सामान्य वितरण वितरण का सबसे सामान्य प्रकार है। इसका सामना माप त्रुटियों के विश्लेषण, तकनीकी प्रक्रियाओं और व्यवस्थाओं के नियंत्रण के साथ-साथ जीव विज्ञान, चिकित्सा और ज्ञान के अन्य क्षेत्रों में विभिन्न घटनाओं के विश्लेषण और भविष्यवाणी में होता है।

शब्द "सामान्य वितरण" का प्रयोग सशर्त अर्थ में किया जाता है जैसा कि साहित्य में आम तौर पर स्वीकार किया जाता है, हालांकि यह पूरी तरह से सफल नहीं है। इस प्रकार, यह दावा कि एक निश्चित विशेषता सामान्य वितरण कानून का पालन करती है, इसका मतलब किसी भी ऐसे अटल मानदंड का अस्तित्व नहीं है जो कथित तौर पर घटना को रेखांकित करता है, जिसका प्रतिबिंब प्रश्न में विशेषता है, और अन्य वितरण कानूनों को प्रस्तुत करने का मतलब यह नहीं है इस घटना की किसी प्रकार की असामान्यता।

सामान्य वितरण की मुख्य विशेषता यह है कि यह वह सीमा है जिस तक अन्य वितरण पहुँचते हैं। सामान्य वितरण की खोज सबसे पहले मोइवरे ने 1733 में की थी। केवल सतत यादृच्छिक चर ही सामान्य नियम का पालन करते हैं। सामान्य वितरण नियम के घनत्व का रूप है।

सामान्य वितरण कानून के लिए गणितीय अपेक्षा है। फैलाव है.

सामान्य वितरण के मूल गुण।

1. वितरण घनत्व फ़ंक्शन को संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर परिभाषित किया गया है ओह , अर्थात्, प्रत्येक मान एक्स फ़ंक्शन के एक सुपरिभाषित मान से मेल खाता है।

2. सभी मूल्यों के लिए एक्स (सकारात्मक और नकारात्मक दोनों) घनत्व फ़ंक्शन सकारात्मक मान लेता है, अर्थात, सामान्य वक्र अक्ष के ऊपर स्थित होता है ओह .

3. असीमित वृद्धि के साथ घनत्व फलन की सीमा एक्स शून्य के बराबर है, .

4. बिंदु पर सामान्य वितरण का घनत्व फलन अधिकतम होता है।

5. घनत्व फलन का ग्राफ एक सीधी रेखा के प्रति सममित होता है।

6. वितरण वक्र में निर्देशांक और के साथ दो विभक्ति बिंदु हैं।

7. सामान्य वितरण का मोड और माध्यिका गणितीय अपेक्षा से मेल खाता है ए .

8. पैरामीटर बदलने पर सामान्य वक्र का आकार नहीं बदलता है ए .

9. सामान्य वितरण के विषमता एवं कुर्टोसिस के गुणांक शून्य के बराबर होते हैं।

अनुभवजन्य वितरण श्रृंखला के लिए इन गुणांकों की गणना का महत्व स्पष्ट है, क्योंकि वे सामान्य की तुलना में दी गई श्रृंखला की विषमता और स्थिरता की विशेषता बताते हैं।

अंतराल में गिरने की संभावना सूत्र द्वारा पाई जाती है, जहां एक विषम सारणीबद्ध फ़ंक्शन है।

आइए इस संभावना को निर्धारित करें कि एक सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर अपनी गणितीय अपेक्षा से कम मूल्य से विचलित हो जाता है, यानी, हम असमानता की संभावना, या दोहरी असमानता की संभावना पाते हैं। सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

किसी यादृच्छिक चर का विचलन व्यक्त करना एक्स मानक विचलन के अंशों में, अर्थात्, अंतिम समानता डालने पर, हमें मिलता है।

तब के लिए, हमें मिलता है

हम कब पाएंगे ,

जब हम प्राप्त करते हैं.

अंतिम असमानता से यह पता चलता है कि व्यावहारिक रूप से सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का प्रकीर्णन अनुभाग में निहित है। एक यादृच्छिक चर के इस क्षेत्र में नहीं आने की संभावना बहुत कम है, अर्थात यह 0.0027 के बराबर है, अर्थात यह घटना 1000 में से केवल तीन मामलों में ही घटित हो सकती है। ऐसी घटनाओं को लगभग असंभव माना जा सकता है। उपरोक्त तर्क के आधार पर, तीन सिग्मा नियम, जिसे इस प्रकार तैयार किया गया है: यदि किसी यादृच्छिक चर का सामान्य वितरण होता है, तो निरपेक्ष मान में गणितीय अपेक्षा से इस मान का विचलन मानक विचलन के तीन गुना से अधिक नहीं होता है.

उदाहरण 28 . स्वचालित मशीन द्वारा बनाया गया कोई भाग उपयुक्त माना जाता है यदि उसके नियंत्रित आकार का डिज़ाइन से विचलन 10 मिमी से अधिक न हो। डिज़ाइन आकार से नियंत्रित आकार के यादृच्छिक विचलन मानक विचलन मिमी और गणितीय अपेक्षा के साथ सामान्य वितरण कानून के अधीन हैं। मशीन कितने प्रतिशत अच्छे पार्ट्स का उत्पादन करती है?

समाधान। एक यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्स - डिज़ाइन से आकार का विचलन। यदि यादृच्छिक चर अंतराल से संबंधित है तो भाग को फिट के रूप में पहचाना जाएगा। एक उपयुक्त भाग के निर्माण की संभावना सूत्र द्वारा पाई जाती है। इसलिए, मशीन द्वारा उत्पादित अच्छे भागों का प्रतिशत 95.44% है।

द्विपद वितरण

द्विपद घटना का संभाव्यता वितरण है एम में घटनाओं की संख्या पी स्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में किसी घटना के घटित होने की संभावना स्थिर और बराबर होती है आर . किसी घटना के घटित होने की संभावित संख्या की संभावना की गणना बर्नौली सूत्र द्वारा की जाती है:

कहाँ । स्थायी पी और आर , इस अभिव्यक्ति में, द्विपद कानून के पैरामीटर शामिल हैं। द्विपद वितरण एक असतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का वर्णन करता है।

द्विपद वितरण की बुनियादी संख्यात्मक विशेषताएँ। गणितीय अपेक्षा है. फैलाव है. तिरछापन और कर्टोसिस गुणांक और के बराबर हैं। परीक्षणों की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ ए और इ शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं, इसलिए, हम यह मान सकते हैं कि परीक्षणों की बढ़ती संख्या के साथ द्विपद वितरण सामान्य वितरण में परिवर्तित हो जाता है।

उदाहरण 29 . घटना के घटित होने की समान संभावना के साथ स्वतंत्र परीक्षण किए जाते हैं ए हर परीक्षा में. किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ए एक परीक्षण में यदि तीन परीक्षणों में उपस्थिति की संख्या में भिन्नता 0.63 है।

समाधान। द्विपद वितरण के लिए. मूल्यों को प्रतिस्थापित करें, जो हमें यहां या फिर और से प्राप्त होते हैं।

पॉसों वितरण

दुर्लभ घटनाओं के वितरण का नियम

पॉइसन वितरण घटनाओं की संख्या का वर्णन करता है एम , समान समय अंतराल में घटित होना, बशर्ते कि घटनाएँ एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से निरंतर औसत तीव्रता के साथ घटित हों। उसी समय, परीक्षणों की संख्या पी बड़ी है, और प्रत्येक परीक्षण में एक घटना घटित होने की संभावना है आर छोटा। इसलिए, पॉइसन वितरण को दुर्लभ घटना का नियम या सरलतम प्रवाह कहा जाता है। पॉइसन वितरण का पैरामीटर घटनाओं की घटना की तीव्रता को दर्शाने वाला मान है पी परीक्षण. पॉइसन वितरण सूत्र.

पॉइसन वितरण प्रति वर्ष बीमा राशि के भुगतान के लिए दावों की संख्या, एक निश्चित समय में टेलीफोन एक्सचेंज द्वारा प्राप्त कॉल की संख्या, विश्वसनीयता परीक्षण के दौरान तत्व विफलताओं की संख्या, दोषपूर्ण उत्पादों की संख्या, आदि का अच्छी तरह से वर्णन करता है। .

पॉइसन वितरण के लिए बुनियादी संख्यात्मक विशेषताएँ। गणितीय अपेक्षा विचरण के बराबर है और बराबर है ए . वह है । यह इस वितरण की एक विशिष्ट विशेषता है. तिरछापन और कुर्टोसिस गुणांक क्रमशः बराबर हैं।

उदाहरण 30 . प्रति दिन बीमा राशि के भुगतान की औसत संख्या दो है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पाँच दिनों में आपको भुगतान करना होगा: 1) 6 बीमा राशि; 2) छह से कम राशियाँ; 3) छह से कम नहीं.वितरण.

यह वितरण अक्सर विभिन्न उपकरणों के सेवा जीवन, व्यक्तिगत तत्वों के अपटाइम, सिस्टम के हिस्सों और संपूर्ण सिस्टम का अध्ययन करते समय देखा जाता है, जब दो लगातार दुर्लभ घटनाओं की घटना के बीच यादृच्छिक समय अंतराल पर विचार किया जाता है।

घातीय वितरण का घनत्व पैरामीटर द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिसे कहा जाता है विफलता दर. यह शब्द अनुप्रयोग के एक विशिष्ट क्षेत्र से जुड़ा है - विश्वसनीयता का सिद्धांत।

घातीय वितरण के अभिन्न फलन की अभिव्यक्ति विभेदक फलन के गुणों का उपयोग करके पाई जा सकती है:

घातीय वितरण, विचरण, मानक विचलन की गणितीय अपेक्षा। इस प्रकार, इस वितरण के लिए यह विशिष्ट है कि मानक विचलन संख्यात्मक रूप से गणितीय अपेक्षा के बराबर है। पैरामीटर के किसी भी मान के लिए, तिरछापन और कर्टोसिस गुणांक स्थिर मान हैं।

उदाहरण 31 . पहली विफलता से पहले टीवी का औसत संचालन समय 500 घंटे है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से चुना गया एक टीवी सेट 1000 घंटे से अधिक समय तक बिना किसी खराबी के काम करेगा।

समाधान। चूँकि पहली विफलता का औसत समय 500 है, तो। हम सूत्र द्वारा वांछित संभाव्यता ज्ञात करते हैं।

सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर से संबंधित कई समस्याओं में, यह संभावना निर्धारित करना आवश्यक है कि एक यादृच्छिक चर, मापदंडों के साथ सामान्य कानून का पालन करते हुए, से के अंतराल में आता है। इस संभाव्यता की गणना करने के लिए, हम सामान्य सूत्र का उपयोग करते हैं

मात्रा का वितरण कार्य कहाँ है?

आइए हम मापदंडों के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन ढूंढें। मूल्य का वितरण घनत्व है:

. (6.3.2)

यहां से हमें वितरण फलन मिलता है

. (6.3.3)

आइए हम पूर्णांक (6.3.3) में चर का परिवर्तन करें

और इसे फॉर्म में लाएं:

(6.3.4)

इंटीग्रल (6.3.4) को प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जाता है, लेकिन इसकी गणना एक विशेष फ़ंक्शन के संदर्भ में की जा सकती है जो अभिव्यक्ति के एक निश्चित इंटीग्रल या (तथाकथित संभाव्यता इंटीग्रल) को व्यक्त करता है, जिसके लिए तालिकाएँ संकलित की जाती हैं . ऐसे कार्यों की कई किस्में हैं, उदाहरण के लिए:

;

वगैरह। इनमें से किस फ़ंक्शन का उपयोग करना है यह स्वाद का मामला है। हम ऐसे ही एक फंक्शन को चुनेंगे

. (6.3.5)

यह देखना आसान है कि यह फ़ंक्शन पैरामीटर के साथ सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन के अलावा और कुछ नहीं है।

हम फ़ंक्शन को सामान्य वितरण फ़ंक्शन कहने पर सहमत हैं। परिशिष्ट (तालिका 1) फ़ंक्शन मानों की तालिकाएँ दिखाता है।

आइए हम मात्रा के वितरण फ़ंक्शन (6.3.3) को मापदंडों के साथ और सामान्य वितरण फ़ंक्शन के संदर्भ में व्यक्त करें। ज़ाहिर तौर से,

. (6.3.6)

आइए अब से खंड पर एक यादृच्छिक चर के टकराने की प्रायिकता ज्ञात करें। सूत्र के अनुसार (6.3.1)

इस प्रकार, हमने संभावना व्यक्त की है कि किसी भी पैरामीटर के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर, मानक वितरण फ़ंक्शन के संदर्भ में प्लॉट पर आएगा, जो पैरामीटर 0.1 के साथ सबसे सरल सामान्य कानून के अनुरूप होगा। ध्यान दें कि सूत्र (6.3.7) में फ़ंक्शन तर्कों का एक बहुत ही सरल अर्थ है: खंड के दाहिने छोर से फैलाव के केंद्र तक की दूरी है, जो मानक विचलन में व्यक्त की गई है; - अनुभाग के बाएं छोर के लिए समान दूरी, और यदि अंत फैलाव केंद्र के दाईं ओर स्थित है तो यह दूरी सकारात्मक मानी जाती है, और यदि बाईं ओर स्थित है तो यह दूरी नकारात्मक मानी जाती है।

किसी भी वितरण फ़ंक्शन की तरह, फ़ंक्शन में निम्नलिखित गुण होते हैं:

3. - गैर घटने वाला कार्य।

इसके अलावा, उत्पत्ति के बारे में मापदंडों के साथ सामान्य वितरण की समरूपता से, यह इस प्रकार है

इस संपत्ति का उपयोग करते हुए, वास्तव में, फ़ंक्शन तालिकाओं को तर्क के केवल सकारात्मक मानों तक सीमित करना संभव होगा, लेकिन अनावश्यक ऑपरेशन (एक से घटाव) से बचने के लिए, परिशिष्ट की तालिका 1 इसके लिए मान प्रदान करती है सकारात्मक और नकारात्मक दोनों तर्क।

व्यवहार में, किसी को अक्सर इस संभावना की गणना करने की समस्या का सामना करना पड़ता है कि सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर एक ऐसे क्षेत्र में गिर जाएगा जो फैलाव के केंद्र के बारे में सममित है। लंबाई के ऐसे अनुभाग पर विचार करें (चित्र 6.3.1)। आइए सूत्र (6.3.7) का उपयोग करके इस साइट पर पहुंचने की संभावना की गणना करें:

फ़ंक्शन की संपत्ति (6.3.8) को ध्यान में रखते हुए और सूत्र के बाईं ओर (6.3.9) को अधिक संक्षिप्त रूप देते हुए, हम सामान्य कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर की संभावना के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं। प्रकीर्णन केंद्र के संबंध में एक अनुभाग सममित:

. (6.3.10)

आइए निम्नलिखित समस्या का समाधान करें। आइए हम प्रकीर्णन केंद्र से लंबाई के क्रमिक खंडों को अलग रखें (चित्र 6.3.2) और संभावना की गणना करें कि उनमें से प्रत्येक में एक यादृच्छिक चर गिर जाएगा। चूंकि सामान्य कानून का वक्र सममित है, इसलिए ऐसे खंडों को केवल एक दिशा में स्थगित करना पर्याप्त है।

सूत्र (6.3.7) के अनुसार हम पाते हैं:

(6.3.11)

जैसा कि इन आंकड़ों से देखा जा सकता है, 0.001 की सटीकता के साथ निम्नलिखित खंडों (पांचवें, छठे, आदि) में से प्रत्येक को मारने की संभावनाएं शून्य के बराबर हैं।

खंडों को हिट करने की संभावनाओं को 0.01 (1% तक) तक पूर्णांकित करने पर, हमें तीन संख्याएँ मिलती हैं जिन्हें याद रखना आसान है:

0,34; 0,14; 0,02.

इन तीनों मानों का योग 0.5 है। इसका मतलब यह है कि सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के लिए, सभी फैलाव (प्रतिशत के अंश तक) अनुभाग में फिट होते हैं।

यह एक यादृच्छिक चर के मानक विचलन और गणितीय अपेक्षा को जानकर, इसके व्यावहारिक रूप से संभावित मूल्यों की सीमा को लगभग इंगित करने की अनुमति देता है। यादृच्छिक चर के संभावित मानों की सीमा का अनुमान लगाने की इस पद्धति को गणितीय आंकड़ों में "तीन सिग्मा के नियम" के रूप में जाना जाता है। तीन सिग्मा का नियम एक यादृच्छिक चर के मानक विचलन को निर्धारित करने के लिए एक अनुमानित विधि का भी तात्पर्य करता है: वे औसत से अधिकतम व्यावहारिक रूप से संभव विचलन लेते हैं और इसे तीन से विभाजित करते हैं। निःसंदेह, इस कठिन विधि की अनुशंसा केवल तभी की जा सकती है जब निर्धारित करने का कोई अन्य, अधिक सटीक तरीका न हो।

उदाहरण 1. सामान्य कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर, एक निश्चित दूरी को मापने में एक त्रुटि है। मापते समय, 1.2 (एम) द्वारा अधिक अनुमान लगाने की दिशा में एक व्यवस्थित त्रुटि की अनुमति है; माप त्रुटि का मानक विचलन 0.8 (एम) है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि मापे गए मान का वास्तविक मान से विचलन निरपेक्ष मान में 1.6 (m) से अधिक न हो।

समाधान। माप त्रुटि एक यादृच्छिक चर है जो पैरामीटर और के साथ सामान्य कानून का पालन करता है। हमें इस बात की प्रायिकता ज्ञात करनी होगी कि यह मात्रा से के अंतराल पर आती है। सूत्र (6.3.7) से हमारे पास है:

फ़ंक्शन तालिकाओं (परिशिष्ट, तालिका 1) का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

; ,

उदाहरण 2. पिछले उदाहरण की तरह ही संभाव्यता ज्ञात कीजिए, लेकिन इस शर्त पर कि कोई व्यवस्थित त्रुटि न हो।

समाधान। सूत्र (6.3.10) द्वारा, यह मानते हुए, हम पाते हैं:

.

उदाहरण 3. एक लक्ष्य पर जो एक पट्टी (फ्रीवे) जैसा दिखता है, जिसकी चौड़ाई 20 मीटर है, शूटिंग फ्रीवे के लंबवत दिशा में की जाती है। निशाना राजमार्ग की मध्य रेखा पर लगाया जाता है। फायरिंग दिशा में मानक विचलन मी के बराबर है। फायरिंग दिशा में एक व्यवस्थित त्रुटि है: अंडरशूट 3 मीटर है। एक शॉट के साथ फ्रीवे से टकराने की संभावना ज्ञात कीजिए।

(वास्तविक, पूर्णतः सकारात्मक)

सामान्य वितरण, यह भी कहा जाता है गाऊसी वितरणया गॉस - लाप्लास- संभाव्यता वितरण, जो एक-आयामी मामले में संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है, जो गाऊसी फ़ंक्शन के साथ मेल खाता है:

f (x) = 1 σ 2 π e - (x - μ) 2 2 σ 2 , (\displaystyle f(x)=(\frac (1)(\sigma (\sqrt (2\pi ))))\ ;e^(-(\frac ((x-\mu)^(2))(2\sigma ^(2)))),)

जहां पैरामीटर μ गणितीय अपेक्षा (माध्य मान), माध्यिका और वितरण का मोड है, और पैरामीटर σ वितरण का मानक विचलन (σ  ² - विचरण) है।

इस प्रकार, एक-आयामी सामान्य वितरण वितरण का दो-पैरामीटर परिवार है। बहुभिन्नरूपी मामले का वर्णन "बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण" लेख में किया गया है।

मानक सामान्य वितरणमाध्य μ = 0 और मानक विचलन σ = 1 के साथ सामान्य वितरण कहा जाता है।

विश्वकोश यूट्यूब

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  विज्ञान के कई क्षेत्रों में (उदाहरण के लिए, गणितीय सांख्यिकी और सांख्यिकीय भौतिकी में) सामान्य वितरण का महत्व संभाव्यता सिद्धांत के केंद्रीय सीमा प्रमेय से होता है। यदि किसी अवलोकन का परिणाम कई यादृच्छिक, कमजोर रूप से अन्योन्याश्रित चर का योग है, जिनमें से प्रत्येक कुल योग के सापेक्ष एक छोटा सा योगदान देता है, तो जैसे-जैसे शब्दों की संख्या बढ़ती है, केंद्रित और सामान्यीकृत परिणाम का वितरण सामान्य हो जाता है। संभाव्यता सिद्धांत के इस नियम के परिणामस्वरूप सामान्य वितरण का व्यापक वितरण हुआ, जो इसके नाम के कारणों में से एक था।

  गुण

  लम्हें

  यदि यादृच्छिक चर एक्स 1 (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स_(1))और एक्स 2 (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स_(2))स्वतंत्र हैं और गणितीय अपेक्षाओं के साथ सामान्य वितरण रखते हैं μ 1 (\displaystyle \mu _(1))और μ 2 (\displaystyle \mu _(2))और फैलाव σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2))और σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2))क्रमशः, फिर एक्स 1 + एक्स 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2))अपेक्षित मूल्य के साथ सामान्य वितरण भी होता है μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2))और फैलाव σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).)इसका तात्पर्य यह है कि एक सामान्य यादृच्छिक चर को स्वतंत्र सामान्य यादृच्छिक चर की मनमानी संख्या के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

  अधिकतम एन्ट्रापी

  सामान्य वितरण में सभी निरंतर वितरणों के बीच अधिकतम अंतर एन्ट्रापी होती है जिसका विचरण किसी दिए गए मान से अधिक नहीं होता है।

  सामान्य छद्म-यादृच्छिक चर की मॉडलिंग

  सबसे सरल अनुमानित मॉडलिंग विधियाँ केंद्रीय सीमा प्रमेय पर आधारित हैं। अर्थात्, यदि हम एक परिमित विचरण के साथ कई स्वतंत्र समान रूप से वितरित मात्राएँ जोड़ते हैं, तो योग वितरित किया जाएगा लगभगअच्छा। उदाहरण के लिए, यदि आप 100 स्वतंत्र मानक जोड़ते हैं के बराबरयादृच्छिक चर वितरित करें, तो योग का वितरण लगभग होगा सामान्य.

  सामान्य रूप से वितरित छद्म-यादृच्छिक चर के सॉफ़्टवेयर निर्माण के लिए,  बॉक्स - मुलर परिवर्तन का उपयोग करना बेहतर है। यह आपको एक समान रूप से वितरित मूल्य के आधार पर एक सामान्य रूप से वितरित मूल्य उत्पन्न करने की अनुमति देता है।

  प्रकृति और अनुप्रयोगों में सामान्य वितरण

  सामान्य वितरण प्रायः प्रकृति में पाया जाता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित यादृच्छिक चर सामान्य वितरण द्वारा अच्छी तरह से तैयार किए गए हैं:

  • शूटिंग विक्षेपण.
  • माप त्रुटियाँ (हालाँकि, कुछ माप उपकरणों की त्रुटियों में गैर-सामान्य वितरण होते हैं)।
  • किसी जनसंख्या में जीवित जीवों की कुछ विशेषताएँ।

  यह वितरण इतना व्यापक है क्योंकि यह परिमित विचरण के साथ एक असीम रूप से विभाज्य निरंतर वितरण है। इसलिए, कुछ अन्य लोग इसे सीमा में रखते हैं, जैसे द्विपद और पॉइसन। कई गैर-नियतात्मक भौतिक प्रक्रियाएं इस वितरण द्वारा प्रतिरूपित की जाती हैं।

  अन्य वितरणों के साथ संबंध

  • सामान्य वितरण एक प्रकार XI पियर्सन वितरण है।
  • सामान्य रूप से वितरित स्वतंत्र मानक यादृच्छिक चर की एक जोड़ी के अनुपात में एक कॉची वितरण होता है। यानी, यदि यादृच्छिक चर एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)संबंध का प्रतिनिधित्व करता है एक्स = वाई / जेड (\displaystyle एक्स=वाई/जेड)(कहाँ वाई (\डिस्प्लेस्टाइल वाई)और जेड (\डिस्प्लेस्टाइल जेड)स्वतंत्र मानक सामान्य यादृच्छिक चर हैं), तो इसका कॉची वितरण होगा।
  • अगर z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k))संयुक्त रूप से स्वतंत्र मानक सामान्य यादृच्छिक चर हैं, अर्थात z i ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right)), फिर यादृच्छिक चर x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2))स्वतंत्रता की k डिग्री के साथ काई-स्क्वायर वितरण है।
  • यदि यादृच्छिक चर एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)एक लघुगणकीय वितरण के अधीन है, तो इसके प्राकृतिक लघुगणक का एक सामान्य वितरण होता है। अर्थात यदि X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), वह Y = ln ⁡ (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). और इसके विपरीत, यदि Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), वह X = exp ⁡ (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \सही)).
  • दो मानक सामान्य यादृच्छिक चर के वर्गों का अनुपात है

  व्यवहार में, अधिकांश यादृच्छिक चर, जो बड़ी संख्या में यादृच्छिक कारकों से प्रभावित होते हैं, संभाव्यता वितरण के सामान्य नियम का पालन करते हैं। इसलिए संभाव्यता सिद्धांत के विभिन्न अनुप्रयोगों में इस नियम का विशेष महत्व है।

  एक यादृच्छिक चर $X$ सामान्य संभाव्यता वितरण कानून का पालन करता है यदि इसकी संभाव्यता वितरण घनत्व का निम्न रूप है

  $$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\सिग्मा )^2)))$$

  योजनाबद्ध रूप से, फ़ंक्शन $f\left(x\right)$ का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है और इसका नाम "गॉसियन वक्र" है। इस ग्राफ़िक के दाईं ओर जर्मन 10 मार्क बैंकनोट है, जो यूरो की शुरुआत से पहले भी उपयोग में था। अगर आप बारीकी से देखें तो इस बैंकनोट पर आप गाऊसी वक्र और इसके खोजकर्ता, महानतम गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस को देख सकते हैं।

  आइए अपने घनत्व फ़ंक्शन $f\left(x\right)$ पर वापस जाएं और वितरण पैरामीटर $a,\ (\sigma )^2$ के बारे में कुछ स्पष्टीकरण दें। पैरामीटर $a$ यादृच्छिक चर के मूल्यों के फैलाव के केंद्र को दर्शाता है, अर्थात इसमें गणितीय अपेक्षा का अर्थ है। जब पैरामीटर $a$ बदलता है और पैरामीटर $(\sigma )^2$ अपरिवर्तित रहता है, तो हम एब्सिस्सा अक्ष के साथ फ़ंक्शन $f\left(x\right)$ के ग्राफ़ के बदलाव का निरीक्षण कर सकते हैं, जबकि घनत्व ग्राफ स्वयं अपना आकार नहीं बदलता है।

  

  पैरामीटर $(\sigma )^2$ विचरण है और घनत्व वक्र $f\left(x\right)$ के आकार को दर्शाता है। जब पैरामीटर $(\sigma )^2$ को पैरामीटर $a$ अपरिवर्तित रखते हुए बदलते हैं, तो हम देख सकते हैं कि घनत्व ग्राफ कैसे अपना आकार बदलता है, सिकुड़ता या फैलता है, जबकि एब्सिस्सा के साथ स्थानांतरित नहीं होता है।

  

  सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के किसी दिए गए अंतराल में गिरने की संभावना

  जैसा कि ज्ञात है, एक यादृच्छिक चर $X$ के अंतराल $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ में आने की संभावना $P\left(\alpha) की गणना की जा सकती है< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

  $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

  यहां फ़ंक्शन $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ है लाप्लास फ़ंक्शन. इस फ़ंक्शन के मान यहां से लिए गए हैं. फ़ंक्शन $\Phi \left(x\right)$ के निम्नलिखित गुणों को नोट किया जा सकता है।

  

  1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, अर्थात फ़ंक्शन $\Phi \left(x\right)$ विषम है।

  2 . $\Phi \left(x\right)$ एक नीरस रूप से बढ़ने वाला फ़ंक्शन है।

  3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ बाएँ(x\दाएँ)\ )=-0.5$.

  $\Phi \left(x\right)$ फ़ंक्शन के मानों की गणना करने के लिए, आप एक्सेल पैकेज के $f_x$ फ़ंक्शन विज़ार्ड का भी उपयोग कर सकते हैं: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left (x;0;1;1\right )-0.5$. उदाहरण के लिए, आइए $x=2$ के लिए फ़ंक्शन $\Phi \left(x\right)$ के मानों की गणना करें।

  

  संभावना है कि एक सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ अपेक्षा $a$ के संबंध में एक अंतराल सममित में आता है, सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है

  $$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

  तीन सिग्मा नियम. यह व्यावहारिक रूप से निश्चित है कि सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर $X$ अंतराल $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ में आता है।

  उदाहरण 1 . यादृच्छिक चर $X$ पैरामीटर $a=2,\ \sigma =3$ के साथ सामान्य संभाव्यता वितरण कानून के अधीन है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि $X$ अंतराल $\left(0,5;1\right)$ में आता है और प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि असमानता $\left|X-a\right|< 0,2$.

  सूत्र का उपयोग करना

  $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

  खोजें $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\ ओवर (3))\right)=\Phi \left(-0.33\right)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\right)-\Phi \ लेफ्ट(0.33\right) =0.191-0.129=$0.062.

  $$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

  उदाहरण 2 . मान लीजिए कि वर्ष के दौरान एक निश्चित कंपनी के शेयरों की कीमत 50 पारंपरिक मौद्रिक इकाइयों के बराबर गणितीय अपेक्षा और 10 के बराबर मानक विचलन के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर है। यादृच्छिक रूप से चुने गए पर क्या संभावना है चर्चााधीन अवधि के दिन, शेयर की कीमत होगी:

  क) 70 से अधिक पारंपरिक मौद्रिक इकाइयाँ?

  बी) 50 प्रति शेयर से नीचे?

  ग) प्रति शेयर 45 और 58 पारंपरिक मौद्रिक इकाइयों के बीच?

  मान लीजिए कि यादृच्छिक चर $X$ किसी कंपनी के शेयरों की कीमत है। शर्त के अनुसार $X$ मापदंडों के साथ सामान्य वितरण के अधीन है $a=50$ - गणितीय अपेक्षा, $\sigma =10$ - मानक विचलन। प्रायिकता $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

  $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

  $$a)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left((((70-50)\ ओवर (10))\right)=0.5-\Phi \left(2\right)=0.5-0.4772=0.0228.$$

  $$b)\ P\left(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

  $$c)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

  एक सतत यादृच्छिक चर की संभावनाओं के सामान्य वितरण का कानून विभिन्न सैद्धांतिक कानूनों के बीच एक विशेष स्थान रखता है, क्योंकि यह कई व्यावहारिक अध्ययनों में मुख्य है। वह उत्पादन प्रक्रियाओं से जुड़ी अधिकांश यादृच्छिक घटनाओं का वर्णन करता है।

  सामान्य वितरण कानून का पालन करने वाली यादृच्छिक घटनाओं में उत्पादन मापदंडों की माप त्रुटियां, तकनीकी विनिर्माण त्रुटियों का वितरण, अधिकांश जैविक वस्तुओं की ऊंचाई और वजन आदि शामिल हैं।

  सामान्य एक सतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण के नियम को कॉल करें, जिसे एक विभेदक फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया गया है

  ए - एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा;

  सामान्य वितरण का मानक विचलन.

  सामान्य वितरण के विभेदक फलन के ग्राफ को सामान्य वक्र (गाऊसी वक्र) कहा जाता है (चित्र 7)।

  

  चावल। 7 गाऊसी वक्र

  सामान्य वक्र (गाऊसी वक्र) के गुण:

  1. वक्र सीधी रेखा x = a के प्रति सममित है;

  2. सामान्य वक्र X अक्ष के ऊपर स्थित होता है, अर्थात, X के सभी मानों के लिए, फ़ंक्शन f(x) हमेशा सकारात्मक होता है;

  3. बैल अक्ष ग्राफ का क्षैतिज अनंतस्पर्शी है, क्योंकि

  4. x = a के लिए, फ़ंक्शन f(x) का अधिकतम मान इसके बराबर है

  ,

  बिंदु A और B पर और वक्र में विभक्ति बिंदु होते हैं जिनके निर्देशांक बराबर होते हैं।

  

  साथ ही, इसकी गणितीय अपेक्षा से सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के विचलन का पूर्ण मान मानक विचलन से अधिक नहीं होने की संभावना 0.6826 के बराबर है।

  बिंदु E और G पर, और के लिए, फ़ंक्शन f(x) का मान बराबर है

  

  और संभावना है कि सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के गणितीय अपेक्षा से विचलन का पूर्ण मान मानक विचलन के दोगुने से अधिक नहीं होगा 0.9544 है।

  एब्सिस्सा अक्ष के निकट पहुंचते हुए, बिंदु सी और डी पर गॉसियन वक्र, एब्सिस्सा अक्ष के बहुत करीब आता है। इन बिंदुओं पर, फ़ंक्शन f(x) का मान बहुत छोटा है

  

  और संभावना है कि सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के गणितीय अपेक्षा से विचलन का पूर्ण मान मानक विचलन के तीन गुना से अधिक नहीं होगा 0.9973 है। गॉसियन वक्र की इस संपत्ति को "कहा जाता है" तीन सिग्मा नियम".

  
  
  

  यदि एक यादृच्छिक चर सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, तो गणितीय अपेक्षा से इसके विचलन का पूर्ण मान मानक विचलन के तीन गुना से अधिक नहीं होता है।

  पैरामीटर a (एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा) का मान बदलने से सामान्य वक्र का आकार नहीं बदलता है, बल्कि केवल X अक्ष के साथ इसकी शिफ्ट होती है: यदि a बढ़ता है तो दाईं ओर, और यदि a बढ़ता है तो बाईं ओर घट जाती है.

  जब a=0, सामान्य वक्र y-अक्ष के बारे में सममित होता है।

  पैरामीटर के मान (मानक विचलन) को बदलने से सामान्य वक्र का आकार बदल जाता है: सामान्य वक्र के बढ़ते निर्देशांक कम होने के साथ, वक्र एक्स अक्ष के साथ खींचा जाता है और इसके खिलाफ दबाया जाता है। घटते समय, सामान्य वक्र के निर्देशांक बढ़ते हैं, वक्र एक्स-अक्ष के साथ सिकुड़ता है और अधिक "शिखर" बन जाता है।

  साथ ही, और के किसी भी मान के लिए, सामान्य वक्र और एक्स अक्ष से घिरा क्षेत्र एक के बराबर रहता है (यानी, संभावना है कि सामान्य रूप से वितरित एक यादृच्छिक चर सामान्य वक्र से घिरा मान लेगा एक्स अक्ष 1 के बराबर है)।

  मनमाना मापदंडों के साथ सामान्य वितरण और, यानी, एक विभेदक फ़ंक्शन द्वारा वर्णित

  

  बुलाया सामान्य सामान्य वितरण.

  मापदंडों के साथ सामान्य वितरण कहा जाता है सामान्यीकृत वितरण(चित्र 8)। सामान्यीकृत वितरण में, अंतर वितरण फ़ंक्शन है:

  

  चावल। 8 सामान्यीकृत वक्र

  सामान्य सामान्य वितरण के अभिन्न कार्य का रूप है:

  मान लीजिए कि एक यादृच्छिक चर X को अंतराल (c, d) में सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है। तब संभावना है कि X अंतराल (c, d) से संबंधित मान लेता है, के बराबर है

  

  उदाहरण।यादृच्छिक चर X को सामान्य नियम के अनुसार वितरित किया जाता है। इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन a=30 और हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि X अंतराल (10, 50) में एक मान लेता है।

  शर्त के अनुसार: . तब

  तैयार लाप्लास तालिकाओं (परिशिष्ट 3 देखें) का उपयोग करते हुए, हमारे पास है।