Integroinnin peruskaavat ja -menetelmät. Summan tai erotuksen integrointisääntö. Vakion poistaminen integraalimerkistä. Muuttuva korvausmenetelmä. Osien integroinnin kaava. Esimerkki ongelmanratkaisusta.

Neljä tärkeintä integrointimenetelmää on lueteltu alla.

1) Summan tai erotuksen integrointisääntö.
.
Tässä ja alla u, v, w ovat integrointimuuttujan x funktioita.

2) Vakion poistaminen integraalimerkistä.
Olkoon c x:stä riippumaton vakio. Sitten se voidaan ottaa pois integraalimerkistä.

3) Muuttuva korvausmenetelmä.
Harkitse epämääräistä integraalia.
Jos on mahdollista valita tällainen funktio, φ (x) x:stä, niin
,
sitten muuttujan t = φ(x) muuttamisen jälkeen meillä on
.

4) Osien integroinnin kaava.
,
missä u ja v ovat integrointimuuttujan funktioita.

Epämääräisten integraalien laskemisen perimmäinen tavoite on muunnosten avulla tuoda annettu integraali yksinkertaisimpiin integraaleihin, joita kutsutaan taulukkointegraaleiksi. Taulukkointegraalit ilmaistaan ​​perusfunktioina tunnettujen kaavojen avulla.
Katso integraalitaulukko >>>

Esimerkki

Laske epämääräinen integraali

Päätös

Huomaa, että integrandi on kolmen termin summa ja erotus:
, ja .
Käytämme menetelmää 1 .

Lisäksi huomaamme, että uusien integraalien integrandit kerrotaan vakioilla 5, 4, ja 2 , vastaavasti. Käytämme menetelmää 2 .

Integraalitaulukosta löydämme kaavan
.
Asetus n = 2 , löydämme ensimmäisen integraalin.

Kirjoitetaan toinen integraali muotoon
.
Huomaamme sen. Sitten

Käytetään kolmatta menetelmää. Teemme muuttujan t = φ muutoksen (x) = log x.
.
Integraalitaulukosta löydämme kaavan

Koska integroinnin muuttuja voidaan merkitä millä tahansa kirjaimella, niin

Kirjoitetaan kolmas integraali muotoon
.
Käytämme kaavaa integrointiin osien mukaan.
Antaa .
Sitten
;
;

;
;
.

Tältä sivulta löydät:

1. Itse asiassa antijohdannaisten taulukko - se voidaan ladata PDF-muodossa ja tulostaa;

2. Video tämän taulukon käytöstä;

3. Joukko esimerkkejä antiderivaatin laskemisesta eri oppikirjoista ja testeistä.

Itse videossa analysoimme monia tehtäviä, joissa on laskettava antiderivatiivisia funktioita, usein melko monimutkaisia, mutta mikä tärkeintä, ne eivät ole valtalakeja. Kaikki yllä ehdotetussa taulukossa tiivistetyt funktiot on tunnettava ulkoa, kuten johdannaiset. Ilman niitä integraalien jatkotutkimus ja niiden soveltaminen käytännön ongelmien ratkaisemiseen on mahdotonta.

Tänään jatkamme primitiivien käsittelyä ja siirrymme hieman monimutkaisempaan aiheeseen. Jos viime kerralla tarkastelimme antiderivaatteja vain tehofunktioista ja hieman monimutkaisemmista rakenteista, niin tänään analysoimme trigonometriaa ja paljon muuta.

Kuten sanoin viime oppitunnilla, antiderivaatteja, toisin kuin johdannaisia, ei koskaan ratkaista "tyhjinä" käyttämällä mitään vakiosääntöjä. Lisäksi huono uutinen on, että toisin kuin johdannaista, antiderivaasta ei ehkä oteta huomioon ollenkaan. Jos kirjoitamme täysin satunnaisen funktion ja yritämme löytää sen derivaatan, onnistumme erittäin suurella todennäköisyydellä, mutta antiderivaavaa ei tässä tapauksessa lasketa melkein koskaan. Mutta on myös hyviä uutisia: on olemassa melko suuri joukko funktioita, joita kutsutaan alkeisfunktioiksi, joiden antiderivaatat on erittäin helppo laskea. Ja kaikki muut monimutkaisemmat rakenteet, jotka annetaan erilaisissa ohjauksissa, itsenäisissä ja kokeissa, itse asiassa koostuvat näistä perusfunktioista lisäämällä, vähentämällä ja muilla yksinkertaisilla toimilla. Tällaisten funktioiden antiderivaatat on jo pitkään laskettu ja koottu erityisiin taulukoihin. Tällaisten funktioiden ja taulukoiden kanssa työskentelemme tänään.

Mutta aloitamme, kuten aina, toistolla: muista, mikä on antiderivaatti, miksi niitä on äärettömän paljon ja miten ne määritetään. yleinen muoto. Tätä varten tein kaksi yksinkertaista tehtävää.

Helppojen esimerkkien ratkaiseminen

Esimerkki #1

Huomaa heti, että $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ ja $\text( )\!\!\pi\!\! \ text( )$ vihjaa heti meille, että funktion vaadittu antiderivaata liittyy trigonometriaan. Ja todellakin, jos katsomme taulukkoa, huomaamme, että $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ on vain $\text(arctg)x$. Joten kirjoitetaan:

Löytääksesi sinun on kirjoitettava seuraavat tiedot:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Esimerkki #2

Tässä puhutaan myös trigonometrisista funktioista. Jos katsomme taulukkoa, se todellakin osoittautuu tältä:

Meidän on löydettävä koko antijohdannaisten joukosta se, joka kulkee määritellyn pisteen läpi:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Kirjoitetaan lopuksi ylös:

Se on niin yksinkertaista. Ainoa ongelma on, että yksinkertaisten funktioiden antiderivaattien laskemiseksi sinun on opittava antiderivaattien taulukko. Kuitenkin, kun olet oppinut johdannaistaulukon sinulle, luulen, että tämä ei ole ongelma.

Eksponentiaalisen funktion sisältävien ongelmien ratkaiseminen

Aloitetaan kirjoittamalla seuraavat kaavat:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Katsotaan kuinka tämä kaikki toimii käytännössä.

Esimerkki #1

Jos katsomme hakasulkeiden sisältöä, huomaamme, että antiderivaatataulukossa ei ole sellaista lauseketta, että $((e)^(x))$ on neliössä, joten tämä neliö on avattava. Tätä varten käytämme lyhennettyjä kertolaskukaavoja:

Etsitään jokaiselle termille antijohdannainen:

\[((e)^(2x))=((\vasen(((e)^(2)) \oikea))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \oikea))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\vasen(((e)^(-2)) \oikea))^(x))\to \frac(((\left(((e)) )^(-2)) \oikea))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2(e)^(2x))) \]

Ja nyt keräämme kaikki termit yhteen lausekkeeseen ja saamme yhteisen antijohdannaisen:

Esimerkki #2

Tällä kertaa eksponentti on jo suurempi, joten lyhennetty kertolasku on melko monimutkainen. Laajennamme sulkuja:

Yritetään nyt ottaa kaavamme antijohdannainen tästä konstruktiosta:

Kuten näette, eksponentiaalisen funktion antiderivaatteissa ei ole mitään monimutkaista ja yliluonnollista. Kaikki lasketaan taulukoiden avulla, mutta tarkkaavaiset opiskelijat huomaavat varmasti, että antiderivaata $((e)^(2x))$ on paljon lähempänä vain $((e)^(x))$ kuin $((a). )^(x ))$. Joten, ehkä on olemassa jokin erikoisempi sääntö, joka sallii antiderivaatin $((e)^(x))$ löytää $((e)^(2x))$? Kyllä, sellainen sääntö on olemassa. Ja lisäksi se on olennainen osa antijohdannaisten taulukon kanssa työskentelyä. Analysoimme sitä nyt käyttämällä samoja lausekkeita, joiden kanssa olemme juuri työskennelleet esimerkkinä.

Säännöt antijohdannaisten taulukon kanssa työskentelemisestä

Kirjoitetaan funktiomme uudelleen:

Edellisessä tapauksessa käytimme seuraavaa kaavaa ratkaisemaan:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operaattorinimi(lna))\]

Mutta nyt tehdään se vähän toisin: muista millä perusteella $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Kuten jo todettiin, koska $((e)^(x))$ johdannainen ei ole muuta kuin $((e)^(x))$, joten sen antiderivaata on sama kuin sama $((e) ^( x))$. Mutta ongelma on, että meillä on $((e)^(2x))$ ja $((e)^(-2x))$. Yritetään nyt löytää derivaatta $((e)^(2x))$:

\[((\vasen(((e)^(2x)) \oikea))^(\alkuluku ))=((e)^(2x))\cdot ((\vasen(2x \oikea))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Kirjoitetaan rakentaminen uudelleen:

\[((\left(((e)^(2x)) \oikea))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\vasen(\frac(((e)^(2x)))(2) \oikea))^(\alkuluku ))\]

Ja tämä tarkoittaa, että kun löydämme antijohdannaisen $((e)^(2x))$, saamme seuraavan:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Kuten näet, saimme saman tuloksen kuin aiemmin, mutta emme käyttäneet kaavaa löytääksemme $((a)^(x))$. Nyt tämä saattaa tuntua typerältä: miksi monimutkaistaa laskelmia, kun on olemassa standardikaava? Hieman monimutkaisemmissa ilmaisuissa näet kuitenkin, että tämä tekniikka on erittäin tehokas, ts. käyttämällä johdannaisia ​​antijohdannaisten löytämiseen.

Etsitään lämmittelynä $((e)^(2x))$ antiderivaata samalla tavalla:

\[((\vasen(((e)^(-2x)) \oikea))^(\alkuluku ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\vasen(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \oikea))^(\alkuluku ))\]

Laskettaessa rakenteemme kirjoitetaan seuraavasti:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Saimme täsmälleen saman tuloksen, mutta menimme toisin päin. Juuri tällä tavalla, joka nyt näyttää meistä hieman monimutkaisemmalta, on tulevaisuudessa tehokkaampi laskea monimutkaisempia antiderivaatteja ja käyttää taulukoita.

Huomautus! Tämä on erittäin tärkeä kohta: antiderivaatteja, kuten johdannaisia, voidaan laskea monin eri tavoin. Kuitenkin, jos kaikki laskelmat ja laskelmat ovat yhtä suuret, vastaus on sama. Varmistimme tämän juuri esimerkissä $((e)^(-2x))$ - toisaalta laskemme tämän antiderivaatan "kautta" käyttämällä määritelmää ja laskemalla sen muunnoksilla, toisaalta muistimme, että $ ((e)^(-2x))$ voidaan esittää muodossa $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ ja sitten käytä antiderivaavaa funktiolle $( (a)^(x))$. Kaikkien muutosten jälkeen lopputulos on kuitenkin odotettu.

Ja nyt kun ymmärrämme tämän kaiken, on aika siirtyä johonkin olennaisempaan. Nyt analysoimme kahta yksinkertaista rakennetta, mutta niitä ratkaistaessa esitettävä tekniikka on tehokkaampi ja hyödyllisempi työkalu kuin yksinkertainen "juoksu" vierekkäisten antiderivaalien välillä taulukosta.

Ongelmanratkaisu: etsi funktion antiderivaata

Esimerkki #1

Anna osoittajissa oleva määrä, jaa se kolmeen erilliseen osaan:

Tämä on melko luonnollinen ja ymmärrettävä siirtymä - useimmilla opiskelijoilla ei ole ongelmia sen kanssa. Kirjoitetaan lauseemme uudelleen seuraavasti:

Muistetaan nyt tämä kaava:

Meidän tapauksessamme saamme seuraavat:

Päästäksesi eroon kaikista näistä kolmikerroksisista jakeista, ehdotan seuraavaa:

Esimerkki #2

Toisin kuin edellinen murto-osa, nimittäjä ei ole tulo, vaan summa. Tässä tapauksessa emme voi enää jakaa murtolukuamme useiden yksinkertaisten murtolukujen summalla, vaan meidän on jotenkin yritettävä varmistaa, että osoittaja sisältää suunnilleen saman lausekkeen kuin nimittäjä. Tässä tapauksessa se on melko helppo tehdä:

Tällainen merkintä, jota matematiikan kielellä kutsutaan "nollan lisäämiseksi", antaa meille mahdollisuuden jakaa murto-osa jälleen kahteen osaan:

Nyt etsitään mitä etsimme:

Siinä kaikki laskelmat. Huolimatta näennäisesti suuremmasta monimutkaisuudesta kuin edellisessä tehtävässä, laskelmien määrä osoittautui vielä pienemmäksi.

Ratkaisun vivahteet

Ja tässä piilee taulukkoprimitiivien kanssa työskentelyn päävaikeus, tämä on erityisen havaittavissa toisessa tehtävässä. Tosiasia on, että voidaksemme valita joitain elementtejä, jotka lasketaan helposti taulukon kautta, meidän on tiedettävä, mitä tarkalleen etsimme, ja juuri näiden elementtien etsinnässä koko antiderivaatien laskenta koostuu.

Toisin sanoen ei riitä, että opetella ulkoa antijohdannaisten taulukko - täytyy pystyä näkemään jotain, mitä ei vielä ole, mutta mitä tämän ongelman kirjoittaja ja kääntäjä tarkoitti. Siksi monet matemaatikot, opettajat ja professorit väittävät jatkuvasti: "Mitä on antiderivaatien ottaminen tai integrointi - onko se vain työkalu vai onko se oikeaa taidetta?" Itse asiassa omasta mielestäni integraatio ei ole ollenkaan taidetta - siinä ei ole mitään ylevää, se on vain harjoittelua ja vielä kerran harjoittelua. Ja harjoitellaksemme ratkaistaan ​​kolme vakavampaa esimerkkiä.

Harjoittele integraatiota käytännössä

Tehtävä 1

Kirjoitetaan seuraavat kaavat:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Kirjoitetaan seuraavaa:

Tehtävä #2

Kirjoitetaan se uudelleen seuraavasti:

Antijohdannaisen kokonaismäärä on yhtä suuri:

Tehtävä nro 3

Tämän tehtävän monimutkaisuus on siinä, että toisin kuin edellisissä funktioissa, yläpuolella ei ole muuttujaa $x$, ts. meille ei ole selvää, mitä lisätä, vähentää saadaksesi vähintään jotain samanlaista kuin alla. Itse asiassa tämän lausekkeen katsotaan olevan jopa yksinkertaisempi kuin mitä tahansa lauseketta aikaisemmista rakenteista, koska tämä funktio voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Saatat nyt kysyä: miksi nämä funktiot ovat samanarvoisia? Tarkistetaan:

Kirjoitetaan uudestaan:

Muutetaanpa hieman ilmaisuamme:

Ja kun selitän kaiken tämän opiskelijoilleni, syntyy melkein aina sama ongelma: ensimmäisellä funktiolla kaikki on enemmän tai vähemmän selvää, toisella voit myös selvittää sen onnella tai harjoituksella, mutta minkälainen vaihtoehtoinen tietoisuus tarvitset kolmannen esimerkin ratkaisemiseksi? Itse asiassa, älä pelkää. Tekniikkaa, jota käytimme laskettaessa viimeistä antiderivaavaa, kutsutaan "funktion hajottamiseksi yksinkertaisimmiksi", ja tämä on erittäin vakava tekniikka, ja sille omistetaan erillinen videotunti.

Sillä välin ehdotan, että palataan siihen, mitä juuri tutkimme, eli eksponentiaalisiin funktioihin ja monimutkaistaan ​​tehtäviä jonkin verran sisällöllään.

Monimutkaisempia ongelmia antiderivatiivisten eksponentiaalisten funktioiden ratkaisemiseksi

Tehtävä 1

Huomaa seuraavat asiat:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Löytääksesi tämän lausekkeen antijohdannaisen, käytä standardikaavaa $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Meidän tapauksessamme primitiivinen on seuraava:

Tietenkin juuri ratkaisemamme rakentamisen taustalla tämä näyttää yksinkertaisemmalta.

Tehtävä #2

Jälleen on helppo nähdä, että tämä funktio on helppo jakaa kahteen erilliseen termiin - kahteen erilliseen murto-osaan. Kirjoitetaan uudestaan:

On vielä löydettävä kunkin näistä termeistä antijohdannainen yllä olevan kaavan mukaan:

Huolimatta eksponentiaalisten funktioiden ilmeisen monimutkaisemmasta tehofunktioihin verrattuna, laskelmien ja laskelmien kokonaismäärä osoittautui paljon yksinkertaisemmiksi.

Tietäville opiskelijoille se, mitä olemme juuri käsitelleet (etenkin sitä taustaa vasten, mitä olemme käsitelleet aiemmin), voivat tietysti tuntua alkeisilta ilmauksilta. Valittuani nämä kaksi tehtävää tämän päivän video-opetusohjelmaan en kuitenkaan asettanut tavoitteeksi kertoa sinulle toista monimutkaista ja hienoa temppua - halusin vain näyttää, että sinun ei pitäisi pelätä käyttää tavallisia algebratemppuja alkuperäisten funktioiden muuntamiseen. .

Käyttämällä "salaista" tekniikkaa

Lopuksi haluaisin analysoida toista mielenkiintoista tekniikkaa, joka toisaalta ylittää sen, mitä olemme pääasiassa analysoineet tänään, mutta toisaalta se ei ole ensinnäkään mitenkään monimutkainen, ts. jo aloittelevat opiskelijat voivat hallita sen, ja toiseksi, se löytyy melko usein kaikenlaisista ohjauksista ja itsenäisistä töistä, ts. Sen tunteminen on erittäin hyödyllistä sen lisäksi, että tunnet antijohdannaisten taulukon.

Tehtävä 1

Ilmeisesti meillä on jotain hyvin samanlaista kuin tehofunktio. Miten tässä tapauksessa pitäisi edetä? Ajatellaanpa sitä: $x-5$ eroaa $x$:sta ei niin paljoa - vain lisätty $-5$. Kirjoitetaan se näin:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \oikea))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Yritetään löytää johdannainen $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\vasen(((\vasen(x-5 \oikea))^(5)) \oikea))^(\prime ))=5\cdot ((\vasen(x-5 \oikea)) ^(4))\cdot ((\vasen(x-5 \oikea))^(\prime ))=5\cdot ((\vasen(x-5 \oikea))^(4))\]

Tämä tarkoittaa:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ oikea))^(\prime ))\]

Taulukossa ei ole tällaista arvoa, joten olemme nyt johtaneet tämän kaavan itse käyttämällä tehofunktion standardia antiderivatiivista kaavaa. Kirjoitetaan vastaus näin:

Tehtävä #2

Monille opiskelijoille, jotka katsovat ensimmäistä ratkaisua, saattaa tuntua, että kaikki on hyvin yksinkertaista: riittää, että korvataan $x$ potenssifunktiossa lineaarisella lausekkeella, ja kaikki loksahtaa paikoilleen. Valitettavasti kaikki ei ole niin yksinkertaista, ja nyt näemme tämän.

Analogisesti ensimmäisen lausekkeen kanssa kirjoitamme seuraavaa:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\vasen(((\vasen(4-3x \oikea))^(10)) \oikea))^(\prime ))=10\cdot ((\vasen(4-3x \oikea)) ^(9))\cdot ((\vasen(4-3x \oikea))^(\alkuluku ))=\]

\[=10\cdot ((\vasen(4-3x \oikea))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\vasen(4-3x \oikea)) ^(9))\]

Palataksemme johdannaiseen, voimme kirjoittaa:

\[((\vasen(((\vasen(4-3x \oikea))^(10)) \oikea))^(\prime ))=-30\cdot ((\vasen(4-3x \oikea)) )^(9))\]

\[((\vasen(4-3x \oikea))^(9))=((\vasen(\frac(((\vasen(4-3x \oikea))^(10)))(-30) \oikea))^(\prime ))\]

Tästä seuraa heti:

Ratkaisun vivahteet

Huomaa: jos viime kerralla mikään ei olennaisesti muuttunut, niin toisessa tapauksessa $-30 $ ilmestyi $-10 $ sijaan. Mitä eroa on -10 $ ja -30 $ välillä? Ilmeisesti kertoimella -3 $. Kysymys: mistä se tuli? Tarkemmin katsottuna voit nähdä, että se on otettu kompleksisen funktion derivaatan laskemisen tuloksena - kerroin, joka oli $x$, näkyy alla olevassa antiderivaatassa. Tämä on erittäin tärkeä sääntö, jota en alun perin aikonut analysoida ollenkaan tämän päivän video-opetusohjelmassa, mutta ilman sitä taulukkomuotoisten antiderivaalien esitys olisi epätäydellinen.

Joten tehdään se uudelleen. Olkoon päätehotoimintomme:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Ja nyt korvataan $x$:n sijaan lauseke $kx+b$. Mitä sitten tapahtuu? Meidän on löydettävä seuraavat:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \oikea)\cdot k)\]

Millä perusteella väitämme tämän? Erittäin yksinkertainen. Etsitään edellä kirjoitetun konstruktion johdannainen:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \oikea))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\vasen(kx+b \oikea))^(n))\]

Tämä on sama ilmaisu, joka oli alun perin. Näin ollen tämä kaava on myös oikea, ja sitä voidaan käyttää täydentämään antijohdannaisten taulukkoa, mutta on parempi muistaa koko taulukko.

Päätelmät "salaisuudesta: vastaanotto:

• Molemmat juuri tarkastelemamme funktiot voidaan itse asiassa pelkistää taulukossa ilmoitettuihin antiderivaatteihin avaamalla asteet, mutta jos neljännen asteen kanssa selvitään enemmän tai vähemmän jotenkin, niin en tekisi yhdeksättä astetta ollenkaan. uskaltanut paljastaa.
• Jos tutkinnot avattaisiin, saisimme niin paljon laskelmia, että yksinkertainen tehtävä vie meiltä riittämättömän määrän aikaa.
• Siksi sellaisia ​​tehtäviä, joiden sisällä on lineaarisia lausekkeita, ei tarvitse ratkaista "tyhjinä". Heti kun kohtaat antiderivaatan, joka eroaa taulukossa olevasta vain lausekkeen $kx+b$ sisällä, muista heti yllä kirjoitettu kaava, korvaa se taulukkomuotoiseksi antiderivaatiasi, niin kaikki muuttuu paljon. nopeammin ja helpommin.

Luonnollisesti tämän tekniikan monimutkaisuuden ja vakavuuden vuoksi palaamme toistuvasti sen pohtimiseen tulevissa video-opetusohjelmissa, mutta tänään minulla on kaikki. Toivon, että tämä oppitunti todella auttaa niitä opiskelijoita, jotka haluavat ymmärtää antiderivaatteja ja integraatiota.

Antiderivatiivinen funktio ja määrittelemätön integraali

Fakta 1. Integrointi on differentioinnin vastakohta, nimittäin funktion palauttaminen tämän funktion tunnetusta derivaatista. Toiminto palautettu tällä tavalla F(x) kutsutaan primitiivinen toimintoa varten f(x).

Määritelmä 1. Toiminto F(x f(x) tietyin väliajoin X, jos kaikille arvoille x tästä intervallista tasa-arvo F "(x)=f(x), eli tämä toiminto f(x) on antiderivatiivisen funktion johdannainen F(x). .

Esimerkiksi funktio F(x) = synti x on funktion antijohdannainen f(x) = cos x koko lukurivillä, koska mille tahansa x:n arvolle (synti x)" = (cos x) .

Määritelmä 2. Funktion epämääräinen integraali f(x) on kokoelma sen kaikista antijohdannaisista. Tämä käyttää merkintää

∫

f(x)dx

,

missä on merkki ∫ kutsutaan integraalimerkiksi, funktioksi f(x) on integrandi ja f(x)dx on integrandi.

Eli jos F(x) on jokin antijohdannainen f(x) sitten

∫

f(x)dx = F(x) +C

missä C - mielivaltainen vakio (vakio).

Jotta ymmärtäisit funktion antiderivaattien joukon merkityksen määrittelemättömänä integraalina, seuraava analogia on sopiva. Olkoon ovi (perinteinen puinen ovi). Sen tehtävänä on "olla ovi". Mistä ovi on tehty? Puusta. Tämä tarkoittaa, että integrandin "olla ovi" eli sen määrittelemättömän integraalin antiderivaattien joukko on funktio "olla puu + C", jossa C on vakio, joka tässä yhteydessä voi tarkoittaa, esimerkiksi puulaji. Aivan kuten ovi tehdään puusta joillakin työkaluilla, funktion johdannainen "valmistetaan" antiderivaatiivisesta funktiosta kaava, jonka opimme tutkimalla derivaatta .

Sitten yleisten esineiden ja niitä vastaavien primitiivien funktiotaulukko ("olla ovi" - "olla puu", "olla lusikka" - "olla metalli" jne.) on samanlainen kuin taulukko määrittelemättömät perusintegraalit, jotka annetaan alla. Epämääräisten integraalien taulukko listaa yleiset funktiot osoittaen antiderivaatat, joista nämä funktiot on "valmistettu". Osana määrittämättömän integraalin etsintätehtäviä annetaan sellaiset integraalit, jotka voidaan integroida suoraan ilman erityisiä ponnisteluja, eli epämääräisten integraalien taulukon mukaan. Monimutkaisemmissa ongelmissa integrandi on ensin muutettava, jotta voidaan käyttää taulukkointegraaleja.

Fakta 2. Palautettaessa funktiota antiderivaatta, meidän on otettava huomioon mielivaltainen vakio (vakio) C, ja jotta et kirjoita luetteloa antiderivaatteista, joiden vakiot vaihtelevat 1:stä äärettömään, sinun on kirjoitettava muistiin joukko antiderivaatteja mielivaltaisella vakiolla C, näin: 5 x³+C. Joten mielivaltainen vakio (vakio) sisältyy antiderivaatan lausekkeeseen, koska antiderivaata voi olla funktio, esimerkiksi 5 x³+4 tai 5 x³+3 ja erotettaessa 4 tai 3 tai mikä tahansa muu vakio katoaa.

Asetamme integrointiongelman: tietylle funktiolle f(x) löytää sellainen toiminto F(x), jonka johdannainen on yhtä suuri kuin f(x).

Esimerkki 1 Etsi funktion antiderivaattien joukko

Päätös. Tämän funktion antiderivaatti on funktio

Toiminto F(x) kutsutaan funktion antiderivaatiiviseksi f(x) jos johdannainen F(x) on yhtä suuri kuin f(x), tai, mikä on sama asia, erotus F(x) on yhtä suuri kuin f(x) dx, eli

(2)

Siksi funktio on antiderivatiivinen funktiolle . Se ei kuitenkaan ole ainoa johdannainen . Ne ovat myös toimintoja

missä Kanssa on mielivaltainen vakio. Tämä voidaan varmistaa erottamalla.

Siten, jos funktiolle on yksi antiderivaata, niin sille on olemassa ääretön joukko antiderivaataita, jotka eroavat vakiosummalla. Kaikki funktion antiderivaatat on kirjoitettu yllä olevassa muodossa. Tämä seuraa seuraavasta lauseesta.

Lause (muodollinen tosiasialausunto 2). Jos F(x) on funktion antijohdannainen f(x) tietyin väliajoin X, sitten mikä tahansa muu johdannainen f(x) samalla aikavälillä voidaan esittää muodossa F(x) + C, missä Kanssa on mielivaltainen vakio.

Seuraavassa esimerkissä siirrytään jo integraalitaulukkoon, joka annetaan kappaleessa 3, määrittelemättömän integraalin ominaisuuksien jälkeen. Teemme tämän ennen kuin tutustumme koko taulukkoon, jotta yllä olevan olemus tulee selväksi. Ja taulukon ja ominaisuuksien jälkeen käytämme niitä kokonaisuudessaan integroinnissa.

Esimerkki 2 Etsi joukot antijohdannaisia:

Päätös. Löydämme joukot antiderivatiivisia funktioita, joista nämä funktiot on "valmistettu". Kun mainitset kaavoja integraalitaulukosta, hyväksy toistaiseksi vain se, että tällaisia ​​kaavoja on, ja tutkimme epämääräisten integraalien taulukkoa kokonaisuudessaan hieman pidemmälle.

1) Sovelletaan kaavaa (7) integraalitaulukosta for n= 3, saamme

2) Käyttämällä kaavaa (10) integraalitaulukosta for n= 1/3, meillä on

3) Siitä lähtien

sitten kaavan (7) mukaisesti klo n= -1/4 etsintä

Integraalimerkin alle he eivät kirjoita itse funktiota f, ja sen tuote differentiaalilla dx. Tämä tehdään ensisijaisesti sen osoittamiseksi, mitä muuttujaa antijohdannaista etsitään. Esimerkiksi,

, ;

tässä molemmissa tapauksissa integrandi on yhtä suuri kuin , mutta sen epämääräiset integraalit tarkasteluissa tapauksissa osoittautuvat erilaisiksi. Ensimmäisessä tapauksessa tätä funktiota pidetään muuttujan funktiona x, ja toisessa - funktiona z .

Prosessia, jossa etsitään funktion määrittelemätön integraali, kutsutaan funktion integroimiseksi.

Epämääräisen integraalin geometrinen merkitys

Vaaditaan käyrän löytäminen y=F(x) ja tiedämme jo, että tangentin kulmakertoimen tangentti kussakin sen pisteessä on annettu funktio f(x) tämän kohdan abskissa.

Derivaatan geometrisen merkityksen mukaan tangentin kulman tangentti käyrän tietyssä pisteessä y=F(x) yhtä suuri kuin johdannaisen arvo F"(x). Joten meidän on löydettävä tällainen funktio F(x), mille F"(x)=f(x). Tehtävässä vaadittava toiminto F(x) on johdettu f(x). Ongelman ehtoa ei tyydytä yksi käyrä, vaan käyräperhe. y=F(x)- yksi näistä käyristä ja mikä tahansa muu käyrä voidaan saada siitä yhdensuuntaisella siirrolla akselia pitkin Oy.

Kutsutaanpa funktion antiderivatiivisen funktion kuvaajaa f(x) integraalikäyrä. Jos F"(x)=f(x), sitten funktion kuvaaja y=F(x) on integraalikäyrä.

Fakta 3. Epämääräinen integraali esitetään geometrisesti kaikkien integraalikäyrien perheellä kuten alla olevassa kuvassa. Kunkin käyrän etäisyys origosta määräytyy mielivaltaisella integrointivakiolla (vakiolla). C.

Epämääräisen integraalin ominaisuudet

Fakta 4. Lause 1. Epämääräisen integraalin derivaatta on yhtä suuri kuin integrandi ja sen differentiaali on yhtä suuri kuin integrandi.

Fakta 5. Lause 2. Funktion differentiaalin epämääräinen integraali f(x) on yhtä suuri kuin funktio f(x) jatkuvaan ajankohtaan asti , eli

(3)

Lauseet 1 ja 2 osoittavat, että differentiaatio ja integrointi ovat keskenään käänteisiä operaatioita.

Fakta 6. Lause 3. Integrandin vakiotekijä voidaan ottaa pois epämääräisen integraalin etumerkistä , eli

Integroitumisen oppiminen ei ole vaikeaa. Tätä varten sinun tarvitsee vain oppia tietyt, melko pienet säännöt ja kehittää eräänlainen hohto. Tietysti säännöt ja kaavat on helppo oppia, mutta on melko vaikeaa ymmärtää, missä ja milloin tätä tai toista integrointi- tai eriyttämissääntöä tulee soveltaa. Tämä on itse asiassa integroitumiskykyä.

1. Antijohdannainen. Epämääräinen integraali.

Oletuksena on, että lukijalla on tämän artikkelin lukemiseen mennessä jo joitain erottelutaitoja (eli johdannaisten löytämistä).

Määritelmä 1.1: Funktiota kutsutaan antiderivaataksi, jos yhtälö pätee:

Kommentit:> Sanan "primordial" painotus voidaan sijoittaa kahdella tavalla: noinärtynyt tai alkuperäinen a tietäen.

Omaisuus 1: Jos funktio on funktion antiderivaata, niin funktio on myös funktion antiderivaata.

Todiste: Todistakaamme tämä antiderivaatin määritelmästä. Etsitään funktion derivaatta:

Ensimmäinen lukukausi sisään määritelmä 1.1 on yhtä suuri kuin , ja toinen termi on vakion derivaatta, joka on yhtä suuri kuin 0.

.

Tee yhteenveto. Kirjoitetaan tasa-arvoketjun alku ja loppu:

Siten funktion derivaatta on yhtä suuri, ja siksi se on määritelmän mukaan sen antiderivaata. Omaisuus on todistettu.

Määritelmä 1.2: Funktion epämääräinen integraali on koko joukko tämän funktion antiderivaatteja. Se on merkitty näin:

.

Harkitse tietueen kunkin osan nimiä yksityiskohtaisesti:

on integraalin yleinen merkintä,

on integrandi (integrandi) lauseke, integroitava funktio.

on differentiaali, ja kirjaimen jälkeistä lauseketta, tässä tapauksessa , kutsutaan integrointimuuttujaksi.

Kommentit: Tämän määritelmän avainsanat ovat "koko joukko". Nuo. jos jatkossa tätä "plus C" ei kirjoiteta vastaukseen, niin tarkastajalla on täysi oikeus olla hyvittämättä tätä tehtävää, koska on tarpeen löytää koko joukko antiderivaatteja, ja jos C puuttuu, vain yksi löytyy.

Johtopäätös: Jotta voidaan tarkistaa, onko integraali laskettu oikein, on tarpeen löytää tuloksen derivaatta. Sen on vastattava integrandia.
Esimerkki:
Harjoittele: Laske epämääräinen integraali ja tarkista.

Päätös:

Integraalin laskentatavalla ei ole tässä tapauksessa merkitystä. Oletetaan, että se on ilmestys ylhäältä. Tehtävämme on osoittaa, että ilmoitus ei pettänyt meitä, ja tämä voidaan tehdä verifioinnin avulla.

Tutkimus:

Tulosta erotettaessa saatiin integrandi, mikä tarkoittaa, että integraali on laskettu oikein.

2. Aloita. Integraalien taulukko.

Integrointia varten ei tarvitse joka kerta muistaa funktiota, jonka derivaatta on yhtä suuri kuin annettu integrandi (eli käyttää integraalin määritelmää suoraan). Jokainen tehtäväkokoelma tai matemaattisen analyysin oppikirja sisältää luettelon integraalien ominaisuuksista ja taulukon yksinkertaisimmista integraaleista.

Listataan ominaisuudet.

Ominaisuudet:
1.
Differentiaalin integraali on yhtä suuri kuin integrointimuuttuja.
2. , missä on vakio.
Vakiokerroin voidaan ottaa pois integraalimerkistä.

3.
Summan integraali on yhtä suuri kuin integraalien summa (jos termien määrä on äärellinen).
Integroitu pöytä:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Useimmiten tehtävänä on pelkistää tutkittava integraali taulukkomuotoiseksi ominaisuuksien ja kaavojen avulla.

Esimerkki:

[ Käytetään integraalien kolmatta ominaisuutta ja kirjoitetaan se kolmen integraalin summaksi.]

[ Käytetään toista ominaisuutta ja otetaan vakiot pois integrointimerkistä.]

[ Ensimmäisessä integraalissa käytämme taulukkointegraalia nro 1 (n=2), toisessa - samaa kaavaa, mutta n=1, ja kolmannessa integraalissa voit joko käyttää samaa taulukkointegraalia, mutta n=0 tai ensimmäinen ominaisuus. ]
.
Tarkastetaan erottelulla:

Alkuperäinen integrandi saatiin, joten integrointi suoritettiin ilman virheitä (eikä edes mielivaltaisen vakion C lisäämistä unohdettu).

Taulukkointegraalit on opittava ulkoa yhdestä yksinkertaisesta syystä - jotta tiedettäisiin mihin pyrkiä, ts. tietää annetun lausekkeen muunnoksen tarkoituksen.

Tässä vielä muutama esimerkki:
1)
2)
3)

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun:

Harjoitus 1. Laske epämääräinen integraali:

+ Näytä/piilota vihje #1.

1) Käytä kolmatta ominaisuutta ja esitä tämä integraali kolmen integraalin summana.

+ Näytä/piilota vihje #2.

+ Näytä/piilota vihje #3.

3) Käytä kahdelle ensimmäiselle termille ensimmäistä taulukkointegraalia ja kolmannelle - toista taulukkointegraalia.

+ Näytä/piilota ratkaisu ja vastaus.

4) Ratkaisu:

Vastaus: