1.3 Yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Kun ratkaistaan yhtälöitä kokonaislukuina ja luonnollisina luvuina, voidaan karkeasti erottaa seuraavat menetelmät:
1. Vaihtoehtojen luettelointimenetelmä.
2. Euklidinen algoritmi.
3. Jatketut murtoluvut.
4. Faktorisointimenetelmä.
5. Yhtälöiden ratkaiseminen kokonaislukuina neliöinä jonkin muuttujan suhteen.
6. Jäännösmenetelmä.
7. Äärettömän laskeutumisen menetelmä.
Luku 2. Menetelmien soveltaminen yhtälöiden ratkaisemiseen
1. Esimerkkejä yhtälöiden ratkaisemisesta.
2.1 Euklidinen algoritmi.
Ongelma 1 . Ratkaise yhtälö kokonaislukuina 407 X – 2816y = 33.
Käytetään koottua algoritmia.
1. Euklidisen algoritmin avulla löydämme lukujen 407 ja 2816 suurimman yhteisen jakajan:
2816 = 407 6 + 374;
407 = 374 1 + 33;
374 = 33 11 + 11;
Siksi (407.2816) = 11, jossa 33 on jaollinen 11:llä
2. Jaa alkuperäisen yhtälön molemmat puolet luvulla 11, saamme yhtälön 37 X – 256y= 3, jossa (37, 256) = 1
3. Euklidisen algoritmin avulla löydämme lineaarisen esityksen luvusta 1 lukujen 37 ja 256 kautta.
256 = 37 6 + 34;
Ilmaistakaamme 1 viimeisestä yhtälöstä, sitten peräkkäin yhtäläisyyksiä nostaen ilmaisemme 3; 34 ja korvaa saadut lausekkeet lausekkeella 1.
1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =
– 83·37 – 256·(–12)
Eli 37·(–83) – 256·(–12) = 1, siis lukupari x 0= – 83 ja v 0= – 12 on yhtälön 37 ratkaisu X – 256y = 3.
4. Kirjataan ylös alkuperäisen yhtälön ratkaisujen yleinen kaava
Missä t- mikä tahansa kokonaisluku.
2.2 Vaihtoehtojen luettelointimenetelmä.
Tehtävä 2. Kanit ja fasaanit istuvat häkissä, heillä on yhteensä 18 jalkaa. Ota selvää kuinka monta molemmista on solussa?
Ratkaisu: Laaditaan yhtälö kahdella tuntemattomalla muuttujalla, jossa x on kanien lukumäärä, y on fasaanien lukumäärä:
4x + 2y = 18 tai 2x + y = 9.
Ilmaistaan klo kautta X : y = 9 – 2x.
| X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| klo | 7 | 5 | 3 | 1 |
Ongelmalla on siis neljä ratkaisua.
Vastaus: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).
2.3 Faktorisointimenetelmä.
Vaihtoehtojen luetteleminen, kun löydetään luonnollisia ratkaisuja kahdelle muuttujalle yhtälölle, osoittautuu erittäin työlästä. Lisäksi, jos yhtälö on koko ratkaisuja, niitä on mahdotonta luetella, koska tällaisia ratkaisuja on ääretön määrä. Siksi näytämme vielä yhden tekniikan - faktorointimenetelmä.
Tehtävä 3. Ratkaise yhtälö kokonaislukuinay 3 - x 3 = 91.
Ratkaisu. 1) Käytämme lyhennettyjä kertolaskukaavoja kertoimella yhtälön oikea puoli:
(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91……………………….(1)
2) Kirjataan ylös kaikki luvun 91 jakajat: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91
3) Suorita tutkimusta. Huomaa, että kaikille kokonaisluvuille x Ja y määrä
y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,
siksi molempien yhtälön vasemmalla puolella olevien tekijöiden on oltava positiivisia. Tällöin yhtälö (1) vastaa yhtälöjärjestelmää:
; ; ;4) Kun järjestelmät on ratkaistu, saadaan: ensimmäisessä järjestelmässä on ratkaisut (5; 6), (-6; -5); kolmas (-3; 4), (-4; 3); toisella ja neljännellä ei ole ratkaisuja kokonaislukuina.
Vastaus: yhtälöllä (1) on neljä ratkaisua (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).
Tehtävä 4. Etsi kaikki luonnollisten lukujen parit, jotka täyttävät yhtälön
Ratkaisu. Kerrotaan yhtälön vasen puoli ja kirjoitetaan yhtälö muotoon
.Koska Luvun 69 jakajat ovat luvut 1, 3, 23 ja 69, jolloin 69 voidaan saada kahdella tavalla: 69=1·69 ja 69=3·23. Ottaen huomioon
, saamme kaksi yhtälöjärjestelmää, joiden ratkaisemiseksi voimme löytää tarvittavat luvut: tai .Ensimmäisessä järjestelmässä on ratkaisu
, ja toisella järjestelmällä on ratkaisu.Vastaus:
.Tehtävä 5. Ratkaise yhtälö kokonaislukuina:
.Ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälö muotoon
.Kerrotaan yhtälön vasen puoli. Saamme
.Kahden kokonaisluvun tulo voi olla 1 vain kahdessa tapauksessa: jos ne ovat molemmat yhtä suuria kuin 1 tai -1. Meillä on kaksi järjestelmää:
tai .Ensimmäisen järjestelmän ratkaisu on x=2, y=2 ja toisen järjestelmän ratkaisu x=0, y=0.
Vastaus:
.Tehtävä 6. Ratkaise yhtälö kokonaislukuina
Ratkaisu. Kirjoitetaan tämä yhtälö muotoon
.Kerrotaan yhtälön vasen puoli ryhmittelymenetelmällä, saamme
.Kahden kokonaisluvun tulo voi olla 7 seuraavissa tapauksissa:
7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1) Siten saadaan neljä järjestelmää:
tai , tai , tai .Ensimmäisen järjestelmän ratkaisu on lukupari x = - 5, y = - 6. Ratkaisemalla toisen järjestelmän saamme x = 13, y = 6. Kolmannen järjestelmän ratkaisuna ovat luvut x = 5, y = 6. Neljännellä järjestelmällä on ratkaisu x = - 13, y = - 6.
.Tehtävä 7. Todista, että yhtälö ( x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 ei
Kunnallinen oppilaitos
Savrushskayan lukio
Pokhvistnevskyn piiri, Samaran alue
Tiivistelmä matematiikasta aiheesta:
"Yhtälöt kahdella
tuntematon
kokonaislukuina"
Täydentäjä: Kolesova Tatyana
Staroverova Nina
klo 10 luokan oppilaat
Kunnallinen oppilaitos Savrushskayan lukio
Pokhvistnevskyn alue
Samaran alue.
Valvoja: Yatmankina Galina Mikhailovna
matematiikan opettaja.
Savrukha 2011
Johdanto.___________________________________________________________3
1. Historiallinen tausta _________________________________________________________5
1.1 Lauseet lineaaristen diofantiiniyhtälöiden ratkaisujen lukumäärästä___6
1.2 Algoritmi yhtälöiden ratkaisemiseksi kokonaislukuina_________________ 6
1.3 Yhtälöiden ratkaisumenetelmät_____________________________________ 7
Luku 2. Menetelmien soveltaminen yhtälöiden ratkaisemiseen.
1. Ongelmanratkaisu_______________________________________________________ 8
2.1 Ongelmien ratkaiseminen euklidisen algoritmin avulla________________ 8
2.2 Vaihtoehtojen luettelointitapa_____________________________________ 9
2.3 Faktorisointimenetelmä___________________________________ 9
2.4 Jäännösmenetelmä__________________________________________________________ 12
2. Tenttitason tehtävät___________________________________ 13
Johtopäätös_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 16
Viiteluettelo __________________________________________________________________________________
"Kuka hallitsee numeroita,
Hän hallitsee maailmaa"
Pythagoras.
Johdanto.
Analyysi tilanteesta: Diofantiiniyhtälöt ovat ajankohtainen aihe meidän aikanamme, sillä yhtälöiden, epäyhtälöiden ja ongelmien ratkaiseminen, jotka rajoittuvat yhtälöiden ratkaisemiseen kokonaislukuina muuttujien estimaateilla, löytyy erilaisista matemaattisista kokoelmista ja Unified State Examinationin kokoelmista.
Tutkittuamme erilaisia tapoja ratkaista yhden muuttujan toisen asteen yhtälö luokassa, olimme kiinnostuneita ymmärtämään, kuinka kahdella muuttujalla olevat yhtälöt ratkaistaan. Tällaisia tehtäviä löytyy olympialaisista ja yhtenäisen valtiontutkinnon materiaaleista.
Tänä lukuvuonna yhdestoista luokkalaisten on suoritettava matematiikan yhtenäinen valtiokoe, jossa KIM:t kootaan uuden rakenteen mukaan. Osaa "A" ei ole, mutta tehtävät on lisätty osaan "B" ja "C". Kääntäjät selittävät C6:n lisäämisen sillä, että päästäkseen teknilliseen korkeakouluun on kyettävä ratkaisemaan niin monimutkaisia tehtäviä.
Ongelma: Ratkaisessamme Unified State Exam -tehtävien malliversioita havaitsimme, että useimmiten C6:ssa on tehtäviä ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi kokonaislukuina. Mutta emme tiedä kuinka ratkaista tällaisia yhtälöitä. Tältä osin tuli tarpeelliseksi tutkia tällaisten yhtälöiden teoriaa ja algoritmia niiden ratkaisemiseksi.
Kohde: Hallitse menetelmä yhtälöiden ratkaisemiseksi kahdella ensimmäisen ja toisen asteen tuntemattomalla kokonaisluvuilla.
Tehtävät: 1) Opiskelu- ja hakukirjallisuutta;
2) Kerää teoreettista materiaalia yhtälöiden ratkaisumenetelmistä;
3) Analysoi algoritmi tämän tyyppisten yhtälöiden ratkaisemiseksi;
4) Kuvaile ratkaisua.
5) Harkitse useita esimerkkejä tämän tekniikan avulla.
6) Ratkaise kahdella muuttujalla olevat yhtälöt kokonaislukuina alkaen
Unified State Exam-2010 C6 -materiaalit.
Tutkimuksen kohde : Yhtälöiden ratkaiseminen
Opintojen aihe : Yhtälöt, joissa on kaksi muuttujaa kokonaislukuina.
Hypoteesi: Tällä aiheella on suuri käytännön merkitys. Koulun matematiikan kurssilla tutkitaan yksityiskohtaisesti yhden muuttujan yhtälöitä ja erilaisia niiden ratkaisumenetelmiä. Opetusprosessin tarpeet edellyttävät, että opiskelija tietää ja osaa ratkaista yksinkertaisia kahdella muuttujalla olevia yhtälöitä. Siksi lisääntynyt huomio tähän aiheeseen ei ole vain perusteltua, vaan se on myös merkityksellistä koulun matematiikan kurssilla.
Tätä työtä voidaan käyttää opiskelemaan tätä aihetta opiskelijoiden valinnaisilla tunneilla, valmistauduttaessa loppu- ja pääsykokeisiin. Toivomme, että materiaalimme auttaa lukiolaisia oppimaan ratkaisemaan tämän tyyppisiä yhtälöitä.
Luku 1. Yhtälöiden teoria, joissa on kaksi muuttujaa kokonaislukuina.
1. Historiallinen tausta.
Diophantus ja diofantiiniyhtälöiden historia .
Yhtälöiden ratkaiseminen kokonaislukuina on yksi vanhimmista matemaattisista ongelmista. Tämä matematiikan alue saavutti suurimman kukoistuksensa muinaisessa Kreikassa. Päälähde, joka on tullut aikaansa, on Diophantuksen teos - "Aritmetiikka". Diophantus tiivisti ja laajensi ennen häntä kertynyttä kokemusta epämääräisten yhtälöiden ratkaisemisesta kokonaislukuina.
Historia on säilyttänyt meille muutamia piirteitä merkittävän Aleksandrian algebraistin Diophantuksen elämäkerrasta. Joidenkin lähteiden mukaan Diophantus eli vuoteen 364 jKr. Varmasti tiedetään vain Diophantuksen ainutlaatuinen elämäkerta, joka legendan mukaan kaiverrettiin hänen hautakiveensä ja esitti pulmatehtävän:
"Jumala lähetti hänet pojaksi kuudenneksi hänen elämästään; lisäten tähän kahdestoista osan, Hän peitti poskensa untuvalla; seitsemännen osan jälkeen Hän sytytti hänelle avioliiton valon ja viisi vuotta avioliiton jälkeen antoi hänelle pojan. Valitettavasti! Onneton myöhäinen lapsi, joka oli saavuttanut puolet isänsä elämästä, armoton kohtalo vei hänet pois. Neljä vuotta myöhemmin lohduttaen häntä kohtaamaa surua lukutieteen avulla hän [Diophantus] päätti elämänsä” (noin 84-vuotias).
Tämä palapeli on esimerkki ongelmista, jotka Diophantus ratkaisi. Hän oli erikoistunut kokonaislukujen ongelmien ratkaisemiseen. Tällaisia ongelmia kutsutaan tällä hetkellä diofantiiniongelmiksi.
Tunnetuin ongelma, jonka Diophantus ratkaisi, on "kahdeksi neliöksi hajoaminen" -tehtävä. Sen vastine on hyvin tunnettu Pythagoraan lause. Tämä teoreema tunnettiin Babyloniassa, ehkä se tunnettiin myös muinaisessa Egyptissä, mutta se todistettiin ensimmäisen kerran Pythagoraan koulukunnassa. Tämä oli matematiikasta kiinnostuneiden filosofien ryhmän nimi, joka oli nimetty Pythagoraan koulun perustajan (n. 580-500 eKr.) mukaan.
Diophantuksen elämä ja työ tapahtuivat Aleksandriassa, hän keräsi ja ratkaisi tunnettuja ongelmia ja keksi uusia. Myöhemmin hän yhdisti ne suureen teokseen nimeltä Aritmetiikka. Aritmetiikasta 13 kirjasta vain kuusi säilyi keskiajalle ja niistä tuli inspiraation lähde renessanssin matemaatikoille.
1.1 Lauseet lineaarisen diofantiiniyhtälön ratkaisujen lukumäärästä.
Esitetään tässä lauseiden muotoilut, joiden perusteella voidaan laatia algoritmi kahden muuttujan kokonaislukuina määrittämättömien ensimmäisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi.
Lause 1. Jos yhtälössä , niin yhtälöllä on ainakin yksi ratkaisu.
Lause 2. Jos yhtälössä , ja Kanssa ei ole jaollinen , niin yhtälöllä ei ole kokonaislukuratkaisuja.
Lause 3. Jos yhtälössä , ja , niin se vastaa yhtälöä, jossa .
Lause 4. Jos yhtälössä , niin kaikki tämän yhtälön kokonaislukuratkaisut sisältyvät kaavoihin:
Missä x 0, y 0
1.2. Algoritmi yhtälöiden ratkaisemiseksi kokonaislukuina.
Muotoiltujen lauseiden avulla voimme laatia seuraavan algoritmi muodon yhtälöiden ratkaisut kokonaislukuina .
1. Etsi lukujen suurin yhteinen jakaja a Ja b ,
jos Kanssa ei ole jaollinen , niin yhtälöllä ei ole kokonaislukuratkaisuja;
jos ja niin sitten
2. Jaa yhtälön termi termillä, jolloin saadaan yhtälö, jossa .
3. Etsi koko ratkaisu ( x 0, y 0) yhtälöt esittämällä 1 numeroiden ja lineaarisena yhdistelmänä;
4. Luo yleinen kaava tämän yhtälön kokonaislukuratkaisuille
Missä x 0, y 0– yhtälön kokonaislukuratkaisu, – mikä tahansa kokonaisluku.
1.3 Yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Kun ratkaistaan yhtälöitä kokonaislukuina ja luonnollisina luvuina, voidaan karkeasti erottaa seuraavat menetelmät:
1. Vaihtoehtojen luettelointimenetelmä.
2. Euklidinen algoritmi.
3. Jatketut murtoluvut.
4. Faktorisointimenetelmä.
5. Yhtälöiden ratkaiseminen kokonaislukuina neliöinä jonkin muuttujan suhteen.
6. Jäännösmenetelmä.
7. Äärettömän laskeutumisen menetelmä.
Luku 2. Menetelmien soveltaminen yhtälöiden ratkaisemiseen
1. Esimerkkejä yhtälöiden ratkaisemisesta.
2.1 Euklidinen algoritmi.
Ongelma 1 . Ratkaise yhtälö kokonaislukuina 407 X – 2816y = 33.
Käytetään koottua algoritmia.
1. Euklidisen algoritmin avulla löydämme lukujen 407 ja 2816 suurimman yhteisen jakajan:
2816 = 407 6 + 374;
407 = 374 1 + 33;
374 = 33 11 + 11;
Siksi (407.2816) = 11, jossa 33 on jaollinen 11:llä
2. Jaa alkuperäisen yhtälön molemmat puolet luvulla 11, saamme yhtälön 37 X – 256y= 3, jossa (37, 256) = 1
3. Euklidisen algoritmin avulla löydämme lineaarisen esityksen luvusta 1 lukujen 37 ja 256 kautta.
256 = 37 6 + 34;
Ilmaistakaamme 1 viimeisestä yhtälöstä, sitten peräkkäin yhtäläisyyksiä nostaen ilmaisemme 3; 34 ja korvaa saadut lausekkeet lausekkeella 1.
1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =
– 83·37 – 256·(–12)
Eli 37·(–83) – 256·(–12) = 1, siis lukupari x 0= – 83 ja v 0= – 12 on yhtälön 37 ratkaisu X – 256y = 3.
4. Kirjataan ylös alkuperäisen yhtälön ratkaisujen yleinen kaava
Missä t- mikä tahansa kokonaisluku.
2.2 Vaihtoehtojen luettelointimenetelmä.
Tehtävä 2. Kanit ja fasaanit istuvat häkissä, heillä on yhteensä 18 jalkaa. Ota selvää kuinka monta molemmista on solussa?
Ratkaisu: Laaditaan yhtälö kahdella tuntemattomalla muuttujalla, jossa x on kanien lukumäärä, y on fasaanien lukumäärä:
4x + 2y = 18 tai 2x + y = 9.
Ilmaistaan klo kautta X : y = 9 – 2x.
Ongelmalla on siis neljä ratkaisua.
Vastaus: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).
2.3 Faktorisointimenetelmä.
Vaihtoehtojen luetteleminen, kun löydetään luonnollisia ratkaisuja kahdelle muuttujalle yhtälölle, osoittautuu erittäin työlästä. Lisäksi, jos yhtälö on koko ratkaisuja, niitä on mahdotonta luetella, koska tällaisia ratkaisuja on ääretön määrä. Siksi näytämme vielä yhden tekniikan - faktorointimenetelmä.
Tehtävä 3. Ratkaise yhtälö kokonaislukuina y 3 - x 3 = 91.
Ratkaisu. 1) Käytämme lyhennettyjä kertolaskukaavoja kertoimella yhtälön oikea puoli:
(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91……………………….(1)
2) Kirjataan ylös kaikki luvun 91 jakajat: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91
3) Suorita tutkimusta. Huomaa, että kaikille kokonaisluvuille x Ja y määrä
y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y ||x | + x 2 = (|y | - |x |) 2 ≥ 0,
siksi molempien yhtälön vasemmalla puolella olevien tekijöiden on oltava positiivisia. Tällöin yhtälö (1) vastaa yhtälöjärjestelmää:
; 
; 
; 
4) Kun järjestelmät on ratkaistu, saadaan: ensimmäisessä järjestelmässä on ratkaisut (5; 6), (-6; -5); kolmas (-3; 4), (-4; 3); toisella ja neljännellä ei ole ratkaisuja kokonaislukuina.
Vastaus: yhtälöllä (1) on neljä ratkaisua (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).
Tehtävä 4. Etsi kaikki luonnollisten lukujen parit, jotka täyttävät yhtälön
Ratkaisu. Kerrotaan yhtälön vasen puoli ja kirjoitetaan yhtälö muotoon
.
Koska Luvun 69 jakajat ovat luvut 1, 3, 23 ja 69, jolloin 69 voidaan saada kahdella tavalla: 69=1·69 ja 69=3·23. Ottaen huomioon, että saamme kaksi yhtälöjärjestelmää, joiden ratkaisemalla voimme löytää tarvittavat luvut:
Ensimmäisessä järjestelmässä on ratkaisu ja toisessa järjestelmässä on ratkaisu.
Vastaus: .
Tehtävä 5.
Ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälö muotoon
.
Kerrotaan yhtälön vasen puoli. Saamme
.
Kahden kokonaisluvun tulo voi olla 1 vain kahdessa tapauksessa: jos ne ovat molemmat yhtä suuria kuin 1 tai -1. Meillä on kaksi järjestelmää:
Ensimmäisen järjestelmän ratkaisu on x=2, y=2 ja toisen järjestelmän ratkaisu x=0, y=0.
Vastaus: .
Tehtävä 6. Ratkaise yhtälö kokonaislukuina
.
Ratkaisu. Kirjoitetaan tämä yhtälö muotoon
Kerrotaan yhtälön vasen puoli ryhmittelymenetelmällä, saamme
.
Kahden kokonaisluvun tulo voi olla 7 seuraavissa tapauksissa:
7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1) Siten saadaan neljä järjestelmää:
Tai, tai, tai.
Ensimmäisen järjestelmän ratkaisu on lukupari x = - 5, y = - 6. Ratkaisemalla toisen järjestelmän saamme x = 13, y = 6. Kolmannen järjestelmän ratkaisuna ovat luvut x = 5, y = 6. Neljännellä järjestelmällä on ratkaisu x = - 13, y = - 6.
Tehtävä 7. Todista, että yhtälö ( x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 ei
on ratkaisut kokonaislukuina.
Ratkaisu. 1) Kerrotaan yhtälön vasen puoli ja jaetaan yhtälön molemmat puolet kolmella, jolloin saadaan seuraava yhtälö:
(x - y)(y - z)(z - x) = 10…………………………(2)
2) 10:n jakajat ovat luvut ±1, ±2, ±5, ±10. Huomaa myös, että yhtälön (2) vasemmalla puolella olevien tekijöiden summa on yhtä suuri kuin 0. On helppo tarkistaa, että minkä tahansa kolmen luvun summa luvun 10 jakajajoukosta, jolloin tulo on 10, on ei ole yhtä suuri kuin 0. Näin ollen alkuperäisellä yhtälöllä ei ole ratkaisuja kokonaislukuina.
Tehtävä 8. Ratkaise yhtälö: x 2 - y 2 = 3 kokonaislukuina.
Ratkaisu:
1. käytä lyhennettyä kertolaskukaavaa x 2 - y 2 = (x-y)(x+y)=3
2. Etsi luvun 3 jakajat = -1;-3;1;3
3. Tämä yhtälö vastaa neljän järjestelmän joukkoa:
X-y = 1 2x = 4 x = 2, y = 1
X-y = 3 x = 2, y = -1
X-y = -3 x = -2, y = 1
X-y = -1 x = -2, y = -1
Vastaus: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2,-1)
2.4 Jäännösmenetelmä.
Ongelma 9 .Ratkaise yhtälö: x 2 + xy = 10
Ratkaisu:
1. Ilmaise muuttuja y - x: y= 10s 2
Y = - X
2. Murto-osa on kokonaisluku, jos x Є ±1;±2; ±5;±10
3. Etsi 8 arvoa u.
Jos x=-1, niin y=-9 x=-5, niin y=3
X = 1, sitten y = 9 x = 5, sitten y = -3
X = -2, sitten y = -3 x = -10, sitten y = 9
X = 2, sitten y = 3 x = 10, sitten y = -9
Ongelma 10. Ratkaise yhtälö kokonaislukuina:
2x 2 -2xy +9x+y=2
Ratkaisu:
Ilmaistakaamme yhtälöstä se tuntematon, joka sisältyy siihen vain ensimmäiseen asteeseen - tässä tapauksessa v:
2x 2 +9x-2 = 2xy-y
Y = 
Valitaan murto-osan koko osa käyttämällä sääntöä jakaa polynomi polynomilla "kulmalla". Saamme:
Siksi ero 2x-1 voi ottaa vain arvot -3,-1,1,3.
On vielä käydä läpi nämä neljä tapausta.
Vastaus : (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)
2. Tenttitason tehtävät
Harkittuaan useita tapoja ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä kahdella muuttujalla kokonaislukuina, huomasimme, että useimmiten käytetään faktorointimenetelmää ja jäännösmenetelmää.
USE -2011 -versioissa esitetyt yhtälöt ratkaistaan pääasiassa jäännösmenetelmällä.
1. Ratkaise yhtälö luonnollisilla luvuilla: , missä m>n
Ratkaisu:
Ilmaistaan muuttuja P muuttujan kautta T
(y+10) 2< 6 -2 ≤ у+10 ≤ 2 -12 ≤ у ≤ -8
(y+6) 2< 5 -2 ≤ у+6 ≤ 2 -8 ≤ у ≤ -4 у=-8
Vastaus: (12; -8)
Johtopäätös.
Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen on yksi koulun matematiikan kurssin sisältöalueista, mutta menetelmiä yhtälöiden ratkaisemiseksi, joissa on useita tuntemattomia, ei käytännössä käsitellä. Samaan aikaan useiden tuntemattomien yhtälöiden ratkaiseminen kokonaislukuina on yksi vanhimmista matemaattisista ongelmista. Useimmat menetelmät tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi perustuvat kokonaislukujen jakoteoriaan, jonka kiinnostuksen määrää tällä hetkellä tietotekniikan nopea kehitys. Tältä osin lukiolaisten on mielenkiintoista tutustua menetelmiin joidenkin kokonaislukujen yhtälöiden ratkaisemiseksi, varsinkin kun eri tasojen olympialaiset tarjoavat hyvin usein tehtäviä, joihin liittyy yhtälön ratkaiseminen kokonaislukuina, ja tänä vuonna myös tällaiset yhtälöt ovat mukana. ja yhtenäisen valtiontutkinnon materiaaleissa.
Käsittelimme työssämme vain ensimmäisen ja toisen asteen määrittelemättömiä yhtälöitä. Kuten olemme nähneet, ensimmäisen asteen yhtälöt ratkaistaan melko yksinkertaisesti. Olemme tunnistaneet tällaisten yhtälöiden tyypit ja algoritmit niiden ratkaisemiseksi. Tällaisille yhtälöille löydettiin myös yleinen ratkaisu.
Toisen asteen yhtälöiden kanssa se on vaikeampaa, joten otimme huomioon vain erikoistapaukset: Pythagoraan lause ja tapaukset, joissa yhtälön yksi osa on tulon muotoinen ja toinen on faktoroitu.
Suuret matemaatikot tutkivat kolmannen ja korkeamman asteen yhtälöitä, koska heidän ratkaisunsa ovat liian monimutkaisia ja hankalia
Jatkossa aiomme syventää tutkimustamme ongelmien ratkaisussa käytettävien useiden muuttujien yhtälöiden tutkimiseen
Kirjallisuus.
1. Berezin V.N. Tehtäväkokoelma matematiikan valinnaisiin ja ulkopuolisiin toimiin. Moskovan "Enlightenment" 1985
2. Galkin E.G. Epätyypilliset matematiikan tehtävät. Tšeljabinsk "Vzglyad" 2004
3. Galkin E.G. Ongelmia kokonaislukujen kanssa. Tšeljabinsk "Vzglyad" 2004
4. Glazer E.I. Matematiikan historia koulussa. Moskovan "Valaistus" 1983
5. Mordkovich A.G. Algebra ja analyysin alku luokat 10-11. Moskova 2003
6. Matematiikka. Unified State Exam 2010. Federal Institute
pedagogiset mittaukset.
7. Sharygin I.F. Valinnainen matematiikan kurssi. Ratkaisu
tehtäviä. Moskova 1986
Yhtälöiden ratkaiseminen kokonaislukuina.
Epävarmat yhtälöt ovat yhtälöitä, jotka sisältävät useamman kuin yhden tuntemattoman. Yhdellä ratkaisulla määrittämättömään yhtälöön tarkoitamme tuntemattomien arvojen joukkoa, joka muuttaa annetun yhtälön todelliseksi yhtälöksi.
Ratkaise muodon yhtälö kokonaislukuina ah + kirjoittaja = c , Missä A, b , c - Muut kokonaisluvut kuin nolla, esitämme joukon teoreettisia säännöksiä, joiden avulla voimme laatia päätössäännön. Nämä säännökset perustuvat myös jo tunnettuihin jakoteorian tosiasioihin.
Lause 1.Jos gcd (A, b ) = d , sitten on sellaisia kokonaislukuja X Ja klo, että tasa-arvo pätee ah + b y = d . (Tätä yhtälöä kutsutaan lineaariseksi yhdistelmäksi tai kahden luvun suurimman yhteisen jakajan lineaariseksi esitykseksi itse lukujen suhteen.)
Lauseen todistus perustuu euklidisen algoritmin yhtälön käyttämiseen kahden luvun suurimman yhteisen jakajan löytämiseksi (suurin yhteinen jakaja ilmaistaan osittaisosamääränä ja jäännöksinä, alkaen euklidisen algoritmin viimeisestä yhtälöstä).
Esimerkki.
Etsi lukujen 1232 ja 1672 suurimman yhteisen jakajan lineaarinen esitys.
Ratkaisu.
1. Luodaan euklidisen algoritmin yhtäläisyydet:
1672 = 1232 ∙1 + 440,
1232 = 440 ∙ 2 + 352,
440 = 352 ∙ 1 + 88,
352 = 88 ∙ 4, ts. (1672.352) = 88.
2) Esitetään 88 peräkkäin epätäydellisillä osamäärällä ja jäännöksillä käyttämällä yllä saatuja yhtälöitä, lopusta alkaen:
88 = 440-352∙1 = (1672-1232) - (1232-1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, ts. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).
Lause 2. Jos yhtälö ah + b y = 1 , jos gcd (A, b ) = 1 , riittää kuvitella numero 1 lineaarisena yhdistelmänä numeroista a ja b.
Tämän lauseen pätevyys seuraa Lauseesta 1. Siten yhden kokonaisluvun ratkaisun löytämiseksi yhtälöön ah + b y = 1, jos gcd (a, b) = 1, riittää, että luku 1 esitetään lineaarisena numeroyhdistelmänä A Ja V .
Esimerkki.
Etsi kokonaislukuratkaisu yhtälölle 15x + 37y = 1.
Ratkaisu.
1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,
15 = 7 ∙ 2 + 1.
2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),
Lause 3. Jos yhtälössä ah + b y = c gcd(a, b ) = d >1 Ja Kanssa ei jaettavissa d , silloin yhtälöllä ei ole kokonaislukuratkaisuja.
Lauseen todistamiseksi riittää oletus päinvastaisesta.
Esimerkki.
Etsi kokonaislukuratkaisu yhtälölle 16x - 34y = 7.
Ratkaisu.
(16,34) = 2; 7 ei ole jaollinen kahdella, yhtälöllä ei ole kokonaislukuratkaisuja
Lause 4. Jos yhtälössä ah + b y = c gcd(a, b ) = d >1 ja c d , sitten se on
Lauseen todistettaessa tulee osoittaa, että mielivaltainen kokonaislukuratkaisu ensimmäiseen yhtälöön on myös toisen yhtälön ratkaisu ja päinvastoin.
Lause 5. Jos yhtälössä ah + b y = c gcd(a, b ) = 1, silloin kaikki tämän yhtälön kokonaislukuratkaisut sisältyvät kaavoihin:
t – mikä tahansa kokonaisluku.
Lauseen todistamisen yhteydessä tulee osoittaa ensinnäkin, että yllä olevat kaavat todella tarjoavat ratkaisuja tähän yhtälöön ja toiseksi, että yllä oleviin kaavoihin sisältyy mielivaltainen kokonaislukuratkaisu tähän yhtälöön.
Yllä olevat lauseet antavat meille mahdollisuuden vahvistaa seuraavan säännön yhtälön ratkaisemiseksi kokonaislukuina ah+ b y = c gcd(a, b ) = 1:
1) Yhtälölle löytyy kokonaislukuratkaisu ah + b y = 1 esittämällä 1:tä lineaarisena numeroyhdistelmänä A Jab (on muita tapoja löytää kokonaisia ratkaisuja tähän yhtälöön, esimerkiksi käyttämällä jatkuvia murtolukuja);
Yleinen kaava annettujen kokonaislukuratkaisuilleAntaminen t tiettyjä kokonaislukuarvoja, voit saada osittaisia ratkaisuja tähän yhtälöön: pienin absoluuttisesti arvoltaan, pienin positiivinen (jos mahdollista) jne.
Esimerkki.
Etsi yhtälön kokonaislukuratkaisut 407x - 2816y = 33.
Ratkaisu.
1. Yksinkertaistamme tätä yhtälöä saattamalla sen muotoon 37x - 256y = 3.
2. Ratkaise yhtälö 37x - 256y = 1.
256 = 37∙ 6 + 34,
37 = 34 ∙1 + 3,
34 = 3 ∙11 + 1.
1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =
37∙(-83) - 256∙(-12),
3. Yleinen näkymä tämän yhtälön kaikista kokonaislukuratkaisuista:
x = -83,3 - 256 t = -249 - 256 t,
y = -12,3 - 37 t = -36 - 37 t.
Menetelmä kaikkien mahdollisten muuttujien arvojen tyhjentämiseksi,
sisältyvät yhtälöön.
Etsi kaikkien luonnollisten lukuparien joukko, jotka ovat yhtälön 49x + 51y = 602 ratkaisuja.
Ratkaisu:
Esitetään muuttuja x yhtälöstä y x =:n kautta, koska x ja y ovat luonnollisia lukuja, niin x =602 - 51у ≥ 49, 51у≤553, 1≤у≤10.
Täydellinen vaihtoehtohaku osoittaa, että yhtälön luonnolliset ratkaisut ovat x=5, y=7.
Vastaus: (5;7).
Yhtälöiden ratkaiseminen faktorointimenetelmällä.
Diophantus piti lineaaristen yhtälöiden kanssa neliö- ja kuutiomääräisinä epämääräisinä yhtälöinä. Niiden ratkaiseminen on yleensä vaikeaa.
Tarkastellaanpa tapausta, jossa yhtälöihin voidaan soveltaa neliöiden erotuskaavaa tai muuta tekijöiden laskentamenetelmää.
Ratkaise yhtälö kokonaislukuina: x 2 + 23 = y 2
Ratkaisu:
Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon: y 2 - x 2 = 23, (y - x)(y + x) = 23
Koska x ja y ovat kokonaislukuja ja 23 on alkuluku, seuraavat tapaukset ovat mahdollisia:
Ratkaisemalla tuloksena olevat järjestelmät löydämme:
(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)
Muuttujan ilmaiseminen toiseksi ja murto-osan koko osan eristäminen.
Ratkaise yhtälö kokonaislukuina: x 2 + xy – y – 2 = 0.
Ratkaisu:
Esitetään y - x tästä yhtälöstä:
y(x - 1) =2 - x 2,
Heinrich G.N. FMS No. 146, Perm
54 ≡ 6 × 5 ≡ 2 (mod 7),
55 ≡ 2 × 5 ≡ 3 (mod 7), 56 ≡ 3 × 5 ≡ 1 (mod 7).
Nostamalla k potenssiin, saadaan 56k ≡ 1(mod 7) mille tahansa luonnolliselle k:lle. Siksi 5555 =56 × 92 × 53 ≡ 6 (mod7).
(Geometrisesti tämä yhtälö tarkoittaa, että kierretään ympyrän ympäri alkaen viidestä, yhdeksänkymmentäkaksi sykliä ja kolme muuta numeroa). Näin ollen luku 222555 jättää luvun 6 jaettuna seitsemällä.
Yhtälöiden ratkaiseminen kokonaislukuina.
Epäilemättä yksi matematiikan mielenkiintoisista aiheista on diofantiiniyhtälöiden ratkaisu. Tätä aihetta opiskellaan 8. ja sitten 10. ja 11. luokalla.
Mitä tahansa yhtälöä, joka on ratkaistava kokonaislukuina, kutsutaan diofantiiniyhtälöksi. Yksinkertaisin niistä on yhtälö muotoa ax+bу=c, jossa a, b ja cÎ Z. Tämän yhtälön ratkaisemiseen käytetään seuraavaa lausetta.
Lause. Lineaarisella diofantiiniyhtälöllä ax+bу=c, jossa a, b ja сО Z on ratkaisu silloin ja vain jos c on jaollinen lukujen a ja b gcd:llä. Jos d=GCD (a, b), a=a1 d, b=b1 d, c=c1 d ja (x0, y0) on yhtälön akh+bу=с ratkaisu, niin kaikki ratkaisut annetaan kaavoilla x=x0 +b1 t, y=y0 –a1 t, missä t on mielivaltainen kokonaisluku.
1. Ratkaise yhtälöt kokonaislukuina:
3xy–6x2 =y–2x+4; |
|||
(x–2)(xy+4)=1; |
y-x-xy=2; |
||
2x2 +xy=x+7; |
3xy+2x+3y=0; |
||
x2 – xy – x + y = 1; |
|||
x2 –3xy=x–3y+2; |
10. x2 – xy – y = 4. |
||
2. Pohdin seuraavia ongelmia valmistuneiden kanssa valmistautuessaan matematiikan yhtenäiseen valtionkokeeseen tästä aiheesta.
1). Ratkaise yhtälö kokonaislukuina: xy+3y+2x+6=13. Ratkaisu:
Kerrotaan yhtälön vasen puoli. Saamme:
y(x+3)+2(x+3)=13; |
(x+3)(y+2)=13. |
Koska x,уО Z, saamme joukon yhtälöjärjestelmiä:
Heinrich G.N.
М x + |
||||
М x + |
||||
М x + |
||||
ê Ð x + |
||||
FMS No. 146, Perm
М x = |
|||||
М x = |
|||||
М x = |
|||||
ê Ð x = |
|||||
Vastaus: (–2;11), (10; –1), (–4; –15), (–15, –3)
2). Ratkaise yhtälö luonnollisilla luvuilla: 3x +4y =5z.
9). Etsi kaikki luonnollisten lukujen m ja n parit, joille yhtälö 3m +7=2n pätee.
10). Etsi kaikki luonnollisten lukujen k, m ja n kolmiot, joille yhtälö pätee: 2∙k!=m! –2∙n! (1!=1, 2!=1∙2, 3!= 1∙2∙3, …n!= 1∙2∙3∙…∙n)
yksitoista). Kaikki äärellisen sekvenssin termit ovat luonnollisia lukuja. Jokainen tämän sekvenssin jäsen toisesta alkaen on joko 14 kertaa suurempi tai 14 kertaa pienempi kuin edellinen. Sarjan kaikkien termien summa on 4321.
c) Mikä on suurin määrä termejä sarjassa voi olla? Ratkaisu:
a) Olkoon a1 =x, sitten a2 = 14x tai a1 =14x, sitten a2 =x. Sitten ehdon mukaan a1 + a2 = 4321. Saamme: x + 14x = 4321, 15x = 4321, mutta 4321 ei ole luvun 15 kerrannainen, mikä tarkoittaa, että jonossa ei voi olla kahta termiä.
b) Olkoon a1 =x, sitten a2 = 14x, a3 =x tai 14x+x+14x=4321 tai x+14x+x=4321. 29x=4321, sitten x=149, 14x=2086. Tämä tarkoittaa, että sekvenssissä voi olla kolme termiä. Toisessa tapauksessa 16x=4321, mutta silloin x ei ole luonnollinen luku.
Ei vastausta; b) kyllä; c) 577.
Heinrich G.N. |
FMS No. 146, Perm |
12). Kaikki äärellisen sekvenssin termit ovat luonnollisia lukuja. Jokainen tämän sekvenssin jäsen alkaen toisesta tai 10:stä; kertaa enemmän tai 10 kertaa vähemmän kuin edellinen. Sarjan kaikkien termien summa on 1860.
a) Voiko jonossa olla kaksi termiä? b) Voiko jonossa olla kolme termiä?
c) Mikä on suurin määrä termejä sarjassa voi olla?
On selvää, että voimme puhua kokonaislukujen jaottavuudesta ja tarkastella tämän aiheen ongelmia loputtomasti. Yritin pohtia tätä aihetta niin, että se kiinnostaisi oppilaita enemmän, näyttää heille matematiikan kauneuden tästä näkökulmasta.
Heinrich G.N. |
FMS No. 146, Perm |
Bibliografia:
1. A. Ya. Kannel-Belov, A. K. Kovaldzhi. Kuinka ratkaista epätyypillisiä ongelmia Moskovan ICSME 2001
2. A.V. Spivak. Kvant-lehden liite nro 4/2000 Matemaattinen loma, Moskova 2000
3. A.V. Spivak. Matemaattinen ympyrä, "kylvö" 2003
4. Pietari nuorten luovuuden kaupungin palatsi. Matemaattinen ympyrä. Ensimmäisen ja toisen opiskeluvuoden ongelmakirja. Pietari. 1993
5. Algebra 8. luokalle. Oppikirja koulujen ja luokkien opiskelijoille, joissa on syvällinen matematiikan opiskelu. Toimittanut N.Ya. Vilenkin. Moskova, 1995
6. M.L. Galitsky, A.M. Goldman, L.I. Zvavich. Kokoelma algebratehtäviä varten 8-9 luokkaa. Oppikirja koulujen ja luokkien opiskelijoille, joissa on syvällinen matematiikan opiskelu. Moskova, valaistus. 1994
7. Yu.N. Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov. Algebra 8 luokka. Oppikirja kouluille ja luokille, jossa opitaan syvällisesti matematiikkaa. Moskova, 2001
8. M.I.Shabunin, A.A.Prokofev UMK MATHEMATICS Algebra. Matemaattisen analyysin alkua. Profiilin taso. Oppikirja 11 luokalle. Moskovan binom. Tietolaboratorio 2009
9. M.I. Shabunin, A.A. Prokofjev, T.A. Oleinik, T.V. Sokolova. UMK MATEMAATIIKA Algebra. Matemaattisen analyysin alkua. Profiilitason Ongelmakirja 11. luokalle. Moskovan binom. Tietolaboratorio 2009
10. A.G. Klovo, D.A. Maltsev, L.I. Abzelilova Matematiikka. Testien kokoelma Unified State Exam 2010 -suunnitelman mukaisesti
11. Unified State Exam-2010. "Legio-M". Rostov-on-Don 2009
12. Yhtenäinen valtionkoe UMK “Matematiikka. Valmistautuminen yhtenäiseen valtionkokeeseen." Toimittanut F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov. Valmistautua Yhtenäinen valtionkoe 2011. "Legio-M". Rostov-on-Don 2010
13. UMK "Matematiikka. Yhtenäinen valtionkoe 2010". Toimittanut F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov. MATEMATIIKKA Valmistautuminen Unified State Exam-2010 -kokeeseen. Koulutus- ja koulutustestit. "Legio-M". Rostov-on-Don 2009
14. FIPI Unified State -koe. Universaalit materiaalit opiskelijoiden MATH 2010 valmisteluun"Älykeskus" 2010
15. A.Zh.Zhafyarov. Matematiikka. Unified State Exam-2010 Express -konsultointi. Siberian University Publishing House, 2010
Yhtälöt kokonaislukuina ovat algebrallisia yhtälöitä, joissa on kaksi tai useampi tuntematon muuttuja ja kokonaislukukerroin. Tällaisen yhtälön ratkaisut ovat kaikki kokonaislukuja (joskus luonnollisia tai rationaalisia) tuntemattomien muuttujien arvojen joukkoja, jotka täyttävät tämän yhtälön. Tällaisia yhtälöitä kutsutaan myös diofantiini, muinaisen kreikkalaisen matemaatikon kunniaksi, joka tutki tietyntyyppisiä yhtälöitä ennen aikakauttamme.
Olemme velkaa diofantiiniongelmien nykyaikaisen muotoilun ranskalaiselle matemaatikolle. Hän esitti kysymyksen epämääräisten yhtälöiden ratkaisemisesta vain kokonaislukuina ennen eurooppalaisia matemaatikoita. Tunnetuin kokonaislukujen yhtälö on Fermatin viimeinen lause: yhtälö
ei ole nollasta poikkeavia rationaalisia ratkaisuja kaikille luonnollisille n > 2.
Teoreettinen kiinnostus kokonaislukujen yhtälöitä kohtaan on melko suuri, koska nämä yhtälöt liittyvät läheisesti moniin lukuteorian ongelmiin.
Vuonna 1970 Leningradin matemaatikko Juri Vladimirovitš Matiyasevitš osoitti, että yleistä menetelmää, joka mahdollistaa mielivaltaisten diofantiiniyhtälöiden ratkaisemisen kokonaislukuina äärellisessä määrässä vaiheita, ei ole eikä voi olla olemassa. Siksi sinun tulee valita omat ratkaisumenetelmäsi eri tyyppisille yhtälöille.
Kun ratkaistaan yhtälöitä kokonaislukuina ja luonnollisina luvuina, voidaan karkeasti erottaa seuraavat menetelmät:
tapa lajitella vaihtoehtoja;
euklidisen algoritmin soveltaminen;
lukujen esittäminen jatkuvien (jatkuvien) murtolukujen muodossa;
tekijöitä;
yhtälöiden ratkaiseminen kokonaislukuina neliönä (tai muuna) minkä tahansa muuttujan suhteen;
jäännösmenetelmä;
äärettömän laskeutumisen menetelmä.
Ongelmia ratkaisujen kanssa
1. Ratkaise yhtälö x 2 – xy – 2y 2 = 7 kokonaislukuina.
Kirjoitetaan yhtälö muotoon (x – 2y)(x + y) = 7.
Koska x, y ovat kokonaislukuja, löydämme ratkaisut alkuperäiseen yhtälöön seuraavien neljän järjestelmän ratkaisuina:
1) x – 2y = 7, x + y = 1;
2) x – 2y = 1, x + y = 7;
3) x – 2y = –7, x + y = –1;
4) x – 2y = –1, x + y = –7.
Kun nämä järjestelmät on ratkaistu, saadaan ratkaisut yhtälölle: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) ja (–5; –2).
Vastaus: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).
a) 20x + 12v = 2013;
b) 5x + 7y = 19;
c) 201x – 1999v = 12.
a) Koska millä tahansa x:n ja y:n kokonaislukuarvolla yhtälön vasen puoli on jaollinen kahdella ja oikea puoli on pariton luku, yhtälöllä ei ole ratkaisuja kokonaislukuina.
Vastaus: ratkaisuja ei ole.
b) Valitaan ensin jokin tietty ratkaisu. Tässä tapauksessa se on yksinkertaista, esim.
x 0 = 1, y 0 = 2.
5x 0 + 7v 0 = 19,
5(x – x 0) + 7(y – y 0) = 0,
5(x – x 0) = –7(y – y 0).
Koska luvut 5 ja 7 ovat suhteellisen alkulukuja, niin
x – x 0 = 7k, y – y 0 = –5k.
Joten yleinen ratkaisu on:
x = 1 + 7k, y = 2-5k,
jossa k on mielivaltainen kokonaisluku.
Vastaus: (1+7k; 2-5k), missä k on kokonaisluku.
c) Tietyn ratkaisun löytäminen valinnalla on tässä tapauksessa melko vaikeaa. Käytetään euklidelaista algoritmia luvuille 1999 ja 201:
GCD(1999, 201) = GCD(201, 190) = GCD(190, 11) = GCD(11, 3) = GCD(3, 2) = GCD(2, 1) = 1.
Kirjoitetaan tämä prosessi käänteisessä järjestyksessä:
1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2 2 – 3 = 2 (11 – 3 3) – 3 = 2 11 – 7 3 = 2 11 – 7 (190 – 11 17) =
121 11 – 7 190 = 121 (201 – 190) – 7 190 = 121 201 – 128 190 =
121·201 – 128 (1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.
Tämä tarkoittaa, että pari (1273, 128) on yhtälön 201x – 1999y = 1 ratkaisu. Sitten lukupari
x 0 = 1273 12 = 15276, y 0 = 128 12 = 1536
on ratkaisu yhtälöön 201x – 1999y = 12.
Tämän yhtälön yleinen ratkaisu kirjoitetaan muotoon
x = 15276 + 1999k, y = 1536 + 201k, jossa k on kokonaisluku,
tai uudelleenmäärittelyn jälkeen (käytämme 15276 = 1283 + 7 1999, 1536 = 129 + 7 201),
x = 1283 + 1999n, y = 129 + 201n, missä n on kokonaisluku.
Vastaus: (1283+1999n, 129+201n), jossa n on kokonaisluku.
3. Ratkaise yhtälö kokonaislukuina:
a) x 3 + y 3 = 3333333;
b) x 3 + y 3 = 4 (x 2 y + xy 2 + 1).
a) Koska x 3 ja y 3 jaettuna 9:llä voivat antaa vain jäännökset 0, 1 ja 8 (katso osion taulukko), niin x 3 + y 3 voi antaa vain jäännökset 0, 1, 2, 7 ja 8. Mutta luku 3333333 jaettuna 9:llä antaa jäännöksen 3. Siksi alkuperäisellä yhtälöllä ei ole ratkaisuja kokonaislukuina.
b) Kirjoita alkuperäinen yhtälö uudelleen muotoon (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2) + 4. Koska kokonaislukujen kuutiot jaettuna 7:llä antavat jäännökset 0, 1 ja 6, mutta eivät 4, niin yhtälöllä ei ole ratkaisuja kokonaislukuina.
Vastaus: Ei ole olemassa kokonaislukuratkaisuja.
a) alkuluvuissa yhtälö x 2 – 7x – 144 = y 2 – 25y;
b) kokonaislukuina yhtälö x + y = x 2 – xy + y 2.
a) Ratkaistaan tämä yhtälö neliöyhtälönä muuttujan y suhteen. Saamme
y = x + 9 tai y = 16 – x.
Koska parittoman x:n luku x + 9 on parillinen, niin ainoa alkulukupari, joka täyttää ensimmäisen yhtälön, on (2; 11).
Koska x, y ovat yksinkertaisia, niin yhtälöstä y = 16 – x meillä on
2 x 16.2 klo 16.
Vaihtoehtoja etsimällä löydämme loput ratkaisut: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).
Vastaus: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).
b) Tarkastellaan tätä yhtälöä x:n toisen asteen yhtälönä:
x 2 – (y + 1)x + y 2 – y = 0.
Tämän yhtälön diskriminantti on –3y 2 + 6y + 1. Se on positiivinen vain seuraaville y:n arvoille: 0, 1, 2. Jokaiselle näistä arvoista saadaan alkuperäisestä yhtälöstä toisen asteen yhtälö x:lle , joka on helppo ratkaista.
Vastaus: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).
5. Onko olemassa ääretön määrä kokonaislukujen x, y, z triplettejä siten, että x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3?
Yritetään valita kolmiot, joissa y = –z. Silloin y 3 ja z 3 kumoavat aina toisensa, ja yhtälömme näyttää tältä
x 2 + 2y 2 = x 3
tai muuten,
x 2 (x–1) = 2y 2 .
Jotta kokonaislukupari (x; y) täyttää tämän ehdon, riittää, että luku x–1 on kaksi kertaa kokonaisluvun neliö. Tällaisia lukuja on äärettömän paljon, nimittäin nämä ovat kaikki numeroita muotoa 2n 2 +1. Kun tämä luku korvataan luvulla x 2 (x–1) = 2y 2, saadaan yksinkertaisten muunnosten jälkeen:
y = xn = n(2n2+1) = 2n3+n.
Kaikki tällä tavalla saadut tripletit ovat muotoa (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n).
Vastaus: olemassa.
6. Etsi kokonaisluvut x, y, z, u siten, että x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.
Luku x 2 + y 2 + z 2 + u 2 on parillinen, joten lukujen x, y, z, u joukossa on parillinen määrä parittomia lukuja.
Jos kaikki neljä numeroa x, y, z, u ovat parittomia, niin x 2 + y 2 + z 2 + u 2 on jaollinen 4:llä, mutta 2xyzu ei ole jaollinen 4:llä - ristiriita.
Jos tasan kaksi luvuista x, y, z, u on parittomia, niin x 2 + y 2 + z 2 + u 2 ei ole jaollinen 4:llä, mutta 2xyzu on jaollinen 4:llä – jälleen ristiriita.
Siksi kaikki luvut x, y, z, u ovat parillisia. Sitten voimme kirjoittaa sen
x = 2x 1, y = 2y 1, z = 2z 1, u = 2u 1,
ja alkuperäinen yhtälö saa muodon
x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 = 8x 1 y 1 z 1 u 1 .
Huomaa nyt, että (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 jaettuna 8:lla antaa jäännöksen 1. Siksi, jos kaikki luvut x 1 , y 1 , z 1 , u 1 ovat parittomia, niin x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 ei ole jaollinen 8:lla. Ja jos täsmälleen kaksi näistä luvuista on parittomia, niin x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 ei ole edes jaollinen 4. Tämä tarkoittaa
x 1 = 2x 2, y 1 = 2y 2, z 1 = 2z 2, u 1 = 2u 2,
ja saamme yhtälön
x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 + u 2 2 = 32 x 2 y 2 z 2 u 2 .
Toistamalla samaa päättelyä, huomaamme, että x, y, z, u ovat jaollisia luvulla 2 n kaikille luonnollisille n:ille, mikä on mahdollista vain x = y = z = u = 0.
Vastaus: (0; 0; 0; 0).
7. Todista, että yhtälö
(x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30
ei ole ratkaisuja kokonaislukuina.
Käytetään seuraavaa identiteettiä:
(x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(x – y)(y – z)(z – x).
Sitten alkuperäinen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa
(x – y)(y – z)(z – x) = 10.
Merkitään a = x – y, b = y – z, c = z – x ja kirjoitetaan tuloksena oleva yhtälö muotoon
Lisäksi on selvää, että a + b + c = 0. On helppo varmistaa, että yhtälö abc = 10 tarkoittaa permutaatioon asti, että luvut |a|, |b|, |c| ovat yhtä suuria kuin 1, 2, 5 tai 1, 1, 10. Mutta kaikissa näissä tapauksissa millä tahansa merkkien a, b, c valinnalla summa a + b + c on nollasta poikkeava. Näin ollen alkuperäisellä yhtälöllä ei ole kokonaislukuratkaisuja.
8. Ratkaise yhtälö 1 kokonaislukuina! + 2! + . . . +x! = y 2.
Se on selvää
jos x = 1, niin y 2 = 1,
jos x = 3, niin y 2 = 9.
Nämä tapaukset vastaavat seuraavia numeropareja:
x 1 = 1, y 1 = 1;
x 2 = 1, y 2 = –1;
x3 = 3, y3 = 3;
x 4 = 3, y 4 = –3.
Huomaa, että kun x = 2, meillä on 1! + 2! = 3, kun x = 4, meillä on 1! + 2! + 3! + 4! = 33 ja 3 ja 33 eivät ole kokonaislukujen neliöitä. Jos x > 5, niin, koska
5! + 6! + . . . + x! = 10n,
voimme kirjoittaa sen
1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + x! = 33 + 10n.
Koska 33 + 10n on luku, joka päättyy 3:een, se ei ole kokonaisluvun neliö.
Vastaus: (1; 1), (1; -1), (3; 3), (3; -3).
9. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä luonnollisilla luvuilla:
a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).
3abc > 0, sitten a3 > b3 + c3;
näin meillä on
Kun lisäämme nämä epätasa-arvot, saamme sen
Kun otetaan huomioon viimeinen epäyhtälö, järjestelmän toisesta yhtälöstä saadaan se
Mutta järjestelmän toinen yhtälö osoittaa myös, että a on parillinen luku. Siten a = 2, b = c = 1.
Vastaus: (2; 1; 1)
10. Etsi kaikki kokonaislukuparit x ja y, jotka toteuttavat yhtälön x 2 + x = y 4 + y 3 + y 2 + y.
Kun lasketaan tämän yhtälön molemmat puolet, saadaan:
x(x + 1) = y(y + 1)(y 2 + 1),
x(x + 1) = (y 2 + y)(y 2 + 1)
Tällainen yhtäläisyys on mahdollista, jos vasen ja oikea puoli ovat nolla tai ovat kahden peräkkäisen kokonaisluvun tulo. Siksi, kun tietyt tekijät nollaan lasketaan, saadaan 4 paria haluttuja muuttujan arvoja:
x1 = 0, y1 = 0;
x2 = 0, y2 = –1;
x3 = –1, y3 = 0;
x 4 = –1, y 4 = –1.
Tuloa (y 2 + y)(y 2 + 1) voidaan pitää kahden peräkkäisen nollasta poikkeavan kokonaisluvun tulona vain, kun y = 2. Siksi x(x + 1) = 30, mistä x 5 = 5, x 6 = -6. Tämä tarkoittaa, että on olemassa kaksi muuta kokonaislukuparia, jotka täyttävät alkuperäisen yhtälön:
x5 = 5, y5 = 2;
x 6 = –6, y 6 = 2.
Vastaus: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)
Ongelmia ilman ratkaisuja
1. Ratkaise yhtälö kokonaislukuina:
a) xy = x + y + 3;
b) x 2 + y 2 = x + y + 2.
2. Ratkaise yhtälö kokonaislukuina:
a) x 3 + 21 y 2 + 5 = 0;
b) 15x 2 – 7v 2 = 9.
3. Ratkaise yhtälö luonnollisilla luvuilla:
a) 2 x + 1 = y 2;
b) 3 2 x + 1 = y 2.
4. Todista, että yhtälöllä x 3 + 3y 3 + 9z 3 = 9xyz rationaaliluvuissa on ainutlaatuinen ratkaisu
5. Osoita, että yhtälöllä x 2 + 5 = y 3 kokonaislukuina ei ole ratkaisuja.
