määritelmä .
Rajoitettu nelikulmio on nelikulmio, jonka kaikki sivut koskettavat ympyrää. Tässä tapauksessa ympyrän sanotaan piirretyksi nelikulmioon.
Mitä ominaisuuksia nelikulmioon kirjoitetulla ympyrällä on? Milloin ympyrä voidaan piirtää nelikulmioon? Missä on piirretyn ympyrän keskipiste?
Lause 1.
Ympyrä voidaan kirjoittaa nelikulmioon silloin ja vain, jos sen vastakkaisten sivujen summat ovat yhtä suuret.
Ympyrä voidaan kirjoittaa nelikulmioon ABCD, jos
Ja päinvastoin, jos nelikulmion vastakkaisten sivujen summat ovat yhtä suuret:
niin nelikulmioon ABCD voidaan kirjoittaa ympyrä.
Lause 2.
Nelikulmioon piirretyn ympyrän keskipiste on sen puolittajien leikkauspiste.
O on nelikulmion ABCD puolittajien leikkauspiste.
AO, BO, CO, DO ovat nelikulmion ABCD kulmien puolittajia,
eli ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO jne.
3. Yhdestä kärjestä ulottuvilla sivuilla sijaitsevan piirretyn ympyrän tangenttipisteet ovat yhtä kaukana tästä kärjestä.
AM=AN,
5. Nelikulman pinta-ala on suhteessa siihen kaavan mukaan piirretyn ympyrän säteeseen
missä p on nelikulmion puolikehä.
Koska rajatun nelikulmion vastakkaisten sivujen summat ovat yhtä suuret, puolikehä on yhtä suuri kuin mikä tahansa vastakkaisten sivujen summapareista.
Esimerkiksi nelikulmiolle ABCD p=AD+BC tai p=AB+CD ja
Osat: Matematiikka , Kilpailu "Esitys oppitunnille"
Esitys oppitunnille
Takaisin eteenpäin
Huomio! Diojen esikatselut ovat vain tiedoksi, eivätkä ne välttämättä edusta kaikkia esityksen ominaisuuksia. Jos olet kiinnostunut tästä työstä, lataa täysversio.
Tavoitteet.
Koulutuksellinen. Edellytysten luominen kuvatun nelikulmion käsitteen, sen ominaisuuksien, ominaisuuksien onnistuneelle hallitsemiselle ja niiden käytännön soveltamisen taitojen hallitseminen.
Kehittäviä. Matemaattisten kykyjen kehittäminen, edellytysten luominen kyvylle yleistää ja soveltaa ajatuskulkua eteenpäin ja taaksepäin.
Koulutuksellinen. Kasvata kauneuden tunnetta piirustusten estetiikan avulla, yllätä epätavallinen
päätöksenteko, organisaation muodostuminen, vastuu työnsä tuloksista.
1. Tutki rajatun nelikulmion määritelmää.
2. Todista rajatun nelikulmion sivujen ominaisuus.
3. Esittele sisäänkirjoitettujen ja rajattujen nelikulmien vastakkaisten sivujen ja vastakkaisten kulmien summien ominaisuuksien kaksinaisuus.
4. Antaa kokemusta käsiteltyjen lauseiden käytännön soveltamisesta tehtävien ratkaisussa.
5. Suorita uuden materiaalin assimilaatiotason alustava seuranta.
Laitteet:
- tietokone, projektori;
- oppikirja "Geometria. 10-11 luokkaa” yleissivistävään koulutukseen. oppilaitokset: perus- ja profiili. automaattiset tasot A.V. Pogorelov.
Ohjelmisto: Microsoft Word, Microsoft Power Point.
Tietokoneen käyttö valmisteltaessa opettajaa oppituntiin.
Oppitunnille luotiin tavallisella Windows-käyttöjärjestelmäohjelmalla seuraavat:
- Esittely.
- Taulukot.
- Suunnitelmat.
- Moniste.
Tuntisuunnitelma
Tuntien aikana
1. Organisatorinen hetki. Terveisiä. Kerro oppitunnin aihe ja tarkoitus. Kirjoita oppitunnin päivämäärä ja aihe vihkoon.
2. Kotitehtävien tarkistaminen.
3. Uuden materiaalin opiskelu.
Työskentele rajatun monikulmion käsitteen parissa.
Määritelmä. Monikulmiota kutsutaan kuvattu ympyrästä, jos Kaikki hänen kylkensä koskea joku ympyrä.
Kysymys. Mitkä ehdotetuista polygoneista on kuvattu ja mitkä eivät ja miksi?
<Презентация. Слайд №2>
Todistus rajatun nelikulmion ominaisuuksista.
<Презентация. Слайд №3>
Lause. Piirretyssä nelikulmiossa vastakkaisten sivujen summat ovat yhtä suuret.
Opiskelija työskentelee oppikirjan parissa ja kirjoittaa lauseen muotoilun muistikirjaan.
1. Esitä lauseen muotoilu ehdollisen lauseen muodossa.
2. Mikä on lauseen ehto?
3. Mikä on lauseen johtopäätös?
Vastaus. Jos nelikulmio on rajattu ympyrän ympärille, Että vastakkaisten puolien summat ovat yhtä suuret.
Todistus suoritetaan, opiskelijat tekevät muistiinpanoja vihkoonsa.
<Презентация. Слайд №4>
Opettaja. Huomautus kaksinaisuus tilanteet rajattujen ja merkittyjen nelikulmioiden sivuille ja kulmille.
Hankitun tiedon konsolidointi.
Tehtävät.
Vastaus. 1. 10 m. 2. 20 m. 3. 21 m
Todistus rajatun nelikulmion ominaisuudesta.
Esitä käänteinen lause.
Vastaus. Jos nelikulmiossa vastakkaisten sivujen summat ovat yhtä suuret, siihen voidaan kirjoittaa ympyrä. (Palaa diaan 2, kuva 7) <Презентация. Слайд №2>
Opettaja. Selvitä lauseen muotoilu.
Lause. Jos vastakkaisten puolien summat kupera nelikulmio ovat yhtä suuret, niin siihen voidaan piirtää ympyrä.
Työskentely oppikirjan kanssa. Tutustu rajatun nelikulmion kokeen todistukseen oppikirjan avulla.
Hankitun tiedon soveltaminen.
3. Tehtävät valmiiden piirustusten perusteella.
1. Onko mahdollista piirtää ympyrä nelikulmioon, jonka vastakkaiset sivut ovat 9 m ja 4 m, 10 m ja 3 m?
2. Onko mahdollista piirtää ympyrä tasakylkiseen puolisuunnikkaan, jonka kantat ovat 1 m ja 9 m ja korkeus 3 m?
<Презентация. Слайд №6>
Kirjalliset työt muistivihkoihin
.Tehtävä. Etsi ympyrän säde, joka on piirretty rombille, jonka lävistäjät ovat 6 m ja 8 m.
<Презентация. Слайд № 7>
4. Itsenäinen työskentely.
1 vaihtoehto
1. Onko mahdollista piirtää ympyrä
1) suorakulmioon, jonka sivut ovat 7 m ja 10 m,
2. Ympyrän ympärille piirretyn nelikulmion vastakkaiset sivut ovat 7 m ja 10 m.
Etsi nelikulmion ympärysmitta.
3. Ympyrän ympärille kuvataan tasasivuinen puolisuunnikasta, jonka kantat ovat 4 m ja 16 m.
1) piirretyn ympyrän säde,
Vaihtoehto 2
1. Onko mahdollista piirtää ympyrä:
1) suunnikkaassa, jonka sivut ovat 6 m ja 13 m,
2) neliö?
2. Ympyrän ympärille piirretyn nelikulmion vastakkaiset sivut ovat 9 m ja 11 m. Selvitä nelikulmion ympärysmitta.
3. Tasasivuinen puolisuunnikas, jonka sivusivu on 5 m, on rajattu ympyrän ympärille, jonka säde on 2 m.
1) puolisuunnikkaan kanta,
2) rajatun ympyrän säde.
5. Kotitehtävät. s. 86, nro 28, 29, 30.
6. Oppitunnin yhteenveto. Itsenäinen työ tarkastetaan ja arvosanat annetaan.
<Презентация. Слайд № 8>
1 . Kuperan nelikulmion diagonaalien summa on suurempi kuin sen kahden vastakkaisen sivun summa.
2 . Jos segmentit yhdistävät vastakkaisten sivujen keskipisteet nelikulmio
a) ovat yhtä suuret, silloin nelikulmion lävistäjät ovat kohtisuorassa;
b) ovat kohtisuorassa, silloin nelikulmion lävistäjät ovat yhtä suuret.
3 . Puolisuunnikkaan sivupuolen kulmien puolittajat leikkaavat sen keskiviivalla.
4 . Puolet suunnikkaan ovat yhtä suuret ja . Sitten suunnikkaan kulmien puolittajien leikkauspisteiden muodostama nelikulmio on suorakulmio, jonka lävistäjät ovat yhtä suuria kuin .
5 . Jos kulmien summa puolisuunnikkaan kannassa on 90°, niin puolisuunnikkaan kantojen keskipisteet yhdistävä jana on yhtä suuri kuin niiden puolikasero.
6 . Sivuilla AB Ja ILMOITUS suunnikas ABCD otettuja pisteitä M Ja N niin suoraa NEITI Ja NC jaa suuntaviiva kolmeen yhtä suureen osaan. löytö MN, Jos BD=d.
7 . Puolisuunnikkaan kantojen kanssa yhdensuuntainen suora jana, joka on puolisuunnikkaan sisäpuolella, jaetaan lävistäjänsä avulla kolmeen osaan. Sitten sivujen vieressä olevat segmentit ovat yhtä suuret.
8 . Puolisuunnikkaan lävistäjien leikkauspisteen kautta kantaan piirretään suora viiva, joka on yhdensuuntainen kantojen kanssa. Tämän linjan segmentti puolisuunnikkaan sivujen välissä on yhtä suuri kuin .
9 . Puolisuunnikas on jaettu sen kannan suuntaisella suoralla, joka on yhtä suuri kuin ja , kahteen yhtä suureen puolisuunnikkaan. Sitten tämän linjan sivujen välissä oleva segmentti on yhtä suuri kuin .
10 . Jos jokin seuraavista ehdoista on totta, neljä pistettä A, B, C Ja D makaa samalla ympyrällä.
A) CAD=CBD= 90°.
b) pisteet A Ja SISÄÄN makaa suoran viivan toisella puolella CD ja kulma CAD yhtä suuri kuin kulma CBD.
c) suora AC Ja BD leikkaavat pisteessä NOIN Ja O A OS=OV OD.
11 . Suora viiva, joka yhdistää pisteen R nelikulmion diagonaalien leikkauspiste ABCD kanssa piste K linjan risteyksiä AB Ja CD, jakaa puolen ILMOITUS puoliksi. Sitten hän jakaa puoliksi ja sivuiksi Aurinko.
12 . Kuperan nelikulmion jokainen sivu on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan. Vastakkaiset jakopisteet vastakkaisilla puolilla on yhdistetty segmenteillä. Sitten nämä segmentit jakavat toisensa kolmeen yhtä suureen osaan.
13 . Kaksi suoraa jakaa kummankin kuperan nelikulmion vastakkaiset sivut kolmeen yhtä suureen osaan. Sitten näiden viivojen välissä on kolmasosa nelikulmion pinta-alasta.
14 . Jos ympyrä voidaan piirtää nelikulmioon, niin jana, joka yhdistää pisteet, joissa piirretty ympyrä koskettaa nelikulmion vastakkaisia puolia, kulkee diagonaalien leikkauspisteen kautta.
15 . Jos nelikulmion vastakkaisten sivujen summat ovat yhtä suuret, niin sellaiseen nelikulmioon voidaan kirjoittaa ympyrä.
16. Sisäänkirjoitetun nelikulmion, jossa on keskenään kohtisuorat lävistäjät, ominaisuudet. Nelikulmio ABCD piirretty säteen ympyrään R. Sen diagonaalit AC Ja BD ovat keskenään kohtisuorassa ja leikkaavat pisteessä R. Sitten
a) kolmion mediaani ARV kohtisuoraan sivuun nähden CD;
b) katkoviiva AOC jakaa nelikulmion ABCD kahdeksi samankokoiseksi hahmoksi;
V) AB 2 + CD 2=4R 2 ;
G) AR 2 +BP 2 +CP 2 +DP 2 = 4R 2 ja AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2 = 8R 2;
e) etäisyys ympyrän keskipisteestä nelikulmion sivuun on puolet vastakkaisesta sivusta.
e) jos kohtisuorat putosivat sivulle ILMOITUS ylhäältä SISÄÄN Ja KANSSA, ylittää diagonaalit AC Ja BD kohdissa E Ja F, Että BCFE- rombi;
g) nelikulmio, jonka kärjet ovat pisteen projektioita R nelikulmion sivuilla ABCD,- sekä kirjoitettu että kuvattu;
h) nelikulmio, jonka muodostavat nelikulmion ympyrän tangentit ABCD, piirretty sen kärkipisteisiin, voidaan piirtää ympyrään.
17 . Jos a, b, c, d- nelikulmion peräkkäiset sivut, S on sen alue, niin Ja tasa-arvo pätee vain kirjoitettu nelikulmio jonka lävistäjät ovat keskenään kohtisuorassa.
18
. Brahmaguptan kaava. Jos syklisen nelikulmion sivut ovat yhtä suuret a, b, c Ja d, sitten sen alue S voidaan laskea kaavalla,
Missä - nelikulmion puolikehä.
19 . Jos nelikulmio, jossa on sivut A, b, c, d voidaan piirtää ja sen ympärille voidaan kuvata ympyrä, niin sen pinta-ala on yhtä suuri kuin .
20 . Piste P sijaitsee neliön sisällä ABCD, ja kulma PAB yhtä suuri kuin kulma RVA ja on tasa-arvoinen 15°. Sitten kolmio DPC- tasasivuinen.
21 . Jos kyseessä on syklinen nelikulmio ABCD tasa-arvo on tyytyväinen CD = AD+BC, sitten sen kulmien puolittajat A Ja SISÄÄN leikkaavat sivulta CD.
22 . Jatkoja vastakkaisille puolille AB Ja CD syklinen nelikulmio ABCD leikkaavat pisteessä M, ja puolueet ILMOITUS Ja Aurinko- pisteessä N. Sitten
a) kulman puolittajat AMD Ja D.N.C. keskenään kohtisuorassa;
b) suora MQ Ja NQ leikkaa nelikulmion sivut rombin kärjessä;
c) leikkauspiste K näistä puolittajista sijaitsee janalla, joka yhdistää nelikulmion lävistäjien keskipisteet ABCD.
23 . Ptolemaioksen lause. Syklisen nelikulmion kahden vastakkaisen sivuparin tulojen summa on yhtä suuri kuin sen diagonaalien tulo.
24 . Newtonin lause. Missä tahansa rajatussa nelikulmiossa diagonaalien keskipisteet ja piirretyn ympyrän keskipiste sijaitsevat samalla suoralla.
25 . Mongen lause. Suorat, jotka on vedetty vastakkaisiin sivuihin nähden kohtisuorassa olevan sisäänkirjoitetun nelikulmion sivujen keskipisteiden läpi, leikkaavat yhdessä pisteessä.
27 . Neljä ympyrää, jotka on rakennettu kuperan nelikulmion sivuille halkaisijana, peittävät koko nelikulmion.
29 . Kuperan nelikulmion kaksi vastakkaista kulmaa ovat tylpäjä. Tällöin näiden kulmien kärjet yhdistävä lävistäjä on pienempi kuin toinen diagonaali.
30. Suunnikkaan ulkopuolisille sivuille rakennettujen neliöiden keskipisteet muodostavat itse neliön.
Materiaali Wikipediasta - vapaasta tietosanakirjasta
- Euklidisessa geometriassa kaiverrettu nelikulmio on nelikulmio, jonka kaikki kärjet ovat samalla ympyrällä. Tätä ympyrää kutsutaan rajattu ympyrä nelikulmio, ja kärkien sanotaan olevan samalla ympyrällä. Tämän ympyrän keskustaa ja sen sädettä kutsutaan vastaavasti keskusta Ja säde rajattu ympyrä. Muut ehdot tälle nelikulmiolle: nelikulmio on yhdellä ympyrällä, viimeisen nelikulmion sivut ovat ympyrän jänteitä. Kupera nelikulmio oletetaan yleensä kuperaksi nelikulmioksi. Alla annetut kaavat ja ominaisuudet ovat voimassa kuperassa tapauksessa.
- He sanovat, että jos ympyrä voidaan piirtää nelikulmion ympärille, Tuo nelikulmio on merkitty tähän ympyrään, ja päinvastoin.
Yleiset kriteerit nelikulmion kirjoittamiselle
- Kuperan nelikulmion ympärillä radiaaneja), eli:
tai kuvassa:
- On mahdollista kuvata minkä tahansa nelikulmion ympärillä oleva ympyrä, jossa sen sivujen neljä kohtisuoraa puolittajaa leikkaavat yhdessä pisteessä (tai sen sivujen keskipisteet, eli niiden keskipisteiden kautta kulkevien sivujen kohtisuorat).
- Voit kuvata ympyrän minkä tahansa nelikulmion ympärillä, jonka vieressä on yksi ulkokulma annettu sisäkulma, on täsmälleen sama kuin toinen vastakkainen sisäkulma annettu sisäkulma. Pohjimmiltaan tämä tila on nelikulmion kahden vastakkaisen sivun antiparallelismin tila. Kuvassa Alla on vihreän viisikulmion ulko- ja vierekkäiset sisäkulmat.
- Risteys X voi olla ympyrän sisäinen tai ulkoinen. Ensimmäisessä tapauksessa saadaan syklinen nelikulmio on ABCD, ja jälkimmäisessä tapauksessa saadaan sisäänkirjoitettu nelikulmio ABDC. Kun se leikkaa ympyrän sisällä, yhtälö ilmoittaa, että niiden osien pituuksien tulo, joissa piste X jakaa yhden diagonaalin, on yhtä suuri kuin niiden segmenttien pituuksien tulo, joissa piste X jakaa toisen diagonaalin. Tämä ehto tunnetaan "leikkaussointulauseena". Meidän tapauksessamme piirretyn nelikulmion lävistäjät ovat ympyrän jänteitä.
- Toinen sisällyttämisen kriteeri. Kupera nelikulmio ABCD ympyrä on merkitty silloin ja vain jos
Erityiset kriteerit nelikulmion kirjoittamiselle
Yksinkertainen piirretty (ilman itseleikkauskohtaa) nelikulmio on kupera. Ympyrä voidaan kuvata kuperan nelikulmion ympärillä silloin ja vain, jos sen vastakkaisten kulmien summa on 180° ( radiaani). Voit kuvata ympyrän ympärillä:
- mikä tahansa antiparallelogrammi
- mikä tahansa suorakulmio (erityistapaus on neliö)
- mikä tahansa tasakylkinen puolisuunnikas
- mikä tahansa nelikulmio, jolla on kaksi vastakkaista suoraa kulmaa.
Ominaisuudet
Kaavat diagonaaleilla
;Osoittajan vierekkäisten sivujen parin viimeisessä kaavassa a Ja d, b Ja c nojaa niiden päät diagonaalisen pituuden varaan e. Samanlainen väite pätee nimittäjään.
- Kaavat diagonaalipituuksille(seuraukset ):
Kaavat kulmilla
Sykliselle nelikulmiolle, jossa on sivujen sarja a , b , c , d, puolikehä s ja kulma A osapuolten välillä a Ja d, trigonometriset kulmafunktiot A annetaan kaavoilla
Kulma θ diagonaalien välissä on:s.26
- Jos vastakkaiset puolet a Ja c leikkaavat kulmassa φ , niin se on yhtä suuri
Missä s siellä on puolikehä. :s.31
Nelikulmion ympärille rajatun ympyrän säde
Parameshvaran kaava
Jos nelikulmio, jolla on peräkkäiset sivut a , b , c , d ja puolikehä s piirretty ympyrään, sen säde on yhtä suuri kuin Parameshwarin kaava:p. 84
Sen johti intialainen matemaatikko Parameshwar 1400-luvulla (n. 1380–1460).
- Kupera nelikulmio (katso kuva oikealla), joka muodostuu neljästä datasta Mikelin suorat linjat, on piirretty ympyrään silloin ja vain, jos Mikel-piste M nelikulmion on suoralla, joka yhdistää kaksi kuudesta viivojen leikkauspisteestä (ne, jotka eivät ole nelikulmion kärkipisteitä). Eli milloin M makaa päällä E.F..
Kriteeri, jonka mukaan kahdesta kolmiosta muodostuva nelikulmio on piirretty tiettyyn ympyrään
- Viimeinen ehto antaa diagonaalin lausekkeen f nelikulmio, joka on piirretty ympyrään sen neljän sivun pituuksien kautta ( a, b, c, d). Tämä kaava seuraa välittömästi, kun kerrotaan ja rinnastetaan toisiinsa olemusta ilmaisevien kaavojen vasen ja oikea osa Ptolemaioksen ensimmäinen ja toinen lause(Katso edellä).
Kriteeri, jonka mukaan kolmiosta suoralla viivalla leikattu nelikulmio on merkitty tiettyyn ympyrään
- Kolmion sivuun nähden vastasuuntainen ja sen leikkaava suora leikkaa siitä nelikulmion, jonka ympärille voidaan aina kuvata ympyrä.
- Seuraus. Antirinnakkaiskuvan ympärille, jossa kaksi vastakkaista puolta ovat vastakkaisia, on aina mahdollista kuvata ympyrä.
Ympyrään piirretyn nelikulmion pinta-ala
Brahmaguptan kaavan muunnelmia
missä p on nelikulmion puolikehä.Muut aluekaavat
Missä θ mikä tahansa diagonaalien välinen kulma. Edellyttäen, että kulma A ei ole suora, pinta-ala voidaan ilmaista myös muodossa :s.26
Missä R on ympyrän säde. Suorana seurauksena meillä on eriarvoisuus
missä yhtäläisyys on mahdollista jos ja vain jos tämä nelikulmio on neliö.
Brahmaguptan nelikulmiot
Brahmaguptan nelikulmio on nelikulmio, joka on piirretty ympyrään, jonka sivujen pituudet, lävistäjät ja pinta-ala on kokonaisluku. Kaikki mahdolliset Brahmaguptan nelikulmiot, joissa on sivut a , b , c , d, diagonaaleilla e , f, pinta-alalla S, ja rajatun ympyrän säde R voidaan saada poistamalla nimittäjät seuraavista lausekkeista, jotka sisältävät rationaalisia parametreja t , u, Ja v :
Esimerkkejä
- Tietyt ympyrään piirretyt nelikulmiot ovat: suorakulmio, neliö, tasakylkinen tai tasakylkinen puolisuunnikas, vastarinnakkais.
Nelikulmat, jotka on piirretty ympyrään, jossa on kohtisuorat lävistäjät (kirjoitetut ortodiagonaaliset nelikulmiot)
Ympyrään, jossa on kohtisuorat lävistäjät, piirrettyjen nelikulmien ominaisuudet
Ympäryssäde ja pinta-ala
Jos nelikulmio on piirretty ympyrään, jossa on kohtisuorat lävistäjät, oletetaan, että lävistäjien leikkauspiste jakaa yhden diagonaalin pituisiksi segmenteiksi s 1 ja s 2, ja jakaa toisen diagonaalin pituussegmenteiksi q 1 ja q 2. Sitten (ensimmäinen yhtäläisyys on Arkhimedesen lause 11" Lemmien kirja)
Missä D- ympyrän halkaisija. Tämä on totta, koska diagonaalit ovat kohtisuorassa ympyrän jänteeseen nähden. Näistä yhtälöistä seuraa, että rajatun ympyrän säde R voidaan kirjoittaa nimellä
tai muodossa olevan nelikulmion sivuina
Siitä seuraa myös
- Brahmaguptan lause pätee sisäänkirjoitetuille poikkikulmaisille nelikulmioille:
Jos syklisellä nelikulmiolla on kohtisuorat diagonaalit, jotka leikkaavat pisteessä , sitten kaksi paria sitä antimediatris kulkea pisteen läpi .
Kommentti. Tässä lauseessa alla antimediatrix ymmärtää segmentin nelikulmio oikealla olevassa kuvassa (analogisesti kohtisuoran puolittajan (mediatriisi) kanssa kolmion sivulla). Se on kohtisuorassa toiselle sivulle ja samalla kulkee nelikulmion vastakkaisen puolen keskeltä.
Kirjoita arvostelu artikkelista "Ympyrään piirretyt nelikulmat"
Huomautuksia
- Bradley, Christopher J. (2007), Geometrian algebra: suorakulmaiset, alueelliset ja projektiiviset koordinaatit,Highperception, s. 179, ISBN 1906338000, OCLC
- . Piirretyt nelikulmiot.
- Siddons, A. W. & Hughes, R. T. (1929) Trigonometria, Cambridge University Press, s. 202, O.C.L.C.
- Durell, C. V. & Robson, A. (2003),
, Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8 ,
- Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), "", Forum Geometricorum T. 7: 147–9 ,
- Johnson, Roger A., Edistynyt euklidinen geometria, Dover Publ., 2007 (alkuperäinen 1929).
- Hoehn, Larry (maaliskuu 2000), "Circumradius of a cyclic quadrilateral", Matemaattinen lehti T. 84 (499): 69–70
- .
- Altshiller-Court, Nathan (2007), College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan(2. painos), Courier Dover, s. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC
- Honsberger, Ross (1995), , Jaksot yhdeksännentoista ja kahdennenkymmenennen vuosisadan euklidisessa geometriassa, voi. 37, New Mathematical Library, Cambridge University Press, s. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
- Weisstein, Eric W.(englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla.
- Bradley, Christopher (2011),
,
- .
- Coxeter, Harold Scott MacDonald & Greitzer, Samuel L. (1967), , Geometry Revisited, Mathematical Association of America, s. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
- .
- Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), , Matemaattisten olympialaisten aarteet, Springer, s. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
- .
- Buchholz, R. H. & MacDougall, J. A. (1999), "", Australian Mathematical Societyn tiedote T. 59 (2): 263–9 , DOI 10.1017/S0004972700032883
- .
- Johnson, Roger A., Edistynyt euklidinen geometria, Dover Publ. Co., 2007
- , Kanssa. 74.
- .
- .
- .
- Peter, Thomas (syyskuu 2003), "Nelikulman alueen maksimointi", College Mathematics Journal T. 34 (4): 315–6
- Prasolov, Viktor,
,
- Alsina, Claudi & Nelsen, Roger (2009), ,
, Mathematical Association of America, s. 64, ISBN 978-0-88385-342-9 ,
- Sastry, K.R.S. (2002). "" (PDF). Forum Geometricorum 2 : 167–173.
- Posamentier, Alfred S. & Salkind, Charles T. (1970), , Haastavat geometrian ongelmat(2. painos), Courier Dover, s. 104-5, ISBN 978-0-486-69154-1
- .
- .
- .
Katso myös
|
Artikkeli sisältää lyhyitä ("Harvard") viittauksia julkaisuihin, joita ei ole lueteltu tai kuvattu väärin bibliografisessa osassa. Luettelo rikkinäisistä linkeistä: , , , , , , , , , – No mitä, kasakkani? (Maria Dmitrievna kutsui Natashaa kasakoksi) - hän sanoi hyväillen Natashaa kädellä, joka lähestyi hänen kättään ilman pelkoa ja iloisesti. – Tiedän, että juoma on tyttö, mutta rakastan häntä. Hän otti päärynän muotoiset yakhon-korvakorut valtavasta verkkosuunnastaan ja antoi ne Natashalle, joka säteili ja punastui syntymäpäiväänsä, kääntyi välittömästi pois hänestä ja kääntyi Pierren puoleen. - Eh, eh! kiltti! "Tule tänne", hän sanoi teeskennellysti hiljaisella ja ohuella äänellä. - Tule, kultaseni... Ja hän kääri uhkaavasti hihat vielä korkeammalle. Pierre lähestyi häntä naiivisti katsoen häntä lasiensa läpi. - Tule, tule, kultaseni! Olin ainoa, joka kertoi isällesi totuuden, kun hänellä oli mahdollisuus, mutta Jumala käskee sen sinulle. Hän pysähtyi. Kaikki olivat hiljaa, odottivat mitä tapahtuisi ja tunsivat, että oli vain esipuhe. - Hyvä, ei mitään sanottavaa! hyvä poika!... Isä makaa sängyllään, ja hän huvittaa itseään pukemalla poliisin karhun selkään. Se on sääli, isä, se on sääli! Olisi parempi lähteä sotaan. Hän kääntyi pois ja ojensi kätensä kreiville, joka tuskin hillitsi itseään nauramasta. - No, tule pöytään, minulla on teetä, onko aika? - sanoi Marya Dmitrievna. Kreivi käveli edellä Marya Dmitrievnan kanssa; sitten kreivitär, jota johti husaari eversti, oikea henkilö, jonka kanssa Nikolain oli tarkoitus saada rykmentti kiinni. Anna Mikhailovna - Shinshinin kanssa. Berg kätteli Veraa. Hymyilevä Julie Karagina meni Nikolain kanssa pöytään. Heidän takanaan tulivat muut parit, jotka ulottuivat koko salin poikki, ja heidän takanaan oli yksitellen lapsia, opettajia ja ohjaajia. Tarjoilijat alkoivat hämmentää, tuolit kolisevat, musiikki alkoi soida kuorossa ja vieraat asettuivat paikoilleen. Kreivin kotimusiikin äänet korvattiin veitsien ja haarukoiden äänellä, vieraiden puheella ja tarjoilijoiden hiljaisilla askeleilla. Pöydän toisessa päässä kreivitär istui kärjessä. Oikealla on Marya Dmitrievna, vasemmalla Anna Mikhailovna ja muut vieraat. Toisessa päässä istui kreivi, vasemmalla husaari eversti, oikealla Shinshin ja muut miesvieraat. Pitkän pöydän toisella puolella vanhemmat nuoret: Vera Bergin vieressä, Pierre Boriksen vieressä; toisaalta - lapset, tutorit ja ohjaajat. Kristallin, pullojen ja hedelmämaljakoiden takaa kreivi katsoi vaimoaan ja hänen pitkää, sinisillä nauhoilla varusteltua hattuaan ja kaatoi ahkerasti viiniä naapureilleen unohtamatta itseään. Myös kreivitär ananasten takaa, unohtamatta kotiäidin velvollisuuksiaan, katsoi merkitsevästi aviomieheensä, jonka kalju pää ja kasvot, hänestä tuntuivat, erosivat jyrkämmin hänen harmaista hiuksistaan punaisuudessaan. Naisten päässä kuului tasaista pulinaa; miestenhuoneessa kuului yhä kovemmin ääniä, varsinkin husaari eversti, joka söi ja joi niin paljon, punastuen yhä enemmän, että kreivi oli jo asettamassa häntä esimerkkinä muille vieraille. Berg puhui lempeästi hymyillen Veralle, että rakkaus ei ole maallinen, vaan taivaallinen tunne. Boris nimesi uuden ystävänsä Pierren vieraiksi pöydässä ja vaihtoi katseita häntä vastapäätä istuvan Natashan kanssa. Pierre puhui vähän, katsoi uusia kasvoja ja söi paljon. Aloittaen kahdesta keitosta, joista hän valitsi a la tortuen, [kilpikonnan] ja kulebyakin sekä pähkinän riekon, hän ei jäänyt kaipaamaan yhtäkään ruokaa eikä yhtäkään viiniä, jonka hovimestari pisti salaperäisesti lautasliinaan käärittyyn pulloon. naapurin olkapään takaa sanoen "kuiva Madeira", "unkarilainen" tai "reinin viini". Hän asetti ensimmäisen neljästä kristallilasista, joissa oli kreivin monogrammi, joka seisoi jokaisen laitteen edessä, ja joi mielihyvin katsoen vieraita yhä miellyttävämmällä ilmeellä. Häntä vastapäätä istuva Natasha katsoi Borisia samalla tavalla kuin 13-vuotiaat tytöt katsovat poikaa, jonka kanssa he olivat juuri suudella ensimmäistä kertaa ja johon he ovat rakastuneita. Tämä sama hänen katseensa kääntyi toisinaan Pierreen, ja tämän hauskan, eloisan tytön katseen alla hän halusi nauraa itse, tietämättä miksi. Nikolai istui kaukana Sonyasta, Julie Karaginan viereen, ja taas puhui hänelle samalla tahattomalla hymyllä. Sonya hymyili suurenmoisesti, mutta ilmeisesti mustasukkaisuus piinasi: hän kalpeni, punastui ja kuunteli kaikin voimin, mitä Nikolai ja Julie sanoivat toisilleen. Governess katsoi ympärilleen levottomana, ikään kuin valmistautuessaan taistelemaan vastaan, jos joku päättäisi loukata lapsia. Saksalainen tutor yritti oppia ulkoa kaikenlaisia ruokia, jälkiruokia ja viinejä kuvaillakseen kaiken yksityiskohtaisesti perheelleen Saksaan lähettämässään kirjeessä, ja oli erittäin loukkaantunut siitä, että hovimestari kantoi lautasliinaan käärittyä pullaa. hänet ympärillä. Saksalainen rypisti kulmiaan, yritti osoittaa, ettei hän halunnut saada tätä viiniä, mutta loukkaantui, koska kukaan ei halunnut ymmärtää, että hän ei tarvinnut viiniä sammuttamaan janoaan, ei ahneudesta, vaan tunnollisesta uteliaisuudesta. Pöydän miesten päässä keskustelu muuttui yhä vilkkaammaksi. Eversti kertoi, että sodanjulistusmanifesti oli jo julkaistu Pietarissa ja että hänen itsensä näkemä kopio oli nyt toimitettu kuriirin välityksellä ylipäälliköksi. Bostonin pöydät siirrettiin erilleen, juhlat järjestettiin ja kreivin vieraat asettuivat kahteen olohuoneeseen, sohvahuoneeseen ja kirjastoon. Pierre istui olohuoneessa, jossa Shinshin ikään kuin ulkomailta tulleen vieraan kanssa aloitti hänen kanssaan Pierrelle tylsän poliittisen keskustelun, johon muut liittyivät. Kun musiikki alkoi soida, Natasha astui olohuoneeseen ja meni suoraan Pierren luo nauraen ja punastuen ja sanoi: Kolmannen ekosession puolivälissä olohuoneen tuolit, jossa kreivi ja Marya Dmitrievna leikkivät, alkoivat liikkua, ja suurin osa kunniavieraista ja vanhoista venytteli pitkän istunnon jälkeen ja laittoi lompakoita ja kukkaroita. taskuissaan, kävelivät ulos salin ovista. Marya Dmitrievna käveli edellä kreivin kanssa - molemmat iloisin kasvoin. Kreivi ojensi leikkisällä kohteliaasti baletin tavoin pyöristetyn kätensä Marya Dmitrievnalle. Hän suoriutui, ja hänen kasvonsa loistivat erityisen rohkea, ovela hymy, ja heti kun ekosaisen viimeinen hahmo oli tanssittu, hän taputti käsiään muusikoille ja huusi kuorolle puhuen ensimmäistä viulua: Kun Rostovit tanssivat salissa kuudetta englaista väsyneiden muusikoiden äänien tahdissa, ja väsyneet tarjoilijat ja kokit valmistelivat illallista, kuudes isku iski kreivi Bezukhyn. Lääkärit ilmoittivat, ettei toipumisesta ollut toivoa; potilaalle annettiin hiljainen tunnustus ja ehtoollinen; he olivat valmistautumassa häkkiin, ja talossa oli vilskettä ja odotuksen ahdistusta, joka on yleistä sellaisina hetkinä. Talon ulkopuolella, porttien takana, hautaustyöntekijöitä tungosta, piiloutuen lähestyviltä vaunuilta odottaen runsasta tilausta kreivin hautajaisiin. Moskovan ylipäällikkö, joka lähetti jatkuvasti adjutantteja tiedustelemaan kreivin asemaa, tuli sinä iltana itse sanomaan hyvästit kuuluisalle Katariinan aatelismiehelle, kreivi Bezukhimille. |
Nelikulmion rajattu ympyrä. ? ? Ympyrä voidaan kuvata nelikulmion ympärillä, jos vastakkaisten kulmien summa on 180°: ? + ? =? + ? Jos nelikulmio on piirretty ympyrään, niin vastakkaisten kulmien summa on 180°. ? ? a. d. d1. PTOLOMIAN LAUSE Vastakkaisten sivujen tulojen summa on yhtä suuri kuin diagonaalien tulo: ac + bd = d1 d2. d2. b. c. b. Nelikulman pinta-ala. a. c. d. Missä p on nelikulmion puolikehä.
Dia 9 esityksestä "kirjoitetun ja rajatun ympyrän säde". Arkiston koko esityksen kanssa on 716 KB.Geometria 9. luokka
yhteenveto muista esityksistä"Kultainen suhde elämässä" - Kultainen kierre taiteessa. Matka matematiikan historiaan. Valuyki. Kangas. Maalaus ja kultainen leikkaus. Kultainen kierre luonnossa. Kultainen suhde on luonnostaan ihmiskehon mittasuhteissa. Arkkitehti M.F. Kazakov. Kultaisen leikkauksen käsite. Segmentin jako. Kultainen suhde luonnossa. Kultainen spiraali. Tieteelliset laitteet. Kultainen suhde arkkitehtuurissa ja taiteessa. Kultainen suorakulmio. Mikä on kultainen suhde.
"Kuinka löytää vektorien pistetulo" - Etsi vektorien pistetulo. Neliö. ABCD on neliö. Täytä puuttuva sana. Av = aurinko = ac. Skalaarituote. Valitse oikea vastaus. Etsi kolmion sivut ja kulmat. Kolmion sivut. Esittele opiskelijat lauseeseen vektorien skalaaritulon löytämisestä. Av = aurinko = ac = 2. Vektorien skalaaritulo. Kulma vektorien välillä. Täytä taulukko.
"Kolmioiden tyypit ja ominaisuudet" - Kolmion pinta-ala. Ongelmia koordinaateissa. Geometrian viimeinen toisto. Ominaisuudet. Säännöllinen kolmio. Kolmio. Tarkista itse. Ympyrän keskipiste. Kolmion ja osien suhteellinen sijainti. Tasakylkinen kolmio. Suorakulmainen kolmio. Bisector.
""Kolmiot" 9. luokka" - Tasakylkiset. Kolmiot. Kolmion kulmien summa. Suorakulmainen. Bisector. Tasasivuinen. Keskilinja. Pystysuora puolittaja. Mediaani. Kolmiot. Tylsä kolmio on kolmio, jonka yksi kulmista on tylppä. Kolmion sivujen ja kulmien välinen suhde. Kolmion epätasa-arvo. Ulkokulma. Korkeus.
"Ympyrä ja ympyrä" - Etsi ympyrän ympyrä. Ympyrän alue. Laskea. Etsi ympyrän säde. Täydennä lausunto. Ympyrä. Pyöreä sektori. Laske päiväntasaajan pituus. Ympärysmitta. Itsenäinen työ. Ympyrä. Peli. Etsi varjostetun hahmon alue. Piirrä ympyrä, jonka keskipiste on K ja jonka säde on 2 cm.
"Kysymyksiä polyhedraista" - Mikä geometrinen kuvio saadaan sylinterin leikkauksesta. Suorakulmio. Joidenkin Archimedesin kiinteiden aineiden saaminen. V = abc. Sylinterin korkeus. Kuutio, suuntaissärmiö, pyramidi. Jotkut geometriset kappaleet. Etsi kuvassa näkyvä akvaarion tilavuus. Mitkä esineet ovat muodoltaan lieriömäisiä? Kartio. Miksi luokittelit kuution, suuntaissärmiön ja pyramidin monitahoiksi? Pallo ja maapallo ovat palloja. Pallo, sylinteri, kartio, katkaistu kartio.