Negatiivisen kokonaisluvun nostaminen negatiiviseksi potenssiksi. Kuinka nostaa luku negatiiviseen potenssiin - esimerkkejä kuvauksista Excelissä

Eksponenttia käytetään helpottamaan luvun itsellään kertomisen kirjoittamista. Esimerkiksi kirjoittamisen sijaan voit kirjoittaa 4 5 (\displaystyle 4^(5))(selitys tällaisesta siirtymisestä on tämän artikkelin ensimmäisessä osassa). Potenssit helpottavat pitkien tai monimutkaisten lausekkeiden tai yhtälöiden kirjoittamista; myös tehoja on helppo lisätä ja vähentää, mikä johtaa lausekkeen tai yhtälön yksinkertaistamiseen (esim. 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Huomautus: Jos sinun on ratkaistava eksponentiaaliyhtälö (sellaisen yhtälössä tuntematon on eksponentissa), lue.

Askeleet

Yksinkertaisten ongelmien ratkaiseminen valtuuksilla

Kerro eksponentin kanta itsellään eksponentin verran. Jos sinun on ratkaistava eksponenttitehtävä manuaalisesti, kirjoita eksponentti kertolaskuoperaatioksi, jossa eksponentin kanta kerrotaan itsellään. Esimerkiksi tutkinnon perusteella 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Tässä tapauksessa asteen 3 kanta on kerrottava itsellään 4 kertaa: 3 * 3 * 3 * 3 (\näyttötyyli 3*3*3*3). Tässä on muita esimerkkejä:

Ensin kerrotaan kaksi ensimmäistä numeroa. Esimerkiksi, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Älä huoli - laskentaprosessi ei ole niin monimutkainen kuin miltä näyttää ensi silmäyksellä. Kerro ensin kaksi ensimmäistä nelinkertaista ja korvaa ne sitten tuloksella. Kuten tämä:

4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\ näyttötyyli 4^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
- 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

Kerro tulos (esimerkissämme 16) seuraavalla numerolla. Jokainen seuraava tulos kasvaa suhteessa. Esimerkissämme kerro 16 4:llä. Näin:
- 4 5 = 16 * 4 * 4 * 4 (\ näyttötyyli 4^ (5) = 16 * 4 * 4 * 4)
  - 16 ∗ 4 = 64 (\näyttötyyli 16*4=64)
- 4 5 = 64 * 4 * 4 (\ näyttötyyli 4^ (5) = 64 * 4 * 4)
  - 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
- 4 5 = 256 ∗ 4 (\näyttötyyli 4^(5)=256*4)
  - 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
- Jatka kahden ensimmäisen luvun kertomisen tulosta seuraavalla numerolla, kunnes saat lopullisen vastauksen. Voit tehdä tämän kertomalla kaksi ensimmäistä numeroa ja kertomalla sitten tuloksen sekvenssin seuraavalla numerolla. Tämä menetelmä soveltuu kaikille tutkinnoille. Esimerkissämme sinun pitäisi saada: 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024 (\näyttötyyli 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .
Ratkaise seuraavat ongelmat. Tarkista vastauksesi laskimella.
- 8 2 (\displaystyle 8^(2))
- 3 4 (\displaystyle 3^(4))
- 10 7 (\displaystyle 10^(7))
Etsi laskimesta avain "exp" tai " x n (\displaystyle x^(n))", tai "^". Tällä avaimella nostat luvun potenssiin. On käytännössä mahdotonta laskea aste manuaalisesti suurella eksponentilla (esim 9 15 (\displaystyle 9^(15))), mutta laskin selviytyy helposti tästä tehtävästä. Windows 7:ssä vakiolaskin voidaan vaihtaa suunnittelutilaan; Voit tehdä tämän napsauttamalla "Näytä" -\u003e "Suunnittelu". Vaihda normaalitilaan napsauttamalla "Näytä" -\u003e "Normaali".
- Tarkista saamasi vastaus hakukoneella (Google tai Yandex). Syötä lauseke tietokoneen näppäimistön ^-näppäimellä hakukoneeseen, joka näyttää heti oikean vastauksen (ja mahdollisesti ehdottaa samanlaisia lausekkeita tutkittavaksi).
Yhteen-, vähennys- ja potenssien kertominen
1. Voit lisätä ja vähentää tehoja vain, jos niillä on sama kanta. Jos sinun on lisättävä potenssit samoilla kanta- ja eksponenttiarvoilla, voit korvata yhteenlaskuoperaation kertolaskuoperaatiolla. Esimerkiksi ilmaisun perusteella 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Muista, että tutkinto 4 5 (\displaystyle 4^(5)) voidaan esittää muodossa 1 ∗ 4 5 (\näyttötyyli 1*4^(5)); täten, 4 5 + 4 5 = 1 * 4 5 + 1 * 4 5 = 2 * 4 5 (\näyttötyyli 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(jossa 1 +1 = 2). Eli laske samanlaisten asteiden määrä ja kerro sitten tällainen aste ja tämä luku. Esimerkissämme nosta 4 viidenteen potenssiin ja kerro sitten tulos kahdella. Muista, että yhteenlaskuoperaatio voidaan korvata kertolaskulla, esim. 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\näyttötyyli 3+3=2*3). Tässä on muita esimerkkejä:
  - 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\näyttötyyli 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
  - 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\näyttötyyli 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
  - 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\näyttötyyli 4^(5)-4^(5)+2=2)
  - 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))
2. Kun potenssit kerrotaan samalla kantalla, niiden eksponentit lisätään (kanta ei muutu). Esimerkiksi ilmaisun perusteella x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Tässä tapauksessa sinun on vain lisättävä indikaattorit jättäen pohja ennalleen. Täten, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Tässä on visuaalinen selitys tälle säännölle:
  
  Kun potenssi nostetaan potenssiksi, eksponentit kerrotaan. Esimerkiksi annettu tutkinto. Koska eksponentit kerrotaan, niin (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Tämän säännön tarkoitus on, että kerrot tehon (x 2) (\displaystyle (x^(2))) itsellään viisi kertaa. Kuten tämä:
  - (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
  - (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\näyttötyyli (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
  - Koska kanta on sama, eksponentit yksinkertaisesti laskevat yhteen: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\ näyttötyyli (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))
3. Eksponentti, jolla on negatiivinen eksponentti, tulee muuntaa murtoluvuksi (käänteispotenssiksi). Sillä ei ole väliä, jos et tiedä mitä vastavuoroisuus on. Jos sinulle annetaan tutkinnon negatiivinen eksponentti, esim. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), kirjoita tämä potenssi murtoluvun nimittäjään (laita osoittajaan 1) ja tee eksponentti positiiviseksi. Esimerkissämme: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Tässä on muita esimerkkejä:
  
  Kun potenssit jaetaan samalla kantalla, niiden eksponentit vähennetään (kanta ei muutu). Jakooperaatio on kertolaskuoperaation vastakohta. Esimerkiksi ilmaisun perusteella 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Vähennä nimittäjässä oleva eksponentti osoittajan eksponenttia (älä vaihda kantaa). Täten, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4)))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .
  - Nimittäjässä oleva tutkinto voidaan kirjoittaa seuraavasti: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Muista, että murtoluku on luku (potenssi, lauseke), jolla on negatiivinen eksponentti.
4. Alla on joitain ilmaisuja, jotka auttavat sinua oppimaan ratkaisemaan tehoongelmia. Yllä olevat ilmaisut kattavat tässä osiossa esitetyn materiaalin. Näet vastauksen korostamalla tyhjän tilan yhtäläisyysmerkin jälkeen.
Ongelmien ratkaiseminen murto-osien eksponenteilla
1. Jos eksponentti on väärä murto-osa, niin tällainen eksponentti voidaan jakaa kahteen potenssiin tehtävän ratkaisun yksinkertaistamiseksi. Tässä ei ole mitään monimutkaista - muista vain sääntö voimien kertomisesta. Esimerkiksi annettu tutkinto. Muuta tämä eksponentti juureksi, jonka eksponentti on yhtä suuri kuin murto-osion eksponentin nimittäjä, ja nosta sitten tämä juuri eksponentti, joka on yhtä suuri kuin murto-osion eksponentin osoittaja. Muista tämä tehdäksesi tämän 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Esimerkissämme:
  - x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
  - x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
  - x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
2. Joissakin laskimissa on painike eksponenttilaskua varten (ensin sinun on syötettävä kantaluku, painettava sitten -painiketta ja syötettävä eksponentti). Sitä merkitään ^ tai x^y.
3. Muista, että mikä tahansa luku on yhtä suuri kuin itsensä ensimmäisen potenssin kanssa, esimerkiksi 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Lisäksi mikä tahansa luku kerrottuna tai jaettuna yhdellä on yhtä suuri kuin itsensä, esim. 5 ∗ 1 = 5 (\näyttötyyli 5*1=5) ja 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
4. Tiedä, että astetta 0 0 ei ole olemassa (sellaisen asteen ratkaisua ei ole). Kun yrität ratkaista tällaisen tutkinnon laskimella tai tietokoneella, saat virheilmoituksen. Mutta muista, että mikä tahansa luku nollan potenssilla on yhtä suuri kuin 1, esimerkiksi 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
5. Korkeammassa matematiikassa, joka toimii kuvitteellisilla luvuilla: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), missä i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e on vakio, joka on suunnilleen yhtä suuri kuin 2,7; a on mielivaltainen vakio. Todiste tästä tasa-arvosta löytyy mistä tahansa korkeamman matematiikan oppikirjasta.
- Kun eksponentti kasvaa, sen arvo kasvaa suuresti. Siksi, jos vastaus näyttää sinusta väärältä, se voi itse asiassa osoittautua todeksi. Voit tarkistaa tämän piirtämällä minkä tahansa eksponentiaalisen funktion, kuten 2 x .

Selvitimme, mikä luvun aste yleensä on. Nyt meidän on ymmärrettävä, kuinka se lasketaan oikein, ts. nostaa lukuja valtuuksiin. Tässä materiaalissa analysoimme asteen laskennan perussääntöjä kokonaisluvun, luonnollisen, murto-osan, rationaalisen ja irrationaalisen eksponentin tapauksessa. Kaikki määritelmät havainnollistetaan esimerkein.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Eksponentioinnin käsite

Aloitetaan perusmääritelmien muotoilusta.

Määritelmä 1

Eksponentointi on jonkin luvun potenssin arvon laskeminen.

Toisin sanoen sanat "tutkinnon arvon laskeminen" ja "eksponenttiointi" tarkoittavat samaa asiaa. Joten jos tehtävänä on "Nosta luku 0 , 5 viidenteen potenssiin", tämä tulee ymmärtää "laske tehon (0 , 5) arvo 5 .

Nyt annamme perussäännöt, joita on noudatettava tällaisissa laskelmissa.

Muista, mikä on luonnollisen eksponentin luvun potenssi. Potentiolle, jonka kanta on a ja eksponentti n, tämä on n:nnen tekijöiden, joista jokainen on yhtä suuri kuin a, tulo. Tämä voidaan kirjoittaa näin:

Laskeaksesi asteen arvon, sinun on suoritettava kertolasku, eli kerrottava asteen kannat tietyn määrän kertoja. Luonnollisen indikaattorin tutkinnon käsite perustuu kykyyn moninkertaistua nopeasti. Annetaan esimerkkejä.

Esimerkki 1

Kunto: Nosta - 2 potenssiin 4 .

Päätös

Yllä olevaa määritelmää käyttäen kirjoitetaan: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Seuraavaksi meidän tarvitsee vain seurata näitä vaiheita ja saada 16 .

Otetaan monimutkaisempi esimerkki.

Esimerkki 2

Laske arvo 3 2 7 2

Päätös

Tämä merkintä voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon 3 2 7 · 3 2 7 . Aiemmin tarkastelimme, kuinka ehdossa mainitut sekaluvut kerrotaan oikein.

Suorita nämä vaiheet ja saat vastauksen: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Jos tehtävä osoittaa, että irrationaaliset luvut on nostettava luonnolliseen potenssiin, meidän on ensin pyöristettävä niiden emäkset numeroon, jonka avulla voimme saada vastauksen halutulla tarkkuudella. Otetaan esimerkki.

Esimerkki 3

Suorita luvun π neliöinti.

Päätös

Pyöristetään se ensin sadasosiin. Sitten π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Jos π ≈ 3 . 14159, niin saamme tarkemman tuloksen: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Huomaa, että tarve laskea irrationaalisten lukujen potenssit tulee käytännössä esiin suhteellisen harvoin. Voimme sitten kirjoittaa vastauksen potenssiksi itse (ln 6) 3 tai muuntaa, jos mahdollista: 5 7 = 125 5 .

Erikseen tulee ilmoittaa, mikä on luvun ensimmäinen potenssi. Tässä voit vain muistaa, että mikä tahansa ensimmäiseen potenssiin korotettu luku pysyy itsestään:

Tämä käy ilmi pöytäkirjasta. .

Se ei riipu tutkinnon perusteella.

Esimerkki 4

Joten (− 9) 1 = − 9 ja 7 3 nostettuna ensimmäiseen potenssiin pysyy yhtä suurena kuin 7 3 .

Mukavuuden vuoksi analysoimme kolme tapausta erikseen: jos eksponentti on positiivinen kokonaisluku, jos se on nolla ja jos se on negatiivinen kokonaisluku.

Ensimmäisessä tapauksessa tämä on sama kuin luonnolliseen potenssiin nostaminen: loppujen lopuksi positiiviset kokonaisluvut kuuluvat luonnollisten lukujen joukkoon. Olemme jo kuvanneet, kuinka työskennellä tällaisten tutkintojen kanssa edellä.

Katsotaan nyt kuinka nostaa oikein nollatehoon. Käytettäessä nollasta poikkeavaa kantaa tämä laskelma tuottaa aina arvon 1 . Olemme aiemmin selittäneet, että a:n 0:s potenssi voidaan määrittää mille tahansa reaaliluvulle, joka ei ole yhtä suuri kuin 0, ja a 0 = 1.

Esimerkki 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - ei määritelty.

Jäljelle jää vain negatiivisen kokonaislukueksponentin asteen tapaus. Olemme jo käsitelleet, että tällaiset asteet voidaan kirjoittaa murto-osana 1 a z, missä a on mikä tahansa luku ja z on negatiivinen kokonaisluku. Näemme, että tämän murtoluvun nimittäjä ei ole muuta kuin tavallinen aste positiivisella kokonaisluvulla, ja olemme jo oppineet laskemaan sen. Otetaan esimerkkejä tehtävistä.

Esimerkki 6

Nosta 3 tehoon -2.

Päätös

Yllä olevaa määritelmää käyttäen kirjoitamme: 2 - 3 = 1 2 3

Laskemme tämän murtoluvun nimittäjän ja saamme 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Sitten vastaus on: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Esimerkki 7

Nosta 1, 43 tehoon -2.

Päätös

Muotoile uudelleen: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Laskemme neliön nimittäjässä: 1,43 1,43. Desimaalit voidaan kertoa seuraavasti:

Tuloksena saimme (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Meidän on kirjoitettava tämä tulos tavallisen murto-osan muodossa, jota varten se on kerrottava 10 tuhannella (katso materiaali murto-osien muuntamisesta).

Vastaus: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Erillinen tapaus on luvun nostaminen miinus ensimmäiseen potenssiin. Tällaisen asteen arvo on yhtä suuri kuin luku, joka on vastakkainen perustan alkuperäisen arvon kanssa: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Esimerkki 8

Esimerkki: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Kuinka nostaa luku murto-osaan

Suorittaaksemme tällaisen toiminnon meidän on muistettava asteen perusmääritelmä murto-eksponentilla: a m n \u003d a m n mille tahansa positiiviselle a:lle, kokonaisluvulle m ja luonnolliselle n:lle.

Määritelmä 2

Näin ollen murto-asteen laskenta on suoritettava kahdessa vaiheessa: nostetaan kokonaislukupotenssiin ja löydetään n:nnen asteen juuri.

Meillä on yhtälö a m n = a m n , jolla juurien ominaisuudet huomioon ottaen ratkaistaan yleensä tehtäviä muodossa a m n = a n m . Tämä tarkoittaa, että jos nostamme luvun a murto-osaan m / n, erotamme ensin n:nnen asteen juuren a:sta, sitten nostamme tuloksen potenssiksi kokonaislukueksponentilla m.

Havainnollistetaan esimerkillä.

Esimerkki 9

Laske 8 - 2 3 .

Päätös

Menetelmä 1. Perusmääritelmän mukaan voimme esittää tämän seuraavasti: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Lasketaan nyt juuren alla oleva aste ja poimitaan tuloksesta kolmas juuri: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Menetelmä 2. Muunnetaan perusyhtälö: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Tämän jälkeen erotamme juuren 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 ja neliöimme tuloksen: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Näemme, että ratkaisut ovat identtisiä. Voit käyttää haluamallasi tavalla.

On tapauksia, joissa tutkinnossa on indikaattori, joka ilmaistaan sekalukuna tai desimaalilukuna. Laskennan helpottamiseksi on parempi korvata se tavallisella murtoluvulla ja laskea kuten yllä on osoitettu.

Esimerkki 10

Nosta 44,89 potenssiin 2,5.

Päätös

Muunnetaan indikaattorin arvo tavalliseksi murtoluvuksi - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Ja nyt suoritamme kaikki yllä ilmoitetut toiminnot järjestyksessä: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 =1 = 510 70 = 010 13 501, 25107

Vastaus: 13501, 25107.

Jos murto-osion eksponentin osoittajassa ja nimittäjässä on suuria lukuja, niin tällaisten eksponentien laskeminen rationaalisilla eksponenteilla on melko vaikeaa työtä. Yleensä se vaatii tietotekniikkaa.

Tarkastellaan erikseen astetta nollakantaisella ja murtoeksponentilla. Muotoa 0 m n olevalle lausekkeelle voidaan antaa seuraava merkitys: jos m n > 0, niin 0 m n = 0 m n = 0 ; jos m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Kuinka nostaa luku irrationaaliseen potenssiin

Tarve laskea tutkinnon arvo, jonka indikaattorissa on irrationaalinen luku, ei esiinny niin usein. Käytännössä tehtävä rajoittuu yleensä likimääräisen arvon laskemiseen (tiettyyn määrään desimaaleja). Tämä lasketaan yleensä tietokoneella tällaisten laskelmien monimutkaisuuden vuoksi, joten emme käsittele tätä yksityiskohtaisesti, osoitamme vain tärkeimmät säännökset.

Jos meidän on laskettava asteen a arvo irrationaalisella eksponentilla a, otetaan eksponentin desimaaliapproksimaatio ja lasketaan siitä. Tuloksena on likimääräinen vastaus. Mitä tarkempi desimaaliapproksimaatio on otettu, sitä tarkempi vastaus. Esitetään esimerkillä:

Esimerkki 11

Laske likimääräinen arvo 21 , 174367 ....

Päätös

Rajataan desimaaliapproksimaatioon a n = 1, 17. Tehdään laskelmat käyttämällä tätä lukua: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Jos otamme esimerkiksi likiarvon a n = 1 , 1743 , niin vastaus on hieman tarkempi: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Ensimmäinen taso

Tutkinto ja sen ominaisuudet. Kattava opas (2019)

Miksi tutkintoja tarvitaan? Missä niitä tarvitset? Miksi sinun täytyy käyttää aikaa niiden tutkimiseen?

Lue tämä artikkeli, jos haluat oppia kaiken tutkinnoista, niiden tarkoituksesta ja tietojesi käyttämisestä jokapäiväisessä elämässä.

Ja tietysti tutkintojen tunteminen vie sinut lähemmäksi onnistuneesti OGE- tai Unified State -tutkintoa ja pääsyä unelmiesi yliopistoon.

Mennään... (Mennään!)

Tärkeä muistiinpano! Jos näet kaavojen sijaan hölynpölyä, tyhjennä välimuisti. Voit tehdä tämän painamalla CTRL+F5 (Windows) tai Cmd+R (Mac).

ENSIMMÄINEN TASO

Eksponenttioiminen on sama matemaattinen operaatio kuin yhteen-, vähennys-, kerto- tai jakolasku.

Nyt selitän kaiken ihmiskielellä käyttäen hyvin yksinkertaisia esimerkkejä. Kiinnittää huomiota. Esimerkit ovat alkeellisia, mutta selittävät tärkeitä asioita.

Aloitetaan lisäyksellä.

Tässä ei ole mitään selitettävää. Tiedät jo kaiken: meitä on kahdeksan. Jokaisessa on kaksi pulloa colaa. Paljonko colaa? Aivan oikein - 16 pulloa.

Nyt kertolasku.

Sama esimerkki colan kanssa voidaan kirjoittaa eri tavalla: . Matemaatikot ovat ovelia ja laiskoja ihmisiä. He huomaavat ensin joitain kuvioita ja sitten keksivät tavan "laskea" ne nopeammin. Meidän tapauksessamme he huomasivat, että jokaisella kahdeksalla ihmisellä oli sama määrä kolapulloja, ja he keksivät tekniikan nimeltä kertolasku. Samaa mieltä, sitä pidetään helpommin ja nopeampana kuin.

Joten, jotta voit laskea nopeammin, helpommin ja ilman virheitä, sinun on vain muistettava kertotaulu. Tietysti kaiken voi tehdä hitaammin, kovemmin ja virhein! Mutta…

Tässä on kertotaulukko. Toistaa.

Ja toinen, kauniimpi:

Ja mitä muita hankalia laskentatemppuja laiskot matemaatikot keksivät? Oikein - luvun nostaminen potenssiin.

Numeron nostaminen potenssiin

Jos sinun on kerrottava luku itsellään viisi kertaa, matemaatikot sanovat, että sinun on nostettava tämä luku viidenteen potenssiin. Esimerkiksi, . Matemaatikot muistavat, että kahdesta viiteen potenssi on. Ja he ratkaisevat tällaiset ongelmat mielessään - nopeammin, helpommin ja ilman virheitä.

Tätä varten tarvitset vain muista, mikä on korostettu värillä lukujen potenssitaulukossa. Usko minua, se tekee elämästäsi paljon helpompaa.

Muuten, miksi toista tutkintoa kutsutaan neliö- numerot ja kolmas kuutio? Mitä se tarkoittaa? Erittäin hyvä kysymys. Nyt sinulla on sekä neliöitä että kuutioita.

Esimerkki tosielämästä #1

Aloitetaan neliöstä tai luvun toisesta potenssista.

Kuvittele neliönmuotoinen allas, jonka mitat ovat metrejä metreinä. Allas on takapihallasi. On kuuma ja haluan todella uida. Mutta ... allas ilman pohjaa! Altaan pohja on tarpeen peittää laatoilla. Kuinka monta laattaa tarvitset? Tämän määrittämiseksi sinun on tiedettävä altaan pohjan pinta-ala.

Voit vain laskea sormea työntämällä, että altaan pohja koostuu kuutioista metri metriltä. Jos laattasi ovat metri metriltä, tarvitset kappaleita. Se on helppoa... Mutta missä näit sellaisen laatan? Laatta on mieluummin cm cm. Ja sitten sinua piinaa "sormella laskeminen". Sitten sinun on kerrottava. Joten altaan pohjan yhdelle puolelle sovitamme laatat (palat) ja toiselle myös laatat. Kertomalla saat laatat ().

Huomasitko, että kerroimme saman luvun itsellään määrittääksemme altaan pohjan alueen? Mitä se tarkoittaa? Koska sama luku kerrotaan, voimme käyttää eksponentiotekniikkaa. (Tietenkin, kun sinulla on vain kaksi lukua, sinun täytyy silti kertoa ne tai nostaa ne potenssiin. Mutta jos niitä on paljon, niin potenssiin nostaminen on paljon helpompaa ja myös laskuvirheitä tulee vähemmän. Kokeen kannalta tämä on erittäin tärkeää).
Joten, kolmekymmentä toista astetta on (). Tai voit sanoa, että kolmekymmentä neliötä tulee olemaan. Toisin sanoen luvun toinen potenssi voidaan aina esittää neliönä. Ja päinvastoin, jos näet neliön, se on AINA jonkin luvun toinen potenssi. Neliö on kuva luvun toisesta potenssista.

Esimerkki tosielämästä #2

Tässä on sinulle tehtävä, laske kuinka monta ruutua on shakkilaudalla käyttämällä numeroruutua ... Toisella puolella soluja ja myös toisella. Niiden lukumäärän laskemiseksi sinun on kerrottava kahdeksan kahdeksalla tai ... jos huomaat, että shakkilauta on neliö, jossa on sivu, voit laittaa kahdeksan. Hanki soluja. () Siis?

Esimerkki tosielämästä #3

Nyt kuutio tai luvun kolmas potenssi. Sama uima-allas. Mutta nyt sinun on selvitettävä, kuinka paljon vettä on kaadettava tähän altaaseen. Sinun on laskettava tilavuus. (Muuten tilavuudet ja nesteet mitataan kuutiometreissä. Odottamatonta, eikö?) Piirrä allas: metrin kokoinen ja metrin syvä pohja ja yritä laskea kuinka monta metri kerrallaan kuutiota altaaseen tulee.

Osoita vain sormella ja laske! Yksi, kaksi, kolme, neljä… kaksikymmentäkaksi, kaksikymmentäkolme… Kuinka paljon siitä tuli? Etkö eksynyt? Onko vaikeaa laskea sormella? Jotta! Otetaan esimerkki matemaatikoilta. He ovat laiskoja, joten he huomasivat, että uima-altaan tilavuuden laskemiseksi sinun on kerrottava sen pituus, leveys ja korkeus toisillaan. Meidän tapauksessamme altaan tilavuus on yhtä suuri kuin kuutiot ... Helpompaa, eikö?

Kuvittele nyt kuinka laiskoja ja ovelia matemaatikot ovat, jos he tekevät sen liian helpoksi. Supistettiin kaikki yhteen toimintoon. He huomasivat, että pituus, leveys ja korkeus ovat yhtä suuret ja että sama luku kerrotaan itsestään ... Ja mitä tämä tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, että voit käyttää tutkintoa. Joten sen, minkä kerran laskit sormella, he tekevät yhdellä toiminnolla: kolme kuutiossa on yhtä suuri. Se on kirjoitettu näin:

Jää vain muistaa astetaulukko. Ellei tietysti ole yhtä laiska ja ovela kuin matemaatikot. Jos haluat työskennellä kovasti ja tehdä virheitä, voit jatkaa laskemista sormella.

No, saadaksesi sinut vihdoin vakuuttuneeksi siitä, että tutkinnot ovat loaferien ja ovelien ihmisten keksimiä elämänongelmiensa ratkaisemiseksi, eikä ongelmien luomiseksi sinulle, tässä on vielä pari esimerkkiä elämästä.

Esimerkki tosielämästä #4

Sinulla on miljoona ruplaa. Jokaisen vuoden alussa ansaitset toisen miljoonan jokaista miljoonaa kohden. Toisin sanoen jokainen miljoonasta jokaisen vuoden alussa tuplaantuu. Kuinka paljon sinulla on rahaa vuosien kuluttua? Jos nyt istut ja "lasket sormella", olet erittäin ahkera ihminen ja .. tyhmä. Mutta todennäköisesti annat vastauksen muutamassa sekunnissa, koska olet älykäs! Joten ensimmäisenä vuonna - kaksi kertaa kaksi ... toisena vuonna - mitä tapahtui, kahdella lisää, kolmantena vuonna ... Stop! Huomasit, että luku kerrotaan itsellään kerran. Joten kahdesta viiteen potenssiin on miljoona! Kuvittele nyt, että sinulla on kilpailu ja se, joka laskee nopeammin, saa nämä miljoonat... Kannattaako muistaa lukujen asteet, mitä mieltä olet?

Esimerkki tosielämästä #5

Sinulla on miljoona. Jokaisen vuoden alussa ansaitset kaksi lisää jokaista miljoonaa kohden. Se on hieno eikö? Jokainen miljoona kolminkertaistuu. Paljonko sinulla on rahaa vuodessa? Lasketaan. Ensimmäinen vuosi - kerrotaan, sitten tulos toisella ... Se on jo tylsää, koska olet jo ymmärtänyt kaiken: kolme kerrotaan itsestään kertaa. Neljäs teho on siis miljoona. Sinun tarvitsee vain muistaa, että kolmesta neljänteen potenssi on tai.

Nyt tiedät, että nostamalla luvun arvoon, teet elämästäsi paljon helpompaa. Katsotaanpa tarkemmin, mitä voit tehdä tutkinnoilla ja mitä sinun on tiedettävä niistä.

Termit ja käsitteet ... jotta ei menisi sekaisin

Joten ensin määritellään käsitteet. Mitä mieltä sinä olet, mikä on eksponentti? Se on hyvin yksinkertaista - tämä on numero, joka on luvun tehon "huipussa". Ei tieteellinen, mutta selkeä ja helppo muistaa...

No samaan aikaan mitä sellainen tutkintopohja? Vielä yksinkertaisempi on numero, joka on alareunassa, pohjassa.

Tässä on kuva varmuuden vuoksi.

No, yleisesti ottaen, yleistääksesi ja muistaaksemme paremmin ... Tutkinto, jonka kanta on "" ja indikaattori "", luetaan "asteena" ja kirjoitetaan seuraavasti:

Luvun potenssi luonnollisella eksponentilla

Luultavasti jo arvasit: koska eksponentti on luonnollinen luku. Kyllä, mutta mikä on luonnollinen luku? Perus! Luonnolliset luvut ovat niitä, joita käytetään laskettaessa kohteita listattaessa: yksi, kaksi, kolme ... Kun laskemme kohteita, emme sano: "miinus viisi", "miinus kuusi", "miinus seitsemän". Emme myöskään sano "kolmasosa" tai "nolla piste viisi kymmenesosaa". Nämä eivät ole luonnollisia lukuja. Mitä nämä luvut mielestäsi ovat?

Numerot, kuten "miinus viisi", "miinus kuusi", "miinus seitsemän" viittaavat kokonaislukuja. Yleisesti ottaen kokonaisluvut sisältävät kaikki luonnolliset luvut, luonnollisten lukujen vastakohtaiset luvut (eli miinusmerkillä otettuja) ja luvun. Nolla on helppo ymmärtää - silloin kun ei ole mitään. Ja mitä negatiiviset ("miinus") luvut tarkoittavat? Mutta ne keksittiin ensisijaisesti merkitsemään velkoja: jos puhelimessasi on saldo ruplissa, tämä tarkoittaa, että olet velkaa operaattorille ruplaa.

Kaikki murtoluvut ovat rationaalilukuja. Miten ne syntyivät, luuletko? Erittäin yksinkertainen. Useita tuhansia vuosia sitten esi-isämme huomasivat, että heillä ei ollut tarpeeksi luonnollisia lukuja mittaamaan pituutta, painoa, pinta-alaa jne. Ja he keksivät rationaalisia lukuja… Mielenkiintoista, eikö?

On myös irrationaalisia lukuja. Mitä nämä luvut ovat? Lyhyesti sanottuna ääretön desimaaliluku. Jos esimerkiksi jaat ympyrän kehän halkaisijalla, saat irrationaalisen luvun.

Yhteenveto:

Määrittelemme asteen käsite, jonka eksponentti on luonnollinen luku (eli kokonaisluku ja positiivinen).

Mikä tahansa luku ensimmäiseen potenssiin on yhtä suuri kuin itsensä:
Numeron neliöinti tarkoittaa sen kertomista itsellään:
Luvun kuutioiminen tarkoittaa sen kertomista itsellään kolme kertaa:

Määritelmä. Luvun nostaminen luonnolliseen potenssiin tarkoittaa luvun kertomista itsellään kertaa:
.

Tutkinnon ominaisuudet

Mistä nämä ominaisuudet ovat peräisin? Näytän sinulle nyt.

Katsotaan mikä on ja ?

A-priory:

Kuinka monta kerrointa on yhteensä?

Se on hyvin yksinkertaista: lisäsimme tekijöitä tekijöihin, ja tulos on tekijöitä.

Mutta määritelmän mukaan tämä on luvun aste, jossa on eksponentti, eli: , joka oli todistettava.

Esimerkki: Yksinkertaista lauseke.

Päätös:

Esimerkki: Yksinkertaista ilmaisu.

Päätös: On tärkeää huomata se säännössämme välttämättä täytyy olla sama syy!
Siksi yhdistämme asteet kantaan, mutta pysymme erillisenä tekijänä:

vain voimatuotteille!

Älä missään tapauksessa saa kirjoittaa niin.

2. eli -luvun potenssi

Aivan kuten edellisen ominaisuuden kanssa, siirrytään tutkinnon määritelmään:

Osoittautuu, että lauseke kerrotaan itsellään kerran, eli määritelmän mukaan tämä on luvun potenssi:

Itse asiassa tätä voidaan kutsua "ilmaisimen haarukointiin". Mutta et voi koskaan tehdä tätä kokonaisuudessaan:

Muistetaan lyhennetyn kertolaskukaavat: kuinka monta kertaa halusimme kirjoittaa?

Mutta se ei todellakaan ole totta.

Negatiivinen tutkinto

Tähän asti olemme keskustelleet vain siitä, mikä eksponentin tulisi olla.

Mutta minkä pitäisi olla perusta?

Asteina alkaen luonnollinen indikaattori perusteena voi olla mikä tahansa numero. Voimme todellakin kertoa minkä tahansa luvun toisilla, olivat ne sitten positiivisia, negatiivisia tai parillisia.

Ajatellaanpa, millä merkeillä (" " tai "") on positiivisten ja negatiivisten lukujen asteet?

Onko luku esimerkiksi positiivinen vai negatiivinen? MUTTA? ? Ensimmäisen kanssa kaikki on selvää: riippumatta siitä, kuinka monta positiivista numeroa kerromme keskenään, tulos on positiivinen.

Mutta negatiiviset ovat hieman mielenkiintoisempia. Muistammehan yksinkertaisen säännön 6. luokalta: "miinus kertaa miinus antaa plussan." Eli tai. Mutta jos kerromme, niin se käy.

Päätä itse, mikä merkki seuraavilla lauseilla on:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

onnistuitko?

Tässä ovat vastaukset: Toivon, että neljässä ensimmäisessä esimerkissä kaikki on selvää? Katsomme yksinkertaisesti kantaa ja eksponenttia ja sovellamme asianmukaista sääntöä.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Esimerkissä 5) kaikki ei myöskään ole niin pelottavaa kuin näyttää: sillä ei ole väliä, mikä kanta on yhtä suuri - aste on parillinen, mikä tarkoittaa, että tulos on aina positiivinen.

Paitsi silloin, kun perusarvo on nolla. Pohja ei ole sama, eihän? Ilmeisesti ei, koska (koska).

Esimerkki 6) ei ole enää niin yksinkertainen!

6 esimerkkiä harjoituksista

Ratkaisun analyysi 6 esimerkkiä

Jos emme kiinnitä huomiota kahdeksanteen asteeseen, mitä me näemme tässä? Katsotaanpa 7. luokan ohjelmaa. Joten, muistatko? Tämä on lyhennetty kertolasku, eli neliöiden erotus! Saamme:

Tarkastelemme nimittäjää huolellisesti. Se näyttää paljon yhdeltä osoittajatekijöistä, mutta mikä on vialla? Väärä termien järjestys. Jos ne vaihdettaisiin, sääntöä voitaisiin soveltaa.

Mutta miten se tehdään? Osoittautuu, että se on erittäin helppoa: nimittäjän parillinen aste auttaa meitä tässä.

Termit ovat maagisesti vaihtaneet paikkoja. Tämä "ilmiö" koskee mitä tahansa ilmaisua tasaisessa määrin: voimme vapaasti muuttaa suluissa olevia merkkejä.

Mutta on tärkeää muistaa: kaikki merkit muuttuvat samaan aikaan!

Palataanpa esimerkkiin:

Ja taas kaava:

koko nimeämme luonnolliset luvut, niiden vastakohdat (eli otettuna merkillä "") ja luvun.

positiivinen kokonaisluku, ja se ei eroa luonnollisesta, niin kaikki näyttää täsmälleen samalta kuin edellisessä osiossa.

Katsotaan nyt uusia tapauksia. Aloitetaan indikaattorilla, joka on yhtä suuri kuin.

Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi:

Kuten aina, kysymme itseltämme: miksi näin on?

Harkitse pohjan tehoa. Otetaan esimerkiksi ja kerrotaan:

Joten kerroimme luvun ja saimme saman kuin se oli -. Millä luvulla pitää kertoa, ettei mikään muutu? Aivan oikein, päällä. Keinot.

Voimme tehdä saman mielivaltaisella numerolla:

Toistetaan sääntö:

Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi.

Mutta moniin sääntöihin on poikkeuksia. Ja tässä se on myös siellä - tämä on numero (pohjana).

Toisaalta sen on oltava yhtä suuri kuin mikä tahansa aste - riippumatta siitä, kuinka paljon kerrot nollan itsellään, saat silti nollan, tämä on selvää. Mutta toisaalta, kuten minkä tahansa luvun nollaasteeseen, sen on oltava yhtä suuri. Joten mikä on totuus tästä? Matemaatikko päätti olla puuttumatta asiaan ja kieltäytyi nostamasta nollaa nollaan. Eli nyt emme voi vain jakaa nollalla, vaan myös nostaa sen nollatehoon.

Mennään pidemmälle. Luonnollisten lukujen ja lukujen lisäksi kokonaisluvut sisältävät negatiivisia lukuja. Ymmärtääksemme, mikä negatiivinen aste on, tehdään samoin kuin viime kerralla: kerrotaan jokin normaaliluku samalla negatiivisessa asteessa:

Täältä on jo helppo ilmaista haluttu:

Laajennamme nyt tuloksena olevaa sääntöä mielivaltaiseen määrään:

Joten muotoillaan sääntö:

Luku negatiiviselle potenssille on saman luvun käänteisarvo positiiviselle potenssille. Mutta samaan aikaan kanta ei voi olla tyhjä:(koska sitä ei voi jakaa).

Tehdään yhteenveto:

I. Lauseketta ei ole määritetty tapaukselle. Jos sitten.

II. Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi: .

III. Luku, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla negatiiviseen potenssiin, on saman luvun käänteisarvo positiiviselle potenssille: .

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun:

No, kuten tavallista, esimerkkejä itsenäisestä ratkaisusta:

Tehtävien analyysi itsenäistä ratkaisua varten:

Tiedän, tiedän, luvut ovat pelottavia, mutta tentissä pitää olla valmis kaikkeen! Ratkaise nämä esimerkit tai analysoi niiden ratkaisu, jos et pystynyt ratkaisemaan sitä, niin opit käsittelemään niitä helposti kokeessa!

Jatketaan eksponentiksi "sopivien" lukujen valikoiman laajentamista.

Harkitse nyt rationaalisia lukuja. Mitä lukuja kutsutaan rationaalisiksi?

Vastaus: kaikki mikä voidaan esittää murtolukuna, missä ja ovat lisäksi kokonaislukuja.

Ymmärtääkseen mikä on "murto-aste" Tarkastellaanpa murto-osaa:

Nostetaan yhtälön molemmat puolet potenssiksi:

Muista nyt sääntö "asteesta asteeseen":

Mikä luku täytyy nostaa potenssiin saadakseen?

Tämä muotoilu on th asteen juuren määritelmä.

Muistutan teitä: luvun th:n potenssin juuri () on luku, joka potenssiin korotettuna on yhtä suuri.

Toisin sanoen th asteen juuri on eksponentioinnin käänteisoperaatio: .

Siitä käy ilmi. Ilmeisesti tätä erikoistapausta voidaan jatkaa: .

Lisää nyt osoittaja: mikä se on? Vastaus on helppo saada tehosta tehoon -säännöllä:

Mutta voiko kanta olla mikä tahansa luku? Kaikista luvuista ei loppujen lopuksi voida erottaa juuria.

Ei mitään!

Muista sääntö: mikä tahansa parilliseen potenssiin korotettu luku on positiivinen luku. Eli negatiivisista luvuista on mahdotonta erottaa parillisen asteen juuria!

Ja tämä tarkoittaa, että tällaisia lukuja ei voida nostaa murto-osaan, jolla on parillinen nimittäjä, eli lausekkeessa ei ole järkeä.

Entä ilmaisu?

Mutta tässä syntyy ongelma.

Luku voidaan esittää muina, pelkistetyinä murtoina, esimerkiksi tai.

Ja käy ilmi, että se on olemassa, mutta ei ole olemassa, ja nämä ovat vain kaksi eri tietuetta, joilla on sama numero.

Tai toinen esimerkki: kerran, sitten voit kirjoittaa sen muistiin. Mutta heti kun kirjoitamme indikaattorin eri tavalla, saamme jälleen ongelmia: (eli saimme täysin erilaisen tuloksen!).

Tällaisten paradoksien välttämiseksi harkitse vain positiivinen kantaeksponentti murto-osalla.

Niin jos:

- luonnollinen luku;
on kokonaisluku;

Esimerkkejä:

Potenssit, joissa on rationaalinen eksponentti, ovat erittäin hyödyllisiä juurilla olevien lausekkeiden muuntamiseen, esimerkiksi:

5 esimerkkiä harjoituksista

Analyysi 5 esimerkistä koulutusta varten

No, nyt - vaikein. Nyt analysoimme aste irrationaalisella eksponentilla.

Kaikki asteiden säännöt ja ominaisuudet ovat tässä täsmälleen samat kuin rationaalisen eksponentin asteilla, lukuun ottamatta

Itse asiassa irrationaaliset luvut ovat määritelmän mukaan lukuja, joita ei voida esittää murtolukuna, missä ja ovat kokonaislukuja (eli irrationaaliset luvut ovat kaikki reaalilukuja paitsi rationaaliset luvut).

Kun tutkimme tutkintoja luonnollisella, kokonaisluvulla ja rationaalisella indikaattorilla, keksimme joka kerta tietyn "kuvan", "analogian" tai kuvauksen tutummin.

Esimerkiksi luonnollinen eksponentti on luku, joka kerrotaan itsellään useita kertoja;

...nolla teho- tämä on ikään kuin itsellään kerran kerrottu luku, eli se ei ole vielä alkanut kertoa, mikä tarkoittaa, että itse numero ei ole vielä edes ilmestynyt - siksi tulos on vain tietty "valmistelu numero”, nimittäin numero;

...negatiivinen kokonaisluku eksponentti- On kuin tietty "käänteinen prosessi" olisi tapahtunut, eli numeroa ei kerrottu itsestään, vaan jaettu.

Muuten, tiede käyttää usein astetta kompleksisella eksponentilla, eli eksponentti ei ole edes reaaliluku.

Mutta koulussa emme ajattele tällaisia vaikeuksia; sinulla on mahdollisuus ymmärtää nämä uudet käsitteet instituutissa.

MINNE OLEMME VARMUKSIA, ETTÄ MENET! (jos opit ratkaisemaan tällaisia esimerkkejä :))

Esimerkiksi:

Päätä itse:

Ratkaisujen analyysi:

1. Aloitetaan jo tavallisesta säännöstä tutkinnon nostamiseksi asteeksi:

Katso nyt tulos. Muistuttaako hän sinua jostain? Muistamme kaavan neliöiden eron lyhentämiseksi:

AT Tämä tapaus,

Osoittautuu, että:

Vastaus: .

2. Tuomme eksponenttimurtoluvut samaan muotoon: joko molemmat desimaalit tai molemmat tavalliset. Saamme esimerkiksi:

Vastaus: 16

3. Ei mitään erikoista, käytämme tavanomaisia asteiden ominaisuuksia:

EDISTYNYT TASO

Tutkinnon määritelmä

Aste on muodon ilmaisu: , jossa:

— tutkinnon perusta;
- eksponentti.

Aste luonnollisella eksponentilla (n = 1, 2, 3,...)

Luvun nostaminen luonnolliseen potenssiin n tarkoittaa luvun kertomista itsellään kertaa:

Potentti kokonaislukueksponentilla (0, ±1, ±2,...)

Jos eksponentti on positiivinen kokonaisluku määrä:

erektio nollatehoon:

Lauseke on epämääräinen, koska toisaalta missä tahansa asteessa on tämä, ja toisaalta mikä tahansa luku :nteen asteeseen asti on tämä.

Jos eksponentti on negatiivinen kokonaisluku määrä:

(koska sitä ei voi jakaa).

Vielä kerran nollasta: lauseketta ei ole määritelty tapauksessa. Jos sitten.

Esimerkkejä:

Aste rationaalisen eksponentin kanssa

- luonnollinen luku;
on kokonaisluku;

Esimerkkejä:

Tutkinnon ominaisuudet

Ongelmien ratkaisemisen helpottamiseksi yritetään ymmärtää: mistä nämä ominaisuudet ovat peräisin? Todistakaamme ne.

Katsotaanpa: mikä on ja?

A-priory:

Joten tämän lausekkeen oikealla puolella saadaan seuraava tuote:

Mutta määritelmän mukaan tämä on luvun potenssi, jossa on eksponentti, eli:

Q.E.D.

Esimerkki : Yksinkertaista lauseke.

Päätös : .

Esimerkki : Yksinkertaista lauseke.

Päätös : On tärkeää huomata, että säännössämme välttämättä pitää olla samat perusteet. Siksi yhdistämme asteet kantaan, mutta pysymme erillisenä tekijänä:

Toinen tärkeä huomautus: tämä sääntö - vain voimatuotteille!

Minun ei missään tapauksessa pidä kirjoittaa niin.

Aivan kuten edellisen ominaisuuden kanssa, siirrytään tutkinnon määritelmään:

Järjestetään se uudelleen näin:

Osoittautuu, että lauseke kerrotaan itsellään kerran, eli määritelmän mukaan tämä on luvun -:s potenssi:

Itse asiassa tätä voidaan kutsua "ilmaisimen haarukointiin". Mutta et voi koskaan tehdä tätä kokonaan:!

Muistetaan lyhennetyn kertolaskukaavat: kuinka monta kertaa halusimme kirjoittaa? Mutta se ei todellakaan ole totta.

Teho negatiivisella pohjalla.

Tähän asti olemme keskustelleet vain siitä, mitä pitäisi olla indikaattori tutkinnon. Mutta minkä pitäisi olla perusta? Asteina alkaen luonnollinen indikaattori perusteena voi olla mikä tahansa numero .

Voimme todellakin kertoa minkä tahansa luvun toisilla, olivat ne sitten positiivisia, negatiivisia tai parillisia. Ajatellaanpa, millä merkeillä (" " tai "") on positiivisten ja negatiivisten lukujen asteet?

Onko luku esimerkiksi positiivinen vai negatiivinen? MUTTA? ?

Ensimmäisen kanssa kaikki on selvää: riippumatta siitä, kuinka monta positiivista numeroa kerromme keskenään, tulos on positiivinen.

Mutta negatiiviset ovat hieman mielenkiintoisempia. Muistammehan yksinkertaisen säännön 6. luokalta: "miinus kertaa miinus antaa plussan." Eli tai. Mutta jos kerromme (:lla), saamme -.

Ja niin edelleen loputtomiin: jokaisen seuraavan kertolaskun yhteydessä merkki muuttuu. Voit muotoilla nämä yksinkertaiset säännöt:

jopa tutkinto, - numero positiivinen.
Negatiivinen luku korotettu arvoon outo tutkinto, - numero negatiivinen.
Positiivinen luku mille tahansa potenssille on positiivinen luku.
Nolla mihin tahansa tehoon on yhtä suuri kuin nolla.

Päätä itse, mikä merkki seuraavilla lauseilla on:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

onnistuitko? Tässä vastaukset:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Toivon, että neljässä ensimmäisessä esimerkissä kaikki on selvää? Katsomme yksinkertaisesti kantaa ja eksponenttia ja sovellamme asianmukaista sääntöä.

Esimerkissä 5) kaikki ei myöskään ole niin pelottavaa kuin näyttää: sillä ei ole väliä, mikä kanta on yhtä suuri - aste on parillinen, mikä tarkoittaa, että tulos on aina positiivinen. Paitsi silloin, kun perusarvo on nolla. Pohja ei ole sama, eihän? Ilmeisesti ei, koska (koska).

Esimerkki 6) ei ole enää niin yksinkertainen. Tässä sinun on selvitettävä, kumpi on vähemmän: vai? Jos muistat sen, se tulee selväksi, mikä tarkoittaa, että kanta on pienempi kuin nolla. Eli sovelletaan sääntöä 2: tulos on negatiivinen.

Ja taas käytämme tutkinnon määritelmää:

Kaikki on kuten tavallista - kirjoitamme muistiin asteiden määritelmät ja jaamme ne toisiinsa, jaamme ne pareiksi ja saamme:

Ennen kuin analysoimme viimeistä sääntöä, ratkaistaan muutama esimerkki.

Laske lausekkeiden arvot:

Ratkaisut :

Jos emme kiinnitä huomiota kahdeksanteen asteeseen, mitä me näemme tässä? Katsotaanpa 7. luokan ohjelmaa. Joten, muistatko? Tämä on lyhennetty kertolasku, eli neliöiden erotus!

Saamme:

Tarkastelemme nimittäjää huolellisesti. Se näyttää paljon yhdeltä osoittajatekijöistä, mutta mikä on vialla? Väärä termien järjestys. Jos ne käännetään, voitaisiin soveltaa sääntöä 3. Mutta miten tämä tehdään? Osoittautuu, että se on erittäin helppoa: nimittäjän parillinen aste auttaa meitä tässä.

Jos kerrot sen, mikään ei muutu, eikö niin? Mutta nyt se näyttää tältä:

Termit ovat maagisesti vaihtaneet paikkoja. Tämä "ilmiö" koskee mitä tahansa ilmaisua tasaisessa määrin: voimme vapaasti muuttaa suluissa olevia merkkejä. Mutta on tärkeää muistaa: kaikki merkit muuttuvat samaan aikaan! Sitä ei voi korvata muuttamalla vain yhtä meille sopimatonta miinusta!

Palataanpa esimerkkiin:

Ja taas kaava:

Eli nyt viimeinen sääntö:

Kuinka aiomme todistaa sen? Tietysti, kuten tavallista: laajennetaan tutkinnon käsitettä ja yksinkertaistetaan:

No, nyt avataan sulut. Kuinka monta kirjainta tulee olemaan? kertaa kertoimilla - miltä se näyttää? Tämä ei ole muuta kuin toiminnan määritelmä kertolasku: yhteensä oli kertoimia. Eli se on määritelmän mukaan luvun potenssi, jossa on eksponentti:

Esimerkki:

Aste irrationaalisella eksponentilla

Keskitason tutkintotietojen lisäksi analysoimme tutkinnon irrationaalisella indikaattorilla. Kaikki asteiden säännöt ja ominaisuudet ovat tässä täsmälleen samat kuin rationaalisen eksponentin asteella, sillä poikkeuksella - loppujen lopuksi irrationaaliset luvut ovat määritelmän mukaan lukuja, joita ei voida esittää murtolukuna, missä ja ovat kokonaislukuja (eli , irrationaaliset luvut ovat kaikki reaalilukuja paitsi rationaaliset luvut).

Kun tutkimme tutkintoja luonnollisella, kokonaisluvulla ja rationaalisella indikaattorilla, keksimme joka kerta tietyn "kuvan", "analogian" tai kuvauksen tutummin. Esimerkiksi luonnollinen eksponentti on luku, joka kerrotaan itsellään useita kertoja; nollaasteen luku on ikään kuin itsellään kerran kerrottu luku, eli se ei ole vielä alkanut kertoa, mikä tarkoittaa, että itse luku ei ole vielä edes ilmestynyt - siksi tulos on vain tietty "numeron valmistelu", nimittäin numero; aste negatiivisella kokonaisluvulla - on ikään kuin tietty "käänteinen prosessi" olisi tapahtunut, eli numeroa ei kerrottu itsestään, vaan se jaettiin.

On äärimmäisen vaikeaa kuvitella astetta irrationaalisen eksponentin kanssa (kuten on vaikea kuvitella 4-ulotteista avaruutta). Pikemminkin se on puhtaasti matemaattinen objekti, jonka matemaatikot ovat luoneet laajentaakseen asteen käsitteen koko lukuavaruuteen.

Muuten, tiede käyttää usein astetta kompleksisella eksponentilla, eli eksponentti ei ole edes reaaliluku. Mutta koulussa emme ajattele tällaisia vaikeuksia; sinulla on mahdollisuus ymmärtää nämä uudet käsitteet instituutissa.

Joten mitä teemme, jos näemme irrationaalisen eksponentin? Yritämme parhaamme päästä eroon siitä! :)

Esimerkiksi:

Päätä itse:

Vastaukset:

Muista neliöiden kaava. Vastaus:.
Tuomme murtoluvut samaan muotoon: joko molemmat desimaalit tai molemmat tavalliset. Saamme esimerkiksi: .
Ei mitään erikoista, käytämme asteiden tavanomaisia ominaisuuksia:

OSION YHTEENVETO JA PERUSKAAVA

Tutkinto kutsutaan lausekkeeksi muodossa: , jossa:

Aste kokonaislukueksponentilla

aste, jonka eksponentti on luonnollinen luku (eli kokonaisluku ja positiivinen).

Aste rationaalisen eksponentin kanssa

astetta, jonka indikaattori on negatiivinen ja murtoluku.

Aste irrationaalisella eksponentilla

eksponentti, jonka eksponentti on ääretön desimaalimurto tai juuri.

Tutkinnon ominaisuudet

Asteiden ominaisuudet.

Negatiivinen luku korotettu arvoon jopa tutkinto, - numero positiivinen.
Negatiivinen luku korotettu arvoon outo tutkinto, - numero negatiivinen.
Positiivinen luku mille tahansa potenssille on positiivinen luku.
Nolla on yhtä suuri kuin mikä tahansa teho.
Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri.

NYT SINULLA ON SANA...

Mitä pidät artikkelista? Kerro minulle alla olevissa kommenteissa, piditkö siitä vai et.

Kerro meille kokemuksistasi tehoominaisuuksista.

Ehkä sinulla on kysymyksiä. Tai ehdotuksia.

Kirjoita kommentteihin.

Ja onnea kokeisiin!

Yhdessä aiemmista artikkeleista mainitsimme jo luvun asteen. Tänään yritämme navigoida sen merkityksen löytämisprosessissa. Tieteellisesti puhuen selvitämme, kuinka eksponentioitetaan oikein. Ymmärrämme, kuinka tämä prosessi suoritetaan, koskettamalla samalla kaikkia mahdollisia eksponenteja: luonnollista, irrationaalista, rationaalista, kokonaisuutta.

Katsotaanpa siis tarkemmin esimerkkien ratkaisuja ja selvitetään, mitä se tarkoittaa:

Käsitteen määritelmä.
Nousu negatiiviseen taiteeseen.
Koko pistemäärä.
Numeron nostaminen irrationaaliseen potenssiin.

Tässä on määritelmä, joka heijastaa tarkasti merkitystä: "Potensseiksi korottaminen on luvun asteen arvon määritelmä."

Näin ollen luvun a rakentaminen Art. r ja asteen a arvon löytäminen eksponentin r kanssa ovat identtisiä käsitteitä. Jos tehtävänä on esimerkiksi laskea asteen arvo (0,6) 6 ″, niin se voidaan yksinkertaistaa lausekkeeksi "Nosta luku 0,6 potenssiin 6".

Sen jälkeen voit siirtyä suoraan rakennussääntöihin.

Nostaminen negatiiviseen voimaan

Selvyyden vuoksi sinun tulee kiinnittää huomiota seuraavaan ilmaisuketjuun:

110 \u003d 0,1 \u003d 1 * 10 in miinus 1 st.,

1100 \u003d 0,01 \u003d 1 * 10 miinus 2 vaiheessa.,

11000 \u003d 0,0001 \u003d 1 * 10 miinus 3 st.,

110000=0,00001=1*10 - miinus 4 astetta.

Näiden esimerkkien ansiosta näet selvästi kyvyn laskea välittömästi 10 mihin tahansa negatiiviseen potenssiin. Tätä tarkoitusta varten riittää, että siirrät desimaalikomponenttia:

10 - -1 aste - ennen yksikköä 1 nolla;
in -3 - kolme nollaa ennen yhtä;
-9 on 9 nollaa ja niin edelleen.

Tämän järjestelmän mukaan on myös helppo ymmärtää, kuinka paljon on 10 miinus 5 rkl. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Kuinka nostaa luku luonnolliseksi voimaksi

Määritelmää muistuttaessa otamme huomioon, että luonnollinen luku a taiteessa. n on n tekijän tulo, joista jokainen on yhtä suuri kuin a. Havainnollistetaan: (a * a * ... a) n, missä n on kerrottujen lukujen määrä. Vastaavasti a:n nostamiseksi n:ään on laskettava seuraavan muodon tulo: a * a * ... ja jaettava n:llä.

Tästä se tulee selväksi erektio luonnontaiteessa. perustuu kykyyn suorittaa kertolasku(tämä materiaali on käsitelty reaalilukujen kertomista käsittelevässä osiossa). Katsotaanpa ongelmaa:

Nosta -2 4. rkl.

Olemme tekemisissä luonnollisen indikaattorin kanssa. Näin ollen päätöksen kulku on seuraava: (-2) §:ssä. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Nyt on vain suoritettava kokonaislukujen kertolasku: (-2) * (-2) * (-2) * (-2). Saamme 16.

Vastaus tehtävään:

(-2) art. 4 = 16.

Esimerkki:

Laske arvo: kolmen pisteen kaksi seitsemäsosaa neliössä.

Tämä esimerkki vastaa seuraavaa tuotetta: kolme piste kaksi seitsemäs kertaa kolme piste kaksi seitsemäs. Muistaen kuinka sekalukujen kertolasku suoritetaan, saamme rakennuksen valmiiksi:

3 kokonaista 2 seitsemäsosaa kerrottuna itsestään;
vastaa 23 seitsemäsosaa kertaa 23 seitsemäsosaa;
on 529 neljäkymmentäyhdeksäsosaa;
vähennämme ja saamme 10 kolmekymmentäyhdeksän neljäkymmentäyhdeksäsosaa.

Vastaus: 10 39/49

Mitä tulee kysymykseen nostamisesta irrationaaliseen indikaattoriin, on huomattava, että laskelmia aletaan suorittaa sen jälkeen, kun asteen perustan alustava pyöristys on suoritettu johonkin arvoon, mikä mahdollistaisi arvon saamisen tietyllä tarkkuus. Esimerkiksi luku P (pi) on neliötettävä.

Aloitamme pyöristämällä P sadasosiksi ja saamme:

P neliö \u003d (3,14) 2 \u003d 9,8596. Jos kuitenkin vähennämme P kymmeneen tuhannesosaan, saadaan P = 3,14159. Sitten neliöinti saa täysin erilaisen numeron: 9.8695877281.

Tässä on huomattava, että monissa ongelmissa ei ole tarvetta nostaa irrationaalisia lukuja potenssiin. Pääsääntöisesti vastaus syötetään joko itse asiassa asteen muodossa, esimerkiksi 6:n juuri 3:n potenssiin, tai jos lauseke sallii, sen muunnos suoritetaan: 5:n juuri 7 asteeseen \u003d 125 juuri 5:stä.

Kuinka nostaa luku kokonaisluvun potenssiin

Tämä algebrallinen manipulointi on sopiva ottaa huomioon seuraavissa tapauksissa:

kokonaisluvuille;
nolla-indikaattorille;
positiiviselle kokonaisluvulle.

Koska melkein kaikki positiiviset kokonaisluvut osuvat yhteen luonnollisten lukujen massan kanssa, sen asettaminen positiiviseksi kokonaislukupotenssiksi on sama prosessi kuin sen asettaminen Art. luonnollinen. Olemme kuvanneet tätä prosessia edellisessä kappaleessa.

Puhutaanpa nyt Art:n laskemisesta. tyhjä. Olemme jo edellä todenneet, että luvun a nollapotenssi voidaan määrittää mille tahansa nollasta poikkeavalle a:lle (tosi), kun taas a:ssa st. 0 on yhtä kuin 1.

Näin ollen minkä tahansa reaaliluvun rakentaminen nollaan taidetta. antaa yhden.

Esimerkiksi 10 st.0=1, (-3.65)0=1 ja 0 st. 0 ei voida määrittää.

Jotta eksponentio voidaan suorittaa kokonaislukupotenssiin, on vielä päätettävä negatiivisten kokonaislukuarvojen vaihtoehdoista. Muistamme, että Art. alkaen a kokonaislukueksponentilla -z määritellään murtoluvuksi. Murtoluvun nimittäjässä on Art. positiivisella kokonaislukuarvolla, jonka arvon olemme jo oppineet löytämään. Nyt on vain harkittava esimerkkiä rakentamisesta.

Esimerkki:

Laske negatiivisella kokonaisluvulla kuutioidun luvun 2 arvo.

Ratkaisuprosessi:

Negatiivinen indikaattorin asteen määritelmän mukaan merkitsemme: kaksi miinus 3 rkl. vastaa yhdestä kahteen kolmanteen potenssiin.

Nimittäjä lasketaan yksinkertaisesti: kaksi kuutiota;

3 = 2*2*2=8.

Vastaus: kahdesta miinus 3. rkl. = yksi kahdeksasosa.

Ensimmäinen taso

Tutkinto ja sen ominaisuudet. Kattava opas (2019)

Miksi tutkintoja tarvitaan? Missä niitä tarvitset? Miksi sinun täytyy käyttää aikaa niiden tutkimiseen?

Lue tämä artikkeli, jos haluat oppia kaiken tutkinnoista, niiden tarkoituksesta ja tietojesi käyttämisestä jokapäiväisessä elämässä.

Ja tietysti tutkintojen tunteminen vie sinut lähemmäksi onnistuneesti OGE- tai Unified State -tutkintoa ja pääsyä unelmiesi yliopistoon.

Mennään... (Mennään!)

Tärkeä muistiinpano! Jos näet kaavojen sijaan hölynpölyä, tyhjennä välimuisti. Voit tehdä tämän painamalla CTRL+F5 (Windows) tai Cmd+R (Mac).

ENSIMMÄINEN TASO

Eksponenttioiminen on sama matemaattinen operaatio kuin yhteen-, vähennys-, kerto- tai jakolasku.

Nyt selitän kaiken ihmiskielellä käyttäen hyvin yksinkertaisia esimerkkejä. Kiinnittää huomiota. Esimerkit ovat alkeellisia, mutta selittävät tärkeitä asioita.

Aloitetaan lisäyksellä.

Tässä ei ole mitään selitettävää. Tiedät jo kaiken: meitä on kahdeksan. Jokaisessa on kaksi pulloa colaa. Paljonko colaa? Aivan oikein - 16 pulloa.

Nyt kertolasku.

Joten, jotta voit laskea nopeammin, helpommin ja ilman virheitä, sinun on vain muistettava kertotaulu. Tietysti kaiken voi tehdä hitaammin, kovemmin ja virhein! Mutta…

Tässä on kertotaulukko. Toistaa.

Ja toinen, kauniimpi:

Ja mitä muita hankalia laskentatemppuja laiskot matemaatikot keksivät? Oikein - luvun nostaminen potenssiin.

Numeron nostaminen potenssiin

Tätä varten tarvitset vain muista, mikä on korostettu värillä lukujen potenssitaulukossa. Usko minua, se tekee elämästäsi paljon helpompaa.

Muuten, miksi toista tutkintoa kutsutaan neliö- numerot ja kolmas kuutio? Mitä se tarkoittaa? Erittäin hyvä kysymys. Nyt sinulla on sekä neliöitä että kuutioita.

Esimerkki tosielämästä #1

Aloitetaan neliöstä tai luvun toisesta potenssista.

Esimerkki tosielämästä #2

Esimerkki tosielämästä #3

Jää vain muistaa astetaulukko. Ellei tietysti ole yhtä laiska ja ovela kuin matemaatikot. Jos haluat työskennellä kovasti ja tehdä virheitä, voit jatkaa laskemista sormella.

Esimerkki tosielämästä #4

Esimerkki tosielämästä #5

Nyt tiedät, että nostamalla luvun arvoon, teet elämästäsi paljon helpompaa. Katsotaanpa tarkemmin, mitä voit tehdä tutkinnoilla ja mitä sinun on tiedettävä niistä.

Termit ja käsitteet ... jotta ei menisi sekaisin

No samaan aikaan mitä sellainen tutkintopohja? Vielä yksinkertaisempi on numero, joka on alareunassa, pohjassa.

Tässä on kuva varmuuden vuoksi.

No, yleisesti ottaen, yleistääksesi ja muistaaksemme paremmin ... Tutkinto, jonka kanta on "" ja indikaattori "", luetaan "asteena" ja kirjoitetaan seuraavasti:

Luvun potenssi luonnollisella eksponentilla

On myös irrationaalisia lukuja. Mitä nämä luvut ovat? Lyhyesti sanottuna ääretön desimaaliluku. Jos esimerkiksi jaat ympyrän kehän halkaisijalla, saat irrationaalisen luvun.

Yhteenveto:

Määrittelemme asteen käsite, jonka eksponentti on luonnollinen luku (eli kokonaisluku ja positiivinen).

Mikä tahansa luku ensimmäiseen potenssiin on yhtä suuri kuin itsensä:
Numeron neliöinti tarkoittaa sen kertomista itsellään:
Luvun kuutioiminen tarkoittaa sen kertomista itsellään kolme kertaa:

Määritelmä. Luvun nostaminen luonnolliseen potenssiin tarkoittaa luvun kertomista itsellään kertaa:
.

Tutkinnon ominaisuudet

Mistä nämä ominaisuudet ovat peräisin? Näytän sinulle nyt.

Katsotaan mikä on ja ?

A-priory:

Kuinka monta kerrointa on yhteensä?

Se on hyvin yksinkertaista: lisäsimme tekijöitä tekijöihin, ja tulos on tekijöitä.

Mutta määritelmän mukaan tämä on luvun aste, jossa on eksponentti, eli: , joka oli todistettava.

Esimerkki: Yksinkertaista lauseke.

Päätös:

Esimerkki: Yksinkertaista ilmaisu.

Päätös: On tärkeää huomata se säännössämme välttämättä täytyy olla sama syy!
Siksi yhdistämme asteet kantaan, mutta pysymme erillisenä tekijänä:

vain voimatuotteille!

Älä missään tapauksessa saa kirjoittaa niin.

2. eli -luvun potenssi

Aivan kuten edellisen ominaisuuden kanssa, siirrytään tutkinnon määritelmään:

Osoittautuu, että lauseke kerrotaan itsellään kerran, eli määritelmän mukaan tämä on luvun potenssi:

Itse asiassa tätä voidaan kutsua "ilmaisimen haarukointiin". Mutta et voi koskaan tehdä tätä kokonaisuudessaan:

Muistetaan lyhennetyn kertolaskukaavat: kuinka monta kertaa halusimme kirjoittaa?

Mutta se ei todellakaan ole totta.

Negatiivinen tutkinto

Tähän asti olemme keskustelleet vain siitä, mikä eksponentin tulisi olla.

Mutta minkä pitäisi olla perusta?

Ajatellaanpa, millä merkeillä (" " tai "") on positiivisten ja negatiivisten lukujen asteet?

Mutta negatiiviset ovat hieman mielenkiintoisempia. Muistammehan yksinkertaisen säännön 6. luokalta: "miinus kertaa miinus antaa plussan." Eli tai. Mutta jos kerromme, niin se käy.

Päätä itse, mikä merkki seuraavilla lauseilla on:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

onnistuitko?

Tässä ovat vastaukset: Toivon, että neljässä ensimmäisessä esimerkissä kaikki on selvää? Katsomme yksinkertaisesti kantaa ja eksponenttia ja sovellamme asianmukaista sääntöä.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Esimerkissä 5) kaikki ei myöskään ole niin pelottavaa kuin näyttää: sillä ei ole väliä, mikä kanta on yhtä suuri - aste on parillinen, mikä tarkoittaa, että tulos on aina positiivinen.

Paitsi silloin, kun perusarvo on nolla. Pohja ei ole sama, eihän? Ilmeisesti ei, koska (koska).

Esimerkki 6) ei ole enää niin yksinkertainen!

6 esimerkkiä harjoituksista

Ratkaisun analyysi 6 esimerkkiä

Jos emme kiinnitä huomiota kahdeksanteen asteeseen, mitä me näemme tässä? Katsotaanpa 7. luokan ohjelmaa. Joten, muistatko? Tämä on lyhennetty kertolasku, eli neliöiden erotus! Saamme:

Mutta miten se tehdään? Osoittautuu, että se on erittäin helppoa: nimittäjän parillinen aste auttaa meitä tässä.

Termit ovat maagisesti vaihtaneet paikkoja. Tämä "ilmiö" koskee mitä tahansa ilmaisua tasaisessa määrin: voimme vapaasti muuttaa suluissa olevia merkkejä.

Mutta on tärkeää muistaa: kaikki merkit muuttuvat samaan aikaan!

Palataanpa esimerkkiin:

Ja taas kaava:

koko nimeämme luonnolliset luvut, niiden vastakohdat (eli otettuna merkillä "") ja luvun.

positiivinen kokonaisluku, ja se ei eroa luonnollisesta, niin kaikki näyttää täsmälleen samalta kuin edellisessä osiossa.

Katsotaan nyt uusia tapauksia. Aloitetaan indikaattorilla, joka on yhtä suuri kuin.

Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi:

Kuten aina, kysymme itseltämme: miksi näin on?

Harkitse pohjan tehoa. Otetaan esimerkiksi ja kerrotaan:

Joten kerroimme luvun ja saimme saman kuin se oli -. Millä luvulla pitää kertoa, ettei mikään muutu? Aivan oikein, päällä. Keinot.

Voimme tehdä saman mielivaltaisella numerolla:

Toistetaan sääntö:

Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi.

Mutta moniin sääntöihin on poikkeuksia. Ja tässä se on myös siellä - tämä on numero (pohjana).

Täältä on jo helppo ilmaista haluttu:

Laajennamme nyt tuloksena olevaa sääntöä mielivaltaiseen määrään:

Joten muotoillaan sääntö:

Luku negatiiviselle potenssille on saman luvun käänteisarvo positiiviselle potenssille. Mutta samaan aikaan kanta ei voi olla tyhjä:(koska sitä ei voi jakaa).

Tehdään yhteenveto:

I. Lauseketta ei ole määritetty tapaukselle. Jos sitten.

II. Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi: .

III. Luku, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla negatiiviseen potenssiin, on saman luvun käänteisarvo positiiviselle potenssille: .

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun:

No, kuten tavallista, esimerkkejä itsenäisestä ratkaisusta:

Tehtävien analyysi itsenäistä ratkaisua varten:

Jatketaan eksponentiksi "sopivien" lukujen valikoiman laajentamista.

Harkitse nyt rationaalisia lukuja. Mitä lukuja kutsutaan rationaalisiksi?

Vastaus: kaikki mikä voidaan esittää murtolukuna, missä ja ovat lisäksi kokonaislukuja.

Ymmärtääkseen mikä on "murto-aste" Tarkastellaanpa murto-osaa:

Nostetaan yhtälön molemmat puolet potenssiksi:

Muista nyt sääntö "asteesta asteeseen":

Mikä luku täytyy nostaa potenssiin saadakseen?

Tämä muotoilu on th asteen juuren määritelmä.

Muistutan teitä: luvun th:n potenssin juuri () on luku, joka potenssiin korotettuna on yhtä suuri.

Toisin sanoen th asteen juuri on eksponentioinnin käänteisoperaatio: .

Siitä käy ilmi. Ilmeisesti tätä erikoistapausta voidaan jatkaa: .

Lisää nyt osoittaja: mikä se on? Vastaus on helppo saada tehosta tehoon -säännöllä:

Mutta voiko kanta olla mikä tahansa luku? Kaikista luvuista ei loppujen lopuksi voida erottaa juuria.

Ei mitään!

Muista sääntö: mikä tahansa parilliseen potenssiin korotettu luku on positiivinen luku. Eli negatiivisista luvuista on mahdotonta erottaa parillisen asteen juuria!

Ja tämä tarkoittaa, että tällaisia lukuja ei voida nostaa murto-osaan, jolla on parillinen nimittäjä, eli lausekkeessa ei ole järkeä.

Entä ilmaisu?

Mutta tässä syntyy ongelma.

Luku voidaan esittää muina, pelkistetyinä murtoina, esimerkiksi tai.

Ja käy ilmi, että se on olemassa, mutta ei ole olemassa, ja nämä ovat vain kaksi eri tietuetta, joilla on sama numero.

Tai toinen esimerkki: kerran, sitten voit kirjoittaa sen muistiin. Mutta heti kun kirjoitamme indikaattorin eri tavalla, saamme jälleen ongelmia: (eli saimme täysin erilaisen tuloksen!).

Tällaisten paradoksien välttämiseksi harkitse vain positiivinen kantaeksponentti murto-osalla.

Niin jos:

- luonnollinen luku;
on kokonaisluku;