5. क्रान्ति के पिंडों का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना

माना वक्र AB फलन y = f(x) 0 का आलेख है, जहाँ x [a; बी], और फ़ंक्शन y \u003d f (x) और इसके व्युत्पन्न y "\u003d f" (x) इस खंड पर निरंतर हैं।

आइए ऑक्स अक्ष के चारों ओर वक्र AB के घूमने से बनने वाले पृष्ठ का क्षेत्रफल S ज्ञात करें (चित्र 8)।

हम स्कीम II (डिफरेंशियल मेथड) लागू करते हैं।

एक मनमाना बिंदु x [a; बी] चलो एक विमान पी खींचते हैं, जो अक्ष ऑक्स के लंबवत है। तल P, y - f(x) त्रिज्या वाले वृत्त के अनुदिश परिक्रमण की सतह को प्रतिच्छेद करता है। विमान के बाईं ओर स्थित क्रांति की आकृति के हिस्से की सतह का मान S, x का एक कार्य है, अर्थात। एस = एस (एक्स) (एस (ए) = 0 और एस (बी) = एस)।

आइए तर्क x को एक वेतन वृद्धि Δх = dх दें। बिंदु x + dx से होकर [a; b] x-अक्ष के लंबवत एक तल भी खींचिए। फ़ंक्शन s = s(x) को s की वृद्धि प्राप्त होगी, जिसे चित्र में "बेल्ट" के रूप में दिखाया गया है।

आइए हम क्षेत्र ds का अंतर ज्ञात करें, एक काटे गए शंकु द्वारा वर्गों के बीच बनाई गई आकृति को प्रतिस्थापित करें, जिसका जेनरेटर dl के बराबर है, और आधारों की त्रिज्या y और y + dy के बराबर है। इसका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2ydl + dydl है।

उत्पाद dу d1 को ds की तुलना में एक अतिसूक्ष्म उच्च क्रम के रूप में त्यागने पर, हम ds = 2уdl, या, d1 = dx प्राप्त करते हैं।

परिणामी समानता को x = a से x = b के परास में समाकलित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

यदि वक्र AB को पैरामीट्रिक समीकरण x = x(t), y = y(t), t≤ t t द्वारा दिया जाता है, तो क्रांति की सतह के क्षेत्रफल का सूत्र बन जाता है

एस = 2 दिनांक

उदाहरण: त्रिज्या R वाले एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एस = 2 =

6. परिवर्ती बल का कार्य ज्ञात करना

चर बल कार्य

इस अक्ष के समानांतर निर्देशित एक चर बल F = F(x) की क्रिया के तहत भौतिक बिंदु M को ऑक्स अक्ष के साथ चलने दें। बिंदु M को स्थिति x = a से स्थिति x = b (a .) पर ले जाने पर बल द्वारा किया गया कार्य

स्प्रिंग को 0.05 मीटर तक फैलाने के लिए क्या कार्य करना चाहिए यदि 100 N का बल स्प्रिंग को 0.01 मीटर तक फैलाता है?

हुक के नियम के अनुसार, वसंत को फैलाने वाला लोचदार बल इस खिंचाव x के समानुपाती होता है, अर्थात। एफ = केएक्स, जहां के आनुपातिकता का गुणांक है। समस्या की स्थिति के अनुसार, बल F = 100 N, स्प्रिंग को x = 0.01 मीटर तक फैलाता है; इसलिए, 100 = k 0.01, जहाँ से k = 10000; इसलिए, एफ = 10000x।

सूत्र के आधार पर वांछित कार्य

ए =

H m ऊँचाई और आधार त्रिज्या R m (चित्र 13) के एक ऊर्ध्वाधर बेलनाकार टैंक से किनारे पर तरल पंप करने के लिए खर्च किए जाने वाले कार्य का पता लगाएं।

वजन p के शरीर को ऊंचाई h तक ऊपर उठाने पर खर्च किया गया कार्य p H के बराबर है। लेकिन टैंक में तरल की विभिन्न परतें अलग-अलग गहराई पर होती हैं और टैंक के ऊपर (टैंक के किनारे तक) की ऊंचाई होती है। विभिन्न परतें समान नहीं हैं।

समस्या को हल करने के लिए, हम योजना II (अंतर विधि) लागू करते हैं। हम एक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं।

1) टैंक से मोटाई x (0 x H) के तरल की एक परत को पंप करने पर खर्च किया गया कार्य x का एक कार्य है, अर्थात। ए \u003d ए (एक्स), जहां (0 x एच) (ए (0) \u003d 0, ए (एच) \u003d ए 0)।

2) हम वेतन वृद्धि A का मुख्य भाग पाते हैं जब x में Δx = dx से परिवर्तन होता है, अर्थात। हम फलन A(x) का अवकल dA ज्ञात करते हैं।

डीएक्स के छोटेपन को देखते हुए, हम मानते हैं कि "प्राथमिक" तरल परत एक ही गहराई x (जलाशय के किनारे से) पर है। तब dА = dрх, जहाँ dр इस परत का भार है; यह जी एवी के बराबर है, जहां जी गुरुत्वाकर्षण का त्वरण है, तरल का घनत्व है, डीवी "प्राथमिक" तरल परत का आयतन है (इसे आकृति में हाइलाइट किया गया है), अर्थात। डॉ = जी। इस तरल परत का आयतन स्पष्ट रूप से बराबर है, जहाँ dx सिलेंडर (परत) की ऊँचाई है, इसके आधार का क्षेत्रफल है, अर्थात। डीवी =।

इस प्रकार, dр = . और

3) परिणामी समानता को x \u003d 0 से x \u003d H तक की सीमा में एकीकृत करते हुए, हम पाते हैं

ए

8. MathCAD पैकेज का उपयोग करके इंटीग्रल की गणना

कुछ लागू समस्याओं को हल करते समय, प्रतीकात्मक एकीकरण के संचालन का उपयोग करना आवश्यक है। इस मामले में, मैथकैड प्रोग्राम प्रारंभिक चरण में (उत्तर को पहले से जानना या यह जानना अच्छा है कि यह मौजूद है) और अंतिम चरण में (दूसरे से उत्तर का उपयोग करके प्राप्त परिणाम की जांच करना अच्छा है) दोनों में उपयोगी हो सकता है। स्रोत या किसी अन्य व्यक्ति का समाधान)।

बड़ी संख्या में समस्याओं को हल करते समय, आप MathCad प्रोग्राम का उपयोग करके समस्याओं को हल करने की कुछ विशेषताओं को देख सकते हैं। आइए कुछ उदाहरणों के साथ यह समझने की कोशिश करें कि यह प्रोग्राम कैसे काम करता है, इसकी मदद से प्राप्त समाधानों का विश्लेषण करें और इन समाधानों की तुलना अन्य तरीकों से प्राप्त समाधानों से करें।

MathCad प्रोग्राम का उपयोग करते समय मुख्य समस्याएं इस प्रकार हैं:

ए) कार्यक्रम परिचित प्राथमिक कार्यों के रूप में उत्तर नहीं देता है, लेकिन विशेष कार्यों के रूप में जो सभी के लिए ज्ञात नहीं हैं;

बी) कुछ मामलों में जवाब देने के लिए "मना कर दिया", हालांकि समस्या का समाधान है;

ग) कभी-कभी इसकी भारीपन के कारण प्राप्त परिणाम का उपयोग करना असंभव है;

d) समस्या को अपूर्ण रूप से हल करता है और समाधान का विश्लेषण नहीं करता है।

इन समस्याओं को हल करने के लिए, कार्यक्रम की ताकत और कमजोरियों का उपयोग करना आवश्यक है।

इसकी सहायता से भिन्नात्मक परिमेय फलनों के समाकलों की गणना करना आसान और सरल है। इसलिए, परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है, अर्थात। समाधान के लिए इंटीग्रल पूर्व-तैयार करें। इन उद्देश्यों के लिए, ऊपर चर्चा किए गए प्रतिस्थापन का उपयोग किया जा सकता है। यह भी ध्यान में रखा जाना चाहिए कि प्राप्त परिणामों की मूल कार्य की परिभाषा के डोमेन और प्राप्त परिणाम के संयोग के लिए जांच की जानी चाहिए। इसके अलावा, प्राप्त समाधानों में से कुछ के लिए अतिरिक्त शोध की आवश्यकता होती है।

MathCad कार्यक्रम छात्र या शोधकर्ता को नियमित काम से मुक्त करता है, लेकिन समस्या निर्धारित करते समय और कोई परिणाम प्राप्त करते समय उसे अतिरिक्त विश्लेषण से मुक्त नहीं कर सकता है।

इस पत्र में गणित के पाठ्यक्रम में एक निश्चित समाकल के अनुप्रयोगों के अध्ययन से संबंधित मुख्य प्रावधानों पर विचार किया गया था।

- इंटीग्रल को हल करने के सैद्धांतिक आधार का विश्लेषण किया गया;

- सामग्री व्यवस्थितकरण और सामान्यीकरण के अधीन थी।

पाठ्यक्रम कार्य के दौरान भौतिकी, ज्यामिति, यांत्रिकी के क्षेत्र में व्यावहारिक समस्याओं के उदाहरणों पर विचार किया गया।

निष्कर्ष

ऊपर दी गई व्यावहारिक समस्याओं के उदाहरण हमें उनकी सॉल्वेबिलिटी के लिए एक निश्चित इंटीग्रल के महत्व का स्पष्ट विचार देते हैं।

एक वैज्ञानिक क्षेत्र का नाम देना मुश्किल है जिसमें सामान्य रूप से अभिन्न कलन के तरीके, और एक निश्चित अभिन्न के गुण, विशेष रूप से, लागू नहीं होंगे। इसलिए पाठ्यक्रम कार्य करने की प्रक्रिया में, हमने भौतिकी, ज्यामिति, यांत्रिकी, जीव विज्ञान और अर्थशास्त्र के क्षेत्र में व्यावहारिक समस्याओं के उदाहरणों पर विचार किया। बेशक, यह किसी भी तरह से विज्ञान की एक विस्तृत सूची नहीं है जो एक विशिष्ट समस्या को हल करने और सैद्धांतिक तथ्यों को स्थापित करने के लिए एक निर्धारित मूल्य खोजने के लिए अभिन्न पद्धति का उपयोग करता है।

साथ ही, गणित का अध्ययन करने के लिए निश्चित समाकलन का प्रयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणों को हल करते समय, जो बदले में व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में एक अनिवार्य योगदान देते हैं। हम कह सकते हैं कि निश्चित समाकलन गणित के अध्ययन का एक प्रकार का आधार है। इसलिए उन्हें हल करने का तरीका जानने का महत्व।

उपरोक्त सभी से, यह स्पष्ट है कि एक निश्चित अभिन्न के साथ परिचित औसत के भीतर भी क्यों होता है माध्यमिक स्कूल, जहां छात्र न केवल अभिन्न और उसके गुणों की अवधारणा सीखते हैं, बल्कि इसके कुछ अनुप्रयोगों को भी सीखते हैं।

साहित्य

1. वोल्कोव ई.ए. संख्यात्मक तरीके। एम., नौका, 1988।

2. पिस्कुनोव एन.एस. विभेदक और अभिन्न कलन। एम., इंटीग्रल-प्रेस, 2004. टी. 1.

3. शिपाचेव वी.एस. उच्च गणित। एम।, हायर स्कूल, 1990।

I. क्रांति के निकायों की मात्रा। G. M. Fikhtengol'ts* की पाठ्यपुस्तक के अनुसार अध्याय XII, p°p° 197, 198 का ​​प्रारंभिक अध्ययन करें * p° 198 में दिए गए उदाहरणों का विस्तार से विश्लेषण करें।

508. दीर्घवृत्त के घूर्णन द्वारा x-अक्ष के चारों ओर बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करें।

इस प्रकार,

530. साइनसॉइड y \u003d पाप x के बिंदु X \u003d 0 से बिंदु X \u003d के चाप के अक्ष के चारों ओर घूमने से बनने वाली सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

531. ऊँचाई h और त्रिज्या r वाले एक शंकु के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना कीजिए।

532. द्वारा गठित सतह क्षेत्र की गणना करें

क्षुद्रग्रह x3 -) - y* - a3 का x-अक्ष के चारों ओर घूमना।

533. x-अक्ष के चारों ओर वक्र 18 y-x(6-x)r के लूप के व्युत्क्रमण द्वारा गठित सतह के क्षेत्रफल की गणना करें।

534. वृत्त X2 - j - (y-3)2 = 4 के x-अक्ष के चारों ओर घूमने से उत्पन्न टोरस की सतह का पता लगाएं।

535. वृत्त के घूर्णन द्वारा गठित सतह के क्षेत्रफल की गणना करें X = एक लागत, y = ऑक्स अक्ष के चारों ओर असिंट।

536. वक्र x = 9t2, y = St - 9t3 के अक्ष के चारों ओर लूप के घूमने से बनने वाले सतह के क्षेत्र की गणना करें।

537. वक्र x = e * sint, y = el अक्ष के चारों ओर चाप के घूमने से बनने वाले पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

टी = 0 से टी = -।

538. दिखाएँ कि चक्रज x = a (q> - sin ), y = a (I - cos ) के चाप के ओय अक्ष के चारों ओर घूमने से उत्पन्न सतह, 16 u2 o2 के बराबर है।

539. कार्डियोइड को ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त सतह का पता लगाएं।

540. लेमनिसकेट के घूमने से बनने वाले पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर।

अध्याय IV के लिए अतिरिक्त कार्य

समतल आकृतियों के क्षेत्रफल

541. एक वक्र से घिरे क्षेत्र का संपूर्ण क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और अक्ष ओह।

542. वक्र से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

और अक्ष ओह।

543. पहले चतुर्थांश में स्थित और वक्र से घिरे क्षेत्र के क्षेत्रफल का भाग ज्ञात कीजिए

एल समन्वय अक्ष।

544. के भीतर समाहित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

लूप:

545. वक्र के एक लूप से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

546. लूप के अंदर के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

547. वक्र से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

और अक्ष ओह।

548. वक्र से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

और अक्ष ओह।

549. ऑक्सर अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

सीधे और वक्र

यदि वक्र पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दिया जाता है, तो इस वक्र को अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है . उसी समय, रेखा की "ड्राइंग दिशा", जिसके बारे में लेख में इतनी सारी प्रतियां टूट गई थीं, उदासीन है। लेकिन, जैसा कि पिछले पैराग्राफ में है, यह महत्वपूर्ण है कि वक्र स्थित हो उच्चतरएब्सिस्सा अक्ष - अन्यथा, "खिलाड़ियों के लिए जिम्मेदार" फ़ंक्शन नकारात्मक मान लेगा और आपको इंटीग्रल के सामने एक ऋण चिह्न लगाना होगा।

उदाहरण 3

अक्ष के परितः वृत्त को घुमाकर प्राप्त गोले के क्षेत्रफल की गणना कीजिए।

फेसला: लेख की सामग्री से पैरामीट्रिक रूप से दी गई रेखा के साथ क्षेत्रफल और आयतन के बारे मेंआप जानते हैं कि समीकरण 3 त्रिज्या वाले मूल बिंदु पर केन्द्रित एक वृत्त को परिभाषित करते हैं।

ठीक और वृत्त , जो भूल गए उनके लिए सतह है गेंद(या गोलाकार सतह).

हम विकसित समाधान योजना का पालन करते हैं। आइए डेरिवेटिव खोजें:

आइए "सूत्र" रूट की रचना और सरलीकरण करें:

कहने की जरूरत नहीं है, यह कैंडी निकला। तुलना के लिए देखें कि फ़िखतेंगोल्ट्ज़ ने वर्ग के साथ सिर कैसे काट दिया क्रांति का दीर्घवृत्त.

सैद्धांतिक टिप्पणी के अनुसार, हम ऊपरी अर्धवृत्त पर विचार करते हैं। पैरामीटर के मान को बदलते समय इसे "खींचा" जाता है (यह देखना आसान है कि इस अंतराल पर), इस प्रकार:

जवाब:

यदि हम सामान्य शब्दों में समस्या को हल करते हैं, तो हमें एक गोले के क्षेत्र के लिए स्कूल का सूत्र मिलता है, जहाँ इसकी त्रिज्या होती है।

कुछ दर्द भरी साधारण सी समस्या, शर्म भी आई.... मेरा सुझाव है कि आप इस बग को ठीक करें =)

उदाहरण 4

धुरी के चारों ओर चक्रज के पहले चाप को घुमाकर प्राप्त सतह क्षेत्र की गणना करें।

कार्य रचनात्मक है। y-अक्ष के चारों ओर एक वक्र घुमाकर प्राप्त पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र को निकालने या अंतर्विष्ट करने का प्रयास करें। और, ज़ाहिर है, पैरामीट्रिक समीकरणों के लाभ पर फिर से ध्यान दिया जाना चाहिए - उन्हें किसी तरह संशोधित करने की आवश्यकता नहीं है; एकीकरण की अन्य सीमाओं को खोजने के लिए परेशान होने की आवश्यकता नहीं है।

साइक्लॉयड ग्राफ को पेज पर देखा जा सकता है क्षेत्र और आयतन यदि रेखा को पैरामीट्रिक रूप से सेट किया गया है. रोटेशन की सतह सदृश होगी ... मुझे यह भी नहीं पता कि इसकी तुलना किससे की जाए ... कुछ अस्पष्ट - बीच में एक नुकीले अवसाद के साथ गोल। यहाँ, धुरी के चारों ओर चक्रज के घूमने के मामले के लिए, संघ तुरंत दिमाग में आया - एक आयताकार रग्बी गेंद।

पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

हम एक मामले के साथ अपनी आकर्षक समीक्षा समाप्त करते हैं धुवीय निर्देशांक. हां, यह एक समीक्षा है, यदि आप गणितीय विश्लेषण पर पाठ्यपुस्तकों को देखें (फिख्तेंगोल्ट्स, बोहन, पिस्कुनोव और अन्य लेखकों द्वारा), तो आप एक अच्छे दर्जन (या इससे भी अधिक) मानक उदाहरण प्राप्त कर सकते हैं, जिनमें से यह काफी संभव है कि आप आपको आवश्यक समस्या मिल जाएगी।

क्रांति के सतह क्षेत्र की गणना कैसे करें,
यदि ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली में रेखा दी गई हो?

यदि वक्र को पर सेट किया गया है धुवीय निर्देशांकसमीकरण, और किसी दिए गए अंतराल पर फ़ंक्शन का निरंतर व्युत्पन्न होता है, तो इस वक्र को ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त सतह क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है , वक्र के सिरों के अनुरूप कोणीय मान कहाँ हैं।

समस्या के ज्यामितीय अर्थ के अनुसार, एकीकृत , और यह तभी प्राप्त होता है जब (और गैर-ऋणात्मक होने के लिए जाने जाते हैं)। इसलिए, सीमा से कोण मानों पर विचार करना आवश्यक है, दूसरे शब्दों में, वक्र स्थित होना चाहिए उच्चतरध्रुवीय अक्ष और उसके विस्तार। जैसा कि आप देख सकते हैं, वही कहानी जो पिछले दो पैराग्राफ में है।

उदाहरण 5

ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर कार्डियोइड के घूमने से बनने वाली सतह के क्षेत्रफल की गणना करें।

फेसला: इस वक्र का आलेख के बारे में पाठ के उदाहरण 6 में देखा जा सकता है ध्रुवीय समन्वय प्रणाली. कार्डियोइड ध्रुवीय अक्ष के बारे में सममित है, इसलिए हम इसके ऊपरी आधे हिस्से को अंतराल पर मानते हैं (जो वास्तव में, उपरोक्त टिप्पणी के कारण भी है)।

घूर्णन की सतह बुल्सआई जैसी होगी।

समाधान तकनीक मानक है। आइए "फी" के संबंध में व्युत्पन्न खोजें:

रूट लिखें और सरल करें:

मैं सुपरन्यूमेरेरीज के साथ आशा करता हूं त्रिकोणमितीय सूत्रकिसी को कोई समस्या नहीं थी।

हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

बीच में , इस तरह: (मैंने विस्तार से वर्णन किया है कि लेख में जड़ से ठीक से कैसे छुटकारा पाया जाए वक्र चाप लंबाई).

जवाब:

एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक दिलचस्प और छोटा कार्य:

उदाहरण 6

गोलाकार बेल्ट के क्षेत्र की गणना करें,

बॉल बेल्ट क्या है? मेज पर एक गोल, बिना छिले संतरा रखें और एक चाकू उठा लें। दो बनाओ समानांतरकाटा, जिससे फल को मनमाना आकार के 3 भागों में विभाजित किया जा सके। अब बीच में लें, जिसमें दोनों तरफ से रसदार गूदा निकल आए। इस शरीर को कहा जाता है गोलाकार परत, और इसकी बाउंडिंग सतह (नारंगी का छिलका) - बॉल बेल्ट.

परिचित पाठक धुवीय निर्देशांक, आसानी से समस्या का चित्र प्रस्तुत किया: समीकरण त्रिज्या के ध्रुव पर केंद्रित एक वृत्त को परिभाषित करता है, जिसमें से किरणों कट जाना कमतरचाप यह चाप ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर घूमता है और इस प्रकार एक गोलाकार पेटी प्राप्त होती है।

अब आप साफ विवेक और हल्के दिल से संतरा खा सकते हैं, इस स्वादिष्ट नोट पर हम पाठ समाप्त करेंगे, अन्य उदाहरणों से अपनी भूख खराब न करें =)

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2:फेसला : ऊपरी शाखा के घूर्णन द्वारा गठित सतह के क्षेत्रफल की गणना करें एक्स-अक्ष के आसपास। हम सूत्र का उपयोग करते हैं .
इस मामले में: ;

इस प्रकार:


जवाब:

उदाहरण 4:फेसला : सूत्र का प्रयोग करें . साइक्लोइड का पहला चाप खंड पर परिभाषित किया गया है .
आइए डेरिवेटिव खोजें:

रूट लिखें और सरल करें:

तो क्रांति का सतह क्षेत्र है:

बीच में , इसीलिए

पहला अभिन्नभागों द्वारा एकीकृत करें :

दूसरे इंटीग्रल में हम उपयोग करते हैंत्रिकोणमितीय सूत्र .


जवाब:

उदाहरण 6:फेसला : सूत्र का प्रयोग करें:


जवाब:

पत्राचार छात्रों के लिए उच्च गणित और न केवल >>>

(मुख्य पृष्ठ पर जाएं)

एक निश्चित अभिन्न की गणना कैसे करें
ट्रेपेज़ॉइड फॉर्मूला और सिम्पसन विधि का उपयोग करना?

संख्यात्मक विधियाँ उच्च गणित का एक काफी बड़ा खंड है और इस विषय पर गंभीर पाठ्यपुस्तकों में सैकड़ों पृष्ठ हैं। व्यवहार में, परीक्षणों में, कुछ कार्यों को पारंपरिक रूप से संख्यात्मक तरीकों से हल करने के लिए प्रस्तावित किया जाता है, और सामान्य कार्यों में से एक अनुमानित गणना है निश्चित समाकलन. इस लेख में, मैं एक निश्चित अभिन्न की अनुमानित गणना के लिए दो विधियों पर विचार करूंगा - समलम्बाकार विधिऔर सिम्पसन की विधि.

इन विधियों में महारत हासिल करने के लिए आपको क्या जानने की जरूरत है? यह अजीब लगता है, लेकिन हो सकता है कि आप इंटीग्रल लेने में सक्षम न हों। और यह भी नहीं समझते कि अभिन्न क्या हैं। तकनीकी साधनों में से, आपको एक माइक्रोकैलकुलेटर की आवश्यकता होगी। हाँ, हाँ, हम नियमित स्कूल गणना की प्रतीक्षा कर रहे हैं। बेहतर अभी तक, डाउनलोड करें my समलम्बाकार विधि और सिम्पसन विधि के लिए अर्ध-स्वचालित कैलकुलेटर. कैलकुलेटर एक्सेल में लिखा गया है और आपको कार्यों को हल करने और संसाधित करने के लिए दस गुना समय कम करने की अनुमति देगा। एक्सेल टीपोट्स के लिए एक वीडियो मैनुअल शामिल है! वैसे, मेरी आवाज के साथ पहला वीडियो।

सबसे पहले, आइए अपने आप से यह प्रश्न पूछें कि हमें अनुमानित गणनाओं की बिल्कुल भी आवश्यकता क्यों है? ऐसा लगता है कि फ़ंक्शन के प्रतिपक्षी को खोजना और न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करना संभव है, एक निश्चित अभिन्न के सटीक मूल्य की गणना करना। प्रश्न के उत्तर के रूप में, आइए तुरंत एक चित्र के साथ एक डेमो उदाहरण पर विचार करें।

एक निश्चित अभिन्न की गणना करें

सब कुछ ठीक हो जाएगा, लेकिन इस उदाहरण में अभिन्न नहीं लिया जाता है - इससे पहले कि आप न लें, तथाकथित अभिन्न लघुगणक. क्या यह अभिन्न भी मौजूद है? आइए ड्राइंग में इंटीग्रैंड के ग्राफ को चित्रित करें:

सब कुछ ठीक है। इंटीग्रैंड निरंतरखंड पर और निश्चित समाकलन संख्यात्मक रूप से छायांकित क्षेत्र के बराबर होता है। हां, यह सिर्फ एक रोड़ा है - इंटीग्रल नहीं लिया जाता है। और ऐसे मामलों में, संख्यात्मक तरीके बचाव के लिए आते हैं। इस मामले में, समस्या दो योगों में होती है:

1) लगभग निश्चित समाकल की गणना कीजिए , परिणाम को एक निश्चित दशमलव स्थान पर गोल करना. उदाहरण के लिए, दो दशमलव स्थानों तक, तीन दशमलव स्थानों तक, आदि। मान लीजिए कि आपको 5.347 का अनुमानित उत्तर मिलता है। वास्तव में, यह पूरी तरह से सही नहीं हो सकता है (वास्तव में, मान लें कि अधिक सटीक उत्तर 5.343 है)। हमारा काम है केवल उसमेंपरिणाम को तीन दशमलव स्थानों तक गोल करने के लिए।

2) लगभग निश्चित समाकल की गणना कीजिए, एक निश्चित सटीकता के साथ. उदाहरण के लिए, लगभग 0.001 की सटीकता के साथ निश्चित अभिन्न की गणना करें। इसका क्या मतलब है? इसका अर्थ है कि यदि 5.347 का अनुमानित उत्तर प्राप्त होता है, तो सबआंकड़े प्रबलित कंक्रीट होना चाहिए सही. अधिक सटीक होने के लिए, उत्तर 5.347 सत्य मोडुलो (एक दिशा या किसी अन्य में) से 0.001 से अधिक नहीं होना चाहिए।

समस्याओं में होने वाले एक निश्चित समाकल की अनुमानित गणना के लिए कई बुनियादी विधियाँ हैं:

आयत विधि. एकीकरण के खंड को कई भागों में विभाजित किया जाता है और एक चरण आकृति का निर्माण किया जाता है ( दंड आरेख), जो वांछित क्षेत्र के क्षेत्र में करीब है:

चित्र द्वारा कड़ाई से न्याय न करें, सटीकता सही नहीं है - वे केवल विधियों के सार को समझने में मदद करते हैं।

इस उदाहरण में, एकीकरण के खंड को तीन खंडों में विभाजित किया गया है:
. जाहिर है, विभाजन जितना अधिक बार होता है (अधिक छोटे मध्यवर्ती खंड), सटीकता उतनी ही अधिक होती है। आयतों की विधि क्षेत्र का एक मोटा अनुमान देती है, जाहिर है, इसलिए, यह व्यवहार में बहुत दुर्लभ है (मुझे केवल एक व्यावहारिक उदाहरण याद आया)। इस संबंध में, मैं आयतों की विधि पर विचार नहीं करूंगा, और एक सरल सूत्र भी नहीं दूंगा। आलस्य के कारण नहीं, बल्कि मेरी समाधान पुस्तिका के सिद्धांत के कारण: व्यावहारिक कार्यों में जो अत्यंत दुर्लभ है, उस पर विचार नहीं किया जाता है।

समलम्बाकार विधि. विचार समान है। एकीकरण खंड को कई मध्यवर्ती खंडों में विभाजित किया गया है, और एकीकृत दृष्टिकोण का ग्राफ टूटी पंक्तिरेखा:

तो हमारा क्षेत्र (नीला छायांकन) समलम्बाकार (लाल) के क्षेत्रों के योग से अनुमानित है। इसलिए विधि का नाम। यह देखना आसान है कि समलम्बाकार विधि आयत विधि (समान विभाजन खंडों के साथ) की तुलना में बहुत बेहतर सन्निकटन देती है। और, ज़ाहिर है, हम जितने छोटे मध्यवर्ती खंडों पर विचार करेंगे, सटीकता उतनी ही अधिक होगी। व्यावहारिक कार्यों में समय-समय पर ट्रेपोजॉइड विधि का सामना करना पड़ता है, और इस लेख में कई उदाहरणों का विश्लेषण किया जाएगा।

सिम्पसन विधि (परवलय विधि). यह एक अधिक सही तरीका है - इंटीग्रैंड का ग्राफ एक टूटी हुई रेखा से नहीं, बल्कि छोटे परवलयों द्वारा पहुंचा जाता है। कितने मध्यवर्ती खंड - इतने छोटे परवलय। यदि हम समान तीन खंड लेते हैं, तो सिम्पसन विधि आयत विधि या समलम्बाकार विधि की तुलना में और भी अधिक सटीक सन्निकटन देगी।

मैं एक ड्राइंग बनाने में बिंदु नहीं देखता, क्योंकि नेत्रहीन रूप से फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर अनुमान लगाया जाएगा (पिछले पैराग्राफ की टूटी हुई रेखा - और तब भी यह लगभग मेल खाता था)।

सिम्पसन सूत्र का उपयोग करके एक निश्चित अभिन्न की गणना करने का कार्य व्यवहार में सबसे लोकप्रिय कार्य है। और परवलय की विधि पर काफी ध्यान दिया जाएगा।

क्रांति की सतह- एक मनमानी रेखा (सीधी, सपाट या स्थानिक वक्र) की एक सीधी रेखा (सतह अक्ष) के चारों ओर घूमने के दौरान बनने वाली सतह। उदाहरण के लिए, यदि एक सीधी रेखा रोटेशन की धुरी को काटती है, तो इसके रोटेशन के दौरान एक शंक्वाकार सतह प्राप्त होगी, यदि यह अक्ष के समानांतर है - बेलनाकार, यदि यह अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करती है - क्रांति का एक-शीट वाला हाइपरबोलाइड। विभिन्न प्रकार के वक्रों को घुमाकर एक ही सतह प्राप्त की जा सकती है। एक अक्ष के चारों ओर परिमित लंबाई के एक समतल वक्र के घूमने से बनने वाले परिक्रमण की सतह का क्षेत्रफल जो वक्र के तल में स्थित होता है लेकिन वक्र को नहीं काटता है वह वक्र की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है और अक्ष से वक्र के द्रव्यमान के केंद्र तक की दूरी के बराबर त्रिज्या वाले एक वृत्त की लंबाई। इस कथन को हल्डेन का दूसरा प्रमेय या पप्पस का केन्द्रक प्रमेय कहा जाता है।

एक अक्ष के परितः वक्र के घूमने से बनने वाले परिक्रमण पृष्ठ के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

उस स्थिति के लिए जब ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में वक्र दिया जाता है, सूत्र मान्य होता है

एक निश्चित अभिन्न के यांत्रिक अनुप्रयोग (बलों का कार्य, स्थिर क्षण, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र)।

बलों के काम की गणना

एक भौतिक बिंदु लगातार अलग-अलग वक्र के साथ चलता है, जबकि एक बल उस पर कार्य करता है, गति की दिशा में प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा रूप से निर्देशित होता है। बल F(s) द्वारा किया गया कुल कार्य:

यदि गति पथ पर एक बिंदु की स्थिति को किसी अन्य पैरामीटर द्वारा वर्णित किया जाता है, तो सूत्र रूप लेता है:

स्थिर क्षणों और गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की गणना
मान लें कि कुछ द्रव्यमान M को ऑक्सी निर्देशांक तल पर घनत्व p = p(y) के साथ बिंदु S के कुछ सेट पर वितरित किया जाता है (यह एक वक्र का चाप या एक बंधी हुई सपाट आकृति हो सकती है)। निरूपित s(y) - निर्दिष्ट सेट (चाप लंबाई या क्षेत्र) का माप।

परिभाषा 2. संख्या ऑक्स अक्ष के परितः द्रव्यमान M का k-वाँ आघूर्ण कहलाता है।
k \u003d 0 M 0 \u003d M पर द्रव्यमान है,
के \u003d 1 एम 1 - स्थिर क्षण,
के \u003d 2 एम 2 - जड़ता का क्षण।

ओए अक्ष के बारे में क्षण इसी तरह पेश किए जाते हैं। अंतरिक्ष में, समन्वित विमानों के संबंध में द्रव्यमान के क्षणों की अवधारणाओं को इसी तरह पेश किया जाता है।
यदि p = 1 हो, तो संगत आघूर्ण ज्यामितीय कहलाते हैं। एक सजातीय (p - const) समतल आकृति के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

जहां एम 1 वाई, एम 1 एक्स - अक्ष ओए और ऑक्स के बारे में आकृति के ज्यामितीय स्थिर क्षण; S आकृति का क्षेत्रफल है।