Mikä on todennäköisyys?

Ensimmäistä kertaa kun törmäsin tähän termiin, en olisi ymmärtänyt mitä se oli. Siksi yritän selittää selkeästi.

Todennäköisyys on mahdollisuus, että haluamamme tapahtuma tapahtuu.

Esimerkiksi päätit mennä ystäväsi luo, muistat sisäänkäynnin ja jopa kerroksen, jolla hän asuu. Mutta unohdin asunnon numeron ja sijainnin. Ja nyt seisot portaissa, ja edessäsi on ovet, joista valita.

Mikä on todennäköisyys (todennäköisyys), että jos soitat ensimmäistä ovikelloa, ystäväsi avaa oven puolestasi? On vain asuntoja, ja ystävä asuu vain yhden takana. Yhtälailla voimme valita minkä tahansa oven.

Mutta mikä tämä mahdollisuus on?

Ovi, oikea ovi. Arvauksen todennäköisyys soittamalla ensimmäistä ovikelloa: . Eli yhden kerran kolmesta arvaat tarkasti.

Haluamme tietää kerran soiteltuamme, kuinka usein arvaamme oven? Katsotaanpa kaikkia vaihtoehtoja:

1. Sinä soitit 1 ovi
2. Sinä soitit 2 ovi
3. Sinä soitit 3 ovi

Katsotaanpa nyt kaikkia vaihtoehtoja, joissa ystävä voisi olla:

A. Takana 1 ovi
b. Takana 2 ovi
V. Takana 3 ovi

Verrataan kaikkia vaihtoehtoja taulukkomuodossa. Valintamerkki osoittaa vaihtoehdot, kun valintasi osuu ystävän sijaintiin, risti - kun se ei ole sama.

Miten näet kaiken Voi olla vaihtoehtoja ystäväsi sijainti ja valintasi, mihin oveen soitat.

A myönteisiä tuloksia kaikille . Eli arvaat kerran soittamalla ovikelloa kerran, ts. .

Tämä on todennäköisyys - suotuisan lopputuloksen suhde (kun valintasi on sama kuin ystäväsi sijainti) mahdollisten tapahtumien määrään.

Määritelmä on kaava. Todennäköisyys merkitään yleensä p:llä, joten:

Ei ole kovin kätevää kirjoittaa tällaista kaavaa, joten otamme huomioon - myönteisten tulosten lukumäärän ja - tulosten kokonaismäärän.

Todennäköisyys voidaan kirjoittaa prosentteina tätä varten, sinun on kerrottava tuloksena saatu tulos:

Sana "tulokset" luultavasti pisti silmään. Koska matemaatikot kutsuvat erilaisia ​​​​toimintoja (meissämme tällainen toiminta on ovikello) kokeiksi, tällaisten kokeiden tulosta kutsutaan yleensä tulokseksi.

No, on myönteisiä ja kielteisiä tuloksia.

Palataanpa esimerkkiimme. Oletetaan, että soitimme yhdelle ovesta, mutta vieras avasi sen meille. Emme arvannut oikein. Millä todennäköisyydellä jos soitamme johonkin jäljellä olevista ovista, ystävämme avaa sen meille?

Jos ajattelit niin, tämä on virhe. Selvitetään se.

Meillä on kaksi ovea jäljellä. Meillä on siis mahdollisia vaiheita:

1) Soita 1 ovi
2) Soita 2 ovi

Ystävä kaikesta tästä huolimatta on ehdottomasti yhden heistä takana (hän ​​ei loppujen lopuksi ollut sen takana, jolle soitimme):

a) ystävä 1 ovi
b) Ystävä puolesta 2 ovi

Piirretään taulukko uudelleen:

Kuten näette, on vain vaihtoehtoja, joista suotuisia. Eli todennäköisyys on sama.

Miksi ei?

Tilanne, jota harkitsimme, on esimerkki riippuvaisista tapahtumista. Ensimmäinen tapahtuma on ensimmäinen ovikello, toinen tapahtuma on toinen ovikello.

Ja niitä kutsutaan riippuviksi, koska ne vaikuttavat seuraaviin toimiin. Loppujen lopuksi, jos ystävä vastasi ovikelloon ensimmäisen soiton jälkeen, millä todennäköisyydellä hän oli toisen takana? Oikein,.

Mutta jos on riippuvaisia ​​tapahtumia, niin täytyy myös olla riippumaton? Aivan oikein, niitä tapahtuu.

Oppikirjaesimerkki on kolikon heittäminen.

1. Heitä kolikko kerran. Mikä on todennäköisyys saada esimerkiksi päitä? Aivan oikein - koska kaikki vaihtoehdot ovat olemassa (joko päät tai hännät, jätämme huomiotta kolikon todennäköisyyden putoamisen reunaan), mutta se sopii vain meille.
2. Mutta se nousi päähän. Okei, heitetään se uudestaan. Mikä on todennäköisyys saada päät nyt? Mikään ei ole muuttunut, kaikki on ennallaan. Kuinka monta vaihtoehtoa? Kaksi. Kuinka monen kanssa olemme tyytyväisiä? Yksi.

Ja anna sen tulla esiin ainakin tuhat kertaa peräkkäin. Todennäköisyys saada päät kerralla on sama. Vaihtoehtoja on aina, ja edullisia.

Riippuvaiset tapahtumat on helppo erottaa itsenäisistä:

1. Jos koe suoritetaan kerran (heitetään kolikko kerran, soitetaan ovikelloa kerran jne.), tapahtumat ovat aina riippumattomia.
2. Jos koe suoritetaan useita kertoja (kolikko heitetään kerran, ovikelloa soitetaan useita kertoja), ensimmäinen tapahtuma on aina riippumaton. Ja sitten, jos myönteisten määrä tai kaikkien tulosten määrä muuttuu, tapahtumat ovat riippuvaisia, ja jos eivät, ne ovat riippumattomia.

Harjoitellaan hieman todennäköisyyden määrittämistä.

Esimerkki 1.

Kolikkoa heitetään kahdesti. Mikä on todennäköisyys saada päät kahdesti peräkkäin?

Ratkaisu:

Harkitse kaikkia mahdollisia vaihtoehtoja:

1. Kotka-kotka
2. Päät-hännät
3. Tails-Heads
4. Hännät-hännät

Kuten näet, on vain vaihtoehtoja. Näistä olemme vain tyytyväisiä. Eli todennäköisyys:

Jos ehto vain pyytää sinua löytämään todennäköisyyden, niin vastaus on annettava desimaalimurtoluvun muodossa. Jos määritettäisiin, että vastaus tulee antaa prosentteina, niin kerrottaisiin luvulla.

Vastaus:

Esimerkki 2.

Suklaarasiassa kaikki suklaat on pakattu samaan kääreeseen. Kuitenkin makeisista - pähkinöillä, konjakilla, kirsikoilla, karamellilla ja nougatilla.

Millä todennäköisyydellä otat yhden karkin ja saat pähkinöivän karkin? Ilmoita vastauksesi prosentteina.

Ratkaisu:

Kuinka monta mahdollista lopputulosta on? .

Eli jos otat yhden karkin, se on yksi laatikossa olevista.

Kuinka monta suotuisaa tulosta?

Koska laatikko sisältää vain suklaata pähkinöillä.

Vastaus:

Esimerkki 3.

Ilmapallolaatikossa. joista valkoisia ja mustia.

1. Millä todennäköisyydellä piirretään valkoinen pallo?
2. Lisäsimme laatikkoon mustia palloja. Mikä on nyt todennäköisyys vetää valkoinen pallo?

Ratkaisu:

a) Laatikon sisällä on vain palloja. Niistä valkoisia.

Todennäköisyys on:

b) Nyt laatikossa on enemmän palloja. Ja valkoisia on jäljellä yhtä monta - .

Vastaus:

Kokonaistodennäköisyys

Kaikkien mahdollisten tapahtumien todennäköisyys on yhtä suuri kuin ().

Oletetaan, että laatikossa on punaisia ​​ja vihreitä palloja. Millä todennäköisyydellä piirretään punainen pallo? Vihreä pallo? Punainen vai vihreä pallo?

Punaisen pallon piirtämisen todennäköisyys

Vihreä pallo:

Punainen tai vihreä pallo:

Kuten näet, kaikkien mahdollisten tapahtumien summa on yhtä suuri kuin (). Tämän kohdan ymmärtäminen auttaa sinua ratkaisemaan monia ongelmia.

Esimerkki 4.

Laatikossa on merkkejä: vihreä, punainen, sininen, keltainen, musta.

Mikä on todennäköisyys piirtää EI punaista merkkiä?

Ratkaisu:

Lasketaan numero myönteisiä tuloksia.

EI punainen merkki, se tarkoittaa vihreää, sinistä, keltaista tai mustaa.

Kaikkien tapahtumien todennäköisyys. Ja niiden tapahtumien todennäköisyys, joita pidämme epäsuotuisina (kun otamme pois punaisen merkin), on .

Näin ollen todennäköisyys vetää esiin EI punainen huopakynä on .

Vastaus:

Todennäköisyys, että tapahtumaa ei tapahdu, on yhtä suuri kuin miinus todennäköisyys, että tapahtuma tapahtuu.

Sääntö itsenäisten tapahtumien todennäköisyyksien kertomisesta

Tiedät jo, mitä itsenäiset tapahtumat ovat.

Entä jos sinun on löydettävä todennäköisyys, että kaksi (tai useampi) riippumaton tapahtuma tapahtuu peräkkäin?

Oletetaan, että haluamme tietää, mikä on todennäköisyys, että jos heitämme kolikon kerran, näemme päät kahdesti?

Olemme jo harkinneet - .

Entä jos heitämme kolikon kerran? Mikä on todennäköisyys nähdä kotka kahdesti peräkkäin?

Mahdollisia vaihtoehtoja yhteensä:

1. Kotka-kotka-kotka
2. Päät-päät-hännät
3. Päät-hännät-päät
4. Päät-hännät-hännät
5. Hännät-päät-päät
6. Hännät-päät-hännät
7. Hännät-hännät-päät
8. Hännät-hännät-hännät

En tiedä teistä, mutta tein virheitä useita kertoja laatiessani tätä luetteloa. Vau! Ja ainoa vaihtoehto (ensimmäinen) sopii meille.

5 heittoa varten voit tehdä itse listan mahdollisista tuloksista. Mutta matemaatikot eivät ole yhtä ahkeria kuin sinä.

Siksi he ensin huomasivat ja sitten osoittivat, että tietyn itsenäisten tapahtumien sarjan todennäköisyys pienenee joka kerta yhden tapahtuman todennäköisyydellä.

Toisin sanoen,

Katsotaanpa esimerkkiä samasta epäonnisesta kolikosta.

Todennäköisyys joutua haasteeseen? . Heitämme nyt kolikon kerran.

Mikä on todennäköisyys saada päät peräkkäin?

Tämä sääntö ei toimi vain, jos meitä pyydetään selvittämään todennäköisyys, että sama tapahtuma tapahtuu useita kertoja peräkkäin.

Jos halusimme löytää sekvenssin TAILS-HEADS-TAILS peräkkäisille heittoille, tekisimme samoin.

Päiden laskeutumisen todennäköisyys on - , päät - .

Todennäköisyys saada sekvenssi TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

Voit tarkistaa asian itse tekemällä taulukon.

Sääntö yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyyksien lisäämiseksi.

Joten lopeta! Uusi määritelmä.

Selvitetään se. Otetaan kulunut kolikkomme ja heitetään se kerran.
Mahdolliset vaihtoehdot:

1. Kotka-kotka-kotka
2. Päät-päät-hännät
3. Päät-hännät-päät
4. Päät-hännät-hännät
5. Hännät-päät-päät
6. Hännät-päät-hännät
7. Hännät-hännät-päät
8. Hännät-hännät-hännät

Joten yhteensopimattomat tapahtumat ovat tietty, annettu tapahtumasarja. - Nämä ovat yhteensopimattomia tapahtumia.

Jos haluamme määrittää, mikä on kahden (tai useamman) yhteensopimattoman tapahtuman todennäköisyys, lisäämme näiden tapahtumien todennäköisyydet.

Sinun on ymmärrettävä, että pää tai häntä ovat kaksi itsenäistä tapahtumaa.

Jos haluamme määrittää sekvenssin (tai minkä tahansa muun) esiintymisen todennäköisyyden, käytämme todennäköisyyksien kertomissääntöä.
Mikä on todennäköisyys saada päät ensimmäisellä heitolla ja hännät toisella ja kolmannella heitolla?

Mutta jos haluamme tietää, mikä on todennäköisyys saada yksi useista sarjoista, esimerkiksi kun päät tulevat esiin tasan kerran, ts. vaihtoehdot ja sitten meidän on laskettava yhteen näiden sekvenssien todennäköisyydet.

Kokonaisvaihtoehdot sopivat meille.

Saamme saman asian laskemalla yhteen kunkin sekvenssin esiintymistodennäköisyydet:

Siksi lisäämme todennäköisyyksiä, kun haluamme määrittää tiettyjen, epäjohdonmukaisten tapahtumasarjojen todennäköisyyden.

On olemassa loistava sääntö, joka auttaa sinua välttämään hämmennystä, milloin kerrotaan ja milloin lisätään:

Palataanpa esimerkkiin, jossa heitimme kolikon kerran ja halusimme tietää todennäköisyyden nähdä päitä kerran.
Mitä tulee tapahtumaan?

Pitäisi pudota:
(heads AND tails AND tails) TAI (hännät JA päät AND tails) TAI (hännät JA hännät JA päät).
Näin se käy:

Katsotaanpa muutamia esimerkkejä.

Esimerkki 5.

Laatikossa on kyniä. punainen, vihreä, oranssi ja keltainen ja musta. Mikä on todennäköisyys piirtää punaisia ​​tai vihreitä kyniä?

Ratkaisu:

Mitä tulee tapahtumaan? Meidän on vedettävä (punainen TAI vihreä).

Nyt on selvää, lasketaan yhteen näiden tapahtumien todennäköisyydet:

Vastaus:

Esimerkki 6.

Jos noppaa heitetään kahdesti, mikä on todennäköisyys saada yhteensä 8?

Ratkaisu.

Kuinka voimme saada pisteitä?

(ja) tai (ja) tai (ja) tai (ja) tai (ja).

Todennäköisyys saada yksi (mikä tahansa) kasvo on .

Laskemme todennäköisyyden:

Vastaus:

Koulutus.

Luulen, että nyt ymmärrät, milloin sinun on laskettava todennäköisyydet, milloin ne lisätään ja milloin kerrotaan. Eikö ole? Harjoitellaan vähän.

Tehtävät:

Otetaan korttipakka, joka sisältää kortteja, kuten pataa, sydäntä, 13 mailaa ja 13 timanttia. Jokaisesta maasta ässään.

1. Millä todennäköisyydellä mailoja vedetään peräkkäin (laitamme ensimmäisen ulos vedetyn kortin takaisin pakkaan ja sekoitamme sen)?
2. Millä todennäköisyydellä nostetaan musta kortti (pata tai maila)?
3. Millä todennäköisyydellä piirretään kuva (jakki, kuningatar, kuningas tai ässä)?
4. Millä todennäköisyydellä piirretään kaksi kuvaa peräkkäin (poistetaan pakasta ensimmäinen vedetty kortti)?
5. Millä todennäköisyydellä saadaan kaksi korttia yhdistelmä - (jätkä, rouva tai kuningas) ja ässä. Korttien vetojärjestyksellä ei ole väliä?

Vastaukset:

1. Kunkin arvon korttipakassa se tarkoittaa:
2. Tapahtumat ovat riippuvaisia, sillä kun ensimmäinen kortti vedettiin ulos, korttien määrä pakassa väheni (kuten myös "kuvien" määrä). Pakassa on aluksi yhteensä jätkät, rouvat, kuninkaat ja ässät, mikä tarkoittaa todennäköisyyttä nostaa "kuva" ensimmäisellä kortilla:

   Koska poistamme ensimmäisen kortin pakasta, se tarkoittaa, että pakassa on jo kortteja jäljellä, mukaan lukien kuvat. Todennäköisyys piirtää kuva toisella kortilla:

   Koska olemme kiinnostuneita tilanteesta, kun otamme "kuvan" JA "kuvan" kannelta, meidän on kerrottava todennäköisyydet:

   Vastaus:

3. Kun ensimmäinen kortti on vedetty ulos, pakassa olevien korttien määrä vähenee. Näin ollen meille sopii kaksi vaihtoehtoa:
   1) Ensimmäinen kortti on ässä, toinen on Jack, Queen tai King
   2) Otamme jätkän, kuningattaren tai kuninkaan ensimmäisellä kortilla ja ässän toisella. (ässä ja (jakki tai kuningatar tai kuningas)) tai ((jätkä tai kuningatar tai kuningas) ja ässä). Älä unohda vähentää korttien määrää pakassa!

Jos pystyit ratkaisemaan kaikki ongelmat itse, olet hieno! Nyt murskaat todennäköisyysteorian ongelmia Unified State Examissa kuin pähkinöitä!

TODENNÄKÖISYYSTEORIA. KESKITASO

Katsotaanpa esimerkkiä. Sanotaan, että heitämme noppaa. Millainen luu tämä on, tiedätkö? Tätä he kutsuvat kuutioksi, jonka etupuolella on numeroita. Kuinka monta kasvoa, niin monta numeroa: kuinka monta? Ennen.

Joten heitämme noppaa ja haluamme sen nousevan tai. Ja me saamme sen.

Todennäköisyysteoriassa he sanovat mitä tapahtui lupaava tapahtuma(ei pidä sekoittaa vauraaseen).

Jos niin tapahtuisi, tapahtuma olisi myös myönteinen. Yhteensä vain kaksi suotuisaa tapahtumaa voi tapahtua.

Kuinka moni on epäsuotuisa? Koska mahdollisia tapahtumia on yhteensä, se tarkoittaa, että epäsuotuisat ovat tapahtumia (tämä on jos tai putoaa pois).

Määritelmä:

Todennäköisyys on suotuisten tapahtumien määrän suhde kaikkien mahdollisten tapahtumien määrään. Toisin sanoen todennäköisyys osoittaa, kuinka suuri osa kaikista mahdollisista tapahtumista on suotuisia.

Ne merkitsevät todennäköisyyttä latinalaisella kirjaimella (ilmeisesti englanninkielisestä sanasta probability - probability).

Todennäköisyys on tapana mitata prosentteina (katso aiheet ja). Tätä varten todennäköisyysarvo on kerrottava. Noppaesimerkissä todennäköisyys.

Ja prosentteina: .

Esimerkkejä (päätä itse):

1. Millä todennäköisyydellä saa päätä heittäessäsi kolikkoa? Mikä on todennäköisyys päiden laskeutumiseen?
2. Mikä on todennäköisyys saada parillinen luku noppaa heittäessä? Ja kumpi on outo?
3. Yksinkertaisten, sinisten ja punaisten kynien laatikossa. Piirrämme yhden lyijykynän satunnaisesti. Mikä on todennäköisyys saada yksinkertainen?

Ratkaisut:

1. Kuinka monta vaihtoehtoa on? Päät ja hännät - vain kaksi. Kuinka moni heistä on suotuisa? Vain yksi on kotka. Todennäköisyys siis

   Sama koskee häntää: .

2. Vaihtoehdot yhteensä: (kuinka monta sivua kuutiolla on, niin monta eri vaihtoehtoa). Suotuisat: (nämä ovat kaikki parillisia lukuja:).
   Todennäköisyys. Tietysti sama on parittomien numeroiden kanssa.
3. Kaikki yhteensä: . Edullinen: . Todennäköisyys: .

Kokonaistodennäköisyys

Kaikki laatikon kynät ovat vihreitä. Millä todennäköisyydellä piirretään punainen kynä? Ei ole mahdollisuuksia: todennäköisyys (loppujen lopuksi suotuisat tapahtumat -).

Tällaista tapahtumaa kutsutaan mahdottomaksi.

Millä todennäköisyydellä piirretään vihreä kynä? Suotuisia tapahtumia on täsmälleen sama määrä kuin tapahtumia yhteensä (kaikki tapahtumat ovat suotuisia). Todennäköisyys on siis yhtä suuri kuin tai.

Tällaista tapahtumaa kutsutaan luotettavaksi.

Jos laatikko sisältää vihreitä ja punaisia ​​kyniä, mikä on todennäköisyys piirtää vihreää tai punaista? Taas. Huomaa tämä: todennäköisyys vetää ulos vihreä on yhtä suuri ja punainen on yhtä suuri.

Yhteenvetona nämä todennäköisyydet ovat täsmälleen yhtä suuret. Tuo on, kaikkien mahdollisten tapahtumien todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin tai.

Esimerkki:

Kynälaatikossa on sinisiä, punaisia, vihreitä, tavallisia, keltaisia ​​ja loput oransseja. Mikä on todennäköisyys, että ei piirrä vihreää?

Ratkaisu:

Muistamme, että kaikki todennäköisyydet laskevat yhteen. Ja vihreäksi tulemisen todennäköisyys on sama. Tämä tarkoittaa, että todennäköisyys, että vihreää ei piirretä, on yhtä suuri.

Muista tämä temppu: Todennäköisyys, että tapahtumaa ei tapahdu, on yhtä suuri kuin miinus todennäköisyys, että tapahtuma tapahtuu.

Itsenäiset tapahtumat ja kertolasääntö

Heität kolikon kerran ja haluat sen nousevan molemmilla kerroilla. Mikä on tämän todennäköisyys?

Käydään läpi kaikki mahdolliset vaihtoehdot ja määritetään kuinka monta niitä on:

Päät-päät, hännät-päät, päät-hännät, hännät-hännät. Mitä muuta?

Vaihtoehdot yhteensä. Näistä vain yksi sopii meille: Eagle-Eagle. Kaiken kaikkiaan todennäköisyys on sama.

Hieno. Heitetään nyt kolikko kerran. Laske itse. Tapahtui? (vastaus).

Olet ehkä huomannut, että jokaisen seuraavan heiton lisäämisen todennäköisyys pienenee puoleen. Yleissääntö on ns kertolasku sääntö:

Itsenäisten tapahtumien todennäköisyys muuttuu.

Mitä ovat itsenäiset tapahtumat? Kaikki on loogista: nämä ovat niitä, jotka eivät ole riippuvaisia ​​toisistaan. Esimerkiksi kun heitämme kolikkoa useita kertoja, joka kerta heitetään uusi heitto, jonka tulos ei riipu kaikista aikaisemmista heitoista. Voimme yhtä helposti heittää kahta eri kolikkoa samanaikaisesti.

Lisää esimerkkejä:

1. Noppia heitetään kahdesti. Mikä on todennäköisyys, että se tulee esiin molemmilla kerroilla?
2. Kolikko heitetään kerran. Millä todennäköisyydellä se nousee päätä ensimmäistä kertaa ja sitten kahdesti?
3. Pelaaja heittää kahta noppaa. Millä todennäköisyydellä niissä olevien lukujen summa on yhtä suuri?

Vastaukset:

1. Tapahtumat ovat riippumattomia, mikä tarkoittaa, että kertosääntö toimii: .
2. Pään todennäköisyys on yhtä suuri. Hännän todennäköisyys on sama. Kerro:
3. 12 voidaan saada vain, jos heitetään kaksi -ki:tä: .

Yhteensopimattomat tapahtumat ja lisäyssääntö

Tapahtumia, jotka täydentävät toisiaan täydelliseen todennäköisyyteen asti, kutsutaan yhteensopimattomiksi. Kuten nimestä voi päätellä, ne eivät voi tapahtua samanaikaisesti. Jos esimerkiksi käännämme kolikon, se voi nousta ylös tai päähän.

Esimerkki.

Kynälaatikossa on sinisiä, punaisia, vihreitä, tavallisia, keltaisia ​​ja loput oransseja. Mikä on todennäköisyys piirtää vihreää tai punaista?

Ratkaisu .

Vihreän kynän piirtämisen todennäköisyys on yhtä suuri. Punainen -.

Kaiken kaikkiaan suotuisia tapahtumia: vihreä + punainen. Tämä tarkoittaa, että todennäköisyys piirtää vihreä tai punainen on yhtä suuri.

Sama todennäköisyys voidaan esittää tässä muodossa: .

Tämä on lisäyssääntö: yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyydet summautuvat.

Sekatyyppiset ongelmat

Esimerkki.

Kolikkoa heitetään kahdesti. Millä todennäköisyydellä rullien tulokset ovat erilaiset?

Ratkaisu .

Tämä tarkoittaa, että jos ensimmäinen tulos on päät, toisen on oltava hännät ja päinvastoin. Osoittautuu, että itsenäisiä tapahtumia on kaksi paria, ja nämä parit eivät ole yhteensopivia keskenään. Kuinka olla hämmentynyt siitä, missä kerrotaan ja mihin lisätään.

Tällaisia ​​tilanteita varten on olemassa yksinkertainen sääntö. Yritä kuvata mitä tulee tapahtumaan käyttämällä konjunktioita "AND" tai "OR". Esimerkiksi tässä tapauksessa:

Pitäisi nousta (päät ja hännät) tai (hännät ja päät).

Missä on konjunktio "ja", tulee kertolasku, ja missä on "tai", tulee yhteenlasku:

Kokeile itse:

1. Mikä on todennäköisyys, että jos kolikkoa heitetään kahdesti, kolikko laskeutuu molemmilla kerroilla samalle puolelle?
2. Noppia heitetään kahdesti. Mikä on todennäköisyys saada pisteitä yhteensä?

Ratkaisut:

1. (Päät putosivat ja hännät putosivat) tai (hännät putosivat ja hännät putosivat): .
2. Mitkä ovat vaihtoehdot? Ja. Sitten:
   Pudonnut (ja) tai (ja) tai (ja): .

Toinen esimerkki:

Heitä kolikko kerran. Mikä on todennäköisyys, että päät ilmestyvät vähintään kerran?

Ratkaisu:

Voi kuinka en halua käydä läpi vaihtoehtoja... Päät-hännät-hännät, Eagle-heads-tails,... Mutta ei ole tarvetta! Muistakaamme kokonaistodennäköisyys. Muistatko? Mikä on todennäköisyys, että kotka ei putoa koskaan? Se on yksinkertaista: päät lentävät koko ajan, siksi.

TODENNÄKÖISYYSTEORIA. LYHYESTI PÄÄASIJOISTA

Todennäköisyys on suotuisten tapahtumien määrän suhde kaikkien mahdollisten tapahtumien määrään.

Itsenäisiä tapahtumia

Kaksi tapahtumaa ovat riippumattomia, jos toisen tapahtuminen ei muuta toisen tapahtumisen todennäköisyyttä.

Kokonaistodennäköisyys

Kaikkien mahdollisten tapahtumien todennäköisyys on yhtä suuri kuin ().

Todennäköisyys, että tapahtumaa ei tapahdu, on yhtä suuri kuin miinus todennäköisyys, että tapahtuma tapahtuu.

Sääntö itsenäisten tapahtumien todennäköisyyksien kertomisesta

Tietyn riippumattomien tapahtumien sarjan todennäköisyys on yhtä suuri kuin kunkin tapahtuman todennäköisyyksien tulo

Yhteensopimattomat tapahtumat

Yhteensopimattomia tapahtumia ovat tapahtumat, jotka eivät voi tapahtua samanaikaisesti kokeen seurauksena. Useat yhteensopimattomat tapahtumat muodostavat täydellisen tapahtumaryhmän.

Yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyydet summautuvat.

Kuvattuaan, mitä pitäisi tapahtua, käyttämällä konjunktioita "AND" tai "OR" laitamme "AND":n sijasta kertomerkin ja "OR":n sijaan yhteenlaskumerkin.

Ryhdy YouClever-opiskelijaksi,

Valmistaudu yhtenäiseen valtionkokeeseen tai matematiikan yhtenäiseen valtionkokeeseen,

Ja saat myös pääsyn YouClever-oppikirjaan ilman rajoituksia...

Meitä kiinnostaa usein useiden tapahtumien todennäköisyys tapahtua samanaikaisesti, kuten kaksi päätä kahdella kolikonheitolla tai vähintään yksi kuusi kahdella nopanheitolla. Tällaisia ​​tilanteita kutsutaan tilanteita, joissa on useita mahdollisia tuloksia.

Puukaavioiden käyttö

Vaikka on melko helppoa ymmärtää, että todennäköisyys saada päitä yhdelle reilun kolikon heitolle on ?, on jonkin verran vaikeampaa määrittää intuitiivisesti todennäköisyys saada neljä päätä neljällä reilun kolikon heitolla. Vaikka kolikon esimerkki saattaa tuntua keinotekoiselta, se toimii hyvin selittämään todennäköisyyksien yhdistelmää useissa kokeissa. Tehdään laskelmat. (Seuraa keskusteluani, vaikka pelkäät matematiikkaa. Jos käyt läpi esimerkit, laskelmat ja matemaattiset päättelyt näyttävät sinusta melko yksinkertaisilta. Älä katso muutamaa seuraavaa lukua ja huuda: "Ei, ei mitenkään, minä Ohitan vain tämän "On tärkeää osata ajatella numeroilla ja niistä.)

Ensimmäisellä heitolla voi tapahtua vain toinen kahdesta mahdollisesta tuloksesta; päät (O) tai häntät (P). Mitä tapahtuu, jos kolikkoa heitetään kahdesti? On neljä mahdollista lopputulosta: päät molemmat kertaa (HE), päät ensimmäisen kerran ja tails toisen kerran (OR), hännät ensimmäisen kerran ja päät toisen kerran (TH) ja hännän molemmat kertaa (RR). Koska on neljä mahdollista lopputulosta ja vain yksi tapa saada kaksi päätä, tämän tapahtuman todennäköisyys on 1/4 (oletetaan jälleen, että kolikko on "reilu", eli päät ja hännät ovat yhtä todennäköisiä). On olemassa yleinen sääntö useiden tapahtumien yhteisen esiintymisen todennäköisyyden laskemiseksi missä tahansa tilanteessa - "ja"-sääntö. Jos haluat selvittää ensimmäisen samanaikaisen esiintymisen todennäköisyyden Ja toinen tapahtuma (päät ensimmäiseen Ja toisella heitolla), sinun on kerrottava näiden tapahtumien todennäköisyydet erikseen. "Ja"-sääntöä soveltamalla huomaamme, että todennäköisyys saada kaksi päätä, kun heiluttaa kolikon kahdesti on? x? = 1/4. Intuitiivisesti näyttää siltä, ​​että todennäköisyys, että kaksi tapahtumaa tapahtuu yhdessä, pitäisi olla pienempi kuin todennäköisyys, että jokainen niistä tapahtuu erikseen; Näin se käy.

Yksinkertainen tapa laskea tämä todennäköisyys on esittää kaikki mahdolliset tapahtumat käyttämällä puu kaavio. Puukaavioita käytettiin luvussa 4, kun testasimme "jos...niin..."-lauseiden oikeellisuutta. Tässä luvussa annamme puun oksille todennäköisyysarvot erilaisten tulosyhdistelmien todennäköisyyksien määrittämiseksi. Palaan puukaavioihin myöhemmissä luvuissa, kun tarkastelen tapoja löytää luovia ratkaisuja ongelmiin.

Kun kolikkoa heitetään ensimmäisen kerran, se laskeutuu joko päätä tai häntää ylöspäin. "Reilun" kolikon kohdalla laskeutumispäiden ja -pyrstöjen todennäköisyys on sama 0,5. Kuvataan se näin:

Kun heität kolikon toisen kerran, joko ensimmäistä päätä seuraa toinen pää tai häntä tai ensimmäistä häntää seuraa toinen pää tai häntä. Todennäköisyys saada päätä ja häntää toisella heitolla on edelleen 0,5. Toisen heiton tulokset on kuvattu kaaviossa puun lisäoksina.

Kuten kaaviosta näkyy, mahdollisia tuloksia on neljä. Tämän puun avulla voit etsiä muiden tapahtumien todennäköisyyksiä. Millä todennäköisyydellä saadaan yksi pää heitettäessä kolikkoa kahdesti? Koska on olemassa kaksi tapaa saada yksi pää (OP tai RO), vastaus on 2/4 vai?. Jos haluat selvittää kahden tai useamman eri tuloksen todennäköisyyden, laske yhteen kaikkien tulosten todennäköisyydet. Tätä kutsutaan "tai"-säännöksi. Toisella tavalla tämä ongelma voidaan muotoilla seuraavasti: ”Mikä on todennäköisyys saada tai ensin päät ja sitten hännät (1/4), tai ensin hännät ja sitten päät (1/4)?" Oikea tapa löytää vastaus on lisätä nämä arvot, jolloin tuloksena on?. Intuitiivisesti näyttää siltä, ​​että yhden useista tapahtumista tapahtuvan todennäköisyyden tulisi olla suurempi kuin kunkin tapahtuman todennäköisyys; Näin se käy.

Sääntöjä "ja" ja "tai" voidaan käyttää vain silloin, kun tapahtumat kiinnostavat meitä riippumaton. Kaksi tapahtumaa ovat riippumattomia, jos toisen tapahtuminen ei vaikuta toisen tapahtumiseen. Tässä esimerkissä ensimmäisen kolikonheiton tulos ei vaikuta millään tavalla toisen kolikonheiton tulokseen. Lisäksi "tai"-säännön soveltamiseksi on välttämätöntä, että tapahtumat eivät ole yhteensopivia, eli ne eivät voi tapahtua samanaikaisesti. Tässä esimerkissä tulokset eivät ole yhteensopivia, koska emme voi saada sekä päätä että häntää yhdellä heitolla.

Tapahtumien esittäminen puukaavioina on hyödyllistä monissa tilanteissa. Laajennamme esimerkkiämme. Oletetaan, että mies, jolla on raidallinen puku, jolla on pitkät, kiertyneet viikset ja hämärät pienet silmät, pysäyttää sinut kadulla ja pyytää sinua pelaamaan rahasta heittämällä kolikon. Hän lyö aina vetoa päähän. Ensimmäisellä heitolla kolikko laskeutuu pää ylöspäin. Sama tapahtuu toisella heitolla. Kolmannella heitolla se nousee taas päihin. Milloin alat epäillä, että hänellä on "likainen" kolikko? Useimmat ihmiset epäilevät kolmannella tai neljännellä yrittämällä. Laske todennäköisyys saada vain päitä kolmella ja neljällä ”reilun” kolikon heitolla (pään saamisen todennäköisyys on 0,5).

Laskeaksesi todennäköisyyden saada kolme päätä kolmella yrityksellä sinun on piirrettävä puu, jossa on kolme riviä ”solmuja”, joista kustakin solmusta tulee kaksi ”haaraa”.

Tässä esimerkissä meitä kiinnostaa todennäköisyys saada kolme päätä peräkkäin, jos kolikko on "reilu". Katso saraketta nimeltä "tulos" ja löydä LLC-tulos. Koska tämä on ainoa kolmen pään tulos, kerro todennäköisyydet 000-haaraa pitkin (ympyröity kaaviossa) ja saat 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125. Todennäköisyys 0,125 tarkoittaa, että jos kolikko on reilu, se laskeutuu keskimäärin kolme kertaa peräkkäin 12,5% ajasta. Koska tämä todennäköisyys on pieni, kun kolme päätä ilmestyy peräkkäin, useimmat ihmiset alkavat epäillä, että kolikolla "on salaisuus".

Laske todennäköisyys saada neljä päätä neljällä yrityksellä lisäämällä puuhun lisää oksia.

Todennäköisyys saada neljä päätä on 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,0625 eli 6,25 %. Kuten jo tiedät, se on matemaattisesti yhtä suuri kuin 0,5 4; eli luvun kertominen itsellään neljä kertaa on sama kuin sen nostaminen neljänteen potenssiin. Jos luotat laskimeen, jossa on eksponentiotoiminto, saat saman vastauksen - 0,0625. Vaikka tämä tulos on mahdollinen ja tapahtuu jossain vaiheessa, se on epätodennäköistä. Itse asiassa hän on niin epätodennäköinen ja epätavallinen, että monet sanoisivat, että kiertelevän miehen täytyy pettää. Ei ole epäilystäkään siitä, että kun saat viidennen pääsi peräkkäin, olisi järkevää päätellä, että olet tekemisissä huijarin kanssa. Useimmissa tieteellisissä tarkoituksissa tapahtumaa pidetään "epätavallisena", jos sen todennäköisyys on alle 5 %. (Todennäköisyysteorian kielellä tämä kirjoitetaan seuraavasti: p ‹ 0,05.)

Jätetään keinotekoinen kolikon esimerkki taakse ja sovelletaan samaa logiikkaa hyödyllisempään kontekstiin. Olen varma, että jokainen opiskelija on koskaan kohdannut monivalintatestejä, joissa sinun on valittava oikeat vastaukset annetuista vaihtoehdoista. Useimmissa näistä testeistä jokaisella kysymyksellä on viisi vastausvaihtoehtoa, joista vain yksi on oikea. Oletetaan, että kysymykset ovat niin vaikeita, että voit arvata oikean vastauksen vain sattumalta. Mikä on todennäköisyys arvata oikein, kun vastaat ensimmäiseen kysymykseen? Jos sinulla ei ole aavistustakaan, mikä vaihtoehto on oikea vastaus, valitset yhtä todennäköisesti minkä tahansa viidestä vaihtoehdosta olettaen, että mikä tahansa niistä voi olla oikea. Koska kaikkien vaihtoehtojen valinnan todennäköisyyksien summan on oltava yhtä suuri, kunkin vaihtoehdon valinnan todennäköisyys, jos kaikki vaihtoehdot ovat yhtä todennäköisiä, on 0,20. Yksi vaihtoehdoista on oikein ja loput vääriä, joten oikean vaihtoehdon valinnan todennäköisyys on 0,20. Puukaavio tästä tilanteesta on esitetty alla.

Millä todennäköisyydellä arvataan oikein vastaukset testin kahteen ensimmäiseen kysymykseen? Meidän on lisättävä uusia oksia puuhun, joka tulee pian hyvin tuuheaksi. Tilan säästämiseksi ja laskelmien yksinkertaistamiseksi voit esittää kaikki väärät vaihtoehdot yhtenä haarana, joka on merkitty "virheellisesti". Todennäköisyys olla väärässä, kun vastaat yhteen kysymykseen, on 0,8.

Kahden kysymyksen oikean vastauksen arvaamisen todennäköisyys on 0,2 x 0,2 = 0,04. Eli tämä voi tapahtua sattumalta vain 4 prosentissa yrityksistä. Oletetaan, että laajennamme esimerkkiämme kolmeen kysymykseen. En piirrä puuta, mutta sinun pitäisi jo ymmärtää, että todennäköisyys on 0,2 x 0,2 x 0,2 = 0,008. Tämä on niin epätavallinen tapahtuma, että se voi tapahtua sattumalta alle 1 prosentissa yrityksistä. Mitä mieltä olisit henkilöstä, joka onnistui vastaamaan kaikkiin kolmeen kysymykseen oikein? Useimmat ihmiset (ja myös opettajat ovat ihmisiä) päättelevät, että opiskelija ei valinnut vastauksia satunnaisesti, vaan tiesi jotain. Tietysti on mahdollista, että hän oli vain onnekas, mutta tämä on erittäin epätodennäköistä. Siten tulemme siihen johtopäätökseen, että saatua tulosta ei voida selittää vain tuurilla.

Haluaisin tuoda esiin yhden mielenkiintoisen näkökohdan tällaisessa päättelyssä. Ajattele sitä valitettavaa tilannetta, johon Sarah joutui. Hän vastasi 15 testikysymykseen, joissa jokaiseen kysymykseen oli valittava vastaus viidestä vaihtoehdosta. Sarah vastasi kaikkiin 15 kysymykseen väärin. Voitko määrittää todennäköisyyden, että tämä tapahtui sattumalta? En piirrä puukaaviota havainnollistamaan tätä tilannetta, mutta on helppo nähdä, että todennäköisyys olla väärässä yhdessä kysymyksessä on 0,8; siksi todennäköisyys vastata kaikkiin 15 kysymykseen väärin on 0,8 15 . Tämä on luku 0,8 kerrottuna itsellään 15 kertaa, jolloin saadaan 0,0352. Koska tällaisen onnettomuuden todennäköisyys on 3,52%, ehkä Saaran pitäisi kertoa opettajalle, ettei tällaista epätavallista tulosta voida selittää sattumalla? Sarah voi tietysti esittää samanlaisen väitteen, mutta uskoisitko häntä, jos olisit opettaja? Oletetaan, että hän väittää saavansa kaikki vastaukset. Kuinka muuten hän ei voisi valita oikeaa vastausta 15 peräkkäiseen kysymykseen? En tiedä kuinka moni opettaja uskoisi hänen väitettään, että 15 väärää vastausta todistaa, että hänellä on tietoa, vaikka periaatteessa tätä päättelyä käytetäänkin tiedon todistamiseen, koska todennäköisyys arvata kaikki vastaukset oikein on suunnilleen sama. (Tässä esimerkissä todennäköisyys vastata kaikkiin 15 kysymykseen oikein satunnaisesti on 0,20 15; tämä luku on merkittävästi pienempi kuin 0,0001.) Jos Sarah olisi opettajani, antaisin hänelle korkeat arvosanat hänen luovuudestaan ​​ja tilastollisten periaatteiden ymmärtämisestä. On mahdollista, että Sarah todella tiesi jotain tästä aiheesta, mutta tässä "jossakin" oli systemaattinen virhe. Haluaisin myös huomauttaa hänelle, että hän ei ehkä opiskellut kokeeseen, ja kaiken lisäksi hän oli epäonninen ja teki 15 väärää arvausta. Loppujen lopuksi joskus tapahtuu hyvin epätavallisia asioita.

Ennen kuin luet seuraavan osan, varmista, että ymmärrät puukaavioiden käyttämisen todennäköisyyksien laskemiseen ja kaikkien mahdollisten tulosten huomioimiseen. Palaan tällaisiin kaavioihin myöhemmin tässä luvussa. Kun opit käyttämään niitä, tulet yllättymään siitä, kuinka monessa tilanteessa niitä voidaan käyttää.

Riisi. 7.2. Maksumatriisi, jossa otetaan huomioon tapahtuman lopputulosten todennäköisyydet

p i – tapahtumien i:nnen lopputuloksen todennäköisyys.

M j – matto. kriteerin odotus valittaessa toimintavaihtoehtojen j:nnettä vaihtoehtoa, joka määräytyy kaavalla:

Kaksi yllä olevaa lähestymistapaa mahdollistavat neljän erilaisen ratkaisunvalintaalgoritmin toteuttamisen.

1. Päätös perustuu suurimman todennäköisyyden sääntöön - maksimoi kriteerin todennäköisimmät arvot (voitto tai tulot).

2. Päätös perustuu maksimitodennäköisyyssääntöön - minimoi kriteerin todennäköisimpiä arvoja (mahdolliset tappiot tai suorat tappiot).

3. Päätös perustuu sääntöön maksimoida kriteerin (voitto tai tulo) matemaattinen odotus (keskiarvo).

4. Päätös, joka perustuu kriteerin (tappiot tai vahingot) matemaattisen odotuksen (keskiarvon) minimoimisen sääntöön.

Esimerkit, joita olemme tähän mennessä tarkastelleet tässä luvussa, ovat käsittäneet yhden ratkaisun. Käytännössä yhden päätöksen tulos kuitenkin pakottaa meidät tekemään seuraavan ja niin edelleen. Tätä sekvenssiä ei voida ilmaista voittomatriisilla, joten on käytettävä jotakin muuta päätösprosessia.

Kaavio päätöspuu käytetään, kun on tarpeen tehdä useita päätöksiä epävarmuuden olosuhteissa, kun jokainen päätös riippuu edellisen tuloksesta tai tapahtumien lopputuloksesta.

Kun luot päätöspuuta, sinun on piirrettävä "runko" ja "oksat", jotka kuvastavat ongelman rakennetta.

· "Puut" sijaitsevat vasemmalta oikealle. "Osalat" edustavat mahdollisia vaihtoehtoisia päätöksiä, joita voidaan tehdä, ja mahdollisia tuloksia, jotka voivat nousta näistä päätöksistä.

· "Osat" tulevat ulos solmuista. Solmuja on kahdenlaisia.

Neliösolmu edustaa paikkaa, jossa päätös tehdään.

Pyöreä solmu edustaa paikkaa, jossa esiintyy erilaisia ​​mahdollisia tuloksia.

· Kaavio käyttää kahden tyyppisiä "haaroja":

Ensimmäinen on katkoviivat, jotka tulevat ulos mahdollisten ratkaisujen neliöistä, liikkuminen niitä pitkin riippuu tehdyistä päätöksistä. Kaikki päätöksestä aiheutuvat kustannukset on merkitty vastaavaan katkoviivaan ”haara”.

Toinen on kiinteät viivat, jotka tulevat ulos mahdollisten tulosten ympyröistä. Liikkuminen niitä pitkin määräytyy tapahtumien tuloksen mukaan. Yhtenäinen viiva osoittaa tietyn tuloksen todennäköisyyden.

päätöksentekosolmu.

haaroitussolmu tapahtumien mahdollisille seurauksille.

oksat, joita pitkin liikkuminen riippuu tehdystä päätöksestä.

oksat, joita pitkin liikkuminen riippuu tapahtumien lopputuloksesta.

Ratkaisun etsiminen on jaettu kolmeen vaiheeseen.

Vaihe 1."Puuta" rakennetaan (esimerkki käsitellään käytännön tunneilla). Kun kaikki päätökset ja niiden tulokset on merkitty "puuhun", kukin vaihtoehto lasketaan ja sen rahatulo ilmoitetaan lopussa.

Vaihe 2. Ne lasketaan ja sijoitetaan kunkin tuloksen todennäköisyyden vastaaviin haaroihin.

Vaihe 3. Tässä vaiheessa kunkin "solmun" rahalliset tulokset lasketaan ja syötetään oikealta vasemmalle. Odotetuista tuloista vähennetään mahdolliset kulut.

Kun "ratkaisu"-neliöt on täytetty, valitaan "haara", joka johtaa suurimmalle mahdolliselle odotetulle tulolle tietylle päätökselle (tälle haaralle asetetaan nuoli).

Toinen ”haara” on yliviivattu ja odotettu tulo kirjoitetaan ratkaisuneliön yläpuolelle.

Siten kolmannen vaiheen lopussa muodostuu päätössarja, joka johtaa maksimituloihin.

Periaatteessa kriteerinä voi olla maton maksimointi. tuloodotukset ja kiroilun minimoiminen. odotuksia tappioista.

Ilta valtasi asteittain majesteettisen Zmiulanin linnan. Vähitellen käytävillä sytytettiin taskulamppuja, ja opiskelijat kiiruhtivat huoneisiinsa. Ja niin, kun käytävät olivat jo tyhjiä, kulman takaa ilmestyi mies: kallis musta puku istui täydellisesti hänen istuvaan vartaloonsa, ruskeat hiukset oli kammattu taakse, pistaasinväriset silmät katsoivat vain eteenpäin välinpitämättömällä katseella. Norton Ognev, ja se oli hän, lähestyi Suuren Hengen Ostalan toimistoa. Koputuksen ja luvan saatuaan mies astui huoneeseen. - Joten miksi tulit, Norton? - Linnan omistaja itse seisoi selkä Vasilisan isälle katsoen ulos ikkunasta. Välinpitämättömyys ei kadonnut Ognevin kasvoilta, mutta hän jännittyi sisäisesti. "Herra Astragor, minun täytyy mennä Tšernovodiin muutamaksi päiväksi", Dragotsievin päällikkö kääntyi. -Ymmärtääkseni et mene yksin? - Norton Sr. nyökkäsi hitaasti: - Kyllä, herra Astragor. Jos et välitä, otan mukaani tyttäreni, Fashin ja Zaharran. - Miksi sinä, Norton, otat veljenpojani mukaasi? - Dragotsievin päällikkö katsoi Ognevia hieman kiinnostuneena. "Vasilisa kysyi", Norton Sr vastasi kuin vastahakoisesti. Astragor tuijotti mietteliäästi takan liekkejä. Ognev odotti kärsivällisesti vastausta... *** Yö peitti majesteettisen linnan tähtien kankaaseen. Kevyt tuuli kahisi puutarhan lehtiä. Vihreässä huoneessa Vasilisa valmistautui jo nukkumaan. "Voi, siitä on niin kauan, kun olen ollut täällä..." tyttö sanoi katsellen ympärilleni huoneessa. Hän ei edes muistanut, milloin hän oli viimeksi täällä, mutta hän näki, että kaikki oli paikoillaan. Yhtäkkiä eräs mies lensi avoimeen ikkunaan. Ogneva katsoi odottamatonta vierasta hämmästyneenä. Mustat siipensä piilossa tummahiuksinen mies hymyili huoneen omistajalle: "Hei pöllöt!" -Pelästytit minut! - tyttö huudahti katsoen kaveria ärtyneenä. "Oi, tule", vieras naurahti. - Luulen, että tulet aina pelkäämään minua. -Älä ole hupsu! "Pelkään niin ylimielistä kaveria kuin sinä", Vasilisa sanoi ärtyneenä. - Muuten, Fash, miksi saavuit, varsinkin niin myöhään? Etkö saa unta taas? "Joo", Dragotsy nyökkäsi. - Päätin tehdä itselleni kiertueen Chernovodissa... Mutta yksin kävely ei ole kovin hauskaa, ja se on vaarallista. Se on sentään tuntematon linna", Fashin silmät välähtivät viekkaasti. - Ehdotatko, että annan sinulle kiertueen? - Vasilisa katsoi ystäväänsä hämmentyneenä. -Miksi ei? Tiedätkö täällä kaiken, eikö? - Brunette kohotti kulmakarvojaan kysyvästi. "Melkein", punatukkainen tyttö vastasi välttelevästi. "No, se on hyvä", Dragotsiy suuntasi ovea kohti. Ognevoylla ei ollut muuta vaihtoehtoa kuin seurata häntä. Kaverit kävelivät pimeitä käytäviä pitkin ja sytyttivät lamput. Vasilisa kertoi Fashille, mitä hän muistaa tästä linnasta. Hän kuunteli häntä tarkasti, joskus keskeytellen tai puhkaisen sarkastisesti tämän tai toisen ehdotuksen johdosta. Pian hän kyllästyi vain kävelemään ja kuuntelemaan keskustelua, ja muistaessaan jotain hän kysyi: "Mikä se torni muuten on, jonka näimme vaunuissa ajaessamme?" - Kumpaa tarkoitat? - Ogneva kysyi mietteliäänä. "Se näyttää länsimaalta", Dragotsiy vetäytyi. "Voi, tämä", punatukkainen tyttö tajusi heti. - Kutsumme sitä yksinäiseksi, siellä pidettiin kerran vankeja. - Katsotaanko sieltä? - jännitys välähti brunetin jäänsinisissä silmissä. "No, en tiedä..." Vasilisa vetäytyi epäröivästi. -Pelkäätkö sinä? - Dragotsiy virnisti. Kuten Fash odotti, he onnistuivat suhtautumaan häneen kevyesti: tytön kasvot punastuivat ja hän puristi nyrkkinsä: "Mennään", ja Vasilisa johti tyytyväisenä hymyilevän brunetin tähän torniin. Avattuaan oven ilman esteitä, kaverit astuivat huoneeseen. Pian ovi pamahti kiinni. Fash käveli avoimen ikkunan luo ja hyppäsi ikkunalaudalle hengittäen meren virkistävää tuoksua: "Eh, hyvä..." kääntyi sitten punatukkaiseen tyttöön. "Tule, istu alas", ja hän löi kämmenllään viereiseen paikkaan. Tyttö istuutui heti hänen viereensä. Ylhäällä paistoi täysikuu ja alhaalla meri levähti. Aalto toisensa jälkeen vierähti sisään ja törmäsi kiviä vasten. "Mikä kirkas kuu", Vasilisa katsoi jälleen taivaalle. - Ja minulla on laulu kuusta. "Olen säveltänyt sen kauan sitten", Fash sanoi yhtäkkiä. - Osaatko siis laulaa? - Punatukkainen tyttö katsoi Dragotiusta hämmästyneenä. Hän nyökkäsi hiljaa. - Mitä, etkö usko? - Brunette lähestyi Ognevayan kasvoja ja katsoi keskustelukumppaninsa silmiin virnistettynä. Huomasin, että hänen poskensa muuttuivat vaaleanpunaisiksi ja hänen hymynsä laajeni. "Ei, se on vain..." punastuva Vasilisa änkytti ja katsoi pois jäänsinisistä silmistään, jotka heijastivat kuun valoa. "Ei yksinkertaisesti ollut keinoa vahvistaa sanojasi", hän katsoi uudelleen noihin silmiin. Fash alkoi hitaasti nojata punapäätä kohti. Hän meni tapaamaan häntä puolivälissä. Heidän kasvojensa välissä on vain muutama millimetri. Ogneva tunsi jo kevyen uloshengitystuulen huulillaan. Heidän huulensa melkein koskettivat, ja... -Oi, kuinka söpö se on! - Vasilisa vetäytyi välittömästi Dragotsiystä ja punastui pahemmin kuin ennen. Flash kääntyi ympäri. Ennen kuin hänen kirkkaat silmänsä ilmestyivät... -Zakharra?! - kaksi kyyhkystä huudahti hämmästyneenä. -Mitä teet täällä? - Brunette katsoi ärtyneenä siskoaan. - Kyllä, näin sinun lentävän jonnekin, päätin ottaa selvää. Tulin ulos ja näin sinut kävelemässä ja juttelemassa. Pääasia on, ettet huomaa minua. No, minä seurasin sinua", bobtail kertoi kaiken. - Podlyuchaya syntyperäinen verta... - Fash mutisi, nousi ikkunalaudalta ja meni huoneeseensa. Vasilisa seurasi hänen esimerkkiään. Zaharra lipsahti heti Ognevayan takana olevalle käytävälle ja palasi myös huoneeseensa...

Todennäköisyyspuun rakentamiseksi sinun on ensin piirrettävä itse puu, kirjoitettava sitten piirustukseen kaikki tästä ongelmasta tunnetut tiedot ja lopuksi laskettava puuttuvat luvut perussääntöjen avulla ja täydennettävä puu.

1. Todennäköisyydet on merkitty jokaiseen päätepisteeseen ja ympyröity. Jokaisella puun tasolla näiden todennäköisyyksien summan on oltava 1 (tai 100 %). Joten esimerkiksi kuvassa. 6.5.1 todennäköisyyksien summa ensimmäisellä tasolla on 0,20 + 0,80 = 1,00 ja toisella tasolla - 0,03 + 0,17 + 0,56 + 0,24 = 1,00. Tämä sääntö auttaa täyttämään yhden tyhjän ympyrän sarakkeessa, jos kaikkien muiden todennäköisyyksien arvot tällä tasolla tunnetaan.

Riisi. 6.5.1

2. Ehdolliset todennäköisyydet on merkitty kunkin haaran viereen (paitsi
mahdollisesti ensimmäisen tason oksat). Jokaisen yhdestä pisteestä nousevan haararyhmän osalta näiden todennäköisyyksien summa on myös 1 (tai 100 %).
Esimerkiksi kuvassa Fig. 6.5.1 ensimmäiselle haararyhmälle saadaan 0,15 + 0,85 =
1,00 ja toiselle ryhmälle - 0,70 + 0,30 = 1,00. Tämä sääntö sallii
laske yksi tuntematon ehdollinen todennäköisyysarvo yhdestä pisteestä lähtevien haarojen ryhmässä.

3. Todennäköisyys, joka on ympyröity haaran alussa, kerrottuna ehdollisella
tämän haaran vieressä oleva todennäköisyys antaa ympyrään kirjoitetun todennäköisyyden
oksan päähän. Esimerkiksi kuvassa Fig. 6.5.1 oikealle johtavalle ylemmälle haaralle
meillä on 0,20 x 0,15 = 0,03, seuraavalle haaralle - 0,20 x 0,85 = 0,17; samanlaiset suhteet pätevät kahdelle muulle haaralle. Tätä sääntöä voidaan käyttää yhden tuntemattoman arvon laskemiseen
todennäköisyydet kolmesta, jotka vastaavat jotakin haaraa.

4. Ympyrään kirjoitettu todennäköisyysarvo on yhtä suuri kuin ympyröityjen todennäköisyyksien summa kaikkien tästä ympyrästä lähtevien haarojen päissä
oikealle. Joten esimerkiksi kuviolle. 6.5.1 tulee ulos ympyrästä arvolla 0,20
kaksi haaraa, joiden päissä on ympyröityjä todennäköisyyksiä, joiden summa on yhtä suuri kuin tämä arvo: 0,03 + 0,17 = 0,20. Tämän säännön avulla voit löytää yhden tuntemattoman todennäköisyysarvon ryhmästä,
mukaan lukien tämä todennäköisyys ja kaikki todennäköisyydet puun oksien päissä,
jättäen vastaavan ympyrän.

Näiden sääntöjen avulla voit löytää tämän tuntemattoman arvon, kun tiedät kaiken paitsi yhden todennäköisyysarvon jollekin haaralle tai jollain tasolla.

37. Millaista näytettä kutsutaan edustavaksi? Miten edustava näyte saadaan?

Edustavuus on otoksen kyky edustaa tutkittavaa populaatiota. Mitä tarkemmin otoksen koostumus edustaa populaatiota tutkittavien asioiden osalta, sitä korkeampi on sen edustavuus.

Edustava otanta on yksi data-analyysin keskeisistä käsitteistä. Edustava näyte on otos populaatiosta, jolla on jakauma F(x), jotka edustavat väestön pääpiirteitä. Esimerkiksi, jos kaupungissa on 100 000 ihmistä, joista puolet on miehiä ja puolet naisia, 1 000 ihmisen otos, joista 10 on miehiä ja 990 naisia, ei todellakaan ole edustava. Siihen perustuva mielipidekysely sisältää tietysti puolueellisia arvioita ja johtaa tulosten väärentämiseen.

Edustavan otoksen muodostamisen välttämätön ehto on yhtä suuri todennäköisyys sisällyttää kaikki yleisen perusjoukon elementit.

Otos (empiirinen) jakaumafunktio antaa melko hyvän käsityksen jakautumisfunktiosta suurella otoskoolla F(x) alkuperäisestä väestöstä.

Tämän menettelyn taustalla oleva johtava periaate on satunnaisuuden, sattuman periaate. Otos kutsutaan satunnaiseksi (joskus sanomme yksinkertaiseksi satunnaiseksi tai puhtaaksi satunnaisnäytteeksi), jos kaksi ehtoa täyttyvät. Ensinnäkin otos on suunniteltava siten, että jokaisella henkilöllä tai yhteisöllä on yhtäläinen mahdollisuus tulla valituksi analyysiin. Toiseksi otos on valittava siten, että millä tahansa n kohteen yhdistelmällä (jossa n on yksinkertaisesti objektien tai tapausten lukumäärä otoksessa) on yhtä suuri mahdollisuus tulla valituksi analyysiin.

Tutkittaessa populaatioita, jotka ovat liian suuria tukemaan todellista lottoa, käytetään usein yksinkertaisia ​​satunnaisotoksia. Useiden satojen tuhansien esineiden nimien kirjoittaminen, rumpuun laittaminen ja useiden tuhansien valitseminen ei ole vieläkään helppoa. Tällaisissa tapauksissa käytetään erilaista, mutta yhtä luotettavaa menetelmää. Jokaiselle kohteelle on annettu kollektiivisesti numero. Tällaisten taulukoiden numerosarjan määrittää yleensä tietokoneohjelma, jota kutsutaan satunnaislukugeneraattoriksi, joka olennaisesti laittaa suuren määrän numeroita rumpuun, piirtää ne satunnaisesti ja tulostaa ne saapumisjärjestyksessä. Toisin sanoen tapahtuu sama arpajaiselle tyypillinen prosessi, mutta tietokone ei nimiä, vaan numeroita käyttäen tekee universaalin valinnan. Tätä valintaa voidaan käyttää yksinkertaisesti antamalla jokaiselle kohteellemme numero.

Tällaista satunnaislukutaulukkoa voidaan käyttää usealla eri tavalla, ja jokaisessa tapauksessa on tehtävä kolme päätöstä. Ensinnäkin on tarpeen päättää kuinka monta numeroa käytämme, toiseksi on tarpeen kehittää päätössääntö niiden käyttöä varten; Kolmanneksi sinun on valittava aloituspiste ja menetelmä taulukon läpikulkuun.

Kun tämä on tehty, meidän on kehitettävä sääntö, joka yhdistäisi taulukon numerot esineidemme numeroihin. Tässä on kaksi mahdollisuutta. Yksinkertaisin tapa (vaikka ei välttämättä oikein) on käyttää vain niitä numeroita, jotka kuuluvat kohteillemme annettujen numeroiden määrään. Joten jos meillä on 250 objektin perusjoukko (ja siten käytämme kolminumeroisia lukuja) ja päätämme aloittaa taulukon vasemmasta yläkulmasta ja työstää sarakkeita alaspäin, sisällytämme otokseen objektit numeroilla 100, 084 ja 128. , ja ohitetaan numerot 375 ja 990, jotka eivät vastaa kohteitamme. Tämä prosessi jatkuu, kunnes otokseen tarvittavien objektien määrä on määritetty.

Työvoimavaltaisempi, mutta metodologisesti oikeampi menettely perustuu siihen kantaan, että taulukolle ominaisen satunnaisuuden säilyttämiseksi on käytettävä jokaista tietyn ulottuvuuden numeroa (esim. jokaista kolminumeroista lukua). Noudattamalla tätä logiikkaa ja käsittelemällä jälleen 250 objektin populaatiota, meidän on jaettava kolminumeroisten lukujen alue 000:sta 999:ään 250 yhtä suureen väliin. Koska tällaisia ​​lukuja on 1000, jaamme 1000 250:llä ja huomaamme, että jokainen osa sisältää neljä numeroa. Siten taulukon numerot 000 - 003 vastaavat objektia 004 - 007 - objektia 2 jne. Nyt määrittääksesi, mikä objektinumero vastaa taulukon numeroa, sinun tulee jakaa kolminumeroinen luku taulukosta ja pyöristää lähimpään kokonaislukuun.

Lopuksi meidän on valittava lähtöpiste ja reitti taulukosta. Aloituspiste voi olla vasen yläkulma (kuten edellisessä esimerkissä), oikea alakulma, toisen rivin vasen reuna tai mikä tahansa muu sijainti. Tämä valinta on täysin mielivaltainen. Pöydän kanssa työskennellessämme on kuitenkin toimittava järjestelmällisesti. Voisimme ottaa kunkin viisinumeroisen sarjan kolme ensimmäistä merkkiä, kolme keskimmäistä merkkiä, kolme viimeistä merkkiä tai jopa ensimmäinen, toinen ja neljäs merkki. (Ensimmäisestä viisinumeroisesta sarjasta nämä erilaiset menettelyt antavat vastaavasti numerot 100, 009, 097 ja 109.) Voisimme soveltaa näitä toimenpiteitä oikealta vasemmalle, jolloin saadaan 790, 900, 001 ja 109. 791. Voisimme edetä rivejä alaspäin ottamalla huomioon jokaisen seuraavan numeron vuorotellen ja jättäen huomioimatta jaon viisiin (ensimmäiselle riville saadaan numerot 100, 973, 253, 376 ja 520). Voisimme käsitellä vain joka kolmatta numeroryhmää (esimerkiksi 10097, 99019, 04805, 99970). Mahdollisuuksia on monia, ja jokainen seuraava ei ole huonompi kuin edellinen. Kuitenkin, kun olemme päättäneet tietyn työskentelytavan, meidän on noudatettava sitä systemaattisesti, jotta taulukon elementtien satunnaisuus voidaan kunnioittaa mahdollisimman paljon.

38. Mitä intervallia kutsumme luottamusväliksi?

Luottamusväli on havaittujen arvojen sallittu poikkeama todellisista arvoista. Tämän oletuksen koon määrittää tutkija ottaen huomioon tiedon tarkkuusvaatimukset. Jos virhemarginaali kasvaa, otoskoko pienenee, vaikka luottamustaso pysyisi 95 prosentissa.

Luottamusväli osoittaa, mille alueelle otoshavaintojen (tutkimusten) tulokset sijoittuvat. Jos teemme 100 identtistä tutkimusta identtisillä otoksilla yhdestä populaatiosta (esimerkiksi 100 näytettä, joissa kussakin on 1000 ihmistä 5 miljoonan asukkaan kaupungissa), 95 %:n luottamustasolla 95 sadasta tuloksesta osuu luottamusväli (esimerkiksi 28 %:sta 32 %:iin todellisella arvolla 30 %).

Esimerkiksi todellinen tupakoivien kaupunkilaisten määrä on 30 %. Jos otamme näytteen 1000 ihmisestä 100 kertaa peräkkäin ja kysymme: "Tupakoitko näissä näytteissä, 95:ssä näistä 100 näytteestä 2 %:n luottamusvälillä, arvo on 28 % - 32 %."

39 Mitä kutsutaan luottamustasoksi?

Luottamustaso heijastaa sitä näyttöä, jota arvioija tarvitsee voidakseen sanoa, että arvioitavalla ohjelmalla on haluttu vaikutus. Yhteiskuntatieteissä käytetään perinteisesti 95 %:n luottamustasoa. Useimmissa julkisissa ohjelmissa 95 prosentin taso on kuitenkin liiallinen. 80-90 %:n luottamustaso riittää ohjelman asianmukaiseen arviointiin. Tällä tavalla voidaan pienentää edustavan ryhmän kokoa, mikä pienentää arvioinnin suorittamiskustannuksia.

Tilastollinen arviointiprosessi testaa nollahypoteesia, jonka mukaan ohjelmalla ei ollut haluttua vaikutusta. Jos saadut tulokset poikkeavat merkittävästi alkuperäisistä oletuksista nollahypoteesin oikeellisuudesta, jälkimmäinen hylätään.

40. Kumpi kahdesta luottamusvälistä on suurempi: kaksipuolinen 99 % vai kaksipuolinen 95 %? Selittää.

Kaksipuolinen 99 %:n luottamusväli on suurempi kuin 95 %, koska siihen mahtuu enemmän arvoja. Asiakirja:

Z-pisteiden avulla voit arvioida tarkemmin luottamusvälin ja määrittää luottamusvälin yleisen muodon. Näytteen keskiarvon luottamusvälin tarkka muotoilu on seuraava:

Näin ollen 25 havainnon satunnaiselle otokselle, joka täyttää normaalijakauman, näytteen keskiarvon luottamusväli on seuraava:

Voit siis olla 95 % varma, että arvo on ±1,568 yksikön sisällä otoksen keskiarvosta. Samalla menetelmällä voit määrittää, että 99 %:n luottamusväli on ±2,0608 yksikön sisällä otoksen keskiarvosta

arvo Siten meillä on ja tästä , Samalla tavalla saamme alarajan, joka on yhtä suuri