Tarkastellaan Ox-akselin rajoittamaa kaarevaa puolisuunnikasta, käyrää y \u003d f (x) ja kahta suoraa: x \u003d a ja x \u003d b (kuva 85). Ota x:n mielivaltainen arvo (ei vain a eikä b). Annetaan sille inkrementti h = dx ja tarkastellaan kaistaletta, jota rajoittavat suorat viivat AB ja CD, Ox-akseli sekä tarkasteltavaan käyrään kuuluva kaari BD. Tätä nauhaa kutsutaan alkeisnauhaksi. Alkeisliuskan pinta-ala eroaa suorakulmion ACQB pinta-alasta kaarevalla kolmiolla BQD, ja jälkimmäisen pinta-ala on pienempi kuin suorakulmion BQDM pinta-ala, jonka sivut BQ = =h= dx) QD = Ay ja pinta-ala yhtä suuri kuin heinä = Ay dx. Kun sivu h pienenee, myös puoli Du pienenee ja pyrkii samanaikaisesti h:n kanssa nollaan. Siksi BQDM:n pinta-ala on äärettömän pieni toisesta kertaluvusta. Alkeisliuskan pinta-ala on pinta-alan lisäys, ja suorakulmion ACQB pinta-ala, joka on yhtä suuri kuin AB-AC==/(x) dx>, on pinta-alaero. Siksi löydämme alueen itse integroimalla sen differentiaalin. Tarkasteltavan kuvan rajoissa riippumaton muuttuja l: muuttuu a:sta b:ksi, joten vaadittava alue 5 on yhtä suuri kuin 5= \f (x) dx. (I) Esimerkki 1. Laske paraabelin y - 1 -x *, suorien X \u003d - Fj-, x \u003d 1 ja akselin O * rajaama alue (kuva 86). kuvassa Fig. 87. Kuva. 86. 1 Tässä f(x) = 1 - l?, integroinnin rajat a = - ja t = 1, siis 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Esimerkki 2. Laske siniaallon rajaama alue y = sinXy, Ox-akseli ja suora (kuva 87). Sovellettaessa kaavaa (I) saadaan L 2 S= J sinxdx= [-cos x] Q =0 -(-1) = lf Ox-akselilla (esimerkiksi origon ja pisteen välillä, jossa on abskissa i). Huomaa, että geometrisista näkökohdista on selvää, että tämä alue on kaksi kertaa edellisen esimerkin pinta-ala. Tehdään kuitenkin laskelmat: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o Olettamuksemme osoittautuikin oikeaksi. Esimerkki 4. Laske siniaallon ja ^-akselin Ox rajoittama alue yhdellä jaksolla (kuva 88). Alustavat ras-figuar-arviot viittaavat siihen, että pinta-ala tulee olemaan neljä kertaa suurempi kuin pr. 2. Laskelmien jälkeen saadaan kuitenkin "i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x" ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Tämä tulos vaatii selvennyksen. Asian olemuksen selventämiseksi laskemme myös alueen, jota rajoittaa sama sinimuoto y \u003d sin l: ja Ox-akseli, joka vaihtelee välillä l - 2n. Kaavaa (I) soveltamalla saadaan Näin ollen näemme, että tämä alue osoittautui negatiiviseksi. Vertaamalla sitä esimerkissä 3 laskettuun pinta-alaan, huomaamme, että niiden absoluuttiset arvot ovat samat, mutta merkit ovat erilaisia. Jos käytämme ominaisuutta V (katso XI luku, § 4), saamme vahingossa. Aina x-akselin alapuolella oleva pinta-ala, mikäli riippumaton muuttuja muuttuu vasemmalta oikealle, saadaan laskemalla käyttämällä negatiivisia integraaleja. Tällä kurssilla huomioimme aina allekirjoittamattomat alueet. Siksi juuri analysoidun esimerkin vastaus on seuraava: vaadittu pinta-ala on 2 + |-2| = 4. Esimerkki 5. Lasketaan kuvassa näkyvän BAB:n pinta-ala. 89. Tätä aluetta rajoittavat akseli Ox, paraabeli y = - xr ja suora y - = -x + \. Kaareva puolisuunnikkaan pinta-ala Haettu alue OAB koostuu kahdesta osasta: OAM ja MAB. Koska piste A on paraabelin ja suoran leikkauspiste, löydämme sen koordinaatit ratkaisemalla yhtälöjärjestelmän 3 2 Y \u003d mx. (Meidän tarvitsee vain löytää pisteen A abskissa). Ratkaisemalla järjestelmän löydämme l; =~. Siksi pinta-ala on laskettava osissa, ensin pl. OAM ja sitten pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x (kaareva puolisuunnikkaan kanta) n yhtä suureen osaan; tämä osio on toteutettavissa pisteiden x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 avulla . Piirretään näiden pisteiden läpi y-akselin suuntaiset viivat. Sitten annettu kaareva puolisuunnikas jaetaan n osaan, n kapeaan sarakkeeseen. Koko puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin sarakkeiden pinta-alojen summa.
Tarkastellaan erikseen k:nnettä saraketta, ts. kaareva puolisuunnikas, jonka kanta on segmentti. Korvataan se suorakulmiolla, jolla on sama kanta ja korkeus f(x k) (katso kuva). Suorakulmion pinta-ala on \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), missä \(\Delta x_k \) on janan pituus; on luonnollista pitää koottu tuotetta k:nnen sarakkeen pinta-alan likimääräisenä arvona. 
Jos nyt tehdään sama kaikille muille sarakkeille, saadaan seuraava tulos: tietyn kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala S on suunnilleen yhtä suuri kuin n suorakulmiosta koostuvan porrastetun kuvion pinta-ala S n (katso kuva):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \pisteet + f(x_k)\Delta x_k + \pisteet + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Tässä merkinnän yhtenäisyyden vuoksi katsomme, että a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - segmentin pituus, \(\Delta x_1 \) - segmentin pituus jne; kun taas, kuten yllä sovimme, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Joten \(S \noin S_n \), ja tämä likimääräinen yhtälö on sitä tarkempi, mitä suurempi n.
Määritelmän mukaan oletetaan, että kaarevan puolisuunnikkaan haluttu alue on yhtä suuri kuin sekvenssin raja (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Tehtävä 2(pisteen siirtämisestä)
Materiaalipiste liikkuu suorassa linjassa. Nopeuden riippuvuus ajasta ilmaistaan kaavalla v = v(t). Etsi pisteen siirtymä aikavälillä [a; b].
Päätös. Jos liike olisi tasaista, niin ongelma ratkeaisi hyvin yksinkertaisesti: s = vt, ts. s = v(b-a). Epätasaista liikettä varten on käytettävä samoja ideoita, joihin edellisen tehtävän ratkaisu perustui.
1) Jaa aikaväli [a; b] n yhtä suureen osaan.
2) Tarkastellaan aikaväliä ja oletetaan, että tämän ajanjakson aikana nopeus oli vakio, kuten hetkellä t k . Joten oletetaan, että v = v(t k).
3) Etsi pisteen siirtymän likimääräinen arvo aikavälillä , tämä likimääräinen arvo merkitään s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Laske siirtymän s likimääräinen arvo:
\(s \noin S_n \) missä
\(S_n = s_0 + \pisteet + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \pisteet + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Vaadittu siirtymä on yhtä suuri kuin sekvenssin raja (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Tehdään yhteenveto. Erilaisten tehtävien ratkaisut pelkistettiin samaan matemaattiseen malliin. Monet ongelmat eri tieteen ja teknologian aloilta johtavat samaan malliin ratkaisuprosessissa. Joten tätä matemaattista mallia tulisi erityisesti tutkia.
Määrätyn integraalin käsite
Tehdään matemaattinen kuvaus mallista, joka rakennettiin kolmessa tarkastelussa tehtävässä funktiolle y = f(x), joka on jatkuva (mutta ei välttämättä ei-negatiivinen, kuten tarkasteluissa tehtävissä oletettiin) segmentillä [ a; b]:
1) jakaa segmentti [a; b] n yhtä suureen osaan;
2) summa $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) laske $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
Matemaattisen analyysin aikana osoitettiin, että tämä raja on olemassa jatkuvan (tai paloittain jatkuvan) funktion tapauksessa. Häntä kutsutaan funktion y = f(x) määrätty integraali janan [a; b] ja ne merkitään näin:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Lukuja a ja b kutsutaan integroinnin rajoituksiksi (alempi ja ylempi).
Palataanpa yllä käsiteltyihin tehtäviin. Tehtävässä 1 annettu alueen määritelmä voidaan nyt kirjoittaa uudelleen seuraavasti:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
tässä S on yllä olevassa kuvassa näkyvän kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. Tämä on mitä kiinteän integraalin geometrinen merkitys.
Tehtävässä 2 annettu pisteen siirtymän s määritelmä, joka liikkuu suorassa linjassa nopeudella v = v(t) aikavälillä t = a - t = b, joka on annettu tehtävässä 2, voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:
Newton - Leibnizin kaava
Aluksi vastataan kysymykseen: mikä on määrätyn integraalin ja antiderivaalin välinen suhde?
Vastaus löytyy tehtävästä 2. Toisaalta nopeudella v = v(t) suoraa viivaa pitkin liikkuvan pisteen siirtymä s aikavälillä t = a - t = b ja se lasketaan kaava
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Toisaalta liikkuvan pisteen koordinaatti on nopeuden antiderivaata - merkitään se s(t); näin ollen siirtymä s ilmaistaan kaavalla s = s(b) - s(a). Tuloksena saamme:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
missä s(t) on v(t):n antijohdannainen.
Seuraava lause todistettiin matemaattisen analyysin aikana.
Lause. Jos funktio y = f(x) on jatkuva janalla [a; b], sitten kaava
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
jossa F(x) on f(x:n) antiderivaata.
Tätä kaavaa kutsutaan yleensä Newton-Leibnizin kaava englantilaisen fyysikon Isaac Newtonin (1643-1727) ja saksalaisen filosofin Gottfried Leibnizin (1646-1716) kunniaksi, jotka saivat sen toisistaan riippumatta ja lähes samanaikaisesti.
Käytännössä F(b) - F(a) kirjoittamisen sijaan he käyttävät merkintää \(\left. F(x)\right|_a^b \) (se on joskus ns. kaksoiskorvaus) ja kirjoita vastaavasti Newton-Leibnizin kaava uudelleen tähän muotoon:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)
Kun lasketaan määrätty integraali, etsi ensin antiderivaatti ja suorita sitten kaksoissubstituutio.
Newton-Leibnizin kaavan perusteella voidaan saada kaksi kiinteän integraalin ominaisuutta.
Kiinteistö 1. Toimintojen summan integraali on yhtä suuri kuin integraalien summa:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Kiinteistö 2. Vakiotekijä voidaan ottaa pois integraalimerkistä:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Tasokuvioiden pinta-alojen laskeminen kiinteällä integraalilla
Integraalin avulla voit laskea kaarevien puolisuunnikkaan pinta-alan lisäksi myös monimutkaisempia tasokuvia, kuten kuvassa näkyvä. Kuvaa P rajoittavat suorat x = a, x = b ja jatkuvien funktioiden y = f(x), y = g(x) kuvaajat ja janalla [a; b] epäyhtälö \(g(x) \leq f(x) \) pätee. Laskeaksemme tällaisen kuvion alueen S, toimimme seuraavasti:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Joten kuvion alue S, jota rajoittavat suorat x = a, x = b ja funktioiden y = f(x), y = g(x) kuvaajat, jatkuva janalla ja sellainen, että millä tahansa x:llä segmentti [a; b] epäyhtälö \(g(x) \leq f(x) \) täyttyy, lasketaan kaavalla
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Joidenkin funktioiden epämääräisten integraalien (antiderivaatojen) taulukko
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \teksti(arctg) x +C $$ $$ \int \teksti(ch) x dx = \teksti(sh) x +C $$ $$ \int \teksti(sh) x dx = \teksti(ch) )x+C $$ 
Takaisin eteenpäin
Huomio! Dian esikatselu on tarkoitettu vain tiedoksi, eikä se välttämättä edusta esityksen koko laajuutta. Jos olet kiinnostunut tästä työstä, lataa täysversio.
Avainsanat: integraali, kaareva puolisuunnikas, liljojen rajoittama hahmojen alue
Laitteet: taulu, tietokone, multimediaprojektori
Oppitunnin tyyppi: oppitunti-luento
Oppitunnin tavoitteet:
- koulutuksellinen: muodostaa henkisen työn kulttuuria, luoda menestymistilanne jokaiselle opiskelijalle, muodostaa positiivinen motivaatio oppimiseen; kehittää kykyä puhua ja kuunnella muita.
- kehitetään: opiskelijan ajattelun itsenäisyyden muodostuminen tiedon soveltamisessa eri tilanteissa, kyky analysoida ja tehdä johtopäätöksiä, kehittää logiikkaa, kehittää kykyä esittää kysymyksiä ja löytää niihin vastauksia. Laskenta-, laskentataidon muodostumisen parantaminen, opiskelijoiden ajattelun kehittäminen ehdotettujen tehtävien suorittamisen aikana, algoritmisen kulttuurin kehittäminen.
- koulutuksellinen: muodostaa käsitteitä kaarevasta puolisuunnikasta, integraalista, hallita litteiden hahmojen pinta-alojen laskentataidot
Opetusmenetelmä: selittävä ja havainnollistava.
Tuntien aikana
Edellisillä tunneilla opimme laskemaan pinta-alat kuvioille, joiden rajat ovat katkoviivoja. Matematiikassa on menetelmiä, joiden avulla voit laskea käyrien rajaamien lukujen alueen. Tällaisia lukuja kutsutaan kaareviksi puolisuunniksi, ja niiden pinta-ala lasketaan antiderivaatteilla.
Kaareva puolisuunnikas ( dia 1)
Kaareva puolisuunnikas on kuvio, jota rajoittaa funktiokaavio, ( w.m.), suoraan x = a ja x = b ja abskissa
Eri tyyppisiä kaarevia puolisuunnikkaita ( dia 2)
Tarkastelemme erilaisia kaarevia puolisuunnikkaita ja huomaamme: yksi suorista on rappeutunut pisteeksi, rajoittavan funktion rooli on suoralla
Kaareva puolisuunnikkaan pinta-ala (dia 3)
Korjaa välin vasen pää a, ja oikein X muutamme, eli siirrämme kaarevan puolisuunnikkaan oikeaa seinää ja saamme muuttuvan kuvion. Funktiograafin rajoittaman muuttuvan kaarevan trapetsin alue on antiderivaatti F toimintoa varten f
Ja segmentillä [ a; b] funktion muodostaman kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala f, on yhtä suuri kuin tämän funktion antiderivaatan lisäys:
Harjoitus 1:
Etsi funktion kaavion rajoittaman kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala: f(x) = x 2 ja suora y = 0, x = 1, x = 2.
Päätös: ( dia 3 -algoritmin mukaan)
Piirrä kuvaaja funktiosta ja viivoista
Etsi jokin funktion antiderivaatteista f(x) = x 2 :
Liu'uta itsetarkistus
Integraali
Tarkastellaan funktion antamaa kaarevaa puolisuunnikasta f segmentillä [ a; b]. Jaetaan tämä segmentti useisiin osiin. Koko puolisuunnikkaan pinta-ala jaetaan pienempien kaarevien puolisuunnikkaan pinta-alojen summaan. ( dia 5). Jokaista tällaista puolisuunnikasta voidaan pitää suunnilleen suorakulmiona. Näiden suorakulmioiden pinta-alojen summa antaa likimääräisen käsityksen kaarevan puolisuunnikkaan koko alueesta. Mitä pienemmäksi katkaisemme segmentin [ a; b], sitä tarkemmin laskemme alueen.
Kirjoitamme nämä huomiot kaavojen muodossa.
Jaa segmentti [ a; b] n osaan pisteillä x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b. Pituus k- th tarkoittaa xk = xk - xk-1. Tehdään yhteenveto
Geometrisesti tämä summa on kuviossa varjostetun kuvan pinta-ala ( sh.m.)
Muodon summia kutsutaan funktion integraalisummiksi f. (sch.m.)
Integraalisummat antavat pinta-alan likimääräisen arvon. Tarkka arvo saadaan siirtymällä rajaan. Kuvittele, että tarkennamme segmentin [ a; b] niin, että kaikkien pienten segmenttien pituudet ovat yleensä nolla. Sitten muodostetun hahmon pinta-ala lähestyy kaarevan puolisuunnikkaan aluetta. Voidaan sanoa, että kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin integraalisummien raja, Sk.t. (sch.m.) tai integraali, ts.
Määritelmä:
funktion integraali f(x) alkaen a ennen b kutsutaan integraalisummien rajaksi
= (sch.m.)
Newton-Leibnizin kaava.
Muista, että integraalisummien raja on yhtä suuri kuin kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala, joten voimme kirjoittaa:
Sk.t. = (sch.m.)
Toisaalta kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala lasketaan kaavalla
S to. t. (sch.m.)
Vertaamalla näitä kaavoja saamme:
= (sch.m.)Tätä yhtälöä kutsutaan Newton-Leibnizin kaavaksi.
Laskelmien helpottamiseksi kaava kirjoitetaan seuraavasti:
= = (sch.m.)Tehtävät: (sch.m.)
1. Laske integraali Newton-Leibnizin kaavalla: ( tarkista dia 5)
2. Kokoa integraalit piirustuksen mukaan ( tarkista dialta 6)
3. Etsi viivoilla rajatun kuvan pinta-ala: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Dia 7)
Tasohahmojen pinta-alojen löytäminen ( dia 8)
Kuinka löytää pinta-ala kuvioista, jotka eivät ole kaarevia puolisuunnikkaita?
Annetaan kaksi funktiota, joiden kaaviot näet diassa . (sch.m.) Etsi varjostetun hahmon alue . (sch.m.). Onko kyseinen kuvio kaareva puolisuunnikas? Ja kuinka voit löytää sen alueen käyttämällä alueen additiivisuutta? Harkitse kahta kaarevaa puolisuunnikasta ja vähennä toisen pinta-ala toisen pinta-alasta ( w.m.)
Tehdään algoritmi alueen löytämiseksi dian animaatiosta:
- Piirustusfunktiot
- Projisoi kuvaajien leikkauspisteet x-akselille
- Varjostaa kaavioita ristiin saatu kuva
- Etsi kaarevia puolisuunnikkaita, joiden leikkauspiste tai liitos on annettu kuvio.
- Laske jokaisen pinta-ala
- Etsi ero tai alueiden summa
Suullinen tehtävä: Kuinka saada varjostetun hahmon pinta-ala (kerro animaatiolla, dia 8 ja 9)
Kotitehtävät: Tee tiivistelmä, nro 353 (a), nro 364 (a).
Bibliografia
- Algebra ja analyysin alku: oppikirja ilta(vuoro)koulun luokille 9-11 / toim. G.D. Glazer. - M: Enlightenment, 1983.
- Bashmakov M.I. Algebra ja analyysin alku: oppikirja yläkoulun luokille 10-11 / Bashmakov M.I. - M: Enlightenment, 1991.
- Bashmakov M.I. Matematiikka: oppikirja oppilaitoksille aloittaville. ja keskim. prof. koulutus / M.I. Bashmakov. - M: Akatemia, 2010.
- Kolmogorov A.N. Algebra ja analyysin alku: oppikirja 10-11 solulle. oppilaitokset / A.N. Kolmogorov. - M: Enlightenment, 2010.
- Ostrovski S.L. Kuinka tehdä esitys oppitunnille? / S.L. Ostrovski. – M.: Ensimmäinen syyskuuta, 2010.
Valmiit työt
NÄMÄ TEOKSET
Paljon on jo takana ja nyt olet valmistunut, jos tietysti kirjoitat opinnäytetyösi ajoissa. Mutta elämä on sellaista, että vasta nyt sinulle tulee selväksi, että kun olet lakannut olemasta opiskelija, menetät kaikki opiskelijan ilot, joista monia et ole kokeillut, lykkäämällä kaiken ja lykkäämällä myöhempään. Ja nyt, sen sijaan, että kuroisit kiinni, puuhailet opinnäytetyötäsi? On loistava tapa ulos: lataa tarvitsemasi opinnäytetyö verkkosivustoltamme - ja sinulla on heti paljon vapaa-aikaa!
Diplomityöt on puolustettu menestyksekkäästi Kazakstanin tasavallan johtavissa yliopistoissa.
Työkustannukset alkaen 20 000 tengeä
KURSSI TOIMII
Kurssiprojekti on ensimmäinen vakavasti otettava käytännön työ. Kurssityön kirjoittamisesta alkaa valmistautuminen valmistumisprojektien kehittämiseen. Jos opiskelija oppii kurssiprojektissa ilmaisemaan aiheen sisällön oikein ja laatimaan sen oikein, niin jatkossa hänellä ei ole ongelmia raporttien kirjoittamisessa, opinnäytetyön tekemisessä tai muiden käytännön tehtävien suorittamisessa. Itse asiassa tämä tietoosio luotiin auttaakseen opiskelijoita tämäntyyppisten opiskelijatöiden kirjoittamisessa ja selventämään sen valmistelun aikana esiin tulevia kysymyksiä.
Työkustannukset alkaen 2500 tengeä
MAISTERITYÖT
Tällä hetkellä Kazakstanin ja IVY-maiden korkeakouluissa korkea-asteen ammatillisen koulutuksen vaihe, joka seuraa kandidaatin tutkinnon - maisterin tutkinnon - jälkeen, on hyvin yleinen. Tuomaristossa opiskelijat opiskelevat tavoitteenaan suorittaa maisterin tutkinto, joka tunnustetaan useimmissa maailman maissa enemmän kuin kandidaatin tutkinto ja jonka tunnustavat myös ulkomaiset työnantajat. Maistraatin koulutuksen tulos on pro gradu -tutkielman puolustaminen.
Tarjoamme sinulle ajantasaista analyyttistä ja tekstimateriaalia, hinta sisältää 2 tieteellistä artikkelia ja abstraktin.
Työkustannukset alkaen 35 000 tengeä
HARJOITUSRAPORTIT
Minkä tahansa opiskelijakäytännön (koulutus-, teollisuus-, perustutkinto) suorittamisen jälkeen vaaditaan raportti. Tämä asiakirja on vahvistus opiskelijan käytännön työstä ja pohjana käytännön arvioinnin muodostukselle. Yleensä työharjoitteluraportin laatimista varten on kerättävä ja analysoitava tietoa yrityksestä, otettava huomioon harjoittelupaikan organisaation rakenne ja työaikataulu, laadittava kalenterisuunnitelma ja kuvailtava käytännön toimintaa.
Autamme sinua kirjoittamaan raportin harjoittelusta ottaen huomioon tietyn yrityksen toiminnan erityispiirteet.
Esimerkki1 . Laske viivojen rajoittaman kuvan pinta-ala: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 ja x = 2
Rakennetaan kuvio (katso kuva) Rakennamme suoran x + 2y - 4 \u003d 0 kahta pistettä A (4; 0) ja B (0; 2) pitkin. Ilmaisemalla y:n x:llä saamme y \u003d -0,5x + 2. Kaavan (1) mukaan, jossa f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, me löytö
S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 neliömetriä yksiköitä
Esimerkki 2 Laske viivojen rajoittaman kuvan pinta-ala: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 ja y \u003d 0.
Päätös. Rakennetaan hahmo.
Muodostetaan suora x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
Muodostetaan suora x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
Etsi suorien leikkauspiste ratkaisemalla yhtälöjärjestelmä:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Tarvittavan pinta-alan laskemiseksi jaamme AMC-kolmion kahdeksi kolmioksi AMN ja NMC, koska kun x muuttuu A:sta N:ään, pinta-ala on rajattu suoralla ja kun x muuttuu N:stä C:hen, se on suora viiva.
Kolmiolle AMN meillä on: ; y \u003d 0,5x + 2, eli f (x) \u003d 0,5x + 2, a = 4, b = 2.
NMC-kolmiolle meillä on: y = - x + 5, eli f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Laskemalla kunkin kolmion pinta-alan ja lisäämällä tulokset, löydämme:
sq yksiköitä
sq yksiköitä
9 + 4, 5 = 13,5 neliömetriä yksiköitä Tarkista: = 0,5AC = 0,5 neliömetriä. yksiköitä
Esimerkki 3 Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
AT Tämä tapaus on laskettava kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala, jota rajoittaa paraabeli y = x 2 , suorat x \u003d 2 ja x \u003d 3 ja Ox-akseli (katso kuva) Kaavan (1) mukaan löydämme kaarevan puolisuunnikkaan alueen
= = 6kv. yksiköitä
Esimerkki 4 Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala: y \u003d - x 2 + 4 ja y = 0
Rakennetaan hahmo. Haluttu alue on suljettu paraabelin y \u003d - x väliin 2 + 4 ja akseli Oh.
Etsi paraabelin ja x-akselin leikkauspisteet. Olettaen y \u003d 0, löydämme x \u003d Koska tämä luku on symmetrinen Oy-akselin suhteen, laskemme Oy-akselin oikealla puolella olevan kuvion pinta-alan ja kaksinkertaistamme tuloksen: \u003d + 4x] neliö. yksiköitä 2 = 2 neliötä yksiköitä
Esimerkki 5 Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Tässä on laskettava kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala, jota rajoittaa paraabelin y ylähaara 2 \u003d x, Ox-akseli ja suorat x \u003d 1x \u003d 4 (katso kuva)
Kaavan (1) mukaan, jossa f(x) = a = 1 ja b = 4, meillä on = (= neliöyksikköä
Esimerkki 6 . Laske viivojen rajoittaman kuvan pinta-ala: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Haluttua aluetta rajoittavat puoliaaltosiniaalto ja Ox-akseli (katso kuva).
Meillä on - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 neliömetriä. yksiköitä
Esimerkki 7 Laske viivojen rajoittaman kuvan pinta-ala: y \u003d - 6x, y \u003d 0 ja x \u003d 4.
Kuva sijaitsee Ox-akselin alla (katso kuva).
Siksi sen pinta-ala saadaan kaavalla (3)
= =
Esimerkki 8 Laske viivojen: y \u003d ja x \u003d 2 rajoittaman kuvan pinta-ala. Rakennamme käyrän y \u003d pisteillä (katso kuva). Siten kuvion pinta-ala löytyy kaavasta (4)
Esimerkki 9 .
X 2 + y 2 = r 2 .
Tässä sinun on laskettava ympyrän x rajaama alue 2 + y 2 = r 2 eli origoon keskitetyn ympyrän alue, jonka säde on r. Etsitään tämän alueen neljäs osa ottamalla integroinnin rajat 0:sta
dor; meillä on: 1 = = [
Siten, 1 =
Esimerkki 10 Laske viivojen rajoittaman kuvan pinta-ala: y \u003d x 2 ja y = 2x
Tätä lukua rajoittaa paraabeli y \u003d x 2 ja suora y \u003d 2x (katso kuva) Määritäksemme annettujen suorien leikkauspisteet ratkaisemme yhtälöjärjestelmän: x 2 – 2x = 0 x = 0 ja x = 2
Käyttämällä kaavaa (5) alueen löytämiseksi saamme
= }
