Differentiaaliyhtälöt kokonaisdifferentiaaleissa. Kokonaisdifferentiaalien yhtälö Käyräviivaiset integraalit kokonaisdifferentiaalin palautus

Vakiomuoto $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, jossa vasen puoli on jonkin funktion $F kokonaisdifferentiaali \left(x,y\right)$ kutsutaan kokonaisdifferentiaaliyhtälöksi.

Kokonaisdifferentiaalien yhtälö voidaan aina kirjoittaa uudelleen muotoon $dF\left(x,y\right)=0$, missä $F\left(x,y\oikea)$ on funktio, jossa $dF\left(x, y\oikea)=P\left(x,y\oikea)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Integroidaan yhtälön molemmat puolet $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; nollan oikean puolen integraali on yhtä suuri kuin mielivaltainen vakio $C$. Siten tämän yhtälön yleinen ratkaisu implisiittisessä muodossa on $F\left(x,y\right)=C$.

Jotta annettu differentiaaliyhtälö olisi kokonaisdifferentiaalien yhtälö, on välttämätöntä ja riittävää, että ehto $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ olla tyytyväinen. Jos määritetty ehto täyttyy, on olemassa funktio $F\left(x,y\right)$, jolle voidaan kirjoittaa: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\oikea)\cdot dx+Q\left(x,y\oikea)\cdot dy$, josta saadaan kaksi relaatiota : $\frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ ja $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\oikea) )$.

Integroimme ensimmäisen suhteen $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ yli $x$ ja saamme $F\left(x,y\right)=\int P\ vasen(x,y\oikea)\cdot dx +U\left(y\oikea)$, missä $U\left(y\oikea)$ on $y$:n mielivaltainen funktio.

Valitaan se niin, että toinen relaatio $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ täyttyy. Tätä varten erotamme tuloksena olevan suhteen $F\left(x,y\right)$ suhteessa $y$:iin ja rinnastamme tuloksen $Q\left(x,y\right)$. Saamme: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\oikea)$.

Jatkoratkaisu on:

viimeisestä yhtälöstä löydämme $U"\left(y\right)$;
integroi $U"\left(y\right)$ ja etsi $U\left(y\right)$;
korvaa $U\left(y\oikea)$ yhtälään $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\oikea) $ ja lopuksi saadaan funktio $F\left(x,y\right)$.

Löydämme eron:

Integroimme $U"\left(y\right)$ $y$:n päälle ja löydämme $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Etsi tulos: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Kirjoitamme yleisen ratkaisun muodossa $F\left(x,y\right)=C$, nimittäin:

Etsi tietty ratkaisu $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, missä $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 dollaria:

Osittaisratkaisu on muotoa: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

joitain toimintoja. Jos palautamme funktion sen kokonaisdifferentiaalista, löydämme differentiaaliyhtälön yleisen integraalin. Alla puhumme aiheesta menetelmä funktion palauttamiseksi sen kokonaisdifferentiaalista.

Differentiaaliyhtälön vasen puoli on jonkin funktion kokonaisdifferentiaali U(x, y) = 0, jos ehto täyttyy.

Koska täysi differentiaalitoiminto U(x, y) = 0 Tämä , mikä tarkoittaa, että kun ehto täyttyy, ilmoitetaan, että .

Sitten, .

Järjestelmän ensimmäisestä yhtälöstä saamme . Löydämme funktion käyttämällä järjestelmän toista yhtälöä:

Näin löydämme tarvittavan toiminnon U(x, y) = 0.

Esimerkki.

Etsitään yleinen ratkaisu DE: lle .

Ratkaisu.

Meidän esimerkissämme. Edellytys täyttyy, koska:

Sitten alkuperäisen differentiaaliyhtälön vasen puoli on jonkin funktion kokonaisdifferentiaali U(x, y) = 0. Meidän on löydettävä tämä toiminto.

Koska on funktion kokonaisero U(x, y) = 0, tarkoittaa:

Integroimme kautta x järjestelmän 1. yhtälö ja erota suhteessa y tulos:

Järjestelmän 2. yhtälöstä saamme . Keinot:

Missä KANSSA- mielivaltainen vakio.

Siten annetun yhtälön yleinen integraali on .

On toinenkin menetelmä funktion laskemiseksi sen kokonaisdifferentiaalista. Se koostuu kiinteän pisteen suoraintegraalin ottamisesta (x 0, y 0) pisteeseen, jolla on muuttuvat koordinaatit (x, y): . Tässä tapauksessa integraalin arvo on riippumaton integrointipolusta. Integrointipoluksi on kätevää ottaa katkoviiva, jonka linkit ovat yhdensuuntaiset koordinaattiakseleiden kanssa.

Esimerkki.

Etsitään yleinen ratkaisu DE: lle .

Ratkaisu.

Tarkistamme ehdon täyttymisen:

Siten differentiaaliyhtälön vasen puoli on jonkin funktion täydellinen differentiaali U(x, y) = 0. Etsitään tämä funktio laskemalla pisteen kaareva integraali (1; 1) ennen (x, y). Integrointipoluksi otamme katkoviivan: katkoviivan ensimmäinen osa kuljetetaan suoraa linjaa pitkin y = 1 pisteestä (1, 1) ennen (x, 1), polun toinen osa ottaa suoran janan pisteestä (x, 1) ennen (x, y):

Joten kaukosäätimen yleinen ratkaisu näyttää tältä: .

Esimerkki.

Määritetään DE:n yleinen ratkaisu.

Ratkaisu.

Koska , mikä tarkoittaa, että ehto ei täyty, niin differentiaaliyhtälön vasen puoli ei ole funktion täydellinen differentiaali ja sinun on käytettävä toista ratkaisumenetelmää (tämä yhtälö on differentiaaliyhtälö, jossa on erotettavia muuttujia).

Tässä aiheessa tarkastellaan menetelmää funktion rekonstruoimiseksi sen kokonaisdifferentiaalista ja annamme esimerkkejä ongelmista ratkaisun täydellisellä analyysillä.

Sattuu niin, että P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 muotoiset differentiaaliyhtälöt (DE) voivat sisältää joidenkin funktioiden täydellisiä differentiaaleja vasemmalla puolella. Sitten voimme löytää differentiaaliyhtälön yleisen integraalin, jos rekonstruoimme funktion ensin sen kokonaisdifferentiaalista.

Esimerkki 1

Tarkastellaan yhtälöä P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Vasemmalla puolella on tietyn funktion differentiaali U(x, y) = 0. Tätä varten ehdon ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x tulee täyttyä.

Funktion U (x, y) = 0 kokonaisdifferentiaali on muotoa d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Ottaen huomioon ehdon ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x saamme:

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Muuttamalla ensimmäinen yhtälö tuloksena olevasta yhtälöjärjestelmästä, voimme saada:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Löydämme funktion φ (y) aiemmin saadun järjestelmän toisesta yhtälöstä:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Näin löysimme halutun funktion U (x, y) = 0.

Esimerkki 2

Etsi yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälölle (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0.

Ratkaisu

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Tarkastetaan täyttyykö ehto ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Meidän ehtomme täyttyy.

Laskelmien perusteella voidaan päätellä, että alkuperäisen differentiaaliyhtälön vasen puoli on jonkin funktion U (x, y) = 0 kokonaisdifferentiaali. Meidän on löydettävä tämä toiminto.

Koska (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y on funktion U (x, y) = 0 kokonaisdifferentiaali, niin

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Integroidaan järjestelmän ensimmäinen yhtälö x:n suhteen:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Nyt erotamme tuloksen y:n suhteen:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Muuttamalla järjestelmän toinen yhtälö saadaan: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Se tarkoittaa sitä
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

jossa C on mielivaltainen vakio.

Saamme: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Alkuperäisen yhtälön yleinen integraali on x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Katsotaanpa toista menetelmää funktion löytämiseksi tunnetun kokonaisdifferentiaalin avulla. Se sisältää kaarevan integraalin käytön kiinteästä pisteestä (x 0, y 0) pisteeseen, jolla on muuttuvat koordinaatit (x, y):

U (x, y) = ∫ (x 0, y 0) (x, y) P (x, y) d x + Q (x, y) d y + C

Tällaisissa tapauksissa integraalin arvo ei riipu millään tavalla integraatiopolusta. Integrointipoluksi voidaan ottaa katkoviiva, jonka linkit sijaitsevat yhdensuuntaisesti koordinaattiakseleiden kanssa.

Esimerkki 3

Etsi yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälölle (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

Ratkaisu

Tarkastetaan täyttyykö ehto ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Osoittautuu, että differentiaaliyhtälön vasenta puolta edustaa jonkin funktion U (x, y) = 0 kokonaisdifferentiaali. Tämän funktion löytämiseksi on tarpeen laskea pisteen suoraintegraali (1 ; 1) ennen (x, y). Otetaan integrointipoluksi katkoviiva, jonka osat kulkevat suorassa linjassa y = 1 pisteestä (1, 1) kohtaan (x, 1) ja sitten pisteestä (x, 1) kohtaan (x, y):

∫ (1, 1) (x, y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2) x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Olemme saaneet yleisen ratkaisun differentiaaliyhtälöön muotoa x y - x y 2 + C = 0.

Esimerkki 4

Määritä differentiaaliyhtälön y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 yleinen ratkaisu.

Ratkaisu

Tarkastetaan täyttyykö ehto ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Koska ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x, ehto ei täyty. Tämä tarkoittaa, että differentiaaliyhtälön vasen puoli ei ole funktion täydellinen differentiaali. Tämä on differentiaaliyhtälö, jossa on erotettavia muuttujia ja sen ratkaisemiseen soveltuvat muut ratkaisut.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Ero kutsutaan muodon yhtälöksi

P(x,y)dx + K(x,y)dy = 0 ,

jossa vasen puoli on kahden muuttujan minkä tahansa funktion kokonaisdifferentiaali.

Merkitään kahden muuttujan tuntematon funktio (tämä on löydettävä, kun ratkaistaan yhtälöitä kokonaisdifferentiaaleissa) F ja palaamme asiaan pian.

Ensimmäinen asia, johon sinun tulee kiinnittää huomiota, on se, että yhtälön oikealla puolella on oltava nolla ja vasemmalla puolella olevat kaksi termiä yhdistävän merkin on oltava plus.

Toiseksi, jonkin verran yhtälöä on noudatettava, mikä vahvistaa, että tämä differentiaaliyhtälö on kokonaisdifferentiaalien yhtälö. Tämä tarkistus on pakollinen osa algoritmia kokonaisdifferentiaalien yhtälöiden ratkaisemiseksi (se on tämän oppitunnin toisessa kappaleessa), joten funktion löytämisprosessi F melko työläs ja on tärkeää varmistaa alkuvaiheessa, ettemme hukkaa aikaa.

Joten, tuntematon funktio, joka on löydettävä, on merkitty F. Kaikkien riippumattomien muuttujien osittaisdifferentiaalien summa antaa kokonaisdifferentiaalin. Siksi, jos yhtälö on kokonaisdifferentiaaliyhtälö, yhtälön vasen puoli on osittaisdifferentiaalien summa. Siis määritelmän mukaan

dF = P(x,y)dx + K(x,y)dy .

Muistakaamme kaava kahden muuttujan funktion kokonaisdifferentiaalin laskemiseksi:

Ratkaisemme kaksi viimeistä yhtälöä, voimme kirjoittaa

Erottelemme ensimmäisen yhtälön muuttujan "y" suhteen, toisen - muuttujan "x" suhteen:

joka on ehto sille, että tietty differentiaaliyhtälö on todella kokonaisdifferentiaaliyhtälö.

Algoritmi differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi kokonaisdifferentiaaleissa

Vaihe 1. Varmista, että yhtälö on kokonaisdifferentiaaliyhtälö. Ilmaisun vuoksi oli jonkin toiminnon kokonaisero F(x, y) on välttämätön ja riittävä, jotta . Toisin sanoen, sinun on otettava osittainen johdannainen suhteessa x ja osittainen derivaatta suhteessa y toinen termi ja jos nämä derivaatat ovat yhtä suuret, yhtälö on kokonaisdifferentiaaliyhtälö.

Vaihe 2. Kirjoita muistiin osittaisdifferentiaaliyhtälöjärjestelmä, joka muodostaa funktion F:

Vaihe 3. Integroi järjestelmän ensimmäinen yhtälö - by x (y F:

,
y.

Vaihtoehtoinen vaihtoehto (jos integraali on helpompi löytää tällä tavalla) on integroida järjestelmän toinen yhtälö - y (x pysyy vakiona ja poistetaan integraalimerkistä). Tällä tavalla myös toiminto palautetaan F:

,
missä on vielä tuntematon funktio X.

Vaihe 4. Vaiheen 3 tulos (löydetty yleinen integraali) erotetaan y(vaihtoehtoisesti - mukaan x) ja vastaa järjestelmän toista yhtälöä:

ja vaihtoehtoisessa versiossa - järjestelmän ensimmäiseen yhtälöön:

Tuloksena olevasta yhtälöstä määritämme (vaihtoehtoisesti)

Vaihe 5. Vaiheen 4 tulos on integroida ja etsiä (vaihtoehtoisesti löytää ).

Vaihe 6. Korvaa vaiheen 5 tulos vaiheen 3 tuloksella - osittaisella integroinnilla palautetulla toiminnolla F. Mielivaltainen vakio C kirjoitetaan usein yhtälömerkin jälkeen - yhtälön oikealle puolelle. Siten saadaan yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälöön kokonaisdifferentiaaleissa. Sillä, kuten jo mainittiin, on muoto F(x, y) = C.

Esimerkkejä differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista kokonaisdifferentiaaleissa

Esimerkki 1.

Vaihe 1. yhtälö kokonaisdifferentiaaleina x yksi termi lausekkeen vasemmalla puolella

ja osittaisen derivaatan suhteen y toinen termi
yhtälö kokonaisdifferentiaaleina .

Vaihe 2. F:

Vaihe 3. Tekijä: x (y pysyy vakiona ja poistetaan integraalimerkistä). Näin palautamme toiminnon F:

missä on vielä tuntematon funktio y.

Vaihe 4. y

Vaihe 5.

Vaihe 6. F. Mielivaltainen vakio C :
.

Mikä virhe tässä todennäköisimmin tapahtuu? Yleisimmät virheet ovat ottaa osittaisintegraali funktioiden tulon tavallisen integraalin yhden muuttujan päälle ja yrittää integroida osien tai korvaavan muuttujan mukaan sekä ottaa myös kahden tekijän osittaisderivaata funktion derivaataksi. funktioiden tulo ja etsi derivaatta vastaavan kaavan avulla.

Tämä on muistettava: kun lasketaan osittaisintegraalia jommankumman muuttujan suhteen, toinen on vakio ja otetaan pois integraalin etumerkistä, ja kun lasketaan osittaisderivaata jommankumman muuttujan suhteen, toinen on vakio. on myös vakio ja lausekkeen derivaatta löytyy "toimivan" muuttujan derivaatana kerrottuna vakiolla.

Joukossa yhtälöt kokonaisdifferentiaaleissa Ei ole harvinaista löytää esimerkkejä, joissa on eksponentiaalinen funktio. Tämä on seuraava esimerkki. Se on myös merkittävä siitä, että sen ratkaisussa käytetään vaihtoehtoista vaihtoehtoa.

Esimerkki 2. Ratkaise differentiaaliyhtälö

Vaihe 1. Varmistetaan, että yhtälö on yhtälö kokonaisdifferentiaaleina . Tätä varten löydämme osittaisen derivaatan suhteessa x yksi termi lausekkeen vasemmalla puolella

ja osittaisen derivaatan suhteen y toinen termi
. Nämä derivaatat ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että yhtälö on yhtälö kokonaisdifferentiaaleina .

Vaihe 2. Kirjoitetaan osittaisdifferentiaaliyhtälöjärjestelmä, jotka muodostavat funktion F:

Vaihe 3. Integroidaan järjestelmän toinen yhtälö - by y (x pysyy vakiona ja poistetaan integraalimerkistä). Näin palautamme toiminnon F:

missä on vielä tuntematon funktio X.

Vaihe 4. Erottelemme vaiheen 3 tuloksen (löydetty yleinen integraali) suhteessa X

ja sama kuin järjestelmän ensimmäinen yhtälö:

Tuloksena olevasta yhtälöstä päätämme:
.

Vaihe 5. Integroimme vaiheen 4 tuloksen ja löydämme:
.

Vaihe 6. Korvaamme vaiheen 5 tuloksen vaiheen 3 tuloksella - osittaisella integroinnilla palautettuun toimintoon F. Mielivaltainen vakio C kirjoita yhtäläisyysmerkin jälkeen. Näin saamme kokonaissumman ratkaisemaan differentiaaliyhtälön kokonaisdifferentiaaleista :
.

Seuraavassa esimerkissä palaamme vaihtoehtoisesta vaihtoehdosta päävaihtoehtoon.

Esimerkki 3. Ratkaise differentiaaliyhtälö

Vaihe 1. Varmistetaan, että yhtälö on yhtälö kokonaisdifferentiaaleina . Tätä varten löydämme osittaisen derivaatan suhteessa y yksi termi lausekkeen vasemmalla puolella

ja osittaisen derivaatan suhteen x toinen termi
. Nämä derivaatat ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että yhtälö on yhtälö kokonaisdifferentiaaleina .

Vaihe 2. Kirjoitetaan osittaisdifferentiaaliyhtälöjärjestelmä, jotka muodostavat funktion F:

Vaihe 3. Integroidaan järjestelmän ensimmäinen yhtälö - Tekijä: x (y pysyy vakiona ja poistetaan integraalimerkistä). Näin palautamme toiminnon F:

missä on vielä tuntematon funktio y.

Vaihe 4. Erottelemme vaiheen 3 tuloksen (löydetty yleinen integraali) suhteessa y

ja vastaa järjestelmän toiseen yhtälöön:

Tuloksena olevasta yhtälöstä päätämme:
.

Vaihe 5. Integroimme vaiheen 4 tuloksen ja löydämme:

Esimerkki 4. Ratkaise differentiaaliyhtälö

Vaihe 2. Kirjoitetaan osittaisdifferentiaaliyhtälöjärjestelmä, jotka muodostavat funktion F:

Vaihe 3. Integroidaan järjestelmän ensimmäinen yhtälö - Tekijä: x (y pysyy vakiona ja poistetaan integraalimerkistä). Näin palautamme toiminnon F:

missä on vielä tuntematon funktio y.

Vaihe 4. Erottelemme vaiheen 3 tuloksen (löydetty yleinen integraali) suhteessa y

ja vastaa järjestelmän toiseen yhtälöön:

Tuloksena olevasta yhtälöstä päätämme:
.

Vaihe 5. Integroimme vaiheen 4 tuloksen ja löydämme:

Esimerkki 5. Ratkaise differentiaaliyhtälö

Määritelmä 8.4. Muodon differentiaaliyhtälö

Missä
kutsutaan kokonaisdifferentiaaliyhtälöksi.

Huomaa, että tällaisen yhtälön vasen puoli on jonkin funktion kokonaisdifferentiaali
.

Yleensä yhtälö (8.4) voidaan esittää muodossa

Yhtälön (8.5) sijasta voimme tarkastella yhtälöä

jonka ratkaisu on yhtälön (8.4) yleinen integraali. Siten yhtälön (8.4) ratkaisemiseksi on löydettävä funktio
. Yhtälön (8.4) määritelmän mukaisesti meillä on

(8.6)

Toiminto
etsimme funktiota, joka täyttää yhden seuraavista ehdoista (8.6):

Missä - mielivaltainen funktio, joka on riippumaton .

Toiminto
on määritelty siten, että lausekkeen (8.6) toinen ehto täyttyy

(8.7)

Lausekkeesta (8.7) määritetään funktio
. Korvaa se lausekkeelle for
ja saada alkuperäisen yhtälön yleinen integraali.

Ongelma 8.3. Integroi yhtälö

Tässä
.

Siksi tämä yhtälö kuuluu kokonaisdifferentiaalien differentiaaliyhtälöiden tyyppiin. Toiminto
etsimme sitä lomakkeesta

Toisella puolella,

Joissakin tapauksissa tila
ei välttämättä täyty.

Sitten tällaiset yhtälöt pelkistetään tarkasteltavaan tyyppiin kertomalla ns integroivalla tekijällä, joka yleensä on vain funktio tai .

Jos jollakin yhtälöllä on integroiva tekijä, joka riippuu vain , niin se määritetään kaavalla

missä on suhde pitäisi olla vain toiminto .

Vastaavasti integroiva tekijä riippuu vain , määritetään kaavalla

missä on suhde
pitäisi olla vain toiminto .

Ensimmäisessä tapauksessa muuttujan puuttuminen annetuista suhteista , ja toisessa - muuttuja , ovat merkki integroivan tekijän olemassaolosta tietylle yhtälölle.

Ongelma 8.4. Pienennä tämä yhtälö kokonaisdifferentiaaliyhtälöksi.

Harkitse suhdetta:

Aihe 8.2. Lineaariset differentiaaliyhtälöt

Määritelmä 8.5. Differentiaaliyhtälö
kutsutaan lineaariseksi, jos se on lineaarinen suhteessa haluttuun funktioon , sen johdannainen eikä sisällä halutun funktion ja sen derivaatan tuloa.

Lineaarisen differentiaaliyhtälön yleistä muotoa edustaa seuraava suhde:

(8.8)

Jos suhteessa (8.8) oikea puoli
, niin tällaista yhtälöä kutsutaan lineaariseksi homogeeniseksi. Siinä tapauksessa, että oikea puoli
, silloin tällaista yhtälöä kutsutaan lineaariseksi epähomogeeniseksi.

Osoitetaan, että yhtälö (8.8) voidaan integroida kvadratuuriin.

Ensimmäisessä vaiheessa tarkastelemme lineaarista homogeenista yhtälöä.

Tällainen yhtälö on yhtälö, jossa on erotettavia muuttujia. Todella,

;

Viimeinen relaatio määrittää lineaarisen homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun.

Yleisen ratkaisun löytämiseksi lineaariselle epähomogeeniselle yhtälölle käytetään menetelmää vakion derivaatan muuttamiseen. Menetelmän ideana on, että lineaarisen epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on samassa muodossa kuin vastaavan homogeenisen yhtälön ratkaisu, mutta mielivaltainen vakio korvattu jollain toiminnolla
olla päättäväinen. Meillä on siis:

(8.9)

Korvaamalla suhteeseen (8.8) vastaavat lausekkeet
Ja
, saamme

Korvaamalla viimeinen lauseke suhteeksi (8.9), saadaan lineaarisen epähomogeenisen yhtälön yleinen integraali.

Siten lineaarisen epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu määräytyy kahdella kvadratuurilla: lineaarisen homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu ja lineaarisen epähomogeenisen yhtälön erityinen ratkaisu.

Ongelma 8.5. Integroi yhtälö