प्रथम स्तर

डिग्री और उसके गुण। व्यापक गाइड (2019)

डिग्री की आवश्यकता क्यों है? आपको उनकी आवश्यकता कहां है? आपको उनका अध्ययन करने में समय बिताने की आवश्यकता क्यों है?

डिग्री के बारे में सब कुछ जानने के लिए, वे किस लिए हैं, अपने ज्ञान का दैनिक जीवन में उपयोग कैसे करें, इस लेख को पढ़ें।

और, निश्चित रूप से, डिग्री जानने से आप OGE या यूनिफाइड स्टेट परीक्षा को सफलतापूर्वक पास करने और अपने सपनों के विश्वविद्यालय में प्रवेश करने के करीब आ जाएंगे।

चलो चले चलो चले!)

महत्वपूर्ण लेख! यदि फ़ार्मुलों के बजाय आप अस्पष्ट देखते हैं, तो अपना कैश साफ़ करें। ऐसा करने के लिए, CTRL+F5 (Windows पर) या Cmd+R (Mac पर) दबाएँ।

प्रथम स्तर

घातांक जोड़, घटाव, गुणा या भाग के समान गणितीय संक्रिया है।

अब मैं बहुत ही सरल उदाहरणों का उपयोग करके मानव भाषा में सब कुछ समझाऊंगा। ध्यान दें। उदाहरण प्राथमिक हैं, लेकिन महत्वपूर्ण बातें समझाते हैं।

आइए जोड़ के साथ शुरू करें।

यहाँ समझाने के लिए कुछ नहीं है। आप पहले से ही सब कुछ जानते हैं: हम में से आठ हैं। प्रत्येक के पास कोला की दो बोतलें हैं। कितना कोला? यह सही है - 16 बोतलें।

अब गुणा।

कोला के साथ एक ही उदाहरण को अलग तरीके से लिखा जा सकता है: . गणितज्ञ चालाक और आलसी लोग होते हैं। वे पहले कुछ पैटर्न देखते हैं, और फिर उन्हें तेजी से "गिनने" का एक तरीका लेकर आते हैं। हमारे मामले में, उन्होंने देखा कि आठ लोगों में से प्रत्येक के पास कोला की बोतलों की संख्या समान थी और गुणन नामक एक तकनीक के साथ आए। सहमत हूं, इसे आसान और तेज माना जाता है।

इसलिए, तेज़, आसान और त्रुटियों के बिना गिनने के लिए, आपको बस याद रखने की आवश्यकता है पहाड़ा. बेशक, आप सब कुछ धीमा, कठिन और गलतियों के साथ कर सकते हैं! लेकिन…

यहाँ गुणन तालिका है। दोहराना।

और दूसरा, सुंदर एक:

और आलसी गणितज्ञों ने और कौन-सी पेचीदा गिनने की तरकीबें निकालीं? सही ढंग से - एक संख्या को एक शक्ति में बढ़ाना.

किसी संख्या को घात में बढ़ाना

यदि आपको किसी संख्या को अपने आप से पांच गुना गुणा करने की आवश्यकता है, तो गणितज्ञ कहते हैं कि आपको इस संख्या को पांचवीं शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, । गणितज्ञों को याद है कि दो से पांचवीं शक्ति है। और वे ऐसी समस्याओं को अपने दिमाग में हल करते हैं - तेज, आसान और त्रुटियों के बिना।

ऐसा करने के लिए, आपको केवल आवश्यकता है याद रखें कि संख्याओं की शक्तियों की तालिका में रंग में क्या हाइलाइट किया गया है. मेरा विश्वास करो, यह आपके जीवन को बहुत आसान बना देगा।

वैसे दूसरी डिग्री को क्यों कहा जाता है वर्गसंख्या, और तीसरा घनक्षेत्र? इसका क्या मतलब है? एक बहुत अच्छा प्रश्न। अब आपके पास वर्ग और घन दोनों होंगे।

वास्तविक जीवन का उदाहरण #1

आइए किसी संख्या के वर्ग या दूसरी घात से शुरू करें।

मीटर से मीटर मापने वाले एक वर्ग पूल की कल्पना करें। पूल आपके पिछवाड़े में है। यह गर्म है और मैं वास्तव में तैरना चाहता हूं। लेकिन ... बिना तल का एक पूल! पूल के तल को टाइलों से ढकना आवश्यक है। आपको कितनी टाइलें चाहिए? इसे निर्धारित करने के लिए, आपको पूल के तल के क्षेत्र को जानना होगा।

आप बस अपनी उंगली पोक करके गिन सकते हैं कि पूल के नीचे क्यूब मीटर बाय मीटर है। यदि आपकी टाइलें मीटर दर मीटर हैं, तो आपको टुकड़ों की आवश्यकता होगी। यह आसान है... लेकिन आपने ऐसी टाइल कहाँ देखी? टाइल बल्कि सेमी से सेमी होगी और फिर आपको "अपनी उंगली से गिनने" से पीड़ा होगी। फिर आपको गुणा करना होगा। तो, पूल के तल के एक तरफ, हम टाइल्स (टुकड़े) और दूसरी तरफ, टाइल्स भी फिट करेंगे। से गुणा करने पर आपको टाइलें () प्राप्त होती हैं।

क्या आपने देखा कि हमने पूल के तल का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए उसी संख्या को अपने आप से गुणा किया है? इसका क्या मतलब है? चूंकि एक ही संख्या को गुणा किया जाता है, हम घातांक तकनीक का उपयोग कर सकते हैं। (बेशक, जब आपके पास केवल दो संख्याएँ होती हैं, तब भी आपको उन्हें गुणा करने या उन्हें एक घात तक बढ़ाने की आवश्यकता होती है। लेकिन यदि आपके पास उनमें से बहुत सारे हैं, तो एक घात को बढ़ाना बहुत आसान है और गणना में कम त्रुटियाँ भी हैं। परीक्षा के लिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है)।
तो, तीस से दूसरी डिग्री () होगी। या आप कह सकते हैं कि तीस वर्ग होगा। दूसरे शब्दों में, किसी संख्या की दूसरी घात को हमेशा एक वर्ग के रूप में दर्शाया जा सकता है। और इसके विपरीत, यदि आप एक वर्ग देखते हैं, तो यह हमेशा किसी संख्या की दूसरी शक्ति होती है। एक वर्ग एक संख्या की दूसरी शक्ति की एक छवि है।

वास्तविक जीवन उदाहरण #2

यहां आपके लिए एक कार्य है, संख्या के वर्ग का उपयोग करके गिनें कि शतरंज की बिसात पर कितने वर्ग हैं ... कोशिकाओं के एक तरफ और दूसरी तरफ भी। उनकी संख्या गिनने के लिए, आपको आठ को आठ से गुणा करना होगा, या ... यदि आप देखते हैं कि एक बिसात एक भुजा वाला वर्ग है, तो आप आठ का वर्ग कर सकते हैं। सेल प्राप्त करें। () इसलिए?

वास्तविक जीवन का उदाहरण #3

अब घन या किसी संख्या का तीसरा घात। वही तालाब। लेकिन अब आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि इस कुंड में कितना पानी डालना होगा। आपको वॉल्यूम की गणना करने की आवश्यकता है। (वैसे, आयतन और तरल पदार्थ, घन मीटर में मापा जाता है। अप्रत्याशित, है ना?) एक पूल बनाएं: एक मीटर आकार में एक नीचे और एक मीटर गहरा और गणना करने का प्रयास करें कि कितने मीटर मीटर क्यूब आपके पूल में प्रवेश करेंगे।

बस अपनी उंगली इंगित करें और गिनें! एक, दो, तीन, चार... बाईस, तेईस... कितना निकला? खो नहीं गया? क्या उंगली से गिनना मुश्किल है? ताकि! गणितज्ञों से एक उदाहरण लें। वे आलसी हैं, इसलिए उन्होंने देखा कि पूल की मात्रा की गणना करने के लिए, आपको इसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को एक दूसरे से गुणा करना होगा। हमारे मामले में, पूल का आयतन क्यूब्स के बराबर होगा ... आसान, है ना?

अब कल्पना कीजिए कि अगर वे इसे बहुत आसान बना देते हैं तो गणितज्ञ कितने आलसी और चालाक होते हैं। सब कुछ एक क्रिया में कम कर दिया। उन्होंने देखा कि लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई बराबर है और उसी संख्या को अपने आप से गुणा किया जाता है ... और इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि आप डिग्री का उपयोग कर सकते हैं। तो, आप एक बार एक उंगली से क्या गिनते हैं, वे एक क्रिया में करते हैं: एक घन में तीन बराबर होता है। यह इस प्रकार लिखा गया है:

ही रहता है डिग्री की तालिका याद रखें. जब तक, निश्चित रूप से, आप गणितज्ञों की तरह आलसी और चालाक नहीं हैं। अगर आपको कड़ी मेहनत करना और गलतियाँ करना पसंद है, तो आप अपनी उंगली से गिनती जारी रख सकते हैं।

खैर, अंत में आपको यह समझाने के लिए कि डिग्री का आविष्कार आवारा और चालाक लोगों ने अपने जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए किया था, न कि आपके लिए समस्याएं पैदा करने के लिए, यहां जीवन से कुछ और उदाहरण दिए गए हैं।

वास्तविक जीवन उदाहरण #4

आपके पास एक लाख रूबल हैं। प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में, आप प्रत्येक मिलियन के लिए एक और मिलियन कमाते हैं। यानी हर साल की शुरुआत में आपका एक लाख दोगुना हो जाता है। वर्षों में आपके पास कितना पैसा होगा? यदि आप अभी बैठे हैं और "अपनी उंगली से गिन रहे हैं", तो आप बहुत मेहनती और .. मूर्ख हैं। लेकिन सबसे अधिक संभावना है कि आप कुछ सेकंड में जवाब देंगे, क्योंकि आप स्मार्ट हैं! तो, पहले साल में - दो गुना दो ... दूसरे साल में - क्या हुआ, दो और से, तीसरे साल में ... रुक जाओ! आपने देखा कि संख्या को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है। तो दो से पांचवीं शक्ति एक लाख है! अब कल्पना कीजिए कि आपके पास एक प्रतियोगिता है और जो तेजी से गणना करता है उसे ये लाखों मिलेंगे ... क्या संख्याओं की डिग्री याद रखने लायक है, आपको क्या लगता है?

वास्तविक जीवन उदाहरण #5

आपके पास एक लाख है। प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में, आप प्रत्येक मिलियन के लिए दो और कमाते हैं। यह बहुत अच्छा है ना? हर मिलियन तीन गुना है। एक साल में आपके पास कितना पैसा होगा? आइये गिनते हैं। पहला वर्ष - गुणा करें, फिर परिणाम दूसरे से ... यह पहले से ही उबाऊ है, क्योंकि आप पहले से ही सब कुछ समझ चुके हैं: तीन को अपने आप से गुणा किया जाता है। तो चौथी शक्ति एक लाख है। आपको बस यह याद रखने की जरूरत है कि तीन से चौथी घात या है।

अब आप जानते हैं कि किसी संख्या को एक शक्ति तक बढ़ाकर, आप अपने जीवन को बहुत आसान बना देंगे। आइए आगे देखें कि आप डिग्री के साथ क्या कर सकते हैं और आपको उनके बारे में क्या जानने की जरूरत है।

नियम और अवधारणाएं ... ताकि भ्रमित न हों

तो, पहले, आइए अवधारणाओं को परिभाषित करें। तुम क्या सोचते हो, घातांक क्या है?? यह बहुत आसान है - यह वह संख्या है जो संख्या की शक्ति के "शीर्ष पर" है। वैज्ञानिक नहीं, लेकिन स्पष्ट और याद रखने में आसान...

खैर, उसी समय, क्या डिग्री का ऐसा आधार? और भी सरल वह संख्या है जो नीचे, आधार पर है।

आपके लिए सुनिश्चित करने के लिए यहां एक तस्वीर है।

खैर, सामान्य शब्दों में, सामान्यीकरण और बेहतर याद रखने के लिए ... आधार "" और एक संकेतक "" के साथ एक डिग्री को "डिग्री में" के रूप में पढ़ा जाता है और इस प्रकार लिखा जाता है:

एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक संख्या की शक्ति

आप शायद पहले ही अनुमान लगा चुके हैं: क्योंकि घातांक एक प्राकृत संख्या है। हाँ, लेकिन क्या है प्राकृतिक संख्या? प्राथमिक! प्राकृतिक संख्याएँ वे हैं जिनका उपयोग वस्तुओं को सूचीबद्ध करते समय गिनने में किया जाता है: एक, दो, तीन ... जब हम वस्तुओं की गिनती करते हैं, तो हम यह नहीं कहते हैं: "माइनस फाइव", "माइनस सिक्स", "माइनस सात"। हम "एक तिहाई" या "शून्य दशमलव पांच दसवां" भी नहीं कहते हैं। ये प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं। आपको क्या लगता है कि ये संख्याएँ क्या हैं?

"माइनस फाइव", "माइनस सिक्स", "माइनस सात" जैसी संख्याएं संदर्भित करती हैं पूर्ण संख्याएं।सामान्य तौर पर, पूर्णांक में सभी प्राकृतिक संख्याएँ, प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ (अर्थात ऋण चिह्न के साथ ली गई), और एक संख्या शामिल होती है। शून्य को समझना आसान है - यह तब है जब कुछ भी नहीं है। और ऋणात्मक ("ऋण") संख्याओं का क्या अर्थ है? लेकिन उनका आविष्कार मुख्य रूप से ऋणों को दर्शाने के लिए किया गया था: यदि आपके पास रूबल में आपके फोन पर शेष राशि है, तो इसका मतलब है कि आप ऑपरेटर के रूबल का भुगतान करते हैं।

सभी भिन्न परिमेय संख्याएँ हैं। वे कैसे आए, क्या आपको लगता है? बहुत आसान। कई हजार साल पहले, हमारे पूर्वजों ने पाया कि लंबाई, वजन, क्षेत्रफल आदि को मापने के लिए उनके पास पर्याप्त प्राकृतिक संख्याएं नहीं थीं। और वे साथ आए परिमेय संख्या... दिलचस्प है, है ना?

अपरिमेय संख्याएँ भी हैं। ये संख्याएँ क्या हैं? संक्षेप में, एक अनंत दशमलव अंश। उदाहरण के लिए, यदि आप किसी वृत्त की परिधि को उसके व्यास से विभाजित करते हैं, तो आपको एक अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है।

सारांश:

आइए डिग्री की अवधारणा को परिभाषित करें, जिसका घातांक एक प्राकृतिक संख्या है (अर्थात पूर्णांक और धनात्मक)।

1. पहली घात का कोई भी अंक स्वयं के बराबर होता है:
2. किसी संख्या का वर्ग करने के लिए उसे अपने आप से गुणा करना है:
3. किसी संख्या को घन करने के लिए उसे अपने आप से तीन गुना गुणा करना है:

परिभाषा।एक संख्या को एक प्राकृतिक घात में बढ़ाने के लिए संख्या को अपने आप से गुणा करना है:
.

डिग्री गुण

ये संपत्तियां कहां से आईं? मैं आपको अभी दिखाऊंगा।

आइए देखें क्या है और ?

ए-प्राथमिकता:

कुल कितने गुणक होते हैं?

यह बहुत आसान है: हमने कारकों में कारक जोड़े हैं, और परिणाम कारक है।

लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की घात है, जो कि: है, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।

उदाहरण: व्यंजक को सरल कीजिए।

फेसला:

उदाहरण:अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

फेसला:यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हमारे शासन में आवश्यक रूप सेएक ही कारण होना चाहिए!
इसलिए, हम डिग्री को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन एक अलग कारक बने रहते हैं:

केवल शक्तियों के उत्पादों के लिए!

किसी भी परिस्थिति में आपको ऐसा नहीं लिखना चाहिए।

2. वह है -एक संख्या की शक्ति

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

यह पता चला है कि अभिव्यक्ति को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की शक्ति है:

वास्तव में, इसे "इंडिकेटर ब्रैकेटिंग" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे कुल मिलाकर कभी नहीं कर सकते:

आइए संक्षिप्त गुणन के सूत्रों को याद करें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे?

लेकिन यह सच नहीं है, वास्तव में।

एक नकारात्मक आधार के साथ डिग्री

इस बिंदु तक, हमने केवल चर्चा की है कि घातांक क्या होना चाहिए।

लेकिन आधार क्या होना चाहिए?

डिग्री में प्राकृतिक संकेतकआधार हो सकता है कोई संख्या. वास्तव में, हम किसी भी संख्या को एक दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे धनात्मक हों, ऋणात्मक हों या सम हों।

आइए विचार करें कि किन चिह्नों (" " या "") में धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं की डिग्री होगी?

उदाहरण के लिए, क्या संख्या धनात्मक होगी या ऋणात्मक? लेकिन? ? पहले के साथ, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे हम कितनी भी सकारात्मक संख्याएँ एक-दूसरे से गुणा करें, परिणाम सकारात्मक होगा।

लेकिन नकारात्मक वाले थोड़े अधिक दिलचस्प हैं। आखिरकार, हमें 6 वीं कक्षा का एक सरल नियम याद है: "माइनस गुना माइनस एक प्लस देता है।" यानी या। लेकिन अगर हम से गुणा करें, तो यह पता चला है।

अपने लिए निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

क्या आप संभाल पाओगे?

यहां उत्तर दिए गए हैं: पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम केवल आधार और घातांक को देखते हैं, और उपयुक्त नियम लागू करते हैं।

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

उदाहरण 5 में, सब कुछ उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार क्या है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा।

ठीक है, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार वही नहीं है, है ना? जाहिर है नहीं, क्योंकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना आसान नहीं है!

6 अभ्यास उदाहरण

समाधान का विश्लेषण 6 उदाहरण

अगर हम आठवीं डिग्री पर ध्यान नहीं देते हैं, तो हम यहां क्या देखते हैं? आइए एक नजर डालते हैं सातवीं कक्षा के कार्यक्रम पर। तो, याद है? यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है, अर्थात् वर्गों का अंतर! हम पाते हैं:

हम भाजक को ध्यान से देखते हैं। यह बहुत कुछ अंश कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन क्या गलत है? शर्तों का गलत क्रम। यदि उनकी अदला-बदली की जाती है, तो नियम लागू हो सकता है।

लेकिन ऐसा कैसे करें? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: यहां हर की डिग्री भी हमारी मदद करती है।

शब्दों ने जादुई रूप से स्थान बदल दिए हैं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं।

लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

पूरा का पूराहम प्राकृतिक संख्याओं को नाम देते हैं, उनके विपरीत (अर्थात, "" चिह्न के साथ लिया जाता है) और संख्या।

सकारात्मक पूर्णांक, और यह प्राकृतिक से अलग नहीं है, तो सब कुछ बिल्कुल पिछले खंड जैसा दिखता है।

अब नए मामलों पर नजर डालते हैं। आइए एक संकेतक के साथ शुरू करें।

शून्य घात का कोई भी अंक एक के बराबर होता है:

हमेशा की तरह, हम खुद से पूछते हैं: ऐसा क्यों है?

आधार के साथ कुछ शक्ति पर विचार करें। उदाहरण के लिए, लें और इससे गुणा करें:

इसलिए, हमने संख्या को इससे गुणा किया, और जैसा था - वैसा ही मिला। किस संख्या से गुणा किया जाना चाहिए ताकि कुछ भी न बदले? यह सही है, चालू। माध्यम।

हम मनमाना संख्या के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं:

आइए नियम दोहराएं:

शून्य घात के लिए कोई भी संख्या एक के बराबर होती है।

लेकिन कई नियमों के अपवाद हैं। और यहाँ यह भी है - यह एक संख्या है (आधार के रूप में)।

एक तरफ, यह किसी भी डिग्री के बराबर होना चाहिए - आप शून्य को अपने आप से कितना भी गुणा करें, फिर भी आपको शून्य मिलता है, यह स्पष्ट है। लेकिन दूसरी ओर, किसी भी संख्या की तरह शून्य डिग्री तक, यह बराबर होना चाहिए। तो इस बात का सच क्या है? गणितज्ञों ने इसमें शामिल नहीं होने का फैसला किया और शून्य को शून्य तक बढ़ाने से इनकार कर दिया। यानी अब हम न सिर्फ जीरो से डिवाइड कर सकते हैं, बल्कि जीरो पावर तक बढ़ा भी सकते हैं।

चलिए और आगे बढ़ते हैं। प्राकृत संख्याओं और संख्याओं के अतिरिक्त, पूर्णांकों में ऋणात्मक संख्याएँ भी शामिल होती हैं। यह समझने के लिए कि ऋणात्मक डिग्री क्या है, आइए पिछली बार की तरह ही करें: हम कुछ सामान्य संख्या को उसी से ऋणात्मक डिग्री में गुणा करते हैं:

यहां से वांछित को व्यक्त करना पहले से ही आसान है:

अब हम परिणामी नियम को एक मनमाना डिग्री तक बढ़ाते हैं:

तो, चलिए नियम बनाते हैं:

एक नकारात्मक शक्ति के लिए एक संख्या एक सकारात्मक शक्ति के लिए समान संख्या का व्युत्क्रम है। लेकिन साथ ही आधार शून्य नहीं हो सकता:(क्योंकि विभाजित करना असंभव है)।

आइए संक्षेप करें:

I. अभिव्यक्ति को परिभाषित नहीं किया गया है। तो अगर।

द्वितीय. शून्य घात का कोई भी अंक एक के बराबर होता है: .

III. एक संख्या जो शून्य से ऋणात्मक घात के बराबर नहीं है, उसी संख्या का धनात्मक घात का व्युत्क्रम है: .

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

खैर, हमेशा की तरह, एक स्वतंत्र समाधान के लिए उदाहरण:

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्यों का विश्लेषण:

मुझे पता है, मुझे पता है, संख्याएँ डरावनी हैं, लेकिन परीक्षा में आपको किसी भी चीज़ के लिए तैयार रहना होगा! यदि आप इसे हल नहीं कर पाए तो इन उदाहरणों को हल करें या उनके समाधान का विश्लेषण करें और आप सीखेंगे कि परीक्षा में इनका आसानी से सामना कैसे करें!

आइए एक घातांक के रूप में "उपयुक्त" संख्याओं के वृत्त का विस्तार करना जारी रखें।

अब विचार करें परिमेय संख्या।किन संख्याओं को परिमेय कहा जाता है?

उत्तर: वह सब जिसे एक भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ और पूर्णांक हैं, इसके अलावा।

क्या है समझने के लिए "आंशिक डिग्री"आइए एक अंश पर विचार करें:

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को एक शक्ति तक बढ़ाएं:

अब नियम याद रखें "डिग्री से डिग्री":

किसी घात को प्राप्त करने के लिए कौन सी संख्या बढ़ानी चाहिए?

यह सूत्रीकरण वें डिग्री की जड़ की परिभाषा है।

मैं आपको याद दिला दूं: किसी संख्या () की वें घात का मूल एक ऐसी संख्या है, जिसे जब घात तक बढ़ाया जाता है, तो वह बराबर होती है।

अर्थात्, वें डिग्री का मूल घातांक का व्युत्क्रम संक्रिया है: .

परिणाम यह निकला। जाहिर है, इस विशेष मामले को बढ़ाया जा सकता है:।

अब अंश जोड़ें: यह क्या है? पावर-टू-पावर नियम के साथ उत्तर प्राप्त करना आसान है:

लेकिन क्या आधार कोई संख्या हो सकता है? आखिरकार, सभी नंबरों से रूट नहीं निकाला जा सकता है।

कोई भी नहीं!

नियम याद रखें: किसी भी संख्या को सम घात तक बढ़ाए जाने पर एक धनात्मक संख्या होती है। अर्थात् ऋणात्मक संख्याओं से सम अंश की जड़ें निकालना असंभव है!

और इसका अर्थ यह है कि ऐसी संख्याओं को एक सम भाजक के साथ भिन्नात्मक घात तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, अर्थात व्यंजक का कोई अर्थ नहीं है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या?

लेकिन यहां एक समस्या पैदा हो जाती है।

संख्या को अन्य, कम किए गए अंशों के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, या।

और यह पता चला कि यह मौजूद है, लेकिन मौजूद नहीं है, और ये एक ही संख्या के दो अलग-अलग रिकॉर्ड हैं।

या दूसरा उदाहरण: एक बार, फिर आप इसे लिख सकते हैं। लेकिन जैसे ही हम संकेतक को अलग तरीके से लिखते हैं, हमें फिर से परेशानी होती है: (यानी, हमें पूरी तरह से अलग परिणाम मिला!)।

ऐसे विरोधाभासों से बचने के लिए विचार करें भिन्नात्मक घातांक के साथ केवल धनात्मक आधार घातांक.

तो अगर:

• - प्राकृतिक संख्या;
• एक पूर्णांक है;

उदाहरण:

परिमेय घातांक वाली घातें व्यंजकों को जड़ों से बदलने के लिए बहुत उपयोगी होती हैं, उदाहरण के लिए:

5 अभ्यास उदाहरण

प्रशिक्षण के लिए 5 उदाहरणों का विश्लेषण

खैर, अब - सबसे कठिन। अब हम विश्लेषण करेंगे एक अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री.

डिग्री के सभी नियम और गुण ठीक उसी तरह हैं जैसे डिग्री के लिए एक तर्कसंगत घातांक के साथ, के अपवाद के साथ

वास्तव में, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें भिन्न के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहाँ और पूर्णांक हैं (अर्थात अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं)।

एक प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य" या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया।

उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक संकेतक के साथ एक डिग्री एक संख्या है जो कई बार अपने आप से गुणा होती है;

...शून्य शक्ति- यह, जैसा कि यह था, एक संख्या को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात, यह अभी तक गुणा करना शुरू नहीं हुआ है, जिसका अर्थ है कि संख्या अभी तक प्रकट नहीं हुई है - इसलिए, परिणाम केवल एक निश्चित "तैयारी" है एक संख्या", अर्थात् एक संख्या;

...ऋणात्मक पूर्णांक घातांक- ऐसा लगता है जैसे एक निश्चित "रिवर्स प्रोसेस" हुआ है, यानी संख्या को अपने आप से गुणा नहीं किया गया था, लेकिन विभाजित किया गया था।

वैसे, विज्ञान में, एक जटिल घातांक के साथ एक डिग्री का उपयोग अक्सर किया जाता है, अर्थात एक घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं होती है।

लेकिन स्कूल में, हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

हमें यकीन है कि आप कहां जाएंगे! (यदि आप ऐसे उदाहरणों को हल करना सीखते हैं :))

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

समाधानों का विश्लेषण:

1. आइए डिग्री को एक डिग्री तक बढ़ाने के लिए पहले से ही सामान्य नियम से शुरू करें:

अब स्कोर देखिए। क्या वह आपको कुछ याद दिलाता है? हम वर्गों के अंतर के संक्षिप्त गुणन के सूत्र को याद करते हैं:

पर इस मामले में,

परिणाम यह निकला:

जवाब: .

2. हम घातांक में भिन्नों को एक ही रूप में लाते हैं: या तो दशमलव या दोनों साधारण। हमें मिलता है, उदाहरण के लिए:

उत्तर: 16

3. कुछ खास नहीं, हम डिग्री के सामान्य गुणों को लागू करते हैं:

उन्नत स्तर, उच्च स्तर

डिग्री की परिभाषा

डिग्री फॉर्म की अभिव्यक्ति है: , जहां:

• — डिग्री का आधार;
• - प्रतिपादक।

प्राकृतिक घातांक के साथ घात (n = 1, 2, 3,...)

किसी संख्या को प्राकृतिक घात n तक बढ़ाने का अर्थ है संख्या को अपने आप से गुणा करना:

पूर्णांक घातांक के साथ शक्ति (0, ±1, ±2,...)

यदि घातांक है सकारात्मक पूर्णांकसंख्या:

निर्माण शून्य शक्ति के लिए:

व्यंजक अनिश्चित है, क्योंकि एक ओर तो किसी भी हद तक यह है, और दूसरी ओर, वें अंश तक कोई भी संख्या यह है।

यदि घातांक है पूर्णांक ऋणात्मकसंख्या:

(क्योंकि विभाजित करना असंभव है)।

नल के बारे में एक बार और: मामले में अभिव्यक्ति परिभाषित नहीं है। तो अगर।

उदाहरण:

तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री

• - प्राकृतिक संख्या;
• एक पूर्णांक है;

उदाहरण:

डिग्री गुण

समस्याओं को हल करना आसान बनाने के लिए, आइए समझने की कोशिश करें: ये गुण कहाँ से आए? आइए उन्हें साबित करें।

आइए देखें: क्या है और?

ए-प्राथमिकता:

तो, इस अभिव्यक्ति के दाईं ओर, निम्नलिखित उत्पाद प्राप्त होता है:

लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की घात है, अर्थात्:

क्यू.ई.डी.

उदाहरण : व्यंजक को सरल कीजिए।

फेसला : .

उदाहरण : व्यंजक को सरल कीजिए।

फेसला : यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हमारे नियम में आवश्यक रूप सेएक ही आधार होना चाहिए। इसलिए, हम डिग्री को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन एक अलग कारक बने रहते हैं:

एक और महत्वपूर्ण नोट: यह नियम - केवल शक्तियों के उत्पादों के लिए!

किसी भी हालत में मुझे यह नहीं लिखना चाहिए।

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

आइए इसे इस तरह पुनर्व्यवस्थित करें:

यह पता चला है कि अभिव्यक्ति को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की शक्ति है:

वास्तव में, इसे "इंडिकेटर ब्रैकेटिंग" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे कुल मिलाकर कभी नहीं कर सकते:!

आइए संक्षिप्त गुणन के सूत्रों को याद करें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे? लेकिन यह सच नहीं है, वास्तव में।

एक नकारात्मक आधार के साथ शक्ति।

इस बिंदु तक, हमने केवल चर्चा की है कि क्या होना चाहिए सूचकडिग्री। लेकिन आधार क्या होना चाहिए? डिग्री में प्राकृतिक सूचक आधार हो सकता है कोई संख्या .

वास्तव में, हम किसी भी संख्या को एक दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे धनात्मक हों, ऋणात्मक हों या सम हों। आइए विचार करें कि किन चिह्नों (" " या "") में धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं की डिग्री होगी?

उदाहरण के लिए, क्या संख्या धनात्मक होगी या ऋणात्मक? लेकिन? ?

पहले के साथ, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे हम कितनी भी सकारात्मक संख्याएँ एक-दूसरे से गुणा करें, परिणाम सकारात्मक होगा।

लेकिन नकारात्मक वाले थोड़े अधिक दिलचस्प हैं। आखिरकार, हमें 6 वीं कक्षा का एक सरल नियम याद है: "माइनस गुना माइनस एक प्लस देता है।" यानी या। लेकिन अगर हम () से गुणा करते हैं, तो हमें - मिलता है।

और इसी तरह एड इनफिनिटम: प्रत्येक बाद के गुणन के साथ, चिन्ह बदल जाएगा। आप ये सरल नियम बना सकते हैं:

1. यहाँ तक कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
2. ऋणात्मक संख्या बढ़ाकर कर दी गई अजीबडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
3. किसी भी घात के लिए एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
4. किसी भी घात के लिए शून्य शून्य के बराबर होता है।

अपने लिए निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

क्या आप संभाल पाओगे? यहाँ उत्तर हैं:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम केवल आधार और घातांक को देखते हैं, और उपयुक्त नियम लागू करते हैं।

उदाहरण 5 में, सब कुछ भी उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार क्या है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा। ठीक है, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार वही नहीं है, है ना? जाहिर है नहीं, क्योंकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना सरल नहीं है। यहां आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि कौन सा कम है: या? यदि आप इसे याद रखें तो यह स्पष्ट हो जाता है कि, जिसका अर्थ है कि आधार शून्य से कम है। यानी हम नियम 2 लागू करते हैं: परिणाम नकारात्मक होगा।

और फिर से हम डिग्री की परिभाषा का उपयोग करते हैं:

सब कुछ हमेशा की तरह है - हम डिग्री की परिभाषा लिखते हैं और उन्हें एक दूसरे में विभाजित करते हैं, उन्हें जोड़े में विभाजित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

अंतिम नियम का विश्लेषण करने से पहले, आइए कुछ उदाहरण हल करें।

भावों के मूल्यों की गणना करें:

समाधान :

अगर हम आठवीं डिग्री पर ध्यान नहीं देते हैं, तो हम यहां क्या देखते हैं? आइए एक नजर डालते हैं सातवीं कक्षा के कार्यक्रम पर। तो, याद है? यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है, अर्थात् वर्गों का अंतर!

हम पाते हैं:

हम भाजक को ध्यान से देखते हैं। यह बहुत कुछ अंश कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन क्या गलत है? शर्तों का गलत क्रम। यदि उन्हें उलट दिया जाता, तो नियम 3 लागू किया जा सकता था, लेकिन यह कैसे करें? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: यहां हर की डिग्री भी हमारी मदद करती है।

यदि आप इसे इससे गुणा करते हैं, तो कुछ भी नहीं बदलता है, है ना? लेकिन अब ऐसा दिखता है:

शब्दों ने जादुई रूप से स्थान बदल दिए हैं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं। लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!इसे हमारे लिए केवल एक आपत्तिजनक माइनस बदलकर नहीं बदला जा सकता है!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

तो अब आखिरी नियम:

हम इसे कैसे साबित करने जा रहे हैं? बेशक, हमेशा की तरह: आइए डिग्री की अवधारणा का विस्तार करें और सरल करें:

खैर, अब कोष्ठक खोलते हैं। कितने अक्षर होंगे? गुणक द्वारा बार - यह कैसा दिखता है? यह कुछ और नहीं बल्कि एक ऑपरेशन की परिभाषा है गुणा: कुल गुणक निकले। अर्थात्, यह परिभाषा के अनुसार, एक घातांक वाली संख्या की घात है:

उदाहरण:

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

औसत स्तर के लिए डिग्री के बारे में जानकारी के अलावा, हम एक अपरिमेय संकेतक के साथ डिग्री का विश्लेषण करेंगे। यहां डिग्री के सभी नियम और गुण बिल्कुल उसी तरह हैं जैसे कि एक परिमेय घातांक के साथ एक डिग्री के लिए, अपवाद के साथ - आखिरकार, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएं वे संख्याएं हैं जिन्हें एक अंश के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहां और पूर्णांक हैं (अर्थात , अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं)।

एक प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य" या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक संकेतक के साथ एक डिग्री एक संख्या है जो कई बार अपने आप से गुणा होती है; शून्य डिग्री के लिए एक संख्या है, जैसा कि यह था, एक संख्या को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात यह अभी तक गुणा करना शुरू नहीं हुआ है, जिसका अर्थ है कि संख्या अभी तक प्रकट नहीं हुई है - इसलिए, परिणाम केवल एक है निश्चित "एक संख्या की तैयारी", अर्थात् एक संख्या; एक ऋणात्मक पूर्णांक के साथ एक डिग्री - ऐसा लगता है कि एक निश्चित "रिवर्स प्रक्रिया" हुई है, यानी संख्या को स्वयं से गुणा नहीं किया गया था, लेकिन विभाजित किया गया था।

एक अपरिमेय घातांक के साथ एक डिग्री की कल्पना करना बेहद मुश्किल है (जैसे कि 4-आयामी स्थान की कल्पना करना मुश्किल है)। बल्कि, यह एक विशुद्ध रूप से गणितीय वस्तु है जिसे गणितज्ञों ने एक डिग्री की अवधारणा को संख्याओं के पूरे स्थान तक विस्तारित करने के लिए बनाया है।

वैसे, विज्ञान में, एक जटिल घातांक के साथ एक डिग्री का उपयोग अक्सर किया जाता है, अर्थात एक घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं होती है। लेकिन स्कूल में, हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

तो अगर हम एक अपरिमेय घातांक देखते हैं तो हम क्या करते हैं? हम इससे छुटकारा पाने की पूरी कोशिश कर रहे हैं! :)

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

1)

2)

3)

उत्तर:

1. वर्ग सूत्र का अंतर याद रखें। जवाब: ।
2. हम भिन्नों को एक ही रूप में लाते हैं: या तो दोनों दशमलव, या दोनों साधारण। हमें मिलता है, उदाहरण के लिए: .
3. कुछ खास नहीं, हम डिग्री के सामान्य गुणों को लागू करते हैं:

खंड सारांश और बुनियादी सूत्र

डिग्रीप्रपत्र का व्यंजक कहलाता है: , जहाँ:

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री

डिग्री, जिसका घातांक एक प्राकृत संख्या (अर्थात पूर्णांक और धनात्मक) है।

तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री

डिग्री, जिसका सूचक ऋणात्मक और भिन्नात्मक संख्याएँ हैं।

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

घातांक जिसका घातांक एक अनंत दशमलव अंश या मूल है।

डिग्री गुण

डिग्री की विशेषताएं।

• ऋणात्मक संख्या बढ़ाकर कर दी गई यहाँ तक कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
• ऋणात्मक संख्या बढ़ाकर कर दी गई अजीबडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
• किसी भी घात के लिए एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
• शून्य किसी भी शक्ति के बराबर है।
• कोई भी संख्या शून्य घात के बराबर होती है।

अब आपके पास एक शब्द है...

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और आपकी परीक्षा के लिए शुभकामनाएँ!

एक नियम है कि शून्य के अलावा कोई भी संख्या, जिसे शून्य के घात तक बढ़ाया जाता है, एक के बराबर होगी:
20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1

हालाँकि, ऐसा क्यों है?

जब एक संख्या को एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक घात तक बढ़ाया जाता है, तो इसका मतलब है कि यह घातांक के रूप में कई बार अपने आप से गुणा किया जाता है:
43 = 4...

0 0

बीजगणित में, शून्य की शक्ति बढ़ाना आम है। डिग्री 0 क्या है? किन नंबरों को जीरो पावर तक बढ़ाया जा सकता है और कौन सा नहीं?

परिभाषा।

शून्य के घात का कोई भी अंक, शून्य को छोड़कर, एक के बराबर होता है:

इस प्रकार, कोई फर्क नहीं पड़ता कि 0 की शक्ति में कितनी संख्या बढ़ाई गई है, परिणाम हमेशा एक जैसा होगा - एक।

और 1 की शक्ति को 0, और 2 की शक्ति को 0, और कोई अन्य संख्या - पूर्णांक, भिन्नात्मक, सकारात्मक, नकारात्मक, तर्कसंगत, अपरिमेय - जब शून्य शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो एक देता है।

एकमात्र अपवाद शून्य है।

शून्य से शून्य शक्ति परिभाषित नहीं है, ऐसी अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है।

यानी शून्य को छोड़कर किसी भी संख्या को शून्य घात तक बढ़ाया जा सकता है।

यदि, घातांक के साथ व्यंजक को सरल बनाने पर, एक संख्या शून्य की घात में प्राप्त होती है, तो इसे एक इकाई द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है:

मैं मोटा...

0 0

स्कूल पाठ्यक्रम के ढांचे के भीतर, अभिव्यक्ति का मूल्य $%0^0$% अपरिभाषित माना जाता है।

आधुनिक गणित के दृष्टिकोण से, यह मान लेना सुविधाजनक है कि $%0^0=1$%। यहाँ विचार निम्नलिखित है। $%p_n=x_1x_2\ldots x_n$% के रूप में $%n$% संख्याओं का एक उत्पाद होने दें। सभी $%n\ge2$% के लिए समानता $%p_n=x_1x_2\ldots x_n=(x_1x_2\ldots x_(n-1))x_n=p_(n-1)x_n$% संतुष्ट है। $%p_0=1$% को सेट करते हुए, इस समानता को $%n=1$% के लिए भी सार्थक मानना ​​सुविधाजनक है। यहां तर्क इस प्रकार है: उत्पादों की गणना करते समय, हम पहले 1 लेते हैं, और फिर क्रमिक रूप से $%x_1$%, $%x_2$%, ..., $%x_n$% से गुणा करते हैं। यह एल्गोरिथम है जिसका उपयोग प्रोग्राम लिखे जाने पर काम खोजने के लिए किया जाता है। यदि, किसी कारण से, गुणन नहीं हुआ, तो गुणनफल एक के बराबर रहता है।

दूसरे शब्दों में, इस तरह की अवधारणा को "0 कारकों के उत्पाद" के रूप में अर्थ के रूप में समझना सुविधाजनक है, इसे परिभाषा के अनुसार 1 के बराबर माना जाता है। इस मामले में, कोई "खाली उत्पाद" के बारे में भी बात कर सकता है। यदि हम किसी संख्या को इससे गुणा करें...

0 0

शून्य - यह शून्य है। मोटे तौर पर, किसी संख्या की कोई भी शक्ति उस संख्या का गुणनफल और घातांक गुणा होती है। तीसरे में दो, मान लें कि यह 1*2*2*2 है, दो माइनस में पहला 1/2 है। और फिर यह आवश्यक है कि सकारात्मक से नकारात्मक शक्तियों और इसके विपरीत में संक्रमण में कोई छेद न हो।

x^n * x^(-n) = 1 = x^(n-n) = x^0

यह पूरी बात है।

सरल और स्पष्ट, धन्यवाद

x^0=(x^1)*(x^(-1))=(1/x)*(x/1)=1

उदाहरण के लिए यह आवश्यक है कि कुछ सूत्र जो सकारात्मक संकेतकों के लिए मान्य हैं - उदाहरण के लिए x ^ n * x ^ m = x ^ (m + n) - अभी भी मान्य हैं।
वैसे, यह एक नकारात्मक डिग्री की परिभाषा के साथ-साथ एक तर्कसंगत पर भी लागू होता है (उदाहरण के लिए, 5 से 3/4 की शक्ति तक)

> और इसकी आवश्यकता क्यों है?
उदाहरण के लिए, सांख्यिकी और सिद्धांत में, व्यक्ति अक्सर शून्य शक्तियों के साथ खेलता है।

क्या नकारात्मक डिग्री आपको परेशान करती है?
...

0 0

हम डिग्री के गुणों पर विचार करना जारी रखते हैं, उदाहरण के लिए, 16:8=2 लें। चूँकि 16=24 और 8=23, इसलिए, विभाजन को घातीय रूप में 24:23 = 2 के रूप में लिखा जा सकता है, लेकिन यदि हम घातांक घटाते हैं, तो 24:23 = 21। इस प्रकार, हमें यह स्वीकार करना होगा कि 2 और 21 समान हैं, इसलिए 21=2।

वही नियम किसी अन्य घातांक संख्या पर लागू होता है, इसलिए नियम को सामान्य तरीके से कहा जा सकता है:

पहली घात तक बढ़ाई गई कोई भी संख्या अपरिवर्तित रहती है

इस निष्कर्ष ने आपको चौंका दिया होगा। आप अभी भी किसी भी तरह अभिव्यक्ति 21 = 2 के अर्थ को समझ सकते हैं, हालांकि अभिव्यक्ति "एक संख्या दो को अपने आप से गुणा किया जाता है" बल्कि अजीब लगता है। लेकिन अभिव्यक्ति 20 का अर्थ है "एक भी संख्या दो नहीं, ...

0 0

डिग्री परिभाषाएँ:

1. शून्य डिग्री

कोई भी गैर-शून्य संख्या जिसे शून्य की घात तक बढ़ाया जाता है, एक के बराबर होती है। शून्य से घात तक शून्य परिभाषित नहीं है

2. शून्य के अलावा प्राकृतिक डिग्री

शून्य के अलावा किसी भी संख्या x को प्राकृतिक घात n तक बढ़ा दिया जाता है, जो आपस में n संख्या x के गुणन के बराबर है

3.1 शून्य के अलावा किसी भी प्राकृतिक डिग्री की जड़

किसी भी धनात्मक संख्या x से शून्य से भिन्न सम प्राकृतिक घात n का मूल ऐसी धनात्मक संख्या y है, जिसे n की घात तक बढ़ाने पर मूल संख्या x प्राप्त होती है।

3.2 विषम प्राकृतिक जड़

किसी भी संख्या x का एक विषम प्राकृतिक मूल n एक संख्या y है, जिसे n की घात तक बढ़ाने पर मूल संख्या x प्राप्त होती है।

3.3 भिन्नात्मक शक्ति के रूप में किसी भी प्राकृतिक शक्ति की जड़

किसी भी संख्या x से शून्य के अलावा किसी भी प्राकृतिक घात n का मूल निकालना इस संख्या x को भिन्नात्मक घात 1/n तक बढ़ाने के समान है

0 0

हैलो, प्रिय रसेल!

डिग्री की अवधारणा का परिचय देते समय, एक ऐसा संकेतन होता है: » अभिव्यक्ति का मूल्य a^0 =1 » ! यह डिग्री की तार्किक अवधारणा के आधार पर होता है और कुछ नहीं!
जब कोई युवक इसकी तह तक जाने की कोशिश करता है तो यह काबिले तारीफ है! लेकिन कुछ चीजें ऐसी भी होती हैं जिन्हें सिर्फ हल्के में लेना चाहिए!
आप नए गणित का निर्माण तभी कर सकते हैं जब आप सदियों पहले खोजे गए अध्ययन का अध्ययन करें!
निःसंदेह, यदि हम इस बात को छोड़ दें कि आप "इस संसार के नहीं" हैं और आपको हममें से बाकी पापियों से कहीं अधिक दिया गया है!

नोट: अन्ना मिशेवा ने अप्रमाणिक साबित करने का प्रयास किया! प्रशंसनीय भी!
लेकिन एक बड़ा "लेकिन" है - इसके प्रमाण से सबसे महत्वपूर्ण तत्व गायब है: शून्य से विभाजन का मामला!

आप खुद देखिये क्या हो सकता है: 0^1/0^1 = 0/0 !!!

लेकिन आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते!

कृपया अधिक सावधान रहें!

आपके निजी जीवन में ढेर सारी शुभकामनाओं और खुशियों के साथ...

0 0

उत्तर:

कोई नाम नहीं

अगर हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि a^x=e^x*ln(a), तो यह पता चलता है कि 0^0=1 (सीमा, x->0) के लिए
हालांकि उत्तर "अनिश्चितता" भी स्वीकार्य है

गणित में शून्य शून्य नहीं है, यह संख्या "नथिंग" के बहुत करीब है, ठीक उसी तरह जैसे अनंत में केवल उल्टा होता है

लिखो:
0^0 = 0^(ए-ए) = 0^ए * 0^(-ए) = 0^ए / 0^ए = 0 / 0
यह पता चला है कि इस मामले में हम शून्य से विभाजित करते हैं, और वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में यह ऑपरेशन परिभाषित नहीं है।

6 साल पहले

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जब इसे शून्य की घात तक बढ़ाया जाता है तो शून्य किसके बराबर होता है?

0 की घात वाली कोई संख्या 1 के बराबर क्यों होती है? एक नियम है कि शून्य के अलावा कोई भी संख्या, जिसे शून्य के घात तक बढ़ाया जाता है, एक के बराबर होगी: 20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1 हालांकि, ऐसा क्यों है? जब एक संख्या को एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक घात तक बढ़ाया जाता है, तो इसका मतलब है कि इसे घातांक से जितनी बार गुणा किया जाता है: 43 = 4 × 4 × 4; 26 \u003d 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 जब घातांक 1 है, तो निर्माण के दौरान केवल एक कारक होता है (यदि हम यहाँ कारकों के बारे में बात कर सकते हैं), और इसलिए निर्माण का परिणाम समान है डिग्री के आधार पर: 181 = 18; (-3.4)1 = -3.4 लेकिन इस मामले में शून्य घातांक के बारे में क्या? किससे गुणा किया जाता है? आइए दूसरे रास्ते पर जाने की कोशिश करें। यह ज्ञात है कि यदि दो डिग्री के आधार समान हैं, लेकिन अलग-अलग संकेतक हैं, तो आधार को समान छोड़ा जा सकता है, और संकेतक या तो एक दूसरे में जोड़े जा सकते हैं (यदि डिग्री गुणा की जाती है), या विभाजक संकेतक को घटाएं। लाभांश संकेतक (यदि डिग्री विभाज्य हैं): 32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 ÷ 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16 अब इस उदाहरण पर विचार करें: 82 ÷ 82 = 82-2 = 80 = ? क्या होगा यदि हम एक ही आधार के साथ डिग्री की संपत्ति का उपयोग नहीं करते हैं और उनके क्रम में गणना करते हैं: 82 82 = 64 ÷ 64 = 1 तो हमें प्रतिष्ठित इकाई मिली। इस प्रकार, शून्य घातांक, जैसा कि यह था, इंगित करता है कि संख्या को स्वयं से गुणा नहीं किया जाता है, बल्कि स्वयं से विभाजित किया जाता है। और यहाँ से यह स्पष्ट हो जाता है कि व्यंजक 00 का कोई अर्थ क्यों नहीं है। आखिरकार, आप 0 से विभाजित नहीं कर सकते। आप अलग तरह से बहस कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि घातों का गुणन 52 × 50 = 52 + 0 = 52 है, तो यह इस प्रकार है कि 52 को 1 से गुणा किया गया है। इसलिए, 50 = 1.

डिग्री के गुणों से: a^n / a^m = a^(n-m) यदि n=m, तो परिणाम एक होगा, पाठ्यक्रम a=0 को छोड़कर, इस मामले में (शून्य से किसी भी डिग्री तक शून्य होगा) शून्य से विभाजन होगा, इसलिए 0^0 मौजूद नहीं है

विभिन्न भाषाओं में खाता

विश्व की लोकप्रिय भाषाओं में 0 से 9 तक के अंकों के नाम।

भाषा	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
अंग्रेज़ी	शून्य	एक	दो	तीन	चार	पंज	छह	सात	आठ	नौ
बल्गेरियाई	शून्य	एक	दो	तीन	चार	पालतू पशु	खंभा	सेडेम	ओसम	देवेट
हंगेरी	सोता	ईजी	केटो	हारोम	नेगी	ओटी	टोपी	हेट	न्योलसी	किलेन्को
डच	व्यर्थ	ईन	ट्वी	सूखा	वीर	विजफ	माहिर	ज़ेवेन	अच्छो	नेगेन
दानिश	व्यर्थ	एन	को	ट्रे	आग	फेम	लिंगों	syv	ओट	नी
स्पैनिश	सीरो	संयुक्त राष्ट्र संघ	करने योग्य	ट्रेस	कुआत्रो	सिन्को	सेइसो	सिएट	ओचो	नवीन व
इतालवी	शून्य	संयुक्त राष्ट्र संघ	देय	ट्रे	क्वाट्रो	सिंक	सेइ	सेटे	ओटो	नवीन व
लिथुआनियाई	नुलिस	वियना	ड्यू	कोशिश करता है	केतुरी	पेनकी	रेई	सेप्टिनी	अटुओनि	देवीनी
deutsch	व्यर्थ	ईआईऍन	ज़्वीई	ड्रेई	वीर	Fünf	सेच	सिबेन	अच्छो	न्यून
रूसी	शून्य	एक	दो	तीन	चार	पंज	छह	सात	आठ	नौ
पोलिश	शून्य	जेडन	द्वार	ट्रज़ी	ज़टेरी	पाई	सजे	सीडेम	ओसिएम	डेज़ीवि
पुर्तगाली	उम	डोइ	पटरियों	तस्वीर	सिन्को	सेइसो	सेटे	ओइटो	नवीन व
फ्रेंच	शून्य	संयुक्त राष्ट्र	ड्यूक्स	ट्रोइस	वर्ग	सिनक्यू	छह	घराना	हितो	नेफ
चेक	नुला	जेदना	डीवा	टाइम्स ऑफ इंडिया	इतोई	गड्ढा	est	sedm	ओएसएम	देवी
स्वीडिश	नॉल	ET	तवा	ट्रे	फिरा	फेम	लिंग	सजु	आटा	एनआईओ
एस्तोनियावासी	व्यर्थ	यूकेसी	काक्सो	कोल्मो	नेलि	viis	कुसु	सेइटसे	कहकसा	उहेक्सा

किसी संख्या की ऋणात्मक और शून्य घात

शून्य, नकारात्मक और भिन्नात्मक शक्तियां

शून्य सूचक

किसी दिए गए नंबर को एक निश्चित शक्ति तक बढ़ाने का मतलब है कि इसे एक कारक के साथ उतनी बार दोहराना है जितनी बार घातांक में इकाइयाँ हैं।

इस परिभाषा के अनुसार, अभिव्यक्ति: ए 0 अर्थहीन है। लेकिन समान संख्या की शक्तियों को विभाजित करने के नियम के अर्थ के लिए उस स्थिति में भी जब भाजक सूचकांक लाभांश सूचकांक के बराबर होता है, परिभाषा पेश की जाती है:

किसी भी संख्या की शून्य घात एक के बराबर होगी।

नकारात्मक संकेतक

अभिव्यक्ति हूँ, अपने आप में अर्थहीन है। लेकिन एक ही संख्या की शक्तियों को विभाजित करने के नियम के लिए एक अर्थ होने के मामले में भी जब भाजक सूचकांक लाभांश सूचकांक से अधिक होता है, तो परिभाषा पेश की जाती है:

उदाहरण 1. यदि दी गई संख्या में 5 सैकड़ा, 7 दहाई, 2 इकाई और 9 सौवाँ भाग है, तो इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 = 572.09

उदाहरण 2. यदि दी गई संख्या में दहाई, b इकाई, c दहाई और d हजारवां भाग है, तो इसे निम्न प्रकार से दर्शाया जा सकता है:

ए× 10 1 + बी× 10 0 + सी× 10 -1 + डी× 10 -3

नकारात्मक घातांक वाली शक्तियों पर क्रिया

जब एक ही संख्या की घातों को गुणा किया जाता है, तो घातांक एक साथ जुड़ जाते हैं।

एक ही संख्या की शक्तियों को विभाजित करते समय, भाजक सूचक को लाभांश के संकेतक से घटाया जाता है।

किसी उत्पाद को एक शक्ति तक बढ़ाने के लिए, प्रत्येक कारक को अलग से इस शक्ति तक बढ़ाने के लिए पर्याप्त है:

किसी भिन्न को किसी घात में बढ़ाने के लिए, भिन्न के दोनों पदों को अलग-अलग इस घात तक बढ़ाने के लिए पर्याप्त है:

जब एक शक्ति को दूसरी शक्ति में बढ़ाया जाता है, तो घातांक गुणा हो जाते हैं।

भिन्नात्मक घातांक

यदि एक कएक बहु नहीं है एन, तो अभिव्यक्ति: का कोई मतलब नहीं है। लेकिन घातांक के किसी भी मूल्य के लिए होने वाली डिग्री से मूल निकालने के नियम के लिए, परिभाषा पेश की जाती है:

एक नए प्रतीक की शुरूआत के लिए धन्यवाद, जड़ निकालने को हमेशा घातांक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

भिन्नात्मक घातांक वाली घातों पर क्रिया

भिन्नात्मक घातांक वाले अंशों पर क्रियाएँ उन्हीं नियमों के अनुसार की जाती हैं जो पूर्णांक घातांकों के लिए स्थापित होते हैं।

इस स्थिति को सिद्ध करते समय, हम पहले मान लेंगे कि भिन्नों की शर्तें: और, घातांक के रूप में कार्य करते हुए, सकारात्मक हैं।

किसी विशेष मामले में एनया क्यूएक के बराबर हो सकता है।

एक ही संख्या की शक्तियों को गुणा करने पर भिन्नात्मक संकेतक जुड़ते हैं:

भिन्नात्मक घातांक के साथ समान संख्या की शक्तियों को विभाजित करते समय, भाजक घातांक को लाभांश घातांक से घटाया जाता है:

भिन्नात्मक घातांक के मामले में घात को दूसरी घात तक बढ़ाने के लिए, घातांकों को गुणा करने के लिए पर्याप्त है:

भिन्नात्मक घातांक की जड़ निकालने के लिए, घातांक को मूल के घातांक से विभाजित करना पर्याप्त है:

कार्रवाई के नियम न केवल लागू होते हैं सकारात्मकभिन्नात्मक आंकड़े, लेकिन यह भी नकारात्मक.

एक नियम है कि शून्य के अलावा कोई भी संख्या, जिसे शून्य के घात तक बढ़ाया जाता है, एक के बराबर होगी:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
हालाँकि, ऐसा क्यों है?
जब एक संख्या को एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक घात तक बढ़ाया जाता है, तो इसका मतलब है कि यह घातांक के रूप में कई बार अपने आप से गुणा किया जाता है:
4 3 = 4×4×4; 2 6 = 2×2×2×2×2 x 2
जब घातांक 1 होता है, तो निर्माण के दौरान केवल एक कारक होता है (यदि हम कारकों के बारे में बिल्कुल भी बात कर सकते हैं), और इसलिए निर्माण का परिणाम डिग्री के आधार के बराबर है:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
लेकिन इस मामले में शून्य का क्या? किससे गुणा किया जाता है?
आइए दूसरे रास्ते पर जाने की कोशिश करें।

0 की घात वाली कोई संख्या 1 के बराबर क्यों होती है?

यह ज्ञात है कि यदि दो डिग्री के आधार समान हैं, लेकिन अलग-अलग संकेतक हैं, तो आधार को समान छोड़ा जा सकता है, और संकेतक या तो एक दूसरे में जोड़े जा सकते हैं (यदि डिग्री गुणा की जाती है), या विभाजक संकेतक को घटाएं। लाभांश संकेतक (यदि डिग्री विभाज्य हैं):
3 2×3 1 = 3^(2+1) = 3 3 = 3×3×3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4^(5−3) = 4 2 = 4×4 = 16
अब इस उदाहरण पर विचार करें:
8 2 ÷ 8 2 = 8^(2−2) = 8 0 = ?
क्या होगा यदि हम एक ही आधार के साथ शक्तियों की संपत्ति का उपयोग नहीं करते हैं और उनके अनुक्रम के क्रम में गणना करते हैं:
8 2 8 2 = 64 ÷ 64 = 1
तो हमें प्रतिष्ठित इकाई मिली। इस प्रकार, शून्य घातांक, जैसा कि यह था, इंगित करता है कि संख्या को स्वयं से गुणा नहीं किया जाता है, बल्कि स्वयं से विभाजित किया जाता है।
और यहाँ से यह स्पष्ट हो जाता है कि व्यंजक 0 0 का कोई अर्थ क्यों नहीं है। आखिरकार, आप 0 से विभाजित नहीं कर सकते।

एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री,

पावर फंक्शन IV

71. शून्य और ऋणात्मक घातांक के साथ डिग्री

69 में हमने सिद्ध किया (देखें प्रमेय 2) कि के लिए टी > नहीं

(ए =/= 0)

इस फॉर्मूले को उस मामले में विस्तारित करना काफी स्वाभाविक है जब टी < पी . लेकिन फिर नंबर टी - पी ऋणात्मक या शून्य होगा। उ. हमने अभी तक केवल प्राकृतिक संकेतकों के साथ डिग्री के बारे में बात की है। इस प्रकार, हमें शून्य और ऋणात्मक घातांक वाली वास्तविक संख्याओं की शक्तियों पर विचार करने की आवश्यकता का सामना करना पड़ रहा है।

परिभाषा 1. कोई संख्या ए , शून्य के बराबर नहीं, शून्य की घात एक के बराबर है, तभी ए =/= 0

ए 0 = 1. (1)

उदाहरण के लिए, (-13.7) 0 = 1; π 0 = 1; (√2) 0 = 1. संख्या 0 की कोई शून्य डिग्री नहीं है, अर्थात व्यंजक 0 0 परिभाषित नहीं है।

परिभाषा 2. यदि एक ए=== 0 और पीएक प्राकृतिक संख्या है, तो

ए - एन = 1 /ए एन (2)

अर्थात किसी भी संख्या की डिग्री जो शून्य के बराबर नहीं है, एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के साथ, एक अंश के बराबर है जिसका अंश एक है, और हर एक ही संख्या a की शक्ति है, लेकिन इस के घातांक के विपरीत एक घातांक के साथ प्रतिपादक

उदाहरण के लिए,

इन परिभाषाओं को ध्यान में रखते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि ए === 0, सूत्र

किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए सत्य टी और एन , और न केवल के लिए टी > नहीं . इसे साबित करने के लिए, केवल दो मामलों पर विचार करना पर्याप्त है: टी = एन और टी< .п , मामले के बाद से एम > एन पहले से ही 69 में निपटाया गया है।

रहने दो टी = एन ; तब . इसलिए, समानता का बायाँ पक्ष (3) बराबर है। 1 पर दाईं ओर टी = एन हो जाता है

ए एम-एन = ए एन - एन = ए 0 .

लेकिन परिभाषा के अनुसार ए 0 = 1. इस प्रकार, समानता का दाहिना पक्ष (3) भी 1 के बराबर है। इसलिए, के लिए टी = एन सूत्र (3) सही है।

अब मान लीजिए कि टी< п . भिन्न के अंश और हर को से विभाजित करना ए एम , हम पाते हैं:

जैसा एन > टी , तब । इसलिए । एक ऋणात्मक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा का उपयोग करते हुए, कोई लिख सकता है .

तो, अत , जिसे साबित करना था। फॉर्मूला (3) अब किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए सिद्ध हो गया है टी और पी .

टिप्पणी। नकारात्मक घातांक आपको हर के बिना भिन्न लिखने की अनुमति देते हैं। उदाहरण के लिए,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - एक ; आम तौर पर, ए / बी = एक बी - 1

हालांकि, किसी को यह नहीं सोचना चाहिए कि इस तरह के अंकन के साथ भिन्न पूर्ण संख्या में बदल जाते हैं। उदाहरण के लिए, 3 - 1 1/3, 2 5 . के समान भिन्न है - 1 वही भिन्न है जो 2/5, आदि है।

अभ्यास

529. गणना करें:

530. एक भिन्न के हर के बिना लिखें:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. ऋणात्मक संकेतकों का प्रयोग करते हुए इन दशमलव भिन्नों को पूर्णांक व्यंजकों के रूप में लिखिए:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5