त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका
टिप्पणी. त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन मानों की यह तालिका वर्गमूल को दर्शाने के लिए √ चिह्न का उपयोग करती है। भिन्न को इंगित करने के लिए, प्रतीक "/" का उपयोग करें।
यह सभी देखेंउपयोगी सामग्री:
के लिए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का मान निर्धारित करना, इसे त्रिकोणमितीय फलन को दर्शाने वाली रेखा के प्रतिच्छेदन पर खोजें। उदाहरण के लिए, साइन 30 डिग्री - हम शीर्षक साइन (साइन) के साथ कॉलम की तलाश करते हैं और पंक्ति "30 डिग्री" के साथ इस तालिका कॉलम के चौराहे को ढूंढते हैं, उनके चौराहे पर हम परिणाम पढ़ते हैं - एक आधा। इसी प्रकार हम पाते हैं कोज्या 60डिग्री, साइन 60डिग्री (एक बार फिर, पाप स्तंभ और 60 डिग्री रेखा के प्रतिच्छेदन पर हम मान पाप 60 = √3/2 पाते हैं), आदि। अन्य "लोकप्रिय" कोणों की ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा का मान उसी तरह पाया जाता है।
साइन पाई, कोसाइन पाई, स्पर्शज्या पाई और रेडियन में अन्य कोण
कोज्या, ज्या और स्पर्शरेखा की नीचे दी गई तालिका त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात करने के लिए भी उपयुक्त है जिसका तर्क है रेडियन में दिया गया है. ऐसा करने के लिए, कोण मानों के दूसरे कॉलम का उपयोग करें। इसके लिए धन्यवाद, आप लोकप्रिय कोणों के मान को डिग्री से रेडियन में बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, आइए पहली पंक्ति में 60 डिग्री का कोण ज्ञात करें और उसके नीचे रेडियन में इसका मान पढ़ें। 60 डिग्री π/3 रेडियन के बराबर है।
संख्या पाई स्पष्ट रूप से कोण की डिग्री माप पर परिधि की निर्भरता को व्यक्त करती है। इस प्रकार, पाई रेडियन 180 डिग्री के बराबर हैं।
पाई (रेडियन) के रूप में व्यक्त किसी भी संख्या को पाई (π) को 180 से प्रतिस्थापित करके आसानी से डिग्री में परिवर्तित किया जा सकता है.
उदाहरण:
1. साइन पाई.
पाप π = पाप 180 = 0
इस प्रकार, पाई की ज्या 180 डिग्री की ज्या के समान है और यह शून्य के बराबर है।
2. कोसाइन पाई.
कॉस π = कॉस 180 = -1
इस प्रकार, पाई की कोज्या 180 डिग्री की कोज्या के समान है और यह शून्य से एक के बराबर है।
3. स्पर्शरेखा पाई
टीजी π = टीजी 180 = 0
इस प्रकार, स्पर्शरेखा पाई 180 डिग्री की स्पर्शरेखा के समान है और यह शून्य के बराबर है।
0 - 360 डिग्री के कोणों के लिए ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा मानों की तालिका (सामान्य मान)
कोण α मान (डिग्री) |
कोण α मान (पीआई के माध्यम से) |
पाप (साइनस) |
ओल (कोसाइन) |
टीजी (स्पर्शरेखा) |
सीटीजी (कोटैंजेन्ट) |
सेकंड (सेकेंड) |
कोसेक (कोसेकेंट) |
0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
यदि त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका में फ़ंक्शन मान (स्पर्शरेखा (टीजी) 90 डिग्री, कोटैंजेंट (सीटीजी) 180 डिग्री) के बजाय एक डैश इंगित किया गया है, तो कोण की डिग्री माप के दिए गए मान के लिए फ़ंक्शन कोई विशिष्ट मूल्य नहीं है. यदि कोई डैश नहीं है, तो सेल खाली है, जिसका अर्थ है कि हमने अभी तक आवश्यक मान दर्ज नहीं किया है। हम इस बात में रुचि रखते हैं कि उपयोगकर्ता हमारे पास किन प्रश्नों के लिए आते हैं और तालिका को नए मूल्यों के साथ पूरक करते हैं, इस तथ्य के बावजूद कि सबसे सामान्य कोण मूल्यों के कोसाइन, साइन और स्पर्शरेखा के मूल्यों पर वर्तमान डेटा अधिकांश को हल करने के लिए काफी पर्याप्त है। समस्या।
सबसे लोकप्रिय कोणों के लिए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन पाप, कॉस, टीजी के मूल्यों की तालिका
0, 15, 30, 45, 60, 90 ...360 डिग्री
(संख्यात्मक मान "ब्रैडिस तालिकाओं के अनुसार")
कोण α मान (डिग्री) | रेडियन में कोण α मान | पाप (साइन) | कॉस (कोसाइन) | टीजी (स्पर्शरेखा) | सीटीजी (कोटेंजेंट) |
---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | ||||
15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
45 |
0,7071 |
||||
0,7660 |
|||||
60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
7π/18 |
साइन (पाप), कोसाइन (कॉस), स्पर्शरेखा (टीजी), कोटैंजेंट (सीटीजी) के मूल्यों की तालिकाएँ एक शक्तिशाली और उपयोगी उपकरण हैं जो सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों तरह की कई समस्याओं को हल करने में मदद करती हैं। इस लेख में हम 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 डिग्री (0, π 6, π 3, π) के कोणों के लिए बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों (साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट) की एक तालिका प्रदान करेंगे। 2,... , 2 π रेडियन). साइन और कोसाइन, टैंगेंट और कोटैंजेंट के लिए अलग-अलग ब्रैडिस टेबल भी दिखाए जाएंगे, जिसमें यह बताया जाएगा कि बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को खोजने के लिए उनका उपयोग कैसे किया जाए।
कोण 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 डिग्री के लिए बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की तालिका
साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाओं के आधार पर, आप 0 और 90 डिग्री के कोणों के लिए इन कार्यों के मान पा सकते हैं
पाप 0 = 0, क्योंकि 0 = 1, टी जी 0 = 0, शून्य कोटैंजेंट परिभाषित नहीं है,
पाप 90° = 1, क्योंकि 90° = 0, सी टी जी 90° = 0, नब्बे डिग्री की स्पर्शरेखा परिभाषित नहीं है।
ज्यामिति पाठ्यक्रम में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान को एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसके कोण 30, 60 और 90 डिग्री और 45, 45 और 90 डिग्री भी हैं।
एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित करना
साइनस- कर्ण के विपरीत भुजा का अनुपात।
कोज्या- आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात।
स्पर्शरेखा- विपरीत भुजा का आसन्न भुजा से अनुपात।
कोटैंजेंट- आसन्न भुजा का विपरीत भुजा से अनुपात।
परिभाषाओं के अनुसार, कार्यों के मान पाए जाते हैं:
पाप 30 ° = 1 2, कॉस 30 ° = 3 2, टीजी 30 ° = 3 3, सी टीजी 30 ° = 3, पाप 45 ° = 2 2, कॉस 45 ° = 2 2, टीजी 45 डिग्री = 1, सी टीजी 45 डिग्री = 1, पाप 60° = 3 2, क्योंकि 45° = 1 2, tg 45° = 3, c tg 45° = 3 3।
आइए इन मानों को एक तालिका में रखें और इसे साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल मूल्यों की एक तालिका कहें।
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 |
पाप α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
क्योंकि α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 |
टी जी α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | अपरिभाषित |
सी टी जी α | अपरिभाषित | 3 | 1 | 3 3 | 0 |
α, r a d i a n | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2 |
त्रिकोणमितीय फलनों का एक महत्वपूर्ण गुण आवधिकता है। इस गुण के आधार पर, इस तालिका को कमी सूत्रों का उपयोग करके विस्तारित किया जा सकता है। नीचे हम कोण 0, 30, 60, ..., 120, 135, 150, 180, ..., 360 डिग्री (0, π 6, π 3) के लिए मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों के मानों की एक विस्तारित तालिका प्रस्तुत करते हैं। , π 2, ... , 2 π रेडियन)।
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 135 | 150 | 180 | 210 | 225 | 240 | 270 | 300 | 315 | 330 | 360 |
पाप α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 |
क्योंकि α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
टी जी α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 1 | - 3 3 | 0 | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 3 | - 1 | 0 | |
सी टी जी α | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - |
α, r a d i a n | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2 | 2 π 3 | 3 π 4 | 5 π 6 | π | 7 π 6 | 5 π 4 | 4 π 3 | 3 π 2 | 5 π 3 | 7 π 4 | 11 π 6 | 2π |
साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की आवधिकता आपको इस तालिका को मनमाने ढंग से बड़े कोण मानों तक विस्तारित करने की अनुमति देती है। तालिका में एकत्रित मानों का उपयोग समस्याओं को हल करते समय सबसे अधिक बार किया जाता है, इसलिए उन्हें याद रखने की अनुशंसा की जाती है।
त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल मानों की तालिका का उपयोग कैसे करें
साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मानों की तालिका का उपयोग करने का सिद्धांत सहज स्तर पर स्पष्ट है। एक पंक्ति और एक स्तंभ का प्रतिच्छेदन एक विशेष कोण के लिए फ़ंक्शन का मान देता है।
उदाहरण। साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की तालिका का उपयोग कैसे करें
हमें यह पता लगाना होगा कि पाप 7 π 6 किसके बराबर है
हमें तालिका में एक कॉलम मिलता है जिसका अंतिम सेल मान 7 π 6 रेडियन है - 210 डिग्री के बराबर। फिर हम तालिका के उस पद का चयन करते हैं जिसमें ज्या का मान प्रस्तुत किया जाता है। पंक्ति और स्तंभ के प्रतिच्छेदन पर हमें वांछित मान मिलता है:
पाप 7 π 6 = - 1 2
ब्रैडिस टेबल
ब्रैडिस तालिका आपको कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के उपयोग के बिना 4 दशमलव स्थानों की सटीकता के साथ साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा या कोटैंजेंट के मान की गणना करने की अनुमति देती है। यह इंजीनियरिंग कैलकुलेटर का एक प्रकार का प्रतिस्थापन है।
संदर्भ
व्लादिमीर मोडेस्टोविच ब्रैडिस (1890 - 1975) - सोवियत गणितज्ञ-शिक्षक, 1954 से यूएसएसआर के शैक्षणिक विज्ञान अकादमी के संबंधित सदस्य। ब्रैडिस द्वारा विकसित चार अंकों के लघुगणक और प्राकृतिक त्रिकोणमितीय मात्राओं की तालिकाएँ पहली बार 1921 में प्रकाशित हुईं।
सबसे पहले, हम साइन और कोसाइन के लिए ब्रैडिस तालिका प्रस्तुत करते हैं। यह आपको डिग्री और मिनटों की पूर्णांक संख्या वाले कोणों के लिए इन कार्यों के अनुमानित मूल्यों की काफी सटीक गणना करने की अनुमति देता है। तालिका का सबसे बायां कॉलम डिग्री का प्रतिनिधित्व करता है, और शीर्ष पंक्ति मिनटों का प्रतिनिधित्व करती है। ध्यान दें कि ब्रैडिस तालिका के सभी कोण मान छह मिनट के गुणज हैं।
साइन और कोसाइन के लिए ब्रैडिस तालिका
पाप | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | ओल | 1" | 2" | 3" |
0.0000 | 90° | ||||||||||||||
0° | 0.0000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0366 | 0384 | 0401 | 0419 | 0436 | 0454 | 0471 | 0488 | 0506 | 0523 | 87° | 3 | 6 | 9 |
3° | 0523 | 0541 | 0558 | 0576 | 0593 | 0610 | 0628 | 0645 | 0663 | 0680 | 0698 | 86° | 3 | 6 | 9 |
4° | 0698 | 0715 | 0732 | 0750 | 0767 | 0785 | 0802 | 0819 | 0837 | 0854 | 0.0872 | 85° | 3 | 6 | 9 |
5° | 0.0872 | 0889 | 0906 | 0924 | 0941 | 0958 | 0976 | 0993 | 1011 | 1028 | 1045 | 84° | 3 | 6 | 9 |
6° | 1045 | 1063 | 1080 | 1097 | 1115 | 1132 | 1149 | 1167 | 1184 | 1201 | 1219 | 83° | 3 | 6 | 9 |
7° | 1219 | 1236 | 1253 | 1271 | 1288 | 1305 | 1323 | 1340 | 1357 | 1374 | 1392 | 82° | 3 | 6 | 9 |
8° | 1392 | 1409 | 1426 | 1444 | 1461 | 1478 | 1495 | 1513 | 1530 | 1547 | 1564 | 81° | 3 | 6 | 9 |
9° | 1564 | 1582 | 1599 | 1616 | 1633 | 1650 | 1668 | 1685 | 1702 | 1719 | 0.1736 | 80° | 3 | 6 | 9 |
10° | 0.1736 | 1754 | 1771 | 1788 | 1805 | 1822 | 1840 | 1857 | 1874 | 1891 | 1908 | 79° | 3 | 6 | 9 |
11° | 1908 | 1925 | 1942 | 1959 | 1977 | 1994 | 2011 | 2028 | 2045 | 2062 | 2079 | 78° | 3 | 6 | 9 |
12° | 2079 | 2096 | 2113 | 2130 | 2147 | 2164 | 2181 | 2198 | 2215 | 2233 | 2250 | 77° | 3 | 6 | 9 |
13° | 2250 | 2267 | 2284 | 2300 | 2317 | 2334 | 2351 | 2368 | 2385 | 2402 | 2419 | 76° | 3 | 6 | 8 |
14° | 2419 | 2436 | 2453 | 2470 | 2487 | 2504 | 2521 | 2538 | 2554 | 2571 | 0.2588 | 75° | 3 | 6 | 8 |
15° | 0.2588 | 2605 | 2622 | 2639 | 2656 | 2672 | 2689 | 2706 | 2723 | 2740 | 2756 | 74° | 3 | 6 | 8 |
16° | 2756 | 2773 | 2790 | 2807 | 2823 | 2840 | 2857 | 2874 | 2890 | 2907 | 2924 | 73° | 3 | 6 | 8 |
17° | 2924 | 2940 | 2957 | 2974 | 2990 | 3007 | 3024 | 3040 | 3057 | 3074 | 3090 | 72° | 3 | 6 | 8 |
18° | 3090 | 3107 | 3123 | 3140 | 3156 | 3173 | 3190 | 3206 | 3223 | 3239 | 3256 | 71° | 3 | 6 | 8 |
19° | 3256 | 3272 | 3289 | 3305 | 3322 | 3338 | 3355 | 3371 | 3387 | 3404 | 0.3420 | 70° | 3 | 5 | 8 |
20° | 0.3420 | 3437 | 3453 | 3469 | 3486 | 3502 | 3518 | 3535 | 3551 | 3567 | 3584 | 69° | 3 | 5 | 8 |
21° | 3584 | 3600 | 3616 | 3633 | 3649 | 3665 | 3681 | 3697 | 3714 | 3730 | 3746 | 68° | 3 | 5 | 8 |
22° | 3746 | 3762 | 3778 | 3795 | 3811 | 3827 | 3843 | 3859 | 3875 | 3891 | 3907 | 67° | 3 | 5 | 8 |
23° | 3907 | 3923 | 3939 | 3955 | 3971 | 3987 | 4003 | 4019 | 4035 | 4051 | 4067 | 66° | 3 | 5 | 8 |
24° | 4067 | 4083 | 4099 | 4115 | 4131 | 4147 | 4163 | 4179 | 4195 | 4210 | 0.4226 | 65° | 3 | 5 | 8 |
25° | 0.4226 | 4242 | 4258 | 4274 | 4289 | 4305 | 4321 | 4337 | 4352 | 4368 | 4384 | 64° | 3 | 5 | 8 |
26° | 4384 | 4399 | 4415 | 4431 | 4446 | 4462 | 4478 | 4493 | 4509 | 4524 | 4540 | 63° | 3 | 5 | 8 |
27° | 4540 | 4555 | 4571 | 4586 | 4602 | 4617 | 4633 | 4648 | 4664 | 4679 | 4695 | 62° | 3 | 5 | 8 |
28° | 4695 | 4710 | 4726 | 4741 | 4756 | 4772 | 4787 | 4802 | 4818 | 4833 | 4848 | 61° | 3 | 5 | 8 |
29° | 4848 | 4863 | 4879 | 4894 | 4909 | 4924 | 4939 | 4955 | 4970 | 4985 | 0.5000 | 60° | 3 | 5 | 8 |
30° | 0.5000 | 5015 | 5030 | 5045 | 5060 | 5075 | 5090 | 5105 | 5120 | 5135 | 5150 | 59° | 3 | 5 | 8 |
31° | 5150 | 5165 | 5180 | 5195 | 5210 | 5225 | 5240 | 5255 | 5270 | 5284 | 5299 | 58° | 2 | 5 | 7 |
32° | 5299 | 5314 | 5329 | 5344 | 5358 | 5373 | 5388 | 5402 | 5417 | 5432 | 5446 | 57° | 2 | 5 | 7 |
33° | 5446 | 5461 | 5476 | 5490 | 5505 | 5519 | 5534 | 5548 | 5563 | 5577 | 5592 | 56° | 2 | 5 | 7 |
34° | 5592 | 5606 | 5621 | 5635 | 5650 | 5664 | 5678 | 5693 | 5707 | 5721 | 0.5736 | 55° | 2 | 5 | 7 |
35° | 0.5736 | 5750 | 5764 | 5779 | 5793 | 5807 | 5821 | 5835 | 5850 | 5864 | 0.5878 | 54° | 2 | 5 | 7 |
36° | 5878 | 5892 | 5906 | 5920 | 5934 | 5948 | 5962 | 5976 | 5990 | 6004 | 6018 | 53° | 2 | 5 | 7 |
37° | 6018 | 6032 | 6046 | 6060 | 6074 | 6088 | 6101 | 6115 | 6129 | 6143 | 6157 | 52° | 2 | 5 | 7 |
38° | 6157 | 6170 | 6184 | 6198 | 6211 | 6225 | 6239 | 6252 | 6266 | 6280 | 6293 | 51° | 2 | 5 | 7 |
39° | 6293 | 6307 | 6320 | 6334 | 6347 | 6361 | 6374 | 6388 | 6401 | 6414 | 0.6428 | 50° | 2 | 4 | 7 |
40° | 0.6428 | 6441 | 6455 | 6468 | 6481 | 6494 | 6508 | 6521 | 6534 | 6547 | 6561 | 49° | 2 | 4 | 7 |
41° | 6561 | 6574 | 6587 | 6600 | 6613 | 6626 | 6639 | 6652 | 6665 | 6678 | 6691 | 48° | 2 | 4 | 7 |
42° | 6691 | 6704 | 6717 | 6730 | 6743 | 6756 | 6769 | 6782 | 6794 | 6807 | 6820 | 47° | 2 | 4 | 6 |
43° | 6820 | 6833 | 6845 | 6858 | 6871 | 6884 | 6896 | 8909 | 6921 | 6934 | 6947 | 46° | 2 | 4 | 6 |
44° | 6947 | 6959 | 6972 | 6984 | 6997 | 7009 | 7022 | 7034 | 7046 | 7059 | 0.7071 | 45° | 2 | 4 | 6 |
45° | 0.7071 | 7083 | 7096 | 7108 | 7120 | 7133 | 7145 | 7157 | 7169 | 7181 | 7193 | 44° | 2 | 4 | 6 |
46° | 7193 | 7206 | 7218 | 7230 | 7242 | 7254 | 7266 | 7278 | 7290 | 7302 | 7314 | 43° | 2 | 4 | 6 |
47° | 7314 | 7325 | 7337 | 7349 | 7361 | 7373 | 7385 | 7396 | 7408 | 7420 | 7431 | 42° | 2 | 4 | 6 |
48° | 7431 | 7443 | 7455 | 7466 | 7478 | 7490 | 7501 | 7513 | 7524 | 7536 | 7547 | 41° | 2 | 4 | 6 |
49° | 7547 | 7559 | 7570 | 7581 | 7593 | 7604 | 7615 | 7627 | 7638 | 7649 | 0.7660 | 40° | 2 | 4 | 6 |
50° | 0.7660 | 7672 | 7683 | 7694 | 7705 | 7716 | 7727 | 7738 | 7749 | 7760 | 7771 | 39° | 2 | 4 | 6 |
51° | 7771 | 7782 | 7793 | 7804 | 7815 | 7826 | 7837 | 7848 | 7859 | 7869 | 7880 | 38° | 2 | 4 | 5 |
52° | 7880 | 7891 | 7902 | 7912 | 7923 | 7934 | 7944 | 7955 | 7965 | 7976 | 7986 | 37° | 2 | 4 | 5 |
53° | 7986 | 7997 | 8007 | 8018 | 8028 | 8039 | 8049 | 8059 | 8070 | 8080 | 8090 | 36° | 2 | 3 | 5 |
54° | 8090 | 8100 | 8111 | 8121 | 8131 | 8141 | 8151 | 8161 | 8171 | 8181 | 0.8192 | 35° | 2 | 3 | 5 |
55° | 0.8192 | 8202 | 8211 | 8221 | 8231 | 8241 | 8251 | 8261 | 8271 | 8281 | 8290 | 34° | 2 | 3 | 5 |
56° | 8290 | 8300 | 8310 | 8320 | 8329 | 8339 | 8348 | 8358 | 8368 | 8377 | 8387 | 33° | 2 | 3 | 5 |
57° | 8387 | 8396 | 8406 | 8415 | 8425 | 8434 | 8443 | 8453 | 8462 | 8471 | 8480 | 32° | 2 | 3 | 5 |
58° | 8480 | 8490 | 8499 | 8508 | 8517 | 8526 | 8536 | 8545 | 8554 | 8563 | 8572 | 31° | 2 | 3 | 5 |
59° | 8572 | 8581 | 8590 | 8599 | 8607 | 8616 | 8625 | 8634 | 8643 | 8652 | 0.8660 | 30° | 1 | 3 | 4 |
60° | 0.8660 | 8669 | 8678 | 8686 | 8695 | 8704 | 8712 | 8721 | 8729 | 8738 | 8746 | 29° | 1 | 3 | 4 |
61° | 8746 | 8755 | 8763 | 8771 | 8780 | 8788 | 8796 | 8805 | 8813 | 8821 | 8829 | 28° | 1 | 3 | 4 |
62° | 8829 | 8838 | 8846 | 8854 | 8862 | 8870 | 8878 | 8886 | 8894 | 8902 | 8910 | 27° | 1 | 3 | 4 |
63° | 8910 | 8918 | 8926 | 8934 | 8942 | 8949 | 8957 | 8965 | 8973 | 8980 | 8988 | 26° | 1 | 3 | 4 |
64° | 8988 | 8996 | 9003 | 9011 | 9018 | 9026 | 9033 | 9041 | 9048 | 9056 | 0.9063 | 25° | 1 | 3 | 4 |
65° | 0.9063 | 9070 | 9078 | 9085 | 9092 | 9100 | 9107 | 9114 | 9121 | 9128 | 9135 | 24° | 1 | 2 | 4 |
66° | 9135 | 9143 | 9150 | 9157 | 9164 | 9171 | 9178 | 9184 | 9191 | 9198 | 9205 | 23° | 1 | 2 | 3 |
67° | 9205 | 9212 | 9219 | 9225 | 9232 | 9239 | 9245 | 9252 | 9259 | 9256 | 9272 | 22° | 1 | 2 | 3 |
68° | 9272 | 9278 | 9285 | 9291 | 9298 | 9304 | 9311 | 9317 | 9323 | 9330 | 9336 | 21° | 1 | 2 | 3 |
69° | 9336 | 9342 | 9348 | 9354 | 9361 | 9367 | 9373 | 9379 | 9383 | 9391 | 0.9397 | 20° | 1 | 2 | 3 |
70° | 9397 | 9403 | 9409 | 9415 | 9421 | 9426 | 9432 | 9438 | 9444 | 9449 | 0.9455 | 19° | 1 | 2 | 3 |
71° | 9455 | 9461 | 9466 | 9472 | 9478 | 9483 | 9489 | 9494 | 9500 | 9505 | 9511 | 18° | 1 | 2 | 3 |
72° | 9511 | 9516 | 9521 | 9527 | 9532 | 9537 | 9542 | 9548 | 9553 | 9558 | 9563 | 17° | 1 | 2 | 3 |
73° | 9563 | 9568 | 9573 | 9578 | 9583 | 9588 | 9593 | 9598 | 9603 | 9608 | 9613 | 16° | 1 | 2 | 2 |
74° | 9613 | 9617 | 9622 | 9627 | 9632 | 9636 | 9641 | 9646 | 9650 | 9655 | 0.9659 | 15° | 1 | 2 | 2 |
75° | 9659 | 9664 | 9668 | 9673 | 9677 | 9681 | 9686 | 9690 | 9694 | 9699 | 9703 | 14° | 1 | 1 | 2 |
76° | 9703 | 9707 | 9711 | 9715 | 9720 | 9724 | 9728 | 9732 | 9736 | 9740 | 9744 | 13° | 1 | 1 | 2 |
77° | 9744 | 9748 | 9751 | 9755 | 9759 | 9763 | 9767 | 9770 | 9774 | 9778 | 9781 | 12° | 1 | 1 | 2 |
78° | 9781 | 9785 | 9789 | 9792 | 9796 | 9799 | 9803 | 9806 | 9810 | 9813 | 9816 | 11° | 1 | 1 | 2 |
79° | 9816 | 9820 | 9823 | 9826 | 9829 | 9833 | 9836 | 9839 | 9842 | 9845 | 0.9848 | 10° | 1 | 1 | 2 |
80° | 0.9848 | 9851 | 9854 | 9857 | 9860 | 9863 | 9866 | 9869 | 9871 | 9874 | 9877 | 9° | 0 | 1 | 1 |
81° | 9877 | 9880 | 9882 | 9885 | 9888 | 9890 | 9893 | 9895 | 9898 | 9900 | 9903 | 8° | 0 | 1 | 1 |
82° | 9903 | 9905 | 9907 | 9910 | 9912 | 9914 | 9917 | 9919 | 9921 | 9923 | 9925 | 7° | 0 | 1 | 1 |
83° | 9925 | 9928 | 9930 | 9932 | 9934 | 9936 | 9938 | 9940 | 9942 | 9943 | 9945 | 6° | 0 | 1 | 1 |
84° | 9945 | 9947 | 9949 | 9951 | 9952 | 9954 | 9956 | 9957 | 9959 | 9960 | 9962 | 5° | 0 | 1 | 1 |
85° | 9962 | 9963 | 9965 | 9966 | 9968 | 9969 | 9971 | 9972 | 9973 | 9974 | 9976 | 4° | 0 | 0 | 1 |
86° | 9976 | 9977 | 9978 | 9979 | 9980 | 9981 | 9982 | 9983 | 9984 | 9985 | 9986 | 3° | 0 | 0 | 0 |
87° | 9986 | 9987 | 9988 | 9989 | 9990 | 9990 | 9991 | 9992 | 9993 | 9993 | 9994 | 2° | 0 | 0 | 0 |
88° | 9994 | 9995 | 9995 | 9996 | 9996 | 9997 | 9997 | 9997 | 9998 | 9998 | 0.9998 | 1° | 0 | 0 | 0 |
89° | 9998 | 9999 | 9999 | 9999 | 9999 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 0° | 0 | 0 | 0 |
90° | 1.0000 | ||||||||||||||
पाप | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | ओल | 1" | 2" | 3" |
तालिका में प्रस्तुत न किए गए कोणों की ज्या और कोज्या का मान ज्ञात करने के लिए सुधारों का उपयोग करना आवश्यक है।
अब हम स्पर्शरेखाओं और कोटैंजेंटों के लिए ब्रैडिस तालिका प्रस्तुत करते हैं। इसमें 0 से 76 डिग्री तक के कोणों की स्पर्शरेखा और 14 से 90 डिग्री तक के कोणों की स्पर्शरेखा का मान होता है।
स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए ब्रैडिस तालिका
टीजी | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | सीटीजी | 1" | 2" | 3" |
0 | 90° | ||||||||||||||
0° | 0,000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0367 | 0384 | 0402 | 0419 | 0437 | 0454 | 0472 | 0489 | 0507 | 0524 | 87° | 3 | 6 | 9 |
3° | 0524 | 0542 | 0559 | 0577 | 0594 | 0612 | 0629 | 0647 | 0664 | 0682 | 0699 | 86° | 3 | 6 | 9 |
4° | 0699 | 0717 | 0734 | 0752 | 0769 | 0787 | 0805 | 0822 | 0840 | 0857 | 0,0875 | 85° | 3 | 6 | 9 |
5° | 0,0875 | 0892 | 0910 | 0928 | 0945 | 0963 | 0981 | 0998 | 1016 | 1033 | 1051 | 84° | 3 | 6 | 9 |
6° | 1051 | 1069 | 1086 | 1104 | 1122 | 1139 | 1157 | 1175 | 1192 | 1210 | 1228 | 83° | 3 | 6 | 9 |
7° | 1228 | 1246 | 1263 | 1281 | 1299 | 1317 | 1334 | 1352 | 1370 | 1388 | 1405 | 82° | 3 | 6 | 9 |
8° | 1405 | 1423 | 1441 | 1459 | 1477 | 1495 | 1512 | 1530 | 1548 | 1566 | 1584 | 81° | 3 | 6 | 9 |
9° | 1584 | 1602 | 1620 | 1638 | 1655 | 1673 | 1691 | 1709 | 1727 | 1745 | 0,1763 | 80° | 3 | 6 | 9 |
10° | 0,1763 | 1781 | 1799 | 1817 | 1835 | 1853 | 1871 | 1890 | 1908 | 1926 | 1944 | 79° | 3 | 6 | 9 |
11° | 1944 | 1962 | 1980 | 1998 | 2016 | 2035 | 2053 | 2071 | 2089 | 2107 | 2126 | 78° | 3 | 6 | 9 |
12° | 2126 | 2144 | 2162 | 2180 | 2199 | 2217 | 2235 | 2254 | 2272 | 2290 | 2309 | 77° | 3 | 6 | 9 |
13° | 2309 | 2327 | 2345 | 2364 | 2382 | 2401 | 2419 | 2438 | 2456 | 2475 | 2493 | 76° | 3 | 6 | 9 |
14° | 2493 | 2512 | 2530 | 2549 | 2568 | 2586 | 2605 | 2623 | 2642 | 2661 | 0,2679 | 75° | 3 | 6 | 9 |
15° | 0,2679 | 2698 | 2717 | 2736 | 2754 | 2773 | 2792 | 2811 | 2830 | 2849 | 2867 | 74° | 3 | 6 | 9 |
16° | 2867 | 2886 | 2905 | 2924 | 2943 | 2962 | 2981 | 3000 | 3019 | 3038 | 3057 | 73° | 3 | 6 | 9 |
17° | 3057 | 3076 | 3096 | 3115 | 3134 | 3153 | 3172 | 3191 | 3211 | 3230 | 3249 | 72° | 3 | 6 | 10 |
18° | 3249 | 3269 | 3288 | 3307 | 3327 | 3346 | 3365 | 3385 | 3404 | 3424 | 3443 | 71° | 3 | 6 | 10 |
19° | 3443 | 3463 | 3482 | 3502 | 3522 | 3541 | 3561 | 3581 | 3600 | 3620 | 0,3640 | 70° | 3 | 7 | 10 |
20° | 0,3640 | 3659 | 3679 | 3699 | 3719 | 3739 | 3759 | 3779 | 3799 | 3819 | 3839 | 69° | 3 | 7 | 10 |
21° | 3839 | 3859 | 3879 | 3899 | 3919 | 3939 | 3959 | 3979 | 4000 | 4020 | 4040 | 68° | 3 | 7 | 10 |
22° | 4040 | 4061 | 4081 | 4101 | 4122 | 4142 | 4163 | 4183 | 4204 | 4224 | 4245 | 67° | 3 | 7 | 10 |
23° | 4245 | 4265 | 4286 | 4307 | 4327 | 4348 | 4369 | 4390 | 4411 | 4431 | 4452 | 66° | 3 | 7 | 10 |
24° | 4452 | 4473 | 4494 | 4515 | 4536 | 4557 | 4578 | 4599 | 4621 | 4642 | 0,4663 | 65° | 4 | 7 | 11 |
25° | 0,4663 | 4684 | 4706 | 4727 | 4748 | 4770 | 4791 | 4813 | 4834 | 4856 | 4877 | 64° | 4 | 7 | 11 |
26° | 4877 | 4899 | 4921 | 4942 | 4964 | 4986 | 5008 | 5029 | 5051 | 5073 | 5095 | 63° | 4 | 7 | 11 |
27° | 5095 | 5117 | 5139 | 5161 | 5184 | 5206 | 5228 | 5250 | 5272 | 5295 | 5317 | 62° | 4 | 7 | 11 |
28° | 5317 | 5340 | 5362 | 5384 | 5407 | 5430 | 5452 | 5475 | 5498 | 5520 | 5543 | 61° | 4 | 8 | 11 |
29° | 5543 | 5566 | 5589 | 5612 | 5635 | 5658 | 5681 | 5704 | 5727 | 5750 | 0,5774 | 60° | 4 | 8 | 12 |
30° | 0,5774 | 5797 | 5820 | 5844 | 5867 | 5890 | 5914 | 5938 | 5961 | 5985 | 6009 | 59° | 4 | 8 | 12 |
31° | 6009 | 6032 | 6056 | 6080 | 6104 | 6128 | 6152 | 6176 | 6200 | 6224 | 6249 | 58° | 4 | 8 | 12 |
32° | 6249 | 6273 | 6297 | 6322 | 6346 | 6371 | 6395 | 6420 | 6445 | 6469 | 6494 | 57° | 4 | 8 | 12 |
33° | 6494 | 6519 | 6544 | 6569 | 6594 | 6619 | 6644 | 6669 | 6694 | 6720 | 6745 | 56° | 4 | 8 | 13 |
34° | 6745 | 6771 | 6796 | 6822 | 6847 | 6873 | 6899 | 6924 | 6950 | 6976 | 0,7002 | 55° | 4 | 9 | 13 |
35° | 0,7002 | 7028 | 7054 | 7080 | 7107 | 7133 | 7159 | 7186 | 7212 | 7239 | 7265 | 54° | 4 | 8 | 13 |
36° | 7265 | 7292 | 7319 | 7346 | 7373 | 7400 | 7427 | 7454 | 7481 | 7508 | 7536 | 53° | 5 | 9 | 14° |
37° | 7536 | 7563 | 7590 | 7618 | 7646 | 7673 | 7701 | 7729 | 7757 | 7785 | 7813 | 52° | 5 | 9 | 14 |
38° | 7813 | 7841 | 7869 | 7898 | 7926 | 7954 | 7983 | 8012 | 8040 | 8069 | 8098 | 51° | 5 | 9 | 14 |
39° | 8098 | 8127 | 8156 | 8185 | 8214 | 8243 | 8273 | 8302 | 8332 | 8361 | 0,8391 | 50° | 5 | 10 | 15 |
40° | 0,8391 | 8421 | 8451 | 8481 | 8511 | 8541 | 8571 | 8601 | 8632 | 8662 | 0,8693 | 49° | 5 | 10 | 15 |
41° | 8693 | 8724 | 8754 | 8785 | 8816 | 8847 | 8878 | 8910 | 8941 | 8972 | 9004 | 48° | 5 | 10 | 16 |
42° | 9004 | 9036 | 9067 | 9099 | 9131 | 9163 | 9195 | 9228 | 9260 | 9293 | 9325 | 47° | 6 | 11 | 16 |
43° | 9325 | 9358 | 9391 | 9424 | 9457 | 9490 | 9523 | 9556 | 9590 | 9623 | 0,9657 | 46° | 6 | 11 | 17 |
44° | 9657 | 9691 | 9725 | 9759 | 9793 | 9827 | 9861 | 9896 | 9930 | 9965 | 1,0000 | 45° | 6 | 11 | 17 |
45° | 1,0000 | 0035 | 0070 | 0105 | 0141 | 0176 | 0212 | 0247 | 0283 | 0319 | 0355 | 44° | 6 | 12 | 18 |
46° | 0355 | 0392 | 0428 | 0464 | 0501 | 0538 | 0575 | 0612 | 0649 | 0686 | 0724 | 43° | 6 | 12 | 18 |
47° | 0724 | 0761 | 0799 | 0837 | 0875 | 0913 | 0951 | 0990 | 1028 | 1067 | 1106 | 42° | 6 | 13 | 19 |
48° | 1106 | 1145 | 1184 | 1224 | 1263 | 1303 | 1343 | 1383 | 1423 | 1463 | 1504 | 41° | 7 | 13 | 20 |
49° | 1504 | 1544 | 1585 | 1626 | 1667 | 1708 | 1750 | 1792 | 1833 | 1875 | 1,1918 | 40° | 7 | 14 | 21 |
50° | 1,1918 | 1960 | 2002 | 2045 | 2088 | 2131 | 2174 | 2218 | 2261 | 2305 | 2349 | 39° | 7 | 14 | 22 |
51° | 2349 | 2393 | 2437 | 2482 | 2527 | 2572 | 2617 | 2662 | 2708 | 2753 | 2799 | 38° | 8 | 15 | 23 |
52° | 2799 | 2846 | 2892 | 2938 | 2985 | 3032 | 3079 | 3127 | 3175 | 3222 | 3270 | 37° | 8 | 16 | 24 |
53° | 3270 | 3319 | 3367 | 3416 | 3465 | 3514 | 3564 | 3613 | 3663 | 3713 | 3764 | 36° | 8 | 16 | 25 |
54° | 3764 | 3814 | 3865 | 3916 | 3968 | 4019 | 4071 | 4124 | 4176 | 4229 | 1,4281 | 35° | 9 | 17 | 26 |
55° | 1,4281 | 4335 | 4388 | 4442 | 4496 | 4550 | 4605 | 4659 | 4715 | 4770 | 4826 | 34° | 9 | 18 | 27 |
56° | 4826 | 4882 | 4938 | 4994 | 5051 | 5108 | 5166 | 5224 | 5282 | 5340 | 5399 | 33° | 10 | 19 | 29 |
57° | 5399 | 5458 | 5517 | 5577 | 5637 | 5697 | 5757 | 5818 | 5880 | 5941 | 6003 | 32° | 10 | 20 | 30 |
58° | 6003 | 6066 | 6128 | 6191 | 6255 | 6319 | 6383 | 6447 | 6512 | 6577 | 6643 | 31° | 11 | 21 | 32 |
59° | 6643 | 6709 | 6775 | 6842 | 6909 | 6977 | 7045 | 7113 | 7182 | 7251 | 1,7321 | 30° | 11 | 23 | 34 |
60° | 1,732 | 1,739 | 1,746 | 1,753 | 1,760 | 1,767 | 1,775 | 1,782 | 1,789 | 1,797 | 1,804 | 29° | 1 | 2 | 4 |
61° | 1,804 | 1,811 | 1,819 | 1,827 | 1,834 | 1,842 | 1,849 | 1,857 | 1,865 | 1,873 | 1,881 | 28° | 1 | 3 | 4 |
62° | 1,881 | 1,889 | 1,897 | 1,905 | 1,913 | 1,921 | 1,929 | 1,937 | 1,946 | 1,954 | 1,963 | 27° | 1 | 3 | 4 |
63° | 1,963 | 1,971 | 1,980 | 1,988 | 1,997 | 2,006 | 2,014 | 2,023 | 2,032 | 2,041 | 2,05 | 26° | 1 | 3 | 4 |
64° | 2,050 | 2,059 | 2,069 | 2,078 | 2,087 | 2,097 | 2,106 | 2,116 | 2,125 | 2,135 | 2,145 | 25° | 2 | 3 | 5 |
65° | 2,145 | 2,154 | 2,164 | 2,174 | 2,184 | 2,194 | 2,204 | 2,215 | 2,225 | 2,236 | 2,246 | 24° | 2 | 3 | 5 |
66° | 2,246 | 2,257 | 2,267 | 2,278 | 2,289 | 2,3 | 2,311 | 2,322 | 2,333 | 2,344 | 2,356 | 23° | 2 | 4 | 5 |
67° | 2,356 | 2,367 | 2,379 | 2,391 | 2,402 | 2,414 | 2,426 | 2,438 | 2,450 | 2,463 | 2,475 | 22° | 2 | 4 | 6 |
68° | 2,475 | 2,488 | 2,5 | 2,513 | 2,526 | 2,539 | 2,552 | 2,565 | 2,578 | 2,592 | 2,605 | 21° | 2 | 4 | 6 |
69° | 2,605 | 2,619 | 2,633 | 2,646 | 2,66 | 2,675 | 2,689 | 2,703 | 2,718 | 2,733 | 2,747 | 20° | 2 | 5 | 7 |
70° | 2,747 | 2,762 | 2,778 | 2,793 | 2,808 | 2,824 | 2,840 | 2,856 | 2,872 | 2,888 | 2,904 | 19° | 3 | 5 | 8 |
71° | 2,904 | 2,921 | 2,937 | 2,954 | 2,971 | 2,989 | 3,006 | 3,024 | 3,042 | 3,06 | 3,078 | 18° | 3 | 6 | 9 |
72° | 3,078 | 3,096 | 3,115 | 3,133 | 3,152 | 3,172 | 3,191 | 3,211 | 3,230 | 3,251 | 3,271 | 17° | 3 | 6 | 10 |
73° | 3,271 | 3,291 | 3,312 | 3,333 | 3,354 | 3,376 | 3 | 7 | 10 | ||||||
3,398 | 3,42 | 3,442 | 3,465 | 3,487 | 16° | 4 | 7 | 11 | |||||||
74° | 3,487 | 3,511 | 3,534 | 3,558 | 3,582 | 3,606 | 4 | 8 | 12 | ||||||
3,630 | 3,655 | 3,681 | 3,706 | 3,732 | 15° | 4 | 8 | 13 | |||||||
75° | 3,732 | 3,758 | 3,785 | 3,812 | 3,839 | 3,867 | 4 | 9 | 13 | ||||||
3,895 | 3,923 | 3,952 | 3,981 | 4,011 | 14° | 5 | 10 | 14 | |||||||
टीजी | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | सीटीजी | 1" | 2" | 3" |
ब्रैडिस टेबल का उपयोग कैसे करें
साइन और कोसाइन के लिए ब्रैडिस तालिका पर विचार करें। साइनस से जुड़ी हर चीज़ ऊपर और बाईं ओर है। यदि हमें कोसाइन की आवश्यकता है, तो तालिका के नीचे दाईं ओर देखें।
किसी कोण की ज्या का मान ज्ञात करने के लिए, आपको सबसे बाईं सेल में आवश्यक संख्या में डिग्री वाली पंक्ति का प्रतिच्छेदन और शीर्ष सेल में आवश्यक संख्या में मिनट वाले कॉलम का पता लगाना होगा।
यदि सटीक कोण मान ब्रैडिस तालिका में नहीं है, तो हम सुधार का सहारा लेते हैं। एक, दो और तीन मिनट के सुधार तालिका के सबसे दाएँ कॉलम में दिए गए हैं। किसी ऐसे कोण की ज्या का मान ज्ञात करने के लिए जो तालिका में नहीं है, हम उसके निकटतम मान ज्ञात करते हैं। इसके बाद हम कोणों के बीच के अंतर के अनुरूप सुधार जोड़ते या घटाते हैं।
यदि हम 90 डिग्री से अधिक के कोण की ज्या की तलाश कर रहे हैं, तो हमें पहले कमी सूत्रों का उपयोग करना होगा, और उसके बाद ही ब्रैडिस तालिका का उपयोग करना होगा।
उदाहरण। ब्रैडिस टेबल का उपयोग कैसे करें
मान लीजिए कि हमें 17°44'' कोण की ज्या ज्ञात करनी है। तालिका का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि 17°42'' की ज्या किसके बराबर है और इसके मान में दो मिनट का सुधार जोड़ें:
17°44" - 17°42" = 2" (आवश्यक सुधार) पाप 17°44" = 0। 3040 + 0 . 0006 = 0 . 3046
कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के साथ काम करने का सिद्धांत समान है। हालाँकि, संशोधनों के संकेत को याद रखना महत्वपूर्ण है।
महत्वपूर्ण!
ज्या के मानों की गणना करते समय, सुधार में एक सकारात्मक चिह्न होता है, और कोज्या की गणना करते समय, सुधार को एक नकारात्मक चिह्न के साथ लिया जाना चाहिए।
यदि आपको पाठ में कोई त्रुटि दिखाई देती है, तो कृपया उसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएँ
जैसा कि आप देख सकते हैं, इस वृत्त का निर्माण कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में किया गया है। वृत्त की त्रिज्या एक के बराबर है, जबकि वृत्त का केंद्र निर्देशांक के मूल पर स्थित है, त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ तय होती है (हमारे उदाहरण में, यह त्रिज्या है)।
वृत्त पर प्रत्येक बिंदु दो संख्याओं से मेल खाता है: अक्ष निर्देशांक और अक्ष निर्देशांक। ये निर्देशांक संख्याएँ क्या हैं? और सामान्य तौर पर, उनका मौजूदा विषय से क्या लेना-देना है? ऐसा करने के लिए, हमें सुविचारित समकोण त्रिभुज के बारे में याद रखना होगा। उपरोक्त चित्र में, आप दो पूर्ण समकोण त्रिभुज देख सकते हैं। एक त्रिभुज पर विचार करें. यह आयताकार है क्योंकि यह अक्ष के लंबवत है।
त्रिभुज किसके बराबर है? यह सही है। इसके अलावा, हम जानते हैं कि यह इकाई वृत्त की त्रिज्या है, जिसका अर्थ है। आइए इस मान को कोसाइन के हमारे सूत्र में प्रतिस्थापित करें। यहाँ क्या होता है:
त्रिभुज किसके बराबर है? बेशक, ! इस सूत्र में त्रिज्या मान रखें और प्राप्त करें:
तो, क्या आप बता सकते हैं कि वृत्त से संबंधित बिंदु के निर्देशांक क्या हैं? अच्छा, कोई रास्ता नहीं? क्या होगा यदि आपको इसका एहसास हो और आप केवल संख्याएँ हों? यह किस निर्देशांक से मेल खाता है? खैर, बेशक, निर्देशांक! और यह किस समन्वय से मेल खाता है? यह सही है, निर्देशांक! इस प्रकार, अवधि.
तो फिर क्या हैं और किसके बराबर हैं? यह सही है, आइए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की संगत परिभाषाओं का उपयोग करें और प्राप्त करें, a।
यदि कोण बड़ा हो तो क्या होगा? उदाहरण के लिए, जैसे इस चित्र में:
इस उदाहरण में क्या बदलाव आया है? आइए इसका पता लगाएं। ऐसा करने के लिए, आइए फिर से एक समकोण त्रिभुज की ओर मुड़ें। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें: कोण (एक कोण के आसन्न के रूप में)। किसी कोण के लिए ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेन्ट के मान क्या हैं? यह सही है, हम त्रिकोणमितीय फलनों की संगत परिभाषाओं का पालन करते हैं:
खैर, जैसा कि आप देख सकते हैं, कोण की ज्या का मान अभी भी निर्देशांक से मेल खाता है; कोण की कोज्या का मान - निर्देशांक; और संबंधित अनुपातों के स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान। इस प्रकार, ये संबंध त्रिज्या वेक्टर के किसी भी घूर्णन पर लागू होते हैं।
यह पहले ही उल्लेख किया जा चुका है कि त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति अक्ष की सकारात्मक दिशा के अनुदिश होती है। अब तक हमने इस वेक्टर को वामावर्त घुमाया है, लेकिन अगर हम इसे दक्षिणावर्त घुमाएं तो क्या होगा? कुछ भी असाधारण नहीं, आपको एक निश्चित मूल्य का कोण भी मिलेगा, लेकिन वह केवल नकारात्मक होगा। इस प्रकार, त्रिज्या वेक्टर को वामावर्त घुमाने पर, हमें मिलता है सकारात्मक कोण, और जब दक्षिणावर्त घुमाते हैं - नकारात्मक।
तो, हम जानते हैं कि एक वृत्त के चारों ओर त्रिज्या वेक्टर की एक संपूर्ण क्रांति है या। क्या त्रिज्या सदिश को इधर-उधर घुमाना संभव है? खैर, बेशक आप कर सकते हैं! इसलिए, पहले मामले में, त्रिज्या वेक्टर एक पूर्ण क्रांति करेगा और स्थिति पर रुक जाएगा।
दूसरे मामले में, अर्थात्, त्रिज्या वेक्टर तीन पूर्ण चक्कर लगाएगा और स्थिति पर रुक जाएगा।
इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरणों से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि जो कोण या (जहां कोई पूर्णांक है) से भिन्न होते हैं, वे त्रिज्या वेक्टर की समान स्थिति के अनुरूप होते हैं।
नीचे दिया गया चित्र एक कोण दिखाता है। वही छवि कोने आदि से मेल खाती है। यह सूची अनिश्चित काल तक जारी रखी जा सकती है। इन सभी कोणों को सामान्य सूत्र या (कोई पूर्णांक कहां है) द्वारा लिखा जा सकता है
अब, बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को जानकर और इकाई वृत्त का उपयोग करके, उत्तर देने का प्रयास करें कि मान क्या हैं:
आपकी सहायता के लिए यहां एक यूनिट सर्कल है:
कठिनाइयाँ हो रही हैं? तो चलिए इसका पता लगाते हैं। तो हम जानते हैं कि:
यहां से, हम कुछ कोण मापों के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। ठीक है, आइए क्रम से शुरू करें: कोण निर्देशांक वाले एक बिंदु से मेल खाता है, इसलिए:
मौजूद नहीं होना;
इसके अलावा, उसी तर्क का पालन करते हुए, हम पाते हैं कि कोने क्रमशः निर्देशांक वाले बिंदुओं के अनुरूप हैं। इसे जानने से संबंधित बिंदुओं पर त्रिकोणमितीय फलनों का मान निर्धारित करना आसान होता है। पहले इसे स्वयं आज़माएँ, और फिर उत्तरों की जाँच करें।
उत्तर:
मौजूद नहीं
मौजूद नहीं
मौजूद नहीं
मौजूद नहीं
इस प्रकार, हम निम्नलिखित तालिका बना सकते हैं:
इन सभी मूल्यों को याद रखने की कोई जरूरत नहीं है. यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के निर्देशांक और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों के बीच पत्राचार को याद रखना पर्याप्त है:
लेकिन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान नीचे दी गई तालिका में दिए गए हैं, याद रखना चाहिए:
डरिए मत, अब हम आपको एक उदाहरण दिखाएंगे संबंधित मूल्यों को याद रखना काफी सरल है:
इस पद्धति का उपयोग करने के लिए, कोण () के सभी तीन मापों के लिए साइन के मान, साथ ही कोण के स्पर्शरेखा के मान को याद रखना महत्वपूर्ण है। इन मानों को जानने के बाद, संपूर्ण तालिका को पुनर्स्थापित करना काफी सरल है - कोसाइन मान तीरों के अनुसार स्थानांतरित किए जाते हैं, अर्थात:
यह जानकर, आप मानों को पुनर्स्थापित कर सकते हैं। अंश " " मेल खाएगा और हर " " मेल खाएगा। कोटैंजेंट मान चित्र में दर्शाए गए तीरों के अनुसार स्थानांतरित किए जाते हैं। यदि आप इसे समझते हैं और तीरों के साथ आरेख को याद करते हैं, तो यह तालिका से सभी मानों को याद रखने के लिए पर्याप्त होगा।
वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक
क्या किसी वृत्त पर एक बिंदु (इसके निर्देशांक) खोजना संभव है, वृत्त के केंद्र के निर्देशांक, उसकी त्रिज्या और घूर्णन कोण को जानना?
खैर, बेशक आप कर सकते हैं! आइए इसे बाहर निकालें किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने का सामान्य सूत्र.
उदाहरण के लिए, यहाँ हमारे सामने एक वृत्त है:
हमें दिया गया है कि बिंदु वृत्त का केंद्र है। वृत्त की त्रिज्या बराबर है. किसी बिंदु को डिग्री द्वारा घुमाने पर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।
जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, बिंदु का निर्देशांक खंड की लंबाई से मेल खाता है। खंड की लंबाई वृत्त के केंद्र के निर्देशांक से मेल खाती है, अर्थात यह बराबर है। किसी खंड की लंबाई कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करके व्यक्त की जा सकती है:
फिर हमारे पास बिंदु समन्वय के लिए वह है।
उसी तर्क का उपयोग करते हुए, हम बिंदु के लिए y निर्देशांक मान पाते हैं। इस प्रकार,
तो, सामान्य तौर पर, बिंदुओं के निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:
वृत्त के केंद्र के निर्देशांक,
वृत्त त्रिज्या,
वेक्टर त्रिज्या का घूर्णन कोण.
जैसा कि आप देख सकते हैं, जिस इकाई वृत्त पर हम विचार कर रहे हैं, उसके लिए ये सूत्र काफी कम हो गए हैं, क्योंकि केंद्र के निर्देशांक शून्य के बराबर हैं और त्रिज्या एक के बराबर है:
खैर, आइए एक वृत्त पर बिंदु खोजने का अभ्यास करके इन सूत्रों को आज़माएँ?
1. इकाई वृत्त पर बिंदु को घुमाने पर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
2. इकाई वृत्त पर बिंदु को घुमाने पर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
3. इकाई वृत्त पर बिंदु को घुमाने पर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
4. बिंदु वृत्त का केंद्र है. वृत्त की त्रिज्या बराबर है. प्रारंभिक त्रिज्या सदिश को घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।
5. बिंदु वृत्त का केंद्र है. वृत्त की त्रिज्या बराबर है. प्रारंभिक त्रिज्या सदिश को घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।
क्या आपको वृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक ढूंढने में परेशानी हो रही है?
इन पांच उदाहरणों को हल करें (या उन्हें हल करने में कुशल हो जाएं) और आप उन्हें ढूंढना सीख जाएंगे!
1.
आप इसे नोटिस कर सकते हैं. लेकिन हम जानते हैं कि शुरुआती बिंदु की पूर्ण क्रांति से क्या मेल खाता है। इस प्रकार, वांछित बिंदु उसी स्थिति में होगा जैसे कि मुड़ते समय। इसे जानकर, हम बिंदु के आवश्यक निर्देशांक पाते हैं:
2. इकाई वृत्त एक बिंदु पर केन्द्रित है, जिसका अर्थ है कि हम सरलीकृत सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:
आप इसे नोटिस कर सकते हैं. हम जानते हैं कि प्रारंभिक बिंदु के दो पूर्ण चक्करों से क्या मेल खाता है। इस प्रकार, वांछित बिंदु उसी स्थिति में होगा जैसे कि मुड़ते समय। इसे जानकर, हम बिंदु के आवश्यक निर्देशांक पाते हैं:
साइन और कोसाइन तालिका मान हैं। हम उनके अर्थ याद करते हैं और पाते हैं:
इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।
3. इकाई वृत्त एक बिंदु पर केन्द्रित है, जिसका अर्थ है कि हम सरलीकृत सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:
आप इसे नोटिस कर सकते हैं. आइए चित्र में विचाराधीन उदाहरण को चित्रित करें:
त्रिज्या अक्ष के साथ और उसके बराबर कोण बनाती है। यह जानते हुए कि कोसाइन और साइन के तालिका मान समान हैं, और यह निर्धारित करने के बाद कि यहां कोसाइन एक नकारात्मक मान लेता है और साइन एक सकारात्मक मान लेता है, हमारे पास है:
विषय में त्रिकोणमितीय कार्यों को कम करने के सूत्रों का अध्ययन करते समय ऐसे उदाहरणों पर अधिक विस्तार से चर्चा की जाती है।
इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।
4.
वेक्टर की त्रिज्या के घूर्णन का कोण (शर्त के अनुसार)
ज्या और कोज्या के संगत चिह्न निर्धारित करने के लिए, हम एक इकाई वृत्त और कोण बनाते हैं:
जैसा कि आप देख सकते हैं, मान, यानी, सकारात्मक है, और मूल्य, यानी, नकारात्मक है। संबंधित त्रिकोणमितीय कार्यों के सारणीबद्ध मानों को जानने पर, हम यह प्राप्त करते हैं:
आइए प्राप्त मूल्यों को हमारे सूत्र में प्रतिस्थापित करें और निर्देशांक खोजें:
इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।
5. इस समस्या को हल करने के लिए, हम सामान्य रूप में सूत्रों का उपयोग करते हैं, जहाँ
वृत्त के केंद्र के निर्देशांक (हमारे उदाहरण में,
वृत्त त्रिज्या (शर्त के अनुसार)
वेक्टर की त्रिज्या के घूर्णन का कोण (शर्त के अनुसार)।
आइए सभी मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें:
और - तालिका मान. आइए याद रखें और उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।
सारांश और बुनियादी सूत्र
किसी कोण की ज्या विपरीत (दूर) पैर और कर्ण का अनुपात है।
किसी कोण की कोज्या आसन्न (निकट) पैर और कर्ण का अनुपात है।
किसी कोण की स्पर्शरेखा विपरीत (दूर) भुजा और आसन्न (नज़दीकी) भुजा का अनुपात है।
किसी कोण का कोटैंजेंट आसन्न (निकट) पक्ष और विपरीत (दूर) पक्ष का अनुपात होता है।
ज्या द्वारा कोण ज्ञात कीजिए
इसलिए, हमारे पास 0 से 90° e तक के किसी भी कोण की ज्या की गणना दो दशमलव स्थानों में करने का अवसर है। रेडीमेड टेबल की कोई आवश्यकता नहीं है; यदि हम चाहें तो अनुमानित गणनाओं के लिए हम इसे हमेशा स्वयं संकलित कर सकते हैं।
लेकिन त्रिकोणमितीय समस्याओं को हल करने के लिए, आपको इसके विपरीत करने में सक्षम होने की आवश्यकता है - किसी दिए गए साइन से कोणों की गणना करें। ये भी आसान है. मान लीजिए आपको एक ऐसा कोण ढूंढना है जिसकी ज्या 0.38 के बराबर है। चूँकि यह ज्या 0.5 से कम है, वांछित कोण 30° से कम है। लेकिन यह 15° से अधिक है, क्योंकि पाप 15°, हम जानते हैं, 0.26 के बराबर है। इस कोण को खोजने के लिए, जो 15 और 30° के बीच स्थित है, हम पहले बताए अनुसार आगे बढ़ते हैं:
तो, वांछित कोण लगभग 22.5° है। दूसरा उदाहरण: एक ऐसा कोण ढूंढें जिसकी ज्या 0.62 है।
आवश्यक कोण लगभग 38.6° है।
अंत में, तीसरा उदाहरण: एक कोण ढूंढें जिसकी ज्या 0.91 है।
चूँकि यह ज्या 0.71 और 1 के बीच स्थित है, वांछित कोण 45° और 90° के बीच है। पर: अंजीर। 91 सूरजयदि कोण L की ज्या है वी.ए= 1. जानना सूरज,किसी कोण की ज्या ज्ञात करना आसान है में:
आइए अब कोण ज्ञात करें में,जिसकी ज्या 0.42 है; इसके बाद 90° के बराबर कोण A ज्ञात करना आसान हो जाएगा - में।
चूँकि 0.42, 0.26 और 0.5 के बीच है, तो कोण में 15° और 30° के बीच स्थित है, इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
और, इसलिए, कोण A = 90° - B = 90° - 25° = 65°.
अब हम त्रिकोणमितीय समस्याओं को लगभग हल करने के लिए पूरी तरह से सुसज्जित हैं, क्योंकि हम फ़ील्ड उद्देश्यों के लिए पर्याप्त सटीकता के साथ कोणों से साइन और साइन से कोण ढूंढ सकते हैं।
लेकिन क्या इसके लिए सिर्फ साइन ही काफी है? क्या हमें शेष त्रिकोणमितीय फलनों - कोज्या, स्पर्शज्या, आदि की आवश्यकता नहीं है? अब हम कई उदाहरणों से दिखाएंगे कि हमारी सरलीकृत त्रिकोणमिति के लिए हम केवल साइन से ही पूरी तरह काम चला सकते हैं।
उदाहरण:
\(\sin(30^°)=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\sin\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\sin2=0.909...\)
तर्क और अर्थ
न्यून कोण की ज्या
न्यून कोण की ज्याएक समकोण त्रिभुज का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है - यह विपरीत भुजा और कर्ण के अनुपात के बराबर है।
उदाहरण :
1) मान लीजिए कि एक कोण दिया गया है और आपको इस कोण की ज्या ज्ञात करनी है।
2) आइए इस कोण पर कोई समकोण त्रिभुज पूरा करें।
3) आवश्यक भुजाओं को मापने के बाद, हम \(sinA\) की गणना कर सकते हैं।
किसी संख्या की ज्या
संख्या वृत्त आपको किसी भी संख्या की ज्या निर्धारित करने की अनुमति देता है, लेकिन आमतौर पर आप संख्याओं की ज्या किसी तरह से संबंधित पाते हैं: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).
उदाहरण के लिए, संख्या \(\frac(π)(6)\) के लिए - ज्या \(0.5\) के बराबर होगी। और संख्या \(-\)\(\frac(3π)(4)\) के लिए यह \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) के बराबर होगा (लगभग \ (-0 ,71\)).
व्यवहार में अक्सर सामने आने वाली अन्य संख्याओं के लिए साइन के लिए देखें।
साइन मान हमेशा \(-1\) से \(1\) की सीमा में होता है। इसके अलावा, इसकी गणना बिल्कुल किसी भी कोण और संख्या के लिए की जा सकती है।
किसी भी कोण की ज्या
यूनिट सर्कल के लिए धन्यवाद, न केवल एक न्यून कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों को निर्धारित करना संभव है, बल्कि एक अधिक कोण, नकारात्मक और यहां तक कि \(360°\) (पूर्ण क्रांति) से भी बड़ा त्रिकोणमितीय कार्यों को निर्धारित करना संभव है। ऐसा कैसे करें \(100\) बार सुनने की तुलना में एक बार देखना आसान है, इसलिए चित्र देखें।
अब एक स्पष्टीकरण: आइए हमें \(150°\) में डिग्री माप के साथ \(sin∠KOA\) को परिभाषित करने की आवश्यकता है। बिंदु का संयोजन के बारे मेंवृत्त के केंद्र और भुजा के साथ ठीक है- \(x\) अक्ष के साथ। इसके बाद, \(150°\) वामावर्त दिशा में अलग रख दें। फिर बिंदु की कोटि एहमें \(\sin∠KOA\) दिखाएगा।
यदि हम डिग्री माप वाले कोण में रुचि रखते हैं, उदाहरण के लिए, \(-60°\) (कोण) में कोव), हम वही करते हैं, लेकिन हम \(60°\) को दक्षिणावर्त सेट करते हैं।
और अंततः, कोण \(360°\) (कोण) से बड़ा है सीबीएस) - सब कुछ बेवकूफी के समान है, केवल दक्षिणावर्त एक पूर्ण मोड़ पर जाने के बाद, हम दूसरे सर्कल में जाते हैं और "डिग्री की कमी प्राप्त करते हैं"। विशेष रूप से, हमारे मामले में, कोण \(405°\) को \(360° + 45°\) के रूप में प्लॉट किया गया है।
यह अनुमान लगाना आसान है कि एक कोण आलेखित करने के लिए, उदाहरण के लिए, \(960°\) में, आपको दो मोड़ (\(360°+360°+240°\)) बनाने होंगे, और \(2640\) में एक कोण के लिए °\) - पूरे सात।
जैसा कि आप प्रतिस्थापित कर सकते हैं, किसी संख्या की ज्या और किसी मनमाने कोण की ज्या दोनों को लगभग समान रूप से परिभाषित किया जाता है। केवल वृत्त पर बिंदु खोजने का तरीका बदलता है।
अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों से संबंध:
फ़ंक्शन \(y=\sinx\)
यदि हम \(x\) अक्ष के साथ कोणों को रेडियन में और \(y\) अक्ष के साथ इन कोणों के अनुरूप साइन मानों को आलेखित करते हैं, तो हमें निम्नलिखित ग्राफ मिलता है:
इस ग्राफ को साइन वेव कहा जाता है और इसमें निम्नलिखित गुण होते हैं:
परिभाषा का क्षेत्र x का कोई भी मान है: \(D(\sinx)=R\)
- मानों की सीमा - \(-1\) से \(1\) तक सम्मिलित: \(E(\sinx)=[-1;1]\)
- अजीब: \(\sin(-x)=-\sinx\)
- अवधि के साथ आवधिक \(2π\): \(\sin(x+2π)=\sinx\)
- निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:
भुज अक्ष: \((πn;0)\), जहां \(n ϵ Z\)
Y अक्ष: \((0;0)\)
- संकेत की स्थिरता के अंतराल:
फ़ंक्शन अंतराल पर सकारात्मक है: \((2πn;π+2πn)\), जहां \(n ϵ Z\)
फ़ंक्शन अंतराल पर नकारात्मक है: \((π+2πn;2π+2πn)\), जहां \(n ϵ Z\)
- वृद्धि और कमी के अंतराल:
फ़ंक्शन अंतराल पर बढ़ता है: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn)\ ), जहां \(n ϵ Z\)
फ़ंक्शन अंतराल पर घटता है: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\) , जहां \(n ϵ Z\)
- फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम:
फ़ंक्शन का बिंदु \(x=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn\) पर अधिकतम मान \(y=1\) है, जहां \(n ϵ Z\)
फ़ंक्शन का बिंदु \(x=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn\) पर न्यूनतम मान \(y=-1\) है, जहां \(n ϵ Z\) .