बुनियादी अवधारणाओं

कोणों को मापने के मुद्दे के भाग के रूप में, इस खंड में हम प्रारंभिक ज्यामितीय जानकारी से संबंधित कई अवधारणाओं पर विचार करेंगे:

• कोना;
• खुला और अविकसित कोण;
• डिग्री, मिनट और सेकंड;
• कोण का डिग्री माप;
• समकोण, न्यूनकोण और अधिककोण।

कोण एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें एक बिंदु (शीर्ष) और उससे निकलने वाली दो किरणें (भुजाएं) होती हैं। यदि दोनों किरणें एक ही सीधी रेखा पर हों तो कोई कोण विकसित कहलाता है।

कोण की डिग्री माप के लिए धन्यवाद, कोणों को मापा जा सकता है। कोणों को मापना खंडों को मापने के समान ही किया जाता है। जैसे खंडों को मापते समय, कोणों को मापते समय, माप की एक विशेष इकाई का उपयोग किया जाता है। अधिकतर यह एक डिग्री होती है।

परिभाषा 1

डिग्री माप की एक इकाई है. ज्यामिति में, यह उस कोण का प्रतिनिधित्व करता है जिससे अन्य कोणों की तुलना की जाती है। डिग्री सीधे कोण से $\frac(1)(180)$ के बराबर है।

अब हम किसी कोण की डिग्री माप को परिभाषित कर सकते हैं।

परिभाषा 2

किसी कोण की डिग्री माप एक सकारात्मक संख्या है जो इंगित करती है कि किसी दिए गए कोण में डिग्री कितनी बार रखी गई है।

कोणों को मापने के लिए चाँदे का प्रयोग किया जाता है।

डिग्री माप लिखने का एक उदाहरण: $\कोण ABC = 150^(\circ)$. चित्र में, इस प्रविष्टि का अर्थ निम्नलिखित है:

मौखिक रूप से वे यह कहते हैं: "कोण ABC 150 डिग्री है।"

डिग्री के कुछ हिस्सों के अपने विशेष नाम होते हैं। एक मिनट एक डिग्री का $\frac(1)(60)$ भाग है, जिसे $"$ चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है। एक सेकंड एक मिनट का $\frac(1)(60)$ भाग है, जिसे $" चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है। "$. एक कोण को 75 डिग्री, 45 मिनट और 28 सेकंड में लिखने का एक उदाहरण: $75^(\circ)45"28""$.

वे कोण जिनकी डिग्री माप बराबर होती है, बराबर कहलाते हैं। तदनुसार, कोणों की तुलना यह कहकर की जा सकती है कि एक कोण दूसरे से छोटा है या एक कोण दूसरे से बड़ा है।

घुमाए गए कोण की परिभाषा ऊपर दी गई थी। डिग्री माप की अवधारणा का उपयोग करके, हम एक विकसित और गैर-विकसित कोण के बीच अंतर का वर्णन कर सकते हैं। उलटा कोण हमेशा $180^(\circ)$ होता है। अविकसित कोण $180^(\circ)$ से कम का कोई भी कोण होता है।

समकोण, न्यूनकोण और अधिककोण होते हैं। एक समकोण $90^(\circ)$ के बराबर होता है, एक न्यून कोण $90^(\circ)$ से कम होता है, एक अधिक कोण $90^(\circ)$ से अधिक और $180^(\circ) से कम होता है $.

चित्र 4. समकोण, न्यून और अधिक कोण। लेखक24 - छात्र कार्यों का ऑनलाइन आदान-प्रदान

रोजमर्रा की जिंदगी में कोणों को मापने और डिग्री को समझने की क्षमता की आवश्यकता और महत्व के उदाहरण हैं। खगोलीय पिंडों की स्थिति निर्धारित करते समय खगोल विज्ञान सहित विभिन्न अध्ययनों में कोणों को मापना आवश्यक है।

अभ्यास के लिए, कम से कम तीन खुले हुए और एक खुले हुए कोण को अलग-अलग तरीकों से बनाने का प्रयास करें, एक चांदे का उपयोग करके कोणों को मापें और इन परिणामों को लिख लें। आप यादृच्छिक संख्याएँ निर्धारित कर सकते हैं और एक प्रोट्रैक्टर का उपयोग करके कोण बनाने की सटीकता का अभ्यास कर सकते हैं, उन्हें एक द्विभाजक का उपयोग करके विभाजित कर सकते हैं (एक द्विभाजक किसी दिए गए कोण के शीर्ष से निकलने वाली किरण है और कोण को आधे में विभाजित करता है)।

नमूना समस्याएँ

उदाहरण 1

काम. एक चित्र है:

किरणें $DE$ और $DF$ संगत कोणों $ADB$ और $BDC$ के समद्विभाजक हैं। यदि $\कोण EDF = 75^(\circ)$ है तो आपको कोण $ADC$ ज्ञात करना होगा।

समाधान. चूँकि कोण $EDF$ में प्रत्येक कोण $ADB$ और $BDC$ का आधा भाग होता है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $EDF$, कोण $ADC$ का बिल्कुल आधा है। हमें सरल गणनाएँ मिलती हैं: $\कोण ADC=75\cdot 2=150^(\circ)$.

उत्तर: $150^(\circ)$.

चलिए एक और दिलचस्प उदाहरण देते हैं.

उदाहरण 2

काम. एक चित्र दिया गया है.

कोण $ABC$ सही है। कोण $ABE$, $EBD$ और $DBC$ बराबर हैं। आपको द्विभाजक $ABE$ और $DBC$ द्वारा निर्मित कोण ज्ञात करना होगा।

समाधान. चूँकि $ABC$ एक समकोण है, इसका मतलब है कि यह $90^(\circ)$ के बराबर है। कोण $\कोण EBD=90/3=30^(\circ)$. चूँकि कोण $ABE$, $EBD$ और $DBC$ बराबर हैं, उनमें से कोई भी $30^(\circ)$ के बराबर होगा। इनमें से किसी भी कोण का समद्विभाजक इनमें से किसी भी कोण को $15^(\circ)$ के बराबर दो कोणों में विभाजित करेगा। चूँकि कोणों के दो भाग $ABE$ और $DBC$ वांछित कोण से संबंधित हैं, हम कह सकते हैं कि वांछित कोण $30+15+15=60^(\circ)$ के बराबर है।

उत्तर. $60^(\circ)$

इस लेख में हमने कोण की डिग्री माप और कोणों को कैसे मापें, इस मुद्दे को पूरी तरह से कवर किया है।

किसी कोण की डिग्री माप कैसे ज्ञात करें?

स्कूल में कई लोगों के लिए, ज्यामिति एक वास्तविक परीक्षा है। बुनियादी ज्यामितीय आकृतियों में से एक कोण है। इस अवधारणा का अर्थ है दो किरणें जो एक ही बिंदु पर उत्पन्न होती हैं। किसी कोण का मान (परिमाण) मापने के लिए डिग्री या रेडियन का उपयोग किया जाता है। आप हमारे लेख में सीखेंगे कि किसी कोण की डिग्री माप कैसे ज्ञात करें।

कोणों के प्रकार

मान लीजिए कि हमारे पास एक कोण है। यदि हम इसे एक सीधी रेखा में विस्तारित करें तो इसका मान 180 डिग्री के बराबर होगा। ऐसे कोण को घुमाव कोण कहा जाता है और इसके 1/180 भाग को एक डिग्री माना जाता है।

सीधे कोण के अलावा, न्यून कोण (90 डिग्री से कम), अधिक कोण (90 डिग्री से अधिक) और समकोण (90 डिग्री के बराबर) भी होते हैं। इन शब्दों का उपयोग किसी कोण की डिग्री माप को दर्शाने के लिए किया जाता है।

कोण माप

कोण को चांदे का उपयोग करके मापा जाता है। यह एक विशेष उपकरण है जिस पर अर्धवृत्त पहले से ही 180 भागों में विभाजित होता है। चांदे को कोने से जोड़ दें ताकि कोने का एक किनारा चांदे के निचले भाग से मेल खाए। दूसरी किरण को चांदा के चाप को काटना चाहिए। यदि ऐसा नहीं होता है, तो प्रोट्रैक्टर को हटा दें और बीम को लंबा करने के लिए रूलर का उपयोग करें। यदि कोण शीर्ष के दाईं ओर "खुलता" है, तो इसका मान ऊपरी पैमाने पर पढ़ा जाता है, यदि बाईं ओर - निचले पैमाने पर।

एसआई प्रणाली में, किसी कोण के परिमाण को डिग्री के बजाय रेडियन में मापने की प्रथा है। केवल 3.14 रेडियन ही खुले कोण में फिट होते हैं, इसलिए यह मान असुविधाजनक है और व्यवहार में लगभग कभी भी उपयोग नहीं किया जाता है। यही कारण है कि आपको यह जानना आवश्यक है कि रेडियन को डिग्री में कैसे परिवर्तित किया जाए। इसके लिए एक सूत्र है:

• डिग्री = रेडियन/π x 180

उदाहरण के लिए, कोण 1.6 रेडियन है। डिग्री में बदलें: 1.6/3.14 * 180 = 92

कोनों के गुण

अब आप जानते हैं कि कोणों की डिग्री को कैसे मापना और पुनर्गणना करना है। लेकिन समस्याओं को हल करने के लिए आपको कोणों के गुणों को भी जानना होगा। आज तक, निम्नलिखित स्वयंसिद्ध सूत्र तैयार किए गए हैं:

• किसी भी कोण को शून्य से अधिक डिग्री में व्यक्त किया जा सकता है। घुमाए गए कोण का आकार 360 है।
• यदि किसी कोण में कई कोण होते हैं, तो उसका डिग्री माप सभी कोणों के योग के बराबर होता है।
• किसी दिए गए अर्ध-तल में, किसी भी किरण से, दिए गए मान का कोण, 180 डिग्री से कम, और केवल एक बनाना संभव है।
• समान कोणों का मान समान होता है।
• दो कोणों को जोड़ने के लिए, आपको उनके मान जोड़ने होंगे।

इन नियमों को समझना और कोणों को मापने का तरीका जानना ज्यामिति को सफलतापूर्वक सीखने की कुंजी है।

कोण एक आकृति है जिसमें एक बिंदु होता है - कोण का शीर्ष और इस बिंदु से निकलने वाली दो अलग-अलग अर्ध-रेखाएँ - कोण की भुजाएँ (चित्र 14)। यदि किसी कोण की भुजाएँ पूरक अर्ध-रेखाएँ हों, तो उस कोण को विकसित कोण कहा जाता है।

एक कोण को या तो उसके शीर्ष को इंगित करके, या उसकी भुजाओं को इंगित करके, या तीन बिंदुओं को इंगित करके निर्दिष्ट किया जाता है: शीर्ष और कोण के किनारों पर दो बिंदु। कभी-कभी "कोण" शब्द को बदल दिया जाता है

चित्र 14 में कोण प्रतीक को तीन तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है:

कहा जाता है कि एक किरण c किसी कोण की भुजाओं के बीच से गुजरती है यदि वह उसके शीर्ष से आती है और कोण के किनारों पर सिरों वाले किसी खंड को काटती है।

चित्र 15 में, किरण c कोण के किनारों के बीच से गुजरती है क्योंकि यह खंड को काटती है

एक सीधे कोण के मामले में, उसके शीर्ष से निकलने वाली और उसकी भुजाओं से भिन्न कोई भी किरण कोण की भुजाओं के बीच से गुजरती है।

कोणों को डिग्री में मापा जाता है। यदि आप एक सीधा कोण लेते हैं और इसे 180 समान कोणों में विभाजित करते हैं, तो इनमें से प्रत्येक कोण की डिग्री माप को डिग्री कहा जाता है।

कोण माप के मूल गुण निम्नलिखित स्वयंसिद्ध में व्यक्त किए गए हैं:

प्रत्येक कोण की एक निश्चित डिग्री माप शून्य से अधिक होती है। घूर्णन कोण 180° है। किसी कोण की डिग्री माप उन कोणों की डिग्री माप के योग के बराबर होती है जिनमें वह उसकी भुजाओं के बीच से गुजरने वाली किसी किरण द्वारा विभाजित होता है।

इसका मतलब यह है कि यदि एक किरण c किसी कोण की भुजाओं के बीच से गुजरती है, तो कोण कोणों के योग के बराबर होता है

कोण का डिग्री माप चांदे का उपयोग करके पाया जाता है।

90° के बराबर कोण समकोण कहलाता है। 90° से कम कोण को न्यूनकोण कहते हैं। 90° से बड़ा और 180° से कम कोण को अधिक कोण कहा जाता है।

आइए हम कोनों को अलग रखने की मुख्य संपत्ति तैयार करें।

किसी भी अर्ध-रेखा से, किसी दिए गए अर्ध-तल में, आप दिए गए डिग्री माप के साथ 180° से कम और केवल एक कोण डाल सकते हैं।

अर्ध-पंक्ति ए पर विचार करें। आइए इसे शुरुआती बिंदु ए से आगे बढ़ाएं। परिणामी सीधी रेखा विमान को दो आधे विमानों में विभाजित करती है। चित्र 16 दिखाता है कि कैसे, एक चांदे का उपयोग करके, एक अर्ध-रेखा से ऊपरी आधे-तल तक 60° के दिए गए डिग्री माप के साथ एक कोण खींचा जाता है।

टी. 1. 2. यदि दी गई अर्ध-रेखा से दो कोणों को एक अर्ध-तल में रखा जाता है, तो दी गई अर्ध-रेखा से भिन्न छोटे कोण की भुजा, बड़े कोण की भुजाओं के बीच से गुजरती है।

मान लीजिए कि दी गई अर्ध-रेखा a से कोणों को एक अर्ध-तल में विभाजित किया गया है, और कोण को कोण से कम होने दें। प्रमेय 1.2 बताता है कि किरण कोण की भुजाओं के बीच से गुजरती है (चित्र 17)।

किसी कोण का समद्विभाजक वह किरण होती है जो उसके शीर्ष से निकलती है, भुजाओं के बीच से गुजरती है और कोण को आधे में विभाजित करती है। चित्र 18 में, किरण कोण का समद्विभाजक है

ज्यामिति में समतल कोण की अवधारणा है। समतल कोण एक समतल का एक भाग होता है जो एक बिंदु से निकलने वाली दो अलग-अलग किरणों से घिरा होता है। इन किरणों को कोण की भुजाएँ कहा जाता है। दी गई भुजाओं वाले दो समतल कोण हैं। उन्हें अतिरिक्त कहा जाता है। चित्र 19 में, a और भुजाओं वाले समतल कोणों में से एक को छायांकित किया गया है।

भाषण: कोण का परिमाण, कोण की डिग्री माप, कोण के परिमाण और एक वृत्त के चाप की लंबाई के बीच पत्राचार

कोण मापवह राशि है जिससे किरण अपनी मूल स्थिति के सापेक्ष विचलित हो जाती है।

किसी कोण का माप दो मात्राओं में मापा जा सकता है: डिग्री और रेडियन, इसलिए इकाइयों का नाम - डिग्री और रेडियन कोण का माप है।

कोण का डिग्री माप

डिग्री माप यह अनुमान लगाना संभव बनाता है कि किसी विशेष कोण में कितने डिग्री, मिनट या सेकंड रखे गए हैं।

डिग्री में कोणों की गणना इस दृष्टिकोण से की जाती है कि बीम का पूर्ण घूर्णन 360° है। 180° का आधा मोड़ एक सीधा कोण है, एक चौथाई - 90° एक समकोण है, आदि।

कोण का रेडियन माप

आइए अब जानें कि किसी कोण की रेडियन माप क्या है। जैसा कि हम भौतिकी से जानते हैं, अतिरिक्त इकाइयाँ हैं। उदाहरण के लिए, तापमान मापने के लिए मुख्य इकाई केल्विन है, और अतिरिक्त इकाई सेल्सियस है। लंबाई मापने के लिए हम मीटर का उपयोग करते हैं, लेकिन अंग्रेज पैरों का उपयोग करते हैं। यह सूची निरंतर बढ़ती रहती है। आपके लिए समझने वाली बात यह है कि, कोण की डिग्री माप के अलावा, एक रेडियन माप भी होता है, जिसे अस्तित्व में रहने का भी अधिकार है।

किसी कोण की रेडियन माप निर्धारित करने के लिए एक वृत्त का उपयोग किया जाता है। ऐसा माना जाता है कि रेडियन माप केंद्रीय कोण द्वारा वर्णित वृत्त के चाप की लंबाई है।

याद रखें कि केंद्रीय कोण वह कोण होता है जिसका शीर्ष वृत्त के केंद्र में होता है, और किरणें किसी चाप पर टिकी होती हैं।

तो, 1 रेड के कोण का डिग्री माप 57.3° होता है। किसी कोण की रेडियन माप को या तो प्राकृतिक संख्याओं द्वारा या संख्या π ≈ 3.14 का उपयोग करके वर्णित किया जाता है।

ज्यामिति के लिए कोण की डिग्री माप का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है, लेकिन त्रिकोणमिति के लिए वे रेडियन माप का उपयोग करते हैं।

गणित, ज्यामिति - ये विज्ञान, साथ ही अधिकांश अन्य सटीक विज्ञान, कई लोगों के लिए बेहद कठिन हैं। लोगों को सूत्रों और अजीब शब्दावली को समझने में कठिनाई होती है। इस अजीब अवधारणा के पीछे क्या छिपा है?

परिभाषा

आरंभ करने के लिए, आपको केवल कोण के माप पर विचार करने की आवश्यकता है। एक किरण और एक सीधी रेखा की छवि इसमें मदद करेगी। सबसे पहले आपको, उदाहरण के लिए, एक क्षैतिज सीधी रेखा खींचने की आवश्यकता है। फिर उसके पहले बिंदु से एक किरण खींची जाती है, सीधी रेखा के समानांतर नहीं। इस प्रकार, सीधी रेखा और किरण के बीच एक निश्चित दूरी, एक छोटा कोण दिखाई देता है। एक कोण का माप है इसी किरण घूर्णन का आकार।

यह अवधारणा एक निश्चित डिजिटल मान को दर्शाती है जो शून्य से अधिक होगी। इसे डिग्री के साथ-साथ इसके घटकों, यानी मिनट और सेकंड में भी व्यक्त किया जाता है। किरण और सीधी रेखा के बीच के कोण में फिट होने वाली डिग्री की संख्या डिग्री माप होगी।

कोनों के गुण

• बिल्कुल प्रत्येक कोण का एक निश्चित डिग्री माप होगा.
• यदि इसे पूरी तरह से तैनात किया जाए तो संख्या 180 डिग्री होगी।
• डिग्री माप ज्ञात करने के लिए, बीम द्वारा तोड़े गए सभी कोणों के योग पर विचार किया जाता है।
• किसी भी किरण का उपयोग करके, आप एक अर्ध-तल बना सकते हैं जिसमें आप वास्तव में एक कोण बना सकते हैं। इसमें एक डिग्री माप होगा, जिसका मान 180 से कम होगा और ऐसा केवल एक ही कोण हो सकता है।

कोण की माप कैसे ज्ञात करें?

एक नियम के रूप में, न्यूनतम डिग्री माप 1 डिग्री है, जो घुमाए गए कोण का 1/180 है। हालाँकि, कभी-कभी आपको इतना स्पष्ट आंकड़ा नहीं मिल पाता है। इन मामलों में, सेकंड और मिनट का उपयोग किया जाता है।

एक बार मिल जाने पर, मान को डिग्री में परिवर्तित किया जा सकता है, इस प्रकार डिग्री का एक अंश प्राप्त होता है। कभी-कभी भिन्नात्मक संख्याओं का उपयोग किया जाता है, जैसे 80.7 डिग्री।

प्रमुख मात्राओं को याद रखना भी महत्वपूर्ण है। एक समकोण हमेशा 90 डिग्री का होगा। यदि माप अधिक है तो कुंठित माना जाएगा और यदि कम है तो तीक्ष्ण माना जाएगा।