Vaihtelee ajan kuluessa sinimuotoisen lain mukaan:

Missä X- vaihtelevan suuren arvo ajanhetkellä t, A- amplitudi, ω - pyöreä taajuus, φ — värähtelyjen alkuvaihe, ( φt + φ ) - värähtelyjen täysi vaihe. Samalla arvot A, ω Ja φ - pysyvä.

Vaihtelevan suuruuden mekaanisille värähtelyille X ovat erityisesti siirtymä ja nopeus sähkövärähtelyille - jännite ja virta.

Harmonisilla värähtelyillä on erityinen paikka kaikentyyppisten värähtelyjen joukossa, koska tämä on ainoa värähtelytyyppi, jonka muoto ei vääristy kulkiessaan minkään homogeenisen väliaineen läpi, eli harmonisten värähtelyjen lähteestä etenevät aallot ovat myös harmonisia. Mikä tahansa ei-harmoninen värähtely voidaan esittää erilaisten harmonisten värähtelyjen summana (integraalina) (harmonisten värähtelyjen spektrin muodossa).

Energiamuutokset harmonisten värähtelyjen aikana.

Värähtelyprosessin aikana tapahtuu potentiaalisen energian siirtoa Wp kineettiseksi vk ja päinvastoin. Maksimipoikkeamapaikassa tasapainoasennosta potentiaalienergia on suurin, liike-energia on nolla. Kun se palaa tasapainoasentoon, värähtelevän kappaleen nopeus kasvaa ja sen mukana myös liike-energia kasvaa saavuttaen maksimin tasapainoasennossa. Potentiaalienergia putoaa nollaan. Lisäliikettä tapahtuu nopeuden laskulla, joka laskee nollaan, kun taipuma saavuttaa toisen maksiminsa. Potentiaalienergia kasvaa tässä alkuperäiseen (maksimi) arvoonsa (kitkan puuttuessa). Siten kineettisten ja potentiaalisten energioiden värähtelyt tapahtuvat kaksinkertaisella taajuudella (verrattuna itse heilurin värähtelyihin) ja ovat vastavaiheessa (eli niiden välillä on vaihesiirto, joka on yhtä suuri kuin π ). Kokonaisvärähtelyenergia W pysyy muuttumattomana. Elastisen voiman vaikutuksesta värähtelevälle kappaleelle se on yhtä suuri kuin:

Missä v m— kehon suurin nopeus (tasapainoasennossa), x m = A- amplitudi.

Väliaineen kitkan ja vastuksen vuoksi vapaat värähtelyt vaimenevat: niiden energia ja amplitudi pienenevät ajan myötä. Siksi käytännössä pakotettuja värähtelyjä käytetään useammin kuin vapaita.

Maxwellin sähkömagneettisen kentän teorian perusteet

Vortex-sähkökenttä

Faradayn laista ξ=dФ/dt seuraa sitä minkä tahansa piiriin liittyvän magneettisen induktiovuon muutos johtaa induktiovoiman syntymiseen ja sen seurauksena ilmaantuu induktiovirta. Näin ollen emf. sähkömagneettinen induktio on mahdollista myös kiinteässä piirissä, joka sijaitsee vaihtuvassa magneettikentässä. Kuitenkin e.m.f. missä tahansa piirissä esiintyy vain, kun ulkoiset voimat vaikuttavat siinä oleviin virrankantoimiin - ei-sähköstaattista alkuperää olevia voimia (katso § 97). Siksi tässä tapauksessa herää kysymys ulkoisten voimien luonteesta.

Kokemus osoittaa, että nämä vieraat voimat eivät liity piirin lämpö- tai kemiallisiin prosesseihin; niiden esiintymistä ei myöskään voida selittää Lorentzin voimilla, koska ne eivät vaikuta kiinteisiin latauksiin. Maxwell oletti, että mikä tahansa vaihtuva magneettikenttä herättää sähkökentän ympäröivässä tilassa, mikä

ja se on syy indusoituneen virran esiintymiseen piirissä. Maxwellin ideoiden mukaan piiri, jossa emf esiintyy, on toissijainen rooli, koska se on eräänlainen vain "laite", joka havaitsee tämän kentän.

ensimmäinen yhtälö Maxwell toteaa, että sähkökentän muutokset synnyttävät pyörremagneettikentän.

Toinen yhtälö Maxwell ilmaisee Faradayn sähkömagneettisen induktion lain: Minkä tahansa suljetun silmukan emf on yhtä suuri kuin magneettivuon muutosnopeus (eli aikaderivaata). Mutta EMF on yhtä suuri kuin sähkökentän voimakkuusvektorin E tangentiaalinen komponentti kerrottuna piirin pituudella. Roottoriin siirtymiseksi, kuten Maxwellin ensimmäisessä yhtälössä, riittää jakaa emf ääriviivan pinta-alalla ja ohjata jälkimmäinen nollaan, eli ottaa pieni ääriviiva, joka kattaa tarkasteltavana olevan avaruuden pisteen (kuva 10). 9, c). Sitten yhtälön oikealla puolella ei ole enää vuota, vaan magneettista induktiota, koska vuo on yhtä suuri kuin induktio kerrottuna piirin pinta-alalla.
Joten saamme: rotE = - dB/dt.
Siten pyörresähkökenttä muodostuu magneettikentän muutoksista, mikä on esitetty kuvassa. 9,c ja sitä edustaa juuri annettu kaava.
Kolmas ja neljäs yhtälö Maxwell käsittelee maksuja ja niiden synnyttämiä kenttiä. Ne perustuvat Gaussin lauseeseen, jonka mukaan sähköisen induktiovektorin vuo minkä tahansa suljetun pinnan läpi on yhtä suuri kuin tämän pinnan sisällä oleva varaus.

Kokonainen tiede perustuu Maxwellin yhtälöihin - sähködynamiikkaan, joka mahdollistaa monien hyödyllisten käytännön ongelmien ratkaisemisen tiukoilla matemaattisilla menetelmillä. On mahdollista laskea esimerkiksi eri antennien säteilykenttä sekä vapaassa tilassa että lähellä maan pintaa tai lentokoneen, esimerkiksi lentokoneen tai raketin rungon lähellä. Elektrodynamiikka mahdollistaa aaltoputkien ja kaviteettiresonaattoreiden suunnittelun laskemisen - laitteet, joita käytetään erittäin korkeilla taajuuksilla senttimetri- ja millimetriaaltoalueilla, joihin perinteiset siirtojohdot ja värähtelypiirit eivät enää sovellu. Ilman sähködynamiikkaa tutkan, avaruusradioviestinnän, antennitekniikan ja monien muiden nykyaikaisen radiotekniikan alueiden kehittäminen olisi mahdotonta.

Bias-virta

SIIRTYMÄVIRTA, arvo, joka on verrannollinen vaihtelevan sähkökentän muutosnopeuteen dielektrisessä tai tyhjiössä. Nimi "virta" johtuu siitä, että siirtymävirta, kuten johtumisvirta, muodostaa magneettikentän.

Rakentaessaan teoriaa sähkömagneettisesta kentästä J. C. Maxwell esitti hypoteesin (myöhemmin vahvistettiin kokeellisesti), että magneettikenttä ei synny ainoastaan ​​varausten liikkeen (johtamisvirran tai yksinkertaisesti virran) vaikutuksesta, vaan myös mahdollisesta ajanmuutoksesta. sähkökenttä.

Maxwell otti käyttöön siirtymävirran käsitteen määrittääkseen kvantitatiivisia suhteita muuttuvan sähkökentän ja sen aiheuttaman magneettikentän välillä.

Maxwellin teorian mukaan kondensaattorin sisältävässä vaihtovirtapiirissä kondensaattorissa oleva vaihtosähkökenttä luo kullakin ajan hetkellä saman magneettikentän, joka syntyisi virralla (nimeltään syrjäytysvirralla), jos se kulkisi levyjen välissä. kondensaattori. Tästä määritelmästä seuraa, että J cm = J(eli johtumisvirran tiheyden ja siirtymävirran tiheyden numeeriset arvot ovat yhtä suuret), ja siksi johtimen sisällä olevat johtavuusvirrantiheyslinjat muuttuvat jatkuvasti kondensaattorin levyjen välisiksi siirtovirrantiheyslinjoiksi. Bias virrantiheys j cm luonnehtii sähköisen induktion muutosnopeutta D ajallaan:

J cm = + ?D/?t.

Siirtovirta ei lähetä Joule-lämpöä, sen pääasiallinen fyysinen ominaisuus on kyky luoda magneettikenttä ympäröivään tilaan.

Pyörremagneettikenttä syntyy kokonaisvirrasta, jonka tiheys on j, on yhtä suuri kuin johtumisvirran tiheyden ja siirtymävirran?D/?t summa. Tästä syystä määrälle ?D/?t otettiin käyttöön nimi virta.

Harmoninen oskillaattori on värähtelevä järjestelmä, jota kuvaa muoto d 2 s/dt 2 + ω 0 2 s = 0 tai

jossa kaksi yllä olevaa pistettä tarkoittavat kaksinkertaista eroa ajassa. Harmonisen oskillaattorin värähtelyt ovat tärkeä esimerkki jaksollisesta liikkeestä ja toimivat tarkana tai likimääräisenä mallina monissa klassisen ja kvanttifysiikan ongelmissa. Esimerkkejä harmonisesta oskillaattorista ovat jousiheilurit, fyysiset ja matemaattiset heilurit ja värähtelypiiri (niin pienille virroille ja jännitteille, että piirielementtejä voidaan pitää lineaarisina).

Harmoniset värähtelyt

Mekaniikassa kappaleiden translaatio- ja pyörimisliikkeiden ohella myös värähtelevät liikkeet ovat tärkeitä. Mekaanisia värähtelyjä kutsutaan kappaleiden liikkeet, jotka toistuvat täsmälleen (tai suunnilleen) yhtäläisin aikavälein. Värähtelevän kappaleen liikkeen laki määritellään käyttämällä tiettyä jaksollista ajan funktiota x = f (t). Tämän toiminnon graafinen esitys antaa visuaalisen esityksen värähtelyprosessin kulusta ajan kuluessa.

Esimerkkejä yksinkertaisista värähtelyjärjestelmistä ovat jousen tai matemaattisen heilurin kuormitus (kuva 2.1.1).

Mekaaniset värähtelyt, kuten minkä tahansa muun fyysisen luonteen värähtelyprosessit, voivat olla vapaa Ja pakko. Vapaa värinä ovat sitoutuneet vaikutuksen alaisena sisäisiä voimia järjestelmä sen jälkeen, kun järjestelmä on saatettu pois tasapainosta. Painon värähtely jousella tai heilurin värähtelyt ovat vapaita värähtelyjä. Vaikutuksen alaisena esiintyvä tärinä ulkoinen jaksollisesti muuttuvia voimia kutsutaan pakko Yksinkertaisin värähtelyprosessityyppi on yksinkertainen harmonisia värähtelyjä , joita kuvataan yhtälöllä

Värähtelytaajuus f näyttää kuinka monta värähtelyä tapahtuu 1 sekunnissa. Taajuusyksikkö - hertsiä(Hz). Värähtelytaajuus f liittyvät sykliseen taajuuteen ω ja värähtelyjaksoon T suhteet:

antaa vaihtelevan suuren riippuvuuden S ajasta t; tämä on vapaiden harmonisten värähtelyjen yhtälö eksplisiittisessä muodossa. Kuitenkin yleensä värähtelyyhtälö ymmärretään tämän yhtälön erilaisena esityksenä, differentiaalimuodossa. Varmuuden vuoksi otetaan yhtälö (1) muodossa

Erotetaan se kahdesti ajan suhteen:

Voidaan nähdä, että seuraava suhde pätee:

jota kutsutaan vapaiden harmonisten värähtelyjen yhtälöksi (differentiaalimuodossa). Yhtälö (1) on ratkaisu differentiaaliyhtälöön (2). Koska yhtälö (2) on toisen asteen differentiaaliyhtälö, tarvitaan kaksi alkuehtoa täydellisen ratkaisun saamiseksi (eli yhtälöön (1) sisältyvien vakioiden määrittämiseen) A ja j 0); esimerkiksi värähtelyjärjestelmän sijainti ja nopeus klo t = 0.

Samansuuntaisten ja samantaajuisten harmonisten värähtelyjen lisäys. Beats

Olkoon kaksi harmonista värähtelyä, joilla on sama suunta ja sama taajuus

Tuloksena olevan värähtelyn yhtälöllä on muoto

Varmistetaan tämä lisäämällä järjestelmän (4.1) yhtälöt

Kosinisummalauseen soveltaminen ja algebrallisten muunnosten tekeminen:

On mahdollista löytää A:n ja φ0:n arvot siten, että yhtälöt täyttyvät

Tarkastellaan (4.3) kahdeksi yhtälöksi, joissa on kaksi tuntematonta A ja φ0, saamme ne neliöimällä ja lisäämällä ne ja jakamalla sitten toisen ensimmäisellä:

Korvaamalla (4.3) arvolla (4.2) saadaan:

Tai lopuksi, käyttämällä kosinisummalausetta, meillä on:

Kappale, joka osallistuu kahteen samansuuntaiseen ja samaan taajuuteen olevaan harmoniseen värähtelyyn, suorittaa myös harmonisen värähtelyn samaan suuntaan ja samalla taajuudella kuin lisätyt värähtelyt. Tuloksena olevan värähtelyn amplitudi riippuu tasoitettujen värähtelyjen vaihe-erosta (φ2-φ1).

Vaihe-erosta riippuen (φ2-φ1):

1) (φ2-φ1) = ±2mπ (m=0, 1, 2, …), silloin A= A1+A2, eli tuloksena olevan värähtelyn A amplitudi on yhtä suuri kuin lisättyjen värähtelyjen amplitudien summa;

2) (φ2-φ1) = ±(2m+1)π (m=0, 1, 2, ...), silloin A= |A1-A2|, eli tuloksena olevan värähtelyn amplitudi on yhtä suuri kuin erotus lisättyjen värähtelyjen amplitudeissa

Jaksottaisia ​​muutoksia värähtelyjen amplitudissa, jotka tapahtuvat, kun kaksi harmonista värähtelyä, joilla on samanlainen taajuus, lisätään, kutsutaan iskuiksi.

Olkoon näiden kahden värähtelyn taajuudessa vähän eroja. Tällöin lisättyjen värähtelyjen amplitudit ovat yhtä suuret kuin A, ja taajuudet ovat yhtä suuria kuin ω ja ω+Δω, ja Δω on paljon pienempi kuin ω. Valitsemme aloituspisteen siten, että molempien värähtelyjen alkuvaiheet ovat nolla:

Ratkaistaan ​​järjestelmä

Järjestelmäratkaisu:

Tuloksena olevaa värähtelyä voidaan pitää harmonisena taajuudella ω, amplitudilla A, joka vaihtelee seuraavan jaksollisen lain mukaan:

A:n muutostaajuus on kaksi kertaa kosinin muutostaajuus. Taajuustaajuus on yhtä suuri kuin lisättyjen värähtelyjen taajuuksien ero: ωb = Δω

Lyöntijakso:

Äänen taajuuden määrittäminen (tietyn lyöntikorkeuden ääni referenssillä ja mitatuilla värähtelyillä on yleisimmin käytetty tapa vertailla mitattua arvoa vertailuarvoon. Beat-menetelmää käytetään soittimien virittämiseen, kuuloanalyysiin jne. .

Liittyviä tietoja.

Niillä on matemaattinen lauseke. Niiden ominaisuuksille on ominaista joukko trigonometrisiä yhtälöitä, joiden monimutkaisuuden määräävät itse värähtelyprosessin monimutkaisuus, järjestelmän ja ympäristön ominaisuudet, jossa ne esiintyvät, eli värähtelyprosessiin vaikuttavat ulkoiset tekijät.

Esimerkiksi mekaniikassa harmoninen värähtely on liike, jolle on tunnusomaista:

Suoraviivainen luonne;

Epätasaisuus;

Fyysisen kehon liike, joka tapahtuu sini- tai kosiniradalla ajasta riippuen.

Näiden ominaisuuksien perusteella voimme antaa harmonisille värähtelyille yhtälön, jonka muoto on:

x = A cos ωt tai muoto x = A sin ωt, missä x on koordinaattiarvo, A on värähtelyn amplitudiarvo, ω on kerroin.

Tämä harmonisten värähtelyjen yhtälö on perustavanlaatuinen kaikille harmonisille värähtelyille, joita tarkastellaan kinematiikassa ja mekaniikassa.

Indikaattoria ωt, joka tässä kaavassa on trigonometrisen funktion merkin alla, kutsutaan vaiheeksi, ja se määrittää värähtelevän materiaalipisteen sijainnin tietyllä tietyllä ajanhetkellä tietyllä amplitudilla. Kun otetaan huomioon sykliset vaihtelut, tämä indikaattori on yhtä suuri kuin 2l, se näyttää määrän aikajakson sisällä ja on merkitty w:llä. Tässä tapauksessa harmonisten värähtelyjen yhtälö sisältää sen syklisen (ympyrän) taajuuden suuruuden indikaattorina.

Kuten jo todettiin, tarkastelemamme harmonisten värähtelyjen yhtälö voi olla eri muodoissa useista tekijöistä riippuen. Tässä on esimerkiksi tämä vaihtoehto. Vapaita harmonisia värähtelyjä harkittaessa tulee ottaa huomioon se tosiasia, että niille kaikille on ominaista vaimennus. Eri maissa tämä ilmiö ilmenee eri tavoin: pysäyttää liikkuvan kappaleen, pysäyttää säteilyn sähköjärjestelmissä. Yksinkertaisin esimerkki värähtelypotentiaalin vähenemisestä on sen muuntaminen lämpöenergiaksi.

Tarkastelun yhtälön muoto on: d²s/dt² + 2β x ds/dt + ω²s = 0. Tässä kaavassa: s on tietyn järjestelmän ominaisuuksia kuvaavan värähtelevän suuren arvo, β on vaimennusta osoittava vakio. kerroin, ω on syklinen taajuus.

Tällaisen kaavan käyttö antaa meille mahdollisuuden lähestyä värähtelyprosessien kuvausta lineaarisissa järjestelmissä yhdestä näkökulmasta sekä suunnitella ja simuloida värähtelyprosesseja tieteellisellä ja kokeellisella tasolla.

Esimerkiksi tiedetään, että niiden ilmentymien viimeisessä vaiheessa ne lakkaavat olemasta harmonisia, toisin sanoen niiden taajuuden ja ajanjakson luokat muuttuvat yksinkertaisesti merkityksettömiksi, eivätkä ne heijastu kaavaan.

Klassinen tapa tutkia harmonisia värähtelyjä on yksinkertaisimmassa muodossaan järjestelmä, jota kuvataan seuraavalla harmonisten värähtelyjen differentiaaliyhtälöllä: ds/dt + ω²s = 0. Mutta värähtelyprosessien monimuotoisuus johtaa luonnollisesti siihen, että on olemassa suuri oskillaattorien määrä. Luettelemme niiden päätyypit:

Jousioskillaattori on tavallinen tietyllä massalla m oleva kuorma, joka on ripustettu elastiseen jouseen. Se suorittaa harmonisen tyypin, joka kuvataan kaavalla F = - kx.

Fyysinen oskillaattori (heiluri) - kiinteä kappale, joka suorittaa värähteleviä liikkeitä staattisen akselin ympäri tietyn voiman vaikutuksesta;

- (ei käytännössä löydy luonnosta). Se edustaa ihanteellista mallia järjestelmästä, joka sisältää värähtelevän fyysisen kehon, jolla on tietty massa ja joka on ripustettu jäykkään painottomaan langan varaan.

Värähtelyt kutsutaan liikkeitä tai prosesseja, joille on ominaista tietty toistettavuus ajan myötä. Värähtelyprosessit ovat yleisiä luonnossa ja tekniikassa, esimerkiksi kelloheilurin heilautus, vaihtosähkövirta jne. Heilurin värähteleessä sen massakeskipisteen koordinaatti muuttuu, vaihtovirralla jännite ja virta piirissä vaihdella. Värähtelyjen fyysinen luonne voi olla erilainen, joten on olemassa mekaanisia, sähkömagneettisia värähtelyjä jne. Eri värähtelyprosesseja kuvataan kuitenkin samoilla ominaisuuksilla ja samoilla yhtälöillä. Siksi tarkoituksenmukaisuus yhteinen lähestymistapa värähtelyjen tutkimukseen luonteeltaan erilainen.

Värähtelyjä kutsutaan vapaa, jos ne tapahtuvat vain järjestelmän elementtien välillä vaikuttavien sisäisten voimien vaikutuksesta, sen jälkeen kun järjestelmä on otettu pois tasapainosta ulkoisten voimien vaikutuksesta ja jätetty itselleen. Vapaa värinä aina vaimennettuja värähtelyjä , koska todellisissa järjestelmissä energiahäviöt ovat väistämättömiä. Idealisoidussa tapauksessa, jossa järjestelmässä ei ole energiahäviötä, vapaita värähtelyjä (jatkuvat niin kauan kuin halutaan) kutsutaan ns. oma.

Yksinkertaisin tyyppi vapaat vaimentamattomat värähtelyt ovat harmoniset värähtelyt - värähtelyjä, joissa värähtelevä määrä muuttuu ajan kuluessa sinin (kosinin) lain mukaan. Luonnossa ja tekniikassa esiintyvät värähtelyt ovat usein luonteeltaan lähellä harmonisia.

Harmonisia värähtelyjä kuvataan yhtälöllä, jota kutsutaan harmonisen värähtelyn yhtälöksi:

Missä A- värähtelyjen amplitudi, värähtelevän suuren maksimiarvo X; - luonnollisten värähtelyjen pyöreä (syklinen) taajuus; - värähtelyn alkuvaihe ajanhetkellä t= 0; - värähtelyn vaihe ajanhetkellä t. Värähtelyvaihe määrittää värähtelevän suuren arvon tietyllä hetkellä. Koska kosini vaihtelee +1:stä -1:een, niin X voi ottaa arvot + A ennen - A.

Aika T jonka aikana järjestelmä suorittaa yhden täydellisen värähtelyn värähtelyjakso. Aikana T värähtelyvaihetta kasvatetaan 2:lla π , eli

Missä . (14.2)

Värähtelyjakson käänteisluku

eli aikayksikköä kohti suoritettujen täydellisten värähtelyjen lukumäärää kutsutaan värähtelytaajuudeksi. Vertaamalla (14.2) ja (14.3) saadaan

Taajuuden yksikkö on hertsi (Hz): 1 Hz on taajuus, jolla yksi täydellinen värähtely tapahtuu 1 sekunnissa.

Järjestelmiä, joissa voi esiintyä vapaita värähtelyjä, kutsutaan oskillaattorit . Mitä ominaisuuksia järjestelmällä tulee olla, jotta siinä esiintyisi vapaita värähtelyjä? Mekaanisessa järjestelmässä on oltava vakaa tasapaino-asema, joka tulee näkyviin poistuttaessa tasapainoasentoon suunnatun voiman palauttaminen. Tämä asema vastaa, kuten tiedetään, järjestelmän minimipotentiaalienergiaa. Tarkastellaan useita värähteleviä järjestelmiä, jotka täyttävät luetellut ominaisuudet.

« Fysiikka - 11 luokka"

Kiihtyvyys on koordinaatin toinen derivaatta ajan suhteen.

Pisteen hetkellinen nopeus on pisteen koordinaattien derivaatta ajan suhteen.
Pisteen kiihtyvyys on sen nopeuden derivaatta ajan suhteen tai koordinaatin toinen derivaatta ajan suhteen.
Siksi heilurin liikeyhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

missä x" on koordinaatin toinen derivaatta ajan suhteen.

Vapaille värähtelyille koordinaatti X muuttuu ajan myötä siten, että koordinaatin toinen derivaatta ajan suhteen on suoraan verrannollinen itse koordinaattiin ja on etumerkillisesti vastakkainen.

Harmoniset värähtelyt

Matematiikasta: sinin ja kosinin toiset derivaatat ovat argumenttillaan verrannollisia itse funktioihin, otettuna vastakkaisella merkillä, eikä millään muilla funktioilla ole tätä ominaisuutta.
Siksi:
Vapaita värähtelyjä suorittavan kappaleen koordinaatit muuttuvat ajan kuluessa sinin tai kosinin lain mukaan.

Sinin tai kosinin lain mukaan tapahtuvia fysikaalisen suuren jaksottaisia ​​ajasta riippuvia muutoksia kutsutaan ns. harmonisia värähtelyjä.

Värähtelyn amplitudi

Amplitudi harmoniset värähtelyt on kappaleen suurimman siirtymän moduuli sen tasapainoasennosta.

Amplitudi määräytyy alkuolosuhteiden tai tarkemmin sanoen kehon energian perusteella.

Kehon koordinaattien kuvaaja ajan funktiona on kosiniaalto.

x = x m cos ω 0 t

Sitten heilurin vapaita värähtelyjä kuvaava liikeyhtälö:

Harmonisten värähtelyjen jakso ja taajuus.

Värähtelyssä kehon liikkeet toistuvat ajoittain.
Aikajaksoa T, jonka aikana järjestelmä suorittaa yhden täydellisen värähtelyjakson, kutsutaan värähtelyjakso.

Värähtelytaajuus on värähtelyjen määrä aikayksikköä kohti.
Jos ajassa T tapahtuu yksi värähtely, niin värähtelyjen määrä sekunnissa

Kansainvälisessä yksikköjärjestelmässä (SI) taajuuden yksikköä kutsutaan hertsiä(Hz) saksalaisen fyysikon G. Hertzin kunniaksi.

Värähtelyjen määrä 2π sekunnissa on yhtä suuri:

Suure ω 0 on värähtelyjen syklinen (tai ympyrämäinen) taajuus.
Yhden jaksoa vastaavan ajanjakson jälkeen värähtelyt toistetaan.

Vapaan värähtelyn taajuutta kutsutaan luonnollinen taajuus värähtelevä järjestelmä.
Usein lyhyesti syklistä taajuutta kutsutaan yksinkertaisesti taajuudeksi.

Vapaan värähtelyn taajuuden ja jakson riippuvuus järjestelmän ominaisuuksista.

1.jousiheilurille

Jousiheilurin luonnollinen värähtelytaajuus on yhtä suuri kuin:

Mitä suurempi jousen jäykkyys k, sitä suurempi se on, ja mitä pienempi, sitä suurempi on ruumiinmassa m.
Jäykkä jousi antaa vartalolle suuremman kiihtyvyyden, muuttaa kehon nopeutta nopeammin ja mitä massiivisempi runko, sitä hitaammin se muuttaa nopeutta voiman vaikutuksesta.

Värähtelyjakso on yhtä suuri kuin:

Jousiheilurin värähtelyjakso ei riipu värähtelyjen amplitudista.

2.kierreheilurille

Matemaattisen heilurin luonnollinen värähtelytaajuus pienillä langan poikkeamakulmilla pystysuorasta riippuu heilurin pituudesta ja painovoiman kiihtyvyydestä:

Näiden värähtelyjen jakso on yhtä suuri kuin

Kierreheilurin värähtelyjakso pienillä taipumakulmilla ei riipu värähtelyjen amplitudista.

Värähtelyjakso kasvaa heilurin pituuden kasvaessa. Se ei riipu heilurin massasta.

Mitä pienempi g, sitä pidempi heilurin värähtelyjakso on ja siksi sitä hitaammin heilurikello käy. Siten kello, jossa on heiluri sauvan painon muodossa, jää jäljessä lähes 3 s päivässä, jos se nostetaan kellarista Moskovan yliopiston ylimpään kerrokseen (korkeus 200 m). Ja tämä johtuu vain vapaan pudotuksen kiihtyvyyden vähenemisestä korkeuden myötä.