Mikä on yhtälö?

Algebran ensimmäiset askeleet ottavat tietysti vaativat aineiston järjestetyimmän esityksen. Siksi artikkelissamme yhtälöstä emme anna vain määritelmää, vaan annamme myös erilaisia ​​yhtälöiden luokituksia esimerkein.

Mikä on yhtälö: yleiset käsitteet

Joten yhtälö on eräänlainen tasa-arvo tuntemattoman kanssa, jota merkitään latinalaisella kirjaimella. Tässä tapauksessa tämän kirjaimen numeerista arvoa, jonka avulla voimme saada oikean yhtälön, kutsutaan yhtälön juureksi. Voit lukea tästä lisää artikkelistamme, mutta jatkamme puhumista itse yhtälöistä. Yhtälön argumentit (tai muuttujat) ovat tuntemattomia, ja yhtälön ratkaisu on löytää sen kaikki juuret tai juurien puuttuminen.

Yhtälöiden tyypit

Yhtälöt on jaettu kahteen suureen ryhmään: algebrallisiin ja transsendenttisiin.

• Algebrallinen on yhtälö, jossa yhtälön juuren löytämiseen käytetään vain algebrallisia operaatioita - 4 aritmeettista, sekä luonnollisen juuren eksponentiointia ja erottamista.
• Transsendentaalinen yhtälö on yhtälö, jossa juuren löytämiseen käytetään ei-algebrallisia funktioita: esimerkiksi trigonometrinen, logaritminen ja muut.

Algebrallisten yhtälöiden joukossa on myös:

• kokonaisluvut - joissa molemmat osat koostuvat kokonaisista algebrallisista lausekkeista suhteessa tuntemattomiin;
• murtoluku - sisältää kokonaislukualgebrallisia lausekkeita osoittajassa ja nimittäjässä;
• irrationaalinen - algebralliset lausekkeet ovat tässä juurimerkin alla.

Huomaa myös, että murto- ja irrationaaliyhtälöt voidaan pelkistää kokonaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Transsendentaaliset yhtälöt on jaettu:

• Eksponentiaaliyhtälöt ovat yhtälöitä, jotka sisältävät muuttujan eksponenttina. Ne ratkaistaan ​​siirtymällä yhteen kantaan tai eksponenttiin, poistamalla yhteinen tekijä suluista, factoring ja jotkut muut menetelmät;
• logaritminen - yhtälöt logaritmeilla, eli yhtälöt, joissa tuntemattomat ovat logaritmien sisällä. Tällaisten yhtälöiden ratkaiseminen on erittäin vaikeaa (toisin kuin useimmat algebralliset), koska tämä vaatii vankkaa matemaattista koulutusta. Tärkeintä tässä on siirtyä yhtälöstä, jossa on logaritmeja, yhtälöön ilman niitä, eli yksinkertaistaa yhtälöä (tätä logaritmien poistamismenetelmää kutsutaan potentioinniksi). Tietenkin on mahdollista potentioida logaritminen yhtälö vain, jos niillä on identtiset numeeriset kannat ja niillä ei ole kertoimia;
• trigonometriset yhtälöt ovat yhtälöitä, joissa on trigonometristen funktioiden etumerkkien alla olevia muuttujia. Niiden ratkaisu edellyttää trigonometristen funktioiden alustavaa hallintaa;
• sekoitetut ovat differentioituja yhtälöitä, joissa on eri tyyppejä (esimerkiksi parabolisia ja elliptisiä osia tai elliptisiä ja hyperbolisia jne.).

Mitä tulee luokitteluun tuntemattomien lukumäärän mukaan, kaikki on yksinkertaista: yhtälöt, joissa on yksi, kaksi, kolme ja niin edelleen, erotetaan tuntemattomista. On myös toinen luokitus, joka perustuu polynomin vasemmalla puolella olevaan asteeseen. Tämän perusteella erotetaan lineaariset, neliö- ja kuutioyhtälöt. Lineaarisia yhtälöitä voidaan kutsua myös 1. asteen yhtälöiksi, neliö - 2. ja vastaavasti kuutioyhtälöiksi 3. No, nyt annetaan esimerkkejä yhden tai toisen ryhmän yhtälöistä.

Esimerkkejä eri tyyppisistä yhtälöistä

Esimerkkejä algebrallisista yhtälöistä:

• ax + b = 0
• ax 3 + bx 2 + cx+ d= 0
• ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a= 0
  (a ei ole 0)

Esimerkkejä transsendentaalisista yhtälöistä:

• cos x = x log x = x−5 2 x = logx+x 5 +40

Esimerkkejä kokonaisista yhtälöistä:

• (2+x)2 = (2+x)(55x-4) (x2-12x+10)4 = (3x+10)4 (4x2+3x-10)2=9x4

Esimerkki murtoyhtälöistä:

• 15 x + — = 5x - 17 x

Esimerkki irrationaalisista yhtälöistä:

• √2kf(x)=g(x)

Esimerkkejä lineaarisista yhtälöistä:

• 2x+7=0 x-3 = 2-4x 2x+3=5x+5-3x-2

Esimerkkejä toisen asteen yhtälöistä:

• x 2 +5x-7= 0 3x 2 +5x-7= 0 11x 2 -7x+3 = 0

Esimerkkejä kuutioyhtälöistä:

• x 3 - 9 x 2 - 46 x + 120 = 0 x 3 - 4 x 2 + x + 6 = 0

Esimerkkejä eksponentiaalisista yhtälöistä:

• 5 x+2 = 125 3 x 2 x = 8 x+3 3 2 x +4 3 x -5 = 0

Esimerkkejä logaritmisista yhtälöistä:

• log 2 x = 3 log 3 x = -1

Esimerkkejä trigonometrisista yhtälöistä:

• 3sin 2 x + 4sin x cosx + cos 2 x = 2 sin(5x+π/4) = ctg(2x-π/3) sinx + cos 2 x + tan 3 x = ctg 4 x

Esimerkkejä sekayhtälöistä:

• log x (log 9 (4⋅3 x −3))=1 |5x−8|+|2⋅5x+3|=13

On vielä lisättävä, että eri tyyppisten yhtälöiden ratkaisemiseen käytetään erilaisia ​​menetelmiä. No, melkein minkä tahansa yhtälön ratkaisemiseksi tarvitset tietoa algebran lisäksi myös trigonometriasta ja usein erittäin syvää tietoa.

Takaisin eteenpäin

Huomio! Diojen esikatselut ovat vain tiedoksi, eivätkä ne välttämättä edusta kaikkia esityksen ominaisuuksia. Jos olet kiinnostunut tästä työstä, lataa täysversio.

Oppitunnin tavoitteet:

Koulutuksellinen:

• Tee yhteenveto kaikentyyppisistä yhtälöistä, korosta kaikkien yhtälöiden ratkaisemisessa käytettyjen menetelmien merkitystä.
• Tehostetaan oppilaiden työtä erilaisten tekniikoiden avulla tunnissa.
• Testaa teoreettisia ja käytännön taitoja yhtälöiden ratkaisemisessa.
• Keskity siihen tosiasiaan, että yksi yhtälö voidaan ratkaista useilla tavoilla

Koulutuksellinen:

• Lisää opiskelijoiden kiinnostusta aiheeseen ICT:n avulla.
• Tutustu opiskelijoille aiheen historialliseen materiaaliin.
• Henkisen toiminnan kehittäminen yhtälön tyypin määrittämisessä ja menetelmät sen ratkaisemiseksi.

Koulutuksellinen:

• Istuta kurinalaisuutta luokkahuoneeseen.
• Kehitetään kykyä havaita kauneutta itsessään, toisessa ihmisessä ja ympäröivässä maailmassa.

Oppitunnin tyyppi:

• Tiedon yleistämisen ja systematisoinnin oppitunti.

Oppitunnin tyyppi:

• Yhdistetty.

Materiaali ja tekniset varusteet:

• Tietokone
• Näyttö
• Projektori
• Levy aiheen esittelyllä

Menetelmät ja tekniikat:

• Esityksen käyttäminen
• Frontaalinen keskustelu
• Suullinen työ
• Pelin hetkiä
• Työskennellä pareittain
• Työskentele hallituksessa
• Työskentele muistikirjoissa

Tuntisuunnitelma:

1. Organisatorinen hetki (1 minuuttia)
2. Oppitunnin aiheen dekoodaus (3 minuuttia)
3. Oppitunnin aihe ja tarkoitus (1 minuutti)
4. Teoreettinen lämmittely (3 minuuttia)
5. Historiallinen retki (3 minuuttia)
6. Peli "Poista ylimääräinen" (2 minuuttia)
7. Luova työ (2 minuuttia)
8. Tehtävä "Etsi virhe" (2 minuuttia)
9. Yhden yhtälön ratkaiseminen useilla tavoilla (dialla) (3 minuuttia)
10. Yhden yhtälön ratkaiseminen useilla tavoilla (laudalla) (24 minuuttia)
11. Itsenäinen työskentely pareittain, jota seuraa selitys (5 minuuttia)
12. Yksilölliset kotitehtävät (1 min)
13. Oppitunnin yhteenvetopohdintaa (1 minuutti)

Oppitunnin epigrafi:

"Voit oppia vain hauskanpidon kautta, jotta voit sulattaa tiedon, sinun on omaksuttava se ruokahalulla."
A. Ranska

Oppitunnin yhteenveto

Organisatorinen osa

Tarkistan oppilaiden valmiuden oppitunnille ja merkitsen tunnilta poissaolevat. Kaverit, 1800-luvun ranskalainen kirjailija A. France huomautti kerran: "Voit oppia vain hauskanpidon kautta, jotta voit sulattaa tiedon, sinun on omaksuttava se ruokahalulla." Noudatetaan siis oppitunnillamme kirjoittajan neuvoja ja sulatellaan tietoa suurella ruokahalulla, koska siitä on hyötyä elämässämme.

Oppitunnin aiheen dekoodaus

Jotta voisimme siirtyä monimutkaisempaan tehtävään, venytetään aivojamme yksinkertaisilla tehtävillä. Tuntimme aihe on salattu ratkaisemalla suullisia tehtäviä ja etsimällä niihin vastaus, tietäen, että jokaisella vastauksella on oma kirjain, paljastamme oppitunnin aiheen. Esityksen dia 3

Oppitunnin aiheen ja tarkoituksen kertominen

Nimesit itse tämän päivän oppitunnin aiheen

"Yhtälötyypit ja menetelmät niiden ratkaisemiseksi." Esityksen dia 4

Tavoite: Palauttaa mieleen ja yleistää kaikentyyppisiä yhtälöitä ja menetelmiä niiden ratkaisemiseksi. Ratkaise yksi yhtälö kaikilla menetelmillä. Esitysdia 5 Lue Einsteinin lausunto Esitysdia 5

Teoreettinen lämmittely

Kysymyksiä Esityksen dia 7

Vastaukset

1. Yhtälö, joka sisältää kirjaimella merkityn muuttujan.
2. Tämä tarkoittaa kaikkien sen juurten löytämistä tai sen todistamista, ettei juuria ole.
3. Muuttujan arvo, jolla yhtälöstä tulee tosi.
4. Lue tämän määritelmän jälkeen runo yhtälöstä Esitysdia 12,13,14

Vastaukset kahteen viimeiseen kysymykseen Esitysdia 9,10,11

Historiallinen retki

Historiallista tietoa aiheesta "Kuka keksi yhtälön ja milloin" Esityksen dia 15

Kuvitellaanpa, että primitiivinen äiti nimeltä... mutta hänellä ei luultavasti ollut edes nimeä, hän poimi puusta 12 omenaa antaakseen jokaiselle 4 lapselleen. Hän ei luultavasti osannut laskea paitsi 12:een, myös neljään, eikä todellakaan tiennyt kuinka jakaa 12 neljällä. Ja hän luultavasti jakoi omenat näin: ensin hän antoi jokaiselle lapselle omenan, sitten toisen omenan. , sitten toinen yksin ja sitten näin, että omenoita ei enää ollut ja lapset olivat onnellisia. Jos kirjoitamme nämä toiminnot muistiin nykyaikaisella matemaattisella kielellä, saadaan x4=12, eli äitini ratkaisi yhtälön muodostamisen ongelman. Ilmeisesti on mahdotonta vastata yllä esitettyyn kysymykseen. Ongelmia, jotka johtavat yhtälöiden ratkaisuun, ihmiset ovat ratkaisseet tervettä järkeä käyttäen siitä lähtien, kun heistä tuli ihmisiä. Jopa 3-4 tuhatta vuotta eKr. egyptiläiset ja babylonialaiset pystyivät ratkaisemaan yksinkertaisimmat yhtälöt, joiden muoto ja ratkaisumenetelmät eivät olleet samanlaisia ​​kuin nykyajan. Kreikkalaiset perivät egyptiläisten tiedon ja siirtyivät eteenpäin. Suurimman menestyksen yhtälöopin kehittämisessä saavutti kreikkalainen tiedemies Diophantus (III vuosisata), josta he kirjoittivat:

Hän ratkaisi monia ongelmia.
Hän ennusti hajuja ja suihkuja.
Todellakin, hänen tietonsa on ihmeellistä.

Keski-Aasialainen matemaatikko Muhammad al-Khorezmi (800-luku) antoi suuren panoksen yhtälöiden ratkaisemiseen. Hänen kuuluisa kirjansa al-Khwarizmi on omistettu yhtälöiden ratkaisemiseen. Sitä kutsutaan nimellä "Kitab al-jabr wal-mukabala", eli "täydennyksen ja vastalauseen kirja". Tämä kirja tuli eurooppalaisille tutuksi, ja sen nimestä peräisin olevasta sanasta "al-jabr" tuli sana "algebra" - yhden matematiikan pääosien nimi. Myöhemmin monet matemaatikot työskentelivät yhtälöongelmien parissa. 1400-luvulla elänyt saksalainen matemaatikko Stiefel muotoili yleissäännön neliöyhtälöiden ratkaisemiseksi muotoon x2+in=0. Hollantilaisen matemaatikon Girardin (1500-luku) sekä Descartesin ja Newtonin teosten jälkeen ratkaisumenetelmä sai modernin muodon. Vieth otti käyttöön kaavat, jotka ilmaisevat yhtälön juurien riippuvuuden sen kertoimista. Francois Viet eli 1500-luvulla. Hän teki suuren panoksen matematiikan ja tähtitieteen eri ongelmien tutkimiseen; erityisesti hän otti käyttöön kirjainmerkityksiä yhtälön kertoimille. Tutustutaanpa nyt mielenkiintoiseen jaksoon hänen elämästään. Viet saavutti suurta mainetta kuningas Henrik III:n aikana Ranskan ja Espanjan sodan aikana. Espanjalaiset inkvisiittorit keksivät erittäin monimutkaisen salaisen kirjoituksen, jonka ansiosta espanjalaiset olivat kirjeenvaihdossa Henry III:n vihollisten kanssa jopa Ranskassa.

Turhaan ranskalaiset yrittivät löytää koodin avainta, ja sitten kuningas kääntyi Vietan puoleen. He sanovat, että Viet löysi koodin avaimen kahden viikon jatkuvassa työssä, jonka jälkeen Espanjalle yllättäen Ranska alkoi voittaa taistelun toisensa jälkeen. Uskoen, että koodia ei voitu tulkita, espanjalaiset syyttivät Vietiä yhteydestä paholaisen kanssa ja tuomitsi hänet poltettavaksi roviolla. Onneksi häntä ei luovutettu inkvisitiolle ja hän meni historiaan suurena matemaatikkona.

Peli "Poista ylimääräinen"

Pelin tarkoitus suuntautuminen yhtälötyypeissä.

Meillä on kolme yhtälösaraketta, joissa yhtälöt on määritelty jonkin kriteerin mukaan, mutta yksi niistä on tarpeeton sinun tehtäväsi löytää ja karakterisoida se. Esityksen dia 16

Luovaa työtä

Tehtävän tarkoitus: Matemaattisen puheen kuullun ymmärtäminen, lasten suuntaaminen yhtälötyypeissä.

Näytöllä näkyy 9 yhtälöä. Jokaisella yhtälöllä on oma numeronsa, nimeän tämän yhtälön tyypin, ja sinun on löydettävä tämän tyyppinen yhtälö ja laitettava vain numero, jonka alla se esiintyy, tuloksena saat 9-numeroisen luvun Esitysdia 17

1. Pelkistetty toisen asteen yhtälö.
2. Murtolukuinen rationaalinen yhtälö
3. Kuutio yhtälö
4. Logaritminen yhtälö
5. Lineaarinen yhtälö
6. Epätäydellinen toisen asteen yhtälö
7. Eksponentiaalinen yhtälö
8. Irrationaalinen yhtälö
9. Trigonometrinen yhtälö

Tehtävä "Etsi virhe"

Yksi oppilas ratkaisi yhtälöitä, mutta koko luokka nauroi, hän teki virheen jokaisessa yhtälössä, sinun tehtäväsi on löytää se ja korjata se. Esityksen dia 18

Yhden yhtälön ratkaiseminen useilla tavoilla

Ratkaistaan ​​nyt yksi yhtälö kaikilla mahdollisilla tavoilla säästääksemme aikaa luokassa, yksi yhtälö näytöllä. Nimeä nyt tämän yhtälön tyyppi ja selitä, mitä menetelmää käytetään tämän yhtälön ratkaisemiseen. Esitysdiat 19-27

Yhden yhtälön ratkaiseminen useilla tavoilla (laudalla)

Katsoimme esimerkkiä, ja nyt ratkaistaan ​​yhtälö taululla kaikin mahdollisin tavoin.

X-2 - irrationaalinen yhtälö

Neliötetään yhtälön molemmat puolet.

X 2 +2x+4x-1-4=0

Ratkaisemme tämän yhtälön laudalla 9 tavalla.

Itsenäinen työskentely pareittain, jota seuraa selitys laudalla

Ja nyt työskentelet pareittain, annan yhtälön työpöydällesi, sinun tehtäväsi on määrittää yhtälön tyyppi, luetella kaikki tavat ratkaista tämä yhtälö, ratkaista 1-2 rationaalisimmilla tavoilla. (2 minuuttia)

Tehtävät parityöskentelyyn

Ratkaise yhtälö

Itsenäisen parin työskentelyn jälkeen yksi edustaja menee hallitukseen, esittelee yhtälönsä, ratkaisee yhdellä tavalla

Yksilölliset kotitehtävät(erilainen)

Ratkaise yhtälö

(määritä yhtälön tyyppi, ratkaise kaikilla tavoilla erillisellä arkilla)

Reflektiotunnin yhteenveto.

Teen oppitunnin yhteenvedon, kiinnitän huomion siihen, että yksi yhtälö voidaan ratkaista monella tapaa, annan arvosanat, teen johtopäätöksen siitä, kuka oli aktiivinen ja kenen pitää olla aktiivisempi. Luin Kalininin lausunnon Esityksen dia 28

Tarkastele huolellisesti tavoitteita, jotka olemme asettaneet tämän päivän oppitunnille:

• Mitä mielestäsi onnistuimme tekemään?
• Mikä ei mennyt niin hyvin?
• Mistä pidit erityisesti ja jäi mieleen?
• Tänään opin jotain uutta...
• Tiedoistani oli hyötyä tunnilla...
• Se oli minulle vaikeaa...
• Pidin oppitunnista...

Kirjallisuus.

1. Dorofejev G.V. "Tehtävät matematiikan kirjallisen kokeen suorittamiseen lukion kurssille" - M.: Bustard, 2006.
2. Garner Martin. Matemaattisia pulmia ja viihdettä.
3. Ivlev B.M., Sahakyan S.M. Didaktiset materiaalit algebrasta ja analyysin alkuvaiheista 10. luokalle, 11. luokalle. M.: Valaistuminen. 2002.

Venäjän federaation yleisen ja ammatillisen koulutuksen ministeriö

Kunnallinen oppilaitos

Kuntosali nro 12

sävellys

aiheesta: Yhtälöt ja menetelmät niiden ratkaisemiseksi

Täydentäjä: luokan 10 "A" oppilas

Krutko Jevgeni

Tarkastettu: matematiikan opettaja Iskhakova Gulsum Akramovna

Tjumen 2001

Suunnitelma................................................. ................................................... ...................................... 1

Johdanto ................................................... ...................................................... .......................................... 2

Pääosa................................................ ................................................... .......................... 3

Johtopäätös................................................ ................................................... .......................... 25

Hakemus................................................ ................................................... ...................... 26

Luettelo käytetystä kirjallisuudesta.................................................. ...................................................... 29

Suunnitelma.

Johdanto.

Historiallinen viittaus.

Yhtälöt. Algebralliset yhtälöt.

a) Perusmääritelmät.

b) Lineaarinen yhtälö ja menetelmä sen ratkaisemiseksi.

c) Neliöyhtälöt ja niiden ratkaisumenetelmät.

d) Binomiyhtälöt ja niiden ratkaiseminen.

e) Kuutioyhtälöt ja niiden ratkaisumenetelmät.

f) Bikvadraattinen yhtälö ja menetelmä sen ratkaisemiseksi.

g) Neljännen asteen yhtälöt ja niiden ratkaisumenetelmät.

g) Korkeiden asteiden yhtälöt ja menetelmät niiden ratkaisemiseksi.

h) Rationaalinen algebrallinen yhtälö ja sen menetelmä

i) Irrationaaliset yhtälöt ja menetelmät niiden ratkaisemiseksi.

j) Yhtälöt, jotka sisältävät tuntemattoman merkin alla.

itseisarvo ja menetelmä sen ratkaisemiseksi.

Transsendenttiset yhtälöt.

a) Eksponentiaaliyhtälöt ja niiden ratkaiseminen.

b) Logaritmiset yhtälöt ja niiden ratkaisumenetelmät.

Johdanto

Peruskoulussa hankittu matemaattinen koulutus on olennainen osa yleissivistystä ja nyky-ihmisen yleistä kulttuuria. Melkein kaikki nykyihmisen ympärillä oleva liittyy jotenkin matematiikkaan. Ja viimeaikaiset fysiikan, tekniikan ja tietotekniikan edistysaskeleet eivät jätä epäilystäkään siitä, että tulevaisuudessa tilanne pysyy samana. Siksi monien käytännön ongelmien ratkaiseminen edellyttää erilaisten yhtälöiden ratkaisemista, jotka sinun on opittava ratkaisemaan.

Tämä työ on yritys tiivistää ja systematisoida tutkittua materiaalia yllä olevasta aiheesta. Olen järjestänyt materiaalin vaikeusjärjestykseen aloittaen yksinkertaisimmasta. Se sisältää sekä koulun algebran kurssilta tuntemiamme yhtälötyyppejä että lisämateriaalia. Samalla yritin näyttää sellaisia ​​yhtälötyyppejä, joita ei opiskella koulukurssilla, mutta joiden tuntemusta voi tarvita korkeakouluun tullessa. Työssäni yhtälöitä ratkaiseessani en rajoittunut vain todelliseen ratkaisuun, vaan osoitin myös kompleksisen ratkaisun, koska uskon, että muuten yhtälö on yksinkertaisesti ratkaisematon. Loppujen lopuksi, jos yhtälöllä ei ole todellisia juuria, tämä ei tarkoita, että sillä ei olisi ratkaisuja. Valitettavasti en ajanpuutteen vuoksi päässyt esittelemään kaikkea hallussani olevaa aineistoa, mutta vaikka tässä esitellyn materiaalin kanssa voi herätä monia kysymyksiä. Toivon, että tietoni riittää vastaamaan useimpiin kysymyksiin. Joten aloitan materiaalin esittelyn.

Matematiikka... paljastaa järjestyksen,

symmetria ja varmuus,

ja nämä ovat tärkeimpiä kauneuden tyyppejä.

Aristoteles.

Historiallinen viittaus

Noina kaukaisina aikoina, kun viisaat alkoivat ajatella tasa-arvoja, jotka sisälsivät tuntemattomia määriä, ei luultavasti ollut kolikoita tai lompakkoa. Mutta siellä oli kasoja, samoin kuin ruukkuja ja koreja, jotka sopivat täydellisesti säilytyskätköihin, joihin mahtui tuntematon määrä esineitä. "Etsimme kasaa, joka yhdessä kahden kolmasosan, puolen ja yhden seitsemäsosan kanssa tekee 37...", opetti egyptiläinen kirjuri Ahmes 2. vuosituhannella eKr. Mesopotamian, Intian, Kiinan ja Kreikan muinaisissa matemaattisissa ongelmissa tuntemattomat määrät ilmaisivat puutarhassa olevien riikinkukkojen lukumäärän, sonnien lukumäärän laumassa ja omaisuuden jakamisessa huomioon otettujen asioiden kokonaisuuden. Kirjanoppineet, virkamiehet ja papit, jotka olivat vihitty salaiseen tietoon, jotka olivat hyvin koulutettuja kirjanpitotieteessä, selviytyivät tällaisista tehtävistä melko menestyksekkäästi.

Meille saapuneet lähteet osoittavat, että muinaisilla tiedemiehillä oli joitain yleisiä tekniikoita tuntemattomien määrien ongelmien ratkaisemiseksi. Yksikään papyrus- tai savitabletti ei kuitenkaan sisällä kuvausta näistä tekniikoista. Kirjoittajat esittivät vain satunnaisesti numeerisia laskelmiaan niukoilla kommenteilla, kuten: "Katso!", "Tee tämä!", "Löysit oikean." Tässä mielessä poikkeus on kreikkalaisen matemaatikon Diophantus Aleksandrialaisen (III vuosisadan) "aritmetiikka" - kokoelma yhtälöiden muodostamiseen liittyviä ongelmia ja niiden ratkaisujen systemaattinen esitys.

Ensimmäinen laajalti tunnetuksi tullut käsikirja ongelmien ratkaisemiseksi oli kuitenkin 800-luvun Bagdadin tiedemiehen työ. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Sana "al-jabr" tämän tutkielman arabialaisesta nimestä - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Restauroinnin ja opposition kirja") - muuttui ajan myötä tunnetuksi sanaksi "algebra", ja teos al-Khwarizmi itse toimi lähtökohtana yhtälöiden ratkaisemisen tieteen kehityksessä.

yhtälöt Algebralliset yhtälöt

Perusmääritelmät

Algebrassa tarkastellaan kahdenlaisia ​​yhtäläisyyksiä - identiteettejä ja yhtälöitä.

Identiteetti on yhtäläisyys, joka pätee siihen sisältyvien kirjainten kaikkiin (sallittuihin) arvoihin). Henkilöllisyyden kirjaamiseen käytetään merkin lisäksi myös merkkiä.

Yhtälö on yhtäläisyys, joka pätee vain tiettyihin siihen sisältyvien kirjainten arvoihin. Yhtälöön sisältyvät kirjaimet voivat ongelman ehtojen mukaan olla eriarvoisia: jotkut voivat ottaa kaikki sallitut arvonsa (niitä kutsutaan ns. parametrit tai kertoimet yhtälöt ja merkitään yleensä latinalaisten aakkosten ensimmäisillä kirjaimilla:, , ... - tai samoilla kirjaimilla varustettuna indekseillä: , , ... tai , , ...); toiset, joiden arvot pitää löytää, kutsutaan tuntematon(ne on yleensä merkitty latinalaisten aakkosten viimeisillä kirjaimilla: , , , ... - tai samoilla kirjaimilla indekseillä: , , ... tai , , ...).

Yleisesti ottaen yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Tuntemattomien lukumäärästä riippuen yhtälöä kutsutaan yhtälöksi, jossa on yksi, kaksi jne. tuntematonta.

Tuntemattomien arvo, jotka muuttavat yhtälön identiteetiksi, kutsutaan ratkaisuiksi yhtälöt

Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa useiden sen ratkaisujen löytämistä tai sen osoittamista, ettei ratkaisuja ole. Yhtälön tyypistä riippuen yhtälön ratkaisujoukko voi olla ääretön, äärellinen tai tyhjä.

Jos kaikki yhtälön ratkaisut ovat yhtälön ratkaisuja, niin he sanovat, että yhtälö on yhtälön seuraus, ja kirjoittaa

Kaksi yhtälöä

nimeltään vastaava, jos jokainen niistä on seurausta toisesta, ja kirjoita

Siten kahta yhtälöä pidetään ekvivalenttina, jos näiden yhtälöiden ratkaisut ovat samat.

Yhtälön katsotaan vastaavan kahta (tai useampaa) yhtälöä, jos yhtälön ratkaisujoukko osuu yhteen yhtälöiden ratkaisujoukkojen liiton kanssa , .

JOITAKIN VASTAAVAT YHTÄLÖT:

Yhtälö vastaa yhtälöä, joka on otettu huomioon alkuperäisen yhtälön sallittujen arvojen joukossa.

Vastaa kahta yhtälöä ja .

Yhtälö vastaa yhtälöä.

Parittoman n:n yhtälö vastaa yhtälöä ja parilliselle n:lle se vastaa kahta yhtälöä ja.

Algebrallinen yhtälö kutsutaan muodon yhtälöksi

jossa on n:nnen asteen polynomi yhdessä tai useammassa muuttujassa.

Algebrallinen yhtälö, jossa on yksi tuntematon kutsutaan yhtälöksi, joka pelkistyy muodon yhtälöksi

jossa n on ei-negatiivinen kokonaisluku; kutsutaan polynomin , , , ..., , kertoimia kertoimet(tai parametrit) yhtälöt ja katsotaan annetuiksi; x kutsutaan tuntematon ja se on mitä etsimme. Numeroa n kutsutaan tutkinnon yhtälöt

Tuntemattoman x:n arvoja, jotka muuttavat algebrallisen yhtälön identiteetiksi, kutsutaan juuret(ei niin usein päätökset) algebrallinen yhtälö.

On olemassa useita yhtälöitä, jotka voidaan ratkaista valmiilla kaavoilla. Nämä ovat lineaarisia ja toisen asteen yhtälöitä sekä muotoa F(x) olevia yhtälöitä, joissa F on yksi vakiofunktioista (potenssifunktio tai eksponentiaalinen funktio, logaritmi, sini, kosini, tangentti tai kotangentti). Tällaisia ​​yhtälöitä pidetään yksinkertaisimpina. Kuutioyhtälölle on myös kaavoja, mutta sitä ei pidetä yksinkertaisimpana.

Joten tärkein tehtävä minkä tahansa yhtälön ratkaisemisessa on vähentää se yksinkertaisimpaan.

Kaikilla alla luetelluilla yhtälöillä on myös oma graafinen ratkaisunsa, joka koostuu yhtälön vasemman ja oikean puolen esittämisestä kahtena identtisenä tuntemattoman funktiona. Sitten muodostetaan graafi, ensin yhdestä funktiosta ja sitten toisesta, ja kahden graafin leikkauspiste(t) antavat alkuperäisen yhtälön ratkaisun(t). Liitteessä on esimerkkejä kaikkien yhtälöiden graafisista ratkaisuista.

Lineaarinen yhtälö

Lineaarinen yhtälö kutsutaan ensimmäisen asteen yhtälöksi.

missä a ja b ovat joitain reaalilukuja.

Lineaarisella yhtälöllä on aina yksi juuri, joka löytyy seuraavasti.

Lisäämällä numeron yhtälön (1) molemmille puolille saadaan yhtälö

vastaa yhtälöä (1). Jakamalla yhtälön (2) molemmat puolet arvolla , saadaan yhtälön (1) juuri:

Toisen asteen yhtälö

Toisen asteen algebrallinen yhtälö.

, (3)

jossa , , on joitakin reaalilukuja, kutsutaan toisen asteen yhtälö. Jos , niin neliöyhtälöä (3) kutsutaan annettu .

Neliöyhtälön juuret lasketaan kaavalla

,

Ilmaisua kutsutaan syrjivä toisen asteen yhtälö.

Jossa:

jos , niin yhtälöllä on kaksi erilaista todellista juurta;

jos , niin yhtälöllä on yksi monikertaisyyden 2 reaalijuuri;

jos , niin yhtälöllä ei ole todellisia juuria, mutta sillä on kaksi monimutkaista konjugaattijuurta:

, ,

Neliöyhtälöiden (3) erityistyyppejä ovat:

1) Pelkistetty toisen asteen yhtälö (if ), joka yleensä kirjoitetaan muodossa

.

Annetun toisen asteen yhtälön juuret lasketaan kaavalla

. (4)

Tätä kaavaa kutsutaan Vietan kaavaksi, joka on nimetty 1500-luvun lopun ranskalaisen matemaatikon mukaan, joka antoi merkittävän panoksen algebrallisen symbolismin kehitykseen.

2) Neliöyhtälö, jolla on parillinen toinen kerroin, joka yleensä kirjoitetaan muodossa

( - kokonaisluku).

Tämän toisen asteen yhtälön juuret on kätevää laskea kaavan avulla

. (5)

Kaavat (4) ja (5) ovat erikoistyyppisiä kaavoja täydellisen toisen asteen yhtälön juurien laskemiseen.

Vähennetyn toisen asteen yhtälön juuret

liittyvät sen kertoimiin Vieta-kaavojen avulla

,

.

Jos annetulla toisen asteen yhtälöllä on todelliset juuret, Vietan kaavat antavat meille mahdollisuuden arvioida sekä merkit että toisen asteen yhtälön juurien suhteellinen suuruus, nimittäin:

jos , niin molemmat juuret ovat negatiivisia;

jos , niin molemmat juuret ovat positiivisia;

jos , , niin yhtälöllä on eri merkkien juuret ja negatiivinen juuri on absoluuttisesti suurempi kuin positiivinen;

jos , yhtälöllä on eri merkkien juuret ja negatiivinen juuri on pienempi kuin positiivinen juuri absoluuttisena arvona.

Kirjoitetaan toisen asteen yhtälö uudelleen

(6)

ja näytämme toisen tavan johtaa toisen asteen yhtälön (6) juuret sen kertoimien ja vapaan termin kautta. Jos

sitten toisen asteen yhtälön juuret lasketaan kaavalla

,

, .

joka voidaan saada seuraavien alkuperäisen yhtälön muunnosten tuloksena sekä ottamalla huomioon kaava (7).

,

Huomaa, että siksi

,

.

,

mutta kaavasta (7) siis lopulta

Jos laitamme sen +, niin

,

Huomaa, että siksi

,

,

mutta siis lopulta

.

Binomiyhtälöt

Muodon n:nnen asteen yhtälöt

nimeltään binomiyhtälö. kanssa ja vaihto)

missä on juuren aritmeettinen arvo, yhtälö (8) pelkistetään yhtälöön

Parittoman n:n binomiyhtälöllä on yksi todellinen juuri. Kompleksilukujen joukossa tällä yhtälöllä on n juurta (joista yksi on todellinen ja kompleksi):

( 0, 1, 2, ..., ). (9)

Binomiyhtälöllä parillinen n reaalilukujen joukossa on kaksi juuria , ja kompleksilukujen joukossa on n juuria laskettuna kaavalla (9).

Binomiyhtälöllä parilliselle n:lle on yksi reaalijuuri ja juurien kompleksilukujen joukossa, laskettuna kaavalla

( 0, 1, 2, ..., ). (10)

Binomiyhtälöllä jopa n:lle ei ole todellisia juuria. Kompleksilukujen joukossa yhtälöllä on kaavan (10) mukaan lasketut juuret.

Tehdään lyhyt yhteenveto binomiyhtälön juurijoukoista tietyille n:n arvoille.

Yhtälöllä on kaksi todellista juuria.

.

Yhtälössä on kaksi reaalijuurta ja kaksi kompleksista juuria.

Yhtälöllä ei ole todellisia juuria. Monimutkaiset juuret: .

Yhtälössä on yksi todellinen juuri ja kaksi kompleksista juuria

.

Yhtälöllä ei ole todellisia juuria. Monimutkaiset juuret:

, .

Kuutioyhtälöt

Jos Babylonian ja Muinaisen Intian matemaatikot pystyivät ratkaisemaan toisen asteen yhtälöitä, niin kuutioyhtälöt, ts. muodon yhtälöt

osoittautui kovaksi pähkinäksi. 1400-luvun lopulla. Rooman ja Milanon yliopistojen matematiikan professori Luca Pacioli asetti kuuluisassa oppikirjassaan "Aritmetiikkaa, geometriaa, suhteita ja suhteellisuutta koskevien tietojen summa" ongelman yleisen menetelmän löytämisestä kuutioyhtälöiden ratkaisemiseksi neliöintiongelman kanssa. ympyrä. Ja kuitenkin, italialaisten algebraistien ponnisteluilla, tällainen menetelmä löydettiin pian.

Aloitetaan yksinkertaistamisesta

Jos yleismuotoinen kuutioyhtälö

jaettuna luvulla , niin kertoimesta at tulee yhtä suuri kuin 1. Siksi edetään jatkossa yhtälöstä

Aivan kuten toisen asteen yhtälön ratkaisu perustuu summan neliön kaavaan, kuutioyhtälön ratkaisu perustuu summan kuution kaavaan:

Jotta kertoimet eivät menisi sekaisin, korvataan tämä termillä ja järjestellään ne uudelleen:

Näemme, että valitsemalla oikein, nimittäin ottamalla , voimme varmistaa, että tämän kaavan oikea puoli eroaa yhtälön (11) vasemmasta puolelta vain kertoimella at ja vapaalla termillä. Lasketaan yhteen yhtälöt (11) ja (12) ja annetaan samanlaiset:

Jos teemme substituution tässä, saamme kuutioyhtälön suhteessa ilman termiä c:

.

Olemme siis osoittaneet, että kuutioyhtälössä (11) voidaan sopivalla substituutiolla päästä eroon termistä, joka sisältää tuntemattoman neliön. Siksi ratkaisemme nyt muodon yhtälön

. (13)

Cardanon kaava

Katsotaanpa uudelleen summakuution kaavaa, mutta kirjoitetaan se eri tavalla:

Vertaa tätä kohtaa yhtälöön (13) ja yritä muodostaa yhteys niiden välille. Se ei ole helppoa edes vihjeellä. Meidän täytyy osoittaa kunnioitusta renessanssin matemaatikoille, jotka ratkaisivat kuutioyhtälön tuntematta aakkosymboliikkaa. Korvataan kaavaamme:

Nyt on selvää: yhtälön (13) juuren löytämiseksi riittää yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen

tai

ja ota summaksi ja . Korvaamalla tämä järjestelmä pelkistyy hyvin yksinkertaiseen muotoon:

Sitten voit toimia eri tavoin, mutta kaikki "tiet" johtavat samaan toisen asteen yhtälöön. Esimerkiksi Vietan lauseen mukaan pelkistetyn toisen asteen yhtälön juurien summa on yhtä suuri kuin miinusmerkkinen kerroin ja tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi. Tästä seuraa, että ja ovat yhtälön juuret

.

Kirjoitetaan nämä juuret ylös:

Muuttujat ja ovat yhtä suuria kuin ja , ja kuutioyhtälön (13) haluttu ratkaisu on näiden juurien summa:

.

Tämä kaava tunnetaan nimellä Cardanon kaava .

Trigonometrinen ratkaisu

, , . (14)

"Epätäydellisen" kuutiometrisen yhtälön (14) juuret , , ovat yhtä suuret

, ,

, ,

.

Olkoon ”epätäydellinen” kuutioyhtälö (14) voimassa.

a) Jos ("vähentämätön" tapaus), niin

,

,

.

(b) Jos , , niin

, ,

, .

(c) Jos , , niin

, ,

, .

Kaikissa tapauksissa otetaan kuutiojuuren todellinen arvo.

Bikvadraattinen yhtälö

Neljännen asteen algebrallinen yhtälö.

,

jossa a, b, c ovat joitain reaalilukuja, joita kutsutaan bikvadraattinen yhtälö. Korvaamalla yhtälö pelkistetään toisen asteen yhtälöksi jonka jälkeen ratkaistaan ​​kaksi binomiyhtälöä ja ( ja ovat vastaavan toisen asteen yhtälön juuret).

Jos ja , niin biquadratic yhtälöllä on neljä todellista juurta:

, .

Jos , ), niin bikvadraattisella yhtälöllä on kaksi todellista juuria ja kuvitteellinen konjugaattijuuri:

.

Jos ja , Biquadratic yhtälöllä on neljä puhtaasti kuvitteellista parittaista konjugaattijuurta:

, .

Neljännen asteen yhtälöt

Menetelmä neljännen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi löydettiin 1500-luvulla. Ludovico Ferrari, Gerolamo Cardanon oppilas. Sitä kutsutaan menetelmäksi. Ferrari .

Kuten kuutio- ja neliöyhtälöiden ratkaisemisessa, neljännen asteen yhtälössä

voit päästä eroon termistä korvaamalla. Siksi oletetaan, että tuntemattoman kuution kerroin on nolla:

Ferrarin ideana oli esittää yhtälö muodossa , jossa vasen puoli on lausekkeen neliö ja oikea puoli on lineaarisen yhtälön neliö, jonka kertoimet riippuvat . Tämän jälkeen on vielä ratkaistava kaksi toisen asteen yhtälöä: ja . Tietenkin tällainen esitys on mahdollista vain erityisellä parametrin valinnalla. On kätevää ottaa se muodossa , jolloin yhtälö kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

. (15)

Tämän yhtälön oikea puoli on . Se on täydellinen neliö, kun sen diskriminantti on yhtä suuri kuin nolla, ts.

, tai

Tätä yhtälöä kutsutaan päättäväinen(eli "salliva"). Se on suhteellisen kuutioinen, ja Cardanon kaavan avulla voimme löytää osan sen juurista. Kun yhtälön (15) oikea puoli saa muodon

,

ja itse yhtälö pelkistetään kahdeksi toisen asteen suuruiseksi:

.

Niiden juuret antavat kaikki ratkaisut alkuperäiseen yhtälöön.

Ratkaistaan ​​esimerkiksi yhtälö

Täällä on kätevämpää käyttää ei valmiita kaavoja, vaan ratkaisun ideaa. Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon

ja lisää lauseke molemmille puolille niin, että vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö:

Yhdistätään nyt yhtälön oikean puolen diskriminantti nollaan:

tai yksinkertaistamisen jälkeen

Yksi tuloksena olevan yhtälön juurista voidaan arvata selvittämällä vapaan termin jakajat: . Tämän arvon korvaamisen jälkeen saamme yhtälön

missä . Saatujen toisen asteen yhtälöiden juuret ovat Ja . Tietenkin yleensä voidaan saada myös monimutkaisia ​​​​juuria.

Descartes-Eulerin ratkaisu

korvaamalla se pelkistetään "epätäydelliseen" muotoon

. (16)

Neljännen asteen (16) ”epätäydellisen” yhtälön juuret , , , ovat yhtä suuria kuin jokin lausekkeista

jossa valitaan merkkiyhdistelmiä niin, että ehto täyttyy

missä , ja ovat kuutioyhtälön juuret

.

Korkean asteen yhtälöt

Liukenevuus radikaaleissa

Kaava neliöyhtälön juurille on ollut tiedossa ikimuistoisista ajoista lähtien, ja 1500-luvulla. Italialaiset algebraistit ratkaisivat kolmannen ja neljännen asteen yhtälöitä radikaaleilla. Siten todettiin, että minkä tahansa yhtälön juuret, jotka eivät ylitä neljättä astetta, ilmaistaan ​​yhtälön kertoimilla kaavalla, joka käyttää vain neljää aritmeettista operaatiota (yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku) ja asteen juurien erottamista. ei ylitä yhtälön astetta. Lisäksi kaikki tietyn asteen yhtälöt () voidaan "palvella" yhdellä yleisellä kaavalla. Korvaamalla yhtälön kertoimet siihen, saamme kaikki juuret - sekä todelliset että kompleksiset.

Tämän jälkeen heräsi luonnollisesti kysymys: onko olemassa samanlaisia ​​​​yleisiä kaavoja viidennen asteen ja korkeampien yhtälöiden ratkaisemiseksi? Vastauksen tähän löysi norjalainen matemaatikko Niels Henrik Abel 1800-luvun alussa. Hieman aikaisemmin tämän tuloksen ilmaisi italialainen Paolo Ruffini, mutta sitä ei perustellut riittävästi. Abel-Ruffinin lause kuuluu näin:

Yleinen tehon yhtälö on ratkaisematon radikaaleissa.

Siten ei ole olemassa yleistä kaavaa, joka soveltuisi kaikkiin tietyn asteen yhtälöihin. Tämä ei kuitenkaan tarkoita, että tietyntyyppisiä korkean asteen yhtälöitä olisi mahdotonta ratkaista radikaaleissa. Abel itse löysi tällaisen ratkaisun laajalle mielivaltaisen korkea-asteen yhtälöluokalle - niin kutsutuille Abelin yhtälöille. Abel-Ruffinin lause ei edes sulje pois sitä tosiasiaa, että jokaisen tietyn algebrallisen yhtälön juuret voidaan kirjoittaa sen kertoimien kautta käyttämällä aritmeettisten operaatioiden ja radikaalien merkkejä, erityisesti, että mikä tahansa algebrallinen luku, ts. muodon yhtälön juuri

kokonaislukukertoimilla, voidaan ilmaista radikaaleina rationaalilukujen kautta. Itse asiassa tällaista ilmaisua ei aina ole olemassa. Tämä seuraa algebrallisten yhtälöiden ratkaistavuuslauseesta, jonka erinomainen ranskalainen matemaatikko Evariste Galois on laatinut "Muistelmassaan radikaalien yhtälöiden ratkaistavuuden ehdoista" (1832; julkaistu vuonna 1846).

Korostamme, että sovelletuissa ongelmissa olemme kiinnostuneita vain yhtälön juurien likimääräisistä arvoista. Siksi sen liuottavuudella radikaaleissa ei yleensä ole merkitystä tässä. On olemassa erityisiä laskentamenetelmiä, joiden avulla voit löytää minkä tahansa yhtälön juuret millä tahansa ennalta määrätyllä tarkkuudella, ei vähemmällä kuin valmiilla kaavoilla tehdyissä laskelmissa.

Yhtälöt, jotka on ratkaistu

Vaikka korkean asteen yhtälöt ovat yleensä ratkaisemattomia radikaaleissa, Cardanon ja Ferrarin kaavat kolmannen ja neljännen asteen yhtälöille eivät toimi koulussa algebra-oppikirjoissa ja korkeakoulujen pääsykokeissa on joskus ongelmia, joissa sinun on ratkaistava yhtälöitä, jotka ovat korkeampia. toinen aste. Yleensä ne valitaan erityisesti siten, että yhtälöiden juuret voidaan löytää jollain alkeistekniikalla.

Yksi näistä tekniikoista perustuu lauseeseen polynomin rationaalisista juurista:

Jos pelkistymätön murtoluku on kokonaislukukertoimien polynomin juuri, niin sen osoittaja on vapaan termin jakaja ja nimittäjä pääkertoimen jakaja.

Todista se vain korvaamalla se yhtälöllä ja kertomalla yhtälö . Saamme

Kaikki vasemmalla puolella olevat ehdot, paitsi viimeinen, ovat jaollisia :lla, joten se on jaollinen :lla ja koska ja ovat suhteellisen alkulukuja, se on luvun jakaja. Todiste on samanlainen.

Tämän lauseen avulla voit löytää yhtälön kaikki rationaaliset juuret kokonaislukukertoimilla testaamalla äärellinen määrä "ehdokkaita". Esimerkiksi yhtälölle

jonka johtava kerroin on 1, ”ehdokkaat” ovat luvun –2 jakajia. Niitä on vain neljä: 1, -1, 2 ja -2. Tarkastus osoittaa, että vain yksi näistä luvuista on juuri: .

Jos yksi juuri löytyy, voit alentaa yhtälön astetta. Bezoutin lauseen mukaan

loppuosa polynomin jakamisesta binomialla on yhtä suuri kuin ts.

Lauseesta seuraa suoraan, että

Jos on polynomin juuri, niin polynomi jaetaan, eli missä on polynomi, jonka aste on 1 pienempi kuin.

Jatkamme esimerkkiämme, otamme pois polynomista

tekijä . Löytääksesi osamäärän, voit suorittaa jaon kulman avulla:

Mutta on helpompikin tapa. Se selviää esimerkistä:

Nyt jäljellä on vain ratkaista toisen asteen yhtälö . Sen juuret:

.

Epävarma kerroinmenetelmä

Jos polynomilla, jolla on kokonaislukukerroin, ei ole rationaalisia juuria, voit yrittää hajottaa sen kokonaislukukertoimilla alemman asteen tekijöiksi. Harkitse esimerkiksi yhtälöä

Kuvitellaan vasen puoli kahden neliötrinomin tulona, ​​joilla on tuntemattomat (määrittämättömät) kertoimet:

Avataan oikealla puolella olevat sulut ja annetaan vastaavat:

Nyt, vertaamalla kertoimet samoilla tehoilla molemmissa osissa, saamme yhtälöjärjestelmän

Yritys ratkaista tämä järjestelmä yleisessä muodossa vie meidät takaisin alkuperäisen yhtälön ratkaisemiseen. Mutta kokonaisia ​​juuria, jos niitä on, ei ole vaikea löytää valinnalla. Yleisyyttä menettämättä voimme olettaa, että , niin viimeinen yhtälö osoittaa, että vain kahta vaihtoehtoa on harkittava: , ja . Korvaamalla nämä arvoparit jäljellä oleviin yhtälöihin, olemme vakuuttuneita siitä, että ensimmäinen niistä antaa halutun laajennuksen: . Tätä ratkaisua kutsutaan määrittämättömien kertoimien menetelmä .

Jos yhtälön muoto on , missä ja ovat polynomeja, niin korvaus pelkistää ratkaisunsa kahden alemman asteen yhtälön ratkaisuksi: ja .

Käänteisyhtälöt

Käänteinen algebrallinen yhtälö on muodon parillisen asteen yhtälö

jossa kertoimet, jotka ovat tasaisin välein päistä, ovat yhtä suuria kuin: jne. Tällainen yhtälö pienennetään puolen asteen yhtälöksi jakamalla ja korvaamalla .

Harkitse esimerkiksi yhtälöä

Jakamalla sen arvolla (mikä on laillista, koska se ei ole juuri), saamme

.

huomaa, että

.

Siksi määrä täyttää toisen asteen yhtälön

,

ratkaiseminen, joka löytyy yhtälöstä .

Kun ratkaistaan ​​korkeamman asteen käänteisyhtälöitä, he yleensä käyttävät sitä tosiasiaa, että minkä tahansa lauseke voidaan esittää asteen polynomina .

Rationaaliset algebralliset yhtälöt

Rationaalista algebrallinen yhtälö on muodon yhtälö

Rationaalisen algebrallisen yhtälön (17) sallittujen arvojen joukko

saadaan ehdolla, eli , , ..., jossa , , ..., ovat polynomin juuret.

Menetelmä yhtälön (17) ratkaisemiseksi on seuraava. Yhtälön ratkaiseminen

joiden juuria me merkitsemme

.

Vertaamme polynomien ja . Jos mikään polynomin juuri ei ole polynomin juuri, niin kaikki polynomin juuret ovat yhtälön (17) juuria. Jos jokin polynomin juuri on polynomin juuri, niin on verrattava moninkertaisuudesta: jos polynomin juuren monikerta on suurempi kuin polynomin juuren monikerta, niin tämä juuri on juuri (17) kertoimella, joka on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan juurien kertoimien välinen erotus; muuten polynomin juuri ei ole rationaalisen yhtälön (17) juuri.

ESIMERKKI Etsitään yhtälön todelliset juuret

Missä , .

Polynomilla on kaksi todellista juuria (molemmat yksinkertaiset):

Polynomilla on yksi yksinkertainen juuri. Siksi yhtälöllä on yksi todellinen juuri.

Ratkaisemalla saman yhtälön kompleksilukujen joukossa huomaamme, että yhtälöllä on ilmoitetun reaalijuuren lisäksi kaksi kompleksikonjugaattijuurta:

Irrationaaliset yhtälöt

Yhtälö, joka sisältää tuntemattoman (tai rationaalisen algebrallisen lausekkeen tuntemattomalle) radikaalin merkin alla on ns. irrationaalinen yhtälö. Alkeismatematiikassa irrationaalisten yhtälöiden ratkaisut löytyvät reaalilukujoukosta.

Mikä tahansa irrationaalinen yhtälö voidaan pelkistää rationaaliseksi algebralliseksi yhtälöksi käyttämällä alkebrallisia operaatioita (kerto-, jako-, yhtälön molempien puolten nostaminen kokonaislukupotenssiin). On pidettävä mielessä, että tuloksena oleva rationaalinen algebrallinen yhtälö voi osoittautua epäekvivalenssiksi alkuperäisen irrationaalisen yhtälön kanssa, nimittäin se voi sisältää "ylimääräisiä" juuria, jotka eivät ole alkuperäisen irrationaalisen yhtälön juuria. Siksi, kun tuloksena olevan rationaalisen algebrallisen yhtälön juuret on löydetty, on tarpeen tarkistaa, ovatko kaikki rationaalisen yhtälön juuret irrationaalisen yhtälön juuria.

Yleisessä tapauksessa on vaikea osoittaa mitään universaalia menetelmää minkä tahansa irrationaalisen yhtälön ratkaisemiseksi, koska on toivottavaa, että alkuperäisen irrationaalisen yhtälön muunnosten seurauksena tuloksena ei ole vain jokin rationaalinen algebrallinen yhtälö. jossa tulee olemaan annetun irrationaalisen yhtälön juuret, vaan rationaalinen algebrallinen yhtälö, joka on muodostettu mahdollisimman pienimmistä polynomeista. Halu saada se rationaalinen algebrallinen yhtälö, joka muodostetaan mahdollisimman pienistä polynomeista, on melko luonnollista, koska rationaalisen algebrallisen yhtälön kaikkien juurien löytäminen sinänsä voi osoittautua melko vaikeaksi tehtäväksi, jonka voimme ratkaista täysin vain hyvin rajoitetussa määrässä tapauksia.

Esitetään joitain tavallisia, useimmin käytettyjä menetelmiä irrationaalisten algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseksi.

1) Yksi yksinkertaisimmista menetelmistä irrationaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi on menetelmä radikaalien eliminoimiseksi nostamalla yhtälön molemmat puolet peräkkäin sopivaan luonnolliseen potenssiin. On syytä muistaa, että kun yhtälön molemmat puolet nostetaan parittomaan potenssiin, tuloksena oleva yhtälö vastaa alkuperäistä, ja kun yhtälön molemmat puolet nostetaan parilliseen potenssiin, tuloksena oleva yhtälö on yleensä Puhuttaessa, olla ei-ekvivalentti alkuperäisen yhtälön kanssa. Tämä voidaan helposti varmistaa nostamalla yhtälön molempia puolia

missä tahansa tasossa. Tämän operaation tulos on yhtälö

jonka ratkaisujoukko on ratkaisujoukkojen liitto:

JA .

Tästä haitasta huolimatta menettely, jossa yhtälön molemmat puolet nostetaan johonkin (usein jopa) potenssiin, on kuitenkin yleisin menettely irrationaalisen yhtälön pelkistämiseksi rationaaliseksi yhtälöksi.

jossa , , on joitakin polynomeja.

Reaalilukujoukon juuren erottamisoperaation määritelmän vuoksi tuntemattoman sallitut arvot määräytyvät ehtojen mukaan

Neliöimällä yhtälön (18) molemmat puolet saadaan yhtälö

Jälleen neliöinnin jälkeen yhtälöstä tulee algebrallinen yhtälö

Koska yhtälön (18) molemmat puolet on neliöity, voi käydä ilmi, että yhtälön (19) kaikki juuret eivät ole ratkaisuja alkuperäiseen yhtälöön.

2) Toinen esimerkki irrationaalisten yhtälöiden ratkaisemisesta on menetelmä uusien tuntemattomien tuomiseksi, jolle saadaan joko yksinkertaisempi irrationaalinen yhtälö tai rationaalinen yhtälö.

Esimerkki 2. Ratkaise irrationaalinen yhtälö

.

Tämän yhtälön kelvollisten arvojen joukko on:

Asettamalla , korvauksen jälkeen saamme yhtälön

tai vastaava yhtälö

jota voidaan pitää toisen asteen yhtälönä suhteessa . Ratkaisemalla tämän yhtälön saamme

Siksi alkuperäisen irrationaalisen yhtälön ratkaisujoukko on kahden seuraavan yhtälön ratkaisujoukkojen liitto:

, .

Nostamalla kummankin yhtälön molemmat puolet kuutioksi, saadaan kaksi rationaalista algebrallista yhtälöä:

, .

Ratkaisemalla nämä yhtälöt huomaamme, että tällä irrationaalisella yhtälöllä on yksi juuri.

Lopuksi todetaan, että irrationaalisia yhtälöitä ratkaistaessa yhtälön ratkaisemista ei pidä aloittaa nostamalla yhtälöiden molempia puolia luonnolliseen potenssiin, yrittäen pelkistää irrationaalisen yhtälön ratkaisua rationaalisen algebrallisen yhtälön ratkaisuksi. Ensin meidän täytyy nähdä, onko mahdollista tehdä jokin identtinen muunnos yhtälöstä, joka voi merkittävästi yksinkertaistaa sen ratkaisua.

. (20)

Tämän yhtälön hyväksyttävien arvojen joukko on: . Tehdään tästä yhtälöstä seuraavat muunnokset:

.

,

yhtälöllä ei ole ratkaisuja;

kun yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa

.

Kun tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska mille tahansa yhtälön sallittujen arvojen joukkoon kuuluvalle lausekkeelle yhtälön vasemmalla puolella oleva lauseke on positiivinen.

Kun yhtälöllä on ratkaisu

.

Kun otetaan huomioon, että yhtälön hyväksyttävien ratkaisujen joukko määräytyy ehdon mukaan, saadaan lopulta:

Irrationaalista yhtälöä (20) ratkaistaessa tulee olemaan

.

Kaikille muille arvoille yhtälöllä ei ole ratkaisuja, eli sen ratkaisujen joukko on tyhjä joukko.

Yhtälöt, jotka sisältävät tuntemattoman absoluuttisen arvon merkin alla

Yhtälöt, jotka sisältävät tuntemattoman absoluuttisen arvon etumerkillä, voidaan pelkistää yhtälöiksi ilman absoluuttisen arvon etumerkkiä käyttämällä moduulin määritelmää. Joten esimerkiksi yhtälön ratkaiseminen

(21)

pelkistyy kahden yhtälön ratkaisemiseen lisäehdoilla.

1) Jos , niin yhtälö (21) pelkistetään muotoon

. (22)

Tämän yhtälön ratkaisut: , . Ehto täyttyy toisen asteen yhtälön (22) juurella ja luku 3 on yhtälön (21) juuri.

2) Jos , yhtälö (21) pelkistetään muotoon

.

Tämän yhtälön juuret ovat numerot Ja . Ensimmäinen juuri ei täytä ehtoa eikä siksi ole ratkaisu tähän yhtälöön (21).

Siten yhtälön (21) ratkaisut ovat numerot 3 ja .

Huomaa, että absoluuttisen arvon merkin alla tuntemattoman sisältävän yhtälön kertoimet voidaan valita siten, että yhtälön ratkaisut ovat kaikki numeerisen akselin tiettyyn väliin kuuluvat tuntemattoman arvot. Ratkaistaan ​​esimerkiksi yhtälö

. (23)

Katsotaan numeerista akselia Ox ja merkitään siihen pisteet 0 ja 3 (absoluuttisen arvon merkin alle funktioiden nollat). Nämä pisteet jakavat numeroviivan kolmeen väliin (kuva 1):

1) Kun yhtälö (23) pelkistetään muotoon

Välissä viimeisellä yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Vastaavasti, kun yhtälö (23) pelkistetään muotoon

ja välissä ei ole ratkaisuja.

2) Kun yhtälö (23) pelkistetään muotoon

,

eli se muuttuu identiteetiksi. Siksi mikä tahansa arvo on yhtälön (23) ratkaisu.

Transsendenttiset yhtälöt

Yhtälö, jota ei voida pelkistää algebralliseksi yhtälöksi algebrallisilla muunnoksilla, kutsutaan transsendenttinen yhtälö ).

Yksinkertaisimmat transsendentaaliset yhtälöt ovat eksponentiaaliset, logaritmiset ja trigonometriset yhtälöt.

Eksponentiaaliyhtälöt

Eksponentiaalinen yhtälö on yhtälö, jossa tuntematon sisältyy vain joidenkin vakiokantojen eksponentteihin.

Yksinkertaisin eksponentiaaliyhtälö, jonka ratkaisu pelkistyy algebrallisen yhtälön ratkaisuksi, on muotoa

missä ja on joitain positiivisia lukuja. Eksponentiaaliyhtälö (24) on ekvivalentti algebrallisen yhtälön kanssa

.

Yksinkertaisimmassa tapauksessa, kun , eksponentiaalisella yhtälöllä (24) on ratkaisu

Ratkaisujoukko muodon eksponentiaaliyhtälöön

missä on jokin polynomi, joka löytyy seuraavasti.

Uusi muuttuja otetaan käyttöön ja yhtälö (25) ratkaistaan ​​algebrallisena suhteessa tuntemattomaan. Tämän jälkeen alkuperäisen yhtälön (25) ratkaiseminen pelkistetään muodon (24) yksinkertaisimpien eksponenttiyhtälöiden ratkaisemiseksi.

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö

Yhtälön kirjoittaminen muotoon

ja ottamalla käyttöön uuden muuttujan, saamme muuttujan suhteen kuutioyhtälön:

On helppo varmistaa, että tällä kuutioyhtälöllä on yksi rationaalinen juuri ja kaksi irrationaalista juuria: ja .

Näin ollen alkuperäisen yhtälön ratkaiseminen pelkistetään yksinkertaisimpien eksponentiaalisten yhtälöiden ratkaisemiseen:

Viimeisessä luettelossa ei ole ratkaisuyhtälöitä. Ensimmäisen ja toisen yhtälön ratkaisut:

Jotkut yksinkertaisimmista indikaattoriyhtälöistä:

1) Muodon yhtälö

.

2) Muodon yhtälö

korvaaminen pelkistyy toisen asteen yhtälöksi

.

3) Muodon yhtälö

korvaaminen pelkistyy toisen asteen yhtälöksi

.

Logaritmiset yhtälöt

Logaritminen Yhtälö on yhtälö, jossa tuntematon esiintyy logaritmisen funktion argumenttina.

Yksinkertaisin logaritminen yhtälö on muodon yhtälö

, (26)

missä jokin positiivinen luku eroaa yhdestä, on mikä tahansa reaaliluku. Logaritminen yhtälö (26) vastaa algebrallista yhtälöä

Yksinkertaisimmassa tapauksessa, kun , logaritmisella yhtälöllä (26) on ratkaisu

Joukko ratkaisuja muodon logaritmiseen yhtälöön , jossa on jokin määritetyn tuntemattoman polynomi, löytyy seuraavasti.

Uusi muuttuja otetaan käyttöön ja yhtälö (25) ratkaistaan ​​algebrallisena yhtälönä . Tämän jälkeen ratkaistaan ​​muodon (25) yksinkertaisimmat logaritmiset yhtälöt.

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö

Suhteessa tuntemattomaan tämä yhtälö on neliö:

.

Tämän yhtälön juuret ovat: , .

Logaritmisen yhtälön ratkaiseminen

saadaan ratkaisut logaritmiseen yhtälöön (27): , .

Joissakin tapauksissa logaritmisen yhtälön ratkaisun pelkistämiseksi algebrallisten ja yksinkertaisten logaritmien yhtälöiden peräkkäiseksi ratkaisuksi on ensin tehtävä sopivat muunnokset yhtälöön sisältyvistä logaritmeista. Tällaisia ​​muunnoksia voivat olla kahden suuren logaritmien summan muuntaminen näiden suureiden tulon logaritmiksi, siirtyminen logaritmista, jossa on yksi kanta, logaritmiin, jossa on toinen kanta jne.

Esimerkki 2. Ratkaise yhtälö

Tämän yhtälön ratkaisun pelkistämiseksi algebrallisten ja yksinkertaisten logaritmien yhtälöiden peräkkäiseksi ratkaisuksi on ensinnäkin tarpeen vähentää kaikki logaritmit yhteen kantaan (tässä esimerkiksi kantaan 2). Tätä varten käytämme kaavaa

,

jonka nojalla . Korvaamalla yhtälön (28) yhtälön, saadaan yhtälö

Korvaus tämä yhtälö pelkistyy toisen asteen yhtälöksi tuntemattomalle:

.

Tämän toisen asteen yhtälön juuret ovat: , . Ratkaisemme yhtälöitä ja :

,

Esimerkki 3. Ratkaise yhtälö

Kahden suuren logaritmien välisen eron muuntaminen näiden suureiden osamäärän logaritmiksi:

pelkistämme tämän yhtälön yksinkertaisimpaan logaritmiseen yhtälöön

.

Johtopäätös

Matematiikka, kuten mikään muu tiede, ei pysähdy yhteiskunnan kehityksen mukana, ihmisten näkemykset muuttuvat, syntyy uusia ajatuksia ja ideoita. Ja 1900-luku ei ollut poikkeus tässä mielessä. Tietokoneiden tulo teki muutoksia yhtälöiden ratkaisumenetelmiin ja helpotti niitä huomattavasti. Mutta tietokone ei välttämättä ole aina käsillä (tentti, koe), joten ainakin tärkeimmät yhtälöiden ratkaisutavat ovat välttämättömiä. Yhtälöiden käyttö jokapäiväisessä elämässä on harvinaista. Ne ovat löytäneet sovelluksensa monilla talouden aloilla ja lähes kaikilla uusimmilla teknologioilla.

Tässä työssä ei esitetty kaikkia yhtälöiden ratkaisumenetelmiä eikä edes kaikkia niiden tyyppejä, vaan vain alkeellisimmat. Toivon, että esseeni voi toimia hyvänä referenssimateriaalina tiettyjen yhtälöiden ratkaisemisessa. Lopuksi haluaisin huomauttaa, että tätä esseetä kirjoittaessani en asettanut itselleni tavoitteeksi näyttää kaikentyyppisiä yhtälöitä, vaan esitin vain materiaalin, joka minulla oli.

Luettelo käytetystä kirjallisuudesta

Pää. toim. M. D. Aksenova. Tietosanakirja lapsille. Osa 11. Matematiikka. – M.: Avanta+, 1998. – 688 s.

Tsypkin A.G. Toim. S. A. Stepanova. Matematiikan käsikirja lukiolle. – M.: Nauka, 1980.- 400 s.

G. Korn ja T. Korn. Matematiikan käsikirja tutkijoille ja insinööreille. – M.: Nauka, 1970.- 720 s.

) Alla hyväksyttävää ne kirjainten numeroarvot ymmärretään, joille kaikki yhtäläisyyteen kuuluville kirjaimille tehdyt toiminnot ovat mahdollisia. Esimerkiksi yhtäläisyyteen sisältyvien kirjainten voimassa olevat arvot

tulee olemaan seuraava; varten ; varten, varten

) Jos a:lla ja b:llä on eri merkit, niin .

) Tapaus on samanlainen kuin keskusteltu.

) Alla algebralliset muunnokset yhtälöt

Ymmärrä seuraavat muunnokset:

1) lisätään sama algebrallinen lauseke yhtälön molemmille puolille;

2) kerrotaan yhtälön molemmat puolet samalla algebrallisella lausekkeella;

3) yhtälön molempien puolten nostaminen rationaaliseksi potenssiksi.

Yksityisyytesi säilyttäminen on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Tutustu tietosuojakäytäntöihimme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Alla on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisistä henkilötiedoista saatamme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ainutlaatuisten tarjousten, kampanjoiden ja muiden tapahtumien ja tulevien tapahtumien yhteydessä.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootioon, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa - lain, oikeudellisen menettelyn, oikeudellisen menettelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai viranomaisten pyyntöjen perusteella - paljastaa henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisiin tarkoituksiin liittyvistä syistä.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot sovellettavalle seuraajalle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi kunnioittaminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, välitämme tietosuoja- ja turvallisuusstandardit työntekijöillemme ja noudatamme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Kun olemme tutkineet yhtälöiden käsitettä, nimittäin yhtä niiden tyyppiä - numeerisia yhtälöitä, voimme siirtyä toiseen tärkeään tyyppiin - yhtälöihin. Tämän materiaalin puitteissa selitämme mitä yhtälö ja sen juuri ovat, muotoilemme perusmääritelmiä ja annamme erilaisia ​​esimerkkejä yhtälöistä ja niiden juurien löytämisestä.

Yhtälön käsite

Tyypillisesti yhtälön käsite opetetaan koulun algebran kurssin alussa. Sitten se määritellään näin:

Määritelmä 1

Yhtälö kutsutaan yhtälöksi tuntemattoman luvun kanssa, joka on löydettävä.

Tuntemattomia on tapana merkitä pienillä latinalaisilla kirjaimilla, esimerkiksi t, r, m jne., mutta useimmiten käytetään x, y, z. Toisin sanoen yhtälön määrää sen tallennusmuoto, eli yhtälö on yhtälö vain, kun se pelkistetään tiettyyn muotoon - sen täytyy sisältää kirjain, arvo, joka on löydettävä.

Annamme muutamia esimerkkejä yksinkertaisimmista yhtälöistä. Nämä voivat olla yhtäläisyyksiä muotoa x = 5, y = 6 jne. sekä sellaisia, jotka sisältävät aritmeettisia operaatioita, esimerkiksi x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.

Kun hakasulkeiden käsite on tutkittu, ilmaantuu yhtälöiden käsite suluilla. Näitä ovat 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 jne. Etsittävä kirjain voi esiintyä useammin kuin kerran, mutta useita kertoja, esim. , esimerkiksi yhtälössä x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Myös tuntemattomat voivat sijaita paitsi vasemmalla, myös oikealla tai molemmissa osissa samanaikaisesti, esimerkiksi x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 tai 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Lisäksi, kun opiskelijat ovat perehtyneet kokonaislukujen, reaalilukujen, rationaalilukujen, luonnollisten lukujen sekä logaritmien, juurien ja potenssien käsitteisiin, ilmaantuu uusia yhtälöitä, jotka sisältävät kaikki nämä kohteet. Olemme omistaneet erillisen artikkelin esimerkeille tällaisista ilmauksista.

7. luokan opetussuunnitelmassa muuttujien käsite esiintyy ensimmäistä kertaa. Nämä ovat kirjaimia, joilla voi olla erilaisia ​​merkityksiä (katso lisätietoja numero-, kirjain- ja muuttujalausekkeita käsittelevästä artikkelista). Tämän käsitteen perusteella voimme määritellä yhtälön uudelleen:

Määritelmä 2

Yhtälö on yhtälö, joka sisältää muuttujan, jonka arvo on laskettava.

Eli esimerkiksi lauseke x + 3 = 6 x + 7 on yhtälö muuttujan x kanssa ja 3 y − 1 + y = 0 on yhtälö muuttujan y kanssa.

Yhdessä yhtälössä voi olla useampi kuin yksi muuttuja, mutta kaksi tai useampia. Niitä kutsutaan vastaavasti yhtälöiksi, joissa on kaksi, kolme muuttujaa jne. Kirjataanpa määritelmä ylös:

Määritelmä 3

Yhtälöt, joissa on kaksi (kolme, neljä tai enemmän) muuttujaa, ovat yhtälöitä, jotka sisältävät vastaavan määrän tuntemattomia.

Esimerkiksi yhtälö muotoa 3, 7 x + 0, 6 = 1 on yhtälö, jossa on yksi muuttuja x, ja x − z = 5 on yhtälö, jossa on kaksi muuttujaa x ja z. Esimerkki yhtälöstä, jossa on kolme muuttujaa, olisi x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

Yhtälön juuri

Kun puhumme yhtälöstä, herää heti tarve määritellä sen juuren käsite. Yritetään selittää, mitä se tarkoittaa.

Esimerkki 1

Meille annetaan tietty yhtälö, joka sisältää yhden muuttujan. Jos korvaamme tuntemattoman kirjaimen numerolla, yhtälöstä tulee numeerinen yhtälö - tosi tai epätosi. Joten jos yhtälössä a + 1 = 5 korvaamme kirjaimen numerolla 2, yhtälöstä tulee epätosi, ja jos 4, niin oikea yhtälö on 4 + 1 = 5.

Olemme kiinnostuneempia juuri niistä arvoista, joilla muuttuja muuttuu todelliseksi tasa-arvoksi. Niitä kutsutaan juuriksi tai ratkaisuiksi. Kirjoitetaan määritelmä ylös.

Määritelmä 4

Yhtälön juuri He kutsuvat muuttujan arvoa, joka muuttaa annetun yhtälön todelliseksi yhtälöksi.

Juurea voidaan kutsua myös ratkaisuksi tai päinvastoin - molemmat käsitteet tarkoittavat samaa asiaa.

Esimerkki 2

Otetaan esimerkki tämän määritelmän selventämiseksi. Yllä annoimme yhtälön a + 1 = 5. Määritelmän mukaan juuri tässä tapauksessa on 4, koska kirjaimen sijasta korvattuina se antaa oikean numeerisen yhtälön, ja kaksi ei ole ratkaisu, koska se vastaa väärää yhtälöä 2 + 1 = 5.

Kuinka monta juurta yhdellä yhtälöllä voi olla? Onko jokaisella yhtälöllä juuri? Vastataan näihin kysymyksiin.

On olemassa myös yhtälöitä, joilla ei ole yhtä juuria. Esimerkki olisi 0 x = 5. Voimme korvata siihen äärettömän määrän erilaisia ​​lukuja, mutta mikään niistä ei muuta sitä todelliseksi yhtälöksi, koska kertomalla 0:lla saadaan aina 0.

On myös yhtälöitä, joilla on useita juuria. Niillä voi olla joko äärellinen tai ääretön määrä juuria.

Esimerkki 3

Joten yhtälössä x − 2 = 4 on vain yksi juuri - kuusi, kohdassa x 2 = 9 kaksi juuria - kolme ja miinus kolme, kohdassa x · (x - 1) · (x - 2) = 0 kolme juuria - nolla, yksi ja kaksi, yhtälössä x=x on äärettömän monta juuria.

Selitämme nyt, kuinka yhtälön juuret kirjoitetaan oikein. Jos niitä ei ole, kirjoitamme: "yhtälöllä ei ole juuria". Tässä tapauksessa voit myös merkitä tyhjän joukon etumerkkiä ∅. Jos juuria on, kirjoitamme ne pilkuilla erotettuina tai merkitsemme ne joukon elementteinä sulkemalla ne aaltosulkeisiin. Joten, jos jollakin yhtälöllä on kolme juuria - 2, 1 ja 5, niin kirjoitamme - 2, 1, 5 tai (- 2, 1, 5).

On sallittua kirjoittaa juuria yksinkertaisten yhtälöiden muodossa. Joten, jos yhtälön tuntematon on merkitty kirjaimella y ja juuret ovat 2 ja 7, kirjoitetaan y = 2 ja y = 7. Joskus kirjaimiin lisätään alaindeksit, esimerkiksi x 1 = 3, x 2 = 5. Tällä tavalla osoitamme juurien numeroita. Jos yhtälössä on ääretön määrä ratkaisuja, kirjoitamme vastauksen numeerisena välinä tai käytämme yleisesti hyväksyttyä merkintää: luonnollisten lukujen joukkoa merkitään N, kokonaislukuja - Z, reaalilukuja - R. Oletetaan, että jos meidän on kirjoitettava, että yhtälön ratkaisu on mikä tahansa kokonaisluku, niin kirjoitetaan, että x ∈ Z, ja jos mikä tahansa reaaliluku yhdestä yhdeksään, niin y ∈ 1, 9.

Kun yhtälöllä on kaksi, kolme juuria tai enemmän, emme yleensä puhu juurista, vaan yhtälön ratkaisuista. Muotoillaan ratkaisun määritelmä yhtälöön, jossa on useita muuttujia.

Määritelmä 5

Kahden, kolmen tai useamman muuttujan yhtälön ratkaisu on kaksi, kolme tai useampia muuttujien arvoja, jotka muuttavat annetun yhtälön oikeaksi numeeriseksi yhtälöksi.

Selvitetään määritelmä esimerkein.

Esimerkki 4

Oletetaan, että meillä on lauseke x + y = 7, joka on yhtälö, jossa on kaksi muuttujaa. Korvataan yksi ensimmäisen sijasta ja kaksi toisen sijasta. Saamme väärän yhtälön, mikä tarkoittaa, että tämä arvopari ei ole ratkaisu tähän yhtälöön. Jos otamme parin 3 ja 4, yhtälöstä tulee totta, mikä tarkoittaa, että olemme löytäneet ratkaisun.

Tällaisilla yhtälöillä ei myöskään voi olla juuria tai niitä voi olla ääretön määrä. Jos meidän on kirjoitettava kaksi, kolme, neljä tai useampia arvoja, kirjoitamme ne pilkuilla erotettuina suluissa. Eli yllä olevassa esimerkissä vastaus näyttää tältä (3, 4).

Käytännössä joudut useimmiten käsittelemään yhtälöitä, jotka sisältävät yhden muuttujan. Tarkastelemme algoritmia niiden ratkaisemiseksi yksityiskohtaisesti artikkelissa, joka on omistettu yhtälöiden ratkaisemiseen.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter