समान वितरण। निरंतर मूल्य X समान रूप से वितरित हैअंतराल पर ( ए, बी) यदि इसके सभी संभावित मान इस अंतराल में हैं और संभाव्यता वितरण घनत्व स्थिर है:

एक यादृच्छिक चर के लिए एक्स, अंतराल में समान रूप से वितरित ( ए, बी) (चित्र 4), किसी भी अंतराल में गिरने की संभावना ( एक्स 1 , एक्स 2 ) अंतराल के अंदर लेटा हुआ ( ए, बी), के बराबर है:

(30)


चावल। 4. समान वितरण घनत्व का ग्राफ

पूर्णांकन त्रुटियाँ समान रूप से वितरित मात्राओं के उदाहरण हैं। इसलिए, यदि किसी निश्चित फ़ंक्शन के सभी सारणीबद्ध मानों को एक ही अंक में पूर्णांकित किया जाता है, तो यादृच्छिक रूप से एक सारणीबद्ध मान का चयन करते हुए, हम मानते हैं कि चयनित संख्या की पूर्णांकन त्रुटि एक यादृच्छिक चर है जो समान रूप से अंतराल में वितरित होती है

घातांकी रूप से वितरण। निरंतर यादृच्छिक चर एक्सयह है घातांकी रूप से वितरण

(31)

संभाव्यता वितरण घनत्व (31) का ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 5.

चावल। 5. घातीय वितरण के घनत्व का ग्राफ

समय टीकंप्यूटर सिस्टम का विफलता-मुक्त संचालन एक यादृच्छिक चर है जिसमें पैरामीटर के साथ एक घातीय वितरण होता है λ , जिसका भौतिक अर्थ प्रति यूनिट समय विफलताओं की औसत संख्या है, न कि मरम्मत के लिए सिस्टम डाउनटाइम की गणना करना।

सामान्य (गाऊसी) वितरण। यादृच्छिक मूल्य एक्सयह है सामान्य (गाऊशियन) वितरण, यदि इसकी संभावनाओं का घनत्व वितरण निर्भरता द्वारा निर्धारित किया जाता है:

(32)

कहाँ एम = एम(एक्स) , .

पर सामान्य वितरण कहलाता है मानक.

सामान्य वितरण (32) के घनत्व का ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 6.

चावल। 6. सामान्य वितरण के घनत्व का ग्राफ

प्रकृति की विभिन्न यादृच्छिक घटनाओं में सामान्य वितरण सबसे आम वितरण है। इस प्रकार, स्वचालित उपकरण द्वारा आदेशों के निष्पादन में त्रुटियाँ, अंतरिक्ष में किसी दिए गए बिंदु पर अंतरिक्ष यान के प्रक्षेपण में त्रुटियाँ, कंप्यूटर सिस्टम के मापदंडों में त्रुटियाँ, आदि। अधिकांश मामलों में वितरण सामान्य या सामान्य के करीब होता है। इसके अलावा, बड़ी संख्या में यादृच्छिक शब्दों के योग से बनने वाले यादृच्छिक चर लगभग सामान्य कानून के अनुसार वितरित किए जाते हैं।

गामा वितरण. यादृच्छिक मूल्य एक्सयह है गामा वितरण, यदि इसकी संभावनाओं का घनत्व वितरण सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है:

(33)

कहाँ यूलर गामा फ़ंक्शन है।

अध्याय 6. सतत यादृच्छिक चर।

§ 1. एक सतत यादृच्छिक चर का घनत्व और वितरण कार्य।

सतत यादृच्छिक चर के मानों का समुच्चय बेशुमार होता है और आमतौर पर कुछ परिमित या अनंत अंतराल का प्रतिनिधित्व करता है।

संभाव्यता स्थान (W, S, P) में दिए गए एक यादृच्छिक चर x(w) को कहा जाता है निरंतर(बिल्कुल निरंतर) W यदि कोई गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन मौजूद है, जैसे कि, किसी भी x के लिए, वितरण फ़ंक्शन Fx(x) को एक अभिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है

फ़ंक्शन को फ़ंक्शन कहा जाता है संभाव्यता वितरण घनत्व.

वितरण घनत्व फ़ंक्शन के गुण परिभाषा से अनुसरण करते हैं:

1..gif" width=”97″ ऊंचाई=”51″>

3. निरंतरता के बिंदुओं पर, वितरण घनत्व वितरण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर है:।

4. वितरण घनत्व एक यादृच्छिक चर के वितरण कानून को निर्धारित करता है, क्योंकि यह एक यादृच्छिक चर के अंतराल में गिरने की संभावना निर्धारित करता है:

5. एक सतत यादृच्छिक चर के एक विशिष्ट मान लेने की प्रायिकता शून्य है: . इसलिए, निम्नलिखित समानताएँ सत्य हैं:

वितरण घनत्व फलन का आलेख कहलाता है वितरण वक्र, और वितरण वक्र और x-अक्ष से घिरा क्षेत्र एक के बराबर है। फिर, ज्यामितीय रूप से, बिंदु x0 पर वितरण फ़ंक्शन Fx(x) का मान वितरण वक्र और x-अक्ष से घिरा क्षेत्र है और बिंदु x0 के बाईं ओर स्थित है।

कार्य 1।एक सतत यादृच्छिक चर के घनत्व फ़ंक्शन का रूप है:

स्थिरांक C निर्धारित करें, वितरण फ़ंक्शन Fx(x) का निर्माण करें और संभाव्यता की गणना करें।

समाधान।स्थिरांक C हमारे पास मौजूद स्थिति से पाया जाता है:

जहां से C=3/8.

वितरण फ़ंक्शन Fx(x) का निर्माण करने के लिए, ध्यान दें कि अंतराल x तर्क (संख्या अक्ष) की सीमा को तीन भागों में विभाजित करता है: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" चौड़ाई='264'ऊंचाई=49'>

चूँकि अर्धअक्ष पर घनत्व x शून्य है। दूसरे मामले में

अंततः, अंतिम स्थिति में, जब x>2,

चूँकि अर्धअक्ष पर घनत्व लुप्त हो जाता है। तो, वितरण फलन प्राप्त होता है

संभावना सूत्र द्वारा गणना करें। इस प्रकार,

§ 2. एक सतत यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएँ

अपेक्षित मूल्यलगातार वितरित यादृच्छिक चर के लिए सूत्र https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width='205' ऊंचाई='56 src='> द्वारा निर्धारित किया जाता है,

यदि दाहिनी ओर का अभिन्न अंग पूर्णतया अभिसरण करता है।

फैलाव x की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है , और साथ ही, अलग मामले में, सूत्र https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" ऊंचाई="49 src="> के अनुसार।

असतत यादृच्छिक चर के लिए अध्याय 5 में दिए गए अपेक्षा और विचरण के सभी गुण निरंतर यादृच्छिक चर के लिए भी मान्य हैं।

कार्य 2. समस्या 1 से एक यादृच्छिक चर x के लिए, गणितीय अपेक्षा और विचरण की गणना करें .

समाधान।

और उसका अर्थ यह निकलता है

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width=”184” ऊंचाई=”69 src=”>

समान वितरण घनत्व के ग्राफ़ के लिए, चित्र देखें। .

चित्र.6.2. वितरण कार्य और वितरण घनत्व। एकसमान कानून

एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का वितरण फलन Fx(x) है

एफएक्स(एक्स)=

गणितीय अपेक्षा और फैलाव; .

घातीय (घातीय) वितरण.एक निरंतर यादृच्छिक चर x जो गैर-नकारात्मक मान लेता है, पैरामीटर l>0 के साथ एक घातांकीय वितरण होता है यदि यादृच्छिक चर की संभाव्यता वितरण घनत्व बराबर है

पीएक्स(एक्स)=

चावल। 6.3. घातांकीय नियम का वितरण फलन और वितरण घनत्व।

घातांकीय वितरण के वितरण फलन का रूप होता है

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width=”17” ऊंचाई=”41”>.gif” width=”13” ऊंचाई=”15”> और, यदि इसका वितरण घनत्व बराबर है

.

मापदंडों और मापदंडों के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित सभी यादृच्छिक चर के सेट को द्वारा दर्शाया गया है।

सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का वितरण कार्य है

.

चावल। 6.4. सामान्य कानून का वितरण कार्य और वितरण घनत्व

सामान्य वितरण पैरामीटर गणितीय अपेक्षा हैं https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width=”64 ऊंचाई=24” ऊंचाई=”24”>

विशेष मामले में जब https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width='44' ऊंचाई='21 src='> सामान्य वितरण कहलाता है मानक, और ऐसे वितरणों का वर्ग https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" ऊंचाई="49"> निर्दिष्ट है,

जबकि वितरण समारोह

इस तरह के अभिन्न अंग की गणना विश्लेषणात्मक रूप से नहीं की जा सकती (इसे "चतुर्भुज" में नहीं लिया जाता है), और इसलिए फ़ंक्शन के लिए तालिकाएँ संकलित की जाती हैं। यह फ़ंक्शन अध्याय 4 में प्रस्तुत लाप्लास फ़ंक्शन से संबंधित है

,

निम्नलिखित संबंध . मापदंडों के मनमाने मूल्यों के मामले में https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width='21' ऊंचाई='21 src='> यादृच्छिक चर वितरण फ़ंक्शन संबंध का उपयोग करके लाप्लास फ़ंक्शन से संबंधित है:

.

इसलिए, सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के एक अंतराल में गिरने की संभावना की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

.

एक गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर x को लॉग-सामान्य रूप से वितरित कहा जाता है यदि इसका लघुगणक h=lnx सामान्य नियम का पालन करता है। लॉग-सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता Mx= और Dx= हैं।

कार्य 3.मान लीजिए कि एक यादृच्छिक मान https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width='81' ऊंचाई='23'> दिया गया है।

समाधान।यहां और https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" ऊंचाई="45">

लाप्लास वितरणफ़ंक्शन fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif' width='23' ऊंचाई='41'> द्वारा सेट किया गया है और कर्टोसिस gx=3 है।

चित्र.6.5. लाप्लास वितरण घनत्व फ़ंक्शन।

यादृच्छिक चर x को वितरित किया गया है वेइबुल कानून, यदि इसका वितरण घनत्व फ़ंक्शन https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width='189' ऊंचाई='53'> के बराबर है

वेइबुल वितरण कई तकनीकी उपकरणों के विफलता-मुक्त संचालन के समय का पालन करता है। इस प्रोफ़ाइल के कार्यों में, एक महत्वपूर्ण विशेषता उम्र टी के अध्ययन किए गए तत्वों की विफलता दर (मृत्यु दर) एल (टी) है, जो संबंध एल (टी) = द्वारा निर्धारित की जाती है। यदि a=1, तो वेइबुल वितरण एक घातीय वितरण में बदल जाता है, और यदि a=2 - तथाकथित वितरण में रेले।

वेइबुल वितरण की गणितीय अपेक्षा: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width=”219” ऊंचाई=”45 src=”>, जहां Г(а) यूलर है समारोह। ।

व्यावहारिक आँकड़ों की विभिन्न समस्याओं में, तथाकथित "काटे गए" वितरण अक्सर सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, कर अधिकारी उन व्यक्तियों की आय के वितरण में रुचि रखते हैं जिनकी वार्षिक आय कराधान कानूनों द्वारा स्थापित एक निश्चित सीमा c0 से अधिक है। ये वितरण लगभग पेरेटो वितरण के समान ही होते हैं। पेरेटो वितरणकार्यों द्वारा दिया गया

एफएक्स(एक्स)=पी(एक्स .gif" चौड़ाई = "44" ऊंचाई = "25"> यादृच्छिक चर x और मोनोटोनिक अवकलनीय फ़ंक्शन ..gif" चौड़ाई = "200" ऊंचाई = "51">

यहां https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif' width='60' ऊंचाई='21 src='>.

कार्य 4.यादृच्छिक चर को अंतराल पर समान रूप से वितरित किया जाता है। एक यादृच्छिक चर का घनत्व ज्ञात कीजिए।

समाधान।समस्या की स्थिति से यह पता चलता है कि

अगला, फ़ंक्शन अंतराल पर एक मोनोटोनिक और अवकलनीय कार्य है और इसका व्युत्क्रम कार्य है , जिसका व्युत्पन्न बराबर है इसलिए,

§ 5. सतत यादृच्छिक चर की एक जोड़ी

मान लीजिए कि दो सतत यादृच्छिक चर x और h दिए गए हैं। फिर जोड़ी (एक्स, एच) विमान पर एक "यादृच्छिक" बिंदु निर्धारित करती है। एक युग्म (x, h) कहलाता है यादृच्छिक वेक्टरया द्वि-आयामी यादृच्छिक चर।

संयुक्त वितरण समारोहयादृच्छिक चर x और h और फ़ंक्शन को F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif' width='173' ऊंचाई='25'> कहा जाता है। संयुक्त घनत्वयादृच्छिक चर x और h का संभाव्यता वितरण एक ऐसा फ़ंक्शन है .

संयुक्त वितरण घनत्व की इस परिभाषा का अर्थ इस प्रकार है। संभावना है कि एक "यादृच्छिक बिंदु" (एक्स, एच) एक विमान पर एक क्षेत्र में गिर जाएगा, एक त्रि-आयामी आकृति की मात्रा के रूप में गणना की जाती है - सतह से घिरा एक "घुमावदार" सिलेंडर https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width=”211” ऊंचाई=”39 src=”>

दो यादृच्छिक चरों के संयुक्त वितरण का सबसे सरल उदाहरण द्वि-आयामी है सेट पर समान वितरणए. मान लीजिए कि क्षेत्रफल के साथ एक परिबद्ध समुच्चय M दिया गया है। इसे निम्नलिखित संयुक्त घनत्व द्वारा दिए गए युग्म (x, h) के वितरण के रूप में परिभाषित किया गया है:

कार्य 5.मान लीजिए कि एक द्वि-आयामी यादृच्छिक वेक्टर (x, h) को त्रिभुज के अंदर समान रूप से वितरित किया जाता है। असमानता x>h की संभावना की गणना करें।

समाधान।संकेतित त्रिभुज का क्षेत्रफल बराबर है (चित्र संख्या देखें?)। द्वि-आयामी समान वितरण की परिभाषा के आधार पर, यादृच्छिक चर x, h का संयुक्त घनत्व बराबर है

इवेंट सेट से मेल खाता है एक समतल पर, अर्थात् अर्ध-तल पर। फिर संभावना

अर्ध-तल B पर, सेट https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" ऊंचाई="17"> के बाहर संयुक्त घनत्व शून्य के बराबर है। इस प्रकार , अर्ध-तल B को दो सेटों में विभाजित किया गया है और https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width='17' ऊंचाई='23'> और , और दूसरा अभिन्न अंग है शून्य, चूँकि वहाँ संयुक्त घनत्व शून्य है। इसीलिए

यदि जोड़ी (x, h) के लिए संयुक्त वितरण घनत्व दिया गया है, तो घनत्व और घटक x और h कहलाते हैं निजी घनत्वऔर सूत्रों द्वारा गणना की जाती है:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width=”224” ऊंचाई=”23 src=”>

घनत्व px(x), ph(y) के साथ लगातार वितरित यादृच्छिक चर के लिए, स्वतंत्रता का अर्थ है

कार्य 6.पिछली समस्या की शर्तों के तहत, निर्धारित करें कि क्या यादृच्छिक वेक्टर x और h के घटक स्वतंत्र हैं?

समाधान. आइए आंशिक घनत्व की गणना करें और। अपने पास:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width=”283” ऊंचाई=”61 src=”>

जाहिर है, हमारे मामले में https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif' width='64' ऊंचाई='25'> x और h का संयुक्त घनत्व है, और j(x, y) तो दो तर्कों का एक फलन है

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width=”184” ऊंचाई=”152 src=”>

कार्य 7.पिछली समस्या की स्थितियों में, गणना करें।

समाधान।उपरोक्त सूत्र के अनुसार, हमारे पास है:

.

त्रिभुज को इस प्रकार निरूपित करना

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width=”479” ऊंचाई=”59”>

§ 5. दो सतत यादृच्छिक चरों के योग का घनत्व

मान लीजिए कि x और h घनत्व के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width='43' ऊँचाई='25'>। यादृच्छिक चर का घनत्व x + h की गणना सूत्र से की जाती है संकल्प

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width='39' ऊंचाई='19 src='>. योग घनत्व की गणना करें.

समाधान।चूँकि x और h को पैरामीटर के साथ घातांकीय नियम के अनुसार वितरित किया जाता है, उनका घनत्व बराबर होता है

इस तरह,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width=”339 ऊंचाई=51” ऊंचाई=”51”>

यदि एक्स<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">नकारात्मक है, और इसलिए. इसलिए, यदि https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif' width='359 ऊंचाई=101' ऊंचाई='101'>

इस प्रकार, हमें उत्तर मिला:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width=”40” ऊंचाई=”41 “> सामान्यतः पैरामीटर 0 और 1 के साथ वितरित किया जाता है। यादृच्छिक चर X1 और x2 स्वतंत्र हैं और सामान्य हैं क्रमशः पैरामीटर a1 और a2 के साथ वितरण साबित करें कि x1 + x2 का सामान्य वितरण है यादृच्छिक चर x1, x2, ... xn वितरित और स्वतंत्र हैं और समान वितरण घनत्व कार्य करते हैं

.

मात्राओं का वितरण फलन और वितरण घनत्व ज्ञात कीजिए:

a) h1 = मिनट (x1 , x2, ...xn) ; बी) एच(2) = अधिकतम(x1,x2, ...xn )

यादृच्छिक चर x1, x2, ... xn स्वतंत्र हैं और खंड [а, b] पर समान रूप से वितरित हैं। मात्राओं के वितरण फलन और वितरण घनत्व फलन खोजें

x(1) = न्यूनतम(x1,x2, ...xn) और x(2)= अधिकतम(x1, x2, ...xn)।

साबित करें कि M https://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" ऊंचाई="47">.

यादृच्छिक चर को कॉची कानून के अनुसार वितरित किया जाता है। खोजें: ए) गुणांक ए; बी) वितरण समारोह; ग) अंतराल (-1, 1) से टकराने की संभावना। दिखाएँ कि x की अपेक्षा मौजूद नहीं है। यादृच्छिक चर पैरामीटर l (l>0) के साथ लाप्लास नियम का पालन करता है: गुणांक a खोजें; वितरण घनत्व और वितरण फलन के ग्राफ़ बनाएं; एमएक्स और डीएक्स खोजें; घटनाओं की संभावनाएँ ज्ञात कीजिए (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

वितरण घनत्व के लिए एक सूत्र लिखें, एमएक्स और डीएक्स खोजें।

कंप्यूटिंग कार्य.

एक यादृच्छिक बिंदु A का त्रिज्या R के एक वृत्त में एक समान वितरण होता है। वृत्त के केंद्र से एक बिंदु की दूरी r की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए। दिखाएँ कि मात्रा r2 खंड पर समान रूप से वितरित है।

एक यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व का रूप है:

स्थिरांक C, वितरण फलन F(x), और संभाव्यता की गणना करें एक यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व का रूप है:

स्थिरांक C, वितरण फलन F(x), और संभाव्यता की गणना करें एक यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व का रूप है:
स्थिरांक C, वितरण फलन F(x), विचरण और संभाव्यता की गणना करें। यादृच्छिक चर में वितरण फलन होता है

एक यादृच्छिक चर के घनत्व, गणितीय अपेक्षा, विचरण और संभाव्यता की गणना करें जांचें कि फ़ंक्शन =
एक यादृच्छिक चर का वितरण फलन हो सकता है। इस मात्रा की संख्यात्मक विशेषताएँ ज्ञात कीजिए: Mx और Dx। यादृच्छिक चर को खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है। वितरण घनत्व लिखिए। वितरण फलन ज्ञात कीजिए। खंड और खंड पर एक यादृच्छिक चर के टकराने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। वितरण घनत्व x है

.

स्थिरांक c, वितरण घनत्व h = और संभाव्यता ज्ञात करें

पी (0.25

कंप्यूटर अपटाइम को पैरामीटर एल = 0.05 (प्रति घंटे विफलता) के साथ एक घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, यानी इसमें घनत्व फ़ंक्शन होता है

पी(एक्स) = .

एक निश्चित समस्या के समाधान के लिए 15 मिनट तक मशीन के परेशानी मुक्त संचालन की आवश्यकता होती है। यदि समस्या के समाधान के दौरान कोई विफलता होती है, तो समाधान के अंत में ही त्रुटि का पता चलता है, और समस्या फिर से हल हो जाती है। खोजें: ए) संभावना है कि समस्या के समाधान के दौरान कोई विफलता नहीं होगी; बी) औसत समय जिसके लिए समस्या हल हो जाएगी।

24 सेमी लंबाई की एक छड़ दो भागों में टूट गई है; हम मान लेंगे कि ब्रेक पॉइंट रॉड की पूरी लंबाई पर समान रूप से वितरित है। अधिकांश छड़ की औसत लंबाई क्या है? 12 सेमी लंबाई का एक टुकड़ा यादृच्छिक रूप से दो भागों में काटा जाता है। कट बिंदु को खंड की पूरी लंबाई में समान रूप से वितरित किया जाता है। खण्ड के एक छोटे भाग की औसत लंबाई क्या है? यादृच्छिक चर को अंतराल पर समान रूप से वितरित किया जाता है। एक यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व ज्ञात करें a) h1 = 2x + 1; बी) h2 = -ln(1-x); ग) h3 = .

दिखाएँ कि यदि x का सतत वितरण फलन है

एफ(एक्स) = पी(एक्स

क्रमशः अंतराल पर समान वितरण कानूनों के साथ दो स्वतंत्र मात्राओं x और h के योग का घनत्व फलन और वितरण फलन ज्ञात कीजिए। यादृच्छिक चर x और h क्रमशः अंतरालों पर स्वतंत्र और समान रूप से वितरित होते हैं। योग x+h के घनत्व की गणना करें। यादृच्छिक चर x और h क्रमशः अंतरालों पर स्वतंत्र और समान रूप से वितरित होते हैं। योग x+h के घनत्व की गणना करें। यादृच्छिक चर x और h क्रमशः अंतरालों पर स्वतंत्र और समान रूप से वितरित होते हैं। योग x+h के घनत्व की गणना करें। यादृच्छिक चर स्वतंत्र होते हैं और घनत्व के साथ एक घातीय वितरण होता है . उनके योग का वितरण घनत्व ज्ञात कीजिए। स्वतंत्र यादृच्छिक चर x और h के योग का वितरण ज्ञात करें, जहाँ x का अंतराल पर एक समान वितरण है, और h का पैरामीटर l के साथ एक घातांकीय वितरण है। आर खोजें , यदि x में: a) पैरामीटर a और s2 के साथ सामान्य वितरण है; बी) पैरामीटर एल के साथ घातीय वितरण; ग) अंतराल पर समान वितरण [-1;1]। x, h का संयुक्त वितरण एकसमान वर्ग है
के = (एक्स, वाई): |एक्स| +|y|£2). संभाव्यता खोजें . क्या x और h स्वतंत्र हैं? यादृच्छिक चर x और h की एक जोड़ी त्रिभुज K= के अंदर समान रूप से वितरित है। घनत्व x और h की गणना करें। क्या ये यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं? प्रायिकता ज्ञात कीजिए. यादृच्छिक चर x और h स्वतंत्र हैं और अंतरालों और [-1,1] पर समान रूप से वितरित हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए. एक द्वि-आयामी यादृच्छिक चर (x, h) शीर्षों (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) वाले एक वर्ग में समान रूप से वितरित किया जाता है। बिंदु (1, -1) पर संयुक्त वितरण फलन का मान ज्ञात कीजिए। यादृच्छिक वेक्टर (x, h) मूल बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या 3 के एक वृत्त के अंदर समान रूप से वितरित है। संयुक्त वितरण घनत्व के लिए एक अभिव्यक्ति लिखिए। निर्धारित करें कि क्या ये यादृच्छिक चर निर्भर हैं। संभाव्यता की गणना करें. यादृच्छिक चर x और h की एक जोड़ी समान रूप से बिंदुओं (-6.0), (-3.4), (3.4), (6.0) पर शीर्षों के साथ एक ट्रेपेज़ॉइड के अंदर वितरित की जाती है। यादृच्छिक चर की इस जोड़ी और घटकों के घनत्व के लिए संयुक्त वितरण घनत्व ज्ञात करें। क्या x और h आश्रित हैं? एक यादृच्छिक युग्म (x, h) अर्धवृत्त के अंदर समान रूप से वितरित है। घनत्व x और h ज्ञात करें, उनकी निर्भरता के प्रश्न की जाँच करें। दो यादृच्छिक चर x और h का संयुक्त घनत्व है .
घनत्व x, h ज्ञात कीजिए। x और h की निर्भरता के प्रश्न का अन्वेषण करें। एक यादृच्छिक जोड़ी (x, h) सेट पर समान रूप से वितरित की जाती है। घनत्व x और h ज्ञात करें, उनकी निर्भरता के प्रश्न की जाँच करें। एम(एक्सएच) खोजें। यादृच्छिक चर x और h स्वतंत्र हैं और पैरामीटर फाइंड के साथ घातीय कानून के अनुसार वितरित किए जाते हैं

मान लीजिए वितरण फलन द्वारा एक सतत यादृच्छिक चर X दिया गया है एफ(एक्स). आइए मान लें कि यादृच्छिक चर के सभी संभावित मान खंड से संबंधित हैं [ ए,बी].

परिभाषा।गणितीय अपेक्षानिरंतर यादृच्छिक चर X, जिसके संभावित मान खंड से संबंधित हैं, एक निश्चित अभिन्न अंग कहलाते हैं

यदि किसी यादृच्छिक चर के संभावित मानों को संपूर्ण संख्या अक्ष पर माना जाता है, तो गणितीय अपेक्षा सूत्र द्वारा पाई जाती है:

इस मामले में, निश्चित रूप से, यह माना जाता है कि अनुचित अभिन्न अंग अभिसरण करता है।

परिभाषा।फैलावसतत यादृच्छिक चर को उसके विचलन के वर्ग की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है।

असतत यादृच्छिक चर के विचरण के अनुरूप, विचरण की व्यावहारिक गणना के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है:

परिभाषा।मानक विचलनप्रसरण का वर्गमूल कहलाता है।

परिभाषा।पहनावाकिसी असतत यादृच्छिक चर का M 0 उसका सर्वाधिक संभावित मान कहलाता है। एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, मोड यादृच्छिक चर का मान है जिस पर वितरण घनत्व अधिकतम होता है।

यदि एक असतत यादृच्छिक चर के लिए वितरण बहुभुज या एक सतत यादृच्छिक चर के लिए वितरण वक्र में दो या अधिक मैक्सिमा हैं, तो ऐसे वितरण को कहा जाता है bimodalया बहुविध. यदि किसी वितरण में न्यूनतम है लेकिन कोई अधिकतम नहीं है, तो इसे कहा जाता है प्रतिमोडल.

परिभाषा।मंझलायादृच्छिक चर X का M D उसका मान है, जिसके सापेक्ष यादृच्छिक चर का बड़ा या छोटा मान प्राप्त होने की समान संभावना होती है।

ज्यामितीय रूप से, माध्यिका उस बिंदु का भुज है जिस पर वितरण वक्र से घिरा क्षेत्र आधे में विभाजित होता है। ध्यान दें कि यदि वितरण एकरूप है, तो मोड और माध्यिका गणितीय अपेक्षा से मेल खाते हैं।

परिभाषा।आरंभिक क्षणआदेश कयादृच्छिक चर X को X की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है क.

पहले क्रम का प्रारंभिक क्षण गणितीय अपेक्षा के बराबर है।

परिभाषा।केंद्रीय क्षणआदेश कयादृच्छिक चर X को मान की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है

असतत यादृच्छिक चर के लिए: .

एक सतत यादृच्छिक चर के लिए: .

पहले क्रम का केंद्रीय क्षण हमेशा शून्य होता है, और दूसरे क्रम का केंद्रीय क्षण फैलाव के बराबर होता है। तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण वितरण की विषमता को दर्शाता है।

परिभाषा। तीसरे क्रम के केंद्रीय क्षण और तीसरी डिग्री के मानक विचलन के अनुपात को कहा जाता है विषमता गुणांक.

परिभाषा। वितरण की तीक्ष्णता और सपाटता को दर्शाने के लिए एक मात्रा कहलाती है कुकुदता.

मानी गई मात्राओं के अलावा, तथाकथित निरपेक्ष क्षणों का भी उपयोग किया जाता है:

पूर्ण प्रारंभिक क्षण: . निरपेक्ष केंद्रीय क्षण: . प्रथम क्रम का पूर्ण केन्द्रीय क्षण कहलाता है अंकगणित माध्य विचलन.

उदाहरण।ऊपर दिए गए उदाहरण के लिए, यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा और विचरण निर्धारित करें।

उदाहरण।एक कलश में 6 सफेद और 4 काली गेंदें हैं। इसमें से एक गेंद को लगातार पांच बार निकाला जाता है और हर बार निकाली गई गेंद को वापस लौटा दिया जाता है और गेंदों को मिला दिया जाता है। निकाली गई सफेद गेंदों की संख्या को एक यादृच्छिक चर X के रूप में लेते हुए, इस मात्रा के वितरण का नियम बनाएं, इसकी गणितीय अपेक्षा और विचरण निर्धारित करें।

क्योंकि प्रत्येक प्रयोग में गेंदों को वापस लौटाया जाता है और मिश्रित किया जाता है, फिर परीक्षणों को स्वतंत्र माना जा सकता है (पिछले प्रयोग का परिणाम किसी अन्य प्रयोग में किसी घटना के घटित होने या न होने की संभावना को प्रभावित नहीं करता है)।

इस प्रकार, प्रत्येक प्रयोग में एक सफेद गेंद आने की संभावना स्थिर और बराबर है

इस प्रकार, लगातार पांच परीक्षणों के परिणामस्वरूप, सफेद गेंद बिल्कुल भी प्रकट नहीं हो सकती है, एक, दो, तीन, चार या पांच बार दिखाई दे सकती है। वितरण कानून बनाने के लिए, आपको इनमें से प्रत्येक घटना की संभावनाएँ ज्ञात करनी होंगी।

1) सफेद गेंद दिखाई ही नहीं दी:

2) सफेद गेंद एक बार दिखाई दी:

3) सफेद गेंद दो बार दिखाई देगी:।

अपनी भौतिक प्रकृति के अनुसार, यादृच्छिक चर नियतात्मक और यादृच्छिक हो सकते हैं।

असतत एक यादृच्छिक चर है जिसके व्यक्तिगत मूल्यों को पुनः क्रमांकित किया जा सकता है (उत्पादों की संख्या, भागों की संख्या - दोषपूर्ण और अच्छा, आदि)।

एक यादृच्छिक चर को निरंतर कहा जाता है, जिसके संभावित मान एक निश्चित अंतर को भरते हैं (नाममात्र मूल्य से निर्मित भाग के आकार का विचलन, माप त्रुटि, भाग के आकार का विचलन, सूक्ष्म खुरदरापन की ऊंचाई, आदि)।

एक यादृच्छिक चर को किसी एकल मान द्वारा चित्रित नहीं किया जा सकता है। इसके लिए इस सेट पर दिए गए संभावित मानों के सेट और संभाव्य विशेषताओं को इंगित करना आवश्यक है।

इस घटना में कि एक यादृच्छिक घटना को एक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, हम एक यादृच्छिक चर के बारे में बात कर सकते हैं। अनियमितवे उस मान को कहते हैं, जो परीक्षण के परिणामस्वरूप, एक संभावित मान लेगा, जो पहले से अज्ञात है और यादृच्छिक कारणों पर निर्भर करता है जिन्हें पहले से ध्यान में नहीं रखा जा सकता है।

एक यादृच्छिक चर के कुछ मूल्य का नुकसान एक्सयह एक यादृच्छिक घटना है: एक्स \u003d एक्स आई।यादृच्छिक चर के बीच, असतत और निरंतर यादृच्छिक चर को प्रतिष्ठित किया जाता है।

असतत यादृच्छिक चरएक यादृच्छिक चर कहा जाता है, जो परीक्षण के परिणामस्वरूप, कुछ संभावनाओं के साथ व्यक्तिगत मान लेता है। असतत यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संख्या परिमित या अनंत हो सकती है। असतत यादृच्छिक चर के उदाहरण: समय में विशिष्ट बिंदुओं पर स्पीडोमीटर रीडिंग या मापा तापमान रिकॉर्ड करना।

निरंतर यादृच्छिक चरएक यादृच्छिक चर कहा जाता है, जो परीक्षण के परिणामस्वरूप एक निश्चित संख्यात्मक अंतराल से सभी मान लेता है। सतत यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संख्या अनंत है। सतत यादृच्छिक चर का एक उदाहरण: एक विशिष्ट समय अंतराल के दौरान किसी भी प्रकार के परिवहन या तापमान की गति को मापना।

किसी भी यादृच्छिक चर का अपना संभाव्यता वितरण कानून और अपना स्वयं का संभाव्यता वितरण कार्य होता है। वितरण फ़ंक्शन को परिभाषित करने से पहले, आइए उन चरों पर विचार करें जो इसे परिभाषित करते हैं। कुछ चलो एक्सएक वास्तविक संख्या है और एक यादृच्छिक चर प्राप्त होता है एक्स, जिसमें एक्स > एक्स. यह संभावना निर्धारित करने के लिए आवश्यक है कि यादृच्छिक चर एक्सइस निर्धारित मूल्य से कम होगा एक्स.

एक यादृच्छिक चर का वितरण कार्य एक्सएक फ़ंक्शन कहा जाता है एफ(एक्स), जो इस संभावना को निर्धारित करता है कि परीक्षण के परिणामस्वरूप यादृच्छिक चर X, x के मान से कम मान लेगा, अर्थात:

संभाव्यता सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर की विशेषता होती है इसके वितरण का नियम . यह कानून एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और इन मूल्यों के अनुरूप उनकी घटना की संभावनाओं के बीच संबंध स्थापित करता है। यादृच्छिक चर के वितरण के नियम का वर्णन करने के दो रूप हैं - विभेदक और अभिन्न . इसके अलावा, मेट्रोलॉजी में, विभेदक रूप का मुख्य रूप से उपयोग किया जाता है - वितरण कानून संभावित गहराई अनियमित परिवर्तनशील वस्तु।

विभेदक वितरण कानूनविशेषता संभाव्यता वितरण घनत्व f(x) अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्स. संभावना आरसे अंतराल में एक यादृच्छिक चर को मारना एक्स 1पहले एक्स 2सूत्र द्वारा दिया गया है:

ग्राफ़िक रूप से, यह संभावना x 1 से x 2 तक की सीमा में वक्र f (x) के नीचे के क्षेत्र और संपूर्ण वितरण वक्र से घिरे कुल क्षेत्र का अनुपात है। एक नियम के रूप में, संपूर्ण संभाव्यता वितरण वक्र के अंतर्गत क्षेत्र को एक के लिए सामान्यीकृत किया जाता है।

इस मामले में, वितरण निरंतरअनियमित परिवर्तनशील वस्तु। इनके अलावा और भी हैं अलगयादृच्छिक चर जो कई विशिष्ट मान लेते हैं जिन्हें क्रमांकित किया जा सकता है।

यादृच्छिक चर का अभिन्न वितरण नियमएक फ़ंक्शन है एफ(एक्स),सूत्र द्वारा परिभाषित

संभावना है कि एक यादृच्छिक चर x 1 से कम होगा, x = x 1 पर फ़ंक्शन F(x) के मान द्वारा दिया गया है:

यद्यपि यादृच्छिक चर के वितरण का नियम उनकी पूर्ण संभाव्य विशेषता है, इस नियम को खोजना एक कठिन कार्य है और इसके लिए कई मापों की आवश्यकता होती है। इसलिए, व्यवहार में, एक यादृच्छिक चर के गुणों का वर्णन करने के लिए, विभिन्न वितरण की संख्यात्मक विशेषताएँ. इसमे शामिल है क्षणोंयादृच्छिक चर: प्राथमिक और केंद्रीय, जो कुछ हैं औसत मान. इसके अलावा, यदि मूल से गिने गए मान औसत हैं, तो क्षण कहलाते हैं प्रारंभिक, और यदि वितरण केंद्र से, तो केंद्रीय.

एक यादृच्छिक चर X का वितरण फ़ंक्शन फ़ंक्शन F(x) है, जो प्रत्येक x के लिए संभावना व्यक्त करता है कि यादृच्छिक चर X मान लेता है, छोटा एक्स

उदाहरण 2.5. एक यादृच्छिक चर के वितरण की एक श्रृंखला दी गई है

इसके वितरण फलन को खोजें और आलेखीय रूप से चित्रित करें। समाधान। परिभाषा के अनुसार

एफ(जेसी) = 0 के लिए एक्सएक्स

एफ(एक्स) = 0.4 + 0.1 = 0.5 4 एफ(एक्स) पर = 0.5 + 0.5 = 1 पर एक्स > 5.

तो (चित्र 2.1 देखें):

वितरण फ़ंक्शन गुण:

1. यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन शून्य और एक के बीच संलग्न एक गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन है:

2. यादृच्छिक चर का वितरण फलन संपूर्ण संख्या अक्ष पर एक गैर-घटता हुआ फलन है, अर्थात। पर एक्स 2 >x

3. माइनस इनफिनिटी पर, वितरण फलन शून्य के बराबर होता है, प्लस इनफिनिटी पर, यह एक के बराबर होता है, यानी।

4. एक यादृच्छिक चर से टकराने की संभावना एक्सअंतराल मेंसे लेकर इसकी संभाव्यता घनत्व के निश्चित अभिन्न अंग के बराबर है एपहले बी(चित्र 2.2 देखें), अर्थात्।

चावल। 2.2

3. एक सतत यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन (चित्र 2.3 देखें) सूत्र का उपयोग करके संभाव्यता घनत्व के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

एफ(एक्स)=जेपी(*)*. (2.10)

4. एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व की अनंत सीमाओं में अनुचित अभिन्न एक के बराबर है:

ज्यामितीय गुण / और 4 संभाव्यता घनत्व का मतलब है कि इसका प्लॉट है वितरण वक्र - x-अक्ष के नीचे नहीं है, और आकृति का कुल क्षेत्रफल, सीमित वितरण वक्र और एक्स-अक्ष, एक के बराबर है.

एक सतत यादृच्छिक चर के लिए एक्सअपेक्षित मूल्य एम(एक्स)और विचरण डी(एक्स)सूत्रों द्वारा निर्धारित होते हैं:

(यदि अभिन्न पूरी तरह से अभिसरण करता है); या

(यदि घटे हुए समाकलन अभिसरित होते हैं)।

ऊपर उल्लिखित संख्यात्मक विशेषताओं के साथ, मात्राओं और प्रतिशत बिंदुओं की अवधारणा का उपयोग यादृच्छिक चर का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

क्यू लेवल क्वांटाइल(या q-क्वांटाइल) एक ऐसा मान हैएक्स क्यूअनियमित परिवर्तनशील वस्तु, जिस पर इसका वितरण फलन मान लेता है, क्यू के बराबर,अर्थात।

• 100q%-ou बिंदु मात्रात्मक X~ q है।
• ? उदाहरण 2.8.

उदाहरण 2.6 के अनुसार मात्रा ज्ञात कीजिए xqj और 30% यादृच्छिक चर बिंदु एक्स।

समाधान। परिभाषा के अनुसार (2.16) F(xo t3)= 0.3, अर्थात

~य~= 0.3, मात्रा कहाँ से एक्स 0 3 = 0.6. 30% यादृच्छिक चर बिंदु एक्स, या क्वांटाइल Х)_о,з = xoj» समीकरण ^ = 0.7 से इसी तरह पाया जाता है। कहाँ से *,= 1.4. ?

एक यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं में से हैं प्रारंभिकवी* और केंद्रीयआर* k-वें क्रम के क्षण, सूत्रों द्वारा असतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए निर्धारित: