinterimäinen pinta. Huomaa, että paikkajärjestelmässä L tulee yleensä antaa kahdella yhtälöllä F(x,y)=0, z=0, leikkausviivana.

Esimerkkejä:

Howe-tason apuviivat ovat ellipsi, paraabeli, hyperbola. Ilmeisesti yhtälöt F=(y,z)=0 ja F(x,z)=0 määrittävät vastaavasti sylinterimäiset pinnat, joissa generaattorit ovat samansuuntaisia ​​OX- ja OY-akselien kanssa. Niiden ohjaimet sijaitsevat YOZ- ja XOZ-tasoissa, vastaavasti.

Kommentti. Sylinterimäinen pinta ei välttämättä ole toisen asteen pinta. Esimerkiksi on olemassa 3. kertaluvun sylinterimäinen pinta, ja yhtälö y=sin(x) määrittää sinimuotoisen sylinterin, jolle ei ole annettu kertalukua, tämä ei ole lainkaan algebrallinen pinta.

§3. Kierrospinnan yhtälö.

Jotkut 2. asteen pinnat ovat kierrospintoja. Olkoon jokin käyrä L F(y,z)=0(1) YOZ-tasossa. Selvitetään mikä pinnan S yhtälö muodostuu pyörittämällä käyrää (1) oz-akselin ympäri.

Otetaan mielivaltainen piste M(x,y,z) pinnalla S. Sen voidaan katsoa saaduksi L:hen kuuluvasta (.) N:stä, jolloin pisteiden M ja N aplikaatiot ovat yhtä suuret (=z). Pisteen N ordinaatta on tässä kiertosäde, koska .Mutta C(0,0,z) ja koska . Mutta piste N sijaitsee käyrällä ja siksi sen koordinaatit täyttävät sen. Keinot (2) . Yhtälö (2) täyttyy kierroksen S pinnan koordinaateista. Tämä tarkoittaa (2) on kierrospinnan yhtälö. Merkit “+” tai “-” otetaan sen mukaan, missä osassa YOZ-tasokäyrää (1) sijaitsee, missä y>0 tai .

Eli sääntö: Löytääksesi pinnan yhtälön, joka muodostuu kiertämällä käyrää L OZ-akselin ympäri, sinun on korvattava muuttuja y käyrän yhtälössä

OX- ja OY-akselien ympärillä olevien pyörimispintojen yhtälöt on rakennettu samalla tavalla.

Luento 2. Taso ensimmäisen asteen pintana. Tasoyhtälöt ja niiden tutkiminen. Suora avaruudessa, suorien suhteellinen sijainti avaruudessa, taso ja suora avaruudessa. Tasossa oleva suora, tasaisen suoran yhtälöt, etäisyys pisteestä tasossa olevaan suoraan. Toisen asteen käyrät; kanonisten yhtälöiden johtaminen, yhtälöiden tutkiminen ja käyrien rakentaminen. Toisen asteen pinnat, pintojen kanonisten yhtälöiden tutkimus. Jaksomenetelmä. 1

Analyyttisen geometrian elementit § 1. Taso. Meillä on OXYZ ja jokin pinta S F(x, y, z) = 0 z x (S) О y Määritelmä 1: yhtälöä, jossa on kolme muuttujaa kutsutaan pinnan S yhtälöksi avaruudessa, jos tämä yhtälö täyttyy kunkin koordinaatin perusteella. piste, joka makaa pinnalla ja ei ole tyytyväinen koordinaatteihin, ei yhtäkään pistettä, joka makaa sillä. 2

Esimerkki. Yhtälö (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) määrittelee pallon, jonka keskipiste on pisteessä C(a, b, c) ja jonka säde R. M M (x , y, z) – muuttuva piste M ϵ (S) |CM| = R C 3

Määritelmä 2: Pintaa S kutsutaan n:nnen kertaluvun pinnaksi, jos se on jossain suorakulmaisessa koordinaatistossa annettu n:nnen asteen algebrallisella yhtälöllä F(x, y, z) = 0 (1) Esimerkissä (S) - ympyrä, toisen asteen pinta . Jos S on n:nnen kertaluvun pinta, niin F(x, y, z) on n:nnen asteen polynomi suhteessa (x, y, z). Tarkastellaan ainoaa 1. kertaluvun pintaa - tasoa. Tehdään yhtälö pisteen M (x, y, z) kautta kulkevalle tasolle normaalivektorilla 4

Olkoon M(x, y, z) tason mielivaltainen (nykyinen) piste. M M 0 O α tai koordinaattimuodossa: (2) Yhtälö (2) on pisteen M kautta kulkevan tason yhtälö tietyllä normaalivektorilla. 5

D (*) (3) - tason täydellinen yhtälö Tason epätäydellinen yhtälö. Jos yhtälössä (3) useat kertoimet (mutta ei A, B, C samaan aikaan) = 0, niin yhtälöä kutsutaan epätäydelliseksi ja tasossa α on piirteitä sen sijainnissa. Jos esimerkiksi D = 0, niin α kulkee origon kautta. 6

Etäisyys pisteestä M 1 tasoon α M 1(x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 sovelletaan pisteeseen M 0 K 7

- etäisyys pisteestä M 1 tasoon α Tason yhtälö "segmenteissä" Luodaan yhtälö tasosta, joka leikkaa nollasta poikkeavat segmentit koordinaattiakseleilla C(0, 0, c) arvoilla a, b, c. Otetaan arvoksi B(0, b, 0) luodaan yhtälö pisteelle A, jossa on A(a, 0, 0) 8

-tason α yhtälö "segmenteissä" -pisteen A kautta kulkevan tason yhtälö, kohtisuorassa normaalivektoriin 9

§ 2. Suoran suoran yleinen yhtälö. Suora avaruudessa voidaan määrittää kahden tason leikkauspisteellä. (1) suoran yhtälö Tyypin (1) järjestelmä määrittelee suoran avaruudessa, jos kertoimet A 1, B 1, C 1 ovat samanaikaisesti epäsuhtaisia ​​arvoihin A 2, B 2, C 2. 10

Suoran parametriset ja kanoniset yhtälöt - suoran pisteen mielivaltainen piste M M 0 Parametrinen yhtälö t - parametri 11

Eliminoimalla t saadaan: - Kanoninen yhtälö Järjestelmä (3) määrittää suoraviivaisen ja tasaisen materiaalipisteen liikkeen alkuasemasta M 0 (x 0, y 0, z 0) nopeudella vektorin suunnassa. 12

Avaruuden suorien viivojen välinen kulma. Yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran ehdot. Olkoon avaruudessa kaksi suoraa L 1, L 2 niiden kanonisilla yhtälöillä: Tällöin näiden viivojen välisen kulman määrittäminen rajoittuu kulman määrittämiseen

niiden suuntavektorit: Käyttämällä skalaaritulon määritelmää ja määritellyn skalaaritulon koordinaatteja sekä vektorien q 1 ja q 2 pituuksia saadaan selville: 15

Suorien viivojen l 1 ja l 2 yhdensuuntaisuuden ehto vastaa q 1:n ja q 2:n kollineaarisuutta, on näiden vektorien koordinaattien suhteellisuudesta, eli sillä on muoto: Kohtisuoran ehto seuraa määritelmästä skalaaritulo ja sen yhtäläisyys nollaan (kohdassa cos = 0) ja sen muoto on l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16

Suoran ja tason välinen kulma: ehdot suoran ja tason yhdensuuntaisuudelle ja kohtisuoralle. Tarkastellaan tasoa P, joka määritellään yleisellä yhtälöllä: Ax + By + Cz + D = 0, ja suoraa L, jonka määrittelee Kanoninen yhtälö: 17

Koska suoran L ja tason P välinen kulma on komplementti suoran q = (l, m, n) suuntausvektorin ja tason n = (A, B, C) normaalivektorin välisen kulman kanssa, , niin skalaaritulon q n = q n cos ja yhtälön cos = sin (= 90 -) määritelmästä saadaan: 18

Suoran L ja tason П yhdensuuntaisuuden ehto (mukaan lukien se, että L kuuluu ryhmään П) on ekvivalentti vektorien q ja n kohtisuoran ehdon kanssa ja ilmaistaan ​​näiden vektorien skalaaritulolla = 0: q n = 0: Аl + Bm + Cn = 0. Suoran L ja tason P kohtisuora ehto vastaa vektorien n ja q yhdensuuntaisuuden ehtoa ja ilmaistaan ​​näiden vektorien koordinaattien suhteellisuudesta: 19

Edellytykset kahden suoran kuulumiselle samaan tasoon Kaksi suoraa avaruudessa L 1 ja L 2 voivat: 1) leikkiä; 2) olla yhdensuuntainen; 3) risteytys. Kahdessa ensimmäisessä tapauksessa suorat L 1 ja L 2 ovat samassa tasossa. Tehdään ehto kahden kanonisten yhtälöiden määrittämän suoran kuulumiselle samaan tasoon: 20

Ilmeisesti, jotta kaksi osoitettua suoraa kuuluisivat samaan tasoon, on välttämätöntä ja riittävää, että kolme vektoria = (x2 - x1, y2 - y1, z 2 - z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) ja q 2 = (l 2, m 2, n 2), olivat samantasoisia, jolle puolestaan ​​on välttämätöntä ja riittävää, että näiden kolmen vektorin sekatulo = 0. 21

Kirjoittamalla osoitettujen vektorien sekatulot koordinaatteihin saadaan välttämätön ja riittävä ehto kahden suoran L 1 ja L 2 kuulumiselle samaan tasoon: 22

Edellytys suoran kuulumiselle tasoon Olkoon suora ja taso Ax + Bi + Cz + D = 0. Nämä ehdot ovat muotoa: Ax1 + Bi1 + Cz 1 + D = 0 ja Al + Bm + Cn = 0, joista ensimmäinen tarkoittaa, että piste M 1(x1, y1, z 1), jonka kautta suora kulkee, kuuluu tasoon ja toinen on suoran ja tason yhdensuuntaisuuden ehto. 23

Toisen asteen käyrät. § 1. Tason suoran yhtälön käsite. Yhtälöä f (x, y) = 0 kutsutaan linjan L yhtälöksi valitussa koordinaatistossa, jos se täyttyy minkä tahansa suoralla sijaitsevan pisteen koordinaateista eikä minkään sellaisen pisteen koordinaateista, jotka eivät ole sillä. 24

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="Esimerkki: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}

Suoraa L kutsutaan n:nnen kertaluvun suoraksi, jos se on jossain suorakulmaisessa koordinaatistossa annettu n:nnen asteen algebrallisella yhtälöllä x:n ja y:n suhteen. Tiedämme ainoan 1. kertaluvun rivin - suoran: Ax + By + D = 0 Tarkastellaan 2. kertaluvun käyriä: ellipsi, hyperbola, paraabeli. Toisen asteen rivien yleinen yhtälö on: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

Ellipsin (E) määritelmä. Ellipsi on tason kaikkien pisteiden joukko, etäisyyksien summa tason kahteen kiinteään pisteeseen F 1 ja F 2, joita kutsutaan polttopisteiksi, on vakioarvo ja suuri polttopisteiden välinen etäisyys. Merkitään vakio 2 a, polttopisteiden välinen etäisyys 2 c. Piirretään X-akseli polttopisteiden läpi (a > c, a > 0, c > 0). Y-akseli polttovälin keskeltä. Olkoon M ellipsin mielivaltainen piste, t M ϵ E r 1 + r 2 = 2 a (1), missä r 1, r 2 ovat E:n polttopisteen 27 säteitä.

Kirjoita (1) koordinaattimuodossa: (2) Tämä on ellipsin yhtälö valitussa koordinaatistossa. Yksinkertaistamalla (2) saadaan: b 2 = a 2 - c 2 (3) – ellipsin kanoninen yhtälö. Voidaan osoittaa, että (2) ja (3) ovat ekvivalentteja: 28

Ellipsin muodon tutkiminen kanonisen yhtälön avulla 1) Ellipsi on 2. asteen käyrä 2) Ellipsin symmetria. koska x ja y sisältyvät (3) vain parillisiin potenssiin, ellipsillä on 2 akselia ja 1 symmetriakeskus, jotka valitussa koordinaattijärjestelmässä osuvat yhteen valittujen koordinaattiakseleiden ja pisteen O kanssa. 29

3) Ellipsin sijainti Eli koko E sijaitsee suorakulmion sisällä, jonka sivut ovat x = ± a ja y = ± b. 4) Leikkaus akseleiden kanssa. A1(-a; 0); A2(a; 0); C OX: ellipsin kärjet C OU: B 1(0; b); B2(0; -b); Ellipsin symmetrian vuoksi otamme sen käyttäytymisen (↓) huomioon vasta ensimmäisellä neljänneksellä. kolmekymmentä

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt=" Ratkaisemalla (3) y:n suhteen saadaan: ensimmäisellä neljänneksellä x > 0 ja ellipsi vähenee."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}

Hyperbola (Г) Määritelmä: Г on tason kaikkien pisteiden joukko, etäisyyden eron moduuli tason 2 kiinteään pisteeseen F 1, F 2 on vakioarvo ja

Yksinkertaistaen (1): (2) on G:n kanoninen yhtälö. (1) ja (2) ovat ekvivalentteja. Hyperbolin tutkiminen kanonisella yhtälöllä 1) Г on 2. kertaluvun suora 2) Г, jossa on kaksi akselia ja yksi symmetriakeskus, jotka tässä tapauksessa osuvat yhteen koordinaattiakseleiden ja origon kanssa. 3) Hyperbolin sijainti. 34

Hyperboli sijaitsee viivojen x = a, x = -a välisen nauhan ulkopuolella. 4) Leikkauspisteet akselien kanssa. OX: OY: ei ole ratkaisuja A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – reaalipisteet Г B 1(0; b); B 2(0; -b) – kuvitteelliset kärjet Г 2 a – reaaliakseli Г 2 b – imaginaariakseli Г 35

5) Hyperbolan asymptootit. Г:n symmetrian vuoksi tarkastelemme sen osuutta ensimmäisellä neljänneksellä. Kun on ratkaistu (2) y:n suhteen, saadaan: yhtälö Г ensimmäisellä neljänneksellä x ≥ 0 Tarkastellaan suoraa: koska ensimmäisellä neljänneksellä x>0, eli ensimmäisellä neljänneksellä samalla abskissalla, ordinaat suorasta > ordinaaa vastaava piste Г, eli ensimmäisellä neljänneksellä Г on tämän suoran alapuolella. Koko G on pystysuoran kulman sisällä, jonka sivut ovat 36

6) Voidaan osoittaa, että ensimmäisessä osassa G kasvaa 7) Suunnittele G:n rakentaminen a) rakenna suorakulmio 2 a, 2 b b) piirrä sen lävistäjät c) merkitse A 1, A 2 - G:n ja 38:n reaalipisteet kirjoitetaan nämä oksat

Paraabeli (P) Tarkastellaan d (suora) ja F (focus) tasossa. Määritelmä. П – joukko tason kaikkia pisteitä, jotka ovat yhtä kaukana suorasta d ja pisteestä F (tarkennus) 39

d-directrix F-focus XOY piste М П sitten, |MF| = |MN| (1) P:n yhtälö, valittu koordinaattijärjestelmästä. Yksinkertaistamalla (1) saadaan y 2 = 2 px (2) – P:n kanoninen yhtälö. (1) ja (2) ovat ekvivalentteja 40.

P:n tutkimus kanonisella yhtälöllä x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41

§ 4. Sylinterit. Lieriömäiset pinnat, joiden generatriisit ovat samansuuntaisia ​​koordinaattiakselien kanssa. Suoran L pisteen x kautta piirretään OZ-akselin suuntainen suora. Näiden suorien viivojen muodostamaa pintaa kutsutaan sylinterimäiseksi pinnaksi tai sylinteriksi (C). Mitä tahansa OZ-akselin suuntaista suoraa kutsutaan generatriksiksi. l on XOY-tason lieriömäisen pinnan ohjain. Z(x, y) = 0 (1) 42

Olkoon M(x, y, z) lieriömäisen pinnan mielivaltainen piste. Projisoidaan se muotoon L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0 eli , koordinaatit M täyttävät (1), on selvää, että jos M C, niin sitä ei projisoida pisteeseen M 0 ϵ L ja siksi M:n koordinaatit eivät täytä yhtälöä (1), joka määrittelee C:n generatriisin rinnalla. OZ-akselille avaruudessa. Vastaavasti voidaan osoittaa, että: Ф(x, z) = 0 avaruudessa Г || OY 43 (y, z) = 0 määrittää avaruudessa C || HÄRKÄ

Tilaviivan projektio koordinaattitasolle Suora avaruudessa voidaan määritellä parametrisesti ja pintojen leikkauspisteellä. Sama viiva voidaan määritellä eri pintojen ∩:ksi. Olkoon tilaviiva L kahden pinnan α ∩: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 yhtälö L Ф 1(x, y, z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 Etsitään yhtälöstä (1) L:n projektio tasolle XOY ja jätetään Z pois. Saadaan yhtälö: Z(x, y) = 0 – avaruudessa tämä on yhtälö Ε generaattorilla || OZ ja opas L. 46

Projektio: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 Toisen kertaluvun pinnat Ellipsoidi - pinnan kanoninen yhtälö on muotoa: 1) Ellipsoidi - toisen kertaluvun pinta. 2) X, Y, Z syöttää yhtälöön vain parillisilla potenssilla => pinnalla on 3 tasoa ja 1 symmetriakeskus, jotka valitussa koordinaatistossa osuvat yhteen koordinaattitasojen ja origon kanssa. 47

3) Ellipsoidin sijainti Pinta on suljettu väliin || tasot yhtälöillä x = a, x = -a. Vastaavasti eli koko pinta on suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön sisällä. x = ± a, y = ± b, z = ± c. Tutkimme pintaa leikkausmenetelmällä - leikkaamalla pinta koordinaattitasoilla || koordinoida. Osassa saamme viivoja, joiden muodon perusteella arvioimme pinnan muodon. 48

Leikkaa pinta XOY-tason kanssa. Osassa saamme rivin. - ellipsi a ja b - puoliakselit Samanlainen kuin YOZ-taso - ellipsi puoliakseleilla b ja c Taso || XOY Jos h(0, c), niin ellipsin akselit pienenevät arvoista a ja b arvoon 0. 49

a = b = c - pallo Paraboloidit a) Hyperbolinen paraboloidi - pinta, jolla on kanoninen yhtälö: 1) Toisen kertaluvun pinta 2) Koska x, y tulevat yhtälöön vain parillisina potenssiin, pinnalla on symmetriatasoja, jotka yhtyvät tietylle koordinaattien valinnalle 50 tasolla XOZ, YOZ.

3) tutkimme pintaa satulaleikkausmenetelmällä. XOZ Poikkileikkauksessa paraabeli on symmetrinen OZ-akseliin nähden, nouseva. pl. YOZ 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt=" alue ||XOY, h > 0 hyperbolaa, todellinen puoliakseli pitkin OXia, h:lle"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}

b) Kaksiarkkinen hyperboloidi 1) toisen asteen pinta 2) siinä on 3 tasoa ja 1 symmetriakeskus 3) pinnan sijainti x 2 ≥ a 2; |x| ≥ a ; (a, b, c > 0) Pinta koostuu kahdesta osasta, jotka sijaitsevat tasojen välisen nauhan ulkopuolella yhtälöillä x = a, x = -a 4) tutkimme leikkausmenetelmää (Omalla!) 57

Toisen kertaluvun kartio Toisen kertaluvun kartio on pinta, jonka kanoninen yhtälö on muotoa: 1) toisen kertaluvun pinnalla 2) on 3 tasoa ja 1 symmetriakeskus 3) tutkitaan neliön leikkausmenetelmää. XOY 58

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt=" square ||XOY |h| –>∞ 0 - ∞ neliön YOZ pari suoraa viivaa, läpikulkumatkalla"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}

60

§7. Taso ensimmäisen kertaluokan pintana. Tason yleinen yhtälö. Tietyn vektorin kanssa kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan tason yhtälö Esitetään suorakaiteen muotoinen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä Oxyz avaruudessa ja tarkastellaan ensimmäisen asteen yhtälöä (tai lineaarista yhtälöä) x, y, z:lle: (7.1) Ax.  Tekijällä  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 . Lause 7.1. Mikä tahansa taso voidaan määrittää mielivaltaisessa suorakulmaisessa suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä muotoa (7.1) olevalla yhtälöllä. Täsmälleen samalla tavalla kuin tasossa olevan suoran tapauksessa, Lauseen 7.1 käänteinen pätee. Lause 7.2. Mikä tahansa muotoa (7.1) oleva yhtälö määrittelee tason avaruudessa. Lauseiden 7.1 ja 7.2 todistus voidaan suorittaa samalla tavalla kuin lauseiden 2.1, 2.2 todistus. Lauseista 7.1 ja 7.2 seuraa, että taso ja vain se on ensimmäisen kertaluvun pinta. Yhtälöä (7.1) kutsutaan yleistasoyhtälöksi. Sen -kertoimet A, B, C tulkitaan geometrisesti vektorin n koordinaatteiksi, jotka ovat kohtisuorassa tämän yhtälön määrittelemää tasoa vastaan. Tätä vektoria  n(A, B, C) kutsutaan tietyn tason normaalivektoriksi. Yhtälö (7.2) A(x  x0)  B(y  y0)  C (z  z0)  0 kertoimien A, B, C kaikille mahdollisille arvoille määrittää kaikki tasot, jotka kulkevat pisteen M 0 ( x0 , y0 , z0) . Sitä kutsutaan tasojoukon yhtälöksi. A:n, B:n, C:n tiettyjen arvojen valinta kohdassa (7.2) tarkoittaa tason P valintaa linkistä, joka kulkee pisteen M 0 kautta kohtisuorassa annettuun vektoriin n(A, B, C) nähden (kuva 7.1). ). Esimerkki 7.1. Kirjoita vektorien a  (1, 2,–1), b  (2, 0, 1) suuntaisen pisteen   A(1, 2, 0) kautta kulkevan tason P yhtälö.    Normaalivektori n P:hen on ortogonaalinen annettuihin vektoreihin a ja b nähden (kuva 7.2),   joten n:lle voidaan ottaa niiden vektorin n tulo: A    P i j k  1   1 1   2 n  a  b  1 2  1  i  j 2 1  k 12 0  0 1 2 0 1 n    a  4k. Korvataan kuvan 1 koordinaatit. 7.2. Esimerkiksi 7.1 P M0  piste M 0 ja vektori n yhtälöön (7.2), saadaan kuva. 7.1. Tasokimpun tason yhtälöön P: 2(x  1)  3(y  2)  4z  0 tai P: 2x  3y  4z  4  0 .◄1. Yhtälön (7.1) A, B, C ovat nolla, se määrittää tason, joka on yhdensuuntainen yhden koordinaattitason kanssa. Esimerkiksi kun A  B  0, C  0 – taso P1: Cz  D  0 tai P1: z   D / C (kuva 7.3). Se on yhdensuuntainen Oxy-tason kanssa, koska sen normaalivektori  n1(0, 0, C) on kohtisuorassa tätä tasoa vastaan. Jos A  C  0, B  0 tai B  C  0, A  0, yhtälö (7. 1) määrittää tasot P2: Tekijällä  D  0 ja P3: Ax  D  0, yhdensuuntaiset koordinaattitasojen Oxz ja Oyz kanssa, koska   niiden normaalivektorit n2(0, B, 0) ja n3(A, 0) , 0 ) ovat kohtisuorassa niihin nähden (kuva 7.3). Jos vain yksi yhtälön (7.1) kertoimista A, B, C on nolla, niin se määrittelee tason, joka on yhdensuuntainen yhden koordinaattiakselin kanssa (tai sisältää sen, jos D  0). Siten taso P: Ax  By  D  0 on yhdensuuntainen Oz-akselin kanssa, z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x Kuva. 7.4 Taso P: Ax  B y  D  0, yhdensuuntainen Oz-akselin kanssa Kuva. 7.3. Tasot ovat yhdensuuntaisia ​​koordinaattitasojen  kanssa, koska sen normaalivektori n(A, B, 0) on kohtisuorassa Oz-akselia vastaan. Huomaa, että se kulkee suoran L kautta: Ax  By  D  0 Oxy-tasossa (kuva 7.4). Kun D  0, yhtälö (7.1) määrittää tason, joka kulkee origon kautta. Esimerkki 7.2. Etsi parametrin  arvot, joille yhtälö x  (2  2) y  (2    2)z    3  0 määrittää yhden tason P:n kanssa: a) koordinaattitasoista; b) yhdensuuntainen yhden koordinaattiakselin kanssa; c) kulkee koordinaattien origon kautta. Kirjoitetaan tämä yhtälö muotoon x  (  2) y  (  2)(  1) z    3  0 . (7.3) Yhtälö (7.3) määrittää mille tahansa :n arvolle tietyn tason, koska x:n, y:n, z:n kertoimet (7.3) eivät katoa samanaikaisesti. a) Kohdalle   0 yhtälö (7.3) määrittää tason P, joka on yhdensuuntainen tason Oxy kanssa, P: z  3 / 2, ja arvolle   2 se määrittelee tason P 2, joka on yhdensuuntainen tason Oyz kanssa, P: x  5/ 2. Jollei :n arvoja ole, yhtälön (7.3) mukainen taso P on yhdensuuntainen tason Oxz kanssa, koska x:n, z:n kertoimet eivät katoa yhtä aikaa (7.3). b) Arvolle   1 yhtälö (7.3) määrittää tason P, joka on yhdensuuntainen Oz-akselin kanssa, P: x  3y  2  0. Muille parametrin  arvoille se ei määrittele tasoa, joka on yhdensuuntainen vain yhden koordinaattiakselin kanssa. c) Kohdalle   3 yhtälö (7.3) määrittää tason P, joka kulkee origon kautta, P: 3x  15 y  10 z  0 . ◄ Esimerkki 7.3. Kirjoita yhtälö tason P, joka kulkee: a) pisteen M (1,  3, 2) kautta yhdensuuntainen tason akselin Oxy kanssa; b) Ox-akseli ja piste M (2, – 1, 3).   a) Normaalivektorille n - P tässä voidaan ottaa vektori k (0, 0,1) - Oz-akselin yksikkövektori, koska se on kohtisuorassa Oxy-tasoon nähden. Korvaa pisteen  M (1,  3, 2) ja vektorin n koordinaatit yhtälöön (7.2), saadaan tason P yhtälö: z 3  0.   b) Normaalivektori n - P on ortogonaalinen vektoreihin i (1, 0, 0) ja OM (2,  1, 3) nähden,  joten voimme ottaa niiden vektoritulon n:ksi:    i j k      OM  1 0 0   j 12 03  k 12 01   3 j  k . 2 1 3  Korvaa pisteen O ja vektorin n koordinaatit yhtälöön (7.2), saadaan tason P yhtälö:  3(y  0)  (z  0)  0 tai P: 3 y  z  0 .◄ 3