भाव, अभिव्यक्ति रूपांतरण

शक्ति अभिव्यक्ति (शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति) और उनका परिवर्तन

इस लेख में, हम भावों को शक्तियों के साथ बदलने के बारे में बात करेंगे। सबसे पहले, हम उन परिवर्तनों पर ध्यान केंद्रित करेंगे जो किसी भी प्रकार के भावों के साथ किए जाते हैं, जिसमें शक्ति अभिव्यक्तियाँ शामिल हैं, जैसे कि कोष्ठक खोलना, समान शब्दों को कम करना। और फिर हम शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियों में निहित परिवर्तनों का विश्लेषण करेंगे: आधार और घातांक के साथ काम करना, शक्तियों के गुणों का उपयोग करना, आदि।

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पावर एक्सप्रेशन क्या हैं?

शब्द "शक्ति अभिव्यक्ति" व्यावहारिक रूप से गणित की स्कूली पाठ्यपुस्तकों में नहीं पाया जाता है, लेकिन यह अक्सर कार्यों के संग्रह में प्रकट होता है, विशेष रूप से एकीकृत राज्य परीक्षा और ओजीई के लिए तैयार करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, उदाहरण के लिए,। उन कार्यों का विश्लेषण करने के बाद जिनमें शक्ति अभिव्यक्तियों के साथ किसी भी क्रिया को करने की आवश्यकता होती है, यह स्पष्ट हो जाता है कि शक्ति अभिव्यक्तियों को उनकी प्रविष्टियों में डिग्री वाले भावों के रूप में समझा जाता है। इसलिए, अपने लिए, आप निम्नलिखित परिभाषा ले सकते हैं:

परिभाषा।

शक्ति अभिव्यक्तिवे अभिव्यक्तियाँ हैं जिनमें शक्तियाँ हैं।

चलो लाते हैं शक्ति अभिव्यक्ति के उदाहरण. इसके अलावा, हम उन्हें इस अनुसार प्रस्तुत करेंगे कि एक प्राकृतिक संकेतक के साथ एक डिग्री से एक वास्तविक संकेतक के साथ एक डिग्री तक विचार कैसे विकसित होते हैं।

जैसा कि आप जानते हैं, पहले एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक संख्या की डिग्री के साथ एक परिचित होता है, इस स्तर पर 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 आदि।

थोड़ी देर बाद, एक पूर्णांक घातांक वाली संख्या की घात का अध्ययन किया जाता है, जो ऋणात्मक पूर्णांक घातों के साथ घात व्यंजकों की उपस्थिति की ओर ले जाती है, जैसे कि: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 ।

वरिष्ठ कक्षाओं में, वे फिर से डिग्रियों में लौट आते हैं। वहां, एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री पेश की जाती है, जो संबंधित शक्ति अभिव्यक्तियों की उपस्थिति की ओर ले जाती है: , , आदि। अंत में, अपरिमेय घातांकों वाली डिग्रियों और उनमें समाविष्ट व्यंजकों पर विचार किया जाता है: , .

मामला सूचीबद्ध शक्ति अभिव्यक्तियों तक सीमित नहीं है: आगे चर घातांक में प्रवेश करता है, और उदाहरण के लिए, ऐसे भाव 2 x 2 +1 या हैं . और परिचित होने के बाद, घातों और लघुगणक वाले व्यंजक प्रकट होने लगते हैं, उदाहरण के लिए, x 2 lgx −5 x lgx।

इसलिए, हमने इस प्रश्न का पता लगाया कि शक्ति के भाव क्या हैं। इसके बाद, हम सीखेंगे कि उन्हें कैसे बदलना है।

शक्ति अभिव्यक्तियों के मुख्य प्रकार के परिवर्तन

शक्ति अभिव्यक्तियों के साथ, आप अभिव्यक्तियों के किसी भी मूल पहचान परिवर्तन को निष्पादित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप कोष्ठक का विस्तार कर सकते हैं, संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को उनके मानों से बदल सकते हैं, समान शब्द जोड़ सकते हैं, इत्यादि। स्वाभाविक रूप से, इस मामले में कार्रवाई करने के लिए स्वीकृत प्रक्रिया का पालन करना आवश्यक है। आइए उदाहरण देते हैं।

उदाहरण।

घात व्यंजक 2 3 ·(4 2 −12) के मान की गणना करें।

फेसला।

क्रियाओं के क्रम के अनुसार, हम पहले क्रियाओं को कोष्ठक में करते हैं। वहां, सबसे पहले, हम 4 2 की शक्ति को इसके मान 16 से बदलते हैं (यदि आवश्यक हो तो देखें), और दूसरी बात, हम अंतर की गणना करते हैं 16−12=4 । हमारे पास है 2 3 (4 2 -12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

परिणामी व्यंजक में, हम 2 3 की घात को इसके मान 8 से प्रतिस्थापित करते हैं, जिसके बाद हम गुणनफल 8·4=32 की गणना करते हैं। यह वांछित मूल्य है।

इसलिए, 2 3 (4 2 -12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

जवाब:

2 3 (4 2 -12)=32।

उदाहरण।

पावर एक्सप्रेशन को सरल बनाएं 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

फेसला।

जाहिर है, इस व्यंजक में समान पद 3 · a 4 · b - 7 और 2 · a 4 · b - 7 हैं, और हम उन्हें कम कर सकते हैं: ।

जवाब:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

उदाहरण।

एक उत्पाद के रूप में शक्तियों के साथ एक अभिव्यक्ति व्यक्त करें।

फेसला।

कार्य से निपटने के लिए संख्या 9 को 3 2 की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करने और कम गुणन सूत्र के बाद के उपयोग, वर्गों के अंतर की अनुमति देता है:

जवाब:

शक्ति अभिव्यक्तियों में निहित कई समान परिवर्तन भी हैं। अगला, हम उनका विश्लेषण करेंगे।

आधार और घातांक के साथ कार्य करना

कुछ अंश ऐसे होते हैं जिनके आधार और/या संकेतक केवल संख्या या चर नहीं होते, बल्कि कुछ भाव होते हैं। उदाहरण के तौर पर, आइए (2+0.3 7) 5−3.7 और (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) लिखें।

इस तरह के भावों के साथ काम करते समय, डिग्री के आधार में अभिव्यक्ति और संकेतक में अभिव्यक्ति दोनों को इसके चर के डीपीवी पर समान रूप से समान अभिव्यक्ति के साथ बदलना संभव है। दूसरे शब्दों में, हमें ज्ञात नियमों के अनुसार, हम डिग्री के आधार को अलग से और अलग से - सूचक को परिवर्तित कर सकते हैं। यह स्पष्ट है कि इस परिवर्तन के परिणामस्वरूप, एक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है जो मूल रूप से समान रूप से समान होती है।

इस तरह के परिवर्तन हमें शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति को सरल बनाने या अन्य लक्ष्यों को प्राप्त करने की अनुमति देते हैं जिनकी हमें आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, ऊपर वर्णित घात व्यंजक (2+0.3 7) 5−3.7 में, आप आधार और घातांक में संख्याओं के साथ संक्रियाएँ कर सकते हैं, जो आपको 4.1 1.3 की घात तक जाने की अनुमति देगा। और कोष्ठकों को खोलने और डिग्री के आधार में समान पदों को लाने के बाद (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) हमें एक सरल रूप a 2·(x+1) का घातांक व्यंजक प्राप्त होता है ) .

शक्ति गुणों का उपयोग करना

अभिव्यक्तियों को शक्तियों के साथ बदलने के लिए मुख्य उपकरणों में से एक समानताएं हैं जो प्रतिबिंबित करती हैं। आइए मुख्य लोगों को याद करें। किसी भी सकारात्मक संख्या ए और बी और मनमानी वास्तविक संख्या आर और एस के लिए, निम्नलिखित शक्ति गुण धारण करते हैं:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (ए बी) आर = ए आर बी आर;
• (ए: बी) आर = ए आर: बी आर;
• (ए आर) एस = ए आर एस।

ध्यान दें कि प्राकृतिक, पूर्णांक और सकारात्मक घातांक के लिए, संख्या a और b पर प्रतिबंध इतने सख्त नहीं हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्याओं m और n के लिए, समानता a m a n =a m+n न केवल सकारात्मक a के लिए, बल्कि ऋणात्मक संख्याओं के लिए और a=0 के लिए भी सत्य है।

स्कूल में, शक्ति अभिव्यक्तियों के परिवर्तन में मुख्य ध्यान उपयुक्त संपत्ति को चुनने और इसे सही ढंग से लागू करने की क्षमता पर केंद्रित है। इस मामले में, डिग्री के आधार आमतौर पर सकारात्मक होते हैं, जो आपको बिना किसी प्रतिबंध के डिग्री के गुणों का उपयोग करने की अनुमति देता है। डिग्री के आधार में चर वाले भावों के परिवर्तन पर भी यही लागू होता है - चर के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा आमतौर पर ऐसी होती है कि आधार केवल सकारात्मक मान लेते हैं, जो आपको गुणों का स्वतंत्र रूप से उपयोग करने की अनुमति देता है डिग्री का। सामान्य तौर पर, किसी को लगातार सवाल पूछना चाहिए, क्या यह संभव है? इस मामले मेंडिग्री के किसी भी गुण को लागू करें, क्योंकि गुणों के गलत उपयोग से ODZ का संकुचन और अन्य समस्याएं हो सकती हैं। इन बिंदुओं पर विस्तार से चर्चा की गई है और उदाहरणों के साथ डिग्री के गुणों का उपयोग करके अभिव्यक्ति के परिवर्तन में उदाहरण दिए गए हैं। यहां हम खुद को कुछ सरल उदाहरणों तक सीमित रखते हैं।

उदाहरण।

व्यंजक a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 को आधार a के साथ घात के रूप में व्यक्त करें।

फेसला।

सबसे पहले, हम दूसरे कारक (ए 2) -3 को एक शक्ति को शक्ति में बढ़ाने की संपत्ति से बदलते हैं: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. इस मामले में, प्रारंभिक शक्ति अभिव्यक्ति 2.5 ·a −6:a −5.5 का रूप लेगी। जाहिर है, यह एक ही आधार के साथ गुणा और शक्तियों के विभाजन के गुणों का उपयोग करने के लिए बनी हुई है, हमारे पास है
ए 2.5 ए -6: ए -5.5 =
एक 2.5−6:a−5.5 =a−3.5:a−5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 ।

जवाब:

ए 2.5 (ए 2) -3: ए -5.5 \u003d ए 2.

पावर एक्सप्रेशन को बाएँ से दाएँ और दाएँ से बाएँ दोनों में बदलते समय शक्ति गुणों का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण।

घात व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

फेसला।

समानता (a·b) r =a r ·b r , जिसे दाएं से बाएं लागू किया जाता है, आपको मूल व्यंजक से प्रपत्र के गुणनफल तक और आगे जाने की अनुमति देता है। और जब एक ही आधार के साथ शक्तियों को गुणा करते हैं, तो संकेतक जोड़ते हैं: .

मूल अभिव्यक्ति के परिवर्तन को दूसरे तरीके से करना संभव था:

जवाब:

.

उदाहरण।

1.5 −a 0.5 −6 घात व्यंजक को देखते हुए, एक नया चर t=a 0.5 दर्ज करें।

फेसला।

डिग्री a 1.5 को 0.5 3 के रूप में दर्शाया जा सकता है और आगे डिग्री (a r) s =a r s में डिग्री के गुण के आधार पर दाएं से बाएं लागू किया जा सकता है, इसे फॉर्म (a 0.5) 3 में परिवर्तित करें। इस प्रकार, ए 1.5 -ए 0.5 -6=(ए 0.5) 3 -ए 0.5 -6. अब एक नया चर t=a 0.5 पेश करना आसान है, हमें t 3 −t−6 मिलता है।

जवाब:

टी 3 -टी−6।

घातांक वाले भिन्नों को परिवर्तित करना

पावर एक्सप्रेशन में घात वाले भिन्न हो सकते हैं या ऐसे भिन्नों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। किसी भी प्रकार के भिन्नों में निहित मूल भिन्न रूपांतरणों में से कोई भी ऐसे भिन्नों पर पूरी तरह से लागू होता है। अर्थात्, अंशों में अंशों को कम किया जा सकता है, एक नए हर में घटाया जा सकता है, उनके अंश के साथ अलग से और हर के साथ अलग से काम किया जा सकता है, आदि। उपरोक्त शब्दों को स्पष्ट करने के लिए, कई उदाहरणों के हलों पर विचार करें।

उदाहरण।

पावर एक्सप्रेशन को सरल बनाएं .

फेसला।

यह शक्ति अभिव्यक्ति एक अंश है। आइए इसके अंश और हर के साथ काम करें। अंश में, हम कोष्ठक खोलते हैं और उसके बाद प्राप्त व्यंजक को घातों के गुणों का उपयोग करके सरल करते हैं, और हर में हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं:

और हम भिन्न के सामने माइनस लगाकर हर का चिन्ह भी बदलते हैं: .

जवाब:

.

एक नए हर के लिए शक्तियों वाले अंशों को कम करना उसी तरह किया जाता है जैसे तर्कसंगत अंशों को एक नए हर में कम करना। साथ ही एक अतिरिक्त गुणनखंड भी मिलता है और भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा किया जाता है। यह क्रिया करते समय, यह याद रखने योग्य है कि नए हर में कमी करने से DPV का संकुचन हो सकता है। ऐसा होने से रोकने के लिए, यह आवश्यक है कि मूल अभिव्यक्ति के लिए ODZ चर से चर के किसी भी मान के लिए अतिरिक्त कारक गायब न हो।

उदाहरण।

भिन्नों को एक नए हर में लाएँ: a) हर से a, b) भाजक को।

फेसला।

ए) इस मामले में, यह पता लगाना काफी आसान है कि वांछित परिणाम प्राप्त करने में कौन सा अतिरिक्त कारक मदद करता है। यह 0.7 a 0.3 = a 0.7+0.3 = a के बाद से एक गुणक 0.3 है। ध्यान दें कि चर के स्वीकार्य मानों की श्रेणी में (यह सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का सेट है), डिग्री 0.3 गायब नहीं होती है, इसलिए, हमें दिए गए अंश के अंश और हर को गुणा करने का अधिकार है इस अतिरिक्त कारक द्वारा:

ख) हर को अधिक बारीकी से देखने पर, हम पाते हैं कि

और इस व्यंजक को इससे गुणा करने पर घनों का योग मिलेगा और , अर्थात्, । और यह नया हर है जिसमें हमें मूल भिन्न लाने की आवश्यकता है।

तो हमें एक अतिरिक्त कारक मिला। चर x और y के स्वीकार्य मानों की सीमा पर व्यंजक लुप्त नहीं होता है, इसलिए, हम भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा कर सकते हैं:

जवाब:

ए) , बी) .

अंशों वाले अंशों की कमी में भी कोई नई बात नहीं है: अंश और हर को एक निश्चित संख्या में कारकों के रूप में दर्शाया जाता है, और अंश और हर के समान कारक कम हो जाते हैं।

उदाहरण।

अंश कम करें: ए) , बी)।

फेसला।

a) सबसे पहले, अंश और हर को संख्या 30 और 45 से घटाया जा सकता है, जो कि 15 के बराबर है। इसके अलावा, जाहिर है, आप x 0.5 +1 और by . तक कम कर सकते हैं . यहाँ हमारे पास क्या है:

बी) इस मामले में, अंश और हर में समान कारक तुरंत दिखाई नहीं देते हैं। उन्हें प्राप्त करने के लिए, आपको प्रारंभिक परिवर्तन करने होंगे। इस मामले में, वे वर्ग सूत्र के अंतर के अनुसार भाजक को कारकों में विघटित करते हैं:

जवाब:

ए)

बी) .

भिन्नों को एक नए हर में कम करना और भिन्नों को कम करना मुख्य रूप से भिन्नों पर संचालन करने के लिए उपयोग किया जाता है। ज्ञात नियमों के अनुसार क्रियाएं की जाती हैं। अंशों को जोड़ने (घटाने) पर, वे एक सामान्य हर में कम हो जाते हैं, जिसके बाद अंश जोड़े (घटाए) जाते हैं, और हर समान रहता है। परिणाम एक अंश है जिसका अंश अंशों का गुणनफल है, और हर हर का गुणनफल है। भिन्न से भाग उसके व्युत्क्रम से गुणा है।

उदाहरण।

उनके नक़्शे - कदम पर चलिए .

फेसला।

सबसे पहले, हम अंशों को कोष्ठक में घटाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम उन्हें एक सामान्य भाजक के पास लाते हैं, जो है , फिर अंशों को घटाएं:

अब हम भिन्नों को गुणा करते हैं:

जाहिर है, शक्ति x 1/2 से कमी संभव है, जिसके बाद हमारे पास है .

आप वर्ग अंतर के सूत्र का उपयोग करके हर में घात व्यंजक को भी सरल बना सकते हैं: .

जवाब:

उदाहरण।

पावर एक्सप्रेशन को सरल बनाएं .

फेसला।

जाहिर है, इस भिन्न को (x 2.7 +1) 2 से घटाया जा सकता है, इससे भिन्न मिलता है . यह स्पष्ट है कि x की शक्तियों के साथ कुछ और करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम परिणामी अंश को एक उत्पाद में परिवर्तित करते हैं। यह हमें समान आधारों के साथ शक्तियों को विभाजित करने की संपत्ति का उपयोग करने का अवसर देता है: . और प्रक्रिया के अंत में, हम अंतिम उत्पाद से भिन्न तक जाते हैं।

जवाब:

.

और हम जोड़ते हैं कि यह संभव है और कई मामलों में घातांक के चिह्न को बदलकर अंश से हर या हर से अंश में ऋणात्मक घातांक वाले कारकों को स्थानांतरित करना वांछनीय है। इस तरह के परिवर्तन अक्सर आगे की कार्रवाइयों को सरल बनाते हैं। उदाहरण के लिए, एक शक्ति अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

भावों को जड़ों और शक्तियों के साथ परिवर्तित करना

अक्सर, जिन भावों में कुछ परिवर्तनों की आवश्यकता होती है, उनमें भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री के साथ-साथ जड़ें भी होती हैं। इस तरह की अभिव्यक्ति को वांछित रूप में बदलने के लिए, ज्यादातर मामलों में यह केवल जड़ों तक या केवल शक्तियों तक जाने के लिए पर्याप्त है। लेकिन चूंकि डिग्री के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है, वे आमतौर पर जड़ों से डिग्री तक जाते हैं। हालांकि, इस तरह के एक संक्रमण को अंजाम देने की सलाह दी जाती है जब मूल अभिव्यक्ति के लिए चर के ओडीजेड आपको मॉड्यूल तक पहुंचने या ओडीजेड को कई अंतरालों में विभाजित करने की आवश्यकता के बिना जड़ों को डिग्री से बदलने की अनुमति देता है (हमने इस पर विस्तार से चर्चा की है लेख, जड़ों से शक्तियों में संक्रमण और इसके विपरीत एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री से परिचित होने के बाद एक तर्कहीन संकेतक के साथ एक डिग्री पेश की जाती है, जो एक मनमानी वास्तविक संकेतक के साथ एक डिग्री की बात करना संभव बनाता है। इस स्तर पर, स्कूल पढ़ना शुरू करता है घातांक प्रकार्य, जो विश्लेषणात्मक रूप से डिग्री द्वारा दिया जाता है, जिसके आधार पर एक संख्या होती है, और संकेतक में - एक चर। इसलिए हमें डिग्री के आधार में संख्याओं वाले घातीय अभिव्यक्तियों का सामना करना पड़ता है, और एक्सपोनेंट में - चर के साथ अभिव्यक्ति, और स्वाभाविक रूप से ऐसे अभिव्यक्तियों के परिवर्तन करने की आवश्यकता उत्पन्न होती है।

यह कहा जाना चाहिए कि संकेतित प्रकार के भावों का परिवर्तन आमतौर पर हल करते समय करना पड़ता है घातीय समीकरणऔर घातीय असमानताएँ, और ये परिवर्तन काफी सरल हैं। अधिकांश मामलों में, वे डिग्री के गुणों पर आधारित होते हैं और ज्यादातर भविष्य में एक नए चर को पेश करने के उद्देश्य से होते हैं। समीकरण हमें उन्हें प्रदर्शित करने की अनुमति देगा 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

सबसे पहले, घातांक, जिनके घातांक में कुछ चर (या चर के साथ व्यंजक) और एक संख्या का योग पाया जाता है, को उत्पादों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह बाईं ओर के व्यंजक के पहले और अंतिम पदों पर लागू होता है:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x -2 7 2 x =0.

इसके बाद, समानता के दोनों हिस्सों को अभिव्यक्ति 7 2 x से विभाजित किया जाता है, जो मूल समीकरण के लिए चर x के ODZ पर केवल सकारात्मक मान लेता है (यह इस तरह के समीकरणों को हल करने के लिए एक मानक तकनीक है, हम नहीं हैं इसके बारे में अभी बात कर रहे हैं, इसलिए शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियों के बाद के परिवर्तनों पर ध्यान दें):

अब घातांक वाले भिन्नों को रद्द कर दिया जाता है, जो देता है .

अंत में, समान घातांक वाली घातों के अनुपात को अनुपातों की घातों से बदल दिया जाता है, जो समीकरण की ओर ले जाता है , जो के बराबर है . किए गए परिवर्तन हमें एक नया चर पेश करने की अनुमति देते हैं, जो मूल घातीय समीकरण के समाधान को द्विघात समीकरण के समाधान तक कम कर देता है

आई. वी. बोइकोव, एल.डी. रोमानोवापरीक्षा की तैयारी के लिए कार्यों का संग्रह। भाग 1. पेन्ज़ा 2003।

धारा 5 व्यंजक और समीकरण

अनुभाग में आप सीखेंगे:

ü o भाव और उनके सरलीकरण;

ü समानता के गुण क्या हैं;

ü समानता के गुणों के आधार पर समीकरणों को कैसे हल करें;

ü समीकरणों की सहायता से किस प्रकार की समस्याओं का समाधान किया जाता है; लंबवत रेखाएं क्या हैं और उन्हें कैसे बनाया जाए;

ü किन रेखाओं को समानांतर कहा जाता है और उनका निर्माण कैसे किया जाता है;

ü एक समन्वय विमान क्या है;

ü एक विमान पर एक बिंदु के निर्देशांक कैसे निर्धारित करें;

ü मात्राओं के बीच निर्भरता ग्राफ क्या है और इसे कैसे बनाया जाए;

ü सीखी गई सामग्री को व्यवहार में कैसे लागू करें

§ 30. व्यंजक और उनका सरलीकरण

आप पहले से ही जानते हैं कि शाब्दिक व्यंजक क्या होते हैं और जोड़ और गुणा के नियमों का उपयोग करके उन्हें सरल बनाना जानते हैं। उदाहरण के लिए, 2a (-4 .)बी) = -8 अब . परिणामी व्यंजक में संख्या -8 को व्यंजक का गुणांक कहा जाता है।

क्या अभिव्यक्तिसीडी गुणांक? इसलिए। यह 1 के बराबर है क्योंकिसीडी - 1 सीडी।

याद रखें कि कोष्ठक वाले व्यंजक को बिना कोष्ठक के व्यंजक में बदलने को कोष्ठक विस्तार कहते हैं। उदाहरण के लिए: 5(2x + 4) = 10x + 20।

इस उदाहरण में विपरीत क्रिया सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर करना है।

समान शाब्दिक कारकों वाले शब्दों को समान पद कहा जाता है। उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से निकालकर, समान पद खड़े किए जाते हैं:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6y .) )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* वाई-5=

बी एक्स + 7y - 5।

ब्रैकेट विस्तार नियम

1. यदि कोष्ठक के सामने "+" चिन्ह है, तो कोष्ठकों को खोलते समय, कोष्ठक में पदों के चिन्ह संरक्षित रहते हैं;

2. यदि कोष्ठक के सामने "-" का चिन्ह है, तो कोष्ठकों को खोलने पर कोष्ठक में पदों के चिन्ह उलट जाते हैं।

कार्य 1 । अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 y -(-8 + 7 y )।

समाधान। 1. कोष्ठक से पहले एक "+" चिह्न है, इसलिए, कोष्ठक खोलते समय, सभी शब्दों के संकेत संरक्षित होते हैं:

4x + (-7x + 5) \u003d 4x - 7x + 5 \u003d -3x + 5.

2. कोष्ठक के सामने एक "-" चिह्न है, इसलिए, कोष्ठक के उद्घाटन के दौरान: सभी शब्दों के संकेत उलट जाते हैं:

15 - (- 8 + 7y) \u003d 15y + 8 - 7y \u003d 8y +8।

कोष्ठक खोलने के लिए गुणन के वितरण गुण का उपयोग करें: a(बी + सी) = एबी + एसी यदि a > 0, तो पदों के चिह्नबी और साथ नहीं बदलते। यदि एक< 0, то знаки слагаемых बी और से उलट जाते हैं।

कार्य 2. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

1) 2(6y -8) + 7y;

2) -5 (2-5x) + 12.

समाधान। 1. कोष्ठक e के सामने गुणनखंड 2 धनात्मक है, इसलिए कोष्ठक खोलते समय हम सभी पदों के चिह्न रखते हैं: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16।

2. कोष्ठक के सामने कारक -5 नकारात्मक है, इसलिए, कोष्ठक खोलते समय, हम सभी पदों के संकेतों को विपरीत में बदलते हैं:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x।

और अधिक जानकारी प्राप्त करें

1. शब्द "योग" लैटिन शब्द से आया हैसुम्मा , जिसका अर्थ है "कुल", "कुल"।

2. "प्लस" शब्द लैटिन भाषा से आया हैप्लस, जिसका अर्थ है "अधिक", और शब्द "माइनस" - लैटिन सेघटा, जिसका अर्थ है "कम"। जोड़ और घटाव के संचालन को इंगित करने के लिए "+" और "-" संकेतों का उपयोग किया जाता है। इन संकेतों को चेक वैज्ञानिक जे। विडमैन ने 1489 में "सभी व्यापारियों के लिए एक त्वरित और सुखद खाता" पुस्तक में पेश किया था।(चित्र। 138)।

चावल। 138

मुख्य बातें याद रखें

1. किन शब्दों को समान कहा जाता है? समान पदों का निर्माण कैसे किया जाता है?

2. आप "+" चिह्न से पहले कोष्ठक कैसे खोलते हैं?

3. आप "-" चिह्न से पहले कोष्ठक कैसे खोलते हैं?

4. आप उन कोष्ठकों को कैसे खोलते हैं जिनके आगे धनात्मक गुणनखंड है?

5. आप उन कोष्ठकों को कैसे खोलते हैं जिनके आगे ऋणात्मक गुणनखंड है?

1374"। व्यंजक के गुणांक का नाम बताइए:

1) 12 ए; 3) -5.6 xy;

2)4 6; 4)-एस.

1375"। उन शब्दों को नाम दें जो केवल गुणांक से भिन्न होते हैं:

1) 10ए + 76-26 + ए; 3) 5n + 5m -4n + 4;

2) बीसी -4 डी - बीसी + 4 डी; 4) 5x + 4y-x + y।

इन शर्तों को क्या कहा जाता है?

1376"। क्या व्यंजक में समान पद हैं:

1) 11ए + 10ए; 3)6n + 15n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4)12 मी + मी; 6) 8k +10k - n?

1377"। क्या अभिव्यक्ति में कोष्ठक खोलकर, कोष्ठक में पदों के संकेतों को बदलना आवश्यक है:

1)4 + (ए + 3बी); 2)-सी +(5-डी); 3) 16-(5मी-8एन)?

1378°. व्यंजक को सरल कीजिए और गुणांक को रेखांकित कीजिए:

1379°. व्यंजक को सरल कीजिए और गुणांक को रेखांकित कीजिए:

1380°. समान शब्दों को कम करें:

1) 4ए - पो + 6ए - 2ए; 4) 10 - 4डी - 12 + 4 डी;

2) 4बी - 5बी + 4 + 5बी; 5) 5ए - 12बी - 7ए + 5बी;

3)-7ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 एन - 12 मीटर -4 एन -3 मीटर।

1381°. समान शब्दों को कम करें:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9 बी +12-8-46; 4) -7n + 8m - 13n - 3m।

1382°. कोष्ठक में से उभयनिष्ठ गुणनखंड को निकालिए:

1) 1.2 ए +1.2 बी; 3) -3 एन - 1.8 मीटर; 5) -5p + 2.5k -0.5t;

2) 0.5 एस + 5 डी; 4) 1.2 एन - 1.8 मीटर; 6) -8p - 10k - 6t।

1383°. कोष्ठक में से उभयनिष्ठ गुणनखंड को निकालिए:

1) 6ए-12बी; 3) -1.8 एन -3.6 मीटर;

2) -0.2 एस + 1 4 डी; ए) 3p - 0.9k + 2.7t।

1384°. कोष्ठक खोलें और समान पदों को कम करें;

1) 5 + (4ए -4); 4) -(5 सी - डी) + (4 डी + 5 सी);

2) 17x- (4x-5); 5) (एन - एम) - (-2 मीटर - 3 एन);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y)।

1385°. कोष्ठक खोलें और समान पदों को कम करें:

1) 10ए + (4 - 4ए); 3) (एस - 5डी) - (- डी + 5 एस);

2) -(46-10) + (4-56); 4) - (5 n + m) + (-4 n + 8 m) - (2 m -5 n)।

1386°. कोष्ठक का विस्तार करें और अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. कोष्ठक का विस्तार करें और अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. कोष्ठक खोलें:

1) 0.5 (ए + 4); 4) (एन - एम) (-2.4 पी);

2)-एस (2.7-1.2 डी .) ); 5) 3 (-1.5 पी + के - 0.2 .)टी);

3) 1.6 (2n + m); 6) (4.2 पी - 3.5 के -6 टी) (-2 ए)।

1389°. कोष्ठक खोलें:

1) 2.2 (एक्स-4); 3)(4 सी - डी)∙(-0.5 वाई);

2) -2 (1.2 एन - एम); 4) 6- (-पी + 0.3 के - 1.2 टी)।

1390. व्यंजक को सरल कीजिए:

1391. व्यंजक को सरल कीजिए:

1392. समान पदों को कम करें:

1393. समान शब्दों को कम करें:

1394. व्यंजक को सरल कीजिए:

1) 2.8 - (0.5 ए + 4) - 2.5 (2ए - 6);

2) -12 (8 - 2, by) + 4.5 (-6 y - 3.2);

4) (-12.8 मीटर + 24.8 एन) ∙ (-0.5)-(3.5 मीटर -4.05 मीटर) ∙ 2.

1395. व्यंजक को सरल कीजिए:

1396. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें;

1) 4-(0.2 ए-3) - (5.8 ए-16), अगर ए \u003d -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), अगर = -0.8;

एम = 0.25, एन = 5.7।

1397. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

1) -4∙ (i-2) + 2∙ (6x - 1), यदि x = -0.25;

1398*. समाधान में त्रुटि का पता लगाएं:

1) 5- (ए-2.4) -7 (-ए + 1.2) \u003d 5 ए - 12-7 ए + 8.4 \u003d -2 ए-3.6;

2) -4 (2.3 ए - 6) + 4.2 (-6 - 3.5 ए) \u003d -9.2 ए + 46 + 4.26 - 14.7 ए \u003d -5.5 ए + 8.26।

1399*. कोष्ठक का विस्तार करें और अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

1) 2ab - 3(6(4ए - 1) - 6(6 - 10ए)) + 76;

1400*. सही समानता प्राप्त करने के लिए कोष्ठक व्यवस्थित करें:

1) ए-6-ए + 6 \u003d 2 ए; 2) ए -2 बी -2 ए + बी \u003d 3 ए -3 बी।

1401*. सिद्ध कीजिए कि किसी भी संख्या a और . के लिएबी अगर ए> बी , तो निम्नलिखित समानता रखती है:

1) (ए + बी) + (ए-बी) \u003d 2 ए; 2) (ए + बी) - (ए - बी) \u003d 2 बी।

क्या यह समानता सही होगी यदि: a) a< बी; बी) ए = 6?

1402*. सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृत संख्या a के लिए पूर्ववर्ती और निम्नलिखित संख्याओं का समांतर माध्य a के बराबर होता है।

व्यवहार में लागू करें

1403. तीन लोगों के लिए एक फल मिठाई तैयार करने के लिए, आपको चाहिए: 2 सेब, 1 संतरा, 2 केले और 1 कीवी। मेहमानों के लिए मिठाई तैयार करने के लिए आवश्यक फल की मात्रा निर्धारित करने के लिए शाब्दिक अभिव्यक्ति कैसे करें? मारिन को यह गणना करने में मदद करें कि अगर वह मिलने आती है तो उसे कितने फल खरीदने होंगे: 1) 5 दोस्त; 2) 8 दोस्त।

1404. गणित में होमवर्क पूरा करने के लिए आवश्यक समय निर्धारित करने के लिए एक शाब्दिक अभिव्यक्ति करें, यदि:

1) समस्याओं को हल करने में एक मिनट का समय लगा; 2) अभिव्यक्तियों का सरलीकरण समस्याओं को हल करने की तुलना में 2 गुना अधिक है। यदि वासिल्को ने 15 मिनट समस्याओं को हल करने में लगाया तो उसने अपना गृहकार्य कितना समय किया?

1405. स्कूल की कैंटीन में दोपहर के भोजन में सलाद, बोर्स्ट, गोभी के रोल और कॉम्पोट होते हैं। सलाद की लागत 20%, बोर्स्ट - 30%, गोभी के रोल - 45%, कॉम्पोट - पूरे भोजन की कुल लागत का 5% है। स्कूल कैफेटेरिया में दोपहर के भोजन का खर्च ज्ञात करने के लिए एक व्यंजक लिखिए। यदि सलाद की कीमत 2 UAH है तो दोपहर के भोजन की लागत कितनी है?

दोहराव कार्य

1406. समीकरण को हल करें:

1407. तान्या ने आइसक्रीम पर खर्च कियासभी उपलब्ध धन, और मिठाई के लिए -बाकी। तान्या के पास कितने पैसे हैं?

अगर मिठाई की कीमत 12 UAH है?

बीजगणित में जिन विभिन्न व्यंजकों पर विचार किया जाता है, उनमें एकपदी के योग महत्वपूर्ण स्थान रखते हैं। यहां ऐसे भावों के उदाहरण दिए गए हैं:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

एकपदी के योग को बहुपद कहते हैं। बहुपद के पद बहुपद के सदस्य कहलाते हैं। एकपदी को बहुपद के रूप में भी संदर्भित किया जाता है, एक मोनोमियल को एक सदस्य से मिलकर बहुपद के रूप में माना जाता है।

उदाहरण के लिए, बहुपद
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
सरलीकृत किया जा सकता है।

हम सभी पदों को मानक रूप के एकपदी के रूप में निरूपित करते हैं:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

हम परिणामी बहुपद में समान पद देते हैं:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
परिणाम एक बहुपद है, जिसके सभी सदस्य मानक रूप के एकपदी हैं, और उनमें से कोई भी समान नहीं है। ऐसे बहुपद कहलाते हैं मानक रूप के बहुपद.

पीछे बहुपद डिग्रीमानक रूप अपने सदस्यों की शक्तियों का सबसे बड़ा हिस्सा लेते हैं। तो, द्विपद \(12a^2b - 7b \) में तीसरी डिग्री है, और ट्रिनोमियल \(2b^2 -7b + 6 \) के पास दूसरा है।

आमतौर पर, एक चर वाले बहुपद के मानक रूप के सदस्यों को इसके घातांक के अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। उदाहरण के लिए:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

कई बहुपदों के योग को एक मानक रूप बहुपद में परिवर्तित (सरलीकृत) किया जा सकता है।

कभी-कभी बहुपद के सदस्यों को समूहों में विभाजित करने की आवश्यकता होती है, प्रत्येक समूह को कोष्ठक में संलग्न करते हैं। चूंकि कोष्ठक कोष्ठक के विपरीत हैं, इसलिए इसे बनाना आसान है कोष्ठक खोलने के नियम:

यदि कोष्ठक के आगे + चिन्ह रखा जाता है, तो कोष्ठक में संलग्न पदों को समान चिन्हों के साथ लिखा जाता है।

यदि कोष्ठक के सामने "-" का चिन्ह रखा जाता है, तो कोष्ठक में संलग्न पदों को विपरीत चिन्हों के साथ लिखा जाता है।

एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल का रूपांतरण (सरलीकरण)

गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके, एक एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल को एक बहुपद में परिवर्तित (सरलीकृत) किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

एकपदी और एक बहुपद का गुणनफल समान रूप से इस एकपदी के गुणनफल और बहुपद के प्रत्येक पद के योग के बराबर होता है।

यह परिणाम आमतौर पर एक नियम के रूप में तैयार किया जाता है।

एक एकपदी को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, इस एकपदी को बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना चाहिए।

हमने इस नियम का बार-बार योग से गुणा करने के लिए उपयोग किया है।

बहुपदों का गुणनफल। दो बहुपदों के गुणनफल का परिवर्तन (सरलीकरण)

सामान्य तौर पर, दो बहुपदों का गुणनफल एक बहुपद के प्रत्येक पद और दूसरे के प्रत्येक पद के गुणनफल के योग के बराबर होता है।

आमतौर पर निम्नलिखित नियम का उपयोग करें।

एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, आपको एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पादों को जोड़ना होगा।

संक्षिप्त गुणन सूत्र। योग, अंतर और अंतर वर्ग

बीजगणितीय परिवर्तनों में कुछ अभिव्यक्तियों को दूसरों की तुलना में अधिक बार व्यवहार करना पड़ता है। शायद सबसे आम भाव हैं \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) और \(a^2 - b^2 \), यानी योग का वर्ग, अंतर का वर्ग, और वर्ग अंतर। आपने देखा कि संकेतित व्यंजकों के नाम अधूरे प्रतीत होते हैं, इसलिए, उदाहरण के लिए, \((a + b)^2 \) निश्चित रूप से योग का वर्ग नहीं है, बल्कि योग के योग का वर्ग है। ए और बी। हालाँकि, a और b के योग का वर्ग इतना सामान्य नहीं है, एक नियम के रूप में, a और b अक्षरों के बजाय, इसमें विभिन्न, कभी-कभी काफी जटिल भाव होते हैं।

व्यंजक \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) मानक रूप के बहुपदों में परिवर्तित (सरलीकृत) करना आसान है, वास्तव में, बहुपदों को गुणा करते समय आप पहले ही इस तरह के कार्य से मिल चुके हैं :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

परिणामी सर्वसमिकाएँ मध्यवर्ती गणनाओं के बिना याद रखने और लागू करने के लिए उपयोगी होती हैं। लघु मौखिक सूत्रीकरण इसमें मदद करते हैं।

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - योग का वर्ग वर्गों और दोहरे गुणनफल के योग के बराबर होता है।

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - अंतर का वर्ग गुणन को दोगुना किए बिना वर्गों का योग है।

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - वर्गों का अंतर अंतर और योग के गुणनफल के बराबर है।

ये तीन पहचान परिवर्तनों में अपने बाएं भागों को दाएं से और इसके विपरीत - बाएं भागों के साथ दाएं भागों को बदलने की अनुमति देती हैं। इस मामले में सबसे कठिन बात यह है कि संबंधित अभिव्यक्तियों को देखें और समझें कि उनमें कौन से चर a और b बदले गए हैं। आइए संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करने के कुछ उदाहरण देखें।

एक तरह के कुछ बीजीय उदाहरण स्कूली बच्चों को डराने में सक्षम हैं। लंबी अभिव्यक्ति न केवल डराती है, बल्कि गणना करना भी बहुत मुश्किल है। आगे क्या होता है और क्या होता है, इसे तुरंत समझने की कोशिश करना, लंबे समय तक भ्रमित न होना। यही कारण है कि गणितज्ञ हमेशा "भयानक" कार्य को यथासंभव सरल बनाने का प्रयास करते हैं और उसके बाद ही इसे हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं। अजीब तरह से, इस तरह की चाल प्रक्रिया को बहुत तेज करती है।

सरलीकरण बीजगणित के मूलभूत बिंदुओं में से एक है। यदि सरल कार्यों में इसके बिना करना अभी भी संभव है, तो उदाहरणों की गणना करना अधिक कठिन हो सकता है "बहुत कठिन"। यह वह जगह है जहाँ ये कौशल काम आते हैं! इसके अलावा, जटिल गणितीय ज्ञान की आवश्यकता नहीं है: यह केवल कुछ बुनियादी तकनीकों और सूत्रों को याद रखने और अभ्यास में लाने के लिए सीखने के लिए पर्याप्त होगा।

गणना की जटिलता के बावजूद, किसी भी अभिव्यक्ति को हल करते समय, यह महत्वपूर्ण है संख्याओं के साथ संचालन के क्रम का पालन करें:

1. कोष्ठक;
2. घातांक;
3. गुणन;
4. विभाजन;
5. योग;
6. घटाव

अंतिम दो बिंदुओं को सुरक्षित रूप से बदला जा सकता है और यह किसी भी तरह से परिणाम को प्रभावित नहीं करेगा। लेकिन दो पड़ोसी संख्याओं को जोड़ना, जब उनमें से एक के आगे एक गुणन चिह्न होता है, बिल्कुल असंभव है! उत्तर, यदि कोई हो, गलत है। इसलिए, आपको अनुक्रम याद रखने की आवश्यकता है।

ऐसे का उपयोग

ऐसे तत्वों में एक ही क्रम या समान डिग्री के चर के साथ संख्याएं शामिल होती हैं। तथाकथित मुक्त सदस्य भी हैं जिनके पास अज्ञात का पत्र पदनाम नहीं है।

लब्बोलुआब यह है कि कोष्ठक के अभाव में आप जैसे . को जोड़कर या घटाकर व्यंजक को सरल बना सकते हैं.

कुछ उदाहरण उदाहरण:

• 8x 2 और 3x 2 - दोनों संख्याओं के दूसरे क्रम के चर समान हैं, इसलिए वे समान हैं और जब जोड़ा जाता है, तो वे सरल हो जाते हैं (8+3)x 2 =11x 2, जबकि घटाए जाने पर, यह निकलता है (8-3) एक्स 2 = 5x 2;
• 4x 3 और 6x - और यहाँ "x" की एक अलग डिग्री है;
• 2y 7 और 33x 7 - में अलग-अलग चर होते हैं, इसलिए, जैसा कि पिछले मामले में है, वे समान चर से संबंधित नहीं हैं।

एक संख्या फैक्टरिंग

यह छोटी सी गणितीय तरकीब, यदि आप इसका सही तरीके से उपयोग करना सीखते हैं, तो आपको भविष्य में एक से अधिक बार एक कठिन समस्या से निपटने में मदद मिलेगी। और यह समझना आसान है कि "सिस्टम" कैसे काम करता है: एक अपघटन कई तत्वों का एक उत्पाद है, जिसकी गणना मूल मूल्य देती है. इस प्रकार, 20 को 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2, या किसी अन्य तरीके से दर्शाया जा सकता है।

एक नोट पर: गुणक हमेशा भाजक के समान होते हैं। तो आपको उन संख्याओं के बीच विस्तार के लिए एक कार्यशील "जोड़ी" की तलाश करने की आवश्यकता है जिससे मूल शेष के बिना विभाज्य हो।

आप इस तरह के ऑपरेशन को मुक्त सदस्यों के साथ और एक चर से जुड़े अंकों के साथ कर सकते हैं। मुख्य बात यह है कि गणना के दौरान उत्तरार्द्ध को खोना नहीं है - यहां तक ​​​​कि अपघटन के बाद, अज्ञात नहीं ले सकता और "कहीं नहीं जाना।" यह कारकों में से एक पर रहता है:

• 15x=3(5x);
• 60y 2 \u003d (15y 2) 4.

अभाज्य संख्याएँ जिन्हें केवल स्वयं से विभाजित किया जा सकता है या 1 कभी भी कारक नहीं है - इसका कोई मतलब नहीं है।.

बुनियादी सरलीकरण के तरीके

पहली चीज जो आंख को पकड़ती है:

• कोष्ठक की उपस्थिति;
• भिन्न;
• जड़ें

स्कूली पाठ्यक्रम में बीजीय उदाहरणों को अक्सर इस धारणा के साथ संकलित किया जाता है कि उन्हें खूबसूरती से सरल बनाया जा सकता है।

ब्रैकेट गणना

कोष्ठक के सामने चिन्ह पर पूरा ध्यान दें!गुणन या विभाजन प्रत्येक तत्व के अंदर लागू होता है, और ऋण - मौजूदा "+" या "-" संकेतों को उलट देता है।

कोष्ठक की गणना नियमों के अनुसार या संक्षिप्त गुणन के सूत्रों के अनुसार की जाती है, जिसके बाद समान दिए जाते हैं।

अंश में कमी

भिन्नों को कम करेंआसान भी है। वे खुद कभी-कभी "स्वेच्छा से भाग जाते हैं", ऐसे सदस्यों को लाने के साथ संचालन करने लायक है। लेकिन आप इससे पहले भी उदाहरण को सरल बना सकते हैं: अंश और हर पर ध्यान दें. उनमें अक्सर स्पष्ट या छिपे हुए तत्व होते हैं जिन्हें पारस्परिक रूप से कम किया जा सकता है। सच है, अगर पहले मामले में आपको केवल अनावश्यक को हटाने की जरूरत है, तो दूसरे में आपको सरलीकरण के लिए अभिव्यक्ति का हिस्सा लाने के बारे में सोचना होगा। उपयोग की जाने वाली विधियाँ:

• अंश और हर के सबसे बड़े सामान्य भाजक की खोज और ब्रैकेटिंग;
• प्रत्येक शीर्ष तत्व को हर से विभाजित करना।

जब कोई व्यंजक या उसका भाग जड़ के नीचे हो, प्राथमिक सरलीकरण समस्या लगभग वैसी ही है जैसी भिन्नों के मामले में होती है। इससे पूरी तरह से छुटकारा पाने के तरीकों की तलाश करना आवश्यक है, या यदि यह संभव नहीं है, तो गणना में हस्तक्षेप करने वाले संकेत को कम करने के लिए। उदाहरण के लिए, विनीत √(3) या √(7) के लिए।

कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को सरल बनाने का एक निश्चित तरीका यह है कि इसे अलग करने का प्रयास किया जाए, जिनमें से कुछ संकेत के बाहर हैं। एक उदाहरण उदाहरण: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10)।

अन्य छोटी-छोटी तरकीबें और बारीकियाँ:

• यह सरलीकरण ऑपरेशन अंशों के साथ किया जा सकता है, इसे एक पूरे के रूप में और अलग-अलग अंश या हर के रूप में संकेत से निकालकर किया जा सकता है;
• योग या अंतर के एक हिस्से को जड़ से परे तोड़ना और निकालना असंभव है;
• चर के साथ काम करते समय, इसकी डिग्री को ध्यान में रखना सुनिश्चित करें, यह प्रतिपादन की संभावना के लिए रूट के बराबर या एक से अधिक होना चाहिए: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= (x 2 ×x)=x√( x);
• कभी-कभी इसे एक भिन्नात्मक शक्ति तक बढ़ाकर कट्टरपंथी चर से छुटकारा पाने की अनुमति दी जाती है: (y 3)=y 3/2।

शक्ति अभिव्यक्ति सरलीकरण

यदि माइनस या प्लस द्वारा सरल गणना के मामले में, समान लोगों को लाकर उदाहरणों को सरल बनाया जाता है, तो विभिन्न शक्तियों के साथ चर को गुणा या विभाजित करते समय क्या होगा? दो मुख्य बिंदुओं को याद करके उन्हें आसानी से सरल बनाया जा सकता है:

1. यदि चरों के बीच गुणन चिह्न है, तो घातांक जोड़े जाते हैं।
2. जब उन्हें एक दूसरे से विभाजित किया जाता है, तो अंश की घात से समान हर घटाया जाता है।

इस तरह के सरलीकरण के लिए एकमात्र शर्त यह है कि दोनों शब्दों का एक ही आधार हो। स्पष्टता के उदाहरण:

• 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

हम ध्यान दें कि चर के सामने संख्यात्मक मानों के साथ संचालन सामान्य गणितीय नियमों के अनुसार होता है। और यदि आप बारीकी से देखते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि "काम" अभिव्यक्ति के शक्ति तत्व समान हैं:

• किसी सदस्य को किसी शक्ति में बढ़ाने का अर्थ है उसे एक निश्चित संख्या से गुणा करना, अर्थात x 2 \u003d x × x;
• विभाजन समान है: यदि आप अंश और हर की डिग्री का विस्तार करते हैं, तो कुछ चर कम हो जाएंगे, जबकि बाकी "इकट्ठे" हो जाएंगे, जो घटाव के बराबर है।

जैसा कि किसी भी व्यवसाय में होता है, बीजीय व्यंजकों को सरल करते समय, न केवल मूल बातों का ज्ञान आवश्यक होता है, बल्कि अभ्यास भी होता है। कुछ पाठों के बाद, उदाहरण जो कभी जटिल लगते थे, बिना किसी कठिनाई के कम हो जाएंगे, छोटे और आसानी से हल किए गए उदाहरणों में बदल जाएंगे।

वीडियो

यह वीडियो आपको यह समझने और याद रखने में मदद करेगा कि भावों को कैसे सरल बनाया जाता है।

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आइए अभिव्यक्तियों को शक्तियों के साथ बदलने के विषय पर विचार करें, लेकिन पहले हम ऐसे कई परिवर्तनों पर ध्यान देंगे, जिन्हें किसी भी अभिव्यक्ति के साथ किया जा सकता है, जिसमें शक्ति वाले भी शामिल हैं। हम सीखेंगे कि कोष्ठक कैसे खोलें, समान पद दें, आधार और घातांक के साथ कार्य करें, अंशों के गुणों का उपयोग करें।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

पावर एक्सप्रेशन क्या हैं?

स्कूल के पाठ्यक्रम में, कुछ लोग "शक्ति अभिव्यक्ति" वाक्यांश का उपयोग करते हैं, लेकिन यह शब्द लगातार परीक्षा की तैयारी के लिए संग्रह में पाया जाता है। ज्यादातर मामलों में, वाक्यांश उन अभिव्यक्तियों को दर्शाता है जिनमें उनकी प्रविष्टियों में डिग्री होती है। यही हम अपनी परिभाषा में प्रतिबिंबित करेंगे।

परिभाषा 1

शक्ति अभिव्यक्तिएक अभिव्यक्ति है जिसमें डिग्री होती है।

हम शक्ति अभिव्यक्तियों के कई उदाहरण देते हैं, एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक डिग्री से शुरू होकर एक वास्तविक घातांक के साथ एक डिग्री के साथ समाप्त होता है।

सरलतम घात व्यंजकों को प्राकृतिक घातांक वाली किसी संख्या की घात माना जा सकता है: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 - a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 । साथ ही शून्य घातांक वाली घातें: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 । और ऋणात्मक पूर्णांक घातों वाली घातें: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 ।

उस डिग्री के साथ काम करना थोड़ा अधिक कठिन है जिसमें तर्कसंगत और तर्कहीन घातांक हों: 264 1 4 - 3 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x · x 1 - , 2 3 3 + 5 .

सूचक एक चर 3 x - 54 - 7 3 x - 58 या एक लघुगणक हो सकता है एक्स 2 एल जी एक्स - 5 एक्स एल जी एक्स.

हमने इस प्रश्न पर विचार किया है कि शक्ति के भाव क्या होते हैं। आइए अब उनके परिवर्तन पर एक नजर डालते हैं।

शक्ति अभिव्यक्तियों के मुख्य प्रकार के परिवर्तन

सबसे पहले, हम भावों के मूल पहचान परिवर्तनों पर विचार करेंगे जिन्हें शक्ति अभिव्यक्तियों के साथ किया जा सकता है।

उदाहरण 1

पावर एक्सप्रेशन वैल्यू की गणना करें 2 3 (4 2 - 12).

फेसला

हम क्रियाओं के क्रम के अनुपालन में सभी परिवर्तन करेंगे। इस मामले में, हम कोष्ठक में क्रियाओं को निष्पादित करके शुरू करेंगे: हम डिग्री को एक डिजिटल मान से बदल देंगे और दो संख्याओं के बीच के अंतर की गणना करेंगे। हमारे पास है 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

डिग्री को बदलना हमारे लिए बाकी है 2 3 इसका अर्थ 8 और उत्पाद की गणना करें 8 4 = 32. ये रहा हमारा जवाब।

जवाब: 2 3 (4 2 - 12) = 32।

उदाहरण 2

शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 3 ए 4 बी - 7 - 1 + 2 ए 4 बी - 7.

फेसला

समस्या की स्थिति में हमें दी गई अभिव्यक्ति में समान शब्द हैं, जिन्हें हम ला सकते हैं: 3 ए 4 बी - 7 - 1 + 2 ए 4 बी - 7 = 5 ए 4 बी - 7 - 1.

जवाब: 3 ए 4 बी - 7 - 1 + 2 ए 4 बी - 7 = 5 ए 4 बी - 7 - 1।

उदाहरण 3

एक गुणनफल के रूप में 9 - b 3 · - 1 2 की घातों वाला व्यंजक व्यक्त कीजिए।

फेसला

आइए संख्या 9 को एक शक्ति के रूप में प्रस्तुत करें 3 2 और संक्षिप्त गुणन सूत्र लागू करें:

9 - बी 3 - 1 2 = 3 2 - बी 3 π - 1 2 = = 3 - बी 3 π - 1 3 + बी 3 π - 1

जवाब: 9 - बी 3 - 1 2 = 3 - बी 3 π - 1 3 + बी 3 π - 1।

और अब आइए समान परिवर्तनों के विश्लेषण पर चलते हैं जिन्हें विशेष रूप से शक्ति अभिव्यक्तियों पर लागू किया जा सकता है।

आधार और घातांक के साथ कार्य करना

आधार या घातांक में डिग्री में संख्याएं, चर और कुछ भाव हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7और . ऐसे रिकॉर्ड के साथ काम करना मुश्किल है। डिग्री के आधार पर व्यंजक या घातांक में व्यंजक को समान रूप से समान व्यंजक से प्रतिस्थापित करना बहुत आसान है।

डिग्री और संकेतक के परिवर्तन हमें एक दूसरे से अलग-अलग ज्ञात नियमों के अनुसार किए जाते हैं। सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, एक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है जो मूल के समान होती है।

परिवर्तन का उद्देश्य मूल अभिव्यक्ति को सरल बनाना या समस्या का समाधान प्राप्त करना है। उदाहरण के लिए, हमने ऊपर दिए गए उदाहरण में, (2 + 0 , 3 7) 5 - 3 , 7 डिग्री तक जाने के लिए आप ऑपरेशन कर सकते हैं 4 , 1 1 , 3 . कोष्ठकों को खोलकर, हम घात के आधार में समान पद ला सकते हैं (ए (ए + 1) - ए 2) 2 (एक्स + 1)और एक सरल रूप की शक्ति अभिव्यक्ति प्राप्त करें ए 2 (एक्स + 1).

शक्ति गुणों का उपयोग करना

डिग्री के गुण, समानता के रूप में लिखे गए, अभिव्यक्ति को डिग्री के साथ बदलने के मुख्य उपकरणों में से एक हैं। हम यहां मुख्य प्रस्तुत करते हैं, इस पर विचार करते हुए एऔर बीकोई धनात्मक संख्या है, और आरऔर एस- मनमाना वास्तविक संख्या:

परिभाषा 2

• ए आर ए एस = ए आर + एस;
• ए आर: ए एस = ए आर - एस;
• (ए बी) आर = ए आर बी आर;
• (ए: बी) आर = ए आर: बी आर;
• (ए आर) एस = ए आर एस।

ऐसे मामलों में जहां हम प्राकृतिक, पूर्णांक, सकारात्मक घातांक के साथ काम कर रहे हैं, संख्या a और b पर प्रतिबंध बहुत कम कड़े हो सकते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि हम समानता पर विचार करें ए एम ए एन = ए एम + एन, कहाँ पे एमऔर एनप्राकृतिक संख्याएं हैं, तो यह सकारात्मक और नकारात्मक दोनों के साथ-साथ के लिए किसी भी मान के लिए सही होगा ए = 0.

आप बिना किसी प्रतिबंध के डिग्री के गुणों को उन मामलों में लागू कर सकते हैं जहां डिग्री के आधार सकारात्मक होते हैं या ऐसे चर होते हैं जिनके स्वीकार्य मूल्यों की सीमा ऐसी होती है कि आधार केवल सकारात्मक मान लेते हैं। वास्तव में, गणित में स्कूली पाठ्यक्रम के ढांचे के भीतर, छात्र का कार्य उपयुक्त संपत्ति का चयन करना और उसे सही ढंग से लागू करना है।

विश्वविद्यालयों में प्रवेश की तैयारी करते समय, ऐसे कार्य हो सकते हैं जिनमें संपत्तियों के गलत आवेदन से ODZ का संकुचन और समाधान के साथ अन्य कठिनाइयाँ होंगी। इस खंड में, हम ऐसे केवल दो मामलों पर विचार करेंगे। विषय पर अधिक जानकारी "घातांक गुणों का उपयोग करके अभिव्यक्ति को बदलना" विषय में पाई जा सकती है।

उदाहरण 4

अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व करें ए 2, 5 (ए 2) - 3: ए - 5, 5आधार के साथ डिग्री के रूप में ए.

फेसला

आरंभ करने के लिए, हम घातांक गुण का उपयोग करते हैं और इसका उपयोग करके दूसरे कारक को रूपांतरित करते हैं (ए 2) - 3. फिर हम एक ही आधार के साथ गुणा और शक्तियों के विभाजन के गुणों का उपयोग करते हैं:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3, 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 - (− 5 , 5 ) = एक 2।

जवाब: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 ।

डिग्री के गुण के अनुसार शक्ति अभिव्यक्तियों का परिवर्तन बाएँ से दाएँ और विपरीत दिशा दोनों में किया जा सकता है।

उदाहरण 5

घात व्यंजक 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 का मान ज्ञात कीजिए।

फेसला

अगर हम समानता लागू करते हैं (ए बी) आर = ए आर बी आर, दाएं से बाएं, तब हमें 3 7 1 3 21 2 3 और फिर 21 1 3 21 2 3 के रूप का गुणनफल प्राप्त होता है। आइए समान आधारों के साथ शक्तियों को गुणा करते समय घातांक जोड़ें: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21।

परिवर्तन करने का एक और तरीका है:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

जवाब: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

उदाहरण 6

एक शक्ति अभिव्यक्ति दी गई ए 1 , 5 - ए 0 , 5 − 6, एक नया चर दर्ज करें टी = एक 0 , 5.

फेसला

डिग्री की कल्पना करो एक 1, 5जैसा ए 0, 5 3. डिग्री संपत्ति का एक डिग्री में उपयोग करना (ए आर) एस = एक आर एसदाएं से बाएं और प्राप्त करें (a 0 , 5) 3: a 1, 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6। परिणामी अभिव्यक्ति में, आप आसानी से एक नया चर पेश कर सकते हैं टी = एक 0 , 5: पाना टी 3 - टी - 6.

जवाब:टी 3 - टी - 6।

घातांक वाले भिन्नों को परिवर्तित करना

हम आम तौर पर भिन्नों के साथ घात व्यंजकों के दो प्रकारों के साथ व्यवहार करते हैं: व्यंजक एक अंश के साथ एक अंश होता है या इसमें ऐसा अंश होता है। सभी बुनियादी अंश परिवर्तन बिना किसी प्रतिबंध के ऐसे भावों पर लागू होते हैं। उन्हें कम किया जा सकता है, एक नए हर में लाया जा सकता है, अंश और हर के साथ अलग-अलग काम किया जा सकता है। आइए इसे उदाहरणों के साथ स्पष्ट करते हैं।

उदाहरण 7

घात व्यंजक 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 को सरल कीजिए।

फेसला

हम एक भिन्न के साथ काम कर रहे हैं, इसलिए हम अंश और हर दोनों में परिवर्तन करेंगे:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - एक्स 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

हर के चिह्न को बदलने के लिए भिन्न के सामने एक माइनस रखें: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

जवाब: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

परिमेय भिन्नों की तरह ही घातों वाले भिन्नों को एक नए हर में घटाया जाता है। ऐसा करने के लिए, आपको एक अतिरिक्त कारक खोजने और इसके द्वारा अंश के अंश और हर को गुणा करने की आवश्यकता है। एक अतिरिक्त कारक का चयन इस तरह से करना आवश्यक है कि यह मूल अभिव्यक्ति के लिए ODZ चर से चर के किसी भी मान के लिए गायब न हो।

उदाहरण 8

भिन्नों को एक नए हर में लाएँ: a) a + 1 a 0, 7 हर के लिए ए, बी) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 हर x + 8 y 1 2 से।

फेसला

ए) हम एक कारक चुनते हैं जो हमें एक नए भाजक को कम करने की अनुमति देगा। ए 0, 7 ए 0, 3 = ए 0, 7 + 0, 3 = ए,इसलिए, एक अतिरिक्त कारक के रूप में, हम लेते हैं ए 0, 3. चर के स्वीकार्य मूल्यों की श्रेणी में सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का सेट शामिल है। इस क्षेत्र में डिग्री ए 0, 3शून्य पर नहीं जाता।

आइए एक भिन्न के अंश और हर को से गुणा करें ए 0, 3:

ए + 1 ए 0, 7 = ए + 1 ए 0, 3 ए 0, 7 ए 0, 3 = ए + 1 ए 0, 3 ए

बी) भाजक पर ध्यान दें:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

इस व्यंजक को x 1 3 + 2 · y 1 6 से गुणा करने पर हमें घनों x 1 3 और 2 · y 1 6 का योग प्राप्त होता है, अर्थात्। एक्स + 8 · वाई 1 2। यह हमारा नया हर है, जिसमें हमें मूल भिन्न लाने की आवश्यकता है।

तो हमें एक अतिरिक्त गुणनखंड x 1 3 + 2 · y 1 6 मिला। चर के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा पर एक्सऔर आपव्यंजक x 1 3 + 2 y 1 6 लुप्त नहीं होता है, इसलिए हम भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा कर सकते हैं:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

जवाब:ए) ए + 1 ए 0, 7 = ए + 1 ए 0, 3 ए, बी) 1 एक्स 2 3 - 2 एक्स 1 3 वाई 1 6 + 4 वाई 1 3 = एक्स 1 3 + 2 वाई 1 6 एक्स + 8 वाई 1 2।

उदाहरण 9

भिन्न कम करें: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - बी 1 4 ए 1 2 - बी 1 2.

फेसला

क) सबसे बड़े सामान्य हर (जीसीडी) का प्रयोग करें जिससे अंश और हर को कम किया जा सके। संख्या 30 और 45 के लिए, यह 15 है। हम भी कम कर सकते हैं एक्स 0 , 5 + 1और x + 2 x 1 1 3 - 5 3 पर।

हम पाते हैं:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

बी) यहां समान कारकों की उपस्थिति स्पष्ट नहीं है। अंश और हर में समान गुणनखंड प्राप्त करने के लिए आपको कुछ परिवर्तन करने होंगे। ऐसा करने के लिए, हम वर्ग सूत्र के अंतर का उपयोग करके हर का विस्तार करते हैं:

ए 1 4 - बी 1 4 ए 1 2 - बी 1 2 = ए 1 4 - बी 1 4 ए 1 4 2 - बी 1 2 2 = = ए 1 4 - बी 1 4 ए 1 4 + बी 1 4 ए 1 4 - बी 1 4 = 1 ए 1 4 + बी 1 4

जवाब:क) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0, 5 + 1), बी) ए 1 4 - बी 1 4 ए 1 2 - बी 1 2 = 1 ए 1 4 + बी 1 4।

भिन्नों के साथ मुख्य संचालन में एक नए हर में कमी और भिन्नों की कमी शामिल है। दोनों क्रियाएं कई नियमों के अनुपालन में की जाती हैं। अंशों को जोड़ते और घटाते समय, अंशों को पहले एक सामान्य हर में घटाया जाता है, जिसके बाद अंशों के साथ क्रियाएं (जोड़ या घटाव) की जाती हैं। भाजक वही रहता है। हमारे कार्यों का परिणाम एक नया अंश है, जिसका अंश अंशों का गुणनफल है, और हर भाजक का गुणनफल है।

उदाहरण 10

चरण x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 करें।

फेसला

आइए उन भिन्नों को घटाकर प्रारंभ करें जो कोष्ठकों में हैं। आइए उन्हें एक सामान्य भाजक के पास लाते हैं:

एक्स 1 2 - 1 एक्स 1 2 + 1

आइए अंशों को घटाएं:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

अब हम भिन्नों को गुणा करते हैं:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

आइए एक डिग्री कम करें एक्स 1 2, हमें 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 प्राप्त होता है।

इसके अतिरिक्त, आप वर्गों के अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करके हर में घात व्यंजक को सरल बना सकते हैं: वर्ग: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1।

जवाब: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

उदाहरण 11

घात व्यंजक x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 को सरल कीजिए।
फेसला

हम भिन्न को द्वारा कम कर सकते हैं (एक्स 2, 7 + 1) 2. हमें भिन्न x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1 प्राप्त होता है।

आइए x घातों x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 का रूपांतरण जारी रखें। अब आप समान आधारों के साथ शक्ति विभाजन गुण का उपयोग कर सकते हैं: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1।

हम अंतिम उत्पाद से भिन्न x 1 3 8 x 2, 7 + 1 तक जाते हैं।

जवाब: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 ।

ज्यादातर मामलों में, ऋणात्मक घातांक वाले गुणकों को अंश से हर में स्थानांतरित करना अधिक सुविधाजनक होता है और इसके विपरीत घातांक के चिह्न को बदलकर। यह क्रिया आगे के निर्णय को सरल बनाती है। आइए एक उदाहरण दें: घात व्यंजक (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 को x 3 · (x + 1) 0 , 2 से बदला जा सकता है।

भावों को जड़ों और शक्तियों के साथ परिवर्तित करना

कार्यों में, शक्ति अभिव्यक्तियाँ होती हैं जिनमें न केवल भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री होती हैं, बल्कि जड़ें भी होती हैं। ऐसी अभिव्यक्तियों को केवल जड़ों तक या केवल शक्तियों तक सीमित करना वांछनीय है। डिग्री के लिए संक्रमण बेहतर है, क्योंकि उनके साथ काम करना आसान है। ऐसा संक्रमण विशेष रूप से फायदेमंद होता है जब मूल अभिव्यक्ति के लिए चर के डीपीवी आपको मॉड्यूलस तक पहुंचने या डीपीवी को कई अंतरालों में विभाजित किए बिना जड़ों को शक्तियों से बदलने की अनुमति देता है।

उदाहरण 12

व्यंजक x 1 9 x x 3 6 को घात के रूप में व्यक्त कीजिए।

फेसला

एक चर की मान्य सीमा एक्सदो असमानताओं द्वारा निर्धारित किया जाता है एक्स 0और x · x 3 ≥ 0 , जो समुच्चय को परिभाषित करते हैं [ 0 , + ∞) .

इस सेट पर, हमें जड़ों से शक्तियों की ओर बढ़ने का अधिकार है:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

डिग्री के गुणों का उपयोग करके, हम परिणामी शक्ति अभिव्यक्ति को सरल बनाते हैं।

x 1 9 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

जवाब: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 ।

घातांक में चर के साथ शक्तियों को परिवर्तित करना

यदि आप डिग्री के गुणों का सही ढंग से उपयोग करते हैं तो ये परिवर्तन करना काफी सरल है। उदाहरण के लिए, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

हम डिग्री के उत्पाद को प्रतिस्थापित कर सकते हैं, जिसके संदर्भ में कुछ चर और एक संख्या का योग पाया जाता है। बाईं ओर, यह व्यंजक के बाईं ओर पहले और अंतिम शब्दों के साथ किया जा सकता है:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0 , 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0।

आइए अब समीकरण के दोनों पक्षों को से भाग दें 7 2 एक्स. चर x के ODZ पर यह व्यंजक केवल धनात्मक मान लेता है:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

आइए भिन्नों को घातों से कम करें, हमें मिलता है: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0।

अंत में, समान घातांक वाली घातों के अनुपात को अनुपातों की घातों से बदल दिया जाता है, जो समीकरण 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 की ओर ले जाता है, जो कि 5 5 7 x 2 - 3 5 7 के बराबर है। एक्स - 2 = 0।

हम एक नया चर t = 5 7 x पेश करते हैं, जो मूल घातांकीय समीकरण के हल को द्विघात समीकरण 5 · t 2 - 3 · t - 2 = 0 के हल में घटा देता है।

शक्तियों और लघुगणक के साथ भाव परिवर्तित करना

समस्याओं में घात और लघुगणक वाले व्यंजक भी पाए जाते हैं। ऐसे व्यंजकों के उदाहरण हैं: 1 4 1 - 5 लघुगणक 2 3 या लघुगणक 3 27 9 + 5 (1 - लघुगणक 3 5) लघुगणक 5 3 । उपरोक्त दृष्टिकोणों और लघुगणक के गुणों का उपयोग करके ऐसे भावों का परिवर्तन किया जाता है, जिसका हमने "लॉगरिदमिक अभिव्यक्तियों का परिवर्तन" विषय में विस्तार से विश्लेषण किया है।

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